На правах рукописи

Аксёнов Андрей Александрович

ТЕОРИЯ ОБУЧЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОМУ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

доктора педагогических наук

Нижний Новгород - 2010

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении

высшего профессионального образования

“Орловский государственный университет”

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор,

Заслуженный деятель науки Российской Федерации

Мантуров Олег Васильевич

Доктор педагогических наук, профессор

Родионов Михаил Алексеевич

Доктор педагогических наук, профессор

Дробышева Ирина Васильевна

Ведущая организация:

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина”

Защита состоится 10 июня 2010 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.166.17 по присуждению учёной степени доктора педагогических наук в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, проспект Гагарина, д. 23, корпус 2, зал научных демонстраций.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан “__” ________ 2010 г.

Текст автореферата помещён на официальном сайте ВАК Минобрнауки России vak.ed.gov.ru 5 марта 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета, д.п.н. И.В. Гребенев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Проблема целенаправленного обучения поиску решения математических задач всегда привлекала внимание и крупных математиков, и учёных-методистов, и учителей математики средней школы. Этой проблеме посвящены труды, ставшие классическими, к которым в первую очередь относятся книги всемирно известного методиста-математика Д. Пойа. Среди отечественных исследователей много внимания данной проблеме уделяли такие известные авторы, как С.И. Туманов, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий, Е.Ф. Данилова, А.Б. Василевский, А.К. Артёмов и др., в разные годы опубликовавшие книги для учителей математики и учащихся средних школ.

Различные аспекты проблемы обучения учащихся средней школы поиску решения задач исследовали ведущие специалисты в области методики преподавания математики: А.А. Столяр, П.М. Эрдниев, Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, Г.И. Саранцев, В.Г. Болтянский, В.И. Крупич, Я.И. Грудёнов, Н.В. Метельский, А.Б. Василевский, Н.К. Рузин и др., отражая полученные результаты в монографиях, учебниках по методике преподавания математики, книгах для учителей и многочисленных статьях.

Диссертационные исследования непосредственно по проблеме обучения школьников поиску решения математических задач выполнили: Г. Абдуллаев, А.Ш. Багаутдинова, С.Л. Валитова, В.В. Воробьёв, Г.Н. Глыва, В.Ю. Гуревич, В.М. Гурина, В.П. Заесенок, Т.Д. Моралишвили, И.Б. Ольбинский, Ю.А. Розка, Н.С. Тюина, Н.И. Фоменко, Хан Инки, О.М. Шеренцова и др. Кроме того, проблемы, существенным образом связанные с обучением школьников поиску решения задач, исследовались в диссертациях Б.А. Абремского, А.Д. Герасимовой, Н.А. Демченковой, Н.А. Меньшиковой, С.М. Мирзаева, М.С. Маскиной, Н.А. Резник, И.Б. Шмигириловой и др.

Статьи по проблеме обучения учащихся средних школ поиску решения математических задач написаны: Г.В. Дорофеевым, О.А. Ивановым, М.И. Бурдой, А.В. Гузкиным, Д.Ф. Изааком, Е.С. Каниным, Ф.Ф. Нагибиным, Ю.А. Кулюткиным, Г.С. Сухобской, В.В. Орловым, Е.С. Семёновым, Н.А. Тарасенковой, И.Ф. Шарыгиным и др.

Однако в силу целого ряда причин проблема обучения поиску решения школьных математических задач не теряет своей актуальности.

Во-первых, в различных научных исследованиях и методических публикациях, посвящённых проблеме обучения поиску решения задач, отражены те или иные частные её аспекты. В большинстве работ содержатся методические рекомендации, основанные на специфике конкретного предметного материала, пределами которого зачастую определялись и границы их применимости, что затрудняет перенос этих рекомендаций на другой материал. Таким материалом могли быть алгебраические уравнения (В.Г. Болтянский), задачи, решаемые на основании теоремы о точке пересечения медиан треугольника (Хан Инки), стереометрические задачи на доказательство (Ю.А. Розка), сюжетные задачи (Л.М. Фридман), планиметрические задачи на вычисление (Б.А. Абремский) и т. д.

Среди авторов диссертационных исследований нет единства как в понимании сущности процедуры поиска решения задачи, так и в выборе исходных положений предлагаемых ими методик обучения школьников поиску решения задач. Многие работы были выполнены в то время, когда методика обучения математике в значительной мере была рецептурной дисциплиной, что предопределяло практико-ориентированный их характер.

Вышеперечисленные факты приводят к выводу о том, что, с одной стороны, описанные способы обучения поиску решения задач обладают высокой степенью достоверности, поскольку они многократно экспериментально проверены, учитывают специфику учебного материала, а часть из них успешно используется в практике массового обучения, внося существенный вклад в решение проблемы обучения поиску решения школьных математических задач. С другой стороны, эти факты позволяют утверждать, что в теории и методике обучения математике в настоящее время накоплен немалый объём разрозненных неупорядоченных сведений, методических рекомендаций по обучению школьников поиску решения задач, который практически всецело располагается в русле эмпирического научного знания и нуждается в теоретическом обобщении, позволяющем выделить общие объективные идеи, закономерности и взаимосвязи.

Во-вторых, в современной теории и методике обучения математике сформулировано несколько трактовок понятия “математическая задача”, введены понятия внутренней и информационной структуры задач (охарактеризованы её компоненты: условие, требование, теоретический базис задачи, способ её решения, реализованное в ней основное отношение), предложены способы оценки сложности и трудности задач и т. д. Однако всё это даёт характеристику лишь самой задаче, но не составляет теоретического описания процесса поиска её решения. Поиск решения задачи - это отыскание предметного содержания теоретического базиса и способа её решения, причём сущность способа решения заключается в обнаружении взаимосвязей между теоретическими фактами, составляющими базис задачи и выстраивании их в такой последовательности, следуя которой от условия задачи можно прийти к выполнению её требования. Но этот процесс - установление внутрипредметных связей в ходе решения математической задачи. Таким образом, вне их установления в принципе не может быть выполнен поиск её решения. Однако этот аспект работы над задачей в современной методике обучения математике теоретически ещё не описан.

В-третьих, в теории и методике обучения математике утвердилась тенденция к исследованию различных аспектов проблемы использования задач в обучении школьников математике на основе деятельностного подхода. Однако сама деятельность любого субъекта определяется не только мотивом, целью, конкретными действиями, условиями их выполнения и т. д., но и предметом его деятельности, которым в данном случае является школьная математическая задача. Ввиду того, что теоретическое изучение задач в методике обучения математике на сегодняшний день нельзя признать полностью завершённым, можно утверждать, что исследование проблемы обучения поиску решения школьных математических задач в русле деятельностного подхода в значительной мере выполняется в отрыве от изучения предмета деятельности учащихся.

В-четвёртых, в различных учебниках, пособиях и задачниках ещё не сложилась традиция такого составления систем задач, которое предопределяет целенаправленное обучение школьников поиску их решения, на различных этапах этого процесса акцентирующее внимание на тех или иных его аспектах. Такое положение дел объясняется тем, что система образования (в частности, школьного математического) в своей сущности консервативна и инертна, поэтому требуется определённое время, чтобы какие-либо научно-методические идеи, реализованные в научных трудах, были адаптированы к практике массового обучения математике и внедрены в неё. Анализ школьных учебников математики разных лет, а также учебных пособий, предназначенных для средней школы и различных дополнительных задачников к ним, позволил обнаружить следующий факт. Во всех этих книгах не уделялось должного внимания проблеме целенаправленного обучения отысканию способа решения задач. В большинстве задачников и учебников почти все предлагающиеся учащимся задачи были в достаточно высокой степени стандартизированными, не требующими практически никакой напряжённой умственной работы. Опрос учащихся, проводимый в разные времена исследователями, неизменно показывал, что подавляющее большинство школьников (в том числе и обладающих математическим способностями среднего или более высокого уровня) необходимым условием решения задачи считает наличие соответствующего образца. Такая же ситуация сложилась и в специализированных или профильных математических классах. Вообще примерно до восьмидесятых годов прошлого века в массовой школьной практике доминировала точка зрения, состоящая в том, что ведущую роль в математике играет теория, а задачи даны для того, чтобы качественнее её освоить. В настоящее время ситуация изменилась и теперь в программе по математике указано, что главное внимание в обучении нужно уделять решению задач. Сейчас практически методической аксиомой стало положение, состоящее в том, что задачи - это и цель, и основное средство обучения математике. Для того, чтобы оно утвердилось, потребовались усилия многих учёных. В частности, признанию этого положения способствовали труды А.А. Столяра, Л.М. Фридмана, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, С.И. Шохор-Троцкого, Я.И. Грудёнова, В.И. Мишина, С.Б. Суворовой, Г.В. Дорофеева и др.

В-пятых, большинство школьных учителей не готово в своей работе восполнить указанные пробелы (это следствие всего перечисленного ранее).

Также в исследовании проблемы обучения поиску решения школьных математических задач необходимо учесть, что уровень математических способностей школьников различен. В связи с этим бессмысленно и даже негуманно требовать от каждого учащегося достижения высокого уровня в умении решать нетривиальные математические задачи. Поэтому основные положения данной диссертации преимущественно отражают сущность обучения математически способных учащихся поиску решения задач.

Изложенные выше рассуждения вскрывают диалектическое противоречие между современным состоянием научного изучения исследуемой проблемы, традициями, сложившимися в учебном процессе, и внутренними потребностями методико-математической теории, а также практики школьного обучения математике. Анализ его причин позволяет утверждать, что для преодоления этого противоречия необходимо построить теорию, целостно описывающую процесс обучения поиску решения школьных математических задач. Одним из подходов к её построению является исследование детерминации процедуры поиска решения задачи специфическими особенностями самих задач. Фактически речь идёт о логическом аспекте поиска решения задачи.

Таким образом, актуальность данного исследования обусловлена необходимостью целостного теоретического описания процедуры поиска и процесса обучения поиску решения школьных математических задач, которое будет способствовать синтетическому обобщению различных методических средств, используемых в формировании умения решать задачи.

Проблема исследования: выявление сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, специфических особенностей и этапов целенаправленного обучения учащихся средней школы логическому поиску их решения, а также роли общего умения выполнять логический поиск решения задач в математической подготовке школьников.

Цель исследования: построение и экспериментальная проверка теории, описывающей процесс обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач.

Объект исследования: процесс обучения математике в средней школе.

Предмет исследования: обучение школьников логическому поиску решения математических задач.

Современное состояние изучаемой проблемы позволяет выдвинуть общую концепцию диссертационного исследования. Суть её состоит в целостном теоретическом описании основных этапов и специфических особенностей процедуры поиска решения и процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач на основе трактовки понятия “задача”, предложенной Ю.М. Колягиным и дополненной В.И. Крупичем. Общая концепция конкретизируется в трёх взаимосвязанных концептуальных положениях, изложенных ниже.

I. Задача, согласно трактовке этого понятия, принятой в качестве исходного положения исследования, образована диалектической взаимосвязью её информационной и внутренней структур. На основе информационной структуры выявляются основные теоретико-методические характеристики задач, такие как их типы, виды, классы, особенности теоретического базиса их формулировки и решения. В общем случае задача в ходе решения расчленяется на несколько более простых подзадач, каждой из которых соответствует локальная идея её решения (решение каждой подзадачи - отдельный этап решения исходной задачи). Подзадача является единицей анализа школьных математических задач, а структурной единицей логического поиска решения задачи является локальная идея. Логический поиск решения школьной математической задачи в конечном итоге сводится к выдвижению и реализации локальных идей её решения.

II. Решение школьной математической задачи заключается в отыскании предметного содержания неизвестных компонентов её информационной структуры, что в конечном итоге сводится к нахождению ряда теоретических фактов и такой логической взаимосвязи между ними, которая позволит от условия задачи прийти к выполнению её требования. То есть в данном аспекте осуществление логического поиска решения может быть рассмотрено как реализация внутрипредметных связей посредством решения задач, в значительной мере предопределяющая генерирование локальных идей решения задачи. Многообразие внутрипредметных связей, проявляющихся в процессе решения задач, описывается с помощью отдельных видов их реализации, применимых к задачам любой разновидности. Поэтому внутрипредметные связи можно рассматривать как средство, позволяющее построить теоретическую модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, представляющую собой полную ориентировочную основу действий (ПООД) по осуществлению поиска решения задач, которая также включает в себя и все теоретико-методические характеристики задач, указанные в положении I.

III. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач ориентировано на овладение учащимися основными поисковыми ресурсами (содержащимися в ПООД), в ходе которого школьники учатся способам логических рассуждений, самостоятельному “открытию” некоторых теоретических фактов и способов решения задач, выделению совокупности действий, адекватных понятиям, теоремам и методам решения задач. Это предполагает осмысление ими практически каждого поискового ресурса как общего поискового действия. В свою очередь это означает, что обучение поиску решения задач целесообразно осуществлять на основе деятельностного подхода. Многообразие поисковых ресурсов и необходимость регулярного их использования в обучении предопределяет выявление основных видов деятельности, осуществляемой в ходе работы над задачей, на основе которых может быть упорядочен процесс обучения логическому поиску решения задач.

Первое и второе положения совместно образуют процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, а третье положение - содержательную составляющую.

Концептуальный подход к понятию “задача”, предложенный Ю.М. Колягиным, во многом обусловлен логикой взаимосвязи компонентов информационных структур задач, поэтому выдвинутая концепция детерминирует исследование логического поиска их решения (выполняемого посредством логики, а не интуиции или вербальной информации, заложенной в задаче, и т. п.), и исследование проблемы обучения логическому поиску решения задач, то есть она в полной мере соответствует цели и задачам данной работы. В тексте диссертации и автореферата при упоминании процесса поиска решения задач иногда слово “логический” не используется, исходя из стилистических соображений.

В исследовании была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что теория, целостно описывающая обучение школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач, может быть построена, если:

а) исходя из основополагающей трактовки понятия “задача” будут выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, предопределяющие особенности выполнения логического поиска их решения, и в его описании будет отражена специфика школьного курса математики, в контексте исследуемой проблемы выражаемая реализованными в нём внутрипредметными связями;

б) на этой основе будет построена теоретическая модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, позволяющая выявить основные поисковые ресурсы и определить этапы процесса обучения поиску решения задач;

в) обучение общему умению выполнять логический поиск решения задач, предполагающее осмысление поисковых ресурсов как общих поисковых действий, будет осуществляться на основе деятельностного подхода, обеспечивающего систематичность и регулярность этого обучения;

г) теоретическое описание процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения задач будет включать в себя обоснование его реализации в практике школьного обучения математике;

д) овладение школьниками общим умением выполнять логический поиск решения математических задач получит экспериментальное подтверждение, оцениваемое по результатам выполнения ими специальных контрольных работ.

Проблема, цель, предмет, концепция и гипотеза совместно обусловливают ведущие задачи исследования, которые разделяются на пять групп.

I. Первая группа состоит из задач, связанных с выявлением и разработкой научных положений, являющихся психолого-педагогическим основанием процесса обучения поиску решения школьных математических задач.

1. Установление сущности психологического и логического процессов поиска решения задачи.

2. Выявление психолого-педагогических особенностей организации учебного процесса, основанного на целенаправленном обучении поиску решения школьных математических задач.

3. Выбор концептуального подхода к трактованию понятия “задача”, являющегося психолого-педагогическим базисом решения исследуемой проблемы.

II. Вторую группу составляют задачи, которые относятся к теоретико-методологичекому обоснованию сущности логического поиска решения школьных математических задач и сути процесса обучения поиску их решения.

1. Выявление основных теоретико-методических характеристик школьных математических задач и структурной единицы логического поиска их решения.

2. Создание опорных схем и механизмов, моделирующих сущность внутренней структуры процесса логического поиска решения задачи.

3. Разработка метода оценивания логической трудности математических задач как критерия умения школьников выполнять поиск их решения.

III. В третью группу включены задачи, призванные выявить возможности использования внутрипредметных связей в качестве основного ресурса процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

1. Выявление основных видов реализации внутрипредметных связей, проявляющихся в ходе решения задач и установление дидактических возможностей каждого из них в обучении логическому поиску решения задач.

2. Построение полной ориентировочной основы действий, выполняемых в ходе поиска решения задач.

3. Выделение поисковых ресурсов, которые должны изучаться учащимися в качестве основы процесса поиска решения задач.

4. Определение сущности и этапов процесса обучения школьников логическому поиску решения задач.

IV. Четвёртая группа состоит из задач, решение которых позволяет упорядочить процесс обучения логическому поиску решения школьных математических задач на основе деятельностного подхода.

1. Выявление основных видов деятельности, описывающих процесс логического поиска (и обучения поиску) решения задач.

2. Разработка методов систематизации задач и систематизации систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения.

3. Выявление взаимосвязи структуры школьного курса математики и процесса обучения школьников поиску решения задач.

V. Пятую группу составляют задачи, предназначенные для экспериментальной проверки построенной теории.

1. Разработка (совместно с учителями-экспериментаторами) конкретных систем задач, их применение на различных этапах обучения математике.

2. Анализ результатов педагогического эксперимента.

Методологической основой исследования являются фундаментальные положения философской теории познания: диалектико-материалистическая методология, основанная на принципах объективности, всесторонности, детерминизма, конкретности, историзма и противоречия; общенаучные подходы и методы исследования, суть которых состоит в обеспечении взаимоперехода философского и частнонаучного знания благодаря использованию таких общенаучных понятий, как “информация”, “модель”, “система”, “функция”, “элемент”, “структура” и др.; основные логические законы. Поставленные в диссертации задачи были решены с помощью следующих методов исследования:

1. Теоретические методы:

а) формализация, применяемая в процессе абстрагирования и идеализации объектов посредством их отображения в знаково-символическом виде;

б) метод восхождения от абстрактного к конкретному, с помощью которого на основе понятия “задача” посредством синтеза и дедукции рассмотрены частные проблемы, возникающие в обучении логическому поиску решения задач, что позволило в целостной теории изложить предмет исследования.

2. Общелогические методы:

а) анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, посвящённой исследуемой проблеме и смежным научным проблемам;

б) анализ и синтетическое обобщение передового опыта учителей математики, уделяющих значительное внимание обучению учащихся поиску решения задач;

в) методология системного подхода (метод, основанный на понимании системы как совокупности объектов, взаимосвязь которых обусловливает наличие новых интегративных качеств, не свойственных образующим её компонентам, и метод, состоящий в расчленении системы и выделении её минимального компонента - структурной единицы, способной к относительно самостоятельному существованию в рамках целого (структурно-функциональный метод));

г) абстрагирование и идеализация, применяемые для создания объектов, принципиально не существующих в действительности, которые послужили опосредованным выражением реальных объектов и процессов (например, абстрактный субъект, логический поиск решения задачи и др.);

д) конструктивно-генетический метод, понимаемый как рассмотрение всевозможных ситуаций и выполнение логических рассуждений в процессе разработки основных теоретических положений данной диссертации (проявлением этого метода является мысленный эксперимент с идеальными объектами);

е) моделирование (основанное на конструктивно-генетическом методе и системном подходе), позволившее построить ряд научных положений, в качестве главных средств которого используются аналогия, индуктивный и дедуктивный методы в их диалектической взаимосвязи и единстве;

ж) вероятностно-статистические методы (обработка результатов педагогического эксперимента).

3. Эмпирические методы:

а) наблюдение за учебной деятельностью учащихся, обучающихся в общеобразовательных, профильных и специализированных математических классах средних школ;

б) сравнение процессов поиска решения школьных математических задач, относящихся к алгебре, геометрии и математическому анализу для обнаружения их сходства и различия с целью выявления возможности разработки общих подходов к обучению поиску решения задач;

в) экспериментальная работа, проводимая в классах различных профилей, с использованием систем математических задач, разработанных на основе построенной теории.

Теоретической основой исследования являются:

· психологические концептуальные подходы к понятию “задача”, их сопоставление в контексте исследуемой проблемы (Г.А. Балл, Я.А. Пономарёв, К.А. Славская, Л.Л. Гурова, А.В. Брушлинский, Л.М. Фридман и др.);

· концепции учебной деятельности и развивающего обучения, психологические концепции усвоения знаний (Л.С. Выготский, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина, П.Я. Гальперин и др.);

· концептуальный подход А.М. Матюшкина к осмыслению соотношения понятий “задача” и “проблемная ситуация” и их изучению;

· теория и методика обучения решению школьных математических задач (А.А. Столяр, Л.М. Фридман, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, В.И. Крупич);

· концепция деятельностного подхода к обучению математике учащихся средних школ (В.И. Крупич, О.Б. Епишева и др.);

· основные положения теории и методики реализации внутрипредметных связей в обучении математике (В.М. Монахов, В.А. Далингер, А.А. Аксёнов, К.С. Муравин, Л.С. Капкаева и др.);

· основные труды по проблеме обучения поиску решения школьных математических задач (Д. Пойа, Л.М. Фридман, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, С.И. Туманов, А.А. Столяр, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев и др.).

Научная новизна исследования заключается в том, что в нём впервые построена теория, целостно описывающая обучение общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач, в рамках которой:

· уточнена сущность психологического и логического аспектов поиска решения задач, раскрыт психолого-педагогический аспект процесса обучения поиску решения задач;

· выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, по которым они квалифицируются в контексте исследуемой проблемы;

· выделена структурная единица логического поиска решения школьных математических задач;

· разработаны схемы и механизмы, моделирующие процесс логического поиска решения школьных математических задач;

· выявлены десять основных видов реализации внутрипредметных связей посредством решения школьных математических задач, установлены дидактические возможности каждого из них в обучении поиску решения задач;

· построена полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых в ходе поиска решения школьных математических задач, являющаяся теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск их решения;

· выявлены основные виды деятельности, выполняемой в процессе работы над школьными математическими задачами;

· раскрыта сущность и этапы обучения школьников логическому поиску решения математических задач.

Теоретическая значимость исследования:

· методика обучения математике обогащена новой теорией, систематизирующей и обобщающей имеющиеся в современной науке представления об обучении школьников решению математических задач;

· методическая теория школьных математических задач пополнена рядом теоретико-методических характеристик:

- понятием информационной структуры процесса логического поиска решения школьных математических задач;

- понятием обобщённой характеристической функции задач, описывающей теоретико-методические характеристики, совмещаемые в одной задаче;

- методом количественного и качественного оценивания трудности школьных математических задач;

- методом оценивания эффективности использования внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач;

- методами систематизации задач, внутритематического и межтематического упорядочивания систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения;

- методом системного анализа эффективности реализации основных теоретических положений в практике школьного обучения;

- критериями построения школьного курса математики, способствующими повышению эффективности обучения поиску решения задач.

Практическая значимость исследования:

· разработанные в теории механизмы взаимодействия субъекта с задачей, построения систем задач, определения эффективности внутрипредметных связей и т. д. носят универсальный характер и могут быть применены к любой теме, виду и подвиду задач школьного курса математики;

· основные положения диссертации могут быть учтены авторами задачников по математике для средней школы с целью составления систем задач, обусловливающих целенаправленное обучение общему умению выполнять логический поиск их решения;

· в соответствии с государственной программой по математике для общеобразовательных, профильных и специализированных классов разработаны конкретные методические модели, реализующие на практике построенную в диссертации теорию и апробированные экспериментально;

· методические модели, используемые в обучении школьников логическому поиску решения задач, также могут составлять методисты институтов повышения квалификации учителей и опытные учителя математики;

· соответствующие методические построения могут выполнять студенты математических педагогических специальностей вузов на семинарских занятиях по теории и методике обучения математике с целью осмысления содержательной составляющей обучения логическому поиску решения задач;

· основные теоретические положения, описывающие процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, могут непосредственно применяться в методической подготовке будущих учителей математики в качестве средства, помогающего им осмыслить сущность общего умения выполнять поиск решения задач и процесс формировании этого умения у школьников;

· эти же теоретические положения помогут учителями математики составить целостное представление о процессе логического поиска решения задач и на этой основе обучать школьников его выполнению.

Достоверность полученных в исследовании результатов и обоснованность научных выводов обеспечивается: использованием достижений психолого-педагогических наук; применением логических законов в создании теоретических положений; использованием различных методов исследования, адекватных поставленным задачам; результатами экспериментальной работы, длившейся несколько лет; подтверждением выдвинутой в диссертации гипотезы.

Основные этапы исследования. Выполнение исследования началось в 1996 г. и велось поэтапно в соответствии с логикой своего развития.

На предварительном этапе (1996-2000 г.г.) было начато исследование в области теоретического обоснования методики обучения решению задач и изучен такой его аспект, как реализация внутрипредметных связей в процессе решения задач. Итогом исследований стала защита диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук по теме “Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики”.

Теоретический этап исследования (2001-2002 г.г.) заключался в создании теоретического обоснования методики обучения логическому поиску решения школьных математических задач. В этот период времени было выдвинуто и обосновано подавляющее большинство научных положений, которые составили практически всё содержание данной диссертации.

На заключительном этапе (2002-2010 г.г.), был проведён формирующий эксперимент по проверке эффективности разработанных теоретических положений, а также по установлению некоторых фактов, которые невозможно определить только теоретически. На этом этапе осуществлялась доработка и редактирование созданных ранее теоретических положений в зависимости от результатов формирующего эксперимента, оформление результатов исследования в виде диссертации на соискание учёной степени доктора педагогических наук.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования докладывались и получили одобрение на Всероссийской научно-практической конференции “Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе” (Арзамас, 2004), XXVI Всероссийском семинаре преподавателей математики “Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе” (Самара, Москва, 2007), Международной научной конференции “Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании” (Пермь, 2007), Региональной научно-практической конференции “Современные информационно-коммуникационные технологии в образовательном процессе сельской школы” (Арзамас, 2007), Всероссийской научно-практической конференции “Интегративный характер современного математического образования” (Самара, 2007), Международной научной конференции “Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования” (Котлас, 2007), Международной научной конференции “Современные образовательные технологии в системе математического образования” (Архангельск, 2008), Международной научной конференции “Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании” (Арзамас, 2008), Всероссийской (с международным участием) научной конференции “Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы” (Пенза, 2009), Всероссийской научной конференции “Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования” (Саранск, 2009).

Внедрение полученных результатов осуществлялось посредством публикации монографий, методических пособий, статей, организации экспериментальной работы в школах Орловской области, выступлений перед методистами и учителями в Орловском областном институте усовершенствования учителей, в Орловском государственном университете и ряде других вузов страны.

Положения, выносимые на защиту:

1. Логический поиск решения школьных математических задач детерминируется содержащейся в компонентах их информационной структуры объективной информацией, теоретико-методическими характеристиками задач, по которым они квалифицируются, и спецификой обоснования и реализации решения, выраженной совокупностью внутрипредметных связей, свойственных содержанию школьного курса математики, и используемых в решении задачи. Внутренняя структура процесса логического поиска решения задачи может быть выражена совокупностью схем и механизмов, моделирующих процедуру анализа задачи и отыскания способа её решения. Информационная структура этого процесса определяется лишь для каждой конкретной задачи и обусловливается информационной структурой данной задачи. Минимальным компонентом процесса логического поиска решения школьных математических задач является локальная идея, которая реализуется в течение одного этапа решения задачи, представляющего собой отдельную подзадачу.

2. Обучение логическому поиску решения задач - это обучение выдвижению идей решения задачи на основе факторов, детерминирующих логический поиск. Структурной единицей процесса обучения учащихся логическому поиску решения школьных математических задач является обучение их генерированию и реализации локальных идей решения задачи.

3. Основным ресурсом выдвижения локальных идей решения школьной математической задачи является установление внутрипредметных связей, содержащихся в школьной математике. Многообразие проявлений внутрипредметных связей в процессе решения школьных математических задач описывается десятью основными видами их реализации. Они являются своеобразными эвристиками в выборе конкретных теоретических средств и идей логического поиска решения, а в конечном счёте, формируют у школьников общее умение выполнять логический поиск решения школьных математических задач.

4. Полную ориентировочную основу действий (ПООД) субъекта по осуществлению логического поиска решения школьной математической задачи образуют дидактические характеристики основных видов реализации внутрипредметных связей, теоретико-методические характеристики задач и внутренняя структура процесса логического поиска их решения. Упорядоченная совокупность подходов к выполнению логического поиска решения задач, позволяющая выдвигать и реализовывать локальные идеи решения задачи, представленная в ПООД, является обобщённой теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач.

5. Обучение логическому поиску решения школьных математических задач состоит в создании условий, при которых учащиеся смогут последовательно овладевать поисковыми ресурсами, содержащимися в ПООД, что предполагает регулярное их применение в процессе решения задач и осмысление как общих поисковых действий, то есть на основе деятельностного подхода. Многообразие действий, выполняемых в ходе решения задач, описывается девятью основными видами деятельности. В контексте повышения эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач необходима систематизация задач, а также внутритематическое и межтематическое упорядочивание систем математических задач на основе выделенных видов деятельности.

6. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач теоретически может быть представлено диалектическим единством его процессуальной и содержательной составляющих. Процессуальная составляющая - это описание сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, содержательная составляющая заключается в обеспечении регулярности обучения школьников этому умению. Обучение логическому поиску решения задач предполагает: пропедевтику поисковых ресурсов (содержащихся в ПООД) для учащихся 1-7 классов; упорядочивание процесса обучения, обусловливающего освоение школьниками основных поисковых ресурсов и овладение умением их применять в решении задач; формирование общего умения выполнять поиск решения задач, в ходе которого учащиеся с помощью ПООД учатся выдвижению и реализации локальных идей решения задачи.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка, насчитывающего 305 источников, включает 4 таблицы и 7 рисунков. Основные научные положения изложены во второй, третьей и четвёртой главах.

Во введении обоснована актуальность, сформулированы проблема, объект, предмет, концепция, цель и задачи исследования, его методологические и теоретические основы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе “Психолого-педагогические основания процесса обучения поиску решения математических задач” рассмотрен психолого-педагогический аспект исследуемой проблемы.

Во второй главе “Теоретико-методологическое обоснование сущности логического поиска решения школьных математических задач и обучения поиску их решения” выявлены основные теоретико-методические характеристики задач, по которым квалифицируются задачи в контексте исследуемой проблемы, построена модель внутренней структуры процесса логического поиска решения задачи и выделен теоретико-методологический базис обучения общему умению выполнять логический поиск решения задач.

В третьей главе “Внутрипредметные связи как основной ресурс процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач” выявлены дидактические возможности внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач, раскрыта сущность общего умения выполнять логический поиск решения задач, построена его обобщённая модель - полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых субъектом в ходе решения задачи, описаны основные этапы процесса обучения школьников логическому поиску решения математических задач.

В четвёртой главе “Деятельностный подход к обучению математике как методическая основа формирования общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач” описаны основные виды деятельности, осуществляемой в процессе работы над задачей, методы систематизации задач и упорядочивания их систем, способствующие регулярному использованию в обучении основных поисковых ресурсов, рассмотрены перспективы дальнейшего теоретического изучения исследуемой проблемы.

В заключении подведены итоги исследования и сформулированы сделанные на их основе выводы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

I. Для построения теории, описывающей обучение школьников логическому поиску решения математических задач, необходимо знать её психолого-педагогический базис. Эта проблематика рассмотрена в первой главе диссертации. В современной психологии отчётливо прослеживаются два основных подхода к трактовке понятия “задача”. Первый подход состоит в том, что задача - это объективное отражение той внешней ситуации, в которой разворачивается целенаправленная деятельность субъекта. Задача не существует вне проблемной ситуации. Такие психологи, как Г.А. Балл, А.Н. Леонтьев, Я.А. Пономарёв, Л.Л. Гурова, К.А. Славская и др. рассматривают задачу как проблемную ситуацию, в которой действует субъект. Второй подход состоит в том, что задача трактуется как “ситуация внешней деятельности”, которая может быть проанализирована и описана в отрыве от субъекта, осуществляющего деятельность. Такие учёные, как А.В. Брушлинский, А.М. Матюшкин, Л.М. Фридман и др. разводят понятия задачи и проблемной ситуации в целях более глубокого их анализа. В этом случае задача рассматривается как сложный объект (система), не требующий для своей характеристики субъекта действия.

Эти два подхода обусловлены тем, что задача как сложный объект (система) содержит два вида информации: субъективную и объективную информацию. Это обстоятельство предопределяет как субъективный, так и объективный поиск решения задачи, причём на основе субъективной информации психологический поиск решения задачи выполняет реальный субъект, а на основе объективной информации логический поиск решения выполняет абстрактный субъект. В исследовании обосновано, что логический поиск решения задачи является неотъемлемой частью психологического поиска. Разграничение этих видов поиска может быть выполнено только теоретически с целью более глубокого их анализа. Сущность психологического поиска в диссертации описана как внешняя структура поискового процесса, суть логического поиска - как внутренняя структура. Так как она определяется объективной информаций, содержащейся в задаче, предметное содержание внутренней структуры процесса поиска зависит от специфики предметной области, к которой относится задача, поэтому оно может быть установлено лишь с учётом этой специфики.

Поскольку логический поиск решения школьных математических задач предопределяется только объективной информацией, содержащейся в задачах, в качестве психолого-педагогической основы исследования принят концептуальный подход к пониманию сущности задач, предложенный А.М. Матюшкиным. Согласно этому подходу, задача может существовать объективно, но эта концепция не исключает существования задачи и в мышлении субъекта, решающего её. Сущность логического поиска решения математических задач детерминируется только самой задачей, следовательно, необходимо изучить специфику задач, и то, как она обусловливает процесс логического поиска их решения, что позволит осмыслить суть обучения логическому поиску решения задач. Это предопределяет разработку основных научных положений исследования на основе одного исходного понятия - “математическая задача”.

II. В диссертации обосновано, что поисковой деятельности, выполняемой в ходе решении задач, в наибольшей степени адекватен третий тип ориентировки учения школьников (П.Я. Гальперин Н.Ф. Талызина и др.), поскольку он основан на том, что учитель предоставляет учащимся метод анализа объектов (математических задач), с помощью которого они составляют ориентировочную основу действий, выполняемых в ходе решения задач данного класса, включающую в себя генерирование идей решения задачи и отыскание совокупности теоретических фактов, используемых в её решении.

Предельно общая схема составления полной ориентировочной основы действий (присущей третьему типу ориентировки учения) фактически представляет собой процесс поиска решения учебной задачи в её понимании, предложенном Д.Б. Элькониным (в диссертации принято это понимание учебной задачи). В данной трактовке учебная задача задаёт общий способ решения или принцип подхода к выполнению решения многих частных задач. Метод использования учебных задач - один из базисных элементов теории учебной деятельности (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, Н.А. Менчинская и др.). Данная теория предопределяет формирование у школьников научно-теоретического типа мышления, поэтому целенаправленное обучение логическому поиску решения задач вносит определённый вклад в развитие теоретического мышления школьников.

Таким образом, сущность психолого-педагогического аспекта процесса обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач состоит в следующем. Необходимо обучать школьников составлению ориентировочной основы действий, которые нужно выполнить, отыскивая способ решения конкретной задачи. Но многообразие школьных математических задач не позволяет использовать ориентировочную основу действий, применимую для данной задачи, в ходе решения задач другой разновидности. Поэтому необходимо разработать общий метод, который позволил бы школьникам составлять ориентировочные основы действий для каждой конкретной задачи. Формирование общего умения выполнять логический поиск решения задач заключается в том, чтобы на основе этого метода научить школьников составлению конкретной ориентировочной основы действий, выполняемых в решении данной задачи, а также её непосредственному применению в процессе поиска решения этой задачи. Помогая учащимся в составлении ориентировочной основы действий, учитель побуждает их к действиям, но не указывает конкретные действия, которые им нужно выполнить. Например, если в решении задачи требуется применить средства теории, которая не была задействована для её формулирования, учителю следует в первую очередь добиваться от школьников того, чтобы они осознали саму необходимость отыскания теорий, аппарат которых может быть использован в решении задачи.

III. Выявлению специфики школьных математических задач, предопределяющей сущность поисковой деятельности, а также особенности процесса обучения поиску их решения, посвящена вторая глава диссертации.

Анализ публикаций и научных трудов по исследуемой проблеме позволил сделать вывод о том, что в настоящее время стала практически очевидной необходимость в теоретическом исследовании проблемы обучения учащихся общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач, основанном на теоретико-методических характеристиках задач, которые помимо описания всего многообразия задач позволили бы отразить специфику школьной математики, проявляющуюся в контексте изучаемой в диссертации проблемы. Следовательно, исходным положением данного исследования может быть лишь трактовка понятия “задача”, удовлетворяющая указанным требованиям, и позволяющая разрабатывать его основные теоретические положения, исходя из своей сущности.

В качестве исходного положения выбрана трактовка понятия “задача”, предложенная Ю.М. Колягиным и дополненная В.И. Крупичем (которым введено понятие основного отношения, реализованного в задаче, ставшего составной частью её информационной структуры). В данной трактовке понятие “задача” представляет собой диалектическое единство информационной (внешней) и внутренней структур (учение о внутренней структуре задачи создано В.И. Крупичем). Информационная структура задачи состоит из пяти компонентов: S = (A, C, R, D, B), где A - условие задачи, B - её требование, то есть искомое (искомые) и отношения между ними, C - теоретический базис решения задачи, D - способ её решения, R - основное отношение, реализованное в задаче. Задача является школьной математической, если её теоретический базис C состоит только из теоретических фактов, относящихся к школьному курсу математики. Эта трактовка понятия “задача” описывает любые математические задачи, поскольку не содержит каких-либо ограничений в плане видов задач (будь то задачи на доказательство или построение и т. п.), теорий, которые применяются для их формулирования и решения, специфики самих задач (уравнения, геометрические задачи, сюжетные задачи и т. д.) и многих других факторов. Поэтому она была выбрана в качестве исходного положения данного исследования.

Исходя из количества неизвестных компонентов, содержащихся в информационной структуре задачи, Ю.М. Колягиным предложена типология задач. В данной работе приняты во внимание шесть информационных структур задач, в каждой из которых известен компонент A - условие задачи, что почти всегда имеет место для школьных математических задач. В.И. Крупичем установлена следующая типология задач: I тип - ACDВ и ACDX, - алгоритмические задачи (примером является квадратное уравнение); II тип - ACXB и ACXY, - полуэвристические задачи (например, задача: “Найти объём конуса, образующая которого равна 8 м, а угол между образующей и радиусом основания равен 60^о”); III тип - AXYB и AXYZ, - эвристические задачи (таковой является, например, задача: “Решить уравнение: ”, если её предложить школьникам, не изучавшим следующего свойства логарифма числа: , поскольку без его использования решить это уравнение не представляется возможным).