Функция как средство реализации межпредметной связи курсов алгебры и физики в 7-9 классах

29

Функция как средство реализации межпредметной связи курсов алгебры и физики в 7-9 классах

Содержание

Введение

Глава I.

1.1 Функция, её место и роль в школьной математике

1.2 Из истории математики

1.3 Проблема реализации межпредметных связей в методических исследованиях по математике и физике

1.4 Раскрытие связей курсов алгебры и физики в школьных программах

Глава II.

2.1 Дидактические основы построения системы задач межпредметного характера

2.2 Характеристика основных видов математических задач межпредметного характера

2.3 Задачи межпредметного характера для самостоятельного решения по теме: «Функция, её свойства и график»

2.4 Опытная проверка разработанных материалов. Анализ результатов.

Заключение

Литература

 Введение

Проблема межпредметных связей - это давняя проблема, возникшая в связи с введением раздельного преподавания школьных дисциплин. У её истоков стоят известные мыслители прошлого: Я.А. Коменский, Джона Локк, И.Г. Песталоцци и др. К этой проблеме обращались позднее многие известные педагоги, развивая и обогащая её. В частности, педагогами прошлого обосновывалась необходимость отражать взаимосвязи явлений реального мира, подчёркивалась мировоззренческая функция межпредметных связей, выявлялось их положительное влияние на формирование системы знаний.

Существенный вклад в теорию и практику межпредметных связей внесли педагоги-исследователи в области преподавания конкретных дисциплин, в частности, в области преподавания математики. В нашей стране, в связи с движением за реформу математического образования в начале XX века, стали предметом обсуждения вопросы взаимосвязи математики и физики. В работах К.Ф. Лебединцева, Н.Н. Володкевича, А.И. Бачинского была показана необходимость широкого применения математических знаний, установления тесных связей с другими дисциплинами, разработки прикладных вопросов и задач курса математики.

В решение проблемы межпредметных связей значительный вклад был сделан советскими и российскими педагогами, психологами и методистами. В новых условиях давняя педагогическая проблема получила новое звучание в силу того, что её актуальность продиктована новыми социальными запросами, предъявляемыми школе.

Необходимость установления межпредметных связей обосновывается психологами. Высшей ступенью развития знаний учащихся, с точки зрения Ю.А Самарина, являются межпредметные ассоциации, способствующие формированию у учащихся системы знаний о мире. Эти межпредметные знания и умения образуются, по мнению Е.Н. Кабановой-Меллер, в процессе переноса знаний из разных предметов в новую для учащихся ситуацию и их обобщения.

Было опубликовано немало работ общедидактического плана, выясняющих сущность и педагогическое значение межпредметных связей, а также методического плана, разрабатывающих пути и средства осуществления этих связей в преподавании конкретных дисциплин. В частности, были рассмотрены вопросы определения, классификации, значения межпредметных связей, их выявления и способов реализации, показана необходимость включения межпредметных связей в реальный процесс обучения с целью совершенствования учебно-познавательной деятельности ученика.

Большое место среди этих исследований занимают работы по проблеме взаимосвязи математики и физики. Исторически развиваясь в теснейшем взаимодействии, математика и физика обладали большим числом межнаучных связей, которые затем в преподавании этих дисциплин стали естественно реализовываться как межпредметные связи. В силу этих причин проблема взаимосвязи курсов математики и физики всегда была актуальной.

Решению проблем межпредметных связей придаётся большое значение в работах известных математиков А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, А.И. Маркушевича, а также в работах специалистов в области методики преподавания математики и физики А.Д. Семушина, А.А. Столяра, Г.Г. Масловой, П.А. Знаменского, А.В. Перышкина, С.Е. Каменецкого и других. межпредметные связи в этих работах рассматриваются как одно из средств, позволяющих решить вопросы формирования научного мировоззрения, формирования системы знаний, повышения эффективности обучения математики и физики, а также их научного уровня.

Вопросы реализации межпредметных связей курсов математики и физики в школьной практике были посвящены работы А. Тажмагомбетова, Н.П. Кострикиной, Ф. Бауэра, А.М. Долгушина, В.Д. Хомутского, В.Н. Ретюнского и других исследователей. Результаты проведённой ими работы отвечают на ряд вопросов, имеющих важное практическое значение. В одних исследованиях освещается опыт реализации межпредметных связей при изучении конкретных вопросов математики и физики. В других - выявляются общие умения и навыки и их формирование в обеих дисциплинах, в третьих - показывается роль математики при изучении физики, в четвёртых - ведутся поиски новых форм осуществления межпредметных связей (межпредметные практикумы, межпредметные семинары, обобщающие межпредметные уроки).

Итак, в методических исследованиях намечены пути и средства реализации межпредметных связей, показано их использование при изучении некоторых тем курсов математики и физики, накоплен значительный опыт осуществления взаимосвязи курсов математики и физики. Однако проблема взаимосвязи курсов математики и физики требует дальнейшего экспериментального исследования по следующим причинам:

1. Накопленный опыт реализации связей курсов математики и физики в условиях преподавания по ранее действующим программам требует критического переосмысления и творческого применения в современных условиях;

2. Изменение содержания курсов математики и физики требует разработки новых подходов к реализации межпредметных связей;

3. Система учебных задач, представленных в действующих учебниках математики, не полностью отвечает требованиям межпредметных связей;

4. В частных методиках нет ещё чётких научно обоснованных и детально разработанных рекомендаций по осуществлению межпредметных связей применительно к конкретным темам.

Вышеперечисленные причины делают необходимым проведение исследовательской работы по проблеме реализации межпредметных связей в курсе математики. На наш взгляд, необходимо рассмотреть методику использования межпредметных связей на уроках алгебры в 7-9 классах; уточнить требования к системе задач межпредметного характера по математике в основной школе; разработать саму систему задач, в которых нашли бы отражение современные достижения психологии, методики математики и практики обучения; показать роль, виды и место в курсе математики таких межпредметных задач, которые играют большую роль в процессе усвоения знаний и формирования умений и навыков.

Актуальность проблемы, с одной стороны, и её недостаточная разработанность, с другой, обусловили тему нашего исследования: «Функция как средство реализации межпредметной связи курсов алгебры и физики в 7-9 классах». Выбор учащихся 7-9 классов обосновывается тем, что в настоящее время наименее разработана методика использования межпредметных связей при обучении математики в основной школе, а именно в этих класса закладываются основы взаимодействия математических и физических знаний. От того, насколько согласованно будет проходить изучение математики и физики в начале пути, будет зависеть дальнейшее понимание учащимися обеих дисциплин.

В нашей работе мы попытались проследить развитие идеи осуществления взаимосвязи курсов математики и физики; проанализировать возможные взаимодействия курсов математики и физики при решении математических задач; изучить потребности курса физики в математическом материале и построить систему задач, которые, с одной стороны, подготавливают учащихся к применению математических знаний в курсе физики и, с другой, служат одним из средств прочного усвоения математических умений и навыков; проверить на опыте доступность построенной системы задач и её эффективность.

В соответствии с этим была высказана гипотеза: если в школьный курс математики внести систему межпредметных задач, направленных как на формирование математических знаний, умений и навыков учащихся, так и на последующее сознательное применение этих знаний в курсе физики, то это окажет существенное воздействие на создание оптимальных условий для повышения качества обучения.

Построение такой системы задач и явилось целью нашего исследования.

Объектом исследования является реализация межпредметных связей в процессе обучения математике. Предмет исследования - система математических задач, реализующих межпредметные связи курсов алгебры и физики в 7-9 классах.

В целях ограничения рамок исследования для детального рассмотрения был выбран раздел школьной программы: «Функции». Выбор связан прежде всего с его высокой значимостью в школьных курсах алгебры и физики.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить ряд задач:

1. Обобщить и в необходимой мере использовать положительный опыт осуществления связи курсов алгебры и физики.

2. Проанализировать имеющиеся связи между курсами алгебры и физики в условиях обучения по действующим программам и их реальное осуществление в системе учебных задач по разделу «Функции».

3. Уточнить требования к задачам межпредметного характера и дидактические основы построения системы таких задач. Разработать на этих основах конкретную систему задач.

4. Проверить на опыте в школе доступность и целесообразность построенной системы задач.

В соответствии с выдвинутыми задачами исследования нами были использованы следующие методы ведения научного исследования: изучение имеющейся педагогической, психологической и методической литературы по теме исследования, анализ действующих программ, учебников и учебных пособий. Выводы, полученные в ходе анализа литературы, позволили избрать основной способ реализации межпредметных связей - решение задач на уроках математики, а также выделить основу для их составления - систему математических понятий, умений и навыков, необходимых для изучения курса физики.

Проведённый эксперимент позволил сделать выводы о доступности и эффективности предлагаемой системы задач.

Новизна работы заключается в том, что в результате исследования решены следующие вопросы:

1. Выявлена система математических понятий, умений и навыков, формирование которых может быть положено в основу построения системы задач межпредметного характера.

2. Построена система задач на формирование математических понятий, умений и навыков.

3. Выявлена роль межпредметных задач, а именно задач с физическим содержанием, и определено их место в процессе обучения математики.

4. Разработана методика формирования математических понятий, умений и навыков с помощью предлагаемых задач.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанная система задач может быть активно использована в школьном преподавании алгебры. Задачи доступны учащимся, органически связаны с материалом курса алгебры и в зависимости от их видов могут выполнять различные функции (мотивация, введение новых знаний, формирование понятий, умений и навыков, закрепление изучаемого материала, применение знаний). Решение предлагаемых задач позволяет преодолеть психологический барьер применения математического аппарата при изучении физики, что в свою очередь ведёт к формированию более прочных знаний, научного мировоззрения и к уяснению учащимися взаимосвязи реальных явлений и их математических моделей.

1.1 Функция, её место и роль в школьной математике

Содержание школьного курса математики и его место в системе других школьных предметов определяются значимостью науки математики в создании и развитии человеческой цивилизации, ролью собственной математической деятельности человека в формировании его интеллектуальной и эмоциональной сфер, значимостью приобретаемых знаний в повседневной жизни, их необходимостью для изучения других предметов, не только смежных, но и гуманитарного цикла.

При изучении курсов математики, физики, в практической деятельности учащимся постоянно приходится сталкиваться с многообразием величин, отражающих явления природы, их взаимосвязи и взаимозависимости. Математической моделью этих взаимозависимостей является понятие функции. В процессе изучения курса алгебры и смежных с ней дисциплин, в практической и трудовой деятельности людей также возникает значительное число вопросов, которые могут быть решены только при умении выполнять определённые умственные и практические действия, связанные с функциональными понятиями. К таким умениям относятся: умение устанавливать характер взаимосвязи между двумя изменяющимися величинами; умение строить, «читать» и использовать при решении задач графики определённых функций; умение выражать определённые функции формулами; умение использовать определённые функции, заданные аналитически, графически или таблично и применять их свойства при решении практических задач при условии доведения результата до числового значения. Таким образом понятие функции и целый ряд функциональных понятий являются предметами изучения как в курсе алгебры, так и в смежных с ней дисциплинах. Именно поэтому линия «Функции» является одной из центральных линий школьного курса математики. Изучение программного материала этой линии даёт возможность учащимся осознать, что функция - это математическая модель, которая позволяет описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей, а также позволяет:

ь обеспечить большую осознанность усваемого материала;

ь обеспечить выработку и закрепление необходимых навыков и умений, в том числе в применении математических знаний к учебным задачам и практике, так как формирует у учащихся привычку связывать буквенную запись формул с реальными физическими или геометрическими величинами;

ь осуществить внутрипредметные и межпредметные связи, что способствует формированию научного мировоззрения учащихся.

Введение в школьный курс алгебры тех или иных функциональных понятий обусловлено как потребностями практики и смежных дисциплин, так и временными возможностями самого курса, внутрипредметными связями. Традиционно в рамках курса алгебры осуществляется ознакомление учащихся с одной из ведущих идей математического анализа - идеей функции. С введением в школу элементов дифференциального и интегрального исчисления изучение функциональных понятий в основной школе приобрело также характер пропедевтики элементов дифференциального и интегрального исчисления. При этом появились особенности в рассмотрении конкретных классов функций и свойств в основной школе.

Методический опыт работы российской школы в связи со всем вышеуказанным показал целесообразность рассмотрения в основной школе трёх классов конкретных функций (линейной, квадратичной и степенной) с их графиками и выявляемыми свойствами.

Важно для общего среднего образования то, что таким образом организованное содержание курса алгебры обеспечивает потребности изучения смежных дисциплин. Так в курсе физики 7-9 классов рассматривается около 30 зависимостей величин, из них: изменяющихся по закону линейной зависимости - 20, по закону квадратичной - 4 и по закону степенной зависимости - 5.

Таблица.

Основные зависимости, рассматриваемые в курсе физики 7-9 классов (расположенные в порядке их изучения).

Класс	№ п/п	Формула, выражающая зависимость	Характер зависимости
7	1	S = v t ; v - скорость, S - расстояние, t - время.	линейная относительно v, t
	2	F = m g ; F- сила, m - масса, g - ускорение свободного падения.	линейная относительно m
	3	; p - давление, F - сила, S - площадь опоры.	линейная относительно F, обратная пропорциональность относительно S
	4	A = F S ; A - работа, F - сила, S - расстояние.	линейная относительно F,S
	5	; N - мощность, A - работа, t - время.	линейная относительно А
	6	; - полезная работа, А - вся выполненная работа.	линейная относительно
8	7	; Q - теплота, с - удельная теплоёмкость, m - масса, - начальная температура, - конечная температура.	линейная относительно m,
	8	Q = q m ; Q - теплота сгорания, q - удельная теплота сгорания, m - масса.	линейная
	9	; Q - теплота плавления, - удельная теплота плавления, m - масса.	линейная
	10	Q = L m ; Q - теплота парообразования, L - удельная теплота парообразования, m - масса.	линейная
	11	; I - сила тока, q - заряд, t - время.	линейная относительно q
	12	; U - напряжение, A - работа, q - заряд.	линейная относительно А
	13	; R - сопротивление, U - напряжение, I - сила тока.	линейная относительно U, обратная пропорциональность относительно I
	14	; R - сопротивление, - удельное сопротивление, l - длина проводника, S - площадь поперечного сечения.	линейная относительно l, обратная пропорциональность относительно S
	15	P = UI ; P - мощность, U - напряжение, I - сила тока.	линейная относительно U, I
	16	A = Pt ; A - работа, P - мощность, t - время.	линейная относительно P, t
	17	; Q - теплота, I - сила тока, R - сопротивление, t- время.	линейная относительно R, t; квадратичная относительно I
9	18	; S - расстояние, v - скорость, t - время, a - ускорение.	квадратичная относительно t
	19	; - угловая скорость, - угол, t - время.	линейная относительно , обратная пропорциональность относительно t
	20	; T - период вращения, - угловая скорость.	обратная пропорциональность относительно
	21	; a - ускорение, - угловая скорость, R - радиус вращения, - линейная скорость.	квадратичная относительно ,
	22	; - линейная скорость, , - угловая скорость, t - время.	линейная относительно , t
	23	F = am ; F - сила, a - ускорение, m - масса.	линейная относительно m, a
	24	; F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная, M, m - массы тел, r - расстояние между телами.	линейная относительно M, m , степенная относительно r
	25	F = - kx ; F - сила упругости, k - коэффициент упругости, x - смещение.	линейная относительно х
	26	; M - момент силы, F - сила, d - плечо силы.	линейная относительно F, d
9 (приложения)	27	; F - сила сопротивления воздуха или воды при движении на больших скоростях, - коэффициент пропорциональности, v - скорость движения.	квадратичная
	28	; N - мощность двигателя при движении на больших скоростях, - коэффициент пропорциональности, v - скорость.	степенная
	29	; v - 1 космическая скорость, R - радиус планеты, g - ускорение силы тяжести.	степенная

Что же касается связей школьных курсов математики и физики вообще, то речь идёт не только о «вспомогательной» роли математики для физики, о требовании непротиворечивости трактовки ряда понятий в обоих курсах, а также об использовании знаний по физике при изучении ряда вопросов математики, в частности, и функциональных понятий. В курсе физики широко используется математический аппарат. Важно на классическом примере физики показать, какую важную роль играет математика в познании законов материального мира.

Таким образом, являясь предметом изучения в курсе алгебры, понятие функции служит важным средством изучения значительного количества явлений, рассматриваемых как в курсах смежных с алгеброй дисциплин (в большей мере в физике), так и в практической деятельности людей.

1.2 Из истории математики

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди начали понимать, что окружающие их явления взаимосвязаны.

В Древнем Вавилоне, Древней Греции, а также арабские учёные ( 5 в. до н.э.) занимались изучением зависимостей, близких к понятию функции. Так, например, высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Для облегчения вычислений вавилоняне составили таблицы квадратов и кубов чисел, чисел, обратных данным, для суммы квадратов и кубов чисел. В контексте рассматриваемого вопроса это было табличное задание функций:

; ; ; .

Были у вавилонян и таблицы, которые мы можем интерпретировать как таблицы значений функций двух переменных: таблицы сложения и умножения. Они уже могли вычислять длину гипотенузы, зная длины двух катетов:

.

Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был ещё очень долог, но первые шаги на этом пути уже были сделаны.

В Древней Греции наука приняла иной характер. В отличие от Египта и Вавилона, где элементы математического знания «обслуживали» запросы практики, появились профессиональные учёные, занимавшиеся изучением математики как науки, занимались строгими логическими выводами. Именно в Древней Греции были найдены многие кривые, неизвестные писцам Египта и Вавилона, были изучены зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и др.

Арабские учёные внесли свой вклад в накопление и расширение эвристического материала, который в дальнейшем был математизирован и привёл к понятию функции: они усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем, работали с тригонометрическими таблицами, прибегая к интерполяции (нахождению промежуточных значений).

В средние века начались исследования общих зависимостей (XIV в.), меры интенсивности (т.е. сравнение количественных изменений одной и той же величины). Французский учёный Оресм Н. Стал изображать интенсивности длинами отрезков, назвав их «линией интенсивности».

Уже здесь угадывается функциональная зависимость.

В XVI и XVII веках в естествознании произошли глубочайшие изменения: Рене Декартом (XVII в.) было введено понятие переменной величины (благодаря чему в математику вошло движение и, тем самым, диалектика). Благодаря этому стало необходимым дифференциальное и интегральное исчисление. Становление и завершение эти процессы нашли в трудах Ферма, Декарта, Ньютона и Лейбница. Понятие переменной величины впоследствии было уточнено и заменено Г. Лейбницем новым термином «функция» (конец XVII в.). большая работа в становлении современного понятия функции была проведена Бернулли, Ньютоном и др.

Заслуга Бернулли (XVIII в.) состоит в том, что он впервые дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Определение, данное Бернулли, опиралось не только на работы Лейбница, но и на исследования великого Исаака Ньютона (1643 - 1727), который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо термина «функция» Ньютон применял термин «ордината», а сами ординаты описывал различными аналитическими выражениями.

Многие разделы современной математики базируются на понятии функции.

Велико и прикладное значение этого понятия. На нём основаны многие методы исследования различных процессов: биологических, химических, физических и др.

1.3 Проблема реализации межпредметных связей в методических исследованиях по математике и физике

Проблема реализации межпредметных связей занимает большое место в методических исследованиях по математике и физике. Вопросам реализации межпредметных связей были посвящены работы А. Тажмагомбетова, С.Г. Первухиной, А.С. Сергеевой, Р.А. Архонтовой, Н.П. Кострикиной, И.Г. Адишева, Ф. Бауэра, В.В. Мултановского, К.В. Любимова, В.Д. Хомутского, А.М. Долгушина. А.И. Иванова, В.Н. Ретюнского и других исследователей. В этих работах решаются различные вопросы: освещается опыт реализации межпредметных связей при изучении конкретных тем, ведутся поиски путей, средств и методических приёмов реализации таких связей, рассматривается формирование общих понятий для курсов математики и физики, исследуется значение математики при изложении курса физики, показывается возможность формирования математических понятий с использованием материала физики.

Одним из важных вопросов методических исследований является вопрос о путях, средствах, методических приёмах межпредметных связей. Так, А. Тажмагомбетов на конкретных примерах рассматривает следующие пути осуществления связи алгебры и физики: использование физических процессов и задач при введении математических понятий, комплексные экскурсии, сравнение абстрактных математических выражений с математическим выражением законов физики.

В работе С.Г. Первухиной средством формирования навыков являются комплексные задания, то есть задания, для решения которых данные получают в ходе эксперимента на уроках физики, а само решение проводится на уроках математики, или обобщённые задания, где по заданному графику учащиеся составляют задачи физического содержания.

Совместное изучение тем курсов математики и физики, в которых возможна постановка задач на нахождение эмпирических формул, является средством реализации связей в исследовании Р.А. Архонтовой. При этом автор использует также задачи комплексного характера (экспериментальные данные получают на уроках физики, а их обработку ведут на уроках математики).

В ряде работ средством реализации связей является использование знаний одного предмета для формирования системы знаний в другом ( А.С. Сергеева, Н.П. Кострикина, И.И. Логвинов. Ф. Бауэр, В.В. Мултановский, Р.А. Майер). При этом авторы используют в обучении задачи с физическим (с математическим) содержанием.

Таким образом, уже разработан целый набор средств реализации межпредметных связей между математикой и физикой. Одним из важнейших таких средств являются межпредметные задачи. Каждый автор в той или иной степени использует эти задачи для формирования математических, физических или тех и других знаний.

В настоящее время исследования в плане подборки и составления таких задач продолжаются. В журнале «Математика в школе» появляются публикации с разработками задач межпредметного характера. Однако, просмотрев исследования по межпредметной тематике, мы убедились, что очень мало разработано систем межпредметных математических задач, построенных на достаточно большом материале, тесно связанном с программным материалом курса математики. В связи с этим необходимо просмотреть способы составления таких задач, их роль в обучении, требования к межпредметным математическим задачам

Прежде всего отметим, что в большинстве работ часто встречаются однотипные, с точки зрения математики, задачи, но имеющие различное физическое содержание (физическую фабулу). Составление и подбор задач такого вида может идти по линии наполнения математических задач различным физическим содержанием. Такой подход к составлению задач В.С. Самойлов называет фабульным подходом.

В ряде методических исследований по математике задачи, приводимые авторами, направлены на формирование умений и навыков. Некоторые работы (Тажмагомбетов А., Сергеева А.С., Ретюнский В.Н.) рассматривают также и формирование понятий (вектора, функции, области определения).

Таким образом, при составлении межпредметных задач наметилось две тенденции. Первая тенденция заключается в составлении межпредметных задач, направленных на формирование математических знаний, умений и навыков. Решение таких задач проводится на обычных уроках математики. Вторая тенденция - составление задач комплексного характера, нацеленных на применение математических знаний в нематематических ситуациях. При этом, конечно, формируются не только математические умения и навыки, в связи с чем авторы используют для решения этих задач соответствующие организационные формы (проверка ведётся учителями разных предметов, межпредметные уроки, комплексные семинары).

Не отрицая значимости исследований второго направления, отметим, что в соответствии с целями нашей работы мы должны более подробно остановиться на исследованиях первого направления. Авторы этого направления выдвигают требования к задачам межпредметного характера.

Так, А. Тажмагомбетов выдвигает следующие требования к подобного рода задачам: должны вызывать интерес, должны носить воспитывающий характер, трудности нематематические должны быть меньше математических.

Несколько отличаются требования к системе межпредметных задач, сформулированные А.М. Долгушиным:

1. Уровень физической насыщенности не должен заслонять её основное математическое содержание.

2. Необходимо, чтобы физическая задача предусматривала применение изученной системы математических понятий с целью закрепления их в сознании учащихся, а также способствовала формированию новых понятий, предусмотренных программой.

3. Решаемые задачи должны формировать и развивать как физическое, так и математическое мышление.

Итак, в настоящее время не оспаривается необходимость включения межпредметных задач в курс математики. При составлении задач авторы используют поиск подходящей, доступной для учащихся физической фабулы. Целевой установкой для составления таких задач является формирование математических понятий, умений и навыков.

Рассмотрим подробнее умения и навыки, относящиеся к изучению функций, выделяемые авторами в процессе исследований по методике преподавания математики.

В работе Первухиной С.Г. выделены графические навыки: чтение, построение, графические вычисления (чертежа или графика функции).

Работа Р.А. Архонтовой посвящена формированию одного умения - находить эмпирические формулы.

Формированию системы навыков, объединённых названием «Функциональный стиль мышления», посвящена работа Р.А. Майера. Круг приводимых автором навыков довольно широк (21 комплексный навык). Перечислим некоторые из них: выполнение прямого измерения величин; чтение графиков функций; исследование зависимостей, заданных аналитически; установление причинно-следственных связей; выбор функции, которая могла бы служить моделью данной зависимости; вычисление параметров, входящих в аналитическое выражение по минимальному числу значений функции. Работа Р.А. Майера подчёркивает необходимость и важность этих умений и навыков в процессе обучения математике.

При анализе многочисленных умений и навыков, выделенных методистами-математиками, возникает вопрос, насколько их объём удовлетворяет потребности курса физики. Обратимся к исследованиям по межпредметной тематике в области методики преподавания физики. В некоторых из них авторы также выделяют круг математических навыков, а в некоторых - имеются замечания, сделанные по ходу исследования и представляющие интерес для исследователя в области методики преподавания математики.

Отметим некоторые наиболее интересные на наш взгляд замечания, сформулированные авторами работ по методике физики:

- учащиеся часто не справляются с выполнением предложенных заданий не потому, что не усвоили соответствующий материал, а потому что не умеют применять его в ситуации, отличной от той, с которой они имеют дело на уроках математики;

- учащиеся не видят всех частных случаев зависимостей, заключённых в законе;

- учащиеся не умеют находить область определения зависимостей.

К.В. Любимов выделяет значительный круг умений, формирование которых он предлагает в качестве задач пропедевтики: умения трактовать формулы как уравнения (указывается, что учащиеся не узнают уравнения y=kx+b в формуле ), обучение решению задач путём предварительного вывода формулы, решение уравнений относительно одной из букв, установление факта функциональной зависимости, выявление характера и вида зависимости.

В.Д. Хомутский явно выделяет графические умения: построение и чтение графика. В тексте работы также говорится об умениях вычислять значение функции для заданного значения аргумента, анализировать зависимость величин, изображать оси координат, определять аргумент и функцию.

Таким образом, считая одним из основных средств реализации межпредметных связей задачи, авторы видят такие главные функции этих задач, как формирование математических понятий и навыков, то есть функции обучения.

В связи с этим отметим, что в настоящее время в педагогической печати большое внимание уделяется проблеме обучения через задачи, при этом указывается, что решение задач наиболее эффективная форма не только для развития математической деятельности, но и для усвоения знаний, навыков, методов и приложений математики; а также, что задачи должны служить и мотивом для дальнейшего развития теории, введения новых понятий, открытия и доказательства новых свойств объектов и возможностью их эффективного применения.

Отсюда возникает проблема составления системы межпредметных задач, обладающих такими функциями. Здесь же отметим, что актуальность указанной проблемы связана и с тем, что большинство из имеющихся межпредметных задач можно использовать лишь на этапе закрепления знаний и мало задач, которые можно использовать для введения понятий, мотивации нового материала перед его изучением или в ходе рассмотрения.

Исходя из вышесказанного для составление системы задач межпредметного характера требуется:

1. Выделить математические понятия, умения и навыки, необходимые для успешного усвоения как курса математики, так и курса физики.

2. Выделить физический материал с целью формирования умений применять математический аппарат в конкретных физических ситуациях.

3. Осуществить формирование выделенных математических понятий, умений и навыков.

Первая из указанных задач частично уже решена в ходе анализа литературы и поэтому требуется лишь уточнить и систематизировать перечень умений и навыков, а также выделить необходимые понятия. Вторая - вызвана потребностью в поиске подходящей фабулы для составления и подбора задач с физическим содержанием. Решение третьей, в соответствии с целью работы, предполагается выполнять с помощью построенной системы задач.

При анализе проблемы построения системы межпредметных задач возникает ещё один очень важный вопрос: каковы должны быть структура и содержание системы задач, чтобы они выполняли функции формирования понятий, умений и навыков? Частично ответ на этот вопрос дан в диссертации В.Н. Ретюнского. Взяв в основу психологические теории формирования понятий, автор показал, что материал физики может быть использован для вычленения существенных признаков понятия, варьирования несущественных и для применения понятия к решению задач.

Самойлов В.С. отмечает, что варьирование несущественных признаков математического понятия можно осуществлять с помощью варьирования физической фабулы задачи. Таким образом можно создать то многообразие задач, которое необходимо для формирования изучаемого понятия.

Завершая параграф, приведём первичную систематизацию умений и навыков, необходимых для изучения курса физики. Умения и навыки приводятся в соответствии с избранным вопросом, также учитывается порядок их применения в курсе физики.

«Функциональные» умения и навыки:

- переход от табличного задания функции к заданию формулой;

- чтение и построение графиков функций;

- вычисление параметров, входящих в формулу, по минимальному числу значений функции;

- трактовка формулы как уравнения;

- нахождение области определения функции;

- выражение зависимости с помощью формулы;

- выявление характера вида зависимости;

- нахождение множества значений функции.

Представленная совокупность умений и навыков будет являться отправной точкой для дальнейшего исследования.

1.4 Раскрытие связей курсов алгебры и физики в школьных программах

Понятие функции является одним из основных математических понятий, которое широко используется и в математике, и в других науках, в частности, в физике в связи с широким применением математических методов исследования в изучении явлений материальной действительности. Оно является наиболее важным из числа других основных математических понятий школьного курса математики. Раскрывая значение этого понятия, профессор А.Я. Хинчин отмечает, что ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин. Он также говорит о том, что это понятие как ни одно другое воплощает в себе диалектические черты современного математического мышления, что именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности, в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве друг от друга.

В процессе изучения физики учащиеся знакомятся с многообразием взаимосвязанных величин, отображающих многообразие физических явлений природы, их взаимосвязи и взаимозависимости, поэтому понятие функции широко используется в курсе физики основной школы. Значимость данного понятия в изучении явлений материального мира требует создания оптимальных условий для его формирования и развития.

Формирование у школьников понятия функциональной зависимости величин - сложный и длительный процесс, ни в коей мере не ограничивающийся периодом изучения темы «Функция» в курсе математики 7-го класса. Это понятие формируется на протяжении всего периода изучения математики средней школы и попутно - в процессе изучения других учебных дисциплин. С методической точки зрения изучение функциональной зависимости величин можно разделить на 3 этапа:

Первый этап - пропедевтический. Он начинается, в основном, в 5 классе с изучения вопроса «Выражения, содержащие переменные» и продолжается до изучения темы «Функция» в 7 классе. На этом этапе учащиеся получают представление о переменных величинах, оперируют с выражениями, содержащими переменную величину, знакомятся с формулами, графиками, выражающими зависимость между различными величинами, развивают вычислительные умения и навыки. Задача этого этапа заключается в том, чтобы подготовить учащихся к усвоению понятия функциональной зависимости величин, которое вводится в 7 классе, и в дальнейшем развивается на протяжении всего курса математики. На первом этапе изучения функциональной зависимости величин учитель не вводит определение функции, но он, используя конкретный материал, доступными для понимания учащихся средствами, подготавливает их к введению понятия функции.

Второй этап формирования понятия функции начинается с изучения темы «Функция» в 7 классе. На этом этапе у учащихся развивается представление о взаимосвязи и взаимообусловленности величин, развивается понятие «переменная величина». Ученики знакомятся с понятием «функция», «область определения функции», «график функции».

На данном этапе изучения функциональной зависимости величин у школьников развиваются графические, вычислительные умения и навыки, систематизируются и углубляются полученные ранее знания о связях между величинами. Задача этого этапа заключается в формировании понятия «функция».

Третий этап формирования понятия функциональной зависимости величин начинается в 8 классе, а затем продолжается в старших классах школы. Задача этого этапа формирования понятия функции состоит в его конкретизации и обобщении посредством ознакомления учащихся со всё новыми и новыми видами функциональных зависимостей величин и с разнообразными способами их выражения.

В процессе формирования функциональных представлений можно выделить следующие особенности:

1) Формирование функциональных представлений ведётся путём явного включения и систематического изучения большого числа понятий, связанных с функциями: область определения, область значения и др.

2) Все понятия вводятся в процессе изучения широкого круга конкретных функций: прямой пропорциональности, линейной, обратной пропорциональности, квадратичной,степенной. Этим достигается наглядность при изучении материала. Каждое свойство вводится по мере того, как оно наблюдается у конкретной функции. Например, понятие периодичности вводится только в связи с изучением тригонометрических функций.

3) Всем понятиям даются чёткие определения, что обеспечивает достаточно высокий научный уровень изложения курса.

4) Система упражнений служит ведущим средством целенаправленного формирования функциональных представлений.

5) Основным опорным образом при изучении всех функциональных понятий служит график функции.

6) В процессе изучения каждого класса функций постоянно ведётся целенаправленная работа по установлению взаимосвязи аналитической записи свойств и их интерпретацией на координатной плоскости. Это позволяет предупредить формализм в знаниях учеников. Такая работа проводится, например, при рассмотрении понятий: нули функции - значения аргумента, при которых значение функции равно нулю (обязательно рассматривается геометрическая интерпретация этого свойства), промежутки знакопостоянства, чётность и нечётность функции и др.

7) При введении и изучении каждой конкретной функции в большинстве учебников используется следующая методическая схема:

а) рассматривается конкретная жизненная ситуация (практическая задача), решение которой приводит к заданию функции данного вида. Например, перед введением функции рассматривается задача вычисления площади квадрата со стороной а единиц. Перед введением функции - об определении стороны квадрата, площадь которого известна. Тем самым подчёркивается, что с помощью функций описываются процессы реальной действительности, каждое математическое понятие имеет прообразом некий реальный процесс, какое-то его свойство. Всё это имеет большое значение для формирования мировоззрения учеников.

б) Формулируется чёткое определение функции рассматриваемого вида. Практически все функции, изучаемые в основной школе, задаются с помощью соответствующей формулы, указываются параметры и разъясняется их значение, объясняется целесообразность ограничений (если они есть) на их значения.

в) На первых этапах обучения (основная школа) сначала строится график функции по точкам (т.е. предварительно заполняется таблица значений).

г) По графику выявляются возможные свойства. Впоследствии доказываются отдельные свойства: область определения, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание функции.

д) Рассмотренные свойства применяются при решении различного рода задач.

Рассмотрим теперь методику введения понятия функции. Введение понятия функции - процесс длительный, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия. В систему компонентов понятия функции входят:

- представление о функциональной зависимости переменных величин как в реальных процессах, так и в математике;

- представление о функции как о соответствии;

- вычисление значений функции, заданной различными способами;

- построение и использование графиков функций, исследование функций.

Необходимо сформировать у школьников представление о взаимосвязи всех компонентов, в процессе реализации межпредметных связей в том числе.

Этот процесс развивается в трёх направлениях:

- упорядочение имеющихся представлений о функции, развёртывание системы понятий, характерных для функциональной линии: способы задания и общие свойства функции, графическое истолкование области определения и области значений функции и т.д. на основе метода координат;

- глубокое изучение отдельных функций, классов функций;

- расширение области приложений алгебры за счёт включения в неё идеи функции и разветвлённой системы действий с функциями.

В реализации первого направления главное место отводится однозначности соответствия каждому значению аргумента определённого значения функции.

При введении понятия функции важную роль выполняет сопоставление различных способов задания функции. Это связано с практической потребностью: таблицы и графики нужны для удобного представления функции, заданной аналитически. Это важно и для усвоения всего разнообразия аспектов понятия функции. Использование перевода задания функции из одной формы в другую - необходимый методический приём при введении этого понятия.

Рассмотрим, например, как вводится понятие функции в действующих учебниках Ш.А. Алимова и др., Ю.Н. Макарычева и др., А.Г. Мордковича.

В первом учебнике авторы рассматривают сначала задачу на движение, которая приводит к формуле S = 120t, лишь затем (на этом же примере) переходят к новым терминам, разъясняя связь между ними:

независимая переменная - переменная t, так как значения S зависят от её значений; а S - зависимая переменная (или функция). Зависимость переменной S от переменной t называется функциональной зависимостью.

Как такового определения нет, но смысл введённых понятий разъяснён.

Аналогичная ситуация наблюдается в учебнике под редакцией С.А. Теляковского. Рассматриваются примеры функциональной зависимости: задача на движения, график изменения температуры в течение суток, зависимость площади квадрата от длины его стороны, стоимость проезда от протяжённости пути. Анализируя рассмотренные примеры, авторы пишут: «в рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью (или функцией).

Учебник А.Г. Мордковича предлагает совершенно другой вариант введения понятия функции.

На основе построения графика уравнения ax+by+c=0 автор подводит учеников к выводу, что для облегчения вычислений, необходимых для построения графика, целесообразно выразить «у» через «х». Эта операция проделывается и с другими рассмотренными ранее уравнениями, в результате чего делается вывод:

Линейное уравнение с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду y = kx+m, где k,m - числа ().

Автор отмечает, что переменные х и у неравноправные, так как конкретные значения даём лишь одной переменной - х, а значения другой - у вычисляются по значению х.

Х - независимая переменная (или аргумент), у - зависимая переменная (или функция), конкретнее линейная функция.

Линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными.

Только после этого рассматривается конкретная ситуация, математической моделью которой является линейная функция.

Следует подчеркнуть, что определение функции отсутствует вплоть до 9 класса, где оно и вводится как обобщение ранее рассмотренных примеров.

Мы исследовали проблему формирования понятий функциональной зависимости величин у учащихся 5-9 классов. Как уже было указано, подготовительная работа по введению понятия функциональной зависимости величин начинается в 5 классе. В программу математики этого класса включено понятие «выражение, содержащее переменную». Учащиеся овладевают этим понятием, знакомятся с термином «формула», усваивают формулы площади прямоугольника и объёма прямоугольного параллелепипеда. Включение этих вопросов в программу создаёт возможность для формирования у них функциональных представлений уже в 5 классе.

Пониманию учащимися характера функциональной зависимости величин способствует изучение таких тем курса математики 6 класса как: координатная прямая, координаты точки, обозначение А(х), координатная плоскость, координаты точки, обозначение А(х,у), примеры графиков движения, температуры, стоимости и др. Таким образом, закладывается прочная основа знаний, необходимых для формирования и усвоения понятий о функции.

Дальнейшее развитие понятие функция получает при изучении следующих вопросов математики в 7 классе: понятие функции, область определения функции, обозначение функции, график функции, заданной формулой; таблица значений функции, прямая пропорциональность, свойства прямой пропорциональности, график прямой пропорциональности, обратная пропорциональность, свойство и график обратной пропорциональности, линейная функция и её график, функции , и их графики; развитию понятия функциональной зависимости величин способствует изучение темы «Системы уравнение с двумя переменными».

В 8-9 классах конкретизируется и обобщается понятие функции посредством ознакомления учащихся с новыми видами функциональных зависимостей:

, , , , , , .

Однако сформировать понятие функциональной зависимости величин у школьников довольно трудно. Материал, изучаемый на уроках алгебры, носит формализованный характер, он недостаточно насыщен конкретным содержанием (это хорошо видно из таблиц 1,2), что вызывает трудности в усвоение понятия функциональной зависимости величин у школьников.

Таблица 1

Задачи с физическим содержанием в учебниках алгебры.

		общее количество задач с функц. содержанием	количество задач с физическим содержанием
	7	152	15%
Макарычев	8	34	6%
	9	101	5%
	7	87	20%
Алимов	8	87	2%
	9	76	5%
	7	169	25%
Муравин	8	-	-
	9	107	2%
	7	-	-
Никольский	8	267	11%
	9	43	0%

Таблица 2.

Задачи с физическим содержанием сопровождаемые образцом решения в учебниках алгебры.

		общее количество задач с физ. содержанием	количество задач с физ. содержанием с образцом решения
	7	23	13%
Макарычев	8	2	0%
	9	5	20%
	7	17	11%
Алимов	8	2	0%
	9	4	25%
	7	42	19%
Муравин	8	-	-
	9	2	0%
	7	-	-
Никольский	8	29	2%
	9	-	-

Эффективное условие повышение качества усвоения понятия функциональной зависимости мы видим в установлении межпредметных связей физики и математики, что позволяет успешно решить следующие методические задачи:

1. Обеспечить необходимую математическую подготовку учащихся к изучению соответствующего физического материала, требующего введения формул, понимания учащимися характера функциональной зависимости физических величин.

2. Конкретизировать понятие функциональной зависимости. Использование межпредметных связей позволяет конкретизировать понятие функции, показать учащимся практическое применение математического аппарата вообще, практическую значимость понятия функции, в частности.

3. Выработать умение оперировать указанным понятием в процессе решения задач.

4. Продемонстрировать происхождение понятия функции, как модели многих физических процессов.

Рассмотрим теперь более подробно взаимосвязь отдельных тем алгебры и физики в 7-9 классах..

Среди функциональных вопросов, имеющих важное значение для практического осуществления связи курсов алгебры и физики, выделяется вопрос о прямой и обратной пропорциональности и графическом их изображении. Применение прямой и обратной пропорциональности проходит почти через все темы курса физики основной школы. Поэтому при изучении этих вопросов необходимо использовать имеющиеся возможности для осуществления взаимосвязи рассматриваемых курсов. Изучение прямой и обратной пропорциональности на уроках алгебры по времени совпадает с изучением таких вопросов курса физики, как скорость равномерного движения, плотность вещества, сила тяжести и масса тела (за исключением учебника Никольского С.М.: изучение прямой и обратной пропорциональности начинается только в 8 классе). Применение этих вопросов на уроках математики будет способствовать закреплению знаний учащихся.

В учебнике для 7 класса Муравина К.С. прямая пропорциональность определяется как функция вида , где - число, отличное от нуля.

Далее следует изложение свойства прямой пропорциональности: «любые две пары соответствующих друг другу значений переменных х и у составляют верную пропорцию».Затем изучается график прямой пропорциональности.

По такому же плану проходит изучение обратной пропорциональности.

В учебнике уделяется значительное внимание задачам с физическим содержанием, а также задачам, способствующим формированию таких навыков, которые необходимы для изучения физики. Например, появились задачи, в которых требуется перейти от табличного задания функции к аналитическому. Эти задачи позволяют подготовить учащихся к выполнению лабораторных работ, в которых нужно найти зависимость переменных величин. Также в учебнике присутствуют лабораторные работы, в которых от учащихся требуется измерить соответствующие значения величин, проследить за изменением зависимых величин и найти формулу, выражающую зависимость.