"Начала" многомерной геометрии

(а) строится горизонтальная проекция полигона n-мерного измерения (в идеале это правильный n-угольник). Пронумеровать «рёбра-измерения». (Ввожу аббревиатуру: ГП ПИ-n);

(б) используя «рёбра-измерения», образующие полигон измерений, чертим горизонтальную проекцию двух «исходных» правильных n-угольных пирамид 3ПГК-n. (Ввожу аббревиатуру: ГП 2ИП-n).

В этой проекции вершины пирамид +S и -S совмещены, при этом: n «рёбер-измерений», исходящих из вершины +S, будут положительно направленными, а другие n «рёбер-измерений», исходящих из вершины -S, будут отрицательно направленными.

Рис. 3.13 (см. продолжение рис.) Горизонтальные проекции:

а) - полигона n-мерных измерений (ГП ПИ-n);

б) - двух «исходных» пирамид (ГП 2ИП-n);

в) - Абрис горизонтальной проекции 3ПГК-n.

Продолжение рис. 3.13. Горизонтальные проекции:

а) - полигона n-мерных измерений (ГП ПИ-n);

б) - двух «исходных» пирамид (ГП 2ИП-n);

в) - Абрис горизонтальной проекции 3ПГК-n.

Рис. 3.14.

Обратите внимание: в ГП 2ИП-n положительно направленные «рёбра-измерения» и отрицательно направленные «рёбра-измерения» всегда лежат на одной прямой, но:

- в ГП 2ИП-n, где n - нечётное число (т.е. n = 3, 5, 7, 9, …), положительно и отрицательно направленные «рёбра-измерения» лежат на одной прямой, но отдельно от соседних «рёбер-измерений»;

- в ГП 2ИП-n, где n - чётное число (т.е. n = 4, 6, 8, 10, …), положительно и отрицательно направленные «рёбра-измерения» лежат тоже на одной прямой, но ввиду «зеркальности» «исходных» пирамид - эти «рёбра-измерения» ещё и сдвоены, т.е. совмещены;

(в) создаётся абрис горизонтальной проекции 3ПГК-n из «рёбер-измерений» ГП 2ИП-n, при этом:

- при n, равном нечётному числу (т.е. n = 3, 5, 7, 9, …), абрис выглядит в виде 2n-угольника (в идеале - правильного);

- при n, равном чётному числу (т.е. n = 4, 6, 8, 10, 12, …), абрис выглядит в виде n-угольника, но каждая сторона этого n-угольника состоит из двух разнознаковых «рёбер-измерений».

Метод построения горизонтальной проекции 3ПГК-n

с помощью абриса представлен на рис. 3.15 на примере построения трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).

Рис. 3.15 (см. продолжение). Этапы построения горизонтальной проекции 3ПГК-5.

Продолжение рис. 3.15. Этапы построения горизонтальной проекции 3ПГК-5.

Создание абриса с помощью начерченных «исходных» правильных n-угольных пирамид в любом ракурсе, в любой другой проекции я несколько упростила (см. рисунки 3.16, 3.18, 3.19, 3.20, 3.23, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30 и др.), т.е. достаточно начертить «исходную» правильную n-угольную пирамиду в любом ракурсе, в любой проекции, пронумеровать n её боковых рёбер в определённом направлении (слева направо или справа налево) и, начиная с вершины +S, в том же выбранном направлении последовательно, ребро за ребром, соединить все n рёбер, - поставить точку -S; теперь от вершины -S в той же последовательности ребро за ребром соединить все n рёбер, - абрис в виде замкнутого круга готов.

В случаях, когда проекция «исходной» пирамиды содержит совмещённые на чертеже боковые рёбра, то именно эти рёбра и в абрисе, и в данной проекции 3ПГК-n всегда откладываются дважды (см. рисунки 3.19, 3.20, 3.28, 3.29, 3.35 ).

Метод построения (черчения) по созданному абрису всех 3ПГК-n представлен на рис. 3.15.

На рис. 3.17 (б) представлен идеальный чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).

Думаю, вы согласитесь со мной, что осмыслить идеальный чертёж 3ПГК-5 намного легче с помощью вспомогательного (рабочего) чертежа 3ПГК-5 (рис. 3.17, а), построенного «по клеткам», где все вершины, рёбра, грани индивидуально выражены. Вот это и есть достоинство строения (черчения) всех проекций 3ПГК-n «по клеткам».

Рис. 3.16.

Рис. 3.17. Чертежи горизонтальной проекции трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5).

Уважаемые геометры! У вас есть компьютеры. Прежде, чем оценивать мою работу, пожалуйста, с помощью компьютерной графики достройте чертёж ГП 3ПГК-9 на рис. 3.14 - это очень интересно. Чертить этот чертёж на бумаге карандашом, как это делаю я, очень трудно - от обилия линий (2304 ребра) не выдерживает, вспучивается бумага (см. рис. 3.39 и 3.41) и подводит зрение. А вы на компьютере можете каждую деталь чертежа увеличить в масштабе.

Итак, чертежи трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) уже представлены в этой работе во всех проекциях и интересных ракурсах.

Предлагаю вашему вниманию чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях: горизонтальной (H^I), фронтальной (V^I) и профильной (W^I), построенных с помощью соответствующих трёх проекций (H, V и W) «исходной» правильной пятиугольной пирамиды SADCDE, горизонтальной проекции полигона измерений и созданных соответствующих данным проекциям абрисов (см. рис. 3.18, 3.19 и 3.20).

Рис. 3.18. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE и полигона измерений.

Рис. 3.19. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE в трёх соответствующих проекциях (H, V и W) и полигона измерений.

Рис. 3.20. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в трёх проекциях (H', V' и W'), построенные с помощью «исходной» пирамиды +SABCDE и полигона измерений.

На рис. 3.21 представлены чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) во фронтальной (или профильной) проекции, причём в одном чертеже 3ПГК-5 есть визуальное совмещение двух рёбер, а следовательно, и вершин; во втором случае - чертёж 3ПГК-5 представлен без совмещения рёбер и вершин; и первый и второй ракурсы изображения вполне реальны.

Рис. 3.21. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) во фронтальной (или профильной) проекции.

Рис. 3.22. Чертежи трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) в разных ракурсах.

Рис. 3.22, надеюсь, укрепит вашу уверенность в возможности построения 3ПГК-n в разных ракурсах.

Чертить на одной странице 3ПГК-n, где n больше пяти (т.е. 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д.) в трёх проекциях (горизонтальной, фронтальной и профильной) трудно из-за тесноты площади страницы, поэтому различные 3ПГК-n в различных ракурсах и проекциях предлагаю вам избирательно и обзорно.

Надеюсь, по полигону измерений или по виду проекции «исходной» пирамиды, начерченных к каждому чертежу 3ПГК-n, вам не трудно будет сориентироваться в проекциях, методах и способах построения самих чертежей 3ПГК-n.

В этой работе я хочу убедить вас, что с помощью изображения «исходной» правильной n-угольной пирамиды в любой проекции, в любом ракурсе (что не составит труда для любого геометра) можно начертить соответствующий чертёж 3ПГК-n в той же проекции и в том же ракурсе - что и является универсальным методом построения (черчения) 3ПГК-n.

По любой проекции «исходной» правильной n-угольной пирамиды стройте абрис. АБРИС УЖЕ СОДЕРЖИТ ВСЮ НЕОБХОДИМУЮ ИНФОРМАЦИЮ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ (ЧЕРЧЕНИЯ) 3ПГК-n В ВЫБРАННЫХ ПРОЕКЦИЯХ ИЛИ РАКУРСАХ.

Продолжим обзор построения (черчения) 3ПГК-n в различных ракурсах, разумеется, переходя к более высоким измерениям.

Среди множества созданных чертежей 3ПГК-n я ищу чертежи наиболее интересных ракурсов.

Предлагаю вашему вниманию рис. 3.23 и рис.3.24. Чертежи рис. 3.23 радуют меня своей элегантностью, совершенством линий - воистину, это - Геометрия Высших Миров.

Рис. 3.23.Чертежи трёхмерных проекций: а) - четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) ,б) - пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) ,в) - шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Ракурс: вид сбоку-сверху

Рис. 3.24. Самый оригинальный ракурс черчения 3ПГК-n: параллельный одному ребру «исходной» пирамиды.

Рис. 3.25. Чертежи трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Ракурсы: а) вид сверху - слегка смещённый; б) горизонтальная проекция 3ПГК-6.

Рис. 3.26.Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6).Фронтальная проекция.

Рис. 3.27. Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.

Рис. 3.28. Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.

Рис. 3.29. Чертёж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Фронтальная проекция.

Рис. 3.30.Чертеж трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6). Ракурс: вид сбоку-сверху.

Ракурс же чертежей рис. 3.24 оригинален тем, что чертежи 3ПГК-4 и 3ПГК-5 содержат минимально возможные количества вершин и рёбер, а чертёж 3ПГК-6 по минимальности количества вершин и рёбер уступает только чертежу своей горизонтальной проекции.

Чертёж горизонтальной проекции 3ПГК-6 представлен на рис. 3.25 (б). Чертёж прост, как пять копеек. Но что стоит за этой простотой? Чтобы понять это, надо (помните? - я это уже писала) слегка, чуть-чуть изменить ракурс [см. чертёж (а)], и вот этот чертёж (а) покажет что скрывается за этой величественной простотой. Какое колоссальное визуальное совмещение вершин, рёбер, граней, кубов!

Повторяю: горизонтальная проекция у всех 3ПГК-n только одна. При построении (черчении) горизонтальных проекций 3ПГК-n следует помнить, что:

1) при n равном чётному числу (т.е. n = 4, 6, 8, 10, 12, …) горизонтальная проекция 3ПГК-n будет содержать кроме собственных геометрически обусловленных совмещённых вершин ещё очень значительное визуальное совмещение вершин, рёбер, граней, кубов (см. рис. 3.25, 3.37, 3.40, 3.42);

2) при n равном нечётному числу (т.е. n = 5, 7, 9, 11, …) горизонтальная проекция 3ПГК-n имеет только две совмещённые вершины: +S и -S, но это - визуальное совмещение, необходимое при построении именно этой проекции; однако в этих горизонтальных проекциях 3ПГК-n будет очень большое число частичных совмещений рёбер на чертеже, т.е. одно ребро визуально совмещается с другим ребром только частью своей длины (см. рис. 3.17, 3.32).

Предлагаю вашему вниманию 4 чертежа трёхмерной проекции шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) в разных ракурсах её фронтальных проекций (см. рис. 3.26, 3.27, 3.28 и 3.29). Обратите внимание: в этих чертежах взяты основные ракурсы фронтальной проекции «исходной» пирамиды - и как разительно при этом меняется сама фронтальная проекция 3ПГК-6 !

А вот очень интересный ракурс изображения 3ПГК-6 (см. рис. 3.30). Этот чертёж даёт очень наглядное представление о расположении граней и кубов в 3ПГК-6, а также о расположении геометрически обусловленных совмещённых вершин.

Считаю, что и 3ПГК-4, и 3ПГК-5, и 3ПГК-6 достаточно представлены в разных своих ракурсах и проекциях.

Переходим к чертежам трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7)

Горизонтальная проекция 3ПГК-7 представлена в виде рабочего чертежа (см. рис. 3.31), построенного «по клеткам», и так называемого мною «идеального» чертежа (см. рис. 3.32). Правильные многоугольники для построения «идеальных» чертежей я строю с помощью линейки, циркуля и транспортира.

Рабочий чертёж горизонтальной проекции 3ПГК-n даёт возможность проследить не только расположение каждого ребра в отдельности, но и выявить схему построения её «идеальной» проекции.

Рис. 3.31. Рабочий чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).

Идеальный чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7)

Горизонтальная проекция.

Рис. 3.32. Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7). Горизонтальная проекция.

Рабочие чертежи фронтальных проекций трёхмерных проекций семимерных гиперкубов (3ПГК-7) представлены на рис. 3.33, 3.34 и 3.35.



Рис. 3.33. Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7). Фронтальная проекция.

Рис. 3.34. Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).Фронтальная (или профильная) проекция.

Рис. 3.35.Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7).Фронтальная проекция.

А на рис. 3.36 трёхмерная проекция семимерного гиперкуба (3ПГК-7) изображена в «самом оригинальном ракурсе»: все вершины, рёбра, грани - визуально совмещены! Чертёж изумительной красоты! Я люблю эти чертежи. Заметили? В основном, все они приводят меня в восторг своей грацией, элегантностью, совершенством. Воистину, это - Геометрия Высших Миров!

Рис. 3.36. Чертёж трёхмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7). Оригинальный ракурс: визуальное совмещение вершины (+S) «исходной» пирамиды с вершиной (1) основания этой пирамиды.

Трёхмерная проекция восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8) представлена рабочими чертежами её горизонтальной проекции (рис. 3.37) и фронтальной проекции (рис. 3.38).

Рис. 3.37. Чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8).

Чертёж трёхмерной проекции восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8).

Фронтальная проекция.

Рис. 3.38.Чертёж трёхмерной проекции восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8).Фронтальная проекция.

Трёхмерная проекция десятимерного гиперкуба (3ПГК-10) представлена идеальным чертежом её горизонтальной проекции (рис. 3.40) и рабочим чертежом (рис. 3.39) для построения этой проекции.

Рис. 3.39. Рабочий чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции десятимерного гиперкуба (3ПГК-10.)

Идеальный чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции десятимерного гиперкуба (3ПГК-10)

Рис. 3.40. Идеальный чертёж трёхмерной проекции десятимерного гиперкуба (3ПГК-10). Горизонтальная проекция.

Трёхмерная проекция двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12) представлена идеальным чертежом её горизонтальной проекции (3.42) и рабочим чертежом (рис. 3.41) для построения этой проекции.

Рис. 3.41. Рабочий чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12).

Идеальный чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12)

Рис. 3.42. Чертёж горизонтальной проекции трёхмерной проекции двенадцатимерного гиперкуба (3ПГК-12).

Забавы ради предлагаю вам мою версию четырёхмерного кубоида (см. рис. 3.43). n-мерные кубоиды существуют только в двумерном пространстве (рис. 3.43).

Рис. 3.43.Кубоиды.

Уважаемые геометры! Надеюсь, вы согласитесь, что с помощью предложенного мною «Универсального метода построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых измерений (3ПГК-n) в любых проекциях и ракурсах» можно чертить все 3ПГК-n в любых проекциях и ракурсах, а с помощью компьютерной графики, надеюсь, чертить будет намного легче.

Более того, из трубочек и лески вполне реально можно создавать все модели 3ПГК-n.

ОТ АВТОРА

Я, Михайлова Людмила Михайловна, 1948 г.р., не профессиональный математик - я это указываю в каждой моей работе, чтобы профессиональные математики были чуть снисходительнее к моему стилю изложения работ. Ведь главное - всё-таки математическая идея, а не изящная математическая словесность.

Образование у меня - высшее, по специальности я - инженер-экономист, по жизненным обстоятельствам - бывшая домохозяйка.

До февраля 2011 г. я жила в Туркмении, имея и там Российское гражданство с 1994 г. В феврале 2011 г., продав свою квартиру, я выехала из Туркмении в Россию, к брату, в г. Грязи Липецкой обл., прописалась там у него, получила внутренний Российский паспорт, мне начислили пенсию (спасибо России). Но моих денег не хватило на покупку квартиры в России, и я по приглашению сестры приехала на Украину в Ивано-Франковск. Здесь я купила квартиру, оформила «Вид на жительство», сохраняя Российское гражданство, которым я очень дорожу.

2-го ноября 2000 года умер мой муж - рак. Детей нет. Мой муж был смыслом моей жизни. 26 месяцев я провалялась на могилочке мужа, рыдая и упрекая Бога в Его жестокости, что я оставлена жить, - я просила у Бога смерти…

И вот, 2-го января 2003 года, вернувшись домой с кладбища, я сидела на веранде и отчаянно рыдала, - 26 месяцев прошло, а боль жгучая, неуёмная! Как с этим жить, зачем?..

И вдруг меня пронзила мысль: не упрекать Бога в Его жестокости, а попросить у Бога пощады, милости. Рухнула я на колени (а на колени меня трудно поставить) и, рыдая, взмолилась: «Господи! Если Ты заставляешь меня дышать, жить, то дай мне хоть какое-нибудь утешение, чтобы я видела смысл в оставшейся жизни!».

Как-то удивительно стало легче дышать, я села на диванчик, смогла унять слёзы. И посидев немного, решила хоть чем-то заняться.

Взяла недочитанную книгу, открываю по закладке, и первая фраза, которая бросилась мне в глаза, это - эпиграф к главе: «Бог действует по геометрическим линиям. Платон» !!! Меня пронзило: это ответ Бога!, это «ЗНАК» Бога !

Как заворожённая читаю название главы: «Геометрический аспект научного миропонимания», - о, да, это же интереснейшая для меня тема! Название книги: «Кардинальный поворот»! Авторы: Тихоплавы В.Ю. и Т.С., - как я им безмерно благодарна за их книги!

Да, так ответить мог только Бог !

И вспомнила я, что когда-то в школе геометрия была моим любимым предметом… Я была так потрясена поданным мне Богом «Знаком», что опять бухнулась на колени и уже с радостью сказала: «Господи! Благодарю Тебя за поданный мне «Знак»! Обещаю Тебе: я пойду к Тебе «по геометрическим линиям», я займусь математикой !». Уже через час-два я определила для себя область математики для исследований.

Хочу отметить: я - набожна, очень набожна, но принципиально нерелигиозна.

Вот так в одночасье произошёл в моей жизни «кардинальный поворот», и вот почему я так неожиданно для себя почти в 55 лет занялась математикой.

Две темы для исследования и написания работ были «поданы» мне как бы «случайно».

Первым «случайным» подарком мне была услышанная мной по телевизору фраза «золотое сечение». К моему удивлению я ещё не знала, что это такое. Пришлось нырнуть в «Энциклопедию» и по одному энциклопедическому определению в 2003-2004 годах разработать «Уникальный ряд «золотого сечения, золотой пропорции»», [1], (заверен нотариально 08.04.2004г.).

Я очень люблю эту работу. Её не надо доказывать, - математические формулы в ней безупречны и очень легко проверяемы. Ну, нет в математике более совершенного числового ряда, обладающего такими обширнейшими математическими свойствами!

С помощью «Уникального ряда «золотого сечения, золотой пропорции»» можно описывать законы и макромира (вплоть до параметров орбит планет, звёзд, галактик), и микромира (свойства «Уникального ряда» пригодятся и в ядерной физике).

Воистину «золотая пропорция» - это Божественная пропорция, пропорция Мироздания!

Вторым подарком Бога (это было в 2003 году) стала книга, «случайно» попавшая мне в руки. Это произведения Э.Эбботта «Флатландия» и Д. Бюргера «Сферландия», М. «Мир», 1976г. Эта книга дополнена шестью научно-популярными статьями о четвёртом измерении, написанными математиками ещё в 1910 году.

Я опять очень удивилась себе, что до этой книги я почему-то не имела никакого понятия о четвёртом измерении.

Кстати, по ходу чтения этих статей, ещё не все шесть их прочитав, я сразу же предположительно определила трёхмерную проекцию системы осей координат для четырёхмерного измерения. Я заинтересовалась этой темой. Ровно через девять месяцев после прочтения этой книги я впервые создала из трубочек и лески модель трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4).

Так как там, в Туркмении, у меня не было компьютера и возможности посмотреть в Интернете, что наработано человечеством по моим темам, а также не было никаких учебных пособий, то мне пришлось самой выводить формулы для определения количества единичных элементов (вершин, рёбер, граней, кубов ) в гиперкубах любых измерений.

На осмысление и создание модели трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) у меня ушло три года. За эти годы я начертила около сотни чертежей и создала десятки предполагаемых, но неправильных моделей 3ПГК-5. И наконец-то в марте 2008 года я впервые создала модель трёхмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5)!

К этому времени у меня сложилось твёрдое убеждение, что человеческий мозг не может сам даже подумать о чём-то, чего ещё нет в Мироздании. Я просто знала, что в Мироздании существует какой-то «метод построения (и черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых измерений».

Я знала, что этот метод должен быть какой-то оригинальный, простой… Но я и предположить не могла, что этот метод может оказаться столь изумительно простым!!! Мне пришлось ещё два года «ломать» мозги…

Работа ««Начала» геометрии многомерных измерений» была написана с перепугу - боялась не успеть написать. Дело в том, что там, в Туркмении, у меня стало резко «скакать» давление, приходилось часто вызывать «скорую», и соседи, посоветовавшись, пришли спросить как и где меня хоронить. Я дала соседям деньги на свои похороны, попросила похоронить рядом с мужем и решила написать работу хотя бы так, как я её понимала на тот момент.

Поэтому работа написана спонтанно, а сам изумительно простой «Универсальный метод построения (черчения) трёхмерных проекций гиперкубов любых измерений в любых проекциях и ракурсах» был выявлен мною в декабре 2010 года только в процессе написания этой третьей главы работы. Восемь лет, восемь лет я искала этот метод!!!

Сейчас бы эту работу я написала бы по-другому, но, выехав из Туркмении, у меня почему-то пропало желание писать.

Примите, пожалуйста, то, что написано.

Уважаемые геометры!

Пожалуйста, сначала примите, что все трёхмерные проекции гиперкубов любых измерений, как начерченные, так и созданные мною их модели из трубочек и лески, своей внешней геометрической формой напоминают детскую игрушку «юлу, или волчок». И чем выше измерение, тем всё более и более трёхмерные проекции многомерных гиперкубов своей внешней формой принимают форму «юлы».

Вот теперь вам не составит труда геометрически изобразить как «юлу», так и трёхмерную проекцию n-мерного гиперкуба - в любой проекции и в любом ракурсе. Надо только принять, что в теле «юлы» верхняя и нижняя часть - это конусы, а в телах трёхмерных проекций гиперкубов n-ного измерения эти «конусы» следует считать правильными n-угольными пирамидами (в работе они названы «исходными» пирамидами).

Правильная n-угольная пирамида состоит из n боковых рёбер, соединяющих вершину самой пирамиды с вершинами правильного n-угольника, являющегося основанием данной пирамиды. Так вот, эти « n боковых рёбер» и являются «рёбрами-измерениями» в любых трёхмерных проекциях n-мерных гиперкубов.

Причём, эти «исходные» n-угольные пирамиды можно чертить абсолютно в любой проекции, в любом ракурсе, тогда, составив (начертив) абрис (см. работу), вы легко начертите трёхмерную проекцию n-мерного гиперкуба в выбранной проекции, в выбранном ракурсе.

Желаю вам больших успехов.

С уважением, Михайлова Людмила Михайловна.

Глава 2. Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

В работе «Постигая четырёхмерное измерение, мы приходим к геометрии n-мерных пространств» [3] я определила метод построения (черчения) трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) с помощью трёхмерной проекции осей координат для четырёхмерного измерения.

Метод определения трёхмерной проекции осей координат для четырёхмерного измерения

Идея принять большие диагонали куба за трёхмерную проекцию осей координат для четырёхмерного измерения возникла у меня в голове почти моментально. Для проверки этой идеи исследуем куб (рисунки 2.1 и 2.2), посмотрим, что он выдаст.

На рис. 2.1 изображён куб ABCDEFGH, примем длину ребра куба равной величине а. Через геометрический центр О куба и геометрические центры (1, 2, 3, 4, 5, 6) каждой из шести граней куба проведём оси +X -X, +Y-Y и +Z-Z, то есть получим Декартову систему координат, которой пользуются более 350 лет. Проведём четыре большие диагонали куба.

Исследуем все вершины куба на предмет их знакового значения (+ или -) относительно Декартовой системы координат. Результаты этого исследования сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

	A	B	C	D	E	F	G	H
X	-	+	+	-	-	+	+	-
Y	-	-	-	-	+	+	+	+
Z	+	+	-	-	+	+	-	-

Проведём анализ знаковых значений вершин куба.

Сразу видно, что только две вершины D и F, являющиеся крайними точками большой диагонали куба FD, имеют все три одинаковых знака: вершина F (+X, +Y, +Z) и вершина D (-X, -Y, -Z).

А из этого следует, что куб сам указал на четвёртую ось в новой для нас трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения, причём указал и её знаковое направление.

Предлагаю обозначить эту ось буквой «T» - от греческого слова «tetra», означающего «четыре».

Итак, в новой для нас трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения определена главная ось, проходящая через вершины куба F и D, причём направление оси от центра О в сторону вершины F является положительным направлением (+T), а направление оси от центра О в сторону вершины D является отрицательным направлением (-T).

Для того, чтобы определить, как, в каком направлении расположатся три остальные оси в трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения X_г, Y_г и Z_г (индекс «г» - от слова «гиперкуб»), проведём знаковый анализ остальных шести вершин A, B, C, E, G и H куба, пользуясь таблицей 2.1 и рисунком 2.2.

Рис. 2.1, Рис. 2.2.

1. Положительное значение икса (+X) из оставшихся шести вершин A, B, C, E, G и H куба содержат вершины B, C и G, значит, это и является областью положительного икса, и ось +X_г проходит через среднюю между B, C и G вершину куба C.

Отрицательное значение икса (-X) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, E и H, значит, это и является областью отрицательного икса, и ось -X_г проходит через среднюю между A, E и H вершину куба E.

2. Положительное значение игрека (+Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, H и G, значит, это и является областью положительного игрека, и ось +Y_г проходит через среднюю между E, H и G вершину H.

Отрицательное значение игрека (-Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, B и C, значит, это и является областью отрицательного игрека, и ось -Y_г проходит через среднюю между A, B и C вершину B.

3. Положительное значение зет (+Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, A и B, значит, это и является областью положительного зет, и ось +Z_г проходит через среднюю между E, A и B вершину A.

Отрицательное значение зет (-Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины C, G и H, значит, это и является областью отрицательного зет, и ось -Z_г проходит через среднюю между C, G и H вершину G.

Итак, определены все четыре оси трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения: ось +T-T проходит через вершины куба F и D соответственно, ось +X_г-X_г проходит через вершины C и E, ось +Y_г-Y_г проходит через вершины H и B, ось +Z_г-Z_г проходит через вершины A и G.

Это великолепный подарок куба!

Теперь, чтобы определить углы между осями трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения, обратимся к рисунку 2.2, где изображена плоскость ABGH, которая является плоскостью симметрии куба, в этой плоскости лежат две оси +Z_г-Z_г и +Y_г-Y_г трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

1. Из треугольника AОB определим угол AОB по теореме косинусов:

. (2.1)

При принятой величине согласно теореме Пифагора:

и ; .

Подставив в уравнение (2.1) значения AB, AО и ОB, получим:

, а . (2.2)

2. Определим угол AОH, то есть угол, заключённый между осями +Z_гО+Y_г или -Y_гО-Z_г:

. (2.3)

Таким образом, определены и углы между осями трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

Замечательно то, что центр О является общей точкой для обеих систем координат, что очень удобно при переходе из одной системы координат в другую.

Четырёхмерное пространство имеет свои особенности и законы. В четырёхмерном пространстве меняются размерности всех единиц измерения, которыми мы пользуемся в нашем трёхмерном мире. Но, пользуясь логикой и рассуждениями по аналогии, можно проследить, выявить и вычислить эти изменения в размерностях.

Наш трёхмерный куб, такой всем близкий и знакомый, дарит нам ещё одну свою тайну - единицу длины ребра в четырёхмерном пространстве! Посмотрите на рис. 2.1: точками 1, 2, 3, 4, 5 и 6 обозначены геометрические центры каждой грани куба. Через эти точки проходят оси Декартовой системы координат, и при принятой величине длины ребра куба, равной «а», расстояние от центра О до всех точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 равно .

Большие диагонали куба AG, BH, CE и DF, являющиеся образующими оси трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения, равны и, соответственно, половина длины этих диагоналей, то есть расстояние от центра О до всех точек (вершин куба) A, B, C, D, E, F, G и H, равно .

Мне кажется, что теперь не трудно догадаться, что отрезок OZ, например, расположенный на оси OX в Декартовой системе координат и равный величине , перемещаясь из трёхмерного пространства в четырёхмерное, превратится в отрезок OC, расположенный на оси O+X_г (или в отрезок OE (?), расположенный на оси O-X-_г), и теперь длина его определится величиной .

Это говорит о том, что наш трёхмерный куб с длиной ребра «a», перемещаясь в четырёхмерное пространство, превратится в четырёхмерный гиперкуб с длиной ребра «a_г», при этом:

. (2.4)

Метод построения трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) на чертеже

Итак, создав из трубочек и лески модель трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) (см. фотографию 1), приступим к построению 3ПГК-4 на чертеже, то есть перенесём 3ПГК-4 во второе измерение - на плоскость листа бумаги (см. рис. 2.3).

Фото 1.

На чертеже строим куб ABCDEFGH, приняв длину ребра куба равной величине «a», и через вершины куба проводим оси +Т-Т, +X_г-X_г, +Y_г-Y_г и +Z_г-Z_г новой трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения.

Так как на созданной мной модели 3ПГК-4 видно, что восемь внутренних рёбер модели сходятся в центре 3ПГК-4, причём своим взаимным положением относительно друг друга эти восемь внутренних рёбер полностью соответствуют всем осям трёхмерной проекции системы координат для четырёхмерного измерения, то, следовательно, на продолжении новых осей координат и расположатся восемь вершин (A_Г, B_Г , C_Г , D_Г , E_Г , F_Г , G_Г и H_Г) трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба.

Рис. 2.3.

Расстояние от центра O до этих вершин равно длине ребра 3ПГК-4 «a_г», при этом , то есть удвоенному расстоянию от центра O до лежащей на этой оси вершины проекции исходного куба. При этом полученные восемь вершин 3ПГК-4 обозначены буквой, соответствующей вершине исходного куба, но с индексом «г» - от слова гиперкуб, т.е. A_Г, B_Г , C_Г , D_Г , E_Г , F_Г , G_Г и H_Г .

Например, строим вершину А_г: по оси О+Z_г от точки А надо отложить отрезок, равный ОА, ставим точку А_г , и так как , то ; строим вершину F_г : по оси О+Т от точки F откладываем отрезок, равный OF, ставим точку F_г ; и т.д.

Итак, определены восемь вершин 3ПГК-4, причём координаты этих вершин легко определяются: так как эти вершины лежат непосредственно на осях, то они по этим осям имеют координату «а_г» со знаком, соответствующим этой оси, а три остальные координаты - равны нулю.

Например, вершина А_г лежит на оси O+Z_г , следовательно, вершина А_г имеет координаты: Т = 0, X_г = 0, Y_г = 0, Z_г = +a_г ; вершина D_г лежит на оси О-Т, следовательно, вершина D_г имеет координаты: Т = -а_г , X_г = 0, Y_г = 0, Z_г = 0 ; и т.д.