Изучение темы "Производная" в классах с углубленным изучением математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме: «Изучение темы «Производная» в классах с углубленным изучением математики»

Оглавление

Введение

Глава I. Общие вопросы дифференцированного обучения в школе

§1. Дифференциация обучения в России в XVIII-XX вв

п.1. Организация различных школ в XVIII веке

п.2. Образование в России. XIX век

п.3. Школа в XX в

§2. Дифференциация в обучении математике

§3. Психолого-педагогические особенности обучения математике

п.1. Психолого-педагогические особенности учащихся, способных к математике

п.2. Психолого-педагогические особенности старшеклассников

п.3. Развитие и особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте

п.4. Развитие и особенности формирования памяти в старшем школьном возрасте

Глава II. Методика изучения темы «Производная» в классах с углубленным изучением математики

§1. Различные подходы к изложению темы «Производная»

§2. Методическая разработка по теме «Производная» для классов с углубленным изучением математики

§3. Дополнительные задачи для самостоятельного решения по теме «Производная»

Заключение

Библиография

Введение

В 2002 году принята концепция профильного и углубленного обучения старшей ступени общего образования, реализация которой позволит каждому ученику гарантированно получить полноценное образование, соответствующее его индивидуальным возможностям и характерным для него склонностям.

Преобразование школы в многопрофильное образовательное учреждение продиктовано, в первую очередь, социальным заказом общества. Перед современной школой стоит целый спектр учебных задач: подготовка учеников ко взрослой жизни и обеспечение их необходимым «багажом» знаний; организация учебного процесса таким образом, чтобы пробудить не просто интерес к учебе, а побудить учащихся к активному освоению знаний, к исследовательской деятельности; воспитание учащихся высококультурными людьми, ценящими и соблюдающими морально-этические нормы; способствование осознанному выбору будущей профессии; подготовка к успешному поступлению в выбранное высшее учебное заведение.

Тема «Производная» занимает центральное место в курсе алгебры и начал анализа. Изучение данной темы весьма актуально, так как оно имеет большое образовательное значение, ведь с нее начинается изучение элементов математического анализа, а это дает новые методы решения математических, физических и геометрических задач.

Целью данной дипломной работы является выявление особенностей преподавания темы «Производная» в курсе алгебры и математического анализа в классах с углубленным изучением математики.

Для реализации этой цели были поставлены следующие задачи:

1. проанализировать психолого-педагогическую, математическую и методическую литературу по данной теме дипломной;

2. определить психолого-педагогические и методические особенности дифференцированного обучения в школе;

3. сделать методическую разработку по теме «Производная» в классах с углубленным изучением математики.

Поставленные задачи определили содержание и структуру дипломной работы. Дипломная работа состоит из: введения, двух глав, заключения, библиографии, приложения.

Во введении обосновывается актуальность темы дипломной работы, определяются цели и задачи.

В первой главе рассматриваются общие вопросы дифференцированного обучения в школе, а именно: исторический аспект дифференцированного обучения в России с XVIII в. по XX в.; дифференциация в обучении математике; психолого-педагогические особенности учащихся для обучения в классах с углубленным изучением математики.

Во второй главе описаны различные подходы к изложению темы «Производная»; проанализированы учебники по алгебре и началам анализа на данную тему; представлена методическая разработка по теме «Производная» для классов с углубленным изучением математики, включающая конспекты уроков, урок-презентацию, а также подборку дополнительных задач для самостоятельной работы; к наиболее сложным задачам приведены решения.

В заключении дипломной работы сформулированы основные выводы и результаты.

Глава I. Общие вопросы дифференцированного обучения в школе

§1. Дифференциация обучения в России в XVIII-XX вв.

п.1. Организация различных школ в XVIII веке

Система образования в России стала складываться при Петре I. Он наметил основной путь - путь создания широкой сети общеобразовательных школ, специальных школ и училищ. В Москве была создана навигационная школа. В ней изучались арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия - плоская и сферическая. Общеобразовательные школы назывались цифирными: особое внимание обращалось на изучение арифметики и геометрии. Были созданы также военные гарнизонные школы, где преподавали офицеры. В этих школах, помимо грамоты и математики, учащиеся знакомились с основами артиллерии и инженерии.

В России стали создаваться школы различной практической направленности, готовящие учащихся к различным профессиям. При этом направления обучения диктовались характером общественного развития. Стране нужно было большое число образованных людей, способных воплотить в жизнь реформы, работать в новой промышленности, служить в новой армии и т. д. Закладывались основы практического или, как позже его назвали, реального образования, и общего - классического. Петр I прекрасно понимал, что для закрепления и развития реформ, для обновления России нужна наука, нужны свои ученые. В 1724 году последовал высочайший указ об организации Академии наук, а при ней - университета и гимназии [9], которую можно считать прообразом современных лицеев.

Школы создавались не только для дворянских детей, но и для детей рабочего люда. Например, в 1721 году по инициативе В.Н.Татищева (1686-1750), русского историка, государственного деятеля, активно осуществлявшего петровские реформы, создаются школы для рабочих при Уктусском заводе на Урале, в 1737 году - горнозаводские школы в Екатеринбурге, Соликамске, Каменске. Эти школы выполняли функции наших современных ПТУ.

Большой вклад в развитие академических гимназий внес М.В.Ломоносов. Он уделял много внимания развитию отечественной науки и просветительству. Именно он основал в 1754 году Московский университет и при нем - гимназию. Ее преподаватели в 1771 году выпустили коллективный труд «Способ учения», который по праву можно считать одной из первых работ по методике преподавания. В ней, в частности, при обучении математике, рассматривается использование принципов активности и сознательности. Интересно отметить, что преподаватели считали, что сначала необходимо изучать чистую математику для совершенствования ума человека, а уже затем - смешанную, т. е. прикладную [6].

Следующей важной вехой в дифференциации обучения было создание гимназий (их также называли государственными училищами) разного типа, в основе дифференциации которых лежали не только сословные различия, но и индивидуальные особенности, и интересы учащихся.

Были открыты школы нескольких типов.

* Училища для ученых людей. Они готовили выпускников для поступления в университеты. В них очень серьезно изучался курс математики, в частности, геометрии.

* Военные училища. Любопытно, что в них геометрия использовалась при изучении таких предметов, как фортификация, архитектура, география (она называлась «математическая география»).

* Гражданские училища. Здесь изучались арифметика, геометрия и логика. Выпускники этих училищ работали в коллегиях и канцеляриях.

* Купеческие училища. Геометрия также была здесь обязательным предметом, но большее значение уделялось коммерческой арифметике, составлению и ведению счетов, различных расчетов и т. д.

Вдохновителем создания гимназий такого типа и составителем генерального плана их развития, который появился в 1764 году, был Г.Н.Теплов (1711-1779).

В последней трети XVIII века в России стало бурно развиваться крупное промышленное производство. При этом сильно отставала техника, нужны были соответствующие инициативы. Большое значение стало придаваться обучению профессии. В 1786 году появился «Устав об организации обучения в народных училищах». Согласно ему, были созданы малые и главные училища, предусматривающие изучение общеобразовательных и реальных дисциплин. Серьезное внимание уделялось естественным и прикладным предметам [6].

Особо отметим, что в конце XVIII века в работах передовых просветителей и педагогов появилась мысль о том, что одной из главных целей обучения в школе является выявление у детей их склонностей, интересов и активное использование их в обучении.

Итак, XVIII век - век значительных достижений и преобразований в сфере просвещения, создания государственной системы образования, сети государственных общеобразовательных и профессиональных школ разного типа. Обучение в средних учебных заведениях носило элементы дифференцированного характера. Основанием для дифференциации были не только потребности общества в различных профессиях, но и необходимость в учете индивидуальных особенностей и интересов школьников. В лексикон прочно вошли и стали широко употребляться термины: академия, университет, гимназия, школа, училище.

п.2. Образование в России. XIX век

Начало XIX века ознаменовалось реформой образования. В 1802 году были учреждены министерства, в том числе Министерство народного образования. Первым действием было создание новой системы образования. В ней предусматривались следующие четыре ступени:

§ высшая - университеты;

§ средняя - гимназии;

§ промежуточная - уездные училища;

§ низшая - приходские училища.

Именно гимназии соответствовали современным старшим классам. В них не было дифференциации обучения, но в некоторых гимназиях разрешалось увеличивать число учебных предметов, когда находились способные к тому или иному предмету дети, что было специально внесено в устав гимназии. Можно считать, что это было первым прообразом такой формы дифференцированного обучения, как факультативные занятия или занятия по выбору. В остальном же гимназии подчинялись одной программе, ориентированной на практическое, реальное образование. Эта цель определяла и набор изучаемых предметов, и конкретные программы по ним. Перечислим обязательные предметы: чистая и прикладная математика, опытная физика, история, география, статистика, философия, изящные науки, политическая экономия, естественная история, начальные основания наук, относящиеся к торговле и технологии, языки - латинский, немецкий, французский, рисование [5]. Гимназия состояла из 4-х классов, и математика распределялась по ним следующим образом:

1-й класс - чистая математика: алгебра, геометрия и плоская тригонометрия. Учителю предписывалось вести алгебру и геометрию вместе, чтобы использовать алгебру в решении геометрических задач.

2-4-й класс - прикладная математика. В это время придавали первостепенное значение приложениям наук, о чем свидетельствует и перечень гимназических учебных предметов.

Еще одним проявлением дифференциации обучения в это время было создание лицеев для особо одаренных детей, в которых обучались в основном дети дворян. Самым знаменитым среди них был открытый в 1811 году Царскосельский лицей. Говоря современным языком, он имел ярко выраженный гуманитарный профиль. Математика, хотя и занимала второстепенное место, была обязательным предметом для изучения, причем ее значение и удельный вес возрастали к старшим классам. На начальном этапе обучения предпочтение отдавалось словесным наукам - грамматике, истории, словесности, языкам; эти науки с большим успехом изучаются в младшем возрасте. У старшеклассников первое место занимали нравственные, физические и математические науки. Здесь предлагалось окончить курс алгебры, пройти курс сферической тригонометрии и курс геометрии пространства, в котором наибольшее значение и место занимала тема конических сечений. На этой основе изучался значительный курс прикладной математики: статика, гидравлика, артиллерия и фортификация [5].

Представленное распределение предметов, акцентов в их изучении объяснялось тем, что в младших классах нужно изучать то, что развивает память, а в старших - то, что развивает ум. Поэтому даже для гуманитариев математика оставалась актуальным, нужным и важным предметом.

В первой половине XIX века складывалось практическое реальное образование. В частности, учитель математики, обучая своих учеников практической геометрии, показывал, как работают гидравлические машины, мельницы и другие механические устройства.

Естественно, не все были довольны перевесом реальных учебных предметов. Появились сторонники другого, так называемого классического или гуманитарного образования. Практическое воплощение дискуссия о разнице и преимуществах того и другого образования нашла уже в следующей реформе образования во второй половине XIX века и выразилось это в учреждении классических и реальных гимназий [5].

Передовые педагоги того времени говорили о специфических особенностях обучения в различном возрасте, т. е. о дифференциации обучения по основным возрастным группам. К ним относятся: известный просветитель И.Ф.Богданович (1758-1831); педагог, доктор медицины, философ И.М.Ястребцов (1797-1870), Е.О. Гугель (1804-1842) - известный педагог, автор многих учебных книг, один из издателей «Педагогического журнала» [15].

В середине XIX века началась новая реформа среднего образования. Ее политическим фоном была обострившаяся борьба против крепостного права. После его отмены традиционная система подготовки учащихся к определенной профессии (прикладное реальное среднее образование) было подвергнуто резкой критике, что нашло отражение в новом Уставе 1864 года. В нем учреждались классические и реальные гимназии, причем фуркация начиналась с первого класса. Фуркацией обучения называлось разделение учебных планов и программ с целью специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы [5].

Необходимо особо отметить, что в этом уставе учителям гимназии предоставлялась достаточно широкая свобода в преподавании. Если прежде не разрешалось отступать от программы, принятого учебника, то теперь педагогический совет каждой гимназии был вправе сам решать, по какой программе и какому учебнику следует обучать учащихся. Это - достаточно современная ситуация.

Позже такое деление на классические гимназии и реальные училища было признано ошибочным в силу очень ранней возрастной специализации, когда дети еще не определили свои склонности, способности, интересы. Классическая гимназия соответствовала одностороннему гуманитарному образованию филолого-грамматического направления. В реальных училищах общее образование давалось в первых четырех классах; с пятого класса вводилась специализация по двум отделениям - основному и коммерческому с разными курсами; с 7-го класса учащиеся могли выбрать одно из отделений: общее, механическое или химическое [5]. В этих училищах большое значение придавалось курсам математики - чистой и прикладной. Фактически механическое отделение соответствовало современному углубленному изучению математики и физики.

Именно в конце XIX века из отдельных элементов стала складываться система дифференцированного обучения, его теоретическое обоснование. Большой вклад по этому вопросу внесли работы видного педагога-просветителя В.Я. Стоюнина (1826-1888), педагога и психолога П.Ф. Каптерева (1849-1922). В работе «О разнообразии и единстве общеобразовательных курсов» поражают звучащие абсолютно современно мысли о необходимости дифференциации обучения в старших классах [7]. Основой дифференциации называются различные индивидуальные особенности учащихся. При этом П.Ф. Каптерев учитывал психологический аспект индивидуальных особенностей учащихся [32].

Проблемами дифференциации обучения интересовался и другой видный ученый, педагог К.П.Яновский (1822-1902). Ему принадлежат работы, в которых обсуждаются вопросы, актуальные и по сей день. Вот названия нескольких его работ: «Самодеятельность учащихся», «Отношение обучения к воспитанию», «Врожденные качества и способности и развитие последних посредством воспитания» [10].

Таким образом, к концу XIX столетия в образовании сложилась такая ситуация, когда, с одной стороны, педагогическая и методическая науки накопили много новых положений и идей в теории обучения, а, с другой стороны, имела место старая общеобразовательная система с ранней специализацией учащихся, не соответствующая достижениям педагогической психологии. Сложившееся противоречие, естественно, не могло не привести к новой реформе образования. Преобразования касались как всей системы обучения в целом, так и обучения отдельным предметам. Особенно сильным изменениям подверглась система обучения математике. Своеобразным итогом движения за реформу образования были исторические 1-й и 2-й Всероссийские съезды преподавателей математики.

На них впервые учителя и ученые-математики имели возможность обсудить важнейшие проблемы преподавания математики в школе. По существу, съезды подвели итог всей огромной работы в области преподавания математики в школе и выработали далеко идущие перспективные планы на будущее [10].

После съездов Министерство народного просвещения не могло не прислушаться к мнению столь авторитетного коллектива, и уже в 1915 году были решены важнейшие проблемы реформы школьного образования, в том числе проблема фуркации. В старших классах предусматривалось четыре отделения:

§ ново-гуманитарное;

§ гуманитарно-классическое;

§ естественное;

§ математическое.

Комиссия по математике во главе с К.А.Поссе разработала учебные планы и программы по математике для каждого отделения. Но этим проектам не суждено было сбыться из-за начавшейся вскоре революции. Хотя идея фуркации привлекала передовых педагогов и после революции, однако перестройка всей системы народного образования, ликвидация неграмотности, тяжелые годы войны приостановили реформу математического образования.

п.3. Школа в XX в

С 27 декабря 1911 года по 3 января 1912 года в Петербурге прошел первый Всероссийский съезд преподавателей математики, а через два года - 2-ой съезд в Москве. Одна из главных задач, решаемых на 1-ом съезде - это обновление содержания школьного курса математики, сближение его с математической наукой, доступное введение важнейших идей современной математики. В школьную программу было предложено ввести некоторые разделы, которые сблизили бы школу с высшими учебными заведениями. Но где взять необходимое время? Для выхода из данной ситуации на 2-ом съезде, осуществлявшемся под руководством Министра просвещения П.Н.Игнатьева, развивалась идея профильного обучения [5]. По предложенной структуре 4-7 классы гимназии разделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную.

В первые же годы советской власти 1-ым Всероссийским съездом работников просвещения (1918 г.) был провозглашен тезис о единой, трудовой и политехнической школе, объясняющий новые социально-экономические преобразования в нашей стране, предусматривающий профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы. В старших классах средней школы выделялись три направления: гуманитарное, естественно математическое и техническое.

Была взята четкая ориентация на профессиональное образование. Важным шагом в построении новой системы образования был проведенный в 1918 году 1-й Всероссийский съезд по просвещению, на котором принимались основные документы «Положение о единой трудовой школе» и «Основные принципы единой трудовой школы». В период подготовки съезда вопрос о фуркации в старших классах обсуждался и вошел в первоначальный проект документов. Предполагалась фуркация по трем направлениям образования: гуманитарному, естественно-математическому и техническому - для того, чтобы удовлетворить склонности молодежи и облегчить ей выбор профессии.

В 1934 году ЦК ВКП(б) и Совет Народных комиссаров СССР принимают постановление «О структуре начальной и средней школы в СССР», предусматривающее единый учебный план и единые учебные программы [35].

Про фуркацию обучения учащихся в зависимости от их интересов, природных способностей и склонностей забыли почти до середины 50-х годов. Именно в это время, время социальных преобразований, в нашей стране началось движение за новую реформу школьного образования [32].

В 1957 году Академия педагогических наук выступила инициатором проведения эксперимента, в котором предполагалось провести дифференциацию по трем направлениям: физико-математическому и техническому; биолого-агрономическому; социально-экономическому и гуманитарному [8].

В 1958 году вышла новая программа по математике для средней школы. В нее уже входили элементы высшей математики [28].

К началу 60-х годов в нашей стране стала складываться сеть специализированных математических школ и классов, что было связано с потребностью большого количества специалистов по прикладной математике, прежде всего программистов, инженеров, конструкторов и т. д. Возникло два типа математических школ и классов. Во-первых, при ведущих университетах и вузах были открыты математические школы-интернаты для особо одаренных ребят и, во-вторых, в некоторых общеобразовательных школах были созданы специализированные математические классы, позже названные классами с углубленным изучением математики. В этих классах было увеличено количество часов для изучения математики, расширена программа по сравнению с общеобразовательным курсом, в основном, за счет введения тем из курса математического анализа: теории пределов, дифференциальных уравнений и т. д. Программа по геометрии нового материала практически не содержала [33].

Следующий шаг в совершенствовании дифференциации обучения был сделан в начале 1988 года. В феврале этого года состоялся Пленум ЦК КПСС, посвященный вопросам образования, на котором был рассмотрен комплекс мер по обновлению школы. В частности, был принят тезис о необходимости дифференцированного обучения, направленного на развитие индивидуальных особенностей учащихся. Начался новый современный этап дифференцированного обучения.

10 июля 1992 года был принят Закон Российской Федерации «Об образовании» [34], подписанный Б.Н.Ельциным, способствовавший закреплению вариативности и многообразию типов и видов образовательных учреждений и образовательных программ. Согласно этому закону всеобщей обязательной объявлялась лишь основная девятилетняя школа. И как следствие началось преобразование школ в лицеи, гимназии, колледжи.

Из всего сказанного выше можно сделать вывод:

1. Идея дифференцированного обучения является отнюдь не новой для нашей отечественной школы. Она берет начало с периода правления Петра I. Проследив дальнейшую историю нашего государства, видно, что реформы образования происходили одновременно с общественными преобразованиями в периоды коренных перестроек.

2. Предмет математика признавался всеми и включался как обязательный в учебные заведения всех типов и во все времена.

3. Высказывалось мнение о том, что математика развивает ум, необходимый человеку для работы в любой научной области, в любой профессии.

4. Создавались учебные заведения, в основе дифференциации которых лежали не только сословные различия, но и индивидуальные особенности, и интересы учащихся.

§2. Дифференциация в обучении математике

В педагогической психологии, дидактике, а также в школьной практике широко используются термины «индивидуальный подход», «индивидуализация обучения», «дифференцированное обучение», «дифференциация образования» и другие. Эти термины нередко употребляются как синонимы, но в то же время в содержании каждого из этих понятий имеются свои существенные признаки.

Продемонстрируем это следующими определениями.

Н.Э.Унт: «Индивидуализация - это учет в процессе обучения индивидуальных особенностей учащихся во всех его формах и методах независимо от того, какие особенности и в какой мере учитываются»; «Дифференциация - это учет индивидуальных особенностей учащихся в той форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения, обычно обучение в этом случае происходит по несколько различным учебным плана и программам» [7].

Педагогическая энциклопедия: «Индивидуализация определяется как организация учебного процесса, при котором выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к обучению» [8].

Г.Д. Глейзер: «Дифференцированный подход - это система управления индивидуальной деятельностью учащихся с учетом как индивидуальных психологических различий отдельных обучаемых, так и доминирующих особенностей групп учащихся» [16].

О.Б. Епишева: «Дифференциация обучения - создание различий между частями образовательной системы с учетом одного или нескольких направлений»; «Индивидуальный подход - ориентация на индивидуально-психологические особенности учеников, включение в работу с ними специальных способов и приемов, соответствующих их индивидуальным особенностям» [20].

С.А. Изюмова: «Дифференцированное обучение - учет индивидуальных особенностей в той форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения. Создаются относительно гомогенные группы (классы) для обучения по отдельным учебным планам и программам» [22].

Г.В. Дорофеев: «Дифференциация - такая система обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям» [19].

В.А. Гусев: «Дифференцированное обучение учитывает доминирующие особенности групп учащихся, и в этом отношении можно считать это обучение одним из средств достижения индивидуального подхода. При этом уровень эффективности этого обучения зависит от возможностей выявления и учета индивидуальных особенностей групп учащихся и от уровня разработки управления учебно-познавательной деятельностью учащихся» [18].

Приведенные высказывания свидетельствуют о тесной взаимосвязи понятий дифференциации и индивидуализации обучения.

В современной школе одной из возможных форм учета индивидуальных особенностей учащихся является дифференциация обучения. Существует два основных вида дифференциации: уровневая и профильная.

Уровневая дифференциация выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на разных уровнях.

Перечислим ряд условий, предложенных Г.В.Дорофеевым [19], выполнение которых необходимо для успешного и эффективного осуществления уровневой дифференциации:

1. Выделенные уровни усвоения материала и обязательные результаты обучения должны быть открытыми для учащихся. Если цели известны и посильны ученику, а их достижения поощряется, то подросток стремится к их выполнению, т. е. формируются положительные мотивы учения, сознательное отношение к учебной работе; можно привлечь самооценку ученика для организации дифференцированной работы.

2. Наличие определенных «ножниц» между уровнем требований и уровнем обучения. Уровень требования должен быть в целом существенно выше, чем обязательный уровень усвоения материала. То есть уровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что, предлагая ученикам, одинаковый объем материала, предъявляют различные уровни требований к его усвоению. В силу этого ученик должен иметь учебник, в котором были бы предусмотрены (и явно выделены) все уровни усвоения материала (в том числе и минимально обязательные).

3. В обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении ученика по уровням. То есть не следует предъявлять более высоких требований тем учащимся, которые не достигли уровня обязательной подготовки, но при этом не следует необоснованно задерживать остальных на этом этапе.

4. Содержание контроля и оценка должны отражать принятый уровневый подход. Контроль должен предусматривать проверку достижения всеми учащимися обязательных результатов обучения как государственных требований, а также дополняться проверкой усвоения материала на более высоких уровнях. При этом достижении обязательных результатов целесообразно оценивать «зачтено» - «не зачтено», для более высоких уровней целесообразно разработать соответствующую шкалу оценивания (например, отметка «4», «5»).

5. Добровольность в выборе уровня усвоения и отчетности. Уровневую дифференциацию можно организовать в разнообразных формах. Основной путь осуществления дифференциации обучения - формирование мобильных групп учащихся [19].

Профильная дифференциация осуществляется через фуркацию старших классов школы по направлениям физико-математическому, гуманитарному, техническому и экономическому. В учебном плане каждого направления математика является обязательным предметом, изучаемым от 3 до 9 часов в неделю в зависимости от профиля [22].

Профильное обучение - средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования [14].

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.

Профильная дифференциация (или дифференциация по содержанию) предполагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимися глубиной изложения материала, объемом сведений или даже номенклатурой включенных вопросов [19].

Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные [24].

Базовые общеобразовательные предметы являются обязательными для всех учащихся во всех профилях обучения (предлагается определенный набор предметов).

Профильные общеобразовательные предметы - предметы повышенного уровня, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Профильные учебные предметы должны являться обязательными для учащихся, выбравших нужный им профиль обучения [34].

Содержание указанных двух типов учебных предметов составляет федеральный компонент государственного стандарта общего образования. В обязательный минимум содержания основных образовательных программ по математике входят: числовые и буквенные выражения, функции и графики, начала математического анализа, уравнения и неравенства, геометрия, а также, новые для нашей школы разделы: элементы статистики и теории вероятностей [34], [36].

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне, другие элективные курсы служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий, такие курсы, в частности, могут содержать самые разные задачи, расширяющие и углубляющие представления учащихся о выбранной сфере деятельности [23].

В последнее время у нас стали появляться школы с углубленным изучением ряда технических предметов в старших классах. В таких школах, по сравнению с обычными, увеличено число часов на одну-две гуманитарные дисциплины (за счет сокращения времени, отводимого на русский язык, историю и т. д.). Математика входит в число обязательных учебных предметов, так как математика более, чем любой другой учебный предмет школы, способна помочь в развитии логического мышления, в развитии многих качеств научного мышления, таких, как критичность, обобщенность к анализу и синтезу. Такие качества речи, как краткость, сжатость и ясность, более всего воспитываются математикой. Однако математика может иметь разный удельный вес в общеобразовательной подготовке ученика по времени, отводимому на ее изучение, а также по глубине и охвату рассматриваемого материала [21].

В настоящее время обучение математике как одному из наиболее сложных школьных предметов нельзя понимать однозначно. Оно должно быть многоуровневым, причем каждый уровень должен регламентироваться своими целями. И определяя эти цели, необходимо соблюдать следующие условия:

§ Возрастные особенности учащихся;

§ Уровень строгости изложения материала, соответствующий уровню развития учащихся;

§ Четкое определение объема изучаемого материала.

Наряду с решением основной задачи обучения математике углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

В старшей школе углубленное изучение математики отвечает возрастным возможностям и потребностям школьников. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к обычному [39].

Углубленное изучение математики на старшей ступени обучения предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. Обучение должно обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжение образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры [41].

Программа учитывает в старшей школе общие и специфические цели углубленного изучения математики в целом.

Раздел «Требования к математической подготовке учащихся» задает примерный объем знании, умений и навыков, которыми должны овладеть школьники. В этот объем входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых всеми учащимися предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы; однако предполагается иное, более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой сложности, по сравнению с обязательным уровнем, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательствах теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой, применять рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований, использовать наиболее употребительные эвристические приемы и т.д.[34].

Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умения учащихся при углубленном изучении математики ни в коем случае не должны быть завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведет к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики в старшей школе согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов.

Раздел «Содержание обучения» включает полное содержание курса математики соответствующих классов общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям. Включены также самостоятельные разделы, которые в настоящее время в школе не изучаются, однако являются важными содержательными компонентами системы непрерывного математического образования [34].

Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой - восполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

Программа предусматривает возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты. Дополнительные вопросы и темы, отмеченные квадратными скобками и т.п., при желании можно не изучать, что позволяет учителю, включая или исключая все или некоторые из этих вопросов, варьировать объем изучаемого материала и соответственно степень углубления и расширения курса в зависимости от конкретных условий.

Отдельные вопросы, отмеченные в программе звездочками, представляют материал повышенной трудности - эти вопросы можно изучать в ознакомительном порядке [34].

Содержание обучения (X-XI классы)

Элементы математического анализа

«…» Производная. [Дифференциал.] Геометрический и механический смысл производной. Непрерывность и дифференцируемость функций.

Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных элементарных функции.

Вторая производная; ее геометрический и механический смысл. Производная высших порядков. *Формула Тейлора. Приближенное вычисление значений элементарных функций*. «…»

Приложения математического анализа

Приложения производной к исследованию функций. Теорема Лагранжа и ее следствие. Исследование функций на возрастание и убывание. Достаточные условия экстремума. [Выпуклость; точки перегиба. Наклонные асимптоты.] Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке (конечном и бесконечном).

Применение производной к приближенным вычислениям. Использование производной в физических задачах.

В разделе «Тематическое планирование учебного материала» данной программы предлагаются варианты планирования, ориентированные на использование действующих учебников и на учебные пособия для школ и классов с углубленным изучением математики.

Планирование исходит из учебного плана для школ и классов с углубленного изучения математики, согласно которому в старшей школе изучают два учебных предмета - алгебра и математический анализ (5-6 часов в неделю в X классе, всего 187 часов и 5 часов в неделю в XI классе, всего 170 часов) и геометрия (3 часа в неделю, всего 102 часа в каждом классе).

Учителю предоставляется право самостоятельного построения курса. При этом он может выбрать учебники из числа действующих в массовой школе, пробных и специально предназначенных для углубленного изучения математики.

Тематическое планирование учитель разрабатывает применительно к выбранному учебнику, учитывая подготовленность класса, интересы учащихся и т.д. При этом он может варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, переставлять темы, включать в них некоторые дополнительные теоретические вопросы или ограничиться программой массовой школы, полное изучение которой в любом случае является обязательным.

Углубленное изучение математики предполагает, прежде всего, наполнение курса разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение основным программным материалом на более высоком уровне [40].

В старшей школе с углубленным изучением математике возрастает роль теоретических знаний, становятся весьма значительными такие их качества, как системность и обобщенность. Значительное место на этом этапе должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для поступающих в вузы, где математика является профилирующим предметом.

В связи с тем, что в классы с углубленным изучением приходят школьники с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе должны быть включены повторение и систематизация опорных знаний.

Исходя из сказанного выше, можно сделать вывод, что оба вида дифференциации - уровневая и профильная - взаимосвязаны и сосуществуют на всех ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается профильной дифференциации, хотя она может уже проявляться и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий и факультативных курсов.

§3. Психолого-педагогические особенности обучения математике

п.1. Психолого-педагогические особенности учащихся, способных к математике

В проектах, относящихся к среднему образованию, подчеркивается необходимость учета психофизиологической самобытности различных возрастных этапов, реальных психофизиологических возможностей каждого ребенка, личностного аспекта образования. Дифференциацию и индивидуализацию образования и воспитания предлагается строить, учитывая способности и склонности учеников.

Однако для реализации этого положения нужно знать, каковы реальные соотношения психофизиологических возможностей учащихся, их способностей и склонностей в различные возрастные периоды и как они отражаются на обучении.

Из данных, приведенных в статье Э.А.Голубевой и др. «Опыт комплексного исследования учащихся в связи с некоторыми проблемами дифференциации обучения» [41], следует, что успешность учения в наибольшей степени связана с характеристиками общих свойств нервной системы, в меньшей степени - с видами склонностей и совсем в малой степени - с видами направленности. Однако, отмечается, что при исследовании математических способностей старшеклассников эгоистическая направленность личности ограничивает возможности раскрытия способностей, и, напротив, коллективистическая направленность создает более благоприятные условия для реализации потенциальных возможностей.

В рамках традиционной системы обучения явное преимущество у учащихся с преобладанием способностей к переработке информации, т. е. относящихся к типу мыслителей. У учащихся, относящихся к данному типу, хорошо развиты математические способности. Самое значительное исследование по данной проблеме принадлежит советскому психологу В.А. Крутецкому и изложено в его книге «Психология математических способностей школьников» [25], в которой выделена следующая структура математических способностей:

1. Получение математической информации (способность к формализации математического материала);

2. Переработка математической информации (способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, способность сокращать процесс рассуждений, мыслить свернутыми структурами, способность к оперированию числовой и знаковой символикой);

3. Хранение математической информации (математическая память);

4. Общий синтетический компонент (математическая направленность ума).

В старшем школьном возрасте под влиянием школьного обучения у способных школьников возникает разностороннее восприятие математического материала, то есть когда одна и та же задача или одно и тоже математическое выражение воспринимается, оценивается с разных точек зрения. Если более способный ученик отвлекается от конкретных данных и воспринимает только соотношения между величинами, то менее способный ученик видит лишь конкретные предметы, с которыми нужно производить какие-то действия [25].

Способность улавливать общее в разных задачах и примерах и видеть разное в общем начинает складываться у школьников раньше всех других способностей. Для способных к математике старшеклассников характерно обобщение математического материала и перевод уже общей задачи к еще более общему виду. Если менее способный к математике подросток, решая задачи в общей форме, решает, тем самым, все задачи данного типа, то старший школьник решает не только данный тип задачи, но и более общую задачу, частным случаем которой является та, которую он решает [38].

У учеников, менее способных к математике, рассуждение и система соответствующих действий начинают свертываться сразу при решении задач. Что же касается способных учащихся старших классов, то у них отсутствует процесс свертывания. Они в процессе математической деятельности мыслят сокращенными структурами. С одной стороны, свернутость математического мышления обеспечивает школьникам дальнейший путь решения задачи и увеличивает скорость переработки математической информации. С другой стороны, это приводит к возникновению трудностей, с которыми старшеклассники сталкиваются, когда необходимо развернуть рассуждения и восстановить все упущенные звенья. Иногда учащиеся затрудняются обосновать свой ход мыслей, поскольку для них эти математический факты являются очевидными [38].

Способные к математике школьники в ходе поиска других решений демонстрируют гибкость мыслительного процесса и по собственной инициативе находят различные пути решения задач. Менее способные учащиеся с трудом переключаются с одной умственной операции на другую. Они склонны к шаблонным ходам мысли.

Еще одна особенность у склонных к математике учащихся - рационализация действий при решении задач. Если для менее способных старшеклассников цель заключается в том, чтобы решить задачу, то для способных к математике она заключается в том, чтобы решить ее наилучшим, наиболее экономным способом. Хотя подросткам и не всегда удается найти наиболее рациональное решение задачи, в большинстве случаев они избирают путь, который быстрее и легче приводит к решению задачи [38].

Память у способных к математике учащихся имеет две особенности. Первая - один и тот же математический материал хранится в памяти одновременно на разных уровнях обобщения. У неспособных учеников слабая память на математические обобщения, но такие учащиеся имеют хорошую память в не математической области (литература, география, история, биология), причем хорошо помнят не только фактический, конкретный материал, но и мысли, схемы, рассуждения, обобщения и выводы. Вторая особенность математической памяти способных учеников в том, что они хорошо помнят общие методы подхода к решению задач, часто в виде общей идеи решения. Неспособные ученики помнят только конкретные данные, которые относятся к задаче.

Психолого-педагогические особенности учащихся математических и гуманитарных классов, выделенные методистами и психологами, позволяют провести их сравнительный анализ [37]:

1. У учащихся гуманитарных классов преобладает наглядно-образное мышление, а у учащихся математических - абстрактно-логическое.

2. Восприятие красоты математики направлено у учащихся гуманитарных классов на ее проявления в живой природе, в произведениях искусства, в конкретных математических объектах. Учащиеся математических классов красоту математики видят в необычных, нестандартных и неожиданных решениях задач.

3. На уроках математики у учащихся гуманитарных классов внимание может быть устойчивым в среднем не более 12 минут. У учащихся математических классов внимание может быть устойчивым от 20 до 25 минут.

4. У гуманитариев наибольшим интересом пользуются вопросы истории математики, прикладные аспекты, занимательный материал. Математики предпочитают решение нестандартных задач, исследовательских проблем.

5. Среди форм работы на уроке гуманитарии предпочитают следующие: объяснение учителем нового материала, лабораторные работы, деловые игры, выполнение индивидуальных заданий с привлечением научно-популярной литературы. Математики - индивидуальные карточки, задания повышенной трудности, нестандартные задачи, требующие большего внимания и сообразительности.

6. Из методов самостоятельной работы гуманитарии выбирают коллективные. Математики чаще действуют совершенно индивидуально.

7. У математиков богаче развито абстрактное воображение, чем у гуманитариев, сильнее проявляется сдержанность эмоций.

Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников.

Поэтому для успешного осуществления дифференцированного обучения необходимо многостороннее изучение психологических и психофизиологических, индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, а также создание учебных программ, учебников, разработки новых методик.

п.2. Психолого-педагогические особенности старшеклассников

В настоящее время школы испытывает значительные трудности, одна из причин которых видится в том, что обучение и воспитание недостаточно опирается на комплекс имеющихся психолого-педагогических знаний о формировании и развитии личности ученика. Формирование личности происходит, прежде всего, в школьные годы, поэтому педагогам надо изучать индивидуальные особенности учащихся, создавать условия для реализации их творческих устремлений.

Старший школьный возраст (14-16 лет) - это переходный период между подростковым и юношеским возрастом [32].

Развитие познавательных процессов учащихся старших классов достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные. У старшеклассников отмечается способность делать выводы на основании частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т.е. способность к индукции и дедукции. Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста - это умение оперировать гипотезами.

К старшему школьному возрасту, дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического и словесно-логического мышления. Одновременно наблюдается интеллектуализация всех познавательных процессов. Долгое время развитием таких сторон интеллекта были: здравый смыл, смекалка, интуиция. В структуру практического интеллекта, на совершенствование которого следует обращать особое внимание в старших классах, входят такие качества ума, как предприимчивость, экономичность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать имеющиеся задачи. Предприимчивость наблюдается в том, что в сложной жизненной ситуации человек способен находить несколько решений возникшей проблемы, а главное в том, что какая бы проблема перед ним не стояла, он всегда в состоянии отыскать ее оптимальное решение в практическом плане. Экономность как качество практичного ума состоит в том, что человек, обладающий этим качеством, в состоянии найти такой способ действия, который с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату. Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять и оценивать их результаты [32].

Умение оперативно решать поставленные задачи - динамическая характеристика практического интеллекта. Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественно возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку со всех сторон. Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой альтернативы при решении одних и тех же задач [32].