Функция как средство реализации межпредметной связи курсов алгебры и физики в 7-9 классах

Задачи с физическим содержанием используют в основном материал, известный учащимся из курса физики. При решении задач учащиеся применяют соотношения:

, , ,

,причём большинство задач составлены на основе первой из этих формул. Совсем нет задач, в основе которых лежат зависимости

, , , ,,

хотя к концу учебного года этот материал может быть использован при повторении курса алгебры 7 класса.

При изучении функции вида задачи с физическим содержанием отсутствуют. Изучение линейной функции мотивируется задачей на движение.

Далее развитие понятия функции продолжается в 9 классе. Здесь рассматриваются функции

, , , , , .

Изложение материала о функции сопровождается небольшим числом задач с физическим содержанием, которые могут служить для мотивировки изучения данной функции, при изучении же функции задачи с физическим содержанием отсутствуют.

Итак, при изучении функций в данном учебнике осуществлению взаимосвязи курсов алгебры и физики в седьмом классе уделяется довольно большое внимание, однако ещё не полностью учитываются факты, известные учащимся из курса физики, в девятом же классе задачи с физическим содержанием практически отсутствуют, а также как в седьмом, так и в девятом классах не используются многие из возможностей формирования отдельных умений и навыков, имеющих важное значение как для усвоения курса физики, так и математики.

Таблица 3

	Класс	Изучаемые функции
Макарычев Ю.Н. и др.	7	линейная функция, функция , функции ,
	8	функция , функция
	9	квадратичная функция, степенная функция
Алимов Ш.А. и др.	7	функция , линейная функция
	8	квадратичная функция
	9	функция , степенная функция
Муравин К.С. и др.	7	функция , линейная функция, функция
	8	функция
	9	квадратичная функция, степенная функция
Никольский С.М. и др.	7	-
	8	функция , линейная функция, квадратичная функция
	9	степенная функция

Глава II

2.1 Дидактические основы построения системы задач межпредметного характера

В основу работы была положена следующая идея: аппарат, изученный на уроках математики, должен быть готовым инструментом для решения задач физики. Только в этом случае учащиеся будут свободно его применять для изучения физических явлений и процессов и только тогда он по-настоящему глубоко будет осознан школьниками.

Однако из сказанного совсем не следует, что преподавание математики должно быть полностью подчинено задачам физики. Математика как учебный предмет представляет собой дидактическую систему со своими целями и задачами, и подчинение математики курсу физики может привести к решению физических задач на уроках математики, в то время как основные математические понятия не будут усвоены, внутренняя логика построения предмета будет нарушена. Реализация межпредметных связей в процессе преподавания математики должна быть прежде всего направлена на обеспечение прочного усвоения основ математической науки.

Таким образом, рассмотрение физического материала на уроках математики должно проводиться не с целью повторения физических фактов, а с целью формирования математических понятий, умений и навыков. С этой точки зрения система межпредметных задач должна предусматривать прочное формирование понятий, умений и навыков, показывать применение математической теории и подготавливать учащихся к изучению курса физики.

В связи с этим возникает проблема способов конструирования задач с указанными функциями и о требованиях к ним.

Как уже отмечалось, одним из подходов к построению таких задач является наполнение математических задач соответствующим физическим содержанием. Например, одна из задач на нахождение параметра функции по соответствующему графику может быть сформулирована следующим образом: по графику функции у=кх, найдите к. Наполнив эту задачу физическим содержанием, получим другую задачу: по графику

,

найдите R. Такой подход к составлению задач с физическим содержанием обеспечивает варьирование несущественных признаков понятия, а значит и его формирование. Однако возникает вопрос, какими должны быть системы задач для формирования соответствующих умений и навыков. Ответ на этот вопрос мы попытались найти в ходе анализа различных теорий формирования умений и навыков.

Существуют две различные психологические теории формирования умений и навыков. В основу одной положено понятие переноса умений и навыков в новые условия, в основу другой - этапность формирования умственных действий.

В теории переноса (Е.Н. Кабанова-Меллер) рассмотрены различные пути формирования умений и навыков. Один из них заключается в том, что учитель в виде общего правила вводит приём, который затем переносится учащимися на всё более широкий круг задач и тем самым становится более обобщённым. Особо автор выделяет случай, когда владение приёмом закрепляется в упражнениях до уровня навыка (сокращённого автоматизированного действия).

Формирование умственных действий в теории поэтапного их формирования (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина) проходит несколько иначе. Вначале перед учащимися раскрывается содержание основы действия, которое далее учащиеся усваивают в материальном или материализованном виде, затем это действие формируется в форме внешней речи и наконец, в системе специальных упражнений происходит перевод действия во внутренний план и доводится до автоматизма.

Таким образом по мнению психологов необходимым условием формирования умений и навыков является вычленение приёмов (алгоритмов, правил) умственных действий и их формирование в ходе деятельности учащихся по выполнению специальных упражнений и задач.

В методических пособиях по математике, а также в практике её преподавания можно увидеть проявление обеих теорий. Так, в методических пособиях К.С. Барыбина план формирования вычислительных или алгебраических умений и навыков соответствует в большей степени теории переноса умений и навыков. Можно вычленить такой план формирования вычислительных навыков: подготовительная работа; знакомство с вычислительным приёмом в ходе демонстраций; использование вычислительного приёма в аналогичных, а затем в новых условиях, применение приёма в разнообразных условиях и доведение его до уровня навыка.

Вместе с тем авторы методических пособий рекомендуют при формировании умений и навыков различные упражнения, которые проводятся во внешней речи и про себя. В практике преподавания математики упражнения проводятся в различных формах: устные упражнения, упражнения с комментированием решения, математические диктанты, самостоятельные работы. Подобные формы проведения упражнений служат формированию понятий, умений и навыков, а также средством контроля сформированности этих структурных элементов знания.

Итак, анализ различных теорий и школьной практики формирования умений и навыков привёл нас к тому, что система задач, направленная на формирование умений и навыков должна содержать достаточное число упражнений для усвоения соответствующих приёмов, применения их в различных условиях. Кроме того должны быть доступные задачи, которые можно использовать для проведения устных упражнений, математических диктантов, самостоятельных и контрольных работ. Возвращаясь к предмету нашего исследования отметим, что варьирование физической фабулы создаёт предпосылки для составления и подбора достаточно разнообразных задач с выполнением указанных требований.

В соответствии со сказанным, учитывая ранее рассмотренные требования к межпредметным задачам, были выдвинуты следующие требования к системе задач межпредметного характера:

1. Задачи должны быть достаточно просты с точки зрения анализа физической ситуации.

2. Не должно быть задач, проводимых лишь с целью осуществления межпредметных связей. Задачи должны служить дидактическим целям обучения математике - обеспечивать прочное усвоение основ математической науки.

3. Задачи должны быть органически связаны с содержанием программного материала.

4. Задачи должны формировать у учащихся умения применять математический материал в условиях курса физики.

5. Задачи должны вызывать интерес и носить воспитывающий характер.

Построение подобной системы, как указывалось ранее, требует выявления системы математических понятий, умений и навыков, которыми должны владеть учащиеся для успешного изучения курса физики. Для выявления и систематизации указанных элементов математических знаний был использован анализ физического материала, требующего применения математических знаний. Анализ физического материала поможет нам выявить элементарные математические задачи, рассматриваемые на уроках физики, и тем самым уточнить круг ранее выделенных умений и навыков. Также проводился анализ школьных математических моделей, выяснялась информация, получаемая учащимися из рассматриваемой модели и необходимые для этого умения. Теперь остановимся на проведении такого анализа.

Прежде всего отметим, что учащиеся должны уметь перейти от табличного задания функции к заданию формулой. Такой переход необходимо выполнять в лабораторных работах при нахождении зависимости величин, при установлении экспериментальных законов физики, которые являются обобщением эмпирических формул. Таким образом, формирование умения переходить от табличного задания функции к заданию формулой является одним из условий овладения экспериментальным методом исследования. Важность умения переходить от табличного задания функции к формуле обусловлена достоинствами задания функции с помощью формулы. Если таблица - наиболее простое задание функции с точки зрения его получения в ходе эксперимента, то формула позволяет в компактном виде представит зависимость величин, производить интерполяцию и экстраполяцию, проводить математический способ изложения отдельных вопросов курса физики. Кроме того, с помощью исследования функции можно получить всю необходимую информацию о прохождении процесса или явления, моделируемого с помощью этой функции. Например, формула даёт возможность получить следующую информацию: с увеличением напряжения при постоянном сопротивлении сила тока возрастает, или с увеличением сопротивления при постоянном напряжении сила тока уменьшается. Здесь учащиеся должны уметь исследовать функцию по её формуле.

Теперь рассмотрим ситуации, связанные с применением графика функции. Графический способ задания функции широко используется в преподавании физики. Ценность его заключается прежде всего в наглядности изображения свойств функции. Например, при рассмотрении графиков плавления и отвердевания выделяются участки, на которых температура постоянна, что позволяет акцентировать внимание учащихся на этих участках и дать объяснение этому явлению с точки зрения молекулярно-кинетической теории.

При помощи графика многие величины в физике получают геометрическую интерпретацию. Так, скорость равномерного движения представляет тангенс угла наклона графика пути к положительному направлению оси времени, мгновенная скорость неравномерного движения - тангенс угла наклона касательной к графику пути в данной точки и др. Это позволяет использовать графики для измерения физических величин, а также более глубокого истолкования этих величин с математической точки зрения. Таким образом, ценность графических методов неоспорима. Отсюда следует важность умений переходить от табличного и аналитического способа задания функции к графическому. Необходимо иметь в виду, что во многих задачах построение графика функции представляет собой лишь результат исследования функции, в этом случае важно, чтобы учащиеся умели изобразить общий вид поведения той или иной функции, не прибегая к построению графика по точкам.

Как уже было отмечено, математические знания необходимо уметь применять в условиях курса физики. К таким условиям можно отнести: различные обозначения переменных, широкое применение параметров, включение математических понятий в систему физических знаний. Рассмотрим несколько примеров.

Задача. Построить график зависимости скорости от времени, если

, а .

По сути дела учащимся необходимо знать формулу и перейти от задания функции формулой к графическому заданию.

Задача. На рисунке представлены две изотермы в системе координат PV для одной и той же массы газа при температурах и . Какая температура выше?

Приведём одно из возможных решений данной задачи. Исходя из обобщённого газового закона, уравнения соответствующих изотерм будут выглядеть так:

и ,

где - постоянные положительные числа. По графику определяем, что , откуда .

Как видим, решение задачи свелось к сравнению параметров функций по взаимному расположению графиков.

При изучении курса физики встречаются и обратные задачи, когда по соответствующим соотношениям параметров необходимо изобразить соответствующее расположение графиков в прямоугольной системе координат.

Задача. На рисунке дан график зависимости удлинения проволоки от температуры. Определить коэффициент линейного расширения, если начальная длина проволоки 100 м.

Обратим внимание, что здесь учащийся должен уметь: найти один из основных параметров функции (коэффициент пропорциональности), связать его с искомой величиной, и только затем решить уравнение. График в этом случае служит одним из существенных данных в условии задачи.

Как видим, при решении задач курса физики, учащиеся должны твёрдо владеть математическими понятиями, а также рядом математических умений и навыков. В работе было проанализировано около 60 задач с функциональным содержанием. Умения и навыки, необходимые учащимся для решения этих задач во многом повторяются.

Итак, в ходе анализа задач курса физики, связанных с применением функций, в дополнение к указанным ранее были выявлены математические понятия, умения и навыки, необходимые для решения задач курса физики. Приводим уточнённый круг таких понятий, умений и навыков:

1. «Функциональные» умения и навыки:

- распознавание вида функции по формуле, когда одна или несколько переменных фиксируются;

- чтение графика функции;

- исследование функции, заданной формулой;

- изображение графика функции, заданной формулой;

- решение уравнений с буквенными коэффициентами;

- нахождение формулы, описывающей функцию по заданному графику;

- нахождение и сравнение соответствующих параметров функций одного вида по расположению графиков;

- переход от табличного задания функции к заданию формулой.

2. «Функциональные» понятия: область определения функции, функции вида y=kx, , y=kx+b, , , параметр, уравнение.

2.2 Характеристика основных видов математических задач межпредметного характера

В соответствии с целями работы мы предлагаем систему задач, которая предусматривает прочное формирование математических понятий, умений и навыков, показывает применение математической теории в практике, подготавливает учащихся к изучению курса физики.

При подборе и составлении задач мы стремились выполнить выдвинутые в предыдущем параграфе требования к задачам. Для этого прежде всего было необходимо совершить переход от умений к задачам, наполнить понятным учащимся физическим содержанием выделенные простейшие математические задачи. Ряд задач был заимствованы у авторов диссертаций книг, анализ которых приведён в первой главе, некоторые из задач были составлены или являлись переработкой различных задач, взятых из сборников задач по физике.

Значительное число задач предлагается использовать при изучении нового материала по алгебре, но есть и такие, которые лучше применять в конце года при повторении материала курса алгебры. Такие задачи выделены курсивом.

В соответствии с выделенными умениями и навыками при изучении функций мы рассмотрим семь видов задач на формирование перечисленных выше умений. При этом в каждом из рассматриваемых видов задач будут находиться и задачи на формирование соответствующих понятий. Например, задачи на распознавание вида функций направлены и на формирование понятий: прямая пропорциональность, обратная пропорциональность и др. Точно также задачи на изображение графиков функций предусматривают предварительное нахождение области определения функции, а рассмотрение различных ситуаций, в которых переменные величины принимают постоянное значение, готовит учащихся к пониманию такого понятия, как параметр. Название задач в системе будет соответствовать формируемому умению. Дадим краткую характеристику каждого из этих видов задач.

I. Задачи на распознавание вида функций по формуле

В задачах этого вида учащиеся должны узнать вид функции, если указаны постоянные и переменные величины, входящие в формулу, или если задана физическая ситуация, позволяющая это выяснить. Сюда же мы отнесли ряд подготовительных задач, направленных на формирование распознавания функций по формуле. Приведём несколько задач на распознавание вида функции по формуле.

1.Запишите математической формулой (коэффициент пропорциональности

) :

а) S пропорционально t;

б) х обратно пропорционально F.

2.Определить коэффициент пропорциональности в формулах:

а) , если ;

б) , если .

Отметим, что в эти задачи мы не вкладываем никакого физического содержания. В ряде предлагаемых задач учащиеся самостоятельно должны установить постоянные и переменные величины. Например, в ситуации наполнения сосуда жидкостью показывается, что и находятся в прямой пропорциональности, так как , где .

Подобные задачи предусматривают формирование понятий прямой и обратной пропорциональности и коэффициента пропорциональности. При составлении этих задач мы стремились варьировать несущественные признаки математических понятий, чтобы они предстали перед учащимися в формах, наиболее часто встречающихся в курсе физики, например, в условиях обозначения переменных величин различными символами. Аналогичные задачи на распознавание функций составлены для функций вида , , . Предполагается широкое применение этих задач в 7-х и 8-х классах при введении функций различного вида и формирования этих понятий. Кроме того, при решении подобных задач учащиеся впервые встречаются с тем, что некоторая величина в одном случае является переменной, а в другом постоянной. Поэтому здесь предусматривается также появление некоторого опыта у учащихся в действиях с параметрами.

II. Задачи на чтение графика функций.

Указанные задачи традиционны. В них по заданному графику необходимо установить область определения и множество значений функции, промежутки возрастания и убывания функции, найти значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Содержательные задачи такого вида имеются в действующих учебниках в достаточном количестве. Они, как правило, включают рассмотрение графиков изменения температуры, пути, пройденного телом, скорости тела от времени. В практике работы школы такие задачи применяются часто, их постановка методически обоснована и оправдала себя. Например, по графику суточного изменения температуры определяется, в какое время суток температура воздуха возрастала; была наибольшей.

III. Задачи на исследование функций.

В основной школе подобные задачи являются задачами на применение свойств известных учащимся функций, заданных формулами. На основе этих свойств школьники должны выяснить возрастает или убывает заданная функция. Например, в условии задачи указана формула, по которой находится давление тела на площадку . Необходимо выяснить, как изменится давление, если сила давления на площадку увеличится в 3 раза.

IV. Задачи на построение графиков функций по формулам.

В курсе математики практикуется построение графиков через составление таблицы. Лишь позднее в старших классах учащиеся схематически изображают примерный вид графика при исследовании функции. Говоря о рассматриваемых задачах, мы имеем в виду изображение примерного вида графика функции по формуле. В этом случае учащиеся должны распознать вид функции и изобразить от руки её график, учитывая область определения функции. Приведём в качестве примера такого типа задачу: из сосуда ёмкостью 4 л переливается вода в сосуд такой же ёмкости. Начертить график зависимости количества жидкости во втором сосуде от её содержания в первом, если перед началом переливания первый сосуд был полный, а второй пустой.

При решении задачи учащиеся должны записать формулу , откуда видно, что график функции представляет собой отрезок (необходимо учесть, что область определения ).

Подобные задачи могут быть использованы для формирования понятий области определения функции и её графика при изучении соответствующих функций в курсе алгебры 7-го класса. Как мы уже отмечали, в условиях курса физики формула является аналитическим выражением функции двух переменных, и лишь в конкретных ситуациях, когда одна из переменных фиксирована, можно говорить о функции одной переменной. В связи с этим, при построении графика формулу необходимо рассматривать в тесной связи с физической ситуацией, так как именно эта ситуация и позволяет установить, какая из переменных фиксирована. Иногда в рамках одной задачи одна и та же переменная на каком-то промежутке фиксируется, а на другом изменяется. В этом случае график функции может состоять из кусков различных линий, хотя и строится на основе одной формулы. Приведём пример такой задачи. Газ сжимается поршнем в сосуде, ёмкость которого 2 л. Начертить вид графика зависимости плотности газа от занимаемого им объёма, если в стенке этого сосуда имеется отверстие.

Указание: пока поршень не перекрывает отверстие, считать, что плотность газа равна плотности окружающего воздуха .

V. Задачи на нахождение формулы, описывающей функцию по заданному графику.

Эти задачи являются обратными по отношению к задачам на изображение графиков функций и проводятся по готовым графикам, которые должны быть заранее заготовлены в виде дидактического материала или кодопозитивов. Задача ставится так: выбрать из известных учащимся элементарных функций ту, которая наиболее точно описывается данным графиком.

Рассмотрим одну из задач этого вида. По графику задайте эту функцию формулой.

В данном случае учащиеся должны взять несколько точек графика и показать, что для их координат выполняется равенство , где .

VI. Задачи на нахождение и сравнение параметров функций по заданным графикам.

Учащемуся задан график из заданного с помощью формулы семейства функций. Необходимо по этому графику определить значение параметра в этой формуле. Для этого достаточно взять одну точку, принадлежащую графику, найти её координаты и, подставив в общее уравнение кривой, найти искомый параметр.

VII. Задачи на переход от табличного задания функции к заданию формулой.

Задачи на переход от табличного задания функции к заданию формулой в практике, как правило, связаны с постановкой эксперимента и поэтому их часто называют задачами на нахождение эмпирических формул. Отметим, что постановка даже простой лабораторной работы требует значительной затраты времени на уроке. Поэтому мы остановились на решении задач, в которых требуется установить формулу рассматриваемой зависимости с использованием уже готовых результатов эксперимента в виде таблиц. Как правило, подобные задачи ставились в конце года при повторении материала в 7-9 классах.

Ряд задач по таблицам даны в упрощённой формулировке, где необходимо показать, что представленная таблица описывается определённого вида формулой. Именно в такой формулировке задачи подобного типа встречаются в курсе физики (например, экспериментальная проверка второго закона Ньютона или закона Ома).

2.3 Задачи межпредметного характера для самостоятельного решения по теме: «Функция, её свойства и график»

I. Функции вида y=kx и .

I.

1. Записать формулой:

а) переменная S пропорциональна переменной t;

б) переменная Z пропорциональна переменной P;

в) переменная Е обратно пропорциональна переменной R;

Рассмотрите случаи, когда коэффициент пропорциональности (или обратной пропорциональности) равен 2; .

1. По данной формуле определите вид зависимости между переменными величинами и коэффициент пропорциональности или обратной пропорциональности:

69

а) , если m - const;

б) , если U - const;

в) , если - const;

г) , если S - const.

2. Удлинение резинового жгута прямо пропорционально весу тела, подвешенного к концу жгута. Если подвесить груз 2 Н, то удлинение жгута равно 2 см. Какой груз нужно подвесить, чтобы жгут растянулся на 10 см?

3. Тело движется равномерно со скоростью 4 м/с. Записать аналитический вид зависимости S см от t с. Какая величина в этой зависимости играет роль коэффициента пропорциональности?

4. На фотографии (рис.2) изображён шарик, который сфотографирован в движении через каждые 0,2 секунды. В какой зависимости находится путь, пройденный шариком от времени? Какая величина в этой задаче играет роль коэффициента пропорциональности?

5. Тело движется равномерно со скоростью v м/с. Записать аналитический вид зависимости S см от t с. Какая величина в этой зависимости играет роль коэффициента пропорциональности?

6. Тело движется равномерно со скоростью v=4 м/с. Записать формулу зависимости пути от времени, если путь измеряется в метрах, а время в минутах.

7. Равномерно движущаяся точка через секунд после начала движения находилась на расстоянии от некоторой начальной точки, через секунд после начала движения расстояние стало равным . Выразить расстояние S как функцию времени t.9

8. Даны три величины, связанные соотношением .10

а) В какой зависимости находятся величины p и S, если F - const?

б) В какой зависимости находятся величины p и F, если S - const?

9. При сжатии газа поршнем в сосуде изменяется объём газа и его плотность. В какой зависимости находится плотность газа от его объёма?11

10. В сосуд наливают жидкость. В какой зависимости находится объём от массы налитой жидкости?12

11. В металлический баллон накачивают газ. В какой зависимости находится плотность от массы накаченного газа?13

12. В металлическом баллоне содержится некоторое количество газа. После того, как часть газа была израсходована, плотность его составляет ? первоначальной плотности. Сколько газа было в баллоне, если остаток равен 3 кг?14

13. Масса соли, полученной из морской воды, прямо пропорциональна её массе. Какой смысл имеет коэффициент пропорциональности?15

14. Поезда движутся из пункта А в пункт В с различными скоростями . В какой зависимости находится скорость каждого поезда на участке АВ от времени движения на нём?16

15. Газ сжимается поршнем в сосуде, объём которого 1 л. Найти функцию, выражающую зависимость плотности газа от занимаемого объёма, если в сосуде находится 0,0000012 кг газа. Найти область определения этой функции, если газ может быть сжат до объёма 0,2 л.28

16. Баллон ёмкостью 5000 л наполняют кислородом. Поступление газа в баллон равно 200 г/мин. Найти:

а) Какая плотность кислорода установится в баллоне через 0,5 часа?

б) Какова зависимость между плотностью кислорода в баллоне и временем его поступления?

в) Какая величина играет роль коэффициента пропорциональности в этой зависимости?34

II.

18. Известно, что температура Земли увеличивается по мере продвижения вглубь. На графике показана предполагаемая зависимость температуры Земли от глубины (рис. 3):

а) Какова зависимость температуры от глубины при изменении её от 0 до 40 км?

б) Запишите аналитический вид этой зависимости при изменении от 0 до 40 км.

в) Что показывает коэффициент пропорциональности в этой зависимости?

г) Зависит ли температура от глубины в ядре Земли? 23

19. Дан график зависимости пути от времени при равномерном движении. Определить по графику скорость этого движения (рис. 6).26

III.

20. Величины х и у находятся в прямо пропорциональной зависимости. Как изменится , если увеличивается в 6 раз, а затем уменьшается в 10 раз?17

21. Давление р определяется по формуле , где F - сила, действующая на пластинку площади S перпендикулярно к ней:

а) Как изменится давление, если площадь уменьшить в 6 раз, а затем силу увеличить в 6 раз?

б) Как изменится давление, если силу увеличить в 3 раза и площадь увеличить в 3 раза?18

22.Несколько тел одной и той же массы сделаны из различных материалов. Определите, будет ли возрастать (убывать) последовательность объёмов тел, если тела расположить в порядке убывания их плотностей?19

23. Две переменные связаны соотношением , где R - постоянное положительное число. Значения I и U показывают соответственно приборы А и В (рис. 1).

а) В какую сторону поворачивается стрелка прибора В, если стрелка прибора А поворачивается вправо?

б) Что будет показывать прибор В, если прибор А показывает значение I=2 ед.?20

24. Три величины I, U и R связаны соотношением . Допустим имеется 3 прибора, каждый из которых показывает значение одной из этих величин (рис. 1):

а) Что будет показывать первый прибор, если стрелка второго прибора стоит на месте, а стрелка третьего прибора движется влево?

б) Что будет показывать первый прибор, если стрелка третьего прибора стоит на месте, а стрелка второго прибора движется влево?21

25. Величины I и R удовлетворяют соотношению E=IR+Ir, где Е - const и r- const; I и R - неотрицательные переменные величины. Увеличивается или уменьшается значение I, если значение R увеличивается?22

IV.

26. В баллоне объёмом 2 содержится 4 кг кислорода. Начертите график зависимости плотности кислорода от его массы в процессе расходования баллона. (Считать, что кислород расходуется полностью).29

27. Используя условие предыдущей задачи, найти область определения функций, выражающих зависимость плотности воздуха от его массы в каждом из баллонов и построить графики этих функций.31

28. Сосуд, снабжённый краном, содержит кислород, плотность которого 0,2 кг/. После того как открыли кран и выпустили часть кислорода, в сосуде установилась плотность 0,001 кг/. Изобразите графически зависимость плотности кислорода от его массы в сосуде, если его объём 1.32

29. Газ сжимается поршнем (см. рис. 7) в сосуде, ёмкость которого 2 л. Начертите вид графика зависимости плотности газа от занимаемого им объёма, если на середине высоты этого сосуда имеется отверстие.

Указание: пока поршень не перекрывает отверстия, считать, что плотность равна плотности окружающего воздуха.35

30. Используя условие и указание предыдущей задачи начертите график зависимости массы газа, находящегося в сосуде, от занимаемого объёма.36

31. Используя условие задачи, начертите график зависимости плотности газа от массы содержащегося в сосуде газа.37

32. Имеется 5 сообщающихся сосудов. В первом из них находится 1 л воды. После того как открыли кран (см. рис. 8), часть воды перешла во все остальные сосуды. Построить график зависимости объёма воды в каждом сосуде от площади их основания, если площади оснований соответственно равны 50 , 80 , 100 , 120 , 160 . Какой кривой принадлежат точки этого графика?38

V.

33. Найти вид функции, заданной графиком (рис. 4).24

34. Функция задана графиком. Записать уравнение, выражающее зависимость U(v) (см. рис. 5).25

35. Дан график движения самолёта (рис. 6). Выразить зависимость пути от времени движения формулой.27

VI.

36. По графику зависимости определите F (рис. 9).39

37. Даны графики зависимостей и , где . Не производя вычислений, указать какой из этих графиков соответствует первой зависимости (рис. 10).40

II. Функции вида .

I.

38. Шарик,скатываясь по наклонному желобу, движется так, что путь, пройденный им от начала движения, пропорционален квадрату времени, за которое он прошёл этот путь. Определить коэффициент пропорциональности, если за 1 с шарик прошёл путь 0,25 м.43

39. Санки, скатываясь с горы, движутся так, что путь пройденный санками от начала движения прямопропорционален квадрату времени, за которое они прошли этот путь. Какой путь прошли санки за 10 с, если за 5 с был пройден путь 15 м?44

40. Тело свободно падает в течение 10 с. Какой путь пройдёт тело за десятую секунду падения, если путь, пройденный телом от начала движения при свободном падении, прямопропорционален квадрату времени движения с коэффициентом к, равным 5 м/.45

41. Записать формулой (к - коэффициент пропорциональности):

а) m - прямопропорционально квадрату t;

б) S - прямопропорционально квадрату v;

в) S - прямопропорционально квадрату R.47

42. Среди различных функций выбрать зависимости вида: у=кх,

.

а) , где а - const;

б) , где R, t - const;

в) , где а, b - const;

г) , где а - const;

д) , где b - const;

е) , где а - const;

ж) , где v - const;

з) , где а, b - const;

и) , где а, b - const;

к) , где b - const;

л) , где - const;

м) , где а - const.

43. Записать в виде формулы зависимости (коэффициент пропорциональности ):

а) E - пропорционально квадрату v;

б) F - пропорционально кубу x;

в) Q - обратнопропорционально R;

г) m - обратнопропорционально квадрату u.50

44. Прочитать зависимости между переменными величинами, используя слова: пропорционально, обратнопропорционально. Указать коэффициент пропорциональности в этих зависимостях:

а) , если I - const, t - const;

б) , если R - const, t - const;

в) y = (a+b)x, если a - const, b - const;

г) , если a - const, b - const;

д) , если a - const, b - const;

е) , если m - const;

ж) , если z - const.51

III.

45. Капли вода вытекают из отверстия вертикальной трубочки одна после другой с интервалом в 0,1 секунды и падают вниз. Какой расстояние будет между первой и второй каплями через 0,1 с, через 0,2 с, через 1 с, через t с после момента истечения первой капли? Использовать тот факт, что капля падает по закону , где S - путь, пройденный каплей от начала движения в метрах, t - время падения в секундах, а k=5м/.46

46. По графику функции найдите коэффициент а (см. рис. 14).52

47. По графику функции определите m (см. рис. 15).53

V.

48. По данным графикам функций записать приближённые формулы, которыми могут быть заданы эти функции (рис. 13).49

VI.

49. По графику функций и определить какое из чисел больше, а или b (см. рис. 16).54

VII.

50. Практическая работа. Используя фотографию свободно падающего тела, составить таблицу, построить график и найти формулу, выражающую зависимость пути, проходимого телом при свободном падении, от времени движения. Фотографирование производилось через каждые 0,5с (см. рис. 11).41

III. Линейная функция.

I.

51. Удлинение резинового шнура прямопропорционально весу груза, подвешенного к концу шнура. В какой зависимости находится длина шнура от веса груза?55

52. В сосуд массой 1,5 кг наливается жидкость, плотность которой 0,7кг/.57

а) Найти функцию, выражающую зависимость массы жидкости с сосудом от объёма налитой жидкости.

б) Найти область определения этой функции, если ёмкость сосуда 12 л.

53. В металлический баллон массой кг накачивают газ. В какой зависимости находится масса газа с баллоном от его плотности в нём?58

54. В металлический баллон накачивают газ. В какой зависимости находится масса газа в баллоне от его плотности, если до накачивания в баллоне уже было кг газа?59

55. Известно, что . В какой зависимости находятся переменные величины v и t, если и а - постоянные величины?61

56. Скорость звука увеличивается приблизительно на 0,6 м/с на каждый градус повышения температуры. В какой зависимости находится скорость звука от температуры?70

57. В сосуд с керосином опускают кусочки свинца. В какой зависимости находится высота жидкости в сосуде от массы брошенного свинца?75

58. Длина резинки, к которой подвешен груз в 0,5 Н равна 20 см, а при грузе в 1 Н - 30 см. Ответьте на следующие вопросы:78

а) Какую длину имела резинка до подвешивания груза?

б) Под действием какой нагрузки длина резинки станет равной 50 см?

II.

59. Бидон с пятью литрами горючего имеет массу 6 кг, а с десятью литрами 10 кг. Постройте график зависимости массы сосуда с жидкостью (в кг) от объёма налитой жидкости (в л). Найти аналитическое выражение этой зависимости, если ёмкость бидона 15 л. Пользуясь построенным графиком, найдите:

а) Какова масса бидона с 8 л горючего?

б) Сколько литров горючего в бидоне, если его масса 7 кг?

в) Какова масса пустого бидона?

г) Какова масса 1 л горючего?77

IV.

60. Постройте график функции v = 2t+5, если v и t принимают только положительные значения.60

61. Песочные часы, рассчитанные на 5 минут, пересыпают из одного резервуара во второй 24 песка. Построить график функции объёма песка в первом баллоне от содержания песка в другом. Указать область определения этой функции.62

62. Песочные часы, рассчитанные на 5 минут, пересыпают из одного резервуара во второй 24 песка. Записать аналитически зависимости объёма песка в каждом резервуаре от времени. Построить графики этих зависимостей.63

63. Из сосуда ёмкостью 4 л переливается вода в сосуд такой же емкости. Изобразить график зависимости количества жидкости в первом сосуде от её количества во втором, если нижний край отверстия находится на середине высоты сосуда (см. рис. 19).64

64. Решить предыдущую задачу при условии, что ёмкость второго сосуда 1л.65

65. Используя условие предыдущей задачи, начертить график зависимости количества жидкости во втором сосуде от её содержания в первом.66

66. Два сосуда, один с водой, другой пустой, соединены трубкой с краном (см. рис. 21). После того как открыли кран, часть воды из первого сосуда переходит во второй. Изобразить вид графика зависимости содержания воды в первом сосуде (в г) от его содержания во в тором, если площади оснований сосудов соответственно равны 100 и 150 , а высота жидкости до открывания крана в первом сосуде равна 40 см.67

67. Построить график зависимости пути от времени при равномерном движении, если тело движется со скоростью 2 м/с, и в момент начала отсчёта времени тело находилось на расстоянии 4 м от начала отсчёта расстояния.69

68. В сосуд с керосином опускают металлический шарик малого диаметра. Построить график зависимости давления жидкости на этот шарик от глубины его погружения, если высота жидкости в сосуде 20 см (плотность керосина ).

Указание: Давление жидкости в какой-либо точке определяется по формуле , где P - давление жидкости, - её плотность, h - глубина погружения.71

69. Используя условие предыдущей задачи, построить график зависимости давления оказываемого на шарик (учитывая и атмосферное давление) от глубины его погружения в жидкость.72

70. Свинцовый шарик малого диаметра опускается в сосуде, в котором налито три слоя жидкости: глицерин, плотность которого 1,26 г/, вода, плотность которой 1 г/, керосин, плотность которого 0,8 г/. Построить график зависимости давления жидкости на шарик от глубины погружения в жидкость, если толщина каждого слоя жидкости 10 см.73

71. Имеется два сосуда с водой. В первом сосуде уровень жидкости 10 см, во втором 15 см. Если во второй сосуд наливать глицерин, а в первый такую же массу бензина, то уровень жидкости в обоих сосудах будет подниматься. Какое количество глицерина и бензина необходимо влить в сосуды, чтобы уровень жидкости в них стал одинаковым, если основаниями сосудов служит квадрат со стороной 4 см? Решить задачу графически.76

V.

72. Функция задана графиком (рис. 20). Записать уравнение, выражающее зависимость между переменными P и V.68

VII.

73. При нагревании железного стержня опытным путём получили следующие результаты длины стержня, соответствующие определённой температуре:

t град	0	50	100	150	200	250
l м	1	1,006	1,0012	1,0018	1,0024	1,0030

а) Определить зависимость удлинения стержня от температуры нагревания.

б) Записать формулой соответствие длины стержня температуре нагревания.VI. Функция вида .

I.

74. Известно, что . К какому виду относится функция S(t), если и а - постоянные величины? Рассмотрите случаи: а) ; б) а = 0. 79

II.

75. Струя воды, выбрасываемая пожарным насосом, описывает параболическую траекторию . Определите максимальную высоту струи и наибольшую дальность её падения.82

76. Дан график зависимости (рис. 32). Существуют ли в этой формуле постоянные величины. Если существуют, то какие?84

77. Сопротивление грузовой машины на шоссейных дорогах выражается приближённо функцией , где v - скорость движения в км/ч. При какой скорости сопротивление будет минимальным?87

IV.

78. Скорость течения воды в канале глубиной в 1,3 м на различных глубинах выражается приближённо формулой , где h - глубина в метрах, v - скорость течения в м/мин. Узнать на какой глубине скорость течения будет равной 40 м/мин. Изобразить на графике зависимость v(h).83

VI.

79. Задан график функции (см. рис. 29). Определить коэффициент а. 80

80. Задан график функции (см. рис. 30). Определить постоянные коэффициенты а и .81

81. По графику зависимости , определить какая из величин постоянна и найти её значение (рис. 33).85

82. По графику зависимости , определить какая из величин постоянна и найти её значение (рис. 34).86

VII.

83. На фотографии представлена траектория движения шарика, брошенного под углом к горизонту. Установите в какой зависимости находится высота шарика от времени движения. Шарик сфотографирован через равные промежутки времени =0,2 с (рис. 12).88

IV. Тригонометрические функции.

I.

84. В двигателе внутреннего сгорания длина шатуна =30 см, длина кривошипа =6 см. Во время работы двигателя величины углов и (см. рис. 40) являются переменными. Докажите, что величины и прямопропорциональны. Чему равен коэффициент пропорциональности?102

85. Шарик вращается равномерно по окружности (см. рис. 41). Параллельным пучком света этот шарик проектируется на экран. Выразите смещение проекции шарика х как функцию времени t, если окружность имеет радиус 1 м и в момент начала отсчёта времени находился в положении 0.103

II.

86. На рис. 37 изображён колодезный журавль. Как будет изменяться плечо силы тяжести ведра с водой при его подъёме, если первоначально журавль находится в горизонтальном положении?97

87. На рис. 38 изображён подъёмный кран. Ответьте на следующие вопросы:

а) Как изменяется плечо силы тяжести груза при его подъёме?

б) В каком положении стрелы подъёмного крана момент силы тяжести груза будет наибольшим?98

III.

88. На наклонной плоскости находится тело. Как изменяется сила нормального давления этого тела на наклонную плоскость, если угол её наклона увеличивается на ?96

89. На тонкой нити длины 1 качается шарик. Если шарик находится не в положении равновесия, то на него действует сила, стремящаяся вернуть его в это положение. Определите, как изменяется эта сила с удалением шарика от положения равновесия.104

90. Найти сумму двух сил =30 Н и = 40 Н, если угол между ними равен . Как изменяется равнодействующая этих сил, если угол увеличивать от до ?105

VI.

91. По графикам движений нескольких тел (см. рис. 35) сравните их скорости.

92. По графикам скоростей двух тел сравните их ускорения (см. рис. 36).

93. По графикам зависимостей тока от напряжения сравните сопоставление соответствующих участков (см. рис. 22).

2.4 Опытная проверка разработанных материалов. Анализ результатов.

Условия проведения экспериментальной проверки.

Проверка проводилась в школе №510 в 9 «Б» классе, учитель математики Пестовская Юлия Геннадьевна, работает в школе 5 лет, имеет 10 разряд. Работает с интересом, в работе использует современные методики. Средний балл учащихся по математике - 3,3.

В классе 31 человек. Занятия проводятся по учебнику алгебры Макарычева Ю.Н. и др. Состав класса неоднороден, в него входят группы разного уровня обученности: 2 ученика продвинутого уровня, 25 освоили курс математики на базовом уровне, 4 - не достигли базового уровня. Большинство класса относятся к изучению математики без интереса, активность учащихся на уроках невысока.

Цели экспериментальной проверки.

1. Получение экспертной оценки учителя.

Учитель Пестовская Ю.Г. ознакомилась с представленными материалами и отметила следующее:

ь целесообразность выполнения предлагаемых задач для обеспечения межпредметных связей;

ь доступность предлагаемых задач;

ь разнообразие задач по фабуле и по уровню сложности;

ь возможность использования задач как при изучении различных видов функций, так и при проведении повторения материала (текущего и итогового);

ь удачным в подборе задач является также возможность широкого использования наглядных методов обучения.

Кроме того Пестовская Ю.Г. отметила возможность расширения набора задач, математической моделью которых является квадратичная функция.

2. Проверка доступности, эффективности использования разработанной системы задач в процессе обучения по курсу алгебры.

В ходе экспериментальной проверки система задач подверглась доработке. Учитывая замечания учителя, нами в систему задач были включены задачи следующего содержания:

Несколько задач подверглись редакторской доработке, так как в одних оказался неудачным вопрос задачи, в других была упрощена вычислительная часть.

Диагностическая работа.

Цели:

ь выявить уровень сформированности функциональных умений и навыков учащихся 9 класса;

ь выявить умение видеть и реализовывать функциональный подход при анализе и решении задач с физическим содержанием;

ь проверить понимание необходимости умения выполнять переход от результата решения математической задачи к исходной физической задаче.

Работа включала следующие вопросы и задания:

1. Что такое функция? Приведите примеры функций, известных вам.

2. По данной формуле определите вид зависимости между переменными величинами:

а) , где b - const;

б) , где , v - const;

в) , где а, b - const;

г) , где - const;

д) , где b - const;

е) , где а, b - const;

ж) , где а - const;

3. а) В сосуд массой 1,5 кг наливают жидкость, плотность которой 0,7 кг/дм. Найдите функцию, выражающую зависимость массы жидкости с сосудом от объёма налитой жидкости.

б) Найдите функцию, выражающую зависимость силы тока от сопротивления в цепи с напряжением равным 2 В.

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

5. а) y = -7x + 21x - 5 б) y = -1,2x + 17 в) y =

6. По графикам а), б), в), г) определите вид функции, запишите её в аналитической форме:

а) б) в)

г)

7. Функция задана формулой:

а) y = 0,4x - 2 б) в)

1) Какова область определения функции?

а) …………….. ………… б) …………………… в) …………………..

2) Постройте график функции. По графику определите:

3) значения у соответствующие значению х:

а) х = 0…….. ……………… б) х = -3…………… в) х = 0……………..

х = -1……………………… х = 9……………. х = -1……………..

х = 1……………. х = 5

4) промежутки, в которых функция возрастает и промежутки, в которых функция убывает:

а) …………….. …… б) ……………………в) …………………..

5) промежуток, в котором:

а) у > 0…………… б) у > 0……… в) у > 0……

у < 0…………... у < 0…………… у < 0

нули функции:

а) …………….. … б) …………… в) ………………

Описание уроков.

Урок 1.

В число решаемых на уроке задач были включены задачи следующего содержания:

Задача. (42)

По данной формуле определите вид зависимости между переменными величинами:

а) , где а - const;

б) , где R, t - const;

в) , где а, b - const;

г) , где а - const;

д) , где , а - const;

е) , где b - const;

ж) , где а - const;

з) , где v - const;

и) , где а, b - const;

к) v = 2t+5;

л) , где а, b - const;

м) , где b - const;

н) , где - const;

о) , где а - const.

Задача. (48)

По данным графикам функций записать приближённые формулы, которыми могут быть заданы эти функции (рис. 13).

Задача. (18,35)

1) Известно, что температура Земли увеличивается по мере продвижения вглубь. На графике показана предполагаемая зависимость температуры Земли от глубины (рис. 3). Запишите аналитический вид этой зависимости при изменении глубины от 0 до 75 км.

2) Дан график движения самолёта (рис. 6). Выразить зависимость пути от времени движения формулой.

Урок 2.

В число решаемых на уроке задач были включены задачи следующего содержания:

Задача. (26, 78)

1) В баллоне объёмом 2 содержится 4 кг кислорода. Начертите график зависимости плотности кислорода от его массы в процессе расходования баллона. (Считать, что кислород расходуется полностью).

2) Скорость течения воды в канале глубиной в 1,3 м на различных глубинах выражается приближённо формулой , где h - глубина в метрах, v - скорость течения в м/мин. Изобразить на графике зависимость v(h).

Задача. ()

На графике (рис. 231) показано изменение уровня воды в бассейне в течение дня. По графику определите:

а) Промежуток времени, в течение которого наблюдали за уровнем воды в бассейне:

б) Каков уровень воды в бассейне с 8 ч до 8 ч 40 мин?

в) В какой промежуток времени уровень воды в бассейне:

опускался поднимался

г) Определите скорость снижения уровня воды в бассейне:

д) В какой из промежутков времени вода поднималась быстрее?

Задача. (18)

Известно, что температура Земли увеличивается по мере продвижения вглубь. На графике показана предполагаемая зависимость температуры Земли от глубины (рис. 3):

а) Какова зависимость температуры от глубины при изменении её от 0 до 75 км?

б) Что показывает коэффициент пропорциональности в этой зависимости?

в) Зависит ли температура от глубины в ядре Земли?

Урок 3.

В число решаемых на уроке задач были включены задачи следующего содержания:

Задача. (24)

Три величины I, U и R связаны соотношением

.

Допустим имеется 3 прибора, каждый из которых показывает значение одной из этих величин (рис. 1):

а) Что будет показывать первый прибор, если стрелка второго прибора стоит на месте, а стрелка третьего прибора движется влево?

б) Что будет показывать первый прибор, если стрелка третьего прибора стоит на месте, а стрелка второго прибора движется влево?

Задача. (47)

По графику функции определите m

Задача. (50)

Используя фотографию свободно падающего тела, составить таблицу, построить график и найти формулу, выражающую зависимость пути, проходимого телом при свободном падении, от времени движения. Фотографирование производилось через каждые 0,5с (см. рис. 11).

Урок4.

В число решаемых на уроке задач были включены задачи следующего содержания:

Задача. (73)

При нагревании железного стержня опытным путём получили следующие результаты длины стержня, соответствующие определённой температуре:

t град	0	50	100	150	200	250
l м	1	1,006	1,0012	1,0018	1,0024	1,0030

а) Определить зависимость удлинения стержня от температуры нагревания.

б) Записать формулой соответствие длины стержня температуре нагревания.

Задача. (Д.24)

В таблице указана зависимость давления данной массы газа от занимаемого им объёма (при постоянной температуре). Найти формулу выражающую эту зависимость.