Методика использования объектных моделей при изучении курса планиметрии в 7-9-ых классах средней школы

2.1.1 Плоскостные модели

К ним относят модели отрезков, углов, параллельных прямых, треугольников, изготовленные из картона, бумаги, проволоки, деревянных планок. Особенность таких моделей состоит в том, что они имеют постоянную форму. Рассмотрим несколько примеров, как можно использовать такие модели на уроке (табл. 1).

Таблица 1. Примеры использования плоскостных моделей на уроках планиметрии

Геометрические понятия формируются в процессе наблюдения форм, размеров и взаимного расположения окружающих предметов. С другой стороны, в поисках практических приложений планиметрических знаний мы вынуждены рассматривать пространственные ситуации и выделять в них плоские объекты, на которых действуют изучаемые нами закономерности.

Эти два обстоятельства объясняют необходимость пространственной точки зрения при изучении планиметрии и, поэтому, рассмотрим еще одну группу статических моделей, которые называются пространственными.

2.1.2 Пространственные модели

Говоря о геометрических телах на первом уроке геометрии, необходимо указать такие их виды, которые будут изучаться в курсе математики - это куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус. Можно сообщить здесь и названия, не давая определений; предварительно полезно убедиться, какие термины уже известны школьникам, а какие - не известны. Также в беседе с учащимися устанавливаются особенности этих форм, их отличительные признаки [5,7].

Желательно, чтобы ученики на моделях этих тел показали поверхности кривые и плоские, линии прямые, кривые и ломаные, точки. Здесь же попутно напомнить термины «грань», «ребро», «вершина».

Можно выполнить серии упражнений на подсчет числа граней, вершин, ребер у куба, пирамиды и других тел, поместить данные в таблицу. Интересно сопоставить число граней, вершин, ребер куба и прямоугольного, прямого наклонного параллелепипедов (термины не сообщаются). Поможет сделать правильный вывод модель куба, у которой вертикальные ребра сделаны из резинок. В руках учителя модель трансформируется из куба в прямоугольный, затем в наклонный параллелепипед [5] .

Рассмотрим некоторые примеры использования пространственных объектных моделей на уроках планиметрии в 7-9-ых классах средней школы (табл. 2).

Таблица 2. Примеры использования пространственных моделей на уроках планиметрии

Очевидно, описанный здесь наглядно-интуитивный выход в пространство при изучении курса планиметрии может сопровождаться также обобщением некоторых вводимых понятий. На это уйдет не очень много времени.

Итак, используя стереометрические модели и их разрезы для изучения элементов планиметрии, мы достигаем сразу нескольких целей, главными из которых являются [37]:

1) обеспечение всестороннего, более глубокого понимания планиметрических зависимостей;

2) развитие пространственны представлений учащихся при изучении планиметрии;

3) применение знаний по планиметрии при решении пространственных задач, т.е. сближение обучения с возможными приложениями в жизни;

4) приложение измерительных и конструктивных навыков к естественнонаучным методам изучения особенностей пространственных фигур;

5) подготовка к изучению систематического курса стереометрии.

Можно привести еще целый ряд примеров весьма эффективного использования геометрических моделей постоянной формы. Однако такие модели в настоящее время не могут полностью удовлетворять современным требованиям методики преподавания геометрии, когда идея движения и связанные с нею геометрические преобразования прочно вошли в курс элементарной геометрии. Возникает необходимость при изучении геометрии вводить подвижные наглядные пособия, окружающие идею движения в геометрии.

2.2 Методика использования динамических объектных моделей при изучении планиметрии

Подвижные геометрические модели широко используются в преподавании геометрии при открытии понятий, теорем и доказательств. Например, для демонстрации свойств смежных и вертикальных углов, высот, медиан, биссектрис треугольника, параллелограмма. С помощью моделей удобно иллюстрировать движения на плоскости (поворот, параллельный перенос, осевую и центральную симметрию). Гораздо реже используются подвижные модели при изучении различных зависимостей между сторонами и углами треугольника, между величинами проекций и наклонных и т. п. Это изучение чаще всего ведется статично, т. е. рассматривается один частный случай, который характеризуется определенным чертежом. В сознании школьника вместо великого разнообразия случаев, которые описывает изучаемая зависимость, нередко запечатлевается ее «фотография» - застывший неподвижный чертеж. Создается своего рода противоречие между закономерностью общего характера и конкретным чертежом, который вынужден показывать один из частных случаев этой зависимости. Такое положение чревато многочисленными ошибками учеников [37].

По-видимому, возникновению таких серьезных логических ошибок (неверное обобщение) содействует неправильная постановка преподавания геометрии. Иногда учителя, используя при доказательстве чертеж к теореме, не останавливаются на условиях, допускающих обобщение, и ученики невольно усваивают такое «правило»: по одному чертежу можно судить об общих закономерностях. Естественно поэтому, что при решении задач они стремятся брать наиболее «удобные» случаи. Конечно, говоря об условиях, позволяющих высказать общий вывод при рассмотрении одного чертежа, мы в известной мере нейтрализуем стремление учеников к «удобным» случаям. Но этого мало: необходимо также устранять причины, приводящие к ошибкам.

Как показал опыт, результаты в этом отношении обеспечивает изучение планиметрических зависимостей на подвижных моделях своего рода «подвижных чёртежах» [37].

Так, например, у многих учащихся отсутствует правильное представление о размерах углов. Говоря об угле в 30°, чертится угол в 50° и т. п. Недостаток глазомера, отсутствие навыка в обращении с «ходовыми» углами значительно осложняет работу по решению задач, а также тормозит дальнейшую практическую деятельность учащихся [5].

Для развития у школьников правильных навыков рекомендуется во время изучения углов, построения их, вывесить в классе на непродолжительный срок (неделю) образцы часто встречающихся в практике углов: 30°, 45°, 60°, 135° (рис. 2).

Интерес учащихся 7-го класса вызывает планиметрическая модель, которая иллюстрирует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Два угла треугольника подвижные. Для того, чтобы учащиеся выдвинули гипотезу о сумме углов треугольника, учитель эти углы разворачивает на подвижной модели так, как показано на рис. 3.

При изучении свойства хорды (хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведенного в том же круге) можно использовать следующую подвижную модель. Модель представляет собой лист картона, на котором начерчена окружность. Вдоль дуги АВD может передвигаться точка В (пуговица), (рис.4). При движении точки В по дуге окружности образуются различные треугольники, обладающие одной общей особенностью, - две стороны (радиусы) не меняют своей длины. Вспоминая свойство отрезка, приходим к выводу, что любая хорда, не проходящая через

117

центр круга, меньше его диаметра. На модели, кстати, видно, почему приходится вводить ограничение «не проходящая через центр круга». В этом случае ломаная АОВ выпрямляется и свойство отрезка применить уже нельзя [37].

При изучении темы «Перпендикуляр и наклонная» можно на модели показать их зависимость: перпендикуляр, проведенный из какой-либо, точки к прямой, меньше всякой наклонной проведенной из той же точки к этой прямой.

117

При изучении зависимости между дугой окружности и хордой (большая дуга стягивается большей хордой, большая хорда стягивает большую дугу) можно использовать следующую модель: на листе картона начерчена часть окружности АСК (рис. 5). Так как равные дуги стягиваются равными хордами и наоборот, то, не теряя общности рассуждений, будем откладывать, сравниваемые хорды и дуги, из точки А. По дуге ВК, могут передвигаться подвижные точки С и Е. Хорды АС и АЕ - резинки, радиусы ОС и ОА - нити [37].

При движении модели видно, что если увеличивать дугу, то и стягивающая ее хорда увеличивается, (резинка растягивается) и, обратно, увеличение хорды вызывает увеличение дуги. Но это можно не только показать, но и доказать. Каковы бы ни были хорды АС и АЕ, через точки С и Е можно провести прямую (накладываем на точки С и Е прямую стержень, на рисунке он показан пунктиром). Тогда можно видеть, что АЕ больше АС (наклонная, имеющая большую проекцию). Так как дуга АЕ также больше дуги АС и так как это положение модели мы могли получить, либо увеличивая дугу, либо увеличивая хорду, то отсюда и вытекает сделанный вывод. Рассматривая одно из положений модели, приходим к формулировкам учебника.

После того, как ученики познакомятся со вписанными углами, можно объяснить тот факт, что перпендикуляр АО будет все время находиться по одну сторону от наклонных АЕ и АС при любых положениях точек С и Е. Этот факт, наблюдаемый на модели непосредственно, объясняется тем, что вписанный угол АСЕ опирается на дугу, большую полуокружности, и поэтому он всегда тупой, а высота, опущенная в тупоугольном треугольнике из вершины острого угла, всегда лежит вне его [37].

117

Можно разобрать такую задачу с использованием объектной модели: доказать, что если медиана треугольника равна половине основания, то этот треугольник прямоугольный. Используем для иллюстрации условия этой задачи модель смежных углов (рис. 6). От точки А откладываем равные отрезки АВ, АС и АD), в точках С и D просверливаем отверстия и прикрепляем резинки СВ и СD. Доказательство получаем, замечая, что при любом положении модели треугольники АВС и АСD равнобедренные.

После изучения вписанных углов можно разобрать и другое доказательство, основанное на том, что через точки В, С и D при любом положении подвижной модели можно провести окружность с центром в точке А [37].

В случаях, когда доказательство по модели было по каким-то причинам неудобно, все равно изучаемую зависимость мы наблюдали на модели, а уже затем переходили к чертежу - фиксированному положению этой модели.

Для изучения теоремы Пифагора можно использовать следующую модель - картонную модель «египетского» треугольника () с построенными квадратами на его сторонах. Приведём описание модели в

порядке ее демонстрации (рис. 7).

Желательно показать модель не всю сразу в развёрнутом виде, а постепенно, так, как производится построение: «Построим квадрат на стороне треугольника а» (и из-за треугольника, обращённого к учащимся, показывается квадрат с площадью, разграфлённой на клетки). Так последовательно появляются все три квадрата. Загибание квадратов за плоскость треугольника требует широких швов присоединения квадратов, что снижает демонстративную ценность прибора. Поэтому целесообразно сохранять картонную модель теоремы Пифагора в более глубокой коробке, вынимание модели производить постепенно, отчего квадраты будут появляться из футляра последовательно: с площадью равной 9, затем 16 и 25 [37].

Еще одну группу динамических моделей образует группа наглядных пособий, которая называется геометрическим конструктором.

2.2.2 Геометрический конструктор

Как уже было сказано, к этому понятию относятся шарнирные палочки, шпильки и так далее. Шарнирные модели демонстрируют виды углов (острые, тупые, прямые; вертикальные, смежные; углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей и др.) [37].

При знакомстве с углом существенным является представить себе правильно, что эта фигура характеризует степень отклонения угла. В частности такого угла может и не быть, в этом случае лучи совпадают и угол равен нулю. В то же время, учащемуся трудно уяснить процесс непрерывного изменения угла. При использовании раздвижной шарнирной модели это явление становится наглядным и очевидным.

Опишем следующий порядок использование такой модели. Сперва учитель показывает некоторый угол, медленно уменьшает его до нуля, затем увеличивает до угла больше 90^о. Учащиеся во время демонстрации делают зарисовки в тетради и видят множество углов, среди которых, заданный является частным случаем. Полезно также показать, что удлинение стороны угла не изменяет его величины, это можно сделать, если растянуть или сдвинуть складные соединения (рис. 8), образующие стороны угла.

117

Шарнирные подвижные модели углов встречаются либо набором моделей, либо в виде отдельных пособий. Недостатком модели, как правило, является плохая конструкция муфты, которая дает грубое представление геометрическому образу прямой линии; неудачный шарнир не позволяет образовать ни малых углов, ни нулевого положения; модель искажает понятие вершины угла. Но эти проблемы можно решить, если использовать вместо планки металлическую трубку и стержни, входящие в нее [5].

Фигура треугольника проста для представления, и знакома учащимся из окружающей обстановки, поэтому можно ограничиться моделями преобразования треугольника из одного вида в другой. В этом смысле чертежи указывают лишь, очень небольшое количество образов; один вид переходит в другой скачкообразно. На модели же форма изменяется непрерывно, и перед глазами учащихся проходит множество видов треугольников [5].

Вместе с углами и сторонами в треугольнике приходится изучать такие элементы, как медиана, перпендикуляр к стороне в её середине (медиатриса), высота и биссектриса. Было бы недостаточно выучить их определения и построить эти линии, в одном-двух треугольниках; необходимо пронаблюдать на подвижной модели, как располагается каждая из них в равнобедренном, правильном, прямоугольном, тупоугольном треугольниках и как они располагаются друг относительно друга.

Свойства становятся понятным после демонстрации подвижной модели треугольника (рис. 9). При трансформации треугольника указанные элементы располагаются по-разному. В прямоугольном треугольнике (рис. 9б) высота совпадёт со стороной (катетом), биссектриса остаётся левее медианы. По мере приближения треугольника к равнобедренному, внутренние элементы его сближаются и, наконец, совпадают: в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса угла при вершине сливаются (рис. 9в). Перемещая вершину В вправо, мы увидим, что биссектриса переместится и станет вправо от медианы, а высота, постепенно смещаясь, займёт крайнее правое место по отношению к ним (рис. 9г) [5].

Перечисленные сопоставления помогут глубже представить себе существо дела и свободнее разобраться в задачах, где встречаются различные построения, например, построения равнобедренного треугольника по медиане и высоте, опущенной на боковую сторону, и т. п.

В этом случае исследование задачи, указание на два возможных решения при остром и тупом угле при вершине легче даются учащимся, которые связывают положение внутренних линий в треугольнике с его формой. К данной модели полезно вернуться в VII классе после изучения темы «Углы в окружности» и предложить обосновать конструктивные предпосылки анализируемого пособия. Такого рода упражнения можно рассматривать как несложную задачу на доказательство по данным, полученным учащимися самостоятельно из рассмотрения прибора, а также как упражнение в анализе конструкции технического приспособления [5].

Большой интерес вызывают зарисовки и наблюдения движения некоторых элементов фигуры. В качестве примера можно привести демонстрацию шарнирного треугольника или треугольника, образованного резиновыми жгутами, в которых при постоянном основании перемещается вершина и изменяется высота фигуры или, наоборот, при сохранении высоты растягивается или сокращается основание, наконец, одновременно меняются оба элемента. После такого рода наблюдений функциональная зависимость периметра или площади от линейных элементов очевидна из геометрических представлений, а не только из формулы. Подобные размышления чрезвычайно способствуют математическому развитию.