Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического ВУЗа

8

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора педагогических наук

Теория и методика обучения и воспитания

Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза

Сотникова Ольга Александровна

Москва - 2009

общая характеристика работы

Актуальность исследования. В настоящее время образование выступает как важнейший компонент культурного развития человека и общества в целом. Традиционная модель образования, концентрирующаяся на формировании знаний, умений и навыков, стала непродуктивной в условиях современного общества, поэтому в системе образования наметился поворот к выработке новой парадигмы, постулирующей единство культуры и образования: твердо наметилась тенденция к реализации культуротворческой модели обучения, акцентирующей внимание на развитие учащихся, усиление когнитивной функции знания, формирование личности креативного типа, способной к созидающей деятельности. В этой связи в современном школьном образовании наблюдается индустриализация обучения, связанная с внедрением компьютерных технологий, переход к активным формам обучения, изменение способов учебного процесса, реализуется профильное обучение в старшей школе, вводятся элективные курсы и др.

Названные обстоятельства требуют внесения корректив в процесс подготовки учителя математики в вузе: невозможно сохранить традиционный подход к обучению, если взгляд на образование меняет свой характер. Его необходимо направить на «культурное» измерение дисциплин, освободив его от догматичности, предоставив личности разумную свободу, собственный выбор пути познания, восприятие целостного мира и своего места в нем. В этой связи в системе высшего образования наметилась герменевтическая тенденция, состоящая в том, что обучение нацелено на глубинное понимание материала студентами, при котором предметные знания учителя становятся готовыми не только к воспроизведению, но и воспроизводству («построению заново»), конструированию.

Изучение предметных дисциплин при подготовке учителя математики в педагогическом вузе имеет назначение как в плане профессионального становления учителя, так и в плане общего развития студента, отвечающего его интересам и потребностям. Учитель должен хорошо понимать содержание своего предмета. Только в этом случае можно надеяться, что он справится с задачей обучения этому предмету учеников. Обеспечение фундаментальными математическими знаниями будущего учителя составляет базисную функцию предметных дисциплин в педагогическом вузе. Другая их функция связана с тем, что интерес к математике является неотъемлемой чертой студентов математических факультетов, а потому предметные дисциплины выполняют познавательную функцию, т.е. изучение математики служит удовлетворению и развитию познавательных потребностей студентов.

На первый взгляд, студенты должны изучать то, что хотят изучать. В этой согласованности требований к студентам и их желаний прогнозируем резонанс знаний. Вместе с тем, практика и проводимые исследования показывают, что уровень математической подготовки учителя математики не очень высок и в последние годы даже снижается. Отмечаются такие недостатки, как формальность и фрагментарность знаний студентов. Без устранения причин, порождающих эти недостатки в математических знаниях студентов, невозможно функционирование предметных дисциплин. Следовательно, методика изучения предметных курсов нуждается в существенном изменении.

Необходимо отметить, что математическое содержание дисциплин в педвузе, как правило, представлено однозначно в форме определений, теорем, доказательств и т.д. Набор иллюстративных примеров математических понятий и идей не столь уж велик. Такая специфика часто подвигает студента лишь на запоминание (фактов, примеров, способов решения задач и т.д.) без привлечения механизмов понимания (сущности изучаемых абстракций, способов, математических методов и т.д.). Это проявляется в формальном «усвоении» математики, что недопустимо для будущего учителя. Иначе говоря, в реальном учебном процессе базисная функция предметных дисциплин при подготовке учителя математики не реализуется. Можно сказать, что первое противоречие, неразрешимость которого ведет к формальным знаниям студентов, состоит в «формальности» предметного содержания математических дисциплин и необходимости его глубокого понимания студентами.

Попытки изменения учебных планов и программ в педагогических вузах, введение государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования, проявление тенденции гуманитаризации обучения не изменили подход к обучению вузовской математике. Он по-прежнему носит когнитивно-информационный характер (причем больше информационный). В преподавании математики превалирует догматичность изложения материала, трансляция фактологических сведений. В некоторых случаях для математики данный подход вполне уместен, а потому дает положительные результаты, но он не решает проблему фрагментарности знаний студентов. Подлинное знание, которое может выполнять познавательную функцию, связано с целостностью предмета, поэтому второе противоречие в изучении математики заключено в его реальной фрагментарности и необходимости целостности.

Указанные противоречия присущи, пожалуй, многим математическим дисциплинам, но при изучении вузовской алгебры они проявляются особенно. Ее материал часто не позволяет апеллировать к «житейским» и наглядно-образным представлениям. Предметное содержание курса алгебры представляет собой совокупность отдельных математических теорий. Изложение алгебраических теорий строго подчиняется принципам дедуктивного построения, обоснования выводов опираются на законы формальной логики. Ярко выраженная формализованность алгебраического материала и его фрагментарность обнажают противоречия при его изучении. Для их преодоления требуется отыскать основу, на которой возможно построение курса алгебры в нацеленности на понимание материала. Если курс алгебры изучается вне подлинного понимания, то он не оказывает пользы в профессиональном аспекте, не способствует развитию студента, не отвечает требованиям герменевтического подхода к обучению.

Герменевтический подход к обучению учитывает многие виды деятельности: моторные, языковые, психологические и др. С психолого-методологических позиций целесообразно вести речь о понимании, характеризующемся владением смыслом изучаемой предметной области, т.е. о «культурном понимании» (термин В.П. Зинченко).

Анализ психолого-педагогической и методической литературы (А.А. Вербицкий, Л.П. Доблаев, О.Б. Епишева, В.И. Загвязинский, В.П. Зинченко, Т.А. Иванова, И.С. Сафуанов и др.) показывает, что проблема понимания в обучении с позиции деятельности только поставлена, причем в общепедагогическом аспекте, ее методические составляющие мало исследованы.

Способы достижения продуктивной предметной подготовки будущих учителей математики в вузе разрабатывались Л.Д. Кудрявцевым, А.Г. Мордковичем, В.Т. Петровой, М.В. Потоцким, Е.И. Смирновым, В.А. Тестовым, Г.Г. Хамовым, Л.В Шкериной, А.В. Ястребовым и др. В психолого-педагогических исследованиях понимание математического материала чаще всего рассматривается с позиции логико-математических принципов (О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, А.М. Сохор, А.А. Столяр и др.).

Как показывает анализ психологической и философской литературы (Н.С. Автономова, Л.С. Выготский, А.А. Брудный, Л.П. Доблаев, В.П. Зинченко, В.В. Знаков, М.С. Роговин, В.В. Розанов, Г.И. Рузавин, Ст. Тулмин, В.Д. Шадриков и др.), для понимания студенту необходимо самому устанавливать связи в материале. С методологических позиций установление связей в процессе изучения студентами математического материала целесообразно рассматривать в фундаменталистской модели математического познания: «объективный смысл» заложен в учебном тексте, и процесс его обретения есть раскрытие связей в материале. С этой точки зрения фактологические знания предметных курсов важны будущему учителю математики постольку, поскольку с их помощью осуществляется овладение смыслом тех математических методов, идей и т.д., которые дают возможность учителю решать задачи методики современного школьного обучения. Такое понимание учебного математического материала мы называем профессионально-педагогическим.

Связи в математическом материале могут быть различными. Одни связи имеют формальный характер, другие имеют процедурную природу. Содержательные связи являются связями, вскрывающими сущность знания, его основания, истоки и перспективы развития. Они определяют, почему знания связаны. В методических исследованиях в основном осуществляется поиск путей установления формальных и процессуальных связей, т.е. рассматривается логико-математический аспект математического материала. Понятие содержательных связей раскрыто в работах В.А. Далингера, В.В. Крылова, Е.И. Лященко, В.М. Туркиной, но применительно к школьной математике, содержательной по своей сущности. Для вузовских курсов понятие содержательных связей в математическом материале в научной и методической литературе явно не определено, не выделен и методический аспект их раскрытия субъектом познания.

Содержательные связи наполняют содержанием формальные и процессуальные связи, позволяют материалу образовать единство. Поэтому содержательные связи характеризуют целостность материала, причастность к общему в его конкретной разновидности. Методология познания акцентирует внимание на неразрывной связи понимания и целостности: понять можно только то, что наделено свойством целостности, и понимание достигнуто, если знания обладают этим свойством. Поэтому раскрытие студентами содержательных связей в математическом материале играет фундаментальную роль в процессе понимания. Вследствие этого понимание математического материала в процессе изучения предметных курсов можно трактовать как раскрытие содержательных связей самим студентом.

Для определения того, какие содержательные связи наиболее важны для понимания, необходимо обратиться к понятию целостности. Принципу целостности в исследованиях понимания в обучении математике пока не уделено должного внимания. Однако без поиска путей организации обучения, выделяющих целостность материала, т.е. организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей, проблему понимания в обучении вузовской математике не решить.

Наибольшую трудность в раскрытии содержательных связей представляет курс алгебры. Его материал высоко абстрактен, внешне оторван от материала школьной математики, особенно раздел «Алгебраические системы». Оперирование понятиями в математических теориях порой сводимо к оперированию символами, что часто ведет к формальности знаний. Приоритет логических связей внутри каждой отдельной математической теории часто порождает фрагментарность знаний: студенты порой оперируют понятиями одной теории, но затрудняются выделить общность различных теорий в устройстве, идеях и методах, способах образования понятий и т.д.

Результаты анализа знаний студентов и собственный опыт работы в вузе позволили прийти к выводу, что содержательные связи в курсе алгебры не раскрываются студентами. Ими часто выделяются лишь связи локального характера, и выполняется это поверхностно. Связи, вскрывающие суть отношений изучаемых понятий, в курсе алгебры глубоко скрыты абстракциями и оказываются не задействованными студентом в учебном познании. Такой процесс современному учителю математики не обеспечивает предметную подготовленность необходимого уровня.

Сказанное позволяет заключить, что в системе обучения курсу алгебры педагогического вуза имеются противоречия между необходимостью реализации подхода к обучению, направленного на глубокое профессионально-педагогическое понимание математического материала, в процессе которого осуществляется деятельность студентов по установлению содержательных связей в математическом материале, и ограниченными возможностями научно обоснованных методических систем и средств по организации деятельности студентов, в рамках которой раскрывается целостность содержания курса алгебры, образованная содержательными связями.

Требования современной системы образования свидетельствуют об актуальности темы «Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза», выбранной для исследования.

Вышеуказанные обстоятельства и отмеченное противоречие определяют научную проблему настоящего диссертационного исследования. Она состоит в неполноте научно-теоретических положений по организации такой деятельности студентов в процессе обучения алгебре педагогического вуза, которая направлена на раскрытие студентами содержательных связей в математическом материале, составляющих целостность предметных знаний будущего учителя математики, определяющих процессуальность методической подготовки средствами предметных дисциплин.

Научная проблема исследования определяет следующие методологические характеристики исследования.

Цель исследования состояла в разработке теоретических положений по организации деятельности студентов, направленной на раскрытие содержательных связей при обучении курсу алгебры педагогического вуза и условий их реализации в нацеленности обучения на профессионально-педагогическое понимание математического материала.

Поскольку понимание есть раскрытие объективных содержательных связей, то достижение цели исследования можно осуществить, определив специфику содержательных связей в курсе алгебры, составляющие учебно-познавательной деятельности по их раскрытию.

Объект исследования: процесс обучения алгебре при подготовке учителя математики в педагогическом вузе.

Предмет исследования: методология содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза и способы деятельности по их раскрытию.

Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что обучение алгебре в педагогическом вузе, реализуемое в рамках организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей, будет направлено на достижение такого уровня профессионально-педагогической подготовки учителя математики, который характеризуется:

1) владением алгебраических понятий на обобщенном уровне, которое будет проявляться в:

- использовании конструктивного и формального смысла алгебраических понятий, проявляющемся в вариативности трактовок в теоретическом материале курса алгебры, установлении морфизмов алгебраических структур, построении интерпретаций,

- выделении компонентов обобщенного понятия алгебраической структуры в математическом материале (в том числе и школьном);

2) развитыми умениями решать математические задачи теоретического уровня, которые будут проявляться в:

- получении аргументированных математических утверждений, обладающих свойством общности, на предметном материале как уровня интуитивных теорий, так при работе с аксиоматическими теориями;

- построении интерпретационных задач, конкретизирующих как условие, так и решение теоретических задач;

_ систематизации задач и их решений, построенной на принципах обобщения и абстрагирования.

Цель исследования, его предмет и гипотеза определили необходимость решения следующих задач.

1. Выделить основные тенденции современного образования и определить ключевые проблемы на данном этапе развития образования.

2. Изучить основные направления решения проблемы организации обучения студентов, ориентированного на профессионально-педагогическое понимание математики, в философской, психолого-педагогической, методической литературе и вузовской практике.

3. Выявить основные идеи и сформулировать исходные положения в решении проблемы организации обучения студентов, ориентированного на профессионально-педагогическое понимание математики, в современном вузовском преподавании на основе теоретического анализа проблемы.

4. Разработать теоретические положения концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры при подготовке учителя математики в педагогическом вузе.

5. Разработать теоретические положения по организации обучения курсу алгебры в рамках реализации концепции раскрытия содержательных связей студентами.

6. Разработать методические положения реализации курса алгебры, построенного на концепции раскрытия содержательных связей.

7. Экспериментально проверить эффективность курса алгебры, построенного на концепции раскрытия содержательных связей, и методической системы его реализации в вузовской практике.

При выполнении исследования использовались следующие методы:

- анализ философской, психолого-педагогической, математической (истории математики), методической и учебной литературы с целью обращения к первичным основаниям и обоснованиям темы исследования (метаанализ);

- анализ нормативных документов: концепции модернизации системы образования до 2010 года, федеральной программы развития образования, государственных образовательных стандартов, учебных программ по курсу алгебры для педагогических специальностей;

- теоретическое осмысление результатов исследований в теории и методике обучения вузовской математике;

- анализ опыта обучения вузовской алгебре, в том числе собственного опыта работы в вузе;

- психолого-педагогические наблюдения за учебной деятельностью студентов;

- моделирование педагогических ситуаций;

- анкетирование студентов, учителей, преподавателей вузовской математики;

- беседы со студентами, учителями, преподавателями вуза;

- проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов.

Теоретическую и методологическую основу исследования составили:

_ положения теории познания и герменевтики (Н.С. Автономова, А.А. Брудный, Ю.П. Ведин, Х.Г. Гадамер, Д.П. Горский, В.А. Карпунин, Ю.А. Петров, В.А. Лекторский, Г.И. Рузавин, Г. Фреге, А. Черч, С.А. Шапоринский и др.);

_ концепции современной философии образования (В.С. Библер, М.Е. Бершадский, Б.М. Бим-Бад, А.П. Валицкая, Б.С. Гершунский, О.В. Долженко, А.С. Запесоцкий, А.А. Нестеров, С.Ю. Трапицын и др.);

_ системно-структурный подход и его применение в теории и методике обучения и воспитания математике (И.В. Блауберг, Н.В. Кузьмина, Е.И. Лященко, Ю.А. Петров, Г.И. Саранцев, В.А. Тестов, А.И. Уёмов, Э.Г. Юдин и др.);

_ теоретические положения: культурно-исторической психологии и психологической теории деятельности (А.Г. Асмолов, Г.А. Балл, Дж. Брунер, Л.М. Веккер, М. Вертгеймер, Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, И.А. Зимняя, В.П. Зинченко, Л.В. Знаков, М. Коул, И.С. Якиманская и др.), дидактики высшей школы (А.А. Вербицкий, В.И. Загвязинский, И.И. Ильясов, Н.В. Кузьмина, Н.Д. Никандров и др.), теории и методики обучения математике (А.Я. Блох, Н.Я. Виленкин, Я.И. Грудёнов, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, Е.И. Лященко, Н.В. Метельский, А.Г. Мордкович, Н.С. Подходова, М.В. Потоцкий, Н.Л. Стефанова, А.А. Столяр, В.А. Тестов, Г.Г. Хамов и др.);

_ методология математики и методология обучения математике (Г. Вейль, Е.М. Вечтомов, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.В. Мадер, Г.И. Рузавин, Г.И. Саранцев, А. Черч и др.).

Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы явились кафедра методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова; кафедра высшей математики Коряжемского филиала Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова; кафедра алгебры и геометрии Вятского государственного гуманитарного университета; кафедра высшей математики Ленинградского государственного университета им. А.С. Пушкина; кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике Коми государственного педагогического института.

Научная новизна исследования заключается в том, что:

1. Предложена научно обоснованная целостная концепция раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза, воплощающая продуктивную идею единства методологии математического познания и организации процесса изучения математического материала путем структурирования предметного содержания дисциплины с целью придания ему свойства целостности и соответствующей организации самостоятельной деятельности студента по раскрытию этой целостности. Научные идеи, составляющие содержание концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза, обогащают дидактическую концепцию личностно-деятельностного подхода к обучению в разработке составляющих процесса учения: субъектный опыт представляется как процесс выделения формализованного и конструктивного смысла математических понятий и вариативных отношений между ними.

2. Раскрыта внутренняя связь между понятием целостности математического материала и аспектами процесса его понимания при изучении вузовской математики не только по линии освоения знания, но и на основе выделения идейной общности математических теорий, которой овладевает студент, в силу чего он становится профессионально мотивированным к изучению вузовской математики и подготовленным к восприятию методических дисциплин в своих умениях выполнять содержательный анализ математического материала. На основе этой выделенной методологической связи целостности и психолого-педагогического понимания математического материала предложена научная методическая идея организации деятельности студентов по изучению курса алгебры, состоящая в том, что направленность организации учебной деятельности определяется составом содержательных связей, определяемых обобщенным понятием алгебраической структуры, в их органическом единстве: координатизацией, формализацией и аксиоматизацией математических идей и понятий.

3. Выделены признаки понятия содержательной связи, базирующиеся на идее целостности, основу которых составляет двунаправленное движение между абстрактным и конкретным, формальным и конструктивным: подчиненность единству (идеи, понятию), многоаспектность фактологии составляющих содержательных связей, объективность результата установления содержательных связей, концептуальность связующих отношений в математическом материале. Дана классификация содержательных связей курса алгебры педагогического вуза по герменевтическим принципам, в основание которой положены типы концептов математических понятий.

4. Обогащена трактовка процесса понимания материала курса алгебры в педагогическом вузе: выделены составляющие, отвечающие структуре учебного материала, и компоненты учебной деятельности студентов, адекватные профессионально-педагогическому пониманию. Обосновано, что предметную основу в профессионально-педагогическом понимании учебного материала курса алгебры составляет обобщенное понятие алгебраической структуры, включающее в себя взаимосвязанную триаду: понятие алгебраической структуры, его конкретизации и формализации. Процесс профессионально-педагогического понимания алгебраического материала составляют действия, направленные на выявление компонентов обобщенного понятия алгебраической структуры в их двуединстве: учебное действие формализации, состоящее в выделении формального смысла изучаемых понятий, и учебное действие интерпретации, состоящее в установлении конструктивного смысла изучаемых понятий.

5. Уточнены составляющие педагогической науки в структуре методической системы обучения математике, касающиеся целеполагания изучения математического содержания, состоящие в том, что направленность обучения на понимание математического материала определяется спецификой процесса и результата раскрытия содержательных связей, осуществляемых самим студентом в процессе организации адекватной их деятельности на постановку учебной задачи, ориентированной на раскрытие содержательных связей, и конструированием собственной деятельности по ее решению.

6. Выявлена система педагогических условий, создание которых определяет направленность деятельности студента на раскрытие содержательных связей посредством создания учебных ситуаций и организацию выполнения студентами специально подобранных учебных заданий. Выделена основа разработанной системы педагогических условий: деятельность преподавателя на придание учебному материалу свойства целостности и методическая система действий по организации учебной деятельности студентов по выявлению этой целостности. Разработаны принципы структурирования содержания курса алгебры, направленного на придание учебному материалу свойства целостности, основным из которых является принцип содержательной параллельности, предусматривающий проектирование блоков учебного материала в смысловом единстве конструктивного и формального, и учет процессуальных составляющих по их изучению, генетически соотносимых с методологическими компонентами когнитивной деятельности, адекватных математическому познанию.

7. Создана модель организации обучения, направленного на выявление студентами содержательных связей, состоящая в описании сущности основных форм учебного процесса, реализующего герменевтический подход к обучению математике. Основные формы обучения в этой модели предусматривают самостоятельную деятельность студентов по раскрытию целостности предметного содержания математических курсов педвузов: лекционное обучение ориентировано на создание «ситуаций непонимания», выражающихся в возникновении вопросов на соотнесение математических понятий с обобщенным понятием алгебраической структуры, осознание неполноты знаний и мотивировку к его устранению; практические занятия имеют лабораторный характер, что обеспечивается предоставлением математического материала, подлежащего интерпретации и формализации, вскрытию основной линии в изучаемом материале; организация самостоятельной работы студентов конструируется сериями математических задач интерпретационного и формализованного характера, вложенных в системы теоретических задач.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что дано теоретическое обоснование выделения целостности как основы для построения курсов предметной подготовки высшей педагогической школы, в процессе которого использованы методы научного мышления: анализ, синтез, сопоставление, обобщение и конкретизация; описаны теоретические аспекты методической теории обучения курсу алгебры в педагогическом вузе: исходные положения психолого-педагогической и математической науки, а также гносеологические основания, сформулированы вытекающие выводы применительно к теории раскрытия содержательных связей в математическом материале, выделены образовательные тенденции в реализации герменевтического подхода к обучению, сформулированы принципы разработанной теории организации деятельности студентов, направленной на раскрытие содержательных связей; дополнен понятийный аппарат методики обучения математике, составляющий основу понятий «содержательные связи», «содержательные параллели»; выделен операционный состав учебных действий формализации и интерпретации, применяемый при организации деятельности студентов по выявлению содержательных связей; выделена система методических положений, которую следует иметь в виду, организуя обучение, направленное на раскрытие содержательных связей; изучены отношения процесса раскрытия содержательных связей в математическом материале с процессом понимания предметного содержания, с формированием методических умений будущих учителей математики.

Практическая значимость работы состоит в том, что:

_ даны научно обоснованные методические рекомендации для более продуктивного уровня освоения математического материала студентами педагогического вуза;

- разработано учебно-методическое обеспечение для изучения алгебры при подготовке учителя математики в вузе:

а) практико-ориентированная монография, предназначенная для преподавателей вузовской математики;

б) учебно-методические пособия и разработки по изучению курса алгебры, адресованные студентам и преподавателям;

в) программы алгебраических спецкурсов и учебно-методические разработки по их изучению и др.;

- выявлены специфические особенности форм вузовского обучения в организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей: лекций, практических занятий, самостоятельной работы студентов.

Материал исследования может быть использован при реализации различных математических курсов, а также при создании учебных пособий для студентов педагогических вузов.

Достоверность и обоснованность теоретических выводов обеспечивается основными положениями методологии математического познания,; психологической и философской герменевтики, философии образования; опорой на фундаментальные историко-математические результаты; теоретическими основами обучения математике и их корректными использованиями; непротиворечивостью логических выводов в ходе теоретического анализа проблемы исследования и их адекватностью концепциям психолого-педагогической науки, культурно-исторической концепцией в психологии; основными положениями дидактики высшей школы; учетом научно-методического опыта коллег и собственным 18-летним опытом работы в вузе; апробацией концепции и методики в экспериментальном обучении; обработкой и анализом результатов, полученных в ходе экспериментальной работы и внедрением в опыт преподавания различных вузов.

Деятельность по данному исследованию осуществлялась с 1991 по 2008 годы. Условно можно выделить три основных этапа исследования.

На первом этапе исследования (1991-1997) проводился анализ психолого-педагогической и методической литературы с целью определения степени разработанности проблемы понимания вузовской алгебры при подготовке учителя математики. Была выдвинута идея целостности как методологическая основа обучения, нацеленного на понимание. Осуществлялось накопление фактов о возможности реализации данной идеи при построении курса алгебры. На этом этапе завершенный вид обрело решение проблемы создания модели организации деятельности студентов при изучении теоретического материала на начальных этапах изучения курса алгебры и ее реализации на основе методологического подхода. Автором была защищена кандидатская диссертация (1996).

На втором этапе (1998-2002) осуществлялся теоретический анализ литературы по методологии математики, методике ее преподавания, психологической и философской герменевтике, философии и психологии познания с целью выявления содержательных связей в курсе алгебры, определения специфики учебных действий по раскрытию содержательных связей. Теоретический анализ исследования проблемы, практика работы в вузе позволили сформулировать собственную позицию на построение курса алгебры и его изучение студентами.

На этом этапе была сформулирована концепция раскрытия содержательных связей в курсе алгебры. Осуществлялся педагогический эксперимент в соответствии с выдвигаемыми положениями концепции. Важное место в таком подходе занимала организация обучения, обеспечивающего раскрытие студентами содержательных связей в материале, корректировалась методика реализации курса, построенного в указанной концепции. Экспериментальная работа в основном велась на математическом факультете Коряжемского филиала Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова (ПГУ) как самим автором, так и другими преподавателями (под руководством автора исследования). В 1998 году начал функционировать научно-методический семинар кафедры высшей математики Коряжемского филиала ПГУ, руководимый автором исследования.

Апробация разработанного курса показала его эффективность и необходимость незначительной корректировки положений концепции.

На третьем этапе исследования (2003-2008) осуществлялось окончательное уточнение разработанной концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры, апробирование и внедрение разработанной методики в различные вузы, ведущие подготовку учителей математики. В эксперименте были задействованы Вятский государственный гуманитарный университет (бывший педагогический институт, г. Киров), Ленинградский государственный университет им. А.С. Пушкина (бывший Ленинградский областной педагогический институт, г. Пушкин), Коми педагогический институт (г. Сыктывкар). Экспериментальная работа продолжалась и в Коряжемском филиале ПГУ другими преподавателями.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Содержательные связи в учебном математическом материале, составляющие сущность знания в его целостности, выполняющие порождающую и проекционную функцию в развитии абстрактных понятий, составляют основу понимания математического материала педагогического вуза и в предметном материале алгебры подразделяются на три основных рода в соответствии с устройством алгебраических структур: а) координатизационные, которые отражают опредмеченную сущность алгебраических понятий, характеризуют конструктивизм алгебраических операций и отношений; б) синтаксические, которые характеризуют выражение свойств алгебраических понятий на языке алгебры; в) структурно-абстрактные, которые характеризуют свойства алгебраических понятий в их совокупности, обуславливают специфику алгебраической структуры и определяют ее морфизмы.

2. Раскрытие содержательных связей в предметном материале курса алгебры осуществляется выполнением парных учебных действий формализации и интерпретации, состоящих в выделении формального и конструктивного смысла, которые характеризуют причастность изучаемых понятий к понятию алгебраической структуры, рассматриваемому на обобщенном методическом уровне. В операционный состав учебных действий формализации и интерпретации входит истолкование понятий с языка интуитивных математических теорий на язык алгебраических структур и обратно. Обучение курсу алгебры будет направлено на раскрытие студентом содержательных связей в учебном математическом материале, если учебный материал обладает свойством целостности, т.е. связан единым понятием (идеей, методом и т.д.), а организация изучения материала ориентирована на самостоятельную деятельность студентов по раскрытию содержательных связей в математическом материале.

3. Свойство целостности учебного материала обеспечивается его структурированием в виде содержательных параллелей, имеющих существенные признаки: сопоставимости, проявляющейся в общности свойств понятий различных математических теорий; генетичности учебного материала, выражающейся в возможности выявления конструктивного и формального смысла изучаемых положений; адекватности учебного материала одному из компонентов алгебраической структуры: множество и алгебраические операции, структурные свойства алгебраических операций, природно-специфические свойства алгебраических операций и отношений.

4. Система действий в организации самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей состоит в создании педагогических ситуаций, в которых обеспечиваются условия для соотнесения студентом изучаемого материала с понятием алгебраической структуры; создании условий для постановки учебных задач студентами, что реализуется специальными учебными заданиями, нацеливающими на выполнение учебных действий формализации и интерпретации, дающих возможность построения различных математических интерпретаций изучаемых положений и приобретения опыта формализованной записи рассуждений (обоснований и др.) и их результатов; организации самостоятельной деятельности студентов по решению учебных задач средствами математических задач со специально подобранными учебными заданиями, направляющими действия студентов на содержательный анализ и содержательное обобщение понятий, определенных условием задач.

5. Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в математическом материале отвечает современным образовательным тенденциям реализации модели образования культуротворческого типа и осуществления герменевтического подхода к обучению, способствует повышению эффективности профессионально-педагогической подготовки учителя математики в вузе, что обусловлено спецификой операционного состава действий, выполняемых студентами по раскрытию содержательных связей. Соответствующая деятельность позволяет студенту углубить понимание математического материала, развить познавательную самостоятельность применительно к предметному содержанию курса алгебры, сформировать узкопрофессиональные умения по выполнению содержательного анализа и содержательного обобщения математического материала, подбору математических задач по изучению понятий и теорем, приведению примеров и контрпримеров.

6. Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза позволяет:

_ реализовать личностно-деятельностный подход к вузовскому обучению в его составе организационно-действенном, стимулирующем и контрольно-оценочном компонентах;

_ осуществить профессионально-педагогическую направленность обучения при организации изучения студентами предметного содержания курса алгебры;

_ учитывать многие виды деятельности, что отвечает овладению смыслами изучаемой предметной области математики.

Результаты исследования внедрены в учебный процесс Коряжемского филиала Поморского государственного университета (г. Коряжма Архангельской области), Вятского государственного гуманитарного университета (г. Киров), Ленинградского государственного университета им. А.С. Пушкина (г. Пушкин), Коми государственного педагогического института (г. Сыктывкар).

Апробация результатов исследования осуществлялась через публикации и выступления на международной конференции «Проблемы теории и практики обучения математике» (С-Петербург, 2003), Международных Ломоносовских чтениях (Архангельск, 2001, 2004), международной научно-практической конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004), Международных научных конференциях «Teaching Mathematics and Physics in Secondary and Higher Education» (Петрозаводск, 1998) и «Mathematics and Science Education in the North-East of Europe: History, Traditions & Contemporary Issues» (Петрозаводск, 2003), Российско-Американской научно-практической конференции «Актуальные вопросы современного университетского образования» (С-Петербург, 2002), Международной научно-практической конференции «Современные образовательные технологии в системе математического образования» (Коряжма, 2008), Всероссийского методологического семинара «Фундаментальные и прикладные проблемы образования» (С-Петербург, 2003), Всероссийской научно-практической конференции «Модернизация педагогического образования и проблемы педагогики высшей школы» (Сыктывкар, 2007), Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов: «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики» (С-Петербург, 2002), «Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации системы образования» (Тверь, 2003), «Актуальные проблемы преподавания математики в педагогических вузах и средней школе» (Челябинск, 2004), «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» (Киров, 2006), «Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе» (Самара, 2007), «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы» (Пермь, 2008), Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2004), Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы обучения математике» (Орел, 2002), Всероссийской научно-практической конференции «Методология и методика преподавания основ наук в современных условиях» (Бирск, 2002), Межрегиональной научно-методической конференции «Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации» (Сыктывкар, 2008), региональных научно-практических конференциях «Роль педуниверситетов Северо-Запада России в развитии сельской школы региона в условиях модернизации образования» (Петрозаводск, 2005), «Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе» (Арзамас, 2004), «Актуальные проблемы научно-исследовательской работы в средней и высшей школе» (Мурманск, 2002), научно-методическом семинаре кафедры высшей математики Коряжемского филиала ГОУ ВПО «Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова» (г. Коряжма), заседаниях кафедры методики преподавания математики ГОУ ВПО ПГУ им. М.В. Ломоносова (г. Архангельск); методологическом семинаре кафедры методики обучения математике ГОУ ВПО РГПУ им. А.И. Герцена (С-Петербург, 2005), заседаниях учебно-методического объединения Волго-Вятского региона (2005, 2008) и др.

Результаты исследования опубликованы в 84 научных работах общим объемом более 80 печатных листов, в том числе в 3 монографиях и 7 публикациях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Основное содержание диссертации изложено на 342 страницах и содержит 9 таблиц, 17 рисунков и схем. Список используемой литературы и цитируемой литературы _ 259 наименований, из них на иностранном языке - 4.

основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследования, формулируется его проблема, объект и предмет, высказывается гипотеза, определяются задачи и методы исследования, раскрываются новизна, теоретическая и практическая значимость работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Познание математических дисциплин в вузе приближено к методам изучаемой науки. Познать метод сложнее, чем усвоить отдельный факт. Важно осознать не только основания изучаемых методов, но и их обоснованность, т.е. понимание того, что ведет к возникновению того или иного метода науки и его применению. Современная математическая подготовка студентов педвузов показывает, что студенты порой способны сформулировать определение, теорему и т.д., но затрудняются указать связь понятий между собой, выделить основу происхождения понятия, не усматривают направления его развития. Следовательно, методы науки познаются на низком уровне, особенно при изучении вузовской алгебры.

Теоретический анализ литературы (по философии образования, методологии, психологии, методике обучения и др.), причин возникновения недостатков в алгебраических знаниях студентов, опыта работы преподавателей-алгебраистов и собственный опыт убедили нас в том, что в современных образовательных тенденциях необходима нацеленность обучения на понимание. В такой парадигме понимание является основным результатом обучения, а он не всегда измеряется набором фактов, который студент запомнил и применил в определенных условиях. Понимающий студент способен подвергнуть содержательному анализу математический материал, выделив в нем основную идею, и отыскать средства для ее реализации в школьном математическом образовании. Таким образом, одной из основных проблем обучения вузовской алгебре в педагогическом вузе, требующей выделения методической составляющей на современном этапе развития системы образования, является проблема понимания в обучении математике.

Проблема понимания является проблемой анализа в нескольких областях научного знания. При этом речь идет о понимании, ориентированном на язык смыслов изучаемой предметной области. Для определения путей решения проблемы понимания алгебры при подготовке учителя математики в вузе необходимо определить исходные положения. Этому посвящена первая глава «Теоретические основы понимания алгебры студентами педагогического вуза». В этой главе выделяются методологические и психолого-педагогические составляющие проблемы понимания при обучении математике.

Понятие «понимание» с методологических позиций означает: (1) выделение смысла, который содержится во взаимосвязях существенных сторон понятий (А.В. Ахутин, В.А. Лекторский и др.); (2) выделение составляющих знания, их причинно-следственных связей, согласования структуры науки и структуры культуры (Р. Карнап, П. Рикер, А. Уайтхед и др.); (3) интерпретацию как отношение субъекта к знанию, установление соответствия между знанием и реальной действительностью (Х.Г. Гадамер, К.В. Малиновская, Г.И. Рузавин и др.). В каждой трактовке понятия понимания процессуальная составляющая требует выделения связей.

С психологических позиций работа понимания при усвоении знаний есть двунаправленное движение: осмысление значений и означение смысла (В.П. Зинченко), характеризующееся установлением связей, их значимости и построением концепта (А.А. Брудный, М. Вертгеймер, В.В. Знаков и др.). При этом подчеркивается личностность акта понимания (В.В. Знаков, М.К. Мамардашвили и др.). Следовательно, в нацеленности на понимание существенное значение имеет установления связей самим субъектом познания.

Рис. 1

Таким образом, с психолого-методологических позиций понимание есть установление связей в материале самим студентом. Отношение к «установлению» может быть различным. С позиции понимания как «реконструкции данного смысла», которой мы придерживаемся в обучении вузовской алгебре, установление означает «расшифровку», «выделение». Иначе говоря, «установить связь» означает не «изобрести», а «раскрыть». Поэтому применительно к обучению за основу мы примем трактовку понимания математики при изучении как раскрытие содержательных связей самим студентом. Придерживаясь фундаменталистских взглядов в философии математики (Г. Фреге, А. Черч и др.), объективно имеющиеся содержательные связи в материале можно трактовать как связи смысла (концепта) понятия и его предметного значения (денотата). А потому содержательные связи являются теми связями, которые способствуют соединению знаний в единое целое.

Смысл алгебраических понятий связан с многоступенчатыми абстракциями, возникающими в процессе познания (рис. 1). В литературе указывается, что математическое познание осуществляется в триаде «исходный объекттеорияновый объект», поэтому «развитие» абстрактных понятий в курсе алгебры можно характеризовать схемой:

R_к M_к R_к+1 (рис. 1).

Отношение математических понятий из M_к к понятиям R_к мы называем их конструктивным смыслом, а их отношение к понятиям R_к+1 - формальным (или формализованным) смыслом. Содержательные связи характеризуют смысл понятий (конструктивный и формальный).

Сколько и какие содержательные связи необходимо раскрыть в процессе учебного познания алгебры для достижения понимания? Теоретический анализ понятия понимания с психолого-методологических позиций позволяет выделить идею целостности как исходную в отыскании ответа на поставленный вопрос.

Целостность включает в себя «части» и отношения между ними, обеспечивающие внутреннее единство. Единение не может быть механическим (тогда нет «внутреннего» единства), оно имеет некую основу, которая «сцепляет» части в целостное образование. Методология познания свидетельствует, что понимание достигнуто, если в результате получена некоторая целостность (целостное знание). Герменевтика определяет, что понять можно только целостный объект. И процесс понимания характеризуется движением от целого к частям и обратно. Следовательно, в герменевтическом подходе к обучению текст должен быть специальным образом структурирован с целью придания ему свойства целостности, а студент специальным образом сориентирован на обнаружение свойства целостности изучаемого материала. Поэтому в процессе изучения математического материала важно выделять те связи, которые характеризуют целостность материала, его принадлежность к некому общему.

Таким образом, методологические и психологические составляющие понятия понимания ориентируют на отыскание основы целостности. Ею может быть объект, качества которого носят обобщающий характер для всего курса. Анализу целостности курса алгебры и выделению специфики содержательных связей в нем посвящена вторая глава диссертации «Содержательные связи в курсе алгебры как связи целостного объекта».

Анализируя содержание курса алгебры с позиции философии математики, мы определили, что содержательные связи в курсе алгебры имеют два противоположных направления. Первое направление, соответствующее возникновению «абстрактной алгебры», связано с формализацией интуитивных теорий. Второе направление, обратное формализации, связано с интерпретацией аксиоматических теорий. Интерпретация как сопоставление понятиям аксиоматических теорий значений из области интуитивных теорий обнаруживает действенность методов абстрактной алгебры (термин Г. Вейля), которую Р. Столл называет побочным результатом, Н. Бурбаки - орудийностью. При этом ясно, что эти методы абстрактной алгебры «работают» только в том случае, когда есть формализованный материал (понятия, теории и т.д.).

Основную трудность в развитии алгебраических знаний представляет переход от интуитивных теорий к аксиоматическим. В истории математики она предстала как барьерная ситуация для задач, решение которых потребовало других методов и уровней абстракций: алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел, разрешимость уравнений в радикалах и др. Преодоление барьера и породило два основных метода алгебры: формализацию как способ получения алгебраических структур и интерпретацию как способ получения знаний «интуитивного» уровня.

Таким образом, понятия алгебры можно рассматривать на различных уровнях абстрактности. Первый уровень мы назовем интуитивным, второй - абстрактно-логическим, третий - формализованным. Данные уровни соответствуют этапам становления алгебры. Например, понятие группы на интуитивном уровне выступает многообразием, представленным подстановками, аддитивной системой матриц фиксированной размерности, мультипликативной системой невырожденных квадратных матриц фиксированной размерности, аддитивной системой арифметических векторов и т.д. На абстрактно-логическом уровне понятие группы представлено групповой конструкцией. На формализованном - формальной теорией групп как алгебраической системы заданной сигнатуры. Первые два уровня соответствуют интуитивным и аксиоматическим неформальным теориям (алгебраическим структурам) соответственно, третий - формальным алгебраическим системам (рис. 2). Третий уровень не рассматривается в курсе алгебры, поэтому мы не уделяем ему особого внимания.