Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач

Построена теория, целостно описывающая сущность общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, и процесс обучения школьников этому умению, в которой получены результаты, представленные ниже.

1. Выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, предопределяемые компонентами их информационной структуры: шесть типов задач (выделены Ю.М. Колягиным и В.И. Крупичем); шесть видов задач; четыре класса задач; четырёхаспектная типология их теоретического базиса, позволяющие квалифицировать задачи в контексте обучения поиску их решения. Обосновано, что типологию задач целесообразно описывать с помощью двух понятий: информационной структуры задач и информационной структуры процесса логического поиска решения задач. Первое понятие может быть определено по отношению к месту данной задачи в школьном курсе математики, второе - по отношению к субъекту, решающему её.

2. Выделена структурная единица системного анализа школьных математических задач, которой в рамках исследуемой проблемы является подзадача. Исходя из этого показано, что структурной единицей процесса логического поиска решения задачи является локальная идея (каждая из которых соответствует некоторой подзадаче), а обучение логическому поиску решения задач сводится к формированию умения выдвигать и реализовывать локальные идеи. На основе этого обстоятельства разработана модель внутренней структуры процесса логического поиска решения школьных математических задач, построенная с помощью опорных схем и механизмов, описывающих основные составляющие процедуры поиска решения задачи. С помощью этой модели выделены основные поисковые задачи, работа с которыми является наиболее важной частью целенаправленного обучения логическому поиску решения школьных математических задач.

3. Обосновано, что основным ресурсом обучения логическому поиску решения школьных математических задач являются внутрипредметные связи, устанавливаемые в школьном курсе математики. Выявлены десять видов их реализации, которые описывают проявление внутрипредметных связей в процессе решения задач, и являются своеобразными эвристиками, помогающими в выдвижении локальных идей решения задачи. Установлено, что непосредственно выполнению поиска решения задачи способствуют только первый-третий и пятый-восьмой виды реализации внутрипредметных связей.

4. Выявлена сущность общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, и построена его обобщённая модель - полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых субъектом в процессе поиска решения задачи. Установлена основная причина неумения школьников выполнять логический поиск решения математических задач. Осмысление этой причины предопределило целенаправленное формирование у школьников умения осуществлять поиск решения математических задач на основе деятельностного подхода к обучению математике.

5. Выделены девять основных видов деятельности, выполняемой в процессе работы над задачей, посредством которых в практике реального обучения может быть реализовано формирование у школьников осмысления поисковых ресурсов как общих поисковых действий. С учётом этого факта, разработаны методы систематизации школьных математических задач на основе деятельностного подхода в контексте исследуемой проблемы, а также созданы методы, с помощью которых обеспечивается регулярность процесса обучения логическому поиску решения задач. Это выражается в упорядочивании отдельных систем математических задач, осуществляемой в рамках как одной темы, так и нескольких смежных тем, и в структурировании школьного курса математики по темам, видам и подвидам задач, что способствует регулярному использованию в обучении математике всех поисковых ресурсов.

6. Предложены методы, способствующие повышению эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач. В частности, разработан метод количественной и качественной оценки логической трудности задач, используемый как критерии развитости умения их решать. В контексте этого метода все задачи разделены на четыре уровня трудности, различающихся качественно. Исходя из количественных значений трудности, все задачи разделены на пять групп: менее 10 баллов; 11-20 баллов; 21-30 баллов; 31-40 баллов, более 40 баллов. Задачи из этих групп соответственно названы лёгкими, умеренными, средней трудности, трудными и очень трудными. Также предложен метод оценивания эффективности использования внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач, разработан метод системного анализа эффективности реализации основных теоретических положений данного исследования в практике школьного обучения математике. Выявлены основные критерии, на основе которых построение школьного курса математики, акцентированного на обучении поиску решения задач, обусловливает повышение эффективности этого обучения.

7. Показано, что целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач в учебном процессе реализуется на основе диалектического единства его процессуальной и содержательной составляющих. Суть первой составляющей моделирует ПООД, суть второй заключается в упорядочивании процесса обучения, осуществляемом на основе деятельностного подхода. Обосновано, что процесс обучения поиску решения задач состоит из трёх основных этапов. На первом этапе учитель непосредственно управляет поисковой деятельностью учащихся, на втором этапе школьники учатся организовывать и логически упорядочивать свои поисковые действия, третий этап преимущественно состоит из самостоятельной работы учащихся. В ходе исследования показано, что целенаправленное обучение логическому поиску решения задач должно осуществляться в русле третьего типа ориентировки учения школьников. Суть этого обучения в том, чтобы школьники с помощью данного им метода анализа задач (в диссертации он представлен с помощью ПООД) составляли конкретную ориентировочную основу действий, которые необходимо выполнить, решая данную задачу, что в конечном итоге направлено на выдвижение и реализацию локальных идей решения задачи.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Основные положения выполненного диссертационного исследования отражены в публикациях, суммарный объём которых составляет 79,77 условных печатных листов.

Монографии:

1. Аксёнов А.А. Теория обучения поиску решения школьных математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма “Картуш”, 2007. 200 с. (12,5 п. л.).

2. Аксёнов А.А. Теоретические основы обучения школьников поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма “Картуш”, 2005. 122 с. (7,75 п. л.).

3. Аксёнов А.А. Теоретические основы систематизации учебного материала при обучении школьников поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма “Картуш”, 2005. 79 с. (5 п. л.).

4. Аксёнов А.А. Общая теория обучения учащихся начальных и младших классов поиску решения математических задач. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма “Картуш”, 2008. 100 с. (6,25 п. л.).

5. Аксёнов А.А. Теоретические основы применения нечётких задач в обучении школьников математике. Монография. Орёл: ОГУ, Полиграфическая фирма “Картуш”, 2008. 48 с. (3 п. л.).

6. Аксёнов А.А. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики. Монография. Орёл: ОГУ, 2006. 152 с. (9,5 п. л.).

7. Аксёнов А.А. Реализация внутрипредметных связей при изучении раздела “Уравнения, неравенства и их системы” в профильных классах и классах с углублённым изучением математики. Монография. Орёл: ОГУ, 2004. 60 с. (3,75 п. л.).

Статьи из перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК:

8. Аксёнов А.А. Решение задач методом оценки // Математика в школе. 1999. № 3. С. 30-34. (0,5 п. л.).

9. Аксёнов А.А. Составление полной ориентировочной основы действий в процессе выполнения поиска решения школьных математических задач // Тамбов: Вестник Тамбовского университета. Серия “Гуманитарные науки”. 2007. Выпуск 9 (53). С. 99-103. (0,56 п. л.).

10. Аксёнов А.А. Внутрипредметные связи как ресурс процесса поиска решения школьных математических задач // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. 2008. № 12 (81). С. 191-198. (0,5 п. л.).

11. Аксёнов А.А. Роль теоретического базиса математических задач в выполнении поиска их решения // Казанский педагогический журнал. 2008. № 9 (63). С. 14-19. (0,38 п. л.).

12. Аксёнов А.А. Об обучении школьников поиску решения математических задач // Начальная школа плюс до и после. 2008. № 10. С. 83-85. (0,38 п. л.).

13. Аксёнов А.А. Роль составления математических задач в обучении школьников поиску их решения // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. Серия “Педагогические науки”. 2009. № 1 (35). С. 152-156. (0,5 п. л.).

14. Аксёнов А.А. Преемственность в обучении поиску решения математических задач в школе и вузе // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 2. С. 24-31. (0,83 п. л.).

15. Аксёнов А.А. Поиск решения эвристической задачи как средство “открытия” школьниками нового метода решения математических задач // Тамбов: Вестник Тамбовского университета. Серия “Гуманитарные науки”. 2009. Выпуск 6 (74). С. 196-200. (0,58 п. л.).

Методические пособия для учителей:

16. Аксёнов А.А. Реализация внутрипредметных связей при изучении раздела “Уравнения, неравенства и их системы” в классах с углублённым изучением математики. Орёл: ООИУУ, 1999. 24 с. (1,5 п. л.).

17. Аксёнов А.А. Реализация внутрипредметных связей посредством решения задач. Орёл: ООИУУ, 1999. 20 с. (1,25 п. л.).

18. Аксёнов А.А. Методические модели, реализующие внутрипредметные связи посредством решения задач. Орёл: ООИУУ, 2000. 20 с. (1,25 п. л.).

19. Аксёнов А.А. О теоретических основах методики обучения математике. Орёл: ООИУУ, 2000. 16 с. (1 п. л.).

20. Аксёнов А.А. Роль внутрипредметных связей в осуществлении поиска решения школьных математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007. 20 с. (1,25 п. л.).

21. Аксёнов А.А. Задачи на исследование в школьном курсе алгебры. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

22. Аксёнов А.А. Задачи на исследование в школьном курсе геометрии. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

23. Аксёнов А.А. Сведение задач к подзадачам в процессе обучения поиску их решения. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

24. Аксёнов А.А. Полуэвристические задачи в школьном курсе алгебры. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

25. Аксёнов А.А. Полуэвристические задачи в школьном курсе геометрии. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

26. Аксёнов А.А. Составление и использование полной ориентировочной основы действий в процессе обучения школьников поиску решения математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007. 20 с. (1,25 п. л.).

27. Аксёнов А.А. Пропедевтика процесса обучения поиску решения школьных математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007. 20 с. (1,25 п. л.).

28. Аксёнов А.А. Обучение поиску решения математических задач в условиях организации профильных классов в малокомплектных сельских школах. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

29. Аксёнов А.А. О систематичности процесса обучения поиску решения школьных математических задач. Орёл: ООИУУ, 2007. 24 с. (1,5 п. л.).

30. Аксёнов А.А. Эвристические задачи в школьном курсе алгебры. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

31. Аксёнов А.А. Эвристические задачи в школьном курсе геометрии. Орёл: ООИУУ, 2007. 16 с. (1 п. л.).

32. Аксёнов А.А. Научно-методические основы обучения учащихся средних школ поиску решения математических задач. Методическое пособие для учителей. Орёл: ООИУУ, 2007. 96 с. (6 п. л.).

Статьи и тезисы докладов на конференциях:

33. Аксёнов А.А. Об обучении поиску решения задач в профильных математических классах // Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе: сб. научн. тр. и методич. работ. Арзамас: АГПИ, 2004. С. 71-75. (0,25 п. л.).

34. Аксёнов А.А. Формирование у студентов педагогических вузов умения обучать школьников поиску решения математических задач с использованием современных средств обучения // Современные информационно-коммуникаци-онные технологии в дополнительном образовании сельских школьников: сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию / Под. ред. М.И. Зайкина, Н.А. Шкильменской; АГПИ им. А.П. Гайдара, КФ ПГУ им. М.В. Ломоносова. Арзамас: АГПИ, 2007. С. 219-221. (0,12 п. л.).

35. Аксёнов А.А. Систематизация математических задач при обучении поиску их решения в малокомплектной школе // Современные информационно-комму-никационные технологии в дополнительном образовании сельских школьников: сборник научных и методических работ, представленных на региональную научно-практическую конференцию / Под. ред. М.И. Зайкина, Н.А. Шкильменской; АГПИ им. А.П. Гайдара, КФ ПГУ им. М.В. Ломоносова. Арзамас: АГПИ, 2007. С. 73-75. (0,13 п. л.).

36. Аксёнов А.А. Равновеликость фигур в школьном курсе геометрии и задача о квадратуре круга // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: материалы Международной научной конференции. Пермь: ПГПУ, 2007. С. 275-277. (0,13 п. л.).

37. Аксёнов А.А. Роль исторических сведений в обучении решению математических задач // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: материалы Международной научной конференции. Пермь: ПГПУ, 2007. С. 277-279. (0,12 п. л.).

38. Аксёнов А.А. Формирование у студентов педагогических специальностей вузов умения обучать школьников поиску решения математических задач // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во “Старая Вятка”, 2007. С. 272-274. (0,12 п. л.).

39. Аксёнов А.А. Подготовка будущих учителей к углублённому обучению школьников математике в системе многоуровневого образования // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во “Старая Вятка”, 2007. С. 274-276. (0,13 п. л.).

40. Аксёнов А.А. Формирование умения обучать школьников поиску решения математических задач у бакалавров математики // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во “Старая Вятка”, 2007. С. 276-278. (0,12 п. л.).

41. Аксёнов А.А. О теоретико-методических основах формирования готовности будущих учителей математики к обучению школьников поиску решения задач в условиях многоуровневого образования // Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования: Сборник статей Международной научно-практической конференции: Т. 2. / Под ред. М.Н. Заостровцевой, В.З. Юсупова. Котлас: СПГУВК, изд-во “Старая Вятка”, 2007. С. 278-283. (0,32 п. л.).

42. Аксёнов А.А. Базисные задачи и их роль в обучении поиску решения задач // Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе: Материалы XXVI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. Самара, Москва: Самарский филиал МГПУ, МГПУ, 2007. С. 148-149. (0,11 п. л.).

43. Аксёнов А.А. Роль составления математических задач в обучении поиску их решения // Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе: Материалы XXVI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. Самара, Москва: Самарский филиал МГПУ, МГПУ, 2007. С. 149-150. (0,11 п. л.).

44. Аксёнов А.А. Роль задач на исследование в формировании у школьников общего умения выполнять поиск решения математических задач // Интегративный характер современного математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 2. Самара: Самарский гос. пед. ун-т, 2007. С. 8-9. (0,12 п. л.)

45. Аксёнов А.А. Обучение школьников поиску решения задач в классах с углублённым изучением математики // Интегративный характер современного математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 2. Самара: Самарский гос. пед. ун-т, 2007. С. 10-11. (0,13 п. л.)

46. Аксёнов А.А. О систематичности обучения школьников поиску решения математических задач // Интегративный характер современного математического образования: материалы Всероссийской научно-практической конференции: в 2-х ч.: часть 2. Самара: Самарский гос. пед. ун-т, 2007. С. 12. (0,06 п. л.)

47. Аксёнов А.А. Роль вертикальной интеграции профильных групп сельской малокомплектной школы в обучении учащихся поиску решения математических задач // Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании: Сборник статей и практических материалов участников Международной научной конференции / Под ред. М.И. Зайкина. Арзамас: АГПИ, 2008. С. 132-133. (0,13 п. л.).

48. Аксёнов А.А. Обучение поиску решения математических задач на уроках математики в сельской школе // Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании: Сборник статей и практических материалов участников Международной научной конференции / Под ред. М.И. Зайкина. Арзамас: АГПИ, 2008. С. 272-273. (0,12 п. л.).

49. Аксёнов А.А. Влияние интеграционных процессов в образовательной сфере на селе на подготовку учителей математики к обучению школьников поиску решения задач // Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании: Сборник статей и практических материалов участников Международной научной конференции / Под ред. М.И. Зайкина. Арзамас: АГПИ, 2008. С. 358-359. (0,13 п. л.).

50. Аксёнов А.А. О некоторых проблемах обучения учащихся поиску решения математических задач в условиях профильного обучения // Современные образовательные технологии в системе математического образования: Материалы Международной научно-практической конференции. Ч. 2. Архангельск: ПГУ, 2008. С. 159-160. (0,13 п. л.).

51. Аксёнов А.А. Обучение поиску решения задач на уроках математики в сельской школе // Современные образовательные технологии в системе математического образования: Материалы Международной научно-практической конференции. Ч. 2. Архангельск: ПГУ, 2008. С. 160-161. (0,12 п. л.).

52. Аксёнов А.А. Об организации и логическом упорядочивании поисковой деятельности школьников, осуществляемой в ходе решения математических задач // Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы: материалы V Всероссийской научно-практической конференции с международным участием “Артёмовские чтения” / под общей ред. д.п.н., профессора М.А. Родионова. Пенза. 2009. Т.1. С. 117-119. (0,12 п. л.).

53. Аксёнов А.А. О нечётких задачах, используемых в обучении школьников математике // Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования: материалы Всероссийской научной конференции: часть II / под редакцией Г.И. Саранцева. Саранск. 2009. С. 114-118. (0,2 п. л.).

54. Аксёнов А.А. Роль внутрипредметных связей в поиске и обучении поиску решения школьных математических задач // Международный научный альманах. Выпуск 3. Сборник статей преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов. Актобе: Редакционно-издательский отдел Актюбинского государственного университета им. К. Жубанова, 2009. С. 433-442. (0,62 п. л.).