Изучение темы "Производная" в классах с углубленным изучением математики

II. Итак записываем тему урока «Приращение функции».

(Ученики записывают тему у себя в тетрадях. Учитель начинает объяснение материала.)

Многие вопросы практики сводятся к отысканию разности значений функции в двух точках. Например, возьмем q(t) - количество электричества, протекшее через данное сечение проводника к моменту времени t, тогда количество электричества, протекшее через это сечение за некоторый промежуток времени [a;b], можно выразить формулой q(b)-q(а).

Если f(t) - координата прямолинейного движения точки, то разность f(b)-f(а) показывает, в какую сторону и на сколько переместилась эта точка за промежуток времени [a;b].

Расстояние, на которое переместилась точка, равно |f(b)-f(а)|. При этом если f(b)-f(а)>0, то перемещение совершается в положительном направлении, а если f(b)-f(а)<0, то в отрицательном.

Итак, введем и запишем следующее определение:

(Учащиеся, выслушав объяснения учителя, записывают определение.)

Определение 1: Разность х-а называют приращением аргумента при переходе от а к х, а разность f(х)-f(а) - приращением функции f при этом переходе.

Заметим, что как приращение аргумента, так и приращение функции могут быть не только положительными, но и отрицательными и даже равны нулю.

В дальнейшем мы будем обозначать приращение аргумента буквой h, т.е. положим х-а=h. Тогда х=а+h. Соответствующее приращение функции равно f(а+h)-f(а).

Итак, запишем правило.

Чтобы найти приращение функции f при переходе от а к а+h, надо:

а) найти значение функции f в точке а;

б) найти значение функции f в точке а+h;

в) из второго значения вычесть первое.

Запишем пример.

Пример 1: Найти приращение функции х3, если начальное значение аргумента равно 4, а приращение аргумента равно 0,1.

(На доске учитель пишет решение и рассуждает вместе с учениками.)

Решение: Имеем: 43=64. если аргумент 4 увеличится на 0,1, он станет равен 4,1. Соответствующее значение функции х3 равно 4,13=68,921. Значит, приращение функции х3 при переходе от 4 к 4,1 равно 68,921-64=4,921.

Ответ: приращение функции равно 4,921.

(Учитель спрашивает учеников, всем ли понятно, что сейчас делали. Если кому-то не понятно, учитель еще раз объясняет ход решения.)

Давайте рассмотрим следующий пример.

Пример 2: Найдите приращение площади квадрата, если длину а его стороны увеличить на h.

(Учитель рисует на доске чертеж.)

Решение: У нас дана сторона квадрата равная а, значит, площадь его равна а2. Если длину а увеличить на h, получится квадрат, площадь которого равна (а+h)2. приращение площади квадрата произошло за счет присоединения Г-образной фигуры. Тогда давайте найдем площадь этой фигуры, т.е. приращение площади квадрата:

(а+h)2-а2=2аh+h2.

Ответ: приращение площади квадрата равно 2аh+h2.

Пример 3: Найдите приращение функции х3 при переходе от а к а+h.

(Учитель просит помогать ему в решении данного задания, т.к. аналогичное уже решалось. Для этого учитель просит посмотреть учеников на запись, сделанную в самом начале урока: нахождение приращения функции по правилу (поэтапно).)

Решение: Так как f(х)=х3, то f(а)=а3 и f(а+h)=(а+h)3. Значит,

f(а+h)-f(а)=(а+h)3-а3. Но (а+h)3=а3+3а2h+3аh2+h3.

Поэтому искомое приращение равно:

(а+h)3-а3=(а3+3а2h+3аh2+h3)-а3=3а2h+3аh2+h3=(3а2+3аh+h2)h.

Ответ: приращение функции равно (3а2+3аh+h2)h.

Пример 4: Найдите приращение линейной функции f(х)=kx+b.

Решение:

Пусть f(х)=kx+b. Тогда f(а)=kа+b и f(а+h)=k(а+h)+b.

Значит, f(а+h)-f(а)=k(а+h)+b-(kа+b)=kа+kh+b-kа-b=kh.

Ответ: приращение линейной функции равно kh.

Это равенство показывает нам, что приращение линейной функции при переходе от а к а+h пропорционально приращению h с коэффициентом пропорциональности k.

Сформулируем и запишем теорему о приращении линейной функции.

Теорема: Приращение линейной функции kx+b пропорционально приращению h аргумента, причем коэффициент пропорциональности равен k.

III. (Далее учащимся предлагается следующий набор задач.)

№ 380. Запишите приращение функции f в точке а:

(Решение демонстрирует учитель.)

1) f(х)=х2+х, а=3, h=0,1.

Давайте еще раз посмотрим, записанное нами в начале урока, правило нахождения приращения функции. Оно выполняется в три этапа. Будем действовать по ним. Запишем:

а) f(а)=а2+а, f(3)=32+3=9+3=12,

б) f(а+h)=(а+h)2+(а+h), f(3+0,1)=f(3,1)=(3,1)2+3,1=9,61+3,1=12,71,

в) f(а+h)-f(а)=12,71-12=0,71.

Ответ: приращение функции равно 0,71.

(Учитель спрашивает учеников, все ли им понятно в данном решении. Потом по очереди вызывает учеников к доске для дальнейшего решения упражнения.)

2) f(х)=7+2х-х2, а= -1, h=0,001.

(Ученик выполняет задание по правилу нахождения приращения функции.)

а) f(а)=7+2а-а2, f(-1)=7+2(-1)-(-1)2=7-2-1=4,

б) f(а+h)=7+2(а+h)-(а+h)2,

f(-1+0,001)=f(-0,999)=7+2(-0,999)+(-0,999)2=7-1,998-0,998001=

=5,002-0,998001=4,003999.

в) f(а+h)-f(а)=4,003999-4=0,003999.

Ответ: приращение функции равно 0,003999.

3) f(х)=3х+х3, а=2, h= -0,1.

а) f(а)=3а+а3, f(2)=3·2-23=6-8=-2,

б) f(а+h)=3(а+h)-(а+h)3, f(2-0,1)=f(1,9)=3·1,9-(1,9)3=5,7-6,859=-1,159.

в) f(а+h)-f(а)=-1,159-(-2)=0,841.

Ответ: приращение функции равно 0,841.

№ 381. Для функции 2х+3 найдите приращение аргумента и функции на отрезке:

1) [2; 2,3].

f(х)=2х+3, а=2, b=2,3, значит, h=2,3-2=0,3.

а) f(а)=2а+3, f(2)=2·2+3=4+3=7,

б) f(а+h)=2(а+h)+3=f(b)=2b+3, f(2,3)=2·2,3+3=4,6+3=7,6,

в) f(а+h)-f(а)=f(b)-f(а)=7,6-7=0,6.

Ответ: приращение функции равно 0,6.

2) [-2,2; -2].

f(х)=2х+3, а= -2,2, b= -2, значит, h=-2-(-2,2)=0,2.

а) f(а)=2а+3, f(-2,2)=2·(-2,2)+3=-4,4+3=-1,4,

б) f(b)=2b+3, f(-2)=2·(-2)+3=-4+3=-1,

в) f(b)-f(а)=-1-(-1,4)=0,4.

Ответ: приращение функции равно 0,4.

№ 382. Аргумент функции получил приращение h и принял значение х1. Найдите приращение функции, если:

1) , h=0,37, х1=4,61.

Найдем начальное значение а до приращения: а=х1-h=4,61-0,37=4,24.

а) , ,

б) , ,

в) f(х1)-f(а)=1,9-1,8=0,1.

Ответ: приращение функции равно 0,1.

№ 385. Найдите приращение площади круга, когда радиус R=4 см получил приращение h.

1) f(R)=рR2, h=0,2 см.

а) f(R)=р·42=16р (см2),

б) f(R+h)=р(R+h)2, f(4+0,2)=f(4,2)=р(4,2)2=17,64р (см2),

в) f(R+h)-f(R)=17,64р-16р=1,64р (см2).

Ответ: приращение площади круга равно 1,64р (см2).

IV. Итак, подведем итоги сегодняшнего урока. Мы с вами познакомились с понятием «приращение функции», записали правило нахождения приращения функции, и прорешали примеры на данную тему, а также мы изучили теорему о приращении линейной функции. Давайте еще раз повторим записанное правило и сформулируем теорему.

(Учитель опрашивает учеников по очереди.)

V. Домашнее задание: из учебника страница 165 № 382 (2), 383, 385 (2), 386.

Конспект урока по теме «Производная»

Тема урока: Производная.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

-общеобразовательная: ввести понятие производной функции, сформулировать умение вычислять производную по определению;

- воспитательная: формирование у учеников коллективной работы в классе;

- развивающая: развитие логического мышления и памяти.

Литература: [12] глава V,§ 1, пункт 3; [11]; [30]; [31].

Ход урока

План проведения урока:

1. Организационный момент - 2 мин.

2. Повторение - 4 мин.

3. Изложение нового материала - 18 мин.

4. Закрепление нового материала - 15 мин.

5. Подведение итогов урока - 4 мин.

6. Задание на дом - 2 мин.

I. Сегодня мы с вами непосредственно подошли к изучению темы «Производная».

II. Давайте повторим прошлую тему урока «Дифференцируемые функции». Сформулируйте определение дифференцируемой функции.

Определение: Функция f называется дифференцируемой в точке а, если ее приращение при переходе от а к а+h можно представить виде f(а+h)-f(а)=(k+б)h, где h - малое значение, k - число, а функция б бесконечно мала при h>0, .

Линейная функция дифференцируема при всех значениях х.

III.Записываем тему урока «Производная».

(Ученики записывают тему у себя в тетрадях. Учитель начинает объяснение материала.)

Если точка М совершает прямолинейное движение по оси с постоянной скоростью k, то ее координата в момент времени t выражается формулой х=kt+х0, где х0 - начальная координата точки. Построим график этого движения, выбрав масштаб, при котором единичный отрезок на оси абсцисс соответствует единице измерения времени, а на оси ординат - единице измерения длины. Тогда мы получим прямую линию с угловым коэффициентом k. Таким образом, число k выражает как скорость движения, так и угловой коэффициент графика этого движения. При этом приращение функции kt+х0 равно kh.

Естественно предположить, что аналогичную роль должно играть число k в равенстве:

f(х+h)-f(х)=(k+б)h, (1)

характеризующем дифференцируемость функции f. Потом мы увидим, что оно является, с одной стороны, мгновенной скоростью движения, а с другой стороны, угловым коэффициентом касательной, проведенной к графику функции f в точке с абсциссой х.

В виду важности указанного коэффициента выясним, как вычислить его. Для этого перепишем равенство (1) в виде:

,

где, напомним, функция б бесконечно мала при h>0. Из определения предела следует, что в этом случае имеем:

. (2)

Обратно, если выполнено равенство (2), то разность бесконечно мала при h>0 и поэтому f(х+h)-f(х)=(k+б)h, где . Мы доказали следующую теорему. Давайте ее запишем.

(Учащиеся записывают теорему у себя в тетрадях.)

Теорема 1: Функция f дифференцируема в точке х в и только в том случае, когда существует предел:

.

математика производная изучение школа

В этом случае f(х+h)-f(х)=(k+б)h, где .

Значение k, даваемое формулой (2), зависит от выбора х. Поэтому, если функция f дифференцируема во всех точках промежутка Х, то каждому значению аргумента из Х соответствует свое значение k. Этим определяется новая функция на Х, которую называют производной от функции f и обозначают f'. Итак, введем и запишем следующее определение:

(Учащиеся записывают определение себе в тетради.)

Определение: Производной функции f называется функция f', значение которой в точке х выражается формулой:

. (3)

Так как h - приращение аргумента при переходе от точки х к точке х+h, а f(х+h)-f(х) - соответствующее приращение функции f, то можно сказать, что значение производной от функции f в точке х равно пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, сформулируем и запишем правило нахождения производной функции.

Правило: Для того, чтобы найти значение производной функции f в точке х, надо:

1) найти выражение для приращения f(х+h)-f(х) функции f;

2) разделить это выражение на приращение аргумента h;

3) найти предел полученного отношения при h>0.

В тех случаях, когда приращение функции f уже представлено в виде f(х+h)-f(х)=(k+б)h, значение коэффициента k для данного значения х и дает значение производной. Поэтому, пользуясь результатами для функций kx+b, х2, х3, полученными на уроке «Дифференцируемые функции», получаем следующие формулы для отыскания производных: (kx+b)'=k, (х2)'=2х, (х3)'=3х2.

В частности, отметим, что b'=0, т.е. производная постоянной равна нулю.

Рассмотрим пример на нахождение производной функции.

Пример 1: Найти производную функции .

Будем находить данную производную функции через определение, которое мы с вами записали, т.е. по правилу - в три этапа.

Решение: Для этой функции имеем:

1) ,

2) ,

3) Значит, .

Ответ: производная данной функции равна .

Пример2: Найти производную функции f(х)=ах2+bх+с.

Решение: Для этой функции имеем:

1) f(х+h)-f(х)=а(х+h)2+b(х+h)+с-(ах2+bх+с)=2аhх+аh2+bh,

2) ,

3) .

Ответ: производная данной функции равна (ах2+bх+с)'=2ах+b.

Замечание: Если функция задана на отрезке [a;b], то в точках a и b под словом «дифференцируемость» будем понимать одностороннюю дифференцируемость, т.е. существование пределов:

и .

IV. (Далее учащимся предлагается следующий набор задач.)

№ 392. Найдите производную функции:

1) .

а) ,

б) ,

в) .

Ответ: .

(Объяснив решение, учитель вызывает по очереди учащихся к доске.)

2) f(х)=4-5х.

а) f(х+h)-f(х)=4-5(х+h)-(4-5х)=-5h,

б) ,

в) .

Ответ: (4-5х)'=-5.

3) .

Как мы видим в нашем примере нет переменной х, но мы с вами сегодня записывали частный случай для производной постоянной. Чему она равна посмотрите?

(Ученики смотрят в своих тетрадях записи и отвечают на вопрос.)

b'=0, где b - постоянная. Тогда получаем для нашего примера следующее:

.

Ответ: .

(Этот же ученик решает еще один пример.)

5) f(х)=3х2.

а) f(х+h)-f(х)=3(х+h)2-3х2=3х2+6хh+3h2-3х2=6хh+3h2=(6х+3h)h,

б) ,

в) .

Ответ: (3х2)'=6х.

6) .

а) ,

б) ,

в) .

Ответ: .

7) f(х)=х2+8.

а) f(х+h)-f(х)=(х+h)2+8-(х2+8)=х2+2хh+h2+8-х2-8=2хh+h2=h(2х+h),

б) ,

в) .

Ответ: (х2+8)'=2х.

9) .

а) ,

б) ,

в) .

Ответ: .

№ 393. Найдите значение производной функции f в точке а, если:

1) f(х)=7-3х2, а=2.

а) f(a+h)-f(a)=7-3(a+h)2-(7-3a2)=-h(6a+3h),

б) ,

в) .

f'(2)=-6·2=-12.

Ответ: -12.

2) , а=100.

Обратите внимание, что в нашем примере нет переменной х, но мы с вами записывали частный случай для производной постоянной. Чему она равна посмотрите?

(Ученики смотрят в своих тетрадях записи и отвечают на вопрос.)

b'=0, где b - постоянная. Тогда получаем:

f'(х)=0, а значит f'(100)=0.

Ответ: 0.

3) f(х)=х2, а=-1; а=2; .

f'(х)=2х,

f'(-1)=2·(-1)=-2,

f'(2)=2·2=4,

.

Ответ: -2; 4; .

V. Итак, подведем итоги сегодняшнего урока. Мы с вами познакомились с понятием «производная», записали правило нахождения производной по определению, и прорешали упражнения на данную тему, а также мы изучили теорему о существовании предела. Давайте еще раз повторим записанное определение и сформулируем теорему.

(Учитель опрашивает учеников по очереди.)

VI. Домашнее задание: из учебника страница 170 № 392 (8, 10), 394.

Конспект урока по теме «Касательная прямая к графику функции и ее уравнение»

Тема урока: Касательная прямая к графику функции и ее уравнение.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

- общеобразовательная: ввести понятие касательной прямой к графику функции, вывод уравнения касательной, сформировать алгоритм составления уравнения касательной;

- воспитательная: формирование у учеников добросовестности к выполнению заданий на уроке;

- развивающая: развитие аналитического мышления.

Литература: [12] глава V,§ 1, пункт 6; [11]; [26]; [30], [31].

Ход урока

План проведения урока:

1. Организационный момент - 2 мин.

2. Изложение нового материала - 18 мин.

3. Закрепление нового материала - 18 мин.

4. Подведение итогов урока - 5 мин.

5. Задание на дом - 2 мин.

I. На сегодняшнем занятии мы с вами будем изучать тему «Касательная прямая к графику функции и ее уравнение».

II. Записываем тему урока «Касательная прямая к графику функции и ее уравнение».

(Ученики записывают тему у себя в тетрадях. Учитель начинает объяснение материала.)

Возьмем дугу АВ, выберем на ней точку М и проведем луч АМ.

(Учитель рисует на доске чертеж. (см. рис. 3))

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Будем приближать точку М по дуге к точке А. Тогда луч АМ будет поворачиваться вокруг точки А. Для большинства встречающихся на практике линий луч АМ по мере приближения точки М к точке А стремится к некоторому предельному положению, т. е. существует такой луч АТ, что величина угла ТАМ стремится к нулю, тогда АМ стремится к нулю,

Луч АТ называют касательным лучом к дуге АВ в точке А.

Как правило, через точку кривой проходят два касательных луча, образующих развернутый угол. Такие точки А кривой будем называть обыкновенными, а прямую, составленную из двух взаимно противоположных касательных лучей в такой точке, - касательной к кривой в точке А. Иными словами, касательной прямой к кривой Г в точке А называют предельное положение секущей АМ, когда точка М приближается по кривой к точке А.

Пусть АВ - прямая на координатной плоскости, не параллельная оси ординат, и А - точка на этой прямой. Очевидно, что если угол МАВ стремится к нулю, то угловой коэффициент прямой АМ стремится к угловому коэффициенту прямой АВ, и, обратно, если угловой коэффициент прямой АМ стремится к угловому коэффициенту прямой АВ, то угол МАВ стремится к нулю.

Отсюда следует, что если существует невертикальная касательная к кривой Г в точке А, то ее угловой коэффициент является пределом углового коэффициента секущей, когда вторая точка пересечения М приближается к точке А:

(1)

Рассмотрим случай, когда кривая Г является графиком функции f. Возьмем на этой кривой точки А(а; f(а)) и М(a+h; f(a+h)). По формуле для углового коэффициента прямой, проходящей через две точки, угловой коэффициент секущей равен . Кроме того, ясно, что условия МА>0 и h>0 равносильны. Поэтому из (1) получаем:

. (1')

Но выражение в правой части этого равенства является значением производной функции f в точке а, т. е. равно f'(a). Поэтому

. (2)

Мы доказали следующее утверждение:

Теорема 1: Если в точке графика функции f можно провести невертикальную касательную, то функция f дифференцируема при х=а и угловой коэффициент касательной в точке А равен значению производной функции f в точке а, т. е. .

Справедливо и обратное утверждении:

Теорема 2: Если функция f дифференцируема в точке а, то к ее графику можно провести касательную в точке , причем угловой коэффициент этой касательной равен .

Доказательство: Из того, что функция f дифференцируема в точке а, следует существование предела

Но мы знаем, . Значит, существует предел , а это значит, что существует касательная к графику в точке А, причем ее угловой коэффициент равен .

Содержание теорем 1 и 2 кратко формулируют так: значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной.

(Учащиеся, выслушав объяснения учителя, записывают теоремы и геометрический смысл производной.)

Напишем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х0. Мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k, таково:

. (3)

Но в точке с абсциссой х0 значение функции равно , а угловой коэффициент касательной равен . Поэтому в формуле (3) надо положить и , . Получаем уравнение касательной:

. (4)

(Учащиеся, выслушав объяснения учителя, записывают уравнение касательной.)

Запишем пример.

Пример1: Напишем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

(На доске учитель пишет решение и рассуждает вместе с учениками.)

Решение: Значение функции при равно . Производная от равна ; . При она принимает значение . Итак, , , , и поэтому уравнение касательной имеет вид:

.

Упрощая это уравнение, получаем: .

Ответ: в итоге мы получили уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

III. (Далее учащимся предлагается следующий набор задач.)

№ 404. 1) Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

(Решение демонстрирует учитель.)

Давайте еще раз посмотрим, записанный нами, алгоритм составления уравнения касательной к графику функции. Он выполняется в несколько этапов. Будем действовать по ним. Запишем:

а) При получаем ,

б) Найдем производную функции,

,

в) При получаем .

Итак, , ,

г) Теперь напишем уравнение касательной

.

Ответ: уравнение касательной имеет вид .

(Учитель спрашивает учеников, все ли им понятно в данном решении. Потом по очереди вызывает учеников к доске для дальнейшего решения упражнения.)

2) Напишите уравнение касательной к кривой в точке с ординатой .

(Ученик выполняет задание по алгоритму.)

Т.к. графиком функции является парабола, то точек будет две и . Построив график данной функции найдем их.

При получим и , т.е. и .

Напишем уравнение касательной в точке .

а) При получаем .

б) .

в) При получаем

Итак, , , .

г) .

Напишем уравнение касательной в точке .

а) При получаем .

б) .

в) При получаем .

Итак, , , .

г) .

Ответ: 1) уравнение касательной имеет вид в точке ; 2) уравнение касательной имеет вид в точке .

№ 406. Напишите уравнения касательных к кривым , , проходящих через точки пересечения этих кривых.

,

,

Получили две точки и .

Напишем уравнение касательной в точке к графику функции .

а) При получаем .

б) .

в) При получаем .

Итак, , , .

г) .

Напишем уравнение касательной в точке к графику функции .

а) При получаем .

б) .

в) При получаем .

Итак, , , .

г) .

Напишем уравнение касательной в точке к графику функции .

а) При получаем .

б) .

в) При получаем .

Итак, , , .

г) .

Напишем уравнение касательной в точке к графику функции .

а) При получаем .

б) .

в) При получаем .

Итак, , , .

г) .

IV. Итак, подведем итоги сегодняшнего урока. Мы с вами познакомились со способом составления уравнения касательной к графику функции и прорешали упражнения на данную тему, а также выяснили геометрический смысл производной. Давайте еще раз сформулируем теорему и скажем, в чем заключается геометрический смысл производной?

(Учитель опрашивает учеников по очереди.)

V. Домашнее задание: из учебника страница 176 № 405, 407.

Конспект урока по теме «Механический смысл производной» (см. приложение 1)

Тема урока: Механический смысл производной.

Тип урока: комбинированный.

Цели:

-общеобразовательная: определить физический смысл производной, рассмотреть использование механического смысла производной для решения физических задач, установить связи физических величин с понятием производной, ознакомление учащихся с некоторыми историческими сведениями;

- воспитательная: формирование ответственности всех членов коллектива;

-развивающая: развитие коммуникативных компетентностей: умение слушать, говорить, воспринимать.

Литература: [12]; [13]; [15]; [26]; [30]; [31].

Ход урока

План проведения урока:

1. Организационный момент - 1 мин.

2. Повторение изученного материала - 2 мин.

3. Выполнение заданий на компьютере - 6 мин.

4. Заслушивание выступления докладчика - 3 мин.

5. Объяснение материала - 6 мин.

6. Самостоятельная работа на компьютере - 24 мин.

7. Подведение итогов - 2 мин.

8. Задание на дом - 1 мин.

I. Рассматривается тема «Механический смысл производной». Урок проводится в компьютерном классе. Каждый ученик сидит за отдельно пронумерованным компьютером.

Учитель заранее подготавливает доску с заданием, которое представлено у каждого ученика на компьютере.

II. Записав тему урока «Механический смысл производной», ученики вместе с учителем повторяют основные правила дифференцирования функций.

1) и ;

2) , где С-число;

3) и ;

4) ;

5) ;

6) ;

III. Далее каждому учащемуся предлагается решить один из примеров, данных на компьютере и соответствующий номеру его компьютера.

Под каждым номером примера находится соответствующая буква. Решив его, ученики заполняют ячейку таблицы, нарисованной на доске учителем. И в результате ученики получают имя и фамилию известного французского математика Огюстена Луи Коши, доказавшего теоремы, которыми мы пользуемся при вычислении производной.

Номера компьютеров	Буквы	Примеры
1.	У	,
2.	О	,
3.	Ш	,
4.	Г	,
5.	С	,
6.	Ю	,
7.	К	,
8.	Л	,
9.	Т	,
10.	Е	,
11.	Н	,
12.	И	,

Получается ответ:

	10	-35	-6			3			-4	2р
О	Г	Ю	С	Т	Е	Н		Л	У	И
				2		6	2р
				К	О	Ш	И

IV. После выполнения вышеуказанного задания, к доске выходит ученик с докладом на заданную ему заранее учителем тему «Огюстен Луи Коши - великий французский математик».

V. После выступления докладчика учитель разъясняет физический смысл производной.

1. При равномерном прямолинейном движении , ; при неравномерном движении: , .

2. При равномерном движении по окружности , при неравномерном движении: .

3. При постоянном токе , при переменном токе .

4. Рассмотрим формулу , Q - количество теплоты, m - масса, Дt - разность температур, c - удельная теплоемкость. Для , . Для изменяющейся температуры .

VI. После объяснения материала учителем, ученикам предоставляется на компьютерах самостоятельная работа «Проверь себя». Эта работа состоит из трех частей: часть А - не сложное задание, часть В - задание средней сложности, часть С - задание повышенной трудности.

Часть А - это тестовое задание, в котором нужно выбрать правильный ответ. После выбранного ответа, на экране компьютера высвечивается сообщении «Правильно!» или «Не правильно!» ученик ответил на вопрос. В результате чего он либо продолжает отвечать на следующие вопросы теста, либо у него есть еще попытка исправить свою ошибку.

Часть А:

1. В чем сущность физического смысла ?

А) скорость;

Б) ускорение;

В) время;

Г) свободное падение.

2. Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени ?

А) 15;

Б) 12;

В) 9;

Г) 3.

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой . Назовите формулу ускорения.

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

4. Тело движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени t ее скорость будет равна нулю?

А) 1 и 3;

Б) 1 и 4;

В) 2;

Г) 2 и 0.

5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле . Чему равно ускорение тела в момент времени ?

А) 17;

Б) 32;

В) 16;

Г) 30.

Ответы:

Номера вопросов	1	2	3	4	5
Правильные ответы	А	Г	В	А	А

Часть В - это задача, связанная с механическим смыслом производной. Ученикам нужно решить данную задачу в тетрадях. Потом у доски один из учеников записывает ее решение и ответ, а остальные обучающиеся сравнивают со своими результатами.

Часть В:

Задача: Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол . Найдите: а) угловую скорость щ(t) вращения маховика в момент времени ; б) такой момент времени, когда маховик остановится. (ц(t) - угол в радианах, t - время в секундах.)

Ответ:

а) (рад/сек),

(рад/сек).

б) ,

,

(сек).

Часть С - это задача повышенной трудности. Ученики решают данную задачу у себя в тетрадях. После истечения некоторого времени один из учеников записывает ее решение и ответ на доске. Остальные обучающиеся сравнивают свои результаты.

Часть С:

Задача: Лестница длиной l=5 м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?

Решение:

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте , а нижний на расстоянии от стенки.

Высота описывается формулой: , так как движение равноускоренное.

В момент времени t: , т.е. , из которого .

В этот момент по теореме Пифагора, т.е.

.

Скорость его изменения получается:

Ответ: .

VII. Итак, итоги урока: ученики поняли физический смысл производной, как скорость изменения функции; использовали механический смысл производной для решения физических задач; научились устанавливать связи физических величин с понятием производной; слаженней работать в коллективе, а также индивидуально с компьютером, что в дальнейшем поможет им саморазвиваться и самообучаться.

VIII. Домашнее задание: из учебника страница 173 № 402, 403.

§3. Дополнительные задачи для самостоятельного решения по теме «Производная»

Предлагаемые дополнительные задачи предназначены для самостоятельного решения, а также для решения в классах с углубленным изучением математики, изучающих курс алгебры и начал анализа по учебнику Н.Я.Виленкина «Алгебра и математический анализ» 10, 11 кл. для школ с углубленным изучением математики.

Дополнительные задачи представлены по следующим темам: геометрический смысл производной, монотонность и экстремумы функции, наибольшие и наименьшие значения функции.

Задачи на касательную к графику функции

Задача 1.

Найти все значения аргумента, при которых касательные, проведенные к графикам функций и через точки с этими абсциссами, параллельны.

Решение.

Прямые параллельны, если равны их угловые коэффициенты. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

Пусть - искомая точка касания. Найдем угловые коэффициенты касательных к каждому из графиков данных функций в точке :

;

;

- угловой коэффициент касательной к первому графику в точке .

;

;

- угловой коэффициент касательной ко второму графику в точке .

Приравняем угловые коэффициенты:

;

;

;

;

.

;

, где ;

, где .

;

, где .

Найденные значения параметра и есть искомые абсциссы точек касания.

Ответ: , где ; , где .

Задача 2.

При каком значении кривые и касаются друг друга?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение.

Пусть данные кривые касаются друг друга в точке , абсцисса которой равна (см. рис.4). Условие касания имеет вид:

,

где , . Имеем: ; ;

; .

Тогда условие касания принимает вид:

Из второго уравнения системы находим, что . Подставляя найденное значение в первое уравнение системы, получим, что .

Ответ: .

Задача 3.

Провести касательную к графику функции , проходящую через точку .

Решение.

Касательная должна проходить через точку , но неизвестно, в какой точке она касается параболы . Пусть - точка касания. Составим уравнение касательной к данной кривой в точке . Уравнение касательной имеет вид . Имеем:

;

;

.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

;

;

(1)

Воспользуемся тем, что касательная должна проходить через точку . Подставим координаты точки в уравнение (1):

;

;

; .

Подставим найденные значения параметра в уравнение (1):

;

;

.

;

;

.

Ответ: ; .

Задача 4.

Найти общую касательную к графикам функций и .

Решение.

Допустим, что искомая касательная касается кривой в точке , а кривой - в точке . Составим уравнение касательной для первого и второго случаев.

, - точка касания.

Уравнение касательной имеет вид .

;

;

.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

;

;

(1)

, - точка касания.

;

;

.

Уравнение касательной принимает вид:

;

;

(2)

Мы получили уравнения касательных (1) и (2) соответственно к кривой в точке и к кривой в точке . Наша же задача - найти общую касательную к данным кривым, т. е. уравнения (1) и (2) должны быть уравнениями одной и той же прямой. Приравняем коэффициенты уравнений (1) и (2).

Решением этой системы является пара чисел и . Подставим найденные значения параметров и в какое-нибудь уравнение касательной, например, в уравнение (1). Имеем:

;

.

Ответ: .

Задачи на нахождение монотонности и экстремумов функции

Задача 1.

Исследовать на монотонность и экстремумы функцию

.

Решение.

Заметим, что если , то ;

если , то .

Таким образом, речь идет о кусочной функции:

Характер монотонности функции на различных промежутках и расположение ее точек экстремума можно определить по ее производной. Вычисляя производную, мы должны учесть, что при следует пользоваться формулой . Получим: . При следует пользоваться формулой . Получим: . В точке «стыка» производная не существует, это - критическая точка функции.

Итак,

Найдем теперь стационарные точки, решив уравнение .

При это уравнение принимает вид и не имеет действительных корней.

При имеем: , откуда , . Из этих двух значений только принадлежит рассматриваемому лучу.

Изобразим на числовой прямой найденные критические и стационарные точки и определим знак производной на каждом из полученных промежутков (см. рис. 5). Получим следующий ответ. рис. 5

Ответ: функция возрастает на лучах Обычно, если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и на его концах, концевые точки тоже включают в промежуток монотонности функции. и , убывает на отрезке , точка является точкой максимума, точка является точкой минимума.

Задача 2.

Найти все значения параметра , при которых функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Решение.

Найдем производную данной функции. Имеем:

.

Для того, чтобы функция возрастала на промежутке , достаточно, чтобы во всех его точках выполнялось неравенство . Промежуток в данном случае - вся числовая прямая. Значит, нужно, чтобы при всех значениях выполнялось неравенство . Рассмотрим сначала случай, когда . Имеем: ; . Последнее неравенство верно при любых значениях , что и требуется. Следовательно, - одно из искомых значений параметра .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

При - квадратичная функция. Ее графиком является парабола. Для того, чтобы квадратичная функция при всех принимала неотрицательные значения, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вверх, а вершина находилась не ниже оси (см. рис. 6). Первое условие можно выразить неравенством , а второе - (). Имеем:

Решением этой системы является полуинтервал (12; 14]. Объединяя два полученных решения ( и ), получим отрезок [12; 14].

Ответ: [12; 14].

Задача 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решить уравнение .

Решение.

Заметим, что, если две функции и непрерывны на промежутке , причем одна из них монотонно убывает, а другая монотонно возрастает на этом промежутке, то уравнение на промежутке если и имеет корень, то только один () (см. рис. 7).

Введем в рассмотрение две функции: и . Известно, что вторая из них монотонно возрастает на всей свой области определения, т. е. на открытом луче . Выясним характер монотонности функции на том же луче. Имеем: . Дискриминант этого квадратного трехчлена , следовательно, для всех действительных значений выполняется неравенство , в частности, оно выполняется для всех . Это значит, что на луче функция монотонно убывает.

Итак, мы выяснили, что на луче функция монотонно убывает, а функция монотонно возрастает, следовательно, на рассматриваемом луче уравнение если и имеет корень, то только один. Очевидно, что число 1 является корнем данного уравнения. На луче других корней нет. Нет их и на луче , потому что функция там вообще не определена.

Ответ: 1.

Задача 4.

Сколько корней имеет уравнение ?

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим функцию и исследуем ее на монотонность и экстремумы. Имеем: . Найденная производная существует при всех , следовательно, критических точек у функции нет. Найдем стационарные: , откуда , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изобразим на числовой прямой найденные стационарные точки и определим знак производной на каждом из полученных промежутков (см. рис. 8). Можно сделать вывод, что функция возрастает на лучах и и убывает на отрезке , точка является точкой максимума, а точка - точкой минимума.

Заметим, что значение исходной функции в точке минимума (т. е. в точке ) положительно (), причем данная функция является непрерывной и неограниченной. Очевидно, что график в этом случае пересекает ось абсцисс ровно один раз (см. рис. 9), следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: уравнение имеет ровно один корень.

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций

Задача 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на всей области ее определения.

Решение.

Областью определения данной функции является множество действительных чисел. На всей своей области определения она непрерывна и имеет производную, следовательно, критических точек у функции нет. Стационарные точки:

(), ().

Заметим, что данная функция является периодической с наименьшим положительным периодом . Поэтому достаточно найти ее наибольшее и наименьшее значения на каком-нибудь отрезке, длина которого равна , например, на отрезке . Наибольшее и наименьшее значения функции на всей области определения будут такими же. Кроме того, можно воспользоваться нечетностью данной функции и ограничиться отрезком . В отрезок попадают следующие из стационарных точек:

Из серии : .

Из серии : , .

Вычислим значения функции в выделенных точках и на концах отрезка .

	0
	0		0		0

Из последней строки таблицы находим, что на отрезке

, .

Воспользовавшись нечетностью исходной функции, можно найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке

: , .

Таким образом, на отрезке (а следовательно и на всей области определения)

, .

Ответ: , .

Замечание.

Можно найти область значений функции . Данная функция непрерывна на всей числовой прямой и достигает своих наибольшего и наименьшего значений, следовательно, областью ее значений является отрезок

, т. е. .

Задача 2.

Найти область значений функции на отрезке [0; 3].

Решение.

Данная функция непрерывна на заданном отрезке, поэтому она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений. Следовательно, областью значений данной функции является отрезок . Найдем и :

Если , то

;

если , то

.

Таким образом, речь идет о кусочной функции:

Вычисляя производную , мы должны учесть, что при следует пользоваться формулой . Получим: .

При нужно пользоваться формулой . Получим: . В точке «стыка» производная не существует, это - критическая точка функции.

Итак,

Критическую точку мы уже нашли на шаге 1 (это точка ). Найдем теперь стационарные точки, решив уравнение . Если , то уравнение принимает вид: . Это уравнение имеет два корня: , . Из этих двух значений только точка принадлежит промежутку (0; 2). Если же , то уравнение примет вид: . Это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, мы выделили одну критическую точку () и одну стационарную () из отрезка [0; 3].

Вычислим значения данной функции в выделенных на шаге 2 точках и на концах отрезка [0; 3].

	0		2	3
	0		32	105

Из таблицы находим: , .

Как было сказано выше, областью значений данной функции является отрезок

, т. е. .

Ответ: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заметим, что рассмотренный способ отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке и нахождения области ее значений можно применить только тогда, когда данная функция на заданном промежутке непрерывна. Если же функция не является непрерывной, то соответствующие выводы можно сделать только по ее графику.

На рисунке 10 изображен график функции

Несмотря на то, что эта функция на отрезке [1; 5] достигает своих наибольшего и наименьшего значений (, ), областью ее значений является не отрезок , (т. е. [0; 5]), а объединение промежутков .

Задача 3.

При каких значениях параметра неравенство имеет хотя бы одно решение?

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Данное неравенство равносильно неравенству . Рассмотрим функцию . Очевидно, что эта функция ограничена снизу и не ограничена сверху (эскиз графика функции изображен на рисунке 11). Для того, чтобы неравенство , т.е. , имело решение, нужно, чтобы выполнялось неравенство . Те значения параметра , при которых , и будут искомыми. Имеем: . Найденная производная существует при всех значениях , следовательно, критических точек у функции нет. Найдем стационарные точки, решив уравнение . Имеем: , откуда . Итак, функция на всей числовой прямой не имеет критических точек и имеет только одну стационарную - . Заметим, что при , а при , следовательно, точка является точкой минимума. Поскольку функция имеет только одну точку экстремума, причем это - точка минимума, своего наименьшего значения функция достигает именно в этой точке.

.

Теперь осталось решить неравенство , откуда .

Ответ: .

Заключение

В нашей работе мы достигли поставленной цели исследования: выявить особенности преподавания темы «Производная» в курсе алгебры и математического анализа в классах с углубленным изучением математики. В результате чего мы выполнили поставленные задачи, а именно:

1. проанализировали психолого-педагогическую, математическую и методическую литературу по данной теме;

2. определили психолого-педагогические и методические особенности дифференцированного обучения в школе;

3. составили методическую разработку по теме «Производная» в классах с углубленным изучением математики.

В первой главе мы рассмотрели общие вопросы дифференцированного обучения: исторический аспект дифференцированного обучения в России с XVIII в. по XX в.; дифференциацию в обучении математики; психолого-педагогические особенности учащихся для обучения в классах с углубленным изучением математики.

Во второй главе мы описали различные подходы к изложению темы «Производная»; проанализировали учебники по алгебре и началам анализа на данную тему; представили методическую разработку по теме «Производная» для классов с углубленным изучением математики, включающую конспекты уроков, урок-презентацию, а также подборку дополнительных задач для самостоятельной работы; к наиболее сложным задачам приведены решения.

Библиография

1. Алгебра и начала анализа [Текст] : Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.; Под ред. Ш.А. Алимова.- М.: Просвещение, 2006.- 384 с.: ил.

2. Алгебра и начала анализа [Текст] : Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова.- М.: Просвещение, 2007.- 384 с.: ил.

3. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. [Текст] : Учеб. для общеобразоват. учреждений. / А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова, Л.О. Денищева и др.; Под ред. А.Г. Мордковича.- М.: Мнемозина, 2002.- 375 с.: ил.

4. Алгебра и начала анализа [Текст] : Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.- М.: Просвещение, 2007.- 383 с.: ил.

5. Антология педагогической мысли России второй половины XIX - начала XX в. [Текст] / Сост. П.А. Лебедев.- М.: Педагогика, 1990.- 608 с.

6. Антология педагогической мысли России. XIIIV в. [Текст] / Сост. И.А. Соловков.- М.: Педагогика, 1985.- 480 с.

7. Антропова, М.В. Дифференцированное обучение: педагогическая и физиологическая оценка [Текст] / М.В. Антропова, Г.Г. Манке, Л.М. Кузнецова // Педагогика.- 1992.- № 9-10.- С. 23-28.

8. Бабанский, Ю.К. Педагогика [Текст] : Учеб. пособие для студ. пед. вузов / Ю.К. Бабанский, В.А. Сластенин, Н.А. Сорокин; Под ред. Ю.К. Бабанского.- 2-е изд., доп. и перераб.- М.: Просвещение, 1988.- 479 с.

9. Башмаков, М.И. Уровень и профиль школьного математического образования [Текст] / М.И. Башмаков. // Математика в шк.- 1993.- № 2.- С. 8-9.

10. Болтянский, В.Г. К проблеме школьного математического образования [Текст] / В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер. // Математика в шк.- 1988.- № 3.- С. 9-13.

11. Бродских, И.Л. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов: 7-11 кл. [Текст] / И.Л. Бродских, А.М. Видус, А.Б. Коротаев.- М.: АРКТИ, 2004.- 310 с.

12. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10 кл. [Текст] : Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- М.: Мнемозина, 2006.- 335 с.

13. Волович, М.Б. Математика без перегрузок [Текст] / М.Б. Волович.- М.: Педагогика, 1991.- 143 с.

14. Галицкий, М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа [Текст] / М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд.- М.: Просвещение, 1986.- 298 с.

15. Глейзер, Г.Д. История математики в школе 9-10 кл. [Текст] : Пособие для учителей / Г.Д. Глейзер.- М.: Просвещение, 1983.- 88 с.

16. Глейзер, Г.Д. О дифференцированном обучении [Текст] / Г.Д. Глейзер. // Математика в шк.- 1995.- № 40.- С. 2-3.

17. Гнеденко, Б.В. Развитие мышления и речи при изучении математики [Текст] / Б.В. Гнеденко. // Математика в шк.- 1991.- № 4.- С. 3-9.

18. Гусев, В.А. Методические основы дифференциации обучения математике в средней школе [Текст] / В.А. Гусев, Е.В. Силаев.- М.: Вербум-М, 1996.- 131 с.

19. Дифференциация в обучении математике [Текст] / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, В.В. Фирсов. // Математика в шк.- 1990.- № 4.- С. 15-21.

20. Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода [Текст] : Кн. для учителя. / О.Б. Епишева.- М.: Просвещение, 2003.- 223 с.

21. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности [Текст] : Кн. для учителя. / О.Б. Епишева, В.И. Крупич.- М.: Просвещение, 1990.- 128 с.

22. Изюмова, С.А. Природа мнемических способностей и дифференциация обучения [Текст] / С.А. Изюмова.- М.: Наука, 1995.- 382 с.

23. Колягин, Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль [Текст] / Ю.М. Колягин.- М.: Просвещение, 2001.- 318 с.

24. Колягин, Ю.М. Профильная дифференциация обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. // Математика в шк.- 1990.- № 4.- С. 21-27.

25. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий.- М.: Ин-т практич. психологии, 1988.- 416 с.

26. Кузнецова, Г.М. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11 кл. / Г.М. Кузнецова, Н.М. Миндюк.- М.: Дрофа, 2004.- 172 с.

27. Математика: 5-11 кл.: Программы. Тематическое планирование [Текст] : Для общеобразоват. шк., гимназий и лицеев / М-во образования РФ; Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк.- М.: Дрофа, 2002.- 320 с.

28. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика [Текст] : Учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин, В.Я. Саннинский.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Просвещение, 1980.- 368 с.

29. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.- М.: Мнемозина, 2006.- 287 с.: ил.

30. Мордкович, А.Г. Беседы с учителями математики [Текст] / А.Г. Мордкович.- М.: Школа-Пресс, 1995.- 272 с.

31. Обухова, Л.А. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа: 10 класс. [Текст] / Л.А. Обухова, О.В. Занина, И.Н. Данкова.- М.: ВАКО, 2008.- 304 с.- (В помощь школьному учителю).

32. Особенности обучения и психического развития школьников 13-17 лет: (Педагогическая наука - реформы школы) [Текст] / Под ред. И.В. Дубровиной, Б.С. Круглова; Науч.-исслед. ин-т общей и педагогич. психологии Акад. пед. наук СССР.- М.: Педагогика, 1988.- 192 с.: ил.

33. Саранцев, Г.И. Методика обучения математики в средней школе [Текст] : Учеб. пособие для студ. мат. спец. пед. вузов и универ-тов. / Г.И. Саранцев.- М.: Просвещение, 2002.- 296 с.

34. Сборник нормативных документов. Математика: (Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Приложение к приказу Минобразования России от 18.07.2002, Москва. № 2783) [Текст] / Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.- 2-е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2006.- 80 с.

35. Смирнова, И.М. Исторические аспекты дифференциации обучения [Текст] / И.М. Смирнова // Математика.- 2000.- 20-27 нояб. (№ 44).- С. 1-8.

36. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике. Профильный уровень: (Федеральный компонент государственного стандарта) [Текст] / Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2004.- С. 81-91.

37. Фридман, Л.М. Психология детей и подростков [Текст] : Справочник для учителей и воспитателей. / Л.М. Фридман.- М.: изд-во ин-та психотерапии, 2004.- 198 с.

38. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математики в школе [Текст]/ Л.М. Фридман.- М.: Просвещение, 1983.- 160 с.

39. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математики [Текст]/ Л.М. Фридман.- М.: Едиториал УРСС, 2005.- 248 с.

40. Шварцбурд, С.И. Углубленное изучение алгебры и анализа [Текст] / С.И. Шварцбурд, О.А. Боковнев, В.В.Фирсов.- М.: Просвещение, 1977.- 308 с.

41. Якиманский, И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе [Текст] / И.С. Якиманский.- М.: Сентябрь, 1996.- 96 с.

Размещено на Allbest.ru