Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач

В эту типологию (с известным компонентом А) не вошли задачи типов AXDB и AXDY. В них неизвестен теоретический базис, но известен способ решения. Для математических задач это не имеет места, поскольку теоретический базис - это теоретическое обоснование способа решения, следовательно, если известен способ решения, то должен быть известен и теоретический базис. Задачи типа ACDB не рассматриваются при изучении проблемы обучения поиску решения задач, так как в них известен способ решения. Таким образом, в данной работе исследуются задачи только пяти типов: ACDX, ACXB, ACXY, AXYB, AXYZ. В.И. Крупичем обосновано, что основное отношение R не влияет на типологию задач, поэтому оно не учитывалось в её выявлении.

В ходе исследования показано, что все школьные математические задачи, исходя из смысла требования, содержащегося в их формулировке, могут быть разделены на шесть основных видов: 1) задачи на нахождение; 2) задачи на доказательство; 3) задачи на построение; 4) задачи на исследование; 5) конструктивные задачи; 6) задачи, решаемые приведением конкретного примера.

Логика построения теории предопределила разделение всех школьных математических задач на четыре класса в зависимости от того, каким образом выполняется их решение: 1) задачи, в решении которых используется лишь известные алгоритмы, причём непосредственно (то есть без выполнения преобразований, выходящих за рамки предметного содержания алгоритма); 2) задачи, в решении которых непосредственно применяются только известные стандартные методы и алгоритмы; 3) задачи, в решении которых допускается использование стандартных методов (и алгоритмов), после выполнения преобразований; 4) задачи, в решении которых стандартные методы не применяются ни для какой стратегии поиска. Также к четвёртому классу отнесены задачи, в решении которых применяются общие методы решения задач. Под стандартным в диссертации понимаются такие методы, сущность которых может быть выражена теоремой (с помощью теоремы можно выразить сущность метода оценки, применяемого в решении уравнений и т. п.), а под общими - методы, сущность которых выражена совокупностью общих указаний по их применению в решении задач (метод координат, метод геометрических мест и др.).

Логикой дальнейшего развития теоретических положений работы обусловлена необходимость выделения лишь четырёх типов ситуаций, определяемых количеством теорий, средствами которых задача сформулирована и решена: 1) задача сформулирована и решена средствами одной теории; 2) задача сформулирована средствами одной теории, но решена с привлечением аппарата дополнительных теорий; 3) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена только их средствами; 4) задача сформулирована средствами нескольких теорий и решена с привлечением арсенала дополнительных теорий. Это названо четырёхаспектной типологией теоретического базиса задач.

Ю.М. Колягиным обосновано, что тип информационной структуры данной задачи зависит от того на каком этапе обучения она предложена учащимся, поэтому в диссертации информационная структура задачи определяется только в зависимости от места этой задачи в школьном курсе математики. Логика дальнейшего развития исследования позволила установить, что с точки зрения субъекта, решающего конкретную математическую задачу, её информационная структура обусловливает информационную структуру процесса логического поиска решения задачи. Эта структура имеет вид ^*S = (^*А, ^*С, ^*R, ^*D, ^*В). Здесь ^*А состоит из её условия и результатов, полученных в ходе интерпретации, равносильной переформулировки, а также прочих преобразований условия, не приводящих к нарушению логической равносильности данной задачи. ^*В состоит из требования данной задачи, понимаемого только в смысле побудительного предложения, если искомое в задаче неизвестно, и понимаемого и в качестве побудительного предложения, и искомого, если последнее известно, а также результатов, полученных в ходе интерпретации, равносильной переформулировки требования (искомого, если оно известно и допускает интерпретацию), прочих преобразований, не приводящих к нарушению логической равносильности данной задачи. ^*С включает в себя либо сам теоретический базис задачи, либо определённый круг теоретических фактов, из которых этот базис в конечном итоге вычленяется. Под ^*D понимается поиск решения задачи. Поскольку в процессе поиска решения задача расчленяется на подзадачи, то каждая их них может иметь какое-либо основное отношение, может быть, не совпадающее с основным отношением в исходной задаче. Каждое такое основное отношение (^*R) является “производным” от исходного основного отношения. Установлено, что существует пять типов информационных структур процесса логического поиска решения задач: ^*A^*C^*D^*X, ^*A^*С^*X^*B, ^*A^*С^*X^*Y, ^*A^*X^*Y^*B, ^*A^*X^*Y^*Z. Для задач типа ACDX существует только один тип информационной структуры поиска - ^*A^*C^*D^*X. Для задач типа ACXB имеют место информационные структуры поиска типов ^*A^*С^*X^*B и ^*A^*X^*Y^*B. Для задач ACXY - ^*A^*С^*X^*Y и ^*A^*X^*Y^*Z, для задач AXYB - ^*A^*X^*Y^*B, для задач AXYZ - ^*A^*X^*Y^*Z.

Логика развития исследования потребовала рассмотрения вопроса о расчленении задачи на подзадачи. Любая школьная математическая задача (за исключением решаемой в один этап) расчленяется на подзадачи, каждая из которых составляет отдельный этап решения задачи. Показано, что расчленение может быть индифферентным (если каждую из подзадач можно сформулировать безотносительно к результату решения всех остальных подзадач) и поэтапным (если логика решения последующей подзадачи детерминируется результатом решения предыдущей). Каждая подзадача является отдельной математической задачей, так как удовлетворяет трактовке понятия “задача”, принятой в диссертации. Таким образом, подзадача, которую уже невозможно расчленить на подзадачи, является структурной единицей системного анализа школьных математических задач (в контексте исследуемой проблемы). Каждой подзадаче соответствует некоторая идея её решения. Другой подзадаче может соответствовать иная идея решения, поэтому идея, реализуемая для каждой из подзадач, названа локальной. Под идеей решения задачи в диссертации понимается отображение в сознании субъекта данных, имеющихся в информационной структуре задачи (и появляющихся в качестве промежуточных результатов её решения), позволяющее понять их смысл и выполнить нахождение предметного содержания неизвестных компонентов её информационной структуры. Такая трактовка обусловлена тем, что решением задачи, согласно принятому в диссертации концептуальному подходу, является нахождение предметного содержания всех неизвестных компонентов в её информационной структуре.

Итак, решая задачи, фактически субъекту необходимо выдвигать локальные идеи её решения. Таким образом, локальная идея является структурной единицей процесса поиска решения задачи. Следовательно, обучение логическому поиску решения задач в конечном итоге - это обучение выдвижению и реализации локальных идей решения задачи. Исходя из этого, всё содержание диссертации направлено на то, чтобы раскрыть сущность обучения выдвижению и реализации локальных идей решения задачи. Речь идёт не только о непосредственных действиях, направленных на достижение этой цели в ходе решения данной задачи, но и об опосредованных факторах, например, регулярности обучения поиску решения задач и т. д. В исследовании обосновано, что основная трудность обучения поиску решения задач сопряжена с использованием в обучении задач (и подзадач) с информационной структурой поиска типов ^*A^*X^*Y^*B и ^*A^*X^*Y^*Z, относящихся к третьему и четвёртому классам, для которых невозможно индифферентное расчленение на подзадачи (они названы основными поисковыми задачами).

IV. Раскрытие сущности процесса обучения школьников логическому поиску решения задач предполагает исследование сути процедуры поиска решения. В диссертации разработан ряд опорных схем и механизмов, которые совместно теоретически моделируют внутреннюю структуру процесса поиска решения задачи. В качестве примера приведём схему № 1 и механизм № 1, частью которого является эта схема.

СХЕМА № 1

(выявления условия и требования в формулировке задач)

1. Выяснить, в чём заключается смысл побудительного предложения в формулировке задачи (оно выражено руководством к действию, вопросом и т. п.).

2. Указать объекты (фигуры, тела, понятия и т. д.), по отношению к которым сформулировано это побудительное предложение. Выяснить, содержится ли в формулировке информация об объектах (фигурах, телах, понятиях и т. д.), к которым не относится это побудительное предложение.

3. Установить взаимосвязь между всеми этими объектами (отношение принадлежности, взаимную обусловленность и т. п.). Условием данной задачи будут установленные объекты и связи между ними, требованием - смысл побудительного предложения.

4. Переформулировать задачу так, чтобы условие и требование были сформулированы в явном виде.

МЕХАНИЗМ № 1

(установления принадлежности задачи к тому или иному виду задач)

1. Разграничить в формулировке задачи условие и требование, в случае необходимости воспользоваться схемой № 1.

2. Если требование задачи таково, что в результате её решения нужно только получить результат вычислительного характера, - это задача на нахождение.

3. Если в задаче требуется лишь построить фигуру (в том числе, график функции) или комбинацию фигур - это задача на построение.

4. Если требование задачи состоит в выявлении искомого вместе с указанием условий его существования, выяснении вопроса об обладании данным объектом какими-либо свойствами и т. п., - это задача на исследование.

5. Если суть требования данной задачи состоит в том, чтобы составить условие задачи на основе некоторых сведений о ней - это конструктивная задача.

6. Если в задаче требуется доказать некоторое утверждение - это задача на доказательство.

7. Если в задаче требуется лишь установить возможность (невозможность) существования некоего факта, она относится виду задач, решаемых приведением конкретного примера. Если таким способом её решить не удаётся, она относится к виду задач на доказательство, причём “в общем виде” доказывается возможность (или невозможность) выполнения требования. Здесь возможность (невозможность) выполнения требования является искомым в задаче, и оно известно.

Ниже (рис. 1) схематически изображена теоретическая модель внутренней структуры процесса логического поиска решения задач.

Схема 1.

Рис. 1. Схематическое представление процесса поиска решения задачи.

(Заметим, что механизмы и схемы, содержащиеся в диссертации, в общем случае не предназначены для непосредственного использования учащимися. Они нужны для осмысления сути процесса поиска и действий, которые учитель должен выполнять в обучении школьников поиску решения задач.)

Таким образом, системный подход позволил выявить все основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач (с известным компонентом A в их информационной структуре), выделить структурную единицу системного анализа задач (подзадачу) и структурную единицу процесса логического поиска их решения - локальную идею решения задачи, сформулировать ряд основных положений обучения выдвижению локальных идей решении задачи. Всё это составляет теоретико-методологические основы данного исследования. Дальнейшие теоретические положения работы построены на этом теоретико-методологическом базисе.

V. В процессе логического поиска решения задачи важно определить, как связаны друг с другом теоретические факты, используемые в обосновании её решения. Поэтому в третьей главе диссертации в качестве основного ресурса процесса поиска решения задач представлены внутрипредметные связи. Проблема реализации внутрипредметных связей в обучении математике ещё не получила в науке и практике приемлемого решения, несмотря на многочисленные публикации и исследования таких авторов, как К.С. Муравин, В.А. Далингер, В.А. Богус, Г.В. Дорофеев, Л.С. Капкаева, В.В. Крылов, В.Л. Крюкова, Г.Б. Лудина, У.М. Махсудова, В.М. Монахов, В.Ю. Гуревич и др. Это объясняется многоаспектностью данной проблемы. В самом деле, внутрипредметные связи - это эффективное средство, используемое в решении многих проблем: интенсификации обучения, системности знаний и т. д., в том числе и проблемы обучения поиску решения задач.

Принятый в диссертации концептуальный подход к выполнению данного исследования позволил установить наличие только десяти основных принципиально различных видов реализации внутрипредметных связей: 1) применение одинаковых идей в решении задач, обусловленных общими логическими закономерностями, содержащимися в их формулировках; 2) применение одинаковых идей в решении задач, причём формулировки данных задач общих логических закономерностей не содержат; 3) использование базисных задач для решения некоторой совокупности задач; 4) использование дополнительных задач в решении основной задачи; 5) переформулировка исходной задачи, при которой равносильно меняется и условие, и требование; 6) непосредственный аналитический переход от одной теории к другой в ходе решения задачи; 7) решение задач, сформулированных средствами одного теоретического базиса с помощью аппарата других теорий; 8) одновременное использование сразу нескольких теорий в процессе решения задачи; 9) независимое решение одной и той же задачи с помощью арсенала разных теорий; 10) различные варианты решения одной и той же задачи средствами лишь той теории, на основе которой она была сформулирована.

В процессе исследования изучены дидактические возможности каждого из видов реализации внутрипредметных связей, обосновано, что непосредственно генерированию локальных идей в решении задач способствуют только первый, второй, третий, пятый, шестой, седьмой и восьмой виды. Также выявлены возможности применения внутрипредметных связей для осуществления аналитико-синтетического поиска решения задачи, причём речь идёт не только о видах реализации внутрипредметных связей, но и самой их сущности, состоящей в том, что любой математический факт в науке не существует обособленно, он всегда связан с какими-либо другими фактами. Во многих случаях наличие внутрипредметных связей обусловливает использование тех или иных видов их реализации в качестве эвристик - поисковых ресурсов решения задачи. С другой стороны, эти виды способствуют более глубокому пониманию школьниками сущности самих внутрипредметных связей, что способствует развитию у школьников умения выдвигать локальные идеи решения задачи.

VI. Изучение внутрипредметных связей в качестве поискового ресурса процесса решения математических задач позволило построить полную ориентировочную основу действий (ПООД), которые выполняет субъект, осуществляющий логический поиск решения задачи. Она может применяться к поиску решения любой школьной математической задачи, вне зависимости от её теоретико-методических характеристик, поэтому ПООД представлена так, чтобы на том или ином шаге (начиная со второго, для корректно сформулированных задач) её применение было приостановлено, если задачу удалось решить. В данной диссертации ПООД понимается не как универсальный способ решения математических задач, а скорее как упорядоченная совокупность подходов к выполнению поиска их решения и даже высокий уровень умения пользоваться ей не даёт субъекту гарантии решения конкретной задачи. Фактически представленная ниже ПООД - это метод анализа школьных математических задач, характерный для третьего типа ориентировки учения. Решая какую-либо задачу, учащиеся с помощью неё должны будут составить конкретную ориентировочную основу действий, выполняемых в ходе поиска решения данной задачи.

Полная ориентировочная основа действий, выполняемых субъектом в процессе поиска решения задач, структурирована пятью взаимодополняющими блоками. На уровне первого блока субъект анализирует формулировку задачи на предмет выявления и оценивания возможных путей её решения. На уровне второго блока субъект пытается применить в отыскании способа решения данной задачи известные ему на данный момент обучения стандартные методы или алгоритмы решения задачи, известные интерпретации, которые могут быть использованы в решении задач данной разновидности (например, систему двух линейных уравнений с двумя переменными можно интерпретировать как пару прямых на плоскости, заданных этими уравнениями), базисную задачу, если она задана и т. п. На уровне третьего блока задача не расчленяется на подзадачи. Здесь предпринимается попытка использовать в решении задачи известные субъекту идеи, в том числе и те, которые применялись в решении аналогичных задач. На уровне четвёртого блока задача расчленяется на ряд подзадач, причём здесь учитывается четырёхаспектная типология их теоретического базиса. На уровне этого блока основное внимание уделено решению основных поисковых задач, относящихся к числу полуэвристических. На уровне пятого блока аналогичные поисковые действия выполняются в ходе решения эвристических задач. Представим ПООД в виде блок-схемы (рис. 2).

Схема 2.

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Рис. 2. Схематическое представление ПООД.

По сути, ПООД есть обобщённая модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач. Сущность этого умения состоит в знании основных поисковых ресурсов, содержащихся в ПООД, осознании этих ресурсов как поисковых действий общего характера (то есть применимых к задачам многих разновидностей), понимании того, что в процессе поиска решения часто нужно реализовывать идеи, ранее отвергнутые как бесперспективные, и в овладении всем интегративным комплексом поисковых действий, составляющих ПООД. Таким образом, общее умение выполнять логический поиск решения школьных математических задач - не альтернатива частным поисковым умениям. Это базис, опираясь на который, субъекту необходимо определять основные стратегии поискового процесса, в рамках которых далее он может применять и частные приёмы поиска.

VII. В диссертации обосновано, что основной причиной неумения способных учащихся выполнять поиск решения математических задач является неумение самостоятельно организовывать и логически упорядочивать свою деятельность в осуществлении поиска решения задачи, которое, в свою очередь, объясняется рядом факторов. Во-первых, значительная часть ресурсов процесса логического поиска решения задач (содержащихся в ПООД) в обучении школьников целенаправленно и регулярно практически не используется. Во-вторых, большинство из этих ресурсов школьниками воспринимается лишь как конкретное средство, применяемое только для решения задач, аналогичных данной, но не осмысливается как общее поисковое действие, что не позволяет применять эти ресурсы в обучении в качестве средства, развивающего общее умение выполнять логический поиск решения задач. В-третьих, в настоящее время в школе доминирует обучение частным поисковым умениям, которые в основном применимы лишь к задачам какой-либо отдельной их разновидности. Для изменения этой ситуации необходимо чтобы школьники знали поисковые ресурсы, содержащиеся в ПООД, и осознавали сущность общего умения выполнять логический поиск решения задач, моделью которого является ПООД.

Весь процесс целенаправленного обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения задач целесообразно разделить на три этапа. На первом этапе руководящая роль принадлежит учителю, который управляет поисковой деятельностью учащихся. Здесь его обучающая деятельность, в первую очередь, состоит в формировании у учащихся основных стандартизированных поисковых умений (они отражены в первых трёх блоках ПООД), а затем - в обучении их использованию ПООД в ходе решения задач. На этом уровне основное внимание уделено обучению поиску решения задач с информационной структурой поиска типов ^*A^*X^*Y^*B и ^*A^*X^*Y^*Z, относящихся к третьему и четвёртому классам, для которых невозможно индифферентное расчленение на подзадачи и непосредственное применение стандартных методов решения (основные поисковые задачи). На втором этапе свою поисковую деятельность организуют и логически упорядочивают сами учащиеся, но речь идёт об их деятельности, выполняемой с помощью и под контролем учителя. Третий этап - это самостоятельное индивидуальное решение задач школьниками. Педагогический эксперимент показал, что третий этап в обучении в полной мере имеет место, в основном, к моменту окончания учащимися школы. Первый и второй этапы по продолжительности могут занимать один-два учебных года.

Ниже (рис. 3) представлена блок-схема, демонстрирующая иерархическую упорядоченность процесса обучения логическому поиску решения задач.

Схема 3.

Рис. 3. Иерархическая упорядоченность обучения поиску решения задач.

VIII. Также в третьей главе диссертации была рассмотрена проблема повышения эффективности использования внутрипредметных связей в обучении школьников математике, поскольку это способствует регулярности задействования видов их реализации как эвристик процесса поиска решения задач. Эффективность реализации внутрипредметных связей для данной системы задач вычисляется по формуле: и выражается в процентах, где - эффективность системы (в зависимости от использованных в её построении тем и подвидов задач школьного курса математики), - отношение количества задач, реализующих внутрипредметные связи, к общему количеству задач в системе. Под подвидом задач понимается часть данного вида задач школьного курса математики, в задачах которой одинаковое требование (с точностью до его редакции). Например, подвидами могут быть “Уравнения, неравенства и их системы”, “Преобразование графиков” и т. д. Для вычисления числа в диссертации приняты специальные соглашения, поскольку практически все методы какой-либо дидактометрии могут быть введены только посредством постулирования. Для определения числа используется графическая интерпретация (рис. 4) и несколько соглашений, сформулированных для неё. В первом квадранте координатной плоскости вдоль горизонтальной оси фиксируются темы (теории), изучаемые в школьном курсе математики. Вдоль вертикальной оси фиксируются подвиды задач школьной математики. Единичный отрезок на обеих осях одинаковый. Задачи, принадлежащие одной теме (одному подвиду), будут располагаться внутри вертикальной (горизонтальной) полосы единичной ширины. Каждый единичный квадрат - модель типа СВ, каждый вертикальный прямоугольник единичной ширины - модель типа СВ^*, каждый горизонтальный прямоугольник единичной ширины - модель типа С^*В, любая другая фигура - модель типа С^*В^*. Символ (*) означает, что в модели данного типа содержатся задачи, имеющие отношение к нескольким темам и (или) подвидам задач. Теоретически и экспериментально установлено, что внутрипредметные связи достаточно эффективны, если .

Рис. 4. Графическая интерпретация оценки эффективности реализации внутрипредметных связей.

IX. Теоретически обосновывая методику обучения школьников логическому поиску решения математических задач, необходимо рассмотреть прикладной аспект исследуемой проблемы. Этому посвящена четвёртая глава диссертации. В ходе овладения применением каждого поискового ресурса школьникам необходимо осознать степень его общности, осмыслить его как поисковое действие. Для этого им надо предлагать задачи, в ходе решения которых нужно выделять действия, адекватные каждому из поисковых ресурсов. Это является основой формирования у школьников способности логически рассуждать в ходе обучения их умению задавать себе вопросы, выполняя поиск решения задачи. Следовательно, поисковые ресурсы, описанные во второй и третьей главах, могут выступать в качестве средства, реализующего деятельностный подход в обучении логическому поиску решения школьных математических задач, поскольку в современной теории и методике обучения математике утвердилось мнение, что деятельностный подход, в частности, лежит в основе обучения учащихся способам логических рассуждений, самостоятельному “открытию” теоретических фактов, способов решения задач, и предполагает выделение совокупности действий, адекватных понятиям, теоремам и методам решения задач. Основных поисковых ресурсов довольно много, поэтому возникает проблема систематизации обучения их освоению, а так как они реализуют деятельностный подход в обучении математике, то решать данную проблему целесообразно на его основе. Справедливость этого утверждения косвенно подтверждает тот факт, что в публикациях и исследованиях по проблеме систематизации школьных математических задач таких авторов, как К.И. Нешков, А.Д. Сёмушкин, В.П. Радченко, Л.Н. Скаткин, Е.В. Смыкалова, А. Фуше, А.Я. Цукарь, Б.И. Аргунов, М.Б. Балк, М.И. Башмаков, Э.Г. Готман, Ф.А. Орехов, Т.М. Савина, и др. рассмотрены другие подходы к её решению, однако актуальность проблемы обучения логическому поиску решения задач в настоящее время не снята, что обусловливает поиск иных путей её исследования.

Деятельностный подход к обучению математике исследовался многими учёными (А.А. Столяром, О.Б. Епишевой, Г.И. Саранцевым, М.А. Родионовым, Р.А. Утеевой, С.Л. Валитовой, О.Ю. Глуховой, Г.Н. Ермаковой, и др.) Однако в работах этих авторов деятельностный подход к обучению математике реализуется посредством описания деятельностной природы самого знания. Настоящее исследование предполагает теоретическое изучение сущности школьных математических задач, то есть оно выполнено на ином теоретико-методологическом базисе. Поэтому в контексте исследуемой в диссертации проблемы необходимо выявить виды деятельности, раскрывающие сущность теоретических положений, описывающих процесс поиска решения математических задач и обучение поиску их решения (изложенных во второй и третьей главах диссертации). Таким образом, в данной работе в рамках деятельностного подхода исследуется детерминация специфических особенностей деятельности субъекта (выполняемой в процессе поиска решения задач) всеми выявленными ранее теоретико-методическими характеристиками школьных математических задач, и обусловливаемыми ими видами реализации внутрипредметных связей.

В ходе исследования были выявлены девять основных видов деятельности, выполняемой в процессе работы над задачей: 1) исследование формулировки задачи; 2) освоение навыков, используемых в решении задач; 3) изучение (или использование) метода (стандартного или общего) решения задач; 4) изучение (или использование) нового вида реализации внутрипредметных связей; 5) изучение (или использование) аналитического метода поиска решения задачи; 6) изучение (или использование) синтетического метода поиска решения задачи; 7) составление математических задач учащимися; 8) работа с решённой задачей; 9) овладение действиями, адекватными конкретному блоку ПООД (в ходе решения задач).

Решая конкретную математическую задачу, субъект выполняет несколько видов деятельности, значимость которых для решения данной задачи, очевидно, неодинакова. Среди них практически всегда можно указать ту деятельность, которая для решения этой задачи является наиболее значимой. В диссертации такая деятельность названа доминирующей. В основу систематизации школьных математических задач, осуществляемой в контексте деятельностного подхода к обучению поиску их решения, положена доминирующая деятельность учащихся. Смысл этой систематизации в том, что в одну систему объединяются задачи, предопределяющие одну доминирующую деятельность, в другую систему - задачи, детерминирующие другую доминирующую деятельность. Под системой в данном случае понимается множество элементов, на котором реализовано данное отношение с фиксированными свойствами (А.И. Уёмов). Под “данным отношением” будем понимать вид доминирующей деятельности. Следует учесть, что задачи данной системы могут предопределять одну доминирующую деятельность, выполняемую в ходе их решения, или это не имеет места по причине того, что одну такую деятельность задачи данной системы детерминировать не могут. Таким образом, можно составлять системы задач с одной доминирующей деятельностью (монодоминантные) и несколькими доминирующими видами деятельности (полидоминантные). Для полидоминантных систем характерно доминирование нескольких видов деятельности, но и среди них можно выделить наиболее значимый вид в пределах дидактических функций данной системы задач, который является главным фактором систематизации. Таким образом, полидоминантную систему в первую очередь составляют на основе главного фактора систематизации, а затем поочередно учитывают все остальные доминирующие виды деятельности, предопределяемые образующими её задачами. Следовательно, задачи, составляющие полидоминантную систему, совместно обусловливают наличие новых интегративных качеств, не присущих каждой из задач в отдельности, то есть удовлетворяют и другой трактовке понятия “система” (В.Г. Афанасьев).

В контексте дальнейших исследований показано, что полидоминантные системы задач целесообразно разделить на два типа: обучающие и поисковые. Обучающими системами будут такие, в которых главным фактором систематизации является какой-либо вид деятельности за исключением первого (он применяется для монодоминантных систем) и девятого. Поисковыми названы системы, в которых главным фактором систематизации является девятый вид деятельности. В применении обучающих систем собственно поиск решения задач имеет второстепенное (хотя и важное) значение, а на первом месте находится овладение учащимися всеми поисковыми ресурсами. Поэтому для таких систем задач в качестве главного фактора систематизации используются второй-восьмой виды деятельности, так как эти виды обусловливают действия, непосредственно направленные на освоение всего инструментария поискового процесса. Поисковые системы предназначены непосредственно для обучения школьников выполнению логического поиска решения задач. В диссертации разработаны методы, с помощью которых могут быть составлены обучающие и поисковые полидоминантные системы школьных математических задач.

X. В одной системе задач невозможно учесть все поисковые ресурсы, которые необходимо задействовать в целенаправленном обучении поиску их решения. Поэтому возникла необходимость в упорядочивании самих систем задач. То есть системы нужно располагать в учебном предмете так, чтобы совместно они охватили все основные поисковые ресурсы. Решая данную проблему, нужно принять во внимание не только тему, изучаемую школьниками в данный момент, но и темы, изученные учащимися ранее. Пропедевтически следует ориентироваться и на темы, которые только предстоит изучать. Этому в значительной мере способствуют внутрипредметные связи. Итак, упорядочивать системы школьных математических задач можно внутри одной текущей темы (внутритематическое упорядочивание), а также в рамках нескольких тем (межтематическое упорядочивание). На рис. 5 схематически изображено внутритематическое и межтематическое упорядочивание двух тем. Условные обозначения этого рисунка таковы: Б 1 (Б 2) - блоки учебного материала темы; МС_i - монодоминантные системы; ПОС_j и ППС_k - полидоминантные обучающие и поисковые системы соответственно; ТМ_l - отдельная часть теоретического материала темы, соответствующая данному блоку (в изучении большинства тем после знакомства с частью теоретического материала учащиеся решают некоторое количество задач и т. д.).

В частных случаях в данной теме при осуществлении внутритематического упорядочивания могут быть не задействованы монодоминантные или поисковые полидоминантные системы, что обусловливается спецификой учебного материала. Межтематическое упорядочивание необходимо лишь тогда, когда для некоторых (смежных) тем не может быть в полной мере выполнено внутритематическое упорядочивание. Такие темы объединяются в группы с целью их взаимного уравновешивания по параметрам (виды задач, доминирующие виды деятельности, виды реализации внутрипредметных связей), в соответствии с которыми в каждой из них в полной мере не состоялось внутритематическое упорядочивание. С этой целью в системах задач из последующей темы учитывается то, что не нашло места в предыдущей теме. Для осуществления внутритематического и межтематического упорядочивания систем школьных математических задач в диссертации разработаны соответствующие методы.

Схема 4.

Рис. 5. Внутритематическое и межтематическое упорядочивание систем математических задач.

Разумеется, такое упорядочивание систем математических задач не может быть выполнено в ущерб другим методическим аспектам обучения математике, а также с нарушением логики процесса познания и процесса обучения. Поэтому в диссертации рассмотрена проблема изложения теоретических фактов (определений, трактовок понятий, теорем, свойств изучаемых объектов) и предложен такой способ её решения, который, во-первых, обеспечивает сохранение в школьном курсе математики внутринаучных связей, что позволяет избежать нарушений в логике изложения учебного материала без ущерба для качества его усвоения школьниками, а во-вторых, способствует повышению эффективности обучения поиску решения задач. В данном контексте была рассмотрена проблема наиболее рационального расположения тем, видов и подвидов задач в школьном курсе математики, причём она была рассмотрена и в рамках одного предмета (например, геометрии), и в рамках всей школьной математики. Решение этой проблемы заключается в нахождении факторов, обусловливающих такое расположение изучаемых тем в структуре каждого из предметов (алгебры, геометрии и математического анализа), а также видов и подвидов задач внутри каждой отдельной темы, при котором обучение поиску решения задач является регулярным и систематичным. В её решении были учтены такие факторы, как разделение курса математики на то или иное количество отдельных предметов, реализация внутрипредметных связей и т. д.

Таким образом, обучение логическому поиску решения школьных математических задач в учебном процессе реализуется на основе диалектического единства его процессуальной и содержательной составляющих. Суть первой из них моделирует ПООД, суть второй заключается в упорядочивании процесса обучения, осуществляемом на основе деятельностного подхода, что позволяет регулярно использовать в обучении основные поисковые ресурсы, и даёт возможность учащимся осмыслить их как общие поисковые действия (рис. 6).

Схема 5.

Рис. 6. Общая схема процесса обучения логическому поиску решения задач.

XI. В современной теории и методике обучения математике теоретически описано понятие “математическая задача”. В частности, предложены его трактовки, введены понятия внутренней и информационной структуры задачи, охарактеризованы её компоненты, предложены способы оценки сложности и трудности задачи и т. д. Но всё это характеризует лишь саму задачу, но не описывает теоретически процесс поиска её решения. В диссертации предпринята попытка восполнить этот пробел. На схеме 6 проиллюстрирована теоретическая концепция исследования (рис. 7). Суть концепции разъяснена ниже.

Схема 6.

Рис. 7. Иллюстрация теоретической концепции исследования.

Решая математическую задачу, необходимо от её условия (компонент A информационной структуры) прийти к выполнению требования (компонент B). Теоретически описать этот переход невозможно без учёта компонентов C и D. Но в общем случае компонент C состоит из нескольких теоретических фактов, между которыми надо выявить взаимосвязь, что и позволит обосновать способ решения задачи, а это составляет сущность компонента D. Таким образом, в процессе поиска решения школьной математической задачи устанавливаются внутрипредметные связи, а его ядром является нахождение предметного содержания компонентов C и D её информационной структуры. На этой основе построена обобщённая модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач (ПООД), а с её помощью объяснена причина неумения школьников находить способ решения задач. В совокупности с необходимостью осмысления основных поисковых ресурсов (содержащихся в ПООД) как общих поисковых действий, эта причина предопределила осуществление обучения школьников логическому поиску решения задач на основе деятельностного подхода, реализация которого описана с помощью девяти основных видов деятельности. Это дало возможность систематизировать задачи и упорядочить процесс обучения поиску решения задач, сделать регулярным применение основных поисковых ресурсов в обучении школьников.

XII. Педагогический эксперимент по проблеме обучения школьников поиску решения математических задач осуществлялся в период с 1996 по 2007 год. Поисковый этап эксперимента заключался в выявлении основных особенностей обучения решению задач учащихся школ (классов) с углублённым изучением математики. В частности, было установлено, что одну из главных ролей в обучении этого контингента школьников решению задач играют внутрипредметные связи, реализуемые посредством решения задач. Впоследствии данная проблема была изучена теоретически. Затем экспериментальная работа показала, что даже эффективная реализация внутрипредметных связей не позволяет в полной мере решить проблему обучения школьников решению задач, поскольку данный методический ресурс в его непосредственном применении является лишь необходимым средством, используемым в обучении поиску решения задач. Это дало повод к переосмыслению роли внутрипредметных связей в обучении математике и изучению их возможностей в формировании умения выполнять поиск решения задач. Последующее теоретическое исследование этой проблемы привело к выводу о необходимости формирования общего умения выполнять поиск решения задач в контексте деятельностного подхода к обучению математике, поскольку внутрипредметные связи предопределяют осмысление основных поисковых ресурсов как общих поисковых действий.

В 2002-2007 годах в ряде школ г. Орла и Орловской области был проведён формирующий эксперимент, целью которого стала проверка сформулированной в работе гипотезы. Также в ходе эксперимента было необходимо определить конкретные количественные значения трудности задач, позволяющие ранжировать задачи по этой их характеристике. Экспериментальная работа проводилась, в основном, в классах физико-математического и экономико-математического профиля. В сравниваемых между собой экспериментальных и контрольных классах работал один и тот же учитель математики. Экспериментальное обучение школьников длилось с 7 по 11 класс. В обучении семиклассников выполнялась пропедевтика сведений о математических задачах и специфических особенностях выполнения поиска их решения. Целенаправленное обучение общему умению выполнять логический поиск решения задач осуществлялось с 8 по 11 класс.

В ходе проведения эксперимента были получены некоторые побочные результаты. В частности, было установлено, что отношение задач к одному из уровней трудности является более достоверным критерием этой их характеристики, чем их ранжирование по количественному показателю трудности. Ещё одним побочным эффектом явилось повышение количественного критерия эффективности реализации внутрипредметных связей в ряде систем, задействованных в обучении поиску решения задач. В экспериментальном обучении были использованы некоторые системы задач, которые применялись в формирующем эксперименте предыдущего диссертационного исследования. В связи с целью настоящего исследования они были незначительно изменены, что и привело к вышеуказанному эффекту. Этот факт можно объяснить тем, что в данной работе внутрипредметные связи рассмотрены как основной ресурс процесса обучения логическому поиску решения задач, поэтому соответствующее построение систем задач, используемых в обучении, сопровождается повышением эффективности реализации внутрипредметных связей. Заметим, что это повышение эффективности для соответствующих систем задач, в принципе, не требовалось, поскольку для каждой из них коэффициент Q составлял около 60%.

В экспериментальном обучении школьников использовались системы задач, составленные на основе теоретических положений, изложенных в диссертации. Можно утверждать, что выдвинутая в исследовании гипотеза будет подтверждена статистически, если различие в умении выполнять поиск решения задач, выявляемое на разных этапах процесса обучения, для учащихся экспериментальных и контрольных классов будет статистически значимым. В конце каждого полугодия эти учащиеся выполняли одинаковые контрольные работы, оцениваемые по традиционной пятибалльной шкале. Для статистической обработки их результатов использовался критерий Манна-Уитни для уровня значимости = 0,05. Для учащихся одиннадцатых классов различия в умении выполнять поиск решения задач были статистически значимыми, а для учащихся десятых классов различие было статистически значимым за исключением двух случаев (в первом полугодии). Ниже (рис. 8) приведена диаграмма, иллюстрирующая одно из таких сравнений (для учащихся одиннадцатых классов).

Диаграмма 1.

Рис. 8. Сравнение результатов экспериментального и контрольного обучения.

Также в ходе эксперимента были выделены три основных уровня овладения умением выполнять логический поиск решения задач: высокий; средний; ниже среднего и низкий. Им соответствуют отметки: “отлично”; “хорошо”; “удовлетворительно” и “неудовлетворительно”. Установлено, что умением выполнять поиск решения задач 30,2% учащихся экспериментальных классов овладели на высоком уровне, 46,7% - на среднем уровне, 23,1% - на уровне ниже среднего и низком. Приведённые значения являются средним арифметическим количества отметок “отлично”, “хорошо”, “удовлетворительно” и “неудовлетворительно”, подсчитанным для всех контрольных работ, результаты которых подвергались статистической обработке (рис. 9).

Диаграмма 2.

Рис. 9. Сформированность умения решать задачи.

Результаты статистической обработки данных, полученных в ходе проведения формирующего эксперимента, позволяют утверждать, что экспериментально подтверждён тезис о том, что для школьника научиться выполнению логического поиска решения математических задач - это значит овладеть умением самостоятельно организовывать и логически упорядочивать свою деятельность в процессе поиска их решения, что удалось большинству учащихся экспериментальных классов к моменту окончания средней школы. Этот качественный критерий проявляется в том, что после длительного целенаправленного обучения школьники акцентируют процесс поиска решения задачи на логическом его аспекте. Опытному учителю нетрудно определить это по качеству ответов учащихся у доски, сущности вопросов, задаваемых ими, и сути попыток выполнения поиска решения тех задач, которые им не удалось решить и т. п.

Обучая школьников поиску решения задач, учитель математики первоначально должен сосредоточить своё внимание на четырёх обстоятельствах. 1. Помогая школьникам выполнять поиск решения задачи, учить их составлению конкретной ориентировочной основы действий, опираясь на сущность внутрипредметных связей. 2. Оказывать учащимся помощь в освоении поисковых ресурсов, способствовать осознанию ими этих ресурсов как общих поисковых действий 3. Помогать учащимся овладевать умением управлять своей деятельностью, выполняемой в процессе поиска решения задач. 4. Регулярно использовать в обучении задачи всех видов и классов, учитывать четырёхаспектную типологию теоретического базиса задач. После этого он может более детально применять в своей работе основные положения данного исследования.

В результате применения всех вышеописанных средств не удалось добиться какой-либо экономии времени, так как умение выполнять поиск решения задачи требует долгосрочного формирования, а кроме того, самостоятельное решение задач школьниками, осуществляемое в обучении математике, также требует немалого количества времени. Как и ожидалось, овладение умением выполнять поиск решения задач учащимися достигается, преимущественно, к моменту окончания ими средней школы. Таким образом, гипотеза, выдвинутая в данном исследовании, в целом экспериментально подтверждена.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ