"Начала" многомерной геометрии

Теперь через все эти восемь вершин проводим вспомогательные линии, параллельные оставшимся трём осям координат, - для каждой точки отдельно. Причём, учитывая, что положительные части осей на чертеже проведены сплошными линиями, а отрицательные части осей проведены пунктирными линиями, и то, что в этих вершинах именно эти три оси имеют значение ноль, надо вспомогательные линии, параллельные осям, проводить в соответствии их знаковым значениям: то есть эти точки являются границами между положительными и отрицательными частями этих вспомогательных линий.

Проведя все эти вспомогательные линии через точки A_Г , B_Г , C_Г , D_Г , E_Г , F_Г , G_Г и H_Г , на чертеже появятся шесть точек, в которых пересеклись по четыре вспомогательных линии. Вот они-то, эти шесть точек, и являются теми вершинами, лежащими на поверхности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба, в которых сходятся по четыре ребра, образующие четыре острых углов ромбов. Обозначим эти вершины: K, L, M, N, P и Q .

Итак, определены 14 вершин на поверхности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба. Вспомним, что две вершины (О₁ и О₂) этой проекции (3ПГК-4) совместились с центром О. Координаты всех 16-ти вершин трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба сведены в таблицу 2.2.

Для того, чтобы проще было представить себе тело трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба, даю промежуточный чертёж (рис. 2.4), где соединены только вершины, лежащие на поверхности 3ПГК-4.

Таблица 2.2.

Рис. 2.4.

А на рисунке 2.5 уже показаны и восемь внутренних рёбер, и чертёж трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба представлен в полном виде

Рис. 2.5.

Геометрические особенности трёхмерной проекции
четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4)

Давайте осмыслим геометрические особенности трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4), построенного с помощью трёхмерной проекции системы осей координат для четырёхмерного измерения.

На рис. 2.6 представлен чертёж 3ПГК-4, начерченный только по вершинам 3ПГК-4, без осей координат и вспомогательных линий; для удобства масштаб чертежа уменьшен в два раза.

Обратите внимание: через вершины трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) вписывается куб A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г . Это очень важный факт для осмысления 3ПГК-4. Рисунок 2.7 даёт очень наглядное представление о расположении вершин, рёбер, граней 3ПГК-4. Смотрите: восемь внутренних рёбер 3ПГК-4 (A_гO, B_гO, C_гO, D_гO, E_гO, F_гO, G_гO и H_гO) расположены на больших диагоналях вписанного в 3ПГК-4 куба, а четыре ребра 3ПГК-4 (E_гP, F_гP, G_гP и H_гP) образуют четырёхугольную пирамиду PE_гF_гG_гH_г с основанием квадрата E_гF_гG_гH_г , который является одной из шести граней вписанного в 3ПГК-4 куба. Причём, (что очень важно!) рёбра этой пирамиды параллельны большим диагоналям вписанного в 3ПГК-4 куба, т.е. PE_г || G_гA_г, PF_г || H_гB_г, PG_г || E_гC_г и PH_г || F_гD_г , при этом PE_г = G_гO, PF_г = H_гO, PG_г = E_гO и PH_г = F_гO (разумеется, в точке О совмещены две вершины О₁ и О₂). А из этого следует, что пирамида PE_гF_гG_гH_г геометрически равна пирамиде OE_гF_гG_гH_г .

Вершина Р является общей для шести граней-ромбов, равных между собой, причём четыре ромба (PE_гKF_г , PF_гNG_г , PG_гLH_г и PH_гQE_г) являются внешними гранями 3ПГК-4, а два ромба (PE_гOG_г и PF_гOH_г) являются внутренними гранями.

Рис. 2.6. Рис. 2.7.

В рисунке 1.1 показано, что 3ПГК-4 пересекают пять параллельных между собой плоскостей, равноотстоящих друг от друга. Так вот, по рисункам 2.6 и 2.7 расположение этих пяти плоскостей определится следующим образом: вторая плоскость (Р_II) проходит через вершины E_Г , F_Г , G_Г и H_Г ; четвёртая плоскость (Р_{I V}) проходит через вершины A_Г , B_Г, C_Г и D_Г ; третья плоскость (Р_Ш) проходит через вершины Q, K, O₁, O₂, N и L ; а первая (P_I) и пятая (Р_V) плоскости проходят через вершины P и M соответственно.

Итак, на примере только одной пирамиды PE_гF_гG_гH_г определены некоторые очень важные свойства трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). Но если учесть, что остальные пять пирамид, построенные на других пяти гранях вписанного куба, геометрически равны пирамиде PE_гF_гG_гH_г , то, осмыслив безупречную симметрию и гармонию 3ПГК-4, можно только изумляться совершенству трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба.

Совершенство трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) подтверждается и тем, что через вершины 3ПГК-4 можно построить не только вписанный куб A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г , но и описанный куб A'B'C'D'E'F'G'H' - через вершины P, Q, K, N, L и M (см. рис. 2.8). А через вершины нашего вписанного куба, как известно математикам, легко вписывается ещё одно «тело Платона» - тетраэдр. Кроме того, через шесть вершин 3ПГК-4 (P, Q, K, N, L и M) вписывается и ещё одно «тело Платона» - октаэдр (см. рис. 2.9). Рёбрами этого октаэдра являются 12 больших диагоналей ромбов - всех 12-ти внешних граней 3ПГК-4. А так как поверхность трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба состоит из 12-ти ромбов, то эта геометрическая фигура называется ещё ромбододекаэдром (см. рис. 2.8).

Предлагаю вашему вниманию рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13. Это одна и та же геометрическая фигура - трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4). В этих чертежах нет искажений, я старалась выполнить их точно. Вершины, обведённые кружками, - это совмещённые вершины. Не правда ли, как легко можно начертить 3ПГК-4 (рис. 2.12, рис. 2.13) ?!

Рис. 2.8. Рис. 2.9.

Рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 13 осей симметрии: семь осей симметрии проходят через 14 противоположных вершин, расположенных на поверхности 3ПГК-4 (PM, QN, LK, E_гC_г, F_гD_г, G_гA_г и H_гB_г), и шесть осей симметрии проходят через центры двенадцати противолежащих ромбов (граней), образующих поверхность 3ПГК-4.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет 9 плоскостей симметрии: PG_гC_гMA_гE_г , PF_гB_гMD_гH_г , NC_гD_гQE_гF_г, NB_гA_гQH_гG_г, KA_гD_гLG_гF_г , KE_гH_гLC_гB_г , PNMQ, PKML и KNLQ.

Трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба имеет три сферы с центром О₁О₂: большая сфера описывает вершины P, N, K, Q, L и M, средняя сфера описывает вершины A_г, B_г, C_г, D_г, E_г, F_г, G_г и H_г , а меньшая сфера вписывается через центры всех двенадцати граней (ромбов), образующих поверхность 3ПГК-4.

Об элементах, составляющихтрёхмерную проекцию четырёхмерного гиперкуба

Математики давно просчитали, что четырёхмерный гиперкуб (ГК-4) состоит из 16-ти вершин, 32-х рёбер, 24-х граней и 8-и кубов. Предложенная мною трёхмерная проекция четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) полностью соответствует этим расчётам (см. рисунки 2.5, 2.6, 2.10). Причём все рёбра, все грани и все кубы абсолютно равны между собой (геометрически, а не физически).

Вершины 3ПГК-4

3ПГК-4 содержит 16 вершин: A_г, B_г, C_г, D_г, E_г, F_г, G_г, H_г, O₁, O₂, K, L, M, N, P и Q. Координаты по четырём осям (X_г, Y_г, Z_г и T) всех 16-ти вершин 3ПГК-4 указаны в таблице 2.2. 14 вершин расположены на поверхности 3ПГК-4, а две вершины (О₁ и О₂) совмещены в центре 3ПГК-4.

Совмещённые две вершины О₁ и О₂ , я думаю, говорят нам о том, что (образно) наш трёхмерный куб в четырёхмерном пространстве под воздействием присущей этому пространству дополнительной, ещё неведомой нам энергии не просто перемещается, а ещё и вращается, вращается вокруг вершины (как, примерно, Земля, вращаясь вокруг своей оси, движется по орбите).

Говоря здесь о вершинах О₁ и О₂ , совмещённых в одну точку О, будем иметь в виду, что все ниже перечисленные свойства вершин присущи индивидуально и вершинам О₁ и О₂ , но совместившись в точке О, эти свойства количественно складываются.

Итак, каждая вершина 3ПГК-4 обладает следующими свойствами:

1) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по четыре ребра. При этом: в вершинах K, L, M, N, P и Q сходятся 4 внешних ребра (например, в вершине K сходятся рёбра KA_г, KB_г, KF_г и KE_г); в вершинах A_г, B_г, C_г, D_г, E_г, F_г, G_г и H_г сходятся по три внешних ребра и одно внутреннее ребро (например, в вершине А_г сходятся рёбра A_гK, A_гM, A_гQ и A_гO); в вершинах О₁ и О₂ сходятся по 4 внутренних ребра, всего в точке О сходятся восемь внутренних рёбер;

2) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по шесть граней, т.е. каждая вершина является общей вершиной для шести граней, например: а) в вершине Р сходятся грани PE_гKF_г, PF_гNG_г, PG_гLH_г, PH_гQE_г, PE_гO₁G_г и PF_гO₁H_г; б) в вершине E_г сходятся грани E_гQA_гK, E_гKF_гP, E_гPH_гQ , E_гQD_гO₂, E_гO₁G_гP и E_гKB_гO₂ ; в) в вершине O (O₁ и O₂) сходятся все 12 внутренних граней: A_гOF_гK, A_гOH_гQ , A_гOC_гM, B_гOE_гK, B_гOD_гM, B_гOG_гN, C_гOH_гL, C_гOA_гM, C_гOF_гN, D_гOG_гL, D_гOE_гQ и D_гOB_гM ;

3) в каждой вершине 3ПГК-4 сходятся по 4 куба. Например:

а) в вершине P сходятся 4 куба: PH_гQE_гF_гO₁A_гK, PE_гKF_гG_гO₁B_гN, PF_гNG_гE_гKB_гO₁ и PG_гLH_гE_гO₁D_гQ;

б) в вершине A_г сходятся 4 куба: A_гKE_гQO₂F_гPH_г, A_гMB_гKO₂C_гNF_г, A_гQD_гMKE_гO₂B_г и A_гQD_гMO₂H_гLC_г; в) как видим, центр O, т.е. точка совмещённых вершин O₁ и O_{2 ,} является общей вершиной для всех восьми кубов 3ПГК-4.

Рёбра 3ПГК-4

Ко всему, что сказано выше о рёбрах 3ПГК-4, можно добавить, что рёбра 3ПГК-4 обладают ещё и следующими свойствами:

1) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём граням. Например:

а) ребро PE_г принадлежит граням PE_гQH_г, PE_гKF_г и PE_гO₁G_г ;

б) ребро A_гK принадлежит граням A_гKB_гM, A_гKF_гQ и A_гKF_гO₂ ;

в) ребро O₂А_г принадлежит граням O₂A_гQH_г, O₂A_гMC_г и O₂A_гKF_г;

2) каждое ребро 3ПГК-4 принадлежит трём кубам. Например:

а) ребро PE_г принадлежит кубам PE_гQH_гG_гO₁D_гL, PE_гKF_гH_гQA_гO₁ и PE_гO₁G_гF_гKB_гN ;

б) ребро A_гK принадлежит кубам A_гKB_гMQE_гO₂D_г , A_гKE_гQO₁F_гPH_г и A_гKF_гO₂MB_гNC_г ;

в) ребро O₂A_г принадлежит кубам O₁A_гQH_гF_гKE_гP , O₂A_гMC_гH_гQD_гL и O₂A_гKF_гC_гMB_гN.

Единичная грань 3ПГК-4

Гранью трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) является ромб (см. рис. 2.15, 2.17).

Определимся с размерностью геометрических параметров ромба PE_гKF_г. Здесь нам очень помогут геометрические параметры вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г. Примем, что длина ребра ромба PE_гKF_г , а следовательно, и самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) равна величине «а»; длину малой диагонали E_гF_г ромба обозначим через «d», а длину большой диагонали PK ромба обозначим через «D».

Рисунки 2.14, 2.15, 2.16 и 2.17.

Из чертежа рис. 2.15 нетрудно заметить, что длина ребра «а» 3ПГК-4, а следовательно, и ромба, равна половине большой диагонали вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г ; малой диагональю (E_гF_г) ромба является ребро этого вписанного куба, а большой диагональю ромба (PK = D) является диагональ боковой грани (квадрата) этого вписанного куба.

Из вышесказанного, пользуясь теоремой Пифагора, можно написать: , т.е.

. (2.5)

Результаты простых расчётов взаимосоотношений главных определяющих параметров ромба (грани 3ПГК-4) a, d и D приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3.

Результаты расчётов, приведённые в таблице 2.3, потребуются для вычисления других геометрических параметров 3ПГК-4.

Гранью трёхмерной проекции гиперкуба любого n-мерного измерения (3ПГК-4, 3ПГК-5, 3ПГК-6, …, 3ПГК-n) является ромб и только ромб. Очень важной геометрической характеристикой ромба является соотношение его большой и малой диагоналей (D/d). В многомерной геометрии это соотношение для каждого измерения строго определённо и неизменно. Так, в квадрате (символ второго измерения) соотношение его диагоналей равно единице (1); грань трёхмерного куба также сохраняет это соотношение (1), т.к. его гранью является квадрат. Невозможно хотя бы слегка изменить соотношение диагоналей в квадрате - иначе квадрат теряет своё звание.

В 3ПГК-4 отношение большей диагонали ромба (грани) к меньшей определится:

(2.6)

Ко всему, что сказано о единичных гранях (ромбах) 3ПГК-4 в этой главе, надо добавить, что каждая единичная грань 3ПГК-4 принадлежит одновременно двум кубам. Например: 1) грань PH_гQE_г принадлежит кубу PH_гQE_гG_гLD_гO₁ и кубу PH_гQE_гF_гO₁A_гK ; 2) грань PE_гKF_г принадлежит кубу PE_гKF_гH_гQA_гO₁ и кубу PE_гKF_гG_гO₁B_гN.

Единичный куб 3ПГК-4

Как видно из чертежей рисунков 2.14, 2.15 и 2.16, единичные кубы трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (3ПГК-4) можно построить не только при вершинах A_г и B_г вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г, но и при остальных шести вершинах этого вписанного куба. Таким способом легко определить все восемь (8) единичных кубов, образующих 3ПГК-4.

Геометрические особенности единичного куба 3ПГК-4

Чтобы понять, как выглядит единичный куб 3ПГК-4, представьте себе трёхмерный куб с длиной ребра «а». Этот куб имеет 4 больших диагонали, равных между собой, длина которых равна . Так вот, теперь одну из этих больших диагоналей уменьшите до величины ребра куба (т.е. до величины «а») так, чтобы три других диагонали, увеличившись при этом по длине, были равны между собой. Вот вы и получили единичный куб 3ПГК-4.

Что-то мне не приходит на ум, как правильно назвать эту фигуру. Ромбогексаэдр? Или просто четырёхгранной призмой? Поправьте, пожалуйста, если я ошиблась.

Определим объём единичного куба B_гNC_гMKF_гO₂A_г трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба V_е.к. (см. рис. 2.18).

Рис. 2.18.

Так как по определению единичный куб 3ПГК-4 - это четырёхгранная призма, то её объём определится как произведение площади основания этой призмы на высоту этой призмы. Примем за основание этой призмы грань B_гNC_гM. Площадь единичной грани 3ПГК-4 (S_е.г.), которой является ромб B_гNC_гM, равна половине произведения диагоналей этого ромба, т.е.

. (2.8)

Из таблицы 2.3 возьмём значение D через d: и выразим S_е.г. только через d:

(2.9)

Высотой h в этой четырёхгранной призме является отрезок В_гТ, т.е. h = B_гT. Из равнобедренного прямоугольного треугольника A_гB_гF_г (где A_гB_г = B_гF_г = d и A_гF_г = D) легко определить, что отрезок B_гT = h равен 1/2•A_гF_г и является собственно половиной диагонали B_гE_г = D (см. рис. 2.15) в грани (квадрате) A_гB_гF_гE_г вписанного в 3ПГК-4 куба. Следовательно,

. (2.10)

Тогда объём четырёхгранной призмы B_гNC_гMKF_гO₂A_г, т.е. объём единичного куба 3ПГК-4 (V_е.к.) определится:

. (2.11)

Замечательно, что величина «d³» - это объём вписанного в 3ПГК-4 куба A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г, ребро которого обозначено через d.

Итак, вычислено, что объём единичного куба 3ПГК-4 (V_е.к.) равен половине объёма вписанного в 3ПГК-4 куба.

Объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 соответственно определится:

. (2.12)

Определим объём тела трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (V_3ПГК-4). Вернёмся к рис. 2.7 и 2.15.

При обсуждении чертежа на рис. 2.7 было доказано, что четырёхугольная пирамида PE_гF_гG_гH_г геометрически равна пирамиде O₁E_гF_гG_гH_г. При этом следует иметь в виду, что пирамида PE_гF_гG_гH_г - внешняя по отношению к вписанному в 3ГПК-4 кубу и таких внешних пирамид - шесть, но ведь и сам вписанный в 3ПГК-4 куб состоит из шести внутренних четырёхугольных пирамид. А так как все двенадцать пирамид геометрически равны между собой, то общий объём шести внешних пирамид также равен объёму вписанного в 3ПГК-4 куба, следовательно, объём 3ПГК-4 равен удвоенному объёму вписанного в него куба, т.е.:

. (2.13)

Это самый лёгкий и очевидный способ определения объёма 3ПГК-4. Есть и другие способы.

Объём восьми единичных кубов (4d³) больше объёма самой трёхмерной проекции четырёхмерного гиперкуба (2d³) ровно в два раза. Почему? Давайте разберёмся, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4 и между собой.

Чтобы понять, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4, рассмотрим чертежи на рис. 2.19.

Рис. 2.19.

Из тела 3ПГК-4 (рис. 2.19, а) выделен единичный куб при вершине B_г (B_гNC_гMKF_гO₂A_г) (рис. 2.19, б), который, в свою очередь, состоит из трёх геометрически равных между собой четырёхугольных пирамид с общей вершиной O₂: O₂B_гKA_гM, O₂B_гNF_гK и O₂B_гNC_гM (рис. 2.19, в, г, д). Основаниями этих пирамид служат находящиеся на поверхности 3ПГК-4 грани (ромбы) выделенного единичного куба. Соблюдаются также следующие равенства боковых рёбер этих пирамид: O₂B_г = O₂A_г = O₂F_г = = O₂C_г = a и O₂K = O₂M = O₂N = d. Все эти пирамиды имеют ту же высоту h, что и сам единичный куб, т.е. четырёхугольная призма.

Вычислим объём одной пирамиды V_пир. с помощью формул (2.9) и (2.10):

, (2.14)

что подтверждает, что объём пирамиды в три раза меньше объема единичного куба.

Так как внешних граней в 3ПГК-4, образующих её поверхность
(S_3ПГК-4), 12 и каждая из этих 12-ти граней является основанием пирамиды с вершиной в точке O, то суммарный объём всех этих 12-ти пирамид определит объём 3ПГК-4:

. (2.15)

Вот вам второй способ определения объёма 3ПГК-4.

Площадь поверхности 3ПГК-4 определится таким образом:

. (2.16)

Но вернёмся к теме обсуждения.

Выделенный при вершине B_г единичный куб B_гNF_гKMC_гO₂A_г каждой третью своей делит (т.е. совмещает) свой объём с тремя единичными кубами, расположенными при вершинах A_г, F_г и C_г :

1) c единичным кубом A_гMD_гQKB_гO₂E_г - совмещённый объём в виде пирамиды O₂B_гKA_гM ;

2) с единичным кубом F_гNG_гPKB_гO₁E_г - совмещённый объём в виде пирамиды O₂B_гNF_гK ;

3) с единичным кубом C_гMB_гNLD_гO₂G_г - совмещённый объём в виде пирамиды O₂B_гNC_гM. Следует заметить, что в вписанном в 3ПГК-4 кубе A_гB_гC_гD_гE_гF_гG_гH_г вершины A_г, F_г и C_г являются ближайшими к вершине B_г.

Таким образом, доказано, что каждый единичный куб 3ПГК-4 каждой третью своего объёма совмещает своё пространство (объём) с тремя другими близлежащими единичными кубами.

Вот поэтому суммарный объём всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 () больше объёма самой 3ПГК-4 () в два раза.

Ещё два свойства единичных кубов 3ПГК-4:

1) каждый единичный куб 3ПГК-4 имеет по одной грани, общей с шестью из семи других единичных кубов. Так, единичный куб B_гNC_гMKF_гO₂A_г не имеет общей грани только с единичным кубом H_гQE_гPLD_гO₁G_г , при этом заметим, что вершины в этих единичных кубах B_г и H_г , N и Q, C_г и F_г , M и P, K и L, F_г и D_г , A_г и G_г - диаметрально противоположные; и только восьмая пара вершин O₁ и O₂ в этих единичных кубах является одной совмещённой вершиной, т.е.:

2) все восемь единичных кубов 3ПГК-4 имеют общую вершину, в которой совмещены две вершины - O₁ и O₂ .

Результаты расчётов основных геометрических параметров 3ПГК-4, выраженные через элементы ромба (единичной грани 3ПГК-4), представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4.

Уважаемые профессиональные математики!

Следующими главами работы ««Начала» геометрии многомерных измерений» должны быть о пятимерном гиперкубе, шестимерном, семимерном гиперкубах и т.д., в которых надо определить все особенности их строения и вычислить все геометрические параметры трёхмерных проекций 3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д., - как это было сделано в этой главе относительно 3ПГК-4.

Могу сообщить, что трёхмерная проекция уже шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) откроет вам новые особенности строения 3ПГК-n.

Очень хочется, чтобы эта тема исследования кому-то стала интересной и близкой.

Мне очень хотелось бы узнать мнение об этой работе профессиональных математиков. Вы можете написать мне на мой электронный адрес.

Размещено на Allbest.ru