Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического ВУЗа

В работе показано, что алгебраическая структура выступает основой целостности курса. Она рассматривается на различных уровнях строгости и абстрактности, поэтому в методическом плане имеет смысл говорить об обобщенном понятии алгебраической структуры. Оно будет включать в себя основные компоненты алгебраической системы, т.е. следующие три компоненты:

1. Понятия: множество; отношение равенства элементов множества; алгебраическая операция на множестве; отношение на множестве. В интуитивных теориях указанные понятия допускают житейское толкование, наглядно-образное представление (свойство «предметности» элементов множества).

2. Структурные свойства алгебраических операций. К ним мы относим те свойства алгебраических операций на множестве, которые выступают как основные свойства алгебраической структуры. В аксиоматических теориях эти свойства задаются аксиоматикой. В интуитивных теориях они непосредственно вытекают из правил, определяющих эти операции, мы их называем базисными.

3. Природно-специфические свойства алгебраических операций. В интуитивных теориях к данным свойствам мы относим те свойства алгебраических операций, которые при построении теории являются неким суррогатом логических следствий базисных свойств и правил, определяющих алгебраические операции.

Таким образом, содержательные связи курса алгебры трактуются нами как связи с обобщенным понятием алгебраической структуры. В работе они условно подразделяются на три рода в зависимости от принадлежности компоненту алгебраической структуры: координатизационные, синтаксические и структурно-абстрактные. Они пронизывают все теории курса алгебры, но имеют свою специфику в зависимости от их конструктивного и формального смысла.

На основе специфики содержательных связей и методов математического познания, используемых в алгебре, мы выделили два основных учебных действия, выполнение которых способствует раскрытию целостности курса.

Действие формализации состоит в том, что в понятиях выделяется их формальный смысл, т.е. отношение к более абстрактным понятиям. Выделение конструктивного смысла в изучаемых понятиях соответствует действию интерпретации. В работе дана их развернутая характеристика.

Анализ содержательных связей, отвечающих исследовательскому методу формализации, позволяет выделить следующие наиболее существенные операции по формализации интуитивных теорий.

1. Выделение и запись с помощью математической символики свойств алгебраических операций на множествах и их подмножествах - формализация свойств алгебраических операций.

2. Рассмотрение и конструирование подмножеств, на которых выполняются заранее заданные свойства в формальном выражении - формализация примеров алгебраических структур.

3. Структурирование свойств алгебраических операций в подмножествах - формализация видов алгебраических структур.

4. Выделение общих характеристик алгебраических операций - формализация алгебраических операций. Выполнение данных операций нацелено на выделение формального смысла алгебраических операций, как отображения декартова произведения.

5. Формальное описание структуры доказательств - (формализация доказательств).

В формализации нами выделяются две достижимые цели. Первая конструктивная, состоящая в «получении» алгебраических структур. Так, групповая структура может быть получена путем формализации аддитивной системы целых чисел, системы подстановок, мультипликативной системы невырожденных квадратных матриц фиксированной размерности и т.д. Вторая цель формализации - познавательная. Она состоит в том, что аппарат формализации позволяет высказывать гипотезы, что ведет к новым знаниям.

В действии интерпретации можно выделить следующие основные операции.

1. Приведение примеров алгебраических структур - построение моделей теории.

2. Осуществление проекции свойств структур - интерпретация внутренних связей.

3. Задание алгебраических операций на изучаемых множествах с определенными свойствами в формальном выражении - интерпретация алгебраических операций.

4. Перевод доказательств на «менее строгий язык» - интерпретация доказательств.

В действии интерпретации достигается структурирующая цель, позволяющая систематизировать знания, рассматривать их с точки зрения общности в конкретной разновидности. Познавательная цель интерпретации достигается за счет действенности соответствующего метода, что ведет к новым обоснованиям фактов.

На основе анализа операционного состава учебных действий формализации и интерпретации в работе сформулирован вывод о том, что учебные задания должны ориентировать студентов на выполнение действий формализации и интерпретации. Выполнение заданий должно предполагать возможность различных интерпретаций изучаемых положений и приобретение студентами опыта формализованной записи рассуждений и их результатов.

Выделенные содержательные связи и учебные действия по их раскрытию позволили определить условия, создание которых способствует реализации герменевтического подхода к обучению алгебре. Этому посвящается третья глава диссертации «Создание условий раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педвуза», в которой определена система действий, способствующих раскрытию содержательных связей при изучении алгебры.

В работе с психолого-педагогических позиций определено, что для начального этапа понимания необходимы специальные учебные ситуации, вырабатывающие «потребность понять». Мы их называем ситуациями непонимания. Анализ психологического аспекта процесса понимания позволил выявить три основные ситуации, порождающие непонимание: состояние дефицита информации (знаний) и знание студента об этом дефиците; неспособность и неумение студента выявить существенные свойства изучаемого объекта (факта); отсутствие у студента желания и потребностей в раскрытии содержательных связей, «желания понимать». Такое непонимание, которое влечет потребность в его устранении, мы называем правомерным непониманием. Необходимо было выделить условия возникновения такого непонимания. В работе показано, что в качестве условий выступают: конструктивное предъявление структуры математических теорий в их сопоставлении между собой; выделение понятий в изучаемом материале, относящихся к компонентам понятия алгебраической структуры (ключевых понятий), кусочная подача материала в виде фактов математических теорий, связанных между собой содержательно. Продуктивность создания ситуации непонимания проявляется в возникновении вопросов на соотнесение изучаемого материала с алгебраической структурой.

При создании ситуации непонимания необходимо иметь в виду, что непонимание правомерно лишь постольку, поскольку возникающая потребность «понять» будет выступать движущей силой учебной деятельности. С позиции педагога это означает ориентацию процесса управления учебной деятельностью студентов на постановку и решение ими самими конкретных учебных задач (личностно-деятельностный подход к обучению).

Анализ психолого-педагогической литературы (Н.А. Алексеев, И.А. Зимняя, В.В. Сериков, И.С. Якиманская и др.), мотивации учебной деятельности (М.В. Вовчик-Блакидная, А.К. Маркова, А.А. Реан и др.), особенностей студенческого возраста (Б.Г. Ананьев, Ю.Н. Кулюткин, Л.Н. Фоменко, М.А. Холодная и др.), ценностного подхода в образовании взрослых (Г.С. Сухобская и др.), анализа соотношений учебных и математических задач (Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.И. Лященко и др.) позволил установить, что постановка учебных задач возможна самим студентом. И решение данной методической проблемы разбивается на две подзадачи: 1) структурирование предметного материала; 2) подбор задачного материала.

Структурирование предметного материала курса алгебры нами осуществляется с позиции системно-структурного подхода и его применения к обучению математике (Е.И. Лященко, Г.И. Саранцев, В.А. Тестов и др.). С этой точки зрения в вузовском курсе алгебры можно проследить несколько содержательных линий, которые получают в нем свое развитие: линия групп, линия колец, линия полей, линия векторных пространств и др. Именно эти алгебраические структуры объединяют разнородные элементы предметного содержания блока интуитивных теорий, превращаясь на завершающем этапе обучения в стройные математические теории.

Структурно содержательные линии можно выдержать в аналогиях. Это обусловлено алгебраической структуризацией, основанной на теоретико-множественном подходе, понятием алгебраической операции, идеями изоморфизма и факторизации. Одна из таких аналогий на примере линий групп и колец приведена в первых двух столбцах таблицы 1. Третий столбец таблицы приведен для сопоставления теорий, изучаемых в курсе алгебры, с универсальными алгебрами.

При структурировании учебного материала содержательных линий важно не только учитывать логико-математические принципы математических теорий, но и структурные составляющие процесса понимания алгебры, которые, как указывалось выше, являются действиями по раскрытию содержательных связей.

Таблица 1

ТЕОРИЯ ГРУПП	ТЕОРИЯ КОЛЕЦ	Универсальные алгебры
Группа (определение)	Кольцо (определение)	Алгебра (определение)
Простейшие свойства группы	Простейшие свойства кольца	Свойства алгебраических операций
Подгруппа	Подкольцо	Подалгебры
Нормальный делитель	Идеал	Классы, порожденные конгруэнцией
Фактор-группа	Фактор-кольцо	Фактор-алгебра
Гомоморфизм и изоморфизм групп	Гомоморфизм и изоморфизм колец	Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр
Образ и ядро гомоморфизма групп	Образ и ядро гомоморфизма колец	Образ и ядро гомоморфизма Т-алгебр
Теорема о гомоморфизмах групп	Теорема о гомоморфизмах колец	Теорема о гомоморфизмах Т-алгебр

Материал каждой содержательной линии пронизывают содержательные связи, которые в зависимости от рассматриваемой теории имеют специфику, но по своей идее образования являются связями одного рода. Причем каждый вид связей выступает в порождающей роли для следующего вида связей и проекционной роли для предыдущего. Следовательно, если предметный материал курса алгебры рассматривать в целостности, то получаются три горизонтальных «слоя» в содержательных линиях курса алгебры (рис. 3): I - слой материализации координатизационных связей, II - слой материализации синтаксических связей, III - слой материализации структурно-абстрактных связей. Данное представление позволяет структурировать материал в трех содержательных параллелях: параллель множеств и алгебраических операций (слой I); параллель структурных свойств алгебраических операций (слой II); параллель природно-специфических свойств алгебраических операций (слой III).

Структурно- природно-специфические свойства

абстрактные связи алгебраических операций на множествах III

Синтаксические структурные свойства

связи алгебраических операций II

Координатизационные свойства «предметности» элементов,

связи операционности алгебраических операций I

Рис. 3

Из отмеченных совокупностей предметного материала, мы выделяем существенные признаки содержательных параллелей алгебраического материала: сопоставимость учебного материала, проявляющаяся в общности свойств понятий различных математических теорий; генетичность учебного материала, выражающаяся в возможности выделения конструктивного и формального смысла изучаемых понятий и положений; адекватность учебного материала одному из компонентов алгебраической структуры: множество и алгебраические действия на нем, структурные и природно-специфические свойства алгебраических операций.

В работе показано, что если предметный материал курса алгебры структурирован в содержательных параллелях, то тем самым ему придается свойство целостности. Тогда принцип структурирования материала курса алгебры в герменевтическом подходе к обучению определяется нацеленностью на придание учебному материалу существенных признаков содержательных параллелей.

Для того чтобы структурированный учебный материал заработал на постановку учебной задачи, необходим специально подобранный задачный материал. В работе подробно рассматривается сущность традиционно используемого задачного материала в курсе алгебры и определяются возможности его использования для раскрытия содержательных связей. Выделяются два типа задач.

1. Тренировочные (вычислительные) задачи, ориентирующие на решение «по образцу» (алгоритму). Такие задачи в основном формируют умения раскрывать коодинатизационные содержательные связи.

2. Теоретические задачи (задачи на доказательство). Результат решения таких задач дает теоретический факт (теорему). Общего алгоритма их решения нет, образца - тоже. Поэтому теоретические задачи вполне обоснованно считаются трудными.

В работе предложены способы использования теоретических задач для раскрытия содержательных связей. Теоретические задачи необходимо преобразовать в такой задачный материал, который бы направлял на раскрытие содержательных связей. Проанализируем возможность таких преобразований на конкретном примере. Рассмотрим теоретическую задачу по теории групп.

Пусть (G,) - группа и Н - непустое конечное подмножество G, замкнутое относительно умножения. Докажите, что Н - подгруппа группы G.

Идея доказательства состоит в исследовании свойств степеней некоторого элемента аН. В последовательности элементов из Н вида а, а², а³, … не все элементы различные, т.е. существуют два различных натуральных числа k, s, такие, что a^k=a^s. Отсюда и получается (при допущении k>s), что a^k-s=e, т.е. еН, а затем и обратимость элементов множества Н.

Для того чтобы «уловить» идею доказательства, следуя содержательным связям, можно обратиться к предметным значениям понятий, фигурирующим в условии задачи (в данном случае - к какой-либо конкретной группе), и на нем «сконструировать» выполнение условий. Другими словами, построить интерпретацию условий теоремы. В данном случае это может быть следующая интерпретация. Выбираем мультипликативную группу рациональных чисел Q^* и «отыскиваем» во множестве Q^* конечное замкнутое относительно умножения подмножество Н. В процессе такого выделения и устанавливается, что, например, число 2Н, ибо в противном случае в Н входят 2, 4, 8, 16 … Тогда Н бесконечно. Отсюда формализацией и получается, что если аН, то среди элементов а, а², а³, … есть равные.

Итак, идея доказательства может быть получена с помощью интерпретации условий теоретической задачи. Такую «сопутствующую» задачу мы называем интерпретационной задачей. Для этого необходимы учебные задания, направляющие на раскрытие нужных содержательных связей и «выводящие» на решение задачи (в частности, построение интерпретационной задачи).

На основе специфики учебных действий по раскрытию содержательных связей, определенных нами ранее, в работе предложена система учебных заданий, выполнение которых нацеливает на выполнение действий формализации и интерпретации. В частности, в нее включаются задания на анализ выполненных действий, общую характеристику выполняемых действий, задания на «расшифровку» текста, составление текста.

В четвертой главе диссертационной работы «Организация обучения, направленного на раскрытие студентами содержательных связей в курсе алгебры» формулируются основные положения концепции раскрытия содержательных связей и определяются методические возможности ее реализации. Основные положении концепции состоят в следующем.

1. С точки зрения методологии учебного познания математики процесс раскрытия содержательных связей, составляющих сущность знания в его целостности, является основой процесса понимания математического материала при его изучении.

2. В обучении алгебре целостность выступает как цель и средство раскрытия содержательных связей. Изучение студентом курса алгебры будет направлено на раскрытие содержательных связей, если:

а) учебный материал обладает свойством целостности, что обеспечивается его структурированием в совокупностях однородных содержательных связей;

б) организация изучения материала ориентирована на самостоятельную деятельность студентов по раскрытию содержательных связей в математическом материале.

3. Содержательные связи в материале курса алгебры обусловлены понятием алгебраической структуры и подразделяются на три основных рода:

- координатизационные, которые отражают «предметную» сущность элементов множеств, рассматриваемых в алгебре, характеризуют «выполнимость» алгебраических операций и отношений на множествах;

- синтаксические, характеризующие выражение свойств алгебраических операций и отношений на множествах на алгебраическом языке;

- структурно-абстрактные, которые характеризуют свойства алгебраических операций и отношений в их совокупности, обуславливают специфику алгебраической структуры.

4. Содержательные связи в материале курса алгебры выполняют порождающую и проекционную функции в развитии абстрактных понятий. Порождение алгебраических понятий базируется на математическом методе формализации, а их проекционная функция связана с математической интерпретацией.

5. Средством структурирования учебного материала в совокупностях с однородными содержательными связями выступают следующие содержательные параллели:

- параллель понятий множества и алгебраических операций;

- параллель структурных свойств алгебраических операций;

- параллель природно-специфических свойств алгебраических операций.

Раскрытие содержательных связей в структурированном материале возможно в ходе выполнения парных учебных действий формализации и интерпретации, состоящих в выявлении формального и конструктивного смысла в двух встречных направлениях.

6. Организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры основывается на системе действий

(1)(2)(3),

где (1) - создание педагогических ситуаций, нацеливающих на соотнесение изучаемых понятий и положений с понятием алгебраической структуры;

(2) - организация постановки студентами учебных задач по раскрытию содержательных связей средствами специальных учебных заданий, ориентирующих на выполнение действий формализации и интерпретации;

(3) - организация самостоятельной деятельности студента по решению учебных задач на раскрытие содержательных связей.

Одним из фундаментальных положений, на базе которых организуется обучение, направленное на раскрытие содержательных связей, является положение о приоритете самостоятельной деятельности студентов в процессе изучения ими алгебраического материала. На основе анализа психологических особенностей студенческого возраста, понятия самостоятельности (А.К. Осницкий, П.К. Анохин, О.А. Конопкин, В.И. Моросанова и др.) установлено, что аспекты раскрытия содержательных связей соотносятся с развитием самостоятельности (табл. 2).

Таблица 2. Соотношение самостоятельности и раскрытия содержательных связей

Аспект самостоятельности	Аспект раскрытия содержательных связей
Осознаваемость задачи (цели)	Сосредоточение на целом
Организованность действий	Постановка учебных задач студентами
Направленность действий	Раскрытие тех связей, которые составляют основу целостности

В работе представлен анализ самостоятельной деятельности студента как его учебной деятельности. Показано, что организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей возможна средствами математических задач со специально подобранными учебными заданиями, направляющими действия студентов на содержательный анализ и содержательное обобщение понятий, определенных условием задач. Такие учебные задания должны быть ориентированы на развитие теоретического мышления. Модель такой организации мы называем лабораторией самостоятельной работы студентов.

В диссертации выделены особенности организации форм учебной деятельности студентов: лекций, практических занятий, самостоятельной работы.

При анализе функций лекции в обучении, направленном на раскрытие содержательных связей, устанавливаются возможности их реализации в герменевтическом подходе к обучению.

Основным принципом лекционного преподавания выступает принцип вопросной системы, состоящий в том, что устный текст лекции должен быть ориентирован на выработку вопросов по соотнесению изучаемых понятий с алгебраической структурой, а письменный _ представлен как совокупность текстовых ситуаций к отысканию ответа на них. В работе приведены примеры соблюдения данного принципа. В организации обучения, направленного на раскрытие содержательных связей нами выделяются следующие виды лекций: установочная, лекция-объяснение, лекция-задача, лекция-консультация, обобщающая лекция. В работе дана их развернутая характеристика.

На практических занятиях, как и в традиционном обучении, рассматриваются тренировочные и теоретические задачи. Однако их использование должно быть таким, чтобы осуществлялась постановка студентами учебных задач. Поэтому существенное значение в организации практических занятий занимает организация самостоятельной деятельности студентов по постановке учебных задач. С этой целью на практическом занятии студенту конструктивно предоставляется список задач тренировочного характера. Например, при изучении темы «Векторные пространства» на занятии, посвященном линейной зависимости системы векторов, необходимо обратить внимание студентов на теоретические факты, способствующие установлению указанного свойства системы векторов, и способ установления линейной зависимости по определению, раскрытому на лекции. Далее, обратившись к опыту студентов, следует предложить применить указанный способ к каждому названному примеру. Таким образом, студенты «получают» формулировку серии тренировочных задач с фабулой «Установить, является ли система векторов … векторного пространства … линейно зависимой». После чего уже можно «выдать» список, указывающий векторы, подлежащие исследованию на линейную зависимость. При такой организации студенту предоставляются учебные задания, выполнение которых ведет к постановке учебных задач «на математическом языке».

Иначе говоря, основной задачей организации практических занятий является создание таких педагогических ситуаций, при которых учебная задача ставится студентом вначале в терминах «научиться … (применять, находить и т.д.)», а затем в формулировке математической задачи («вычислить…», «доказать…» и т.д.). При соблюдении данной особенности постановки учебных задач на практических занятиях студенту предъявляются фрагменты материала, содержательно связанные между собой (в данном примере координатизационными связями), но эту связь студент устанавливает сам, выполняя отбор задачного материала, составляя аналогичные задачи и формулируя задачу на математическом языке. Экспериментальная работа показывает, что указанные действия организующего характера усваиваются студентами и переносятся в другие ситуации, возникающие при изучении материала в последующем.

В работе предлагаются и другие приемы организации практических занятий, которые позволяют осуществить постановку учебных задач.

Решение поставленных учебных задач осуществляется с помощью специальных материалов, нацеливающих студентов на самостоятельную деятельность. Таким материалом, в частности, является:

1. Справочный материал по изучаемой теме.

2. Образцы решения тренировочных задач.

3. Системы математических задач.

Математические задачи снабжены учебными заданиями, нацеливающими на раскрытие содержательных связей. Совокупность таких заданий мы называем сопровождающим материалом. К нему, в частности, относятся: а) ответы (если они возможны); б) рекомендации первого приближения, в которых даются руководства о том, каким образом можно отыскать идею решения; в) рекомендации второго приближения, в которых формулируется идея решения; г) рекомендации третьего приближения, в которых выделены этапы решения задачи; д) одно из возможных решений. При организации лаборатории самостоятельной деятельности студент получает сопровождающие материалы поэтапно в зависимости от собственных затруднений.

Мы считаем, что в герменевтическом подходе к обучению алгебре контроль процесса понимания и его результата, следует рассматривать в отдельности, хотя они и тесно взаимосвязаны. В работе выделены направления в контроле учебной деятельности, дана им развернутая характеристика. Обосновывается, что основными контролируемыми характеристиками результативной составляющей понимания являются оперирование понятием алгебраической структуры и умения решать теоретические задачи.

В оперировании понятием алгебраической структуры мы выделяем следующие уровни. Первый уровень - операционный. Он определяется раскрытием коодинатизационных связей и выделением первичных понятий алгебраической структуры в изучаемом материале. Второй уровень - формализованный. Он, включая в себя характеристики операционного уровня, определяется раскрытием синтаксических связей в изучаемом материале. Третий уровень - концептуальный. Он характеризуется раскрытием всех родов содержательных связей в изучаемом материале - построение концепта.

Трактовка умения решать теоретические задачи в курсе алгебры определяется понятием «доказательство». В работе показано, что специфика курса алгебры такова, что понятие «доказательство», используемое в нем, достаточно близко к формальному. Обратившись к формально-логической трактовке понятия «доказательство», мы установили, что операционный состав по проведению доказательств утверждений, используемых в курсе алгебры, требует:

- принятия «микромира» алгебраической структуры;

- знакового предъявления проведенных рассуждений;

- использования конструктивного и/или аксиоматического подхода;

- видения абстрактного и конкретного.

Умение решать теоретические задачи, как отмечается в методических исследованиях, связано с такими понятиями, как «рассуждение» и «объяснение», которые в теории и методике обучения школьной математике трактуются определенным образом (Ж.Д. Ахметов, В.М. Туркина и др.). В работе дано уточнение имеющихся трактовок применительно к вузовской алгебре. Рассуждения в алгебре могут идти по двум основным направлениям раскрытия содержательных связей: формализованному и интерпретационному. В последнем случае для завершения поиска доказательства иногда требуется реализовать этап формализации. Следовательно, можно выделить три основных уровня владения умением решать теоретические задачи.

Уровень А. Уровень решения интерпретационных задач. Он характеризуется тем, что доказательство ограничивается случаями задач в интерпретациях алгебраической структуры. Данный уровень, как правило, соответствует операционному уровню оперирования понятием алгебраической структуры.

Уровень В - уровень формализованного, но часто успешно не завершающегося, направления в решении теоретических задач. Он соответствует формализованному уровню оперирования понятием алгебраической структуры.

Уровень С характеризует формализованный уровень решения теоретических задач с обоснованиями. Рассуждения, соответствующие этому уровню, могут быть интерпретационного направления, но на завершающих этапах наблюдается обращение к формализации. Данный уровень соотносится с концептуальным уровнем оперирования понятием алгебраической структуры.

Если в качестве контрольных заданий используются теоретические задачи, то они должны удовлетворять определенным требованиям. В работе дается их развернутая характеристика и приводятся примеры.

В пятой главе описывается одна из возможных реализаций методики раскрытия содержательных связей на примере материала интуитивных теорий и результаты ее экспериментальной апробации.

В исследовании мы не вносили изменения в содержание вузовского курса алгебры, но изменили его организацию. В материале блока интуитивных теорий эти изменения проявились в выделении содержательных параллелей, являющихся материализацией соответствующих содержательных связей материала интуитивных теорий. Рамки автореферата не позволяют полностью описать структурирование предметного материала курса. Охарактеризуем фрагменты этапа структурирования материала темы «Матрицы и определители», сопровождая схемой (рис. 4).

Начало изучения данной темы по принципу сосредоточения на целом совпадает с вводными замечаниями о структуре раздела и математических теориях, рассматриваемых в нем (предмет, методология вопроса и т.п.). Данный этап изучения на рисунке 4 представлен верхним блоком.

Сущность первой содержательной параллели (параллели множества и алгебраических действий на нем) требует введения соответствующих понятий: понятия подстановки и умножения подстановок, понятия матриц и действий над ними и т.д. Эта параллель на рисунке 4 отмечена линией I. Переход к данной параллели осуществляется выполнением действия интерпретации.

Вторую содержательную параллель (линия II на рисунке 4) составляет материал базисных свойств интуитивных теорий. Переход к ней осуществляется формализацией. В процессе установления синтаксических связей, конструируются алгебраические структуры, составляющие суть третьей содержательной параллели (линия III на рисунке 4). Интерпретацией «добытых» свойств в интуитивные теории осуществляется дальнейший переход к изучению матриц и определителей.

Предлагаемое структурирование материала построено на концепции раскрытия содержательных связей в курсе алгебры: движение в процессе изучения материала осуществляется в направлениях от алгебраической структуры и обратно; парно используются интерпретация и формализация; каждая параллель отвечает существенным признакам содержательных параллелей и т.д.

Выделив организационные моменты предметного материала интуитивных теорий, мы установили, какой материал будет изучен лекционно, какой - на практических занятиях и какой целесообразно предложить для самостоятельной проработки. При этом мы руководствовались положениями, изложенными выше. В работе приводится план лекционных занятий, блоки заданий для практических занятий, задания для самостоятельной и индивидуальной работы.

Анализ результатов экспериментального обучения проводился по разным направлениям. В работе представлены направления, реализация которых давала возможность установить оперируют ли студенты алгебраической структурой: ее компонентами, видами, процедурой образования и т.п., т.е. владеют ли процедурой формирования целостностных знаний; могут ли предложить решения теоретических задач, характеризующихся собственным подходом к выбору направления доказательства и пути его проведения; освоены ли студентами математические знания фактологического характера, определенные учебной программой курса. Были введены показатели, которые характеризуют определенные уровни сформированности умений оперировать алгебраической структурой, решать теоретические задачи, уровни освоенности знаний фактологического характера.

В работе дано описание курса алгебры в экспериментальном обучении.

Чтобы установить, оперируют ли студенты алгебраической структурой, мы использовали задания, не рассматриваемые в курсе алгебры, но представляющие материал, легко обозримый с позиции алгебраической структуры. Задание чаще всего имело вид (математического) текста, который требовалось «исследовать». Например, было предложено следующее задание.

Опишите особенности множества матриц вида , где a,bR.

Данное множество матриц с известными алгебраическими операциями сложения и умножения образует поле, изоморфное полю комплексных чисел. Причем определитель матрицы заданного вида дает квадрат модуля комплексного числа a+bi. В зависимости от того, какие особенности данного множества выделяет студент, можно судить о том, какими компонентами алгебраической структуры он оперирует. В данном случае мы выделили следующие четыре разряда в использовании алгебраической структуры: кольцо, поле, векторное пространство, система комплексных чисел.

Для выявления уровня оперирования алгебраической структурой использовался U критерий Манна-Уитни. Выбор данного критерия обосновывается тем, что он является достаточно сильным в выявлении различий между небольшими выборками (не превышающими 60). Учитывая, что решение одного задания объективно может быть оценено только в однократном применении, а реальная численность групп незначительна (16-25 чел.), то именно применение критерия Манна-Уитни позволяет дать объективную оценку. Сформулировав статистические гипотезы и вычислив эмпирические значения критерия, мы пришли к выводу, что студенты экспериментальной группы превосходят по уровню оперирования понятием алгебраической структуры студентов в контрольной группе (U_эмп = 95,5, U_кр = 83, р 0,05).

Чтобы характеризовать уровень оперирования студентами алгебраической структурой в экспериментальном исследовании также использовались дополнительные главы алгебры на спецкурсах. В работе описаны организационные моменты проведения спецкурсов, этапы их изучения и анализ качественных показателей (в том числе свидетельствующих о переносе студентами сформированных умений на материал школьной математики).

Для выявления уровня сформированности умения решать теоретические задачи в курсе алгебры, мы предлагали контрольные задания трех видов. Задания первого вида имели вид традиционной теоретической задачи («Доказать, что …»). Выполнение таких заданий требовало раскрыть содержательную связь в определенном направлении. В заданиях второго вида требовалось сформулировать то, что нужно доказать, и построить соответствующее доказательство («Существует ли связь понятий…Какая? Ответ обоснуйте»). Задания третьего вида предусматривали самостоятельное раскрытие содержательных связей. Такие задания мы формулировали следующим образом: «Список свойств какого понятия Вы можете расширить? Дайте обоснования». Каждый из перечисленных видов заданий соответствовал определенному уровню сформированности умения решать теоретические задачи.

Анализ результатов выполнения заданий, предложенных студентам, позволил сделать вывод о том, что положительная динамика уровней развития умений решать теоретические задачи у студентов экспериментальных групп выше, чем у студентов контрольных. Следует заметить, что в процессе работы количество используемых теоретических задач в экспериментальной группе не превосходило число таких задач в контрольной, т.е. не было «натаскивания» на решение подобных задач.

Нам необходимо было убедиться также и в том, что построенный курс алгебры формирует фактологические знания студентов. К фактологическим знаниям курса мы отнесли знания формулировок основных положений изучаемых теорий, методов решения алгоритмических задач по алгебре и др. Поэтому описание фактологических знаний можно определить списком основных фактов и методов решений задач «по образцу», традиционно включающихся в данный курс. В качестве показателей сформированности фактологических знаний мы приняли: а) изменение экзаменационных оценок по предмету по семестрам (количественные характеристики фактологических знаний); б) уровни оперирования фактологическим материалом алгебры в пределах программы курса. Анализ результатов показал, что доля положительных сдвигов в экспериментальной группе больше, чем в контрольной. Отмечены факты повышенного познавательного интереса студентов к изучению алгебры.

Таким образом, результаты экспериментального исследования подтверждают справедливость выдвинутой нами гипотезы и свидетельствуют о правомерности нашей концепции раскрытия содержательных связей.

Основные результаты и выводы

Проблема достижения глубокого понимания математического материала студентами педагогических вузов была и остается актуальной, требует осмысления в зависимости от специфики изучаемого математического раздела. Поиск методической составляющей проблемы понимания в обучении алгебре показал, что необходимо искать средства, позволяющие самому студенту раскрывать содержательные связи в материале. В результате проведенного исследования по отысканию путей и средств организации деятельности студентов, направленной на раскрытие содержательных связей в курсе алгебры, были получены следующие основные выводы и результаты.

1. Основные тенденции современного образования, проявляющиеся в реализации культуротворческой модели образования, применительно к обучению курсу алгебры в педагогическом вузе ориентируют на отыскание путей и средств для осуществления герменевтического подхода к обучению, при котором учитываются многие виды деятельности (языковые, моторные, психологические и др.) и который позволяет направить деятельность студентов на глубокое профессионально-педагогическое понимание математического материала на уровне осознания смыслов математических понятий. Выявлено, что основным из направлений по решению проблемы организации обучения студентам, отвечающей современным требованиям образовательной парадигмы, является нацеленность обучения на понимание. Анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы позволил прийти к выводу о том, что в теории и методике обучения математике для разработки теоретических положений нацеленности обучения на понимание необходимо избрать идею герменевтики, в которой целостность является целью и средством понимания: в процессе познания понимание достигнуто, если знания образуют целостность и процесс понимания состоит из выполнения действий по раскрытию целостности. Определено, что системообразующим компонентом методологической целостности являются содержательные связи в учебном математическим материале.

2. Установлено, что в решении проблемы отыскания теоретических положений по организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей необходимо исходить из положений методологии учебного познания алгебраического материала: целостность и понимание - два взаимозависимых понятия, учитывающие двунаправленное движение познавательной деятельности; курс алгебры пронизан двумя взаимопроникающими математическими идеями конструктивизма и аксиоматизации, на основе которых возникает понимание алгебраических понятий с помощью основных методов формализации и интерпретации, имеющих противоположные направления; единство содержания курса алгебры определяется понятием алгебраической структуры, воплощающее в себе характерные черты целостности.

3. Определены составляющие понятия содержательной связи в учебном математическом материале применительно к курсу алгебры педагогического вуза, включающие:

1) трактовку содержательных связей как связей, вскрывающих сущность знания, его основания и истоки, характеризующих отношение изучаемого материала к целостности курса, выполняющих проекционную и порождающую функцию развития абстрактных математических понятий; основополагающее положение в данной трактовке занимает методологический принцип единства целостности курса и его и понимания студентами как в процессуальном, так и в результативном аспекте; основой целостности курса алгебры в методическом плане является обобщенное понятие алгебраической структуры;

2) идею однородности содержательных связей в компонентах обобщенного понятия алгебраической структуры, подразделяющихся на: (а) координатизационные связи, отражающие «предметную» сущность элементов множества и «выполнимость» алгебраических операций на множестве; (б) синтаксические связи, характеризующие свойства алгебраических операций и отношений на множестве; (в) структурно-абстрактные, характеризующие совокупность свойств алгебраических операций и отношений на множестве, обуславливающих специфику алгебраической структуры.

4. Определен принцип построения курса алгебры, реализующего концепцию раскрытия студентами содержательных связей, как принцип единения цели и средства раскрытия содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза. Исходя из данного принципа, герменевтический подход к обучению реализуется: (а) приданием учебному материалу свойства целостности; (б) организацией выполнения студентами действий по раскрытию целостности курса.

5. Структурирование учебного материала курса алгебры при организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в нем с методических позиций обеспечивается подходом, который осуществляется средствами содержательных параллелей, наделенных признаками: сопоставимости, проявляющейся в общности свойств понятий различных математических теорий курса; генетичности, выражающейся в возможности выявления конструктивного и формального смысла изучаемых понятий; адекватности учебного материала одному компоненту алгебраической структуры.

6. Методический подход к организации учебной деятельности студентов по изучению курса алгебры базируется на методических идеях, состоящих в том, что смысловая дискретность в единстве с конструктивным предъявлением целостности учебного материала обеспечивает продуктивность в преодолении непонимания студентами, а парность учебных действий формализации и интерпретации по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры составляет сущность раскрытия содержательных связей в курсе алгебры.

Для возможности постановки студентом учебных задач по раскрытию содержательных связей в материале были разработаны следующие методические положения по организации учебной деятельности студента.

Для ситуации соотнесения материала с понятием алгебраической структуры необходимо создать следующие педагогические условия: определение ключевых понятий в изучаемом материале, относящихся к компонентам понятия алгебраической структуры; выделение устройства математических теорий курса в виде графов, схем, иллюстраций и т.п., в сопоставлении между собой; кусочная подача материала, в которой предъявление обоснований и доказательств осуществляется в отрыве от теоретических фактов.

Учебные задания по постановке учебных задач должны ориентировать студентов на выполнение учебных действий формализации и интерпретации. Выполнение заданий должно предполагать: возможность различных интерпретаций изучаемых положений; приобретение студентами опыта формализованной записи рассуждений, обоснований, выводов и т.д., и их результатов.

Организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей возможна средствами математических задач со специально подобранными учебными заданиями, направляющими действия студентов на содержательный анализ и содержательное обобщение понятий, определенных условиями задач.

7. Методическое решение организации форм учебной деятельности студентов (лекций, практических занятий и самостоятельной работы студентов), состоит в том, что они должны обеспечивать возникновение учебных ситуаций типа «ситуаций непонимания», приводящими к постановке студентами учебных задач по раскрытию содержательных связей и самостоятельное их решение. Организация самостоятельной деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры основывается на системе действий от создания педагогических ситуаций, нацеливающих на соотнесение изучаемых понятий и положений с понятием алгебраической структуры, к постановке студентами учебных задач по раскрытию содержательных связей средствами специальных учебных заданий, ориентирующих на выполнение действий формализации и интерпретации, а затем к самостоятельной деятельности по решению учебных задач на раскрытие содержательных связей.

8. Организация деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры позволяет:

1) сформировать понятие алгебраической структуры на обобщенном уровне, проявляющемся в оперировании алгебраической структурой на материале интуитивных и аксиоматических теорий;

2) развивать теоретическое мышление студентов, необходимое не только для математической деятельности, но и для узкопрофессиональной деятельности современного учителя математики, которое проявляется в умениях решать теоретические задачи;

3) создать условия для самостоятельной деятельности студента, в результате которой достигается понимание материала (о чем свидетельствуют результаты экспериментального обучения);

4) воспитывать потребность в учении, профессиональном становлении средствами курса алгебры;

5) подготовить студентов к восприятию дисциплин методического цикла с точки зрения готовности к выполнению содержательного анализа учебного материала.

9. Анализ результатов экспериментального обучения и внедрения материалов исследования в практику различных вузов показал, что студенты экспериментальных групп превосходят студентов контрольных по уровню сформированности умений в оперировании понятием алгебраической структуры, решении теоретических задач, усвоении фактологических знаний. Это свидетельствует об эффективности разработанной методики, доказывает справедливость выдвинутой гипотезы, правильности разработанной концепции.

Таким образом, результаты теоретической и опытно-экспериментальной работы, проведенной в рамках данного исследования, подтверждают эффективность подготовки будущего учителя математики на основе организации деятельности студентов по раскрытию содержательных связей в курсе алгебры педагогического вуза не только по линии освоения знаний и умений, но и в плане осуществления профессионально-педагогической направленности курса, реализации личностно-деятельностного подхода к обучению.

Представляется целесообразным наметить пути дальнейшего исследования проблемы, решаемой в рамках данной диссертационной работы. Теоретический аспект перспектив заключается в исследовании возможностей переноса методических идей на другие разделы математики и на подготовку специалистов непедагогического профиля, в разработке соответствующих технологий и методик обучения. Особый интерес представляет исследования преемственности при изучении курса алгебры в рамках данной концепции. В экспериментальном аспекте имеет смысл детально исследовать различные способы использования технологий по постановке учебных задач и организацией их лабораторного решения.

Основное содержание работы и результаты исследования отражены в следующих публикациях

Монографии

1. Изучение высшей алгебры: начальный этап. Практико-ориентированная монография. - Архангельск: Поморский государственный университет, 2002. - 143 с.

2. Целостность курса алгебры как методологическая основа его понимания. Монография. - Архангельск: Поморский университет, 2004. - 356 с.

3. Герменевтический подход к обучению математике (теоретический аспект). Коллективная монография. - Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. - 260 с. (в соавт.: Н.И. Гоза, Е.Ф. Фефилова. - 33%).

Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий

4. Алгебра: Логика и интуиция // Высшее образование в России. - М., 2003, № 2. - С.155-156.

5. Целостность курса высшей алгебры как основа его понимания // Вестник высшей школы. - М., 2003, № 11. - С.22-24.

6. Об одной модели организации обучения предметным дисциплинам при подготовке учителя математики (на примере курса алгебры) // Вестник Оренбургского государственного университета. - Оренбург: ОГУ, 2003, № 3(21). - С.54-58.

7. Фундаментальность алгебраических знаний в предметной подготовке учителя математики // Вестник Поморского университета. Физиологические и психолого-педагогические науки. - Архангельск: ПГУ, 2004, № 1(5). - С.95-99.

8. Целостность как ведущий принцип построения (реализации) курса алгебры в педагогическом вузе (в рамках герменевтического подхода) // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена: Психолого-педагогические науки (педагогика, психология, теория и методика обучения): Научный журнал.- СПб.: РГПУ, 2005, № 5(12). - С.311-319.

9. Концепция раскрытия содержательных связей в курсе алгебры студентами педагогического вуза // Сибирский педагогический журнал. - Новосибирск, 2008, № 9. - С.51-58.

10. Содержательные связи курса алгебры педагогического вуза // Высшее образование сегодня. - М., 2008, № 8. _ С.69-72.

Учебные и учебно-методические пособия, разработки, программы

11. Элементы теории алгебраических систем. Методические рекомендации к спецкурсу. - Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета, 1997. _ 23 с. (в соавт. Н.Л. Бобрышова. - 50%)

12. Введение в теорию групп. Учебно-методическая разработка. _Архангельск: Изд-во Поморского гос. университета, 1999. - 41 с.

13. Алгебра. Часть 2. Учебно-методическая разработка. - Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета, 1999. - 31 с. (в соавт. И.В. Кузнецова, С.В. Мясникова. - 33%).

14. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебно-методическая разработка. _ Архангельск: ПГУ им. М.В. Ломоносова, 2002. - 92 с. (в соавт. Е.А. Дементьева. - 80%)

15. Начала теории игр. Учебно-методическая разработка - Архангельск: ПГУ им. М.В. Ломоносова, 2002. - 38 с.

16. Курсовые работы по математике. Учебно-методическая разработка. - Архангельск: ПГУ им. М.В. Ломоносова, 2002. - 16 с.

17. Программы по дисциплинам. Алгебра. Математическая логика. Теория алгоритмов. - Архангельск: Поморский университет, 2004. - 52 с. (в соавт. И.В. Кузнецова, С.В. Мясникова. - 33%)

18. Математика 10-11: Дополнительные главы: Учебно-методическое пособие. - Архангельск: Поморский университет, 2004. _ 96 с (в соавт. Е.А. Дементьева, В.В. Сушков, Л.М. Харева. - 25%)

19. Программы по дисциплинам. Курсы по выбору. Дисциплины специализации «Абстрактная алгебра». - Архангельск: Поморский университет, 2004. - 32 с. (в соавт. Н.М. Карелин, С.С. Лебедев. - 33%)

20. Лабораторные работы по теории определителей. Учебно-методическое пособие. _ Архангельск: Поморский университет, 2005. - 101 с.

21. Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Математика». _ Сыктывкар: КРАГСиУ, 2006. - 36 с.

22. Математика для гуманитариев. Часть 1: Учебное пособие в 2ч. _ Сыктывкар: КРАГСиУ, 2007. - 229 с. [Гриф УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона]. (в соавт.: В.А. Попов, М.В. Поспелов, Г.В. Канева. - 25%)

23. Математика для гуманитариев. Часть 2: Учебное пособие в 2ч. _ Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. - 156 с. [Гриф УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона]. (в соавт. В.А. Попов, М.В. Поспелов, Г.В. Канева. - 25%)

24. Учебно-методический комплекс дисциплины (УМК): Методические указания для составителя. _ Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. - 17 с. (в соавт. О.Н. Кушнир, Н.А. Михальченкова. - 33%)

25. Математика. Учебное пособие. _ Сыктывкар: КРАГСиУ, 2008. - 162 с. [Гриф УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона]. (в соавт. Е.Ю. Яшина. - 50%)

Статьи и тезисы

26. Методологический подход к изучению теоретического материала курса алгебры и теории чисел при подготовке учителя математики // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. - Архангельск: Изд-во Поморского гос. университета им. М.В. Ломоносова, 1997. - С.75-80.