"Начала" многомерной геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Михайлова Л.М.

"НАЧАЛА" ГЕОМЕТРИИ

МНОГОМЕРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Универсальный метод построения (черчения)

трёхмерных проекций гиперкубов

любых n-мерных измерений (3ПГК-n)

в любых проекциях и ракурсах

Бог действует по геометрическим линиям. Платон

Вообще сама идея четвёртого измерения не раз привлекала к себе внимание крайних мистиков. Любопытно, что происхождение этой идеи связано с Платоном (427-347 гг. до н.э.), самым крупным древнегреческим философом-идеалистом. Впервые же слова «n-мерное пространство» прозвучали в 1854 году в речи Бернгарда Римана (1826-66) при вступлении его на должность преподавателя Геттингенского университета.

В современном учебнике по геометрии написано: «Многомерная геометрия - один из самых сложных разделов науки». И до сих пор решение этой темы не давалось профессиональным математикам, хотя ещё в 1910 году был проведён конкурс на лучшую работу о четвёртом измерении, в котором приняли участие 245 математиков из разных стран мира.

Тогда профессиональным математикам удалось теоретически рассчитать количество единичных элементов (вершин, рёбер, граней и кубов) в четырёхмерном гиперкубе, даже определить некоторые принципы расположения этих «единичных элементов» гиперкуба. Но две их ошибочные геометрические версии трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба до сих пор используются в работах на эту тему.

Спустя ровно 100 лет (!), - в 2010 году - я определила «Универсальный метод построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых n-мерных измерений в любых проекциях и ракурсах». Вот действительно, - мистика какая-то …

В n-мерной геометрии, где n = 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7,…, геометрическим символом каждого измерения служат так называемые единичные геометрические фигуры. Так, геометрическим символом 0-мерного измерения является точка, 1-мерного измерения - отрезок прямой, 2-мерного измерения - квадрат, 3-мерного измерения - куб. Геометрический символ 4-мерного измерения получил удачное название «гиперкуб» [гипер- (от греч. hyper - над, сверх), часть сложных слов, обозначающая превышение нормы].

А ещё геометрический символ 4-мерного измерения получил название тессеракт, геометрический символ 5-мерного измерения - пентеракт, шестимерного измерения - хексеракт, и т.д.

Занимаясь этой темой с 2004 года и создавая из трубочек и лески модели трёхмерных проекций геометрических символов 4-мерного и 5-мерного измерений, я назвала их соответственно: трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) и трёхмерная проекция пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), то есть гиперкуб любого n-мерного измерения удобно называть «гиперкуб-n » ( ГК-n ), - сразу понятно о гиперкубе какого измерения идёт речь. Зачем усложнять геометрию, придумывая для гиперкубов четвёртого, пятого, шестого и т.д. измерений новые специальные названия?

Да, конечно, представить себе именно гиперкуб-4, гиперкуб-5 и т.д. в их родном n-мерном пространстве - трудно, но осмыслить и определить трёхмерные проекции гиперкубов высших измерений и их геометрические особенности - дело вполне реальное. Из трубочек и лески мною уже созданы модели трёхмерных проекций гиперкубов 4-го, 5-го и 6-го измерений. В случае надобности можно создавать модели трёхмерных проекций гиперкубов и более высоких измерений.

Осмысливать геометрические особенности трёхмерных проекций гиперкубов-n намного легче не по чертежам, а по моделям их трёхмерных проекций.

В работе [4] мною выведены алгебраические формулы для определения количества единичных геометрических элементов, составляющих n-мерные гиперкубы и их проекции (вершин, рёбер, граней, кубов). Эти данные приведены в таблице 1.1.

трёхмерные проекции гиперкубы

Глава 1

Таблица 1.1

А вот теперь, для начала предлагаю вам чертёж (рис.1.1), где на одной странице представлены во фронтальной проекции геометрические символы семи измерений. Это наиболее простой и достаточно удобный способ черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов.

Более того, эта фронтальная проекция важна тем, что именно эта проекция очень наглядно подскажет любому профессиональному геометру, как начертить трёхмерные проекции гиперкубов и следующих измерений: седьмого (3ПГК-7), восьмого (3ПГК-8), девятого (3ПГК-9) и т.д.

Давайте осмысливать рис. 1.1.

Смотрите, в какое «интересное», «особое» положение поставлены куб, квадрат и отрезок прямой. Евклидова геометрия определила этим геометрическим фигурам более «устойчивое» положение. Многомерная же геометрия требует рассматривать положение этих геометрических символов измерений именно в такой позиции - для определения «h» в проекциях геометрических символов каждого (абсолютно любого) измерения.

Рис. 1.1.

Именно эта фронтальная проекция даёт возможность определить схему (принцип, закон) строения проекций геометрических символов любого измерения.

Именно эта фронтальная проекция даёт возможность схематично провести через вершины проекций всех n-мерных геометрических символов параллельные плоскости (Р), которые на рис. 1.1 изображены в виде пунктирных линий (прямых). Каждая пунктирная прямая (плоскость Р) пронумерована римскими цифрами.

На рис. 1.1. семь таких плоскостей: P_I, P_II, P_III, P_IV, P_V, P_VI и P_VII, причём, что очень важно, эти параллельные между собой плоскости отстоят друг от друга на равную величину ( h ).

Величину (h) назовём «ярусом». Количество этих «ярусов» в n-мерном геометрическом символе соответствует числовому значению именно этой мерности, т.е. числу n.

В трёхмерных проекциях всех n-мерных гиперкубов ни одна вершина не может находиться вне этих плоскостей.

Для осмысления трёхмерных проекций гиперкубов-n эти плоскости очень важны - эти плоскости делят фигуры символов всех n-мерных измерений на хорошо известные геометрические фигуры: пирамиды, прямоугольные призмы, скошенные призмы, параллелепипеды и др.

А это значит, что через вершины трёхмерных проекций гиперкубов-n можно вписать разные хорошо известные геометрические фигуры и с их помощью определить (рассчитать) все геометрические параметры трёхмерных проекций гиперкубов-n.

Для пояснения вышесказанного сначала рассмотрим эту особенность плоскостей на примере трёхмерного куба.

Поставим куб в «интересное» положение, но для наглядности слегка изменим ракурс (рис. 1.2).

В рис. 1.2 куб «поставлен» на одну из его больших диагоналей - АН. Но куб имеет четыре больших диагонали: АН, ВЕ, СF и DG, и если мы вместо диагонали АН используем любую из оставшихся диагоналей, это не изменит геометрического смысла рис. 1.2. С таким же успехом мы можем поменять вершины А и Н. Это может говорить о том, что на рис. 1.2 в первой плоскости (Р₁) может оказаться любая из восьми вершин куба ABCDEFGH, что не изменит геометрического (но не физического!) смысла рис. 1.2.

Итак, в первой плоскости (Р₁) может оказаться любая из восьми вершин куба.

В трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) таких вершин шесть.

А вот в трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) и во всех (!) последующих 3ПГК-6, 3ПГК-7,…, 3ПГК-n таких вершин только две. Об этом будет рассказано позже.

:

Рис. 1.2, где

а) Куб ABCDEFGH, через вершины которого проведены параллельные плоскости P_I, P_II, P_III, P_IV;

б) Верхняя треугольная пирамида ABFD, где рёбра основания BFD равны диагонали грани куба;

в) Скошенная треугольная призма. Её основания ДBFD и ДCEG, а её шесть боковых граней-треугольников образованы шестью рёбрами куба;

г) Нижняя треугольная пирамида HCEG, геометрически равная верхней пирамиде ABFD.

Продолжим осмысливать рис 1.1. Вы видите в чертеже фронтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) две вершины, обведённые кружочками. В этих двух вершинах сходятся по девять рёбер, во всех остальных вершинах - по пять. Что это такое?

Это - визуальное совмещение вершин, а так как эти совмещённые на чертеже вершины соединены между собой и ребром, то это значит, что в данном чертеже 3ПГК-5 визуально совмещёнными оказались не только две пары вершин, но и два ребра. Следовательно, если вы подсчитаете количество вершин на этом чертеже 3ПГК-5, то их окажется 30, а не 32, и количество рёбер на чертеже 79, а не 80.

А вот чертёж той же трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), и тоже во фронтальной проекции, но только со слегка смещённым ракурсом (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

На этом чертеже нет ни одного совмещения вершин, т.е. данный чертёж 3ПГК-5 содержит все 32 вершины и 80 рёбер.

Давайте рассмотрим ситуацию совмещения вершин и рёбер на примере трёхмерного куба ABCDEFGH (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

На рис.1.4 куб ABCDEFGH представлен в четырех проекциях: а), б), в), г). Комментировать рис. 1.4 излишне, - геометру легко понять, почему некоторые вершины обведены кружочками, и что из этого следует.

Итак, в зависимости от выбранного ракурса изображения в чертежах трёхмерных проекций гиперкубов-n могут совместиться и вершины, и рёбра, и грани, и кубы (например, 3ПГК-6 на рис. 1.1). Всё это происходит не хаотично, а потому, что все эти геометрические фигуры (3ПГК-n) идеально правильны по своей сути.

Прошу учесть также, что начертить «по клеткам», как это сделано здесь, абсолютно точно, без искажений возможно лишь трёхмерную проекцию четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). Начертить «по клеткам» трёхмерные проекции гиперкубов более высоких измерений (3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д.) возможно лишь с большей или меньшей погрешностью по той простой причине, что на листе бумаги «в клетку» через вершины клеток невозможно начертить правильные пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и т.д. Компьютерная графика была бы здесь более уместна.

Давайте вновь обратимся к рис. 1.1, где на одной странице начерчены проекции символов семи измерений во фронтальной проекции.

Профильные проекции этих геометрических фигур почти аналогичны фронтальным, а горизонтальные проекции будут представлены ниже.

Создав из трубочек и лески модели трёхмерных проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) и пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), я осмыслила принцип, метод создания моделей всех последующих (3ПГК-6), (3ПГК-7), …, (3ПГК-n).

Осмысление уже имеющихся в моём распоряжении моделей куба, 3ПГК-4 и 3ПГК-5 позволило выявить очень важную (главную!) особенность трёхмерных моделей и куба, поставленного в «интересное положение», и всех 3ПГК-n: все они в первом и в последнем «ярусах» представлены ввиде правильных n-угольных пирамид, где «n» соответствует n-мерности данной геометрической фигуры - данного n-мерного символа измерения.

Начнём с нашего куба - геометрического символа трёхмерного измерения. Рис. 1.2 более наглядно показывает верхнюю правильную треугольную пирамиду ABFD, расположенную (заключённую) в первом ярусе между параллельными плоскостями Р_I и Р_II [рис. 1.2 (б)], и нижнюю правильную треугольную пирамиду HCEG, расположенную (заключённую) в последнем, третьем «ярусе» между параллельными плоскостями Р_III и P_IV [рис. 1.2 (г)].

Выбрав любой ракурс изображения (фронтальную, горизонтальную, профильную прямоугольные проекции или общий вид) правильной треугольной пирамиды ABFD, мы по трём боковым рёбрам AB, AF и AD этой пирамиды, которые являются собственно рёбрами куба ABCDEFGH, можем построить этот куб именно в данном выбранном ракурсе (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций куба ABCDEFGH по соответствующим проекциям правильной треугольной пирамиды ABDF.

Требуется ли пояснять рис. 3.1 ? Думаю, любой геометр по трём рёбрам куба, сходящимся в одной вершине, сможет достроить сам куб. И не важно, в каком ракурсе изображены эти рёбра.

Например, я стараюсь рассмотреть и такой ракурс (т.н. «уклон»), когда геометрические символы n-мерного измерения (квадрат, куб, 3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6 и т.д.) рассматриваются в ракурсе наибольшего визуального совмещения вершин (и рёбер соответственно).

Этот ракурс достигается, когда направление линии «уклона» параллельно одному из боковых рёбер «исходной» n-угольной пирамиды: таким образом, это боковое ребро пирамиды и, соответственно, все остальные параллельные ему рёбра этого n-мерного геометрического символа на чертеже проецируются в виде точки - совмещённой вершины.

Именно в таком ракурсе выполнены чертежи куба (рис. 3.2), 3ПГК-4 (рис. 3.11), 3ПГК-5, 3ПГК-6 (рис. 3.24), 3ПГК-7 (рис. 3.36). Этот ракурс я ещё называю: «оригинальный ракурс».

Рис. 3.2

Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций куба ABCDEFGH по соответствующим проекциями правильной треугольной пирамиды ABDE в ракурсе наибольшего совмещения вершин.

Почему при черчении столь хорошо известного куба я уделяю большое внимание совмещению вершин и рёбер? - потому что куб проще и более понятен для осмысления.

А вот при черчении более сложных геометрических фигур - 3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6, и т.д., в которых количество вершин и рёбер значительно больше, чем в кубе, вероятность совмещения вершин и рёбер значительно возрастает, а точнее - в большинстве случаев избежать совмещения вершин и рёбер практически невозможно.

В этой работе требуются расчётные данные количества единичных элементов, составляющих 3ПГК-n. Поэтому ввожу табл. 2 из моих прошлых работ.

Таблица 2.

Главные принципы и особенности строения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов

Прежде чем приступить к построению (черчению) трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов, оговорим некоторые закономерности, особенности, главные принципы строения этих геометрических фигур.

Предлагаю вашему вниманию главные геометрические свойства и особенности трёхмерных проекций всех n-мерных гиперкубов (3ПГК-n) и разработанные принципы, методы, правила создания, построения и черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов (3ПГК-n).

1. Во всех n-мерных гиперкубах, а также и в их трёхмерных проекциях, в каждой вершине сходятся по n рёбер. То есть: в каждой из 16-ти вершин 3ПГК-4 сходятся по 4 ребра, в каждой из 32-х вершин 3ПГК-5 сходятся по 5 рёбер, в каждой из 64-х вершин 3ПГК-6 сходятся по 6 рёбер, и т.д.

2. Во всех трёхмерных проекциях n-мерных гиперкубов (см. рис. 1.1) в первом «ярусе» (то есть между параллельными плоскостями Р_I и Р_II) и в последнем «ярусе» (между параллельными плоскостями Р_n и Р_n+I) находятся по n рёбер, сходящихся в верхней вершине, расположенной в плоскости Р_I, и в нижней вершине, расположенной в плоскости Р_n+I.

Эти n рёбер можно (и нужно) представить как боковые рёбра правильной n-угольной пирамиды. Эти пирамиды назовём «исходными» пирамидами.

Вот это и есть очень важная ( главная ! ) для построения и черчения трёхмерных проекций n-мерных гиперкубов особенность:

а) в любой 3ПГК-n в первом и в последнем «ярусах» заключена часть тела 3ПГК-n в виде правильной n-угольной пирамиды;

б) по построенной «исходной» правильной n-угольной пирамиде в любом ракурсе, в любой проекции можно построить (начертить) и 3ПГК-n в выбранных ракурсах и проекциях.

3. Любое ребро n-мерного гиперкуба (ГК-n), а также его трёхмерной проекции (3ПГК-n) геометрически равно по длине и параллельно одному из n боковых рёбер т.н. «исходной» правильной n-угольной пирамиды, расположенной в первом или последнем «ярусе» ГК-n или 3ПГК-n.

4. Отрезок прямой в теле 3ПГК-n, соединяющий вершины, расположенные в параллельных плоскостях Р_I и Р_n+I , т.е. вершины верхней и нижней «исходных» правильных n-угольных пирамид (см. рис. 1.1), перпендикулярен этим плоскостям Р_I и Р_n+I и является главной осью симметрии 3ПГК-n.

5. В n-мерных гиперкубах, где n - чётное число, а также в их трёхмерных проекциях (т.е. в 3ПГК-4, 3ПГК-6, 3ПГК-8, 3ПГК-10, и т.д.), обязательно существуют геометрически обусловленные совмещённые (сдвоенные) вершины, расположенные в точках пересечения визуально проведённой главной оси симметрии 3ПГК-n с визуально обозначенными на рис. 1.1 параллельными плоскостями: Р_III - в 3ПГК-4; Р_III и Р_V - в 3ПГК-6; Р_III , Р_V и Р_VII - в 3ПГК-8, и т.д.

В этих геометрически обусловленных совмещённых (сдвоенных) вершинах 3ПГК-n соответственно сходятся по 2n рёбер, вот почему я написала фразу: «… в большинстве случаев избежать совмещения вершин и рёбер практически невозможно».

6. При изображении 3ПГК-n (черчении или фотографировании их моделей) в разных ракурсах возможны визуальные совмещения любых вершин, а также визуальные совмещения рёбер, граней и даже кубов.

Построение (черчение) трёхмерных проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

На рис. 3.3 представлено построение горизонтальной (H^I), фронтальной (V^I) и профильной (W^I) проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды.

А на рис. 3.4 показана последовательность построения (черчения) на рис. 3.3 фронтальной (V^I) проекции 3ПГК-4 по фронтальной (V) проекции «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды.

Данный метод (принцип, способ) построения (черчения) горизонтальной, фронтальной и профильной проекций 3ПГК-4 состоит в том, что в соответствующих им горизонтальной, фронтальной и профильной проекциях «исходной» пирамиды к каждой вершине последовательно достраиваются ещё три недостающих боковых ребра этой пирамиды.

Рис. 3.3.Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям правильной «исходной» четырёхугольной пирамиды P_гE_гF_гG_гH_г

Рис. 3.4. Последовательность построения (черчения) фронтальной проекции V^I 3ПГК-4 по фронтальной проекции V «исходной» правильной четырехугольной пирамиды P'E'_гF'_гG'_гH'_г .

а) - фронтальная проекция «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды PE_гF_гG_гН_г .

Продолжение рис. 3.4. Последовательность построения (черчения) фронтальной проекции V^I 3ПГК-4 по фронтальной проекции V «исходной» правильной четырехугольной пирамиды P'E'_гF'_гG'_гH'_г .

а) - фронтальная проекция правильной четырёхугольной пирамиды PE_гF_гG_гН_г - кружком обозначены вершины проекции V' 3ПГК-4, к которым в данном чертеже (б,в,г,...,н) были построены недостающие ребра проекции V пирамиды; эти ребра отмечены «галочками».

Предлагаю вашему вниманию важный для понимания 3ПГК-4 ракурс (рис. 3.5.). В этом ракурсе в «исходной» пирамиде 3ПГК-4 во фронтальной и профильной проекциях визуально совмещены две пары боковых рёбер пирамиды, в результате чего в чертежах фронтальной, профильной и даже горизонтальной проекциях 3ПГК-4 произошло визуальное совмещение пяти пар вершин, и соответственно, шестнадцати пар рёбер!

Рис. 3.5. Построение горизонтальной (H'), фронтальной (V') и профильной (W') проекций трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям правильной четырёхугольной «исходной» пирамиды P'E'_гF'_гG'_гH'_г в выбранном ракурсе. Т Для наглядности: в проекциях H' и H'₁ - небольшое изменение ракурса. Кружками отмечены совмещённые вершины.

В этом же рис. 3.5 для наглядности, т.е. лучшего понимания расположения вершин и рёбер проекций 3ПГК-4, дополнительно начерчены в горизонтальных проекциях «исходная» пирамида и 3ПГК-4 в слегка изменённом ракурсе.

Этот способ построения (черчения) проекций 3ПГК-n - лёгкое, очень небольшое изменение ракурса - очень удобно применять, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-4.

Все горизонтальные проекции 3ПГК-n в идеально правильном исполнении чертежа, построенные (начерченные) с помощью соответствующей горизонтальной проекции «исходной» правильной n-угольной пирамиды, обязательно имеют совмещения вершин (визуальные или реальные, фактические - геометрически обусловленные) и рёбер (только визуально полностью или частично совмещённые).

В самих n-мерных гиперкубах (ГК-n) могут быть совмещены вершины, но не может быть совмещённых рёбер, граней, кубов.

Я не рекомендовала бы вам, уважаемые геометры, сразу приступать к черчению идеально правильных горизонтальных проекций 3ПГК-n, потому что очень трудно осмыслить как, в какой последовательности происходит совмещение вершин, рёбер и даже граней в чертеже.

Вот поэтому я сначала выбираю горизонтальную проекцию «исходной» правильной n-угольной пирамиды в слегка изменённом ракурсе и последовательно, как показано на рис. 3.6, строю (черчу) соответствующую проекцию 3ПГК-n.

Заметьте, что при последовательном черчении проекций 3ПГК-4 на рис. 3.6 я, так сказать, иду по крайним вершинам.

Рис. 3.6. Последовательность построения (черчения) проекций Н'₁ 3ПГК-4 в рис. 3.5 (слегка изменённого ракурса горизонтальной проекции Н') по соответствующей проекции Н₁ «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды P₁E_г1F_г1G_г1H_г1.

Продолжение рис. 3.6. Затемнёнными кружками отмечены вершины, к которым в данном чертеже (б, в,с, …, н) были построены недостающие рёбра; эти рёбра отмечены «галочками».

Думаю, представляет интерес следующий ракурс изображения (черчения) фронтальной (V^I) и профильной (W^I) проекций 3ПГК-4 на рис. 3.7.

Рис. 3.7.Построение горизонтальной (H'), вертикальной (V') и профильной (W') проекций трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям «исходной» правильной четырёхугольной пирамиды PE_гF_гG_гH_г.

Для осмысления, например, фронтальной проекции 3ПГК-4 достаточно слегка изменить ракурс (см. рис. 3.8) и фронтальная проекция "исходной" пирамиды (а) на рис. 3.8 примет вид (а₁).

Рис. 3.8. а) и б) - из рис. 3.7 - фронтальные проекции «исходной» пирамиды (V) и 3ПГК-4 (V'); а₁) и б₁) - то же, в слегка изменённом ракурсе - для наглядности;«кружочками» отмечены совмещённые вершины.

На рисунках 3.9, 3.10 и 3.11 предлагаю вашему вниманию чертежи трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) в наиболее важных ракурсах. Причём для наглядности и лучшего понимания расположения на чертежах вершин и рёбер 3ПГК-4 в этих рисунках справа представлены чертежи 3ПГК-4 в слегка изменённом ракурсе.

Кстати, на рис. 3.11 (б) 3ПГК-4 представлена в «самом оригинальном ракурсе» - на чертеже все вершины 3ПГК-4 визуально совмещены.



Рис. 3.9. б) - чертёж 3ПГК-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б₁) - для наглядности: то же, в слегка измёненном ракурсе.

Рис. 3.10. б) - чертёж 3ПГК-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б₁) - для наглядности: то же, в слегка изменённом ракурсе.

Рис. 3.11. б) - чертёж 3ПГК-4 в важном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды [a)]; б₁) - для наглядности: то же, в слегка изменённом ракурсе.

Глядя на чертежи, возможно, вам трудно будет поверить, что это действительно чертежи 3ПГК-4. Но я из трубочек и лески создала несколько экземпляров моделей 3ПГК-4 и 3ПГК-5 и развесила их по всей квартире, чтобы они везде были на виду, и поэтому я имею возможность рассматривать их в разных ракурсах.

Вы можете сами начертить «исходную» правильную n-угольную пирамиду 3ПГК-n в абсолютно любом ракурсе и, пользуясь тем или иным методом, начертить соответствующую проекцию 3ПГК-n. И вовсе не обязательно в одном чертеже классически строить одновременно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции, - профессиональному геометру по виду начерченной «исходной» правильной n-угольной пирамиды 3ПГК-n уже понятно, в каком ракурсе начерчена проекция 3ПГК-n.

О внешнем виде всех 3ПГК-n :

Вот аналогия: все 3ПГК-n как на их чертежах, так и в самих моделях, своей внешней геометрической формой напоминают «юлу» (или волчок). И чем выше измерение, тем всё более и более 3ПГК-n напоминает форму «юлы».

В идеально построенных чертежах 3ПГК-n, где n ? 5, существует только одна горизонтальная проекция 3ПГК-n, фронтальных и профильных проекций - сколь угодно много, а проекций в ракурсах под определённым углом зрения - бесчисленное множество.

Итак, чтобы построить горизонтальную проекцию 3ПГК-n, надо сначала построить горизонтальную проекцию её «исходной» правильной n-угольной пирамиды, то есть построить правильный n-угольник. - Всего-то!

Ещё раз обращаю ваше внимание на факт, что на тетрадном листе бумаги «в клетку» через вершины квадратных «клеток», кроме самого квадрата, невозможно построить все остальные правильные многоугольники (треугольник, пятиугольник, шестиугольник, …, десятиугольник, …, и т.д.).

Я каждое ребро многоугольника в моих чертежах рассматриваю как гипотенузу и проверяю её теоремой Пифагора. Пытаясь построить эти правильные многоугольники «по вершинам «клеток»», я добиваюсь наименьшей погрешности в чертежах.

Казалось бы, черчение 3ПГК-n «по вершинам клеток» - недостаток. Но! Но этот «недостаток» можно превратить в «достоинство» данного способа построения проекций 3ПГК-n, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-n. Как я уже писала, я не советовала бы вам начинать построение горизонтальных проекций 3ПГК-n, пользуясь идеально правильной проекцией «исходной» правильной n-угольной пирамиды, - у вас будет на чертежах (особенно при n = чётному числу) совмещение вершин, рёбер, граней и даже кубов. Это нормально, правильно. Чаще всего это - визуальное совмещение.

Рёбра - измерения

Поясняю, что я называю рёбрами-измерениями. Итак, (см. рис. 1.1) в каждой 3ПГК-n я определила две «исходные» правильные n-угольные пирамиды: верхнюю «исходную» пирамиду с вершиной +S, расположенную в первом «ярусе» между параллельными плоскостями Р_I и Р_II, и нижнюю «исходную» пирамиду с вершиной -S, расположенную в последнем, n- «ярусе», между параллельными плоскостями Р_n и Р_n+I .

Боковые рёбра этих двух «исходных» пирамид я назвала рёбрами-измерениями. Если принять направления в пространстве n рёбер-измерений, исходящих из вершины +S верхней пирамиды, положительно направленными рёбрами-измерениями (+), то, соответственно, n рёбер-измерений, исходящих из вершины -S нижней пирамиды, надо считать отрицательно направленными рёбрами-измерениями (-). - Это с одной стороны.

А с другой стороны, я думаю так: рёбра-измерения имеют свою векторную направленность относительно именно данной рассматриваемой вершины в 3ПГК-n.

Поясняю, как я это понимаю: любое ребро в 3ПГК-n соединяет две вершины 3ПГК-n; если для одной из этих двух вершин это ребро является положительным ребром-вектором, то для второй вершины (или относительно второй вершины) это же ребро является отрицательным ребром-вектором. Всё в Мироздании относительно. Всё познаётся в сравнении.

Поэтому, когда вы начертите горизонтальную проекцию «исходной» правильной n-угольной пирамиды с вершиной в точке +S, вы должны мысленно или на чертеже сразу же обозначить (начертить) противоположные рёбра-измерения нижней «исходной» пирамиды с вершиной в точке -S.

Обращаю особое внимание на следующее:

1) в 3ПГК-n, где n - чётное число (т.е. n = 4, 6, 8, 10, …), основания «исходных» пирамид (т.е. правильные n-угольники) геометрически зеркальны, то есть при строго вертикальном совмещении этих двух правильных n-угольников их вершины и рёбра совместятся.

В этом случае горизонтальная проекция двух «исходных» пирамид (ввожу аббревиатуру: ГП 2ИП-n ) на чертеже (см. рис. 3.13) представлена в виде n рёбер-измерений, но каждое из этих n рёбер-измерений содержит в себе два ребра-измерения различных между собою по знаку;

2) в 3ПГК-n, где n - нечётное число (т.е. n = 3, 5, 7, 9, …), при строго вертикальном совмещении оснований верхней и нижней «исходных» пирамид - и вершины, и, соответственно, рёбра этих правильных n-угольников геометрически не совмещены. В этом случае горизонтальная проекция двух «исходных» пирамид (ГП2ИП-n) на чертеже представлена в виде 2n рёбер-измерений, где n рёбер-измерений являются положительными векторами-измерениями и, соответственно, другие n рёбер-измерений являются отрицательными векторами измерениями.

Вот поэтому в первом случае, когда n равно чётному числу (n = 4, 6, 8, 10, 12, …), в самих гиперкубах-n (ГК-n) и в их 3ПГК-n образуются реальные геометрически совмещённые вершины, и в любой проекции, в любом ракурсе, на всех чертежах именно эти вершины будут всегда совмещены.

Во втором случае, когда n равно нечётному числу (n = 3, 5, 7, 9, …), в самих гиперкубах-n (ГК-n) и в их 3ПГК-n нет ни одной геометрически совмещённой вершины, в горизонтальной проекции совмещены только две вершины: +S и -S, но это - визуальное совмещение, необходимое при построении именно этой проекции. В зависимости от выбранного ракурса изображения можно достичь на чертежах много визуально совмещённых вершин, даже рёбер, граней и кубов, но это будет лишь визуальное совмещение.

Полигон измерений

Выражение, понятие «ребро-измерение» подразумевает, что это векторная величина. Следовательно, из этих векторных величин («рёбер-измерений») можно составить полигон измерений.

Полигон измерений, составленный из n «рёбер-измерений» в горизонтальных проекциях «исходных» правильных n-угольных пирамид всегда будет замкнутым («обнулёванным»).

Понятие «горизонтальная проекция 3ПГК-n» предусматривает совмещение на чертеже вершин +S и -S «исходных» пирамид.

Если же полигон измерений не будет замкнутым, «обнулёванным», т.е. если между началом и концом полигона измерения будет «какое-то» расстояние, то это означает, что на это же «какое-то» расстояние на чертеже будут разъединены вершины +S и -S, следовательно, это уже не будет именно горизонтальная проекция 3ПГК-n, а получится просто «другой ракурс» 3ПГК-n.

Абрис

Абрис - это контур, очертание внешней границы любой начерченной проекции 3ПГК-n.

Составными частями абриса для данного чертежа проекции 3ПГК-n являются 2n рёбер-измерений верхней и нижней «исходных» пирамид, причём проекции n боковых рёбер верхней «исходной» пирамиды с вершиной +S считаются положительно направленными рёбрами, а проекции n боковых рёбер нижней «исходной» пирамиды с вершиной -S считаются отрицательно направленными рёбрами.

Последовательность расположения этих рёбер-измерений в абрисе строго обусловлена.

На рис. 3.13 представлен метод построения абриса горизонтальных проекций 3ПГК-n «по клеткам»: