Изучение темы "Производная" в классах с углубленным изучением математики

У большинства старшеклассников уже отчетливо выражена дифференциация интересов и предпочтение тех или иных видов деятельности. Один любит умственный труд, другой - физический, третий - общение с людьми, четвертый - общественную работу, пятый - увлекается всем поочередно, а шестой - ко всему равнодушен.

Сфера познавательных, в том числе учебных интересов подростка выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию - характерная особенность подросткового и юношеского возраста. Развитие самосознания старшеклассников выражается в применении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда, в проявлении ощущения взрослости. Все это приводит к переосмысливанию содержания целей и задач деятельности. Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и теоретически (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). На этом этапе развития подросток способен самостоятельно выбирать нужную ему ту или иную информацию. Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям. Одновременно с этим складывается новое отношение к учению, особенно в последних классах школы. «Старшеклассники, ведущую деятельность которых называют учебно-профессиональной, начинают рассматривать учебу как необходимую базу, предпосылку будущей профессиональной деятельности. Их интересует главным образом те предметы, которые им будут нужны в дальнейшем» [38]. Специфика юности, заключается в том, что именно в эти годы идет активный процесс становления мировоззрения, и к окончанию школы мы имеем дело с человеком, более или менее определившимся с взглядами. Самоопределение, как профессиональное, так и личностное, становится новообразованием ранней юности.

Исключительно многогранен и сам процесс воспитания старшеклассника. Юность, как завершающий этап первичной социализации, ставит перед школой и главным образом перед родителями три основные задачи «...подготовить старшеклассника, во-первых, к труду, во-вторых, к семейной жизни, в-третьих, к общественно-политической деятельности» [37].

Старший школьный возраст - это время профессионального самоопределения. Очень важно в эти годы окончательно выявить и по мере возможности развить те способности, на основе которых можно было бы разумно и правильно осуществлять выбор профессии, ведь устремленность в будущее только тогда благотворно влияет на формирование личности, когда есть удовлетворение настоящим, т. е. при благоприятных условиях развития старшеклассники стремятся в будущее не потому что ему плохо в настоящем, а потому что впереди будет еще лучше.

п.3. Развитие и особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте

Важнейшей задачей обучения математике является развитие мышления и воображения учащихся. Конечно, развитие мышления и воображения учащихся происходит в процессе обучения всех учебных предметов, в процессе собственной деятельности и общения детей со взрослыми и сверстниками в повседневной жизни. Однако роль обучения математике в развитии этих психических процессов очень велика. Рассмотрим отдельные вопросы, связанные с развитием мышления и воображения в процессе обучения математике.

Мышление есть психический процесс, с помощью которого человек устанавливает внутренние свойства объектов познания, которые нельзя обнаружить с помощью восприятия, а также связи и отношения между объектами. Поэтому мышление есть внечувственный процесс решения задач (в широком смысле) [17].

Иногда мышление делят на теоретическое и практическое в зависимости от типа поставленных задач.

Теоретическое мышление - это установление и познание свойств, законов и закономерностей в познаваемых объектах. Практическое мышление - это подготовка и планирование физического преобразования объектов. Очень важно различение интуитивного и рассуждающего (аналитического, логического) видов мышления. Рассуждающее мышление протекает осознанно, оно развернуто по этапам и во времени [17].

Интуитивное же мышление протекает в основном неосознанно, достаточно быстро во времени, и его процесс имеет свернутый характер, не выраженный поэтапно. Наконец, часто мышление делят на репродуктивное и продуктивное (творческое). Репродуктивное мышление - это решение ситуаций по известным правилам и алгоритмам. Продуктивное же мышление - это нахождение новых способов решения проблем, вообще создание чего-то нового, ранее неизвестного для данного человека или общества. Наиболее важным свойством мышления является его прогностичность. С помощью мышления мы намечаем цели (цель - это предвидимый результат действия или поступка), разрабатываем планы осуществления этих целей.

Мышление (при участии воображения и памяти) анализирует, оценивает наше прошлое, строит наше настоящее и прогнозирует наше будущее.

В методике математики говорят еще об аналитическом, и синтетическом методах решения задач, имея в виду ход рассуждений в процессе решения: от требования к условиям или наоборот - от условий к требованию задачи.

В процессе обучения, необходимо, обращать внимание учащихся на абстрактный и идеальный характер изучаемых математических понятий, объяснять, зачем и почему это делается, учить их видеть вокруг себя реальные прототипы абстрактных математических понятий.

А так же в обучении математике предпочтительно пользоваться теоретическим обобщением. При изучении фундаментальных понятий следует сначала дать учащимся общее представление об этом понятии. Затем его обогащать, углублять, конкретизировать.

В процессе обучения математике учащиеся овладевают многими понятиями. Однако процесс овладения понятием, как правило, протяженный во времени и не сводится лишь к усвоению определения понятия. Многие понятия математики сначала даются учащимся в абстрактном виде. В процессе дальнейшего изучения они обогащаются, углубляются и уточняются.

Как видим, мыслительная деятельность человека очень сложна, поэтому овладение учащимися мыслительной деятельностью - процесс длительный. Некоторые психологи во главе с Жаном Пиаже считают, что этот процесс спонтанный, что умственное развитие ребенка является процессом самостоятельным и независимым от обучения, он имеет свои собственные внутренние закономерности.

Что касается роли обучения математике в развитии мышления, то Жан Пиаже писал: «Это большая ошибка - думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно и спонтанно» [38].

Л.С. Выготский указывал, что обучение должно ориентироваться на еще не сложившиеся, но внутренне возникающие виды деятельности [41]. Обучение какой-либо деятельности должно проводиться в зоне ближайшего развития, в которой ребенок еще самостоятельно не может выполнить данную деятельность, но уже может ее выполнить при помощи взрослого (учителя). Выполняя эту деятельность при помощи постоянно уменьшающейся помощи учителя, ребенок переходит из зоны ближайшего развития на уровень актуального развития, когда он уже эту деятельность может выполнять вполне самостоятельно.

В настоящее время особое внимание уделяется развитию мышления старшеклассников [32]. Производительный труд и производственное обучение в системе трудового воспитания предъявляют к учащимся серьезные требования. У них вырабатывается активная жизненная позиция, более сознательное отношение к выбору будущей профессии, к самоопределению и самопознанию, прививаются навыки трудовой и учебно-познавательной деятельности. Более сложные содержания и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений применять на практике приемы и операции мышления. Резко возрастает способность в самоконтроле и самовоспитании, в знаниях своих способностей и возможностей их реализации, развивается инициатива. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным.

Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит, в конечном счете, к пониманию важности теории и стремлению применять ее на практике.

Для старшеклассников важна значимость самого умения, его задач, целей, содержания и методов. Изменение значимости умения оказывает решающее влияние на отношение ученика не только к учебе, но и к самому себе. Старшеклассник проявляет углубленный интерес к самому себе, к своему мышлению. Это во многом способствует развитию таких качеств, как наблюдательность, избирательность, критичность. Изменяются и мотивы учения, так как они приобретают для старшеклассников важный жизненный смысл. Характерно также неуклонное возрастание сознательности, усиление роли обобщений и абстракций в мыслительной деятельности; старшеклассники понимают общее значение конкретных фактов, понимают, что конкретный образ выступает не только как факт, взятый сам по себе, но и как выразитель общего. Речь идет о понимании связи между отдельными понятиями: особенным и общим, которая лежит на основе познавательной деятельности человека [37].

В современной школе задача развития мышления решается попутно с усвоением учащимися программного материала и не выделяется как самостоятельная. Дидактические основы развития мышления учащихся - это законы и закономерности процесса обучения, в особенности закон единства обучения и развития и закон активности учащихся в обучении и воспитании. Они находят отражение в ряде дидактических принципов, которые при благоприятных условиях способствуют управлению развитием мышления учащихся.

Если обучение организованно системно, логично, целенаправленно, то оно обогащает детей чувственным опытом, развивает их речь, наблюдательность стимулирует любознательность, стремление к поискам и открытиям. Особенно сильное воздействие оказывает деятельность, в которой объединяются учебные и трудовые, теоретические и практические задачи.

Педагогическое управление процессом развития мышления школьников может достичь своей цели лишь тогда, когда общается единство рационально отобранного и дидактически обработанного содержания, адекватных и хорошо отработанных мыслительных операций и действенных, специально значимых мотивов учебно-познавательной деятельности учащихся при учете индивидуальных различий в их мышлении.

Мышление старшеклассников необходимо не только стимулировать, но и специально развивать на протяжении всех лет обучения в школе.

п.4. Развитие и особенности формирования памяти в старшем школьном возрасте

Память в жизни людей играет существенную роль. Без памяти человек не мог бы ничему научится, запомнить то, что усвоено, сохранить на будущее впечатления о правильных действиях и допущенных ошибках. Человек запоминает, воспроизводит и использует в нужный момент те знания, которые повторяются и которые, иначе, каждый раз пришлось бы находить заново.

Память является основой репродуктивного мышления, которая обеспечивает понимание нового материала, применения знаний на практике. Именно на основе репродуктивного мышления происходят: решение задач по «знакомой субъекту структуре <...> актуализируются ранее сформированные системы связей, обеспечивающие их правильное, логически обоснованное выполнение» [37]. Таким образом, репродуктивное мышление обеспечивает прочность знаний, готовность к их актуализации в соответствии с конкретными познавательными задачами. Однако, важную роль играет не только репродуктивное мышление, но и продуктивное, которое предполагает выход за пределы имеющихся знаний.

Существует мнение, что память в продуктивном мышлении играет отрицательную роль, так как считают, что память тормозит процесс поиска нового. Но для того, чтобы открыть новое, необходимо владеть старым материалом, иметь широкий объем знаний, достаточных для движения вперед. [33].

Мышление и память являются необходимым условием учебного процесса, поскольку формируют мыслительную и познавательную деятельность учащихся.

При обучении решению задач необходимо учитывать особенности учащихся, которые выбрали тот или иной профиль обучения: (технический, гуманитарный, естественнонаучный и др.). В техническом профиле математика является основным аппаратом будущей деятельности. При обучении математике необходимо учитывать психолого-педагогические особенности учащихся [38]. А именно:

- необходимо при обучении учитывать эффект «начала и конца» (т.е. ученик лучше всего запоминает информацию, полученную на начало урока и под его конец, а значит, учителю нужно на начало урока четко формулировать цели урока, а под конец занятия четко повторить то, что было пройдено на уроке);

- устойчивость внимания на уроке 20 - 25 минут;

- предлагать учащимся нестандартные задачи, которые требуют большого внимания и сообразительности;

- у учащихся должно преобладать абстрактное мышление.

А также следует учитывать индивидуальные особенности мышления и памяти учащихся.

Процессы памяти у разных людей протекают неодинаково. Принято выделять две основные группы индивидуальных различий в памяти: в первую группу входят различия в продуктивности заучивания, во вторую - различия типов памяти.

Различия в продуктивности заучивания выражаются в скорости, прочности и точности запоминания, а так же к готовности воспроизведения материала. Известно, что одни люди запоминают быстро, другие медленно, одни помнят долго, другие быстро забывают, одни воспроизводят точно, другие допускают много ошибок, одни могут запомнить большой объем информации, другие запоминают всего несколько строк. Так для людей с сильной памятью характерно быстрое запоминание и длительное хранение информации.

В психологии память рассматривается как сложный многоуровневый процесс, в котором присутствуют два аспекта: биологический, имеющий большее отношение к органической памяти - «мнеме», и социальный, связанный с возможностями управления собственной памятью, с овладением способами ее организации и развития [22]. Эти два аспекта, как правило, исследуются отдельно в неперекрещивающихся работах. Если исследовать память одних и тех же людей - от наиболее элементарных процессов до сложных форм процесса мышления, то результатом запоминания были выделены два вида мнемических способностей: способности к запечатлению и способности к смысловой переработке информации. Способности к запечатлению определяются точностью и детальностью запоминания зрительных объектов (формы и цвета), а также особенностями следовой памяти. Второй вид способностей тесно связан с умениями раскрыть внутреннюю структуру материала, с владением приемами смысловой переработки, позволяющими его логически организовать, укрупнить, что уменьшает нагрузку на механизмы непосредственной памяти и увеличивает ее возможности. Предполагается, что в основе первого вида способностей лежит индивидуальная склонность пользоваться преимущественно образной формой при запоминании, а второго - вербально-логической.

У детей с математическим складом ума высоко развита словесно-логическая функция, а именно - способность к обобщению математического материала, к отвлеченному мышлению. Поэтому память этих школьников должна характеризоваться хорошо выраженными способностями к переработке информации, формированию которых, благоприятствует высокое развитие перечисленных выше качеств [22].

Особенности памяти подростков с гуманитарными способностями могли проявиться в большей степени в определенных показателях способностей к зрительному усвоению информации. Поскольку для них свойственны более непосредственная связь с реальным миром, целостное схватывание его объектов; можно думать, что их воспроизведение будет отличаться большим приближением к оригиналу, наполнением конкретными деталями и, следовательно, более развитой зрительной памятью [22].

Исходя из сказанного, делаем вывод, что мнемические способности у подростков математического и гуманитарного направления будут определенным образом связаны с личностными особенностями этих детей.

Следовательно, изучение производной в старших классах в школах профильной направленности должно проходить с учетом психолого-педагогических особенностей учащихся, выбравших тот или иной профиль обучения. В нашем случае, мы рассматривали особенности учащихся, для которых математика будет служить основной сферой деятельности.

Глава II. Методика изучения темы «Производная» в классах с углубленным изучением математики

§1. Различные подходы к изложению темы «Производная»

В школьных учебниках существуют различные подходы к изложению темы «Производная». В этом параграфе речь пойдет о различных вариантах изложения этой темы в учебниках для классов с углубленным изучением математики и учебниках для общеобразовательных школ.

I. Изучение темы «Производная» начинается с введения понятия «гладкой» кривой. Графики функций, которые учащиеся изучали ранее (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности, ), являются «гладкими» кривыми.

II. Выясняются особенности устройства «гладкой» кривой.

III. Даётся понятие о касательной:

Прямую, проходящую через точку (х0, f(х0)), с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях x близких к х0, называют касательной к графику функции f в точке (х0, f(х0)).

IV. Ставится задача: определить точное положение касательной к
графику данной функции f в заданной точке (геометрический смысл
производной). Делается вывод, что можно точно определить для каждой гладкой кривой положение касательной в данной точке.

V. Решается задача об определении мгновенной скорости движения (механический смысл производной).

VI. Составление общей схемы решения рассмотренных задач:

1. С помощью формулы задающей функцию f, находим ее приращение в точке х0: Дf=f(x+Дх)-f(x);

2. Находим выражение для разностного отношения :

;

3. Выясняем, к какому числу стремится , если считать, что Дх стремится к нулю.

VII. Определение производной дается без использования понятия предела.

Определение: Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Дх стремящемся к нулю.

VIII. Вводится понятие дифференцируемой функции в точке, понятие производной как функции, название операции нахождения производной, ее обозначение. Выделяются формулы дифференцирования, полученные в ходе объяснения материала.

IX. Вводится понятие о непрерывности функции и правила о предельном переходе.

X.Формулируются и доказываются основные правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного, вынесения множителя за знак производной. Производная степенной функции формулируется на интуитивной основе. Определяется понятие сложной функции и выводится формула ее дифференцирования. Выводятся и доказываются формулы дифференцирования тригонометрических функций.

XI. Применение непрерывности и производной, метод интервалов.

Дается понятие касательной к графику дифференцируемой в точке функции (геометрический смысл производной). Выводится уравнение касательной и теорема Лагранжа. Рассматриваются приближенные вычисления.

XII. Производная в физике и технике (механический смысл производной). Примеры применения производной.

XIII. Применения производной к исследованию функций: признак возрастания (убывания) функции, критические точки функции, признак максимума и минимума (экстремумы). Примеры применения производной к исследованию функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Даются исторические сведения.

XIV. После изучения логарифмической, показательной и степенной функций, определяется их производная.

XV. Вводится понятие о дифференциальных уравнениях: использование второй производной, дифференциальные уравнения показательного роста и показательного убывания, гармонические колебания, падение тел в атмосферной среде (дополнительный материал теоретического характера, отмечен треугольником). Исторические сведения.

Итоги анализа. Изучение производной в учебнике [2] представлено на двух уровнях:

1) На наглядно-интуитивном, на котором создается материальный образ математического объекта. Производная рассматривается с двух позиций: как угловой коэффициент касательной; как мгновенная скорость движения.

2) На формально-логическом, где определение производной дается без использования понятия предела.

I. Изучение темы «Производная» начинается с рассмотрения задачи о мгновенной скорости.

II. Рассматривается связь между средней и мгновенной скоростью движения.

III. Вводится понятие разностного отношения, производной, ее обозначение.

IV. Определение производной.

Определение: Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, х - точка этого промежутка и число h?0 такое, что x+h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения при h>0 (если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке х. Таким образом, .

V. Вводится понятие дифференцируемой функции в точке, название операции нахождения производной.

VI. Выводятся формулы для производных функции: х2, х3, kx+b.

VII. Выводится строгое определение предела функции и дается его пояснение. Определяется понятие непрерывной функции.

VIII. На интуитивном уровне дается производная степенной функции. По определению производной вычисляются формулы:

С'=0, (х)'=1, (х2)'=2х, (х3)'=3х2, ,

После вводятся правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного, вынесения множителя за знак производной. Формулируется правило вычисления сложной функции.

IX. Даются производные элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической и тригонометрической.

X. Применение правил дифференцирования к решению задач. Изучается геометрический смысл производной. Выводится уравнение касательной к графику функции.

XI. Применение производной к исследованию функций на нахождение промежутков возрастания и убывание. Даются определения возрастающей (убывающей) функции. Формулируется теорема Лагранжа для доказательства теорем о достаточных условиях возрастания (убывания) функций.

XII. Определяются понятия критических и стационарных точек, точек максимума и минимума (экстремумы). Формулируется теорема Ферма, имеющая наглядный геометрический смысл, с помощью которой доказывается теорема о необходимом и достаточном условии для точек максимума и минимума.

XIII. Рассматривается применение производной к построению графиков функций. Предлагается схема исследования свойств функции, а также алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

XIV. Применение производной к решению задач на оптимизацию (дополнительный повышенной трудности материал, отмечен звездочкой).

XV. Вводится дополнительный более сложный материал: производная второго порядка, нужная для определения выпуклости графика функции и нахождения точек перегиба.

К учебнику [1] прилагается соответствующий задачник. Его содержание построено на уровневой дифференциации. Задания содержат трехуровневую систему: обязательные (выделены серым цветом), дополнительные более сложные (выделены светло-розовым цветом), трудные (выделены темно-розовым цветом). Так же в задачнике есть раздел «Проверь себя».

Итоги анализа. В данном учебнике [1] введение понятия производной предваряется знакомством со средней и мгновенной скоростями движения, что приводит к понятию разностного отношения. Определение производной дается как предел разностного отношения. Понятие предела формулируется после определения производной без подробного изучения, а определение предела разностного отношения дается на интуитивной основе и разъясняется на конкретных примерах. При нахождении производных простейших функций пользуются наглядными представлениями. Это соответствует той идее курса, согласно которой элементы математического анализа в средней школе, излагаются на наглядно-интуитивной основе с акцентом на их практическое применение к решению простейших задач математики и физики.

Данная книга состоит из двух частей - учебник и задачник. Содержание учебника [3] отличается от содержания учебника [29] для профильного уровня (который проанализирован ниже) отсутствием глав о действительных и комплексных числах, числовых функциях. Ведение темы «Производная» практически полностью совпадает с учебником для профильного уровня. Отличие состоит в том, что в учебнике для общеобразовательных школ и классов не изучаются следующие понятия: вторая, третья производная, производная n-ого порядка; производная обратных функций; не вводится понятие сложной функции, но подробно рассматривается дифференцирование функции у=f(kx+m); не рассматривается применение производной для доказательства тождеств и неравенств, т.к. все это материал повышенной трудности и излагается в классах с углубленным изучением математики.

Задачник имеет четырехуровневую систему заданий.

Итак, в изложении темы «Производная» в рассматриваемых учебниках [1], [2], [3] алгебры и начал анализа для учащихся старших классов имеются общие моменты: изложение темы дается на наглядно-интуитивном уровне, на котором создается материальный образ математического объекта, дается формальное определение производной.

А так же имеются различия: в учебнике А.Н.Колмогорова [2] нет понятия предела, оно интерпретируется понятием «стремится». В учебнике А.Г.Мордковича [3] понятие предела дается на наглядно-интуитивном уровне перед изучением понятия производной. В учебнике Ш.А.Алимова [1] при изложении темы «Производная» используется понятие предела, которое формулируется после определения производной, но подробно не рассматривается, формируется оно на интуитивной основе.

I. Изучение темы «Производная» начинается с рассмотрения физической задачи (на вычисление мгновенной скорости прямолинейного движения).

II. Выясняется, что будет пониматься под касательной к произвольной плоской кривой.

Дана кривая L (рис.1) на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М - точку Р. Проведем секущую МР. Далее будем приближать точку Р по кривой L к точке М. Секущая МР будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некоторое предельное положение секущей; эту прямую - предельное положение секущей - называю касательной к кривой L в точке М.

III. Рассматривается задача о касательной к графику функции. В процессе решения задачи на скорость и задачи на касательную пришли к новой математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. В учебнике вскользь сказано о том, что многие задачи из других областей знаний приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучать, т.е.:

1) присвоить ей новый термин;

2) ввести для нее обозначение;

3) исследовать свойства новой модели.

IV. Определение производной.

Определение: Пусть функция y=f(x) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение Дх, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции Ду и составим отношение . Если существует предел этого отношения при условии Дх>0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке х и обозначают f'(x).

Итак,

V. Физический (механический) смысл производной: если s(t) - закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v=s'(t).

Геометрическая смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f'(а) выражает угловой коэффициент касательной: k=f'(a).

VI. Истолкование определения производной с точки зрения приближенных равенств.

VII. Дается пяти-шаговый алгоритм отыскания производной. Затем рассматриваются два примера на использование этого алгоритма.

VIII. Вводится понятие дифференцируемой функции в точке, название операции нахождения производной.

IX. Обсуждается вопрос: как связаны между собой два достаточно тонких свойства функции - непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

X. Выясняется - как по графику сделать вывод о дифференцируемости функции.

XI. Даются формулы дифференцирования, найденные по определению производной: С'=0, (х)'=1, (kx+m)'=k, (х2)'=2х, , (x>0), (sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx. После вводятся правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного, вынесения множителя за знак производной, в результате которых выводятся формулы производных для тангенса и котангенса. На интуитивном уровне определяется формула для дифференцирования степенной функции.

XII. Дается понятие второй, третьей производной и производной n-ого порядка. Делается вывод, что ускорение есть вторая производная координаты по времени, а это является механическим смыслом второй производной.

XIII. Дается определение композиции (сложной функции). Выводится формула для нахождения производной сложной функции. Вычисляется производная для функции у=f(kx+m), а также формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций - арксинус и арккосинус.

XIV. Выводится уравнение касательной к графику функции в точке. Предоставляется алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

XV. Определяется в процессе рассуждений смысл приближенных вычислений.

XVI. Применения производной: для исследования функции на монотонность (связь между характером монотонности и знаком ее производной); для доказательства тождеств и неравенств; для построения графиков функций.

Формулируются: признак возрастания (убывания) функции, определение критической точки функции, признак максимума и минимума (экстремумы), теорема о постоянстве функции; теорема о нахождении точек максимума и минимума.

Вводятся понятия горизонтальной и вертикальной асимптот. Приводятся алгоритмы: исследования функции на монотонность и экстремумы; исследования функции и построение ее графика; нахождения наименьших и наибольших значений непрерывной функции на промежутке.

XVII. Рассматриваются задачи на оптимизацию.

XVIII.После изучения логарифмической и показательной функций, определяется их производная.

К учебнику [29] прилагается соответствующий задачник. Он содержит два блока системы упражнений, выстроенных по каждой теме: первый блок состоит из базового уровня (никак не отмечен) и среднего уровня трудности (отмечен белым кружком), второй блок - из дополнительных заданий среднего уровня и заданий повышенной трудности (отмечены черным кружком). Количество задач представлено в достаточном и даже избыточном объеме, что дает возможность реализовать уровневую дифференциацию на уроке.

Итоги анализа. Изложение темы «Производная» представлено на наглядно-интуитивном, рабочем и формально-логическом уровне. Определение производной дается с использованием понятия предела, которое вводится перед изучением данной темы на наглядно-интуитивном уровне.

Материал в учебнике [29] излагается доступно с большим числом подробно решенных примеров. Большинство проводимых рассуждений не претендует на формальную строгость, а являются лишь правдоподобными рассуждениями. Приоритет отдается функционально-графической линии.

I. Изучение темы «Производная» начинается с введения понятия приращения функции и формулировки правила его вычисления.

II. Потом рассматриваются дифференцируемые функции. При помощи предела дается определение дифференцируемой функции в точке. На примере доказываются дифференцируемости функций х2 и х3.

III. Рассматривается пример на прямолинейное движение, которое задано формулой х=kt+х0. Потом выясняется, что k выражает как скорость движения, так и угловой коэффициент графика этого движения.

Доказывается теорема о дифференцируемости функции при существовании предела

.

IV. Определение производной.

Определение: Производной функции f называется функция f', значение которой в точке х выражается формулой:

.

V. После введения определения производной через предел, дается трехшаговое правило нахождения производной по определению:

1) найти выражение для приращения f(х+h)-f(х) функции f;

2) разделить это выражение на приращение аргумента h;

3) найти предел полученного отношения при h>0.

VI. Выводятся формулы для отыскания производных следующих функций: (kx+b)'=k, (х2)'=2х, (х3)'=3х2.

VII. Вводится понятие дифференциала функции. Формулируется понятие дифференциала функции df=f'(х)dx. На основании этого формулируется определение вычисления приближенного значения функции.

VIII. На примере задачи определяется мгновенная скорость. Рассматривается пример с радиоактивным распадом и выясняется, что производная есть мгновенная скорость изменения функции.

IX. Рассматривается пример, в котором формулируется определение касательной: «Касательной прямой к кривой Г в точке А называют предельное положение секущей АМ, когда точка М приближается по кривой к точке А» (геометрический смысл производной). Выводится уравнение касательной: у=f(х0)+f'(х0)(х-х0).

X. Рассматривается связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Формулируется соответствующая теорема.

XI. Вводятся правила дифференцирования: линейной комбинации функции, вынесения общего множителя за знак производной, производной суммы, произведения, дроби, степенной функции. Формулируются и доказываются соответствующие теоремы.

XII. Определяется вторая производная f''=(f')', что означает ускорение изменения данной функции. Дается определение производной высшего порядка.

XIII. Рассматривается применение производной: для нахождения экстремумов; для отыскания наибольших и наименьших значений функции на отрезке; для исследования функций на возрастание и убывание.

Даются определения: максимума и минимума функции. Определяется правило отыскания наибольших и наименьших значений функции на отрезке.

Формулируются и доказываются теоремы: о знаке приращения; о точке экстремума; о непрерывности функции на отрезке; о достаточном условии экстремума.

XIV. Формулируется теорема Лагранжа и ее следствия.

XV. Применение производной: для исследования графиков функций на выпуклость и отыскания точек перегиба; для доказательства неравенств.

Доказываются соответствующие теоремы и следствия.

XVI. Предлагается схема построения графиков функций, включающая в том числе точки разрыва, асимптоты, исследование на выпуклость и нахождение точек перегиба.

XVII. Изучается бином Ньютона (а+х)n. Запись бинома Ньютона через факториал. Изучается некоторые свойства биноминальных коэффициентов.

XVIII. Для повышенного уровня изучения представлены приложения бинома Ньютона для приближенных вычислений, а также приближенное решение уравнений методом хорд и касательных (отмечены звездочкой).

XIX. После изучения тригонометрических функций, даются их производные и производные обратных тригонометрических функций.

XX. Изучается дифференцирование композиции функции.

XXI. После изучения показательной и логарифмической функций, выводятся формулы их дифференцирования.

XXII. Рассматривается дифференциальное уравнение процессов органического изменения.

Итоги анализа. Понятие производной вводится на основе определения предела, которое изучается ранее. Все определения, теоремы, следствия имеют доказательства. Терминология имеет строгую формулировку, строгую доказательную структуру, более других учебников приближен к первым разделам вузовского курса математического анализа.

I. Изучение темы «Производная» начинается с рассмотрения трех задач: на вычисление мгновенной скорости прямолинейного движения, на вычисление тангенса угла наклона касательной к графику функции, на вычисление силы тока. Определяются понятия приращения функции и дифференцирования функции.

II. Определение производной.

Определение: Производной функции y=f(x),заданной на интервале (а;b), в точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е. .

III. Определяется механический (v(t)=f'(t)) и геометрический (угол наклона касательной) смыслы производной.

IV. Вводятся правила дифференцирования: производная суммы, разности, произведения, частного, вынесения множителя за знак производной. Вводятся формулы дифференцирования элементарных функций: производная степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических функций. Доказываются соответствующие теоремы.

V. Вводится понятие дифференциала функции. Формулируется понятие дифференциала функции df=f'(х)dx (df=dу). Вычисляются приближенные значения функции.

VI. Определяется производная сложной функции.

VII. Вводится производная обратной функции (отмечено звездочкой, для углубленного изучения).

VIII. Формулируются определения: максимальной, минимальной, критической точек. Применение производной: для нахождения точек максимума и минимума функции; для нахождения возрастания и убывания функции.

IX. Выводится уравнение касательной.

X. Формулируются и доказываются теоремы Ролля и Лагранжа.

XI. Определяются вторая производная и производные высших порядков, а также механический смысл второй производной.

Применение второй производной для определения выпуклости и вогнутости графика функции, а также геометрический смысл второй производной (отмечено звездочкой, для углубленного изучения).

XII. Рассматриваются особенности экстремума функции с единственной критической точкой. Решаются задачи на оптимизацию.

XIII. Использование производных для построения графиков функций (с применением второй производной).

XIV. Вводится дополнительный углубленный материал, отмеченный звездочкой: на нахождение асимптот (рассматриваются дробно-линейные функции), на разложение функции в ряд Тейлора.

Итоги анализа. Введение понятия производной предваряется знакомством со средней и мгновенной скоростями движения, с тангенсом угла наклона касательной, что приводит к понятию разностного отношения. Определение производной дается как предел разностного отношения. Понятие предела изучается ранее. При нахождении производных простейших функций пользуются наглядными представлениями. Представлен достаточный по объему дополнительный и углубленный материал, что позволяет учащимся более широко и глубоко овладеть знаниями.

Итак, в изложении темы «Производная» в рассматриваемых учебниках [4], [12], [29] для учащихся старших классов с углубленным изучением математики имеются общие моменты: изложение темы ведется на наглядно-интуитивном уровне, определение производной дается после изучения предела; приводится вывод уравнения касательной; дифференцирование функций: сложных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных; вторая производная и производные высших порядков; вычисление приближенных значений величин; применение производной для нахождения максимального и минимального, наименьшего и наибольшего значений, определения промежутков монотонности функции; для исследования функций и построения их графиков.

Также имеются различия: в учебнике А.Г.Мордковича [29] вторая производная не используется для нахождения промежутков выпуклости функции, не формулируется теорема Лагранжа, зато производная применяется для доказательства тождеств и неравенств с помощью исследования на монотонность. В учебнике С.М.Никольского [4] формулируются теоремы Ролля и Лагранжа для нахождения промежутков выпуклости функции, рассматриваются особенности экстремума функции с единственной критической точкой, а также вывод формулы и ряда Тейлора. В учебнике Н.Я.Виленкина [12] формулируется теорема Лагранжа, рассматривается бином Ньютона, а также его приложения для приближенных вычислений, изучается тема о приближенном решении уравнений методом хорд и касательных с использованием теоремы Лагранжа, рассматривается дифференциальное уравнение процессов органического изменения.

Основные принципы изучения темы «Производная» в этих учебниках практически схожи, но различия все равно существуют и по большей степени в приложении производной.

В учебниках [1], [2], [3] для общеобразовательных школ понятие производной дается либо без понятия предела, либо с этим понятием, только без его строгого определения. В общеобразовательных учебниках не изучаются производные обратных тригонометрических функций, а также многие приложения.

В учебниках [4], [12], [29] для классов с углубленным изучением математики понятие производной дается через понятие предела с предварительным и подробным его изучением. Подробно рассматриваются различные приложения производной.

Практически в большинстве своем весь материал алгебры и математического анализа представляет собой концентрную форму построения (или точнее схему серпантина, внеся в понимание концентрной формы некоторые изменения).

Рассмотрим существующие варианты построения учебных курсов для школьников. «С точки зрения логики построения объяснений и изучения учебного материала в качестве основных следует выделить два подхода: линейный и концентрический» [8].

Итак, в школе построение учебных курсов по предметам осуществляется по двум основным схемам: линейное и концентрное (этот термин взят из работы А.Н.Колмогорова [39], еще встречается термин «концентрическое» [39], обозначающий то же самое), причем как в явном виде, так и в различных комбинациях, образуя огромное множество всевозможных вариантов.

По линейному принципу, при котором каждая следующая тема оказывается новой, построена большая часть всех школьных предметов. Вообще же линейное расположение учебного материала предполагает, что каждый раздел учебного курса изучается с той степенью глубины и подробности, которую требуют задачи преподавания без возвращения к нему на следующих этапах обучения. При этом изучение любой новой темы не является обобщением или расширением предыдущей темы, оно лишь опирается на изученный ранее материал. «Исходя из общих положений дидактики, а также из выводов психологической педагогики и педагогической психологии, применимость линейного подхода объяснений является ограниченной. В наибольшей степени он используется при изложении учебного материала и построении объяснений по естественнонаучным дисциплинам» [8].

Концентрное же построение учебного курса предполагает периодический возврат к ранее изученному и формирование на его основе новых знаний по той же теме. Такое построение содержит заранее предполагаемую возможность изучения части учебного материала повторно, но с разной степенью углубления на нескольких ступенях обучения. «Такой способ изложения является более общим, так как основан на многократном повторном обращении к одной и той же теме, что приходится с необходимостью делать, во-первых, при более углубленном изложении материала и, во-вторых, при «выходе» на одну и ту же тему по мере изложения тематики смежных, пограничных областей знаний» [8].

Важно понимать, что развитие любой науки не происходит линейно, наука развивается как бы по спирали. Учебный же предмет, это как бы проекция самой науки на мыслительную деятельность общекультурного человека, или как сказал В.В. Давыдов [23], на плоскость усвоения. Сама же программа учебного предмета отражает только лишь перечень вопросов, подлежащих усвоению, но не определяет стиля их изложения. А ведь от стиля изложения материала программы зависит успех вообще всего обучения и он же определяет методику.

Обратим внимание на то, что обе системы построения учебных курсов обладают рядом определенных недостатков. Так, при линейном построении наблюдается достаточно высокая интенсивность набора (приобретения) понятий и методов подлежащих изучению. А при концентрном изложении затрачивается достаточно много времени, что при нынешнем дефиците часов весьма существенно.

Причинами не успешности детей в изучении предметов является отсутствие у них возможностей вернуться и изучить еще раз все то, что изучали с самого начала. Разумеется, возврат не означает вдалбливание, возврат - означает активную работу в простых или частных случаях и последующую работу по расширению формируемой базы знаний, т.е. построение учебного предмета в развивающем ключе. К этому следует добавить, что математика в группе профильных предметов достаточно объемна по своему содержанию, а уровень предметной подготовки (по соотнесению с требованиями к поступающим в вузы) должен быть достаточно основателен, поэтому выстраивание этого курса не по линейному принципу представляется весьма целесообразным.

Может сложиться впечатление, что концентрная система изучения материала, оказывая помощь ребенку с недостаточным уровнем подготовки, будет тормозить развитие сильного (мотивированного) ученика. Однако это не так. Ввиду того, что концентрная система не предполагает пропедевтики, пока «слабый» осваивает, сильный уже на этом материале будет решать содержательные задачи. Это же означает, что появляется возможность для действенного учета индивидуальных возможностей и склонностей обучающихся, что, как говорят психологи, способствует сохранению психологически комфортной обстановки в учебном процессе [38].

Принимая во внимание все вышесказанное, получается, что процесс усвоения знаний оптимизируется при возможном построении учебной деятельности с элементами целенаправленных возвратов к изученному содержанию для последующего расширения формируемой базы знаний. Таким образом, курс алгебры и начал математического анализа для старших классов с углубленным изучением математики наиболее целесообразно построить в концентрной форме, или - в схеме серпантина, внеся в понимание концентрной формы некоторые изменения.

Серпантинное построение не предполагает изучение пропедевтических разделов, оно позволяет выстраивать курс сразу так, что на каждом витке возврата происходит расширение уже имеющихся знаний по данной теме. Суть серпантинного построения учебного курса (и, как следствие, метода обучения) состоит в том, что учебный материал, составляющий несколько разделов (тем), предлагается не в виде систематического курса, а в виде нескольких завершенных внутри себя элементов. При этом первый элемент, как первый виток серпантина, задает и знакомит ученика с небольшим по объему понятийным аппаратом и всеми основными изучаемыми методами и приемами. Каждый же следующий виток лишь расширяет уже имеющуюся понятийную базу, незначительно привнося в него методы (имеются в виду методы решения задач). К этому можно добавить, что четкое овладение материалом первого витка помогает активному встраиванию в работу по освоению любого следующего, поскольку фундаментальность подготовки на первом витке, способствует легкому продвижению на каждом следующем.

Отличие серпантинного метода от концентрного заключено в том, что при концентрном построении происходит возврат ко всему изученному материалу, а при серпантинном изучении возврат происходит лишь по отношению к изученным методам, понятийная же база претерпевает только расширение. Преимущества этого построения довольно-таки значительные: во-первых, нет излишней траты времени, во-вторых, нет опасности потери интереса у сильных учащихся. К тому же серпантинное построение представляется как более мягкая форма концентрного построения.

При построении элементов математического анализа, как правило, в действующих учебниках [1], [2], [3], [12] сначала учат правилам дифференцирования функций, а потом применению производной к исследованию функций и решению сюжетных задач. При серпантинном изложении математического анализа сначала рассматриваются только функции, заданные полиномами, и на их примере показываются возможности математического анализа и только после этого изучаются правила дифференцирования других функций, но уже сразу с практическими приложениями, что позволяет достичь перманентности и доступности изучения школьниками основ одномерного анализа.

§2. Методическая разработка по теме «Производная» для классов с углубленным изучением математики

Предлагаемая методическая разработка предназначена для классов с углубленным изучением математики, изучающих курс алгебры и начал анализа по учебнику Н.Я.Виленкина «Алгебра и математический анализ» 10, 11 кл. для школ с углубленным изучением математики.

Разработка включает в себя: конспекты уроков, презентацию, дополнительные задачи для самостоятельного решения.

Содержание обучения (X-XI классы) [27].

(к учебному пособию [12])

В квадратных скобках […] указаны вопросы и темы для дополнительного изучения. Звездочками *…* отмечен материал повышенной трудности.

X класс: 1 полугодие - 5 ч. в неделю,

2 полугодие - 6 ч. в неделю, всего 187 ч.

Производная и ее применение (50 ч.)

Приращение функции.

Производная. [Дифференциал.] Геометрический и механический смысл производной. Непрерывность и дифференцируемость функций.

Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной и обратной функции. Производная степенной функции. Вычисление производных.

Вторая производная; ее механический смысл. Производная высших порядков. [*Формула Тейлора. Приближенное вычисление значений элементарных функций*.]

Приложение производной к исследованию функций. Теорема Лагранжа и ее следствия. Исследование функций на возрастание и убывание. Достаточное условие экстремума. [Выпуклость. Точки перегиба. Наклонные асимптоты.] Построение графиков функций. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке (конечном и бесконечном).

Применение производной к приближенным вычислениям.

Использование производной в физических задачах.

Тригонометрические функции (40 ч.)

«…» Производные тригонометрических функций.

«…» [Производные обратных тригонометрических функций.] «…»

Резерв времени (17 ч.)

XI класс: 5 ч. в неделю, всего 170 ч.

Показательная и логарифмическая функции (40 ч.)

«…» Производная и первообразная показательной функции. Число е. Натуральные логарифмы. «…»

Резерв времени (18 ч.)

Конспект урока

по теме «Приращение функции»

Тема урока: Производная. Приращение функции.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

- общеобразовательная: передача новых знаний и умений по изучению нового материала, ввести понятия приращения аргумента и приращения функции, сформулировать правило нахождения приращения функции;

- воспитательная: формирование у учеников концентрации внимания на уроке при изучении нового материала;

- развивающая: развитие навыков восприятия нового материала.

Литература: [12] глава V,§ 1, пункт 1; [11]; [26]; [30].

Ход урока

План проведения урока:

1. Организационный момент - 2 мин.

2. Изложение нового материала - 20 мин.

3. Закрепление нового материала - 15 мин.

4. Подведение итогов урока - 5 мин.

5. Задание на дом - 3 мин.

I. Сегодня мы с вами начинаем изучать большой и серьезный раздел математического анализа под названием «Производная и ее приложения».