Высшая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ

челябинский институт ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ

ВАЛЕЕВА З.С., НЕУПОКОЕВ В.А., ВАЛЕЕВ Г.А.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЧЕЛЯБИНСК

2006

УДК 510(022)(075)

В152

Валеева З.С., Неупокоев В.А., Валеев Г.А.

Высшая математика. Учебное пособие. ЧИПС

Челябинск 2006.103с.

Пособие включает элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и основы математического анализа (дифференцирование функций и их исследование), функцию нескольких переменных, неопределенные, определенные и несобственные интегралы, а также дифференциальные уравнения.

Предназначено для студентов очной, заочной форм обучения.

Рецензенты: В.Н. Ни, доктор физико - математических наук, профессор, академик РАЕН;

Г.В. Савельев, кандидат технических наук, профессор

Одобрено учебно - методическим советом Челябинского института путей сообщения.

@ Филиал Уральского государственного университета путей сообщения.

Челябинский институт путей сообщения,2006

Введение

Курс «Высшая математика» является фундаментальным курсом необходимым как при изучении курсов математического цикла, так и при изучении специальных курсов основ железнодорожного транспорта, изучающих конкретные задачи прикладного характера, а также экономики, финансов и бизнеса.

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов дневного, а также заочного обучения при их самостоятельном освоении курса “Высшая математика”.

Целью курса является формирование у студентов математического аппарата необходимого для решения теоретических и практических задач и умения самостоятельно изучать литературу по математическому анализу.

Задачи дисциплины:

Получение теоретических знаний по ряду разделов математики.

Практическое освоение приемов и методов решения математических задач, имеющих применение при рассмотрении вопросов в других дисциплинах учебного плана.

Краткая характеристика дисциплины

Курс включает элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и основы математического анализа (дифференцирование функций и их исследование), функцию нескольких переменных, неопределенные, определенные и несобственные интегралы, а также дифференциальные уравнения.

Курс ориентирован на приобретение теоретических знаний и практических навыков в решении задач по математике.

Учебная программа по высшей математике ведется в форме лекций, практических занятий и самостоятельной работы студентов. Теоретические положения предмета даются на лекциях.

На практических занятиях студенты осваивают приемы решения задач. Каждое практическое занятие способствует развитию активного применения полученных на лекциях теоретических знаний. Это позволит эффективно закреплять теоретические знания и использовать их в практической работе и исследовательской деятельности студентов.

При изучении курса предусмотрена самостоятельная работа, которая включает: изучение основной и дополнительной литературы, учебных пособий, конспектов лекций и практических занятий, а также выполнение домашних заданий с решением примеров и задач по каждому разделу изучаемого курса.

Проверка знаний осуществляется в виде проверки выполнения домашних заданий, проведения контрольных работ, а также в ходе экзаменов, на которых определяется итоговый уровень знаний студентов по пройденным разделам курса.

Требования к экзаменам. К экзаменам допускаются студенты, отработавшие на практических занятиях или самостоятельно (для студентов заочного обучения) основные вопросы учебных тем программы и получившие положительные оценки по контрольным работам.

При подготовке к экзаменам студент должен:

1. Освоить основные понятия и определения линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа; функции нескольких переменных, неопределенных, определенных и несобственных интегралов, а также дифференциальных уравнений

2. Научиться решать математические задачи по пройденным темам учебной программы и подтвердить свое умение самостоятельным их решением в присутствии преподавателя.

Студент должен знать:

Элементы линейной алгебры: линейные уравнения, системы линейных уравнений, матрицы и определители, их свойства и действия над ними, методы решения систем линейных уравнений.

Основные понятия векторной алгебры: векторы, проекции векторов на координатные оси, представления векторов в координатной форме, линейные операции над векторами геометрически и аналитически с помощью координат, скалярное и векторное произведения векторов и их свойства.

Основные понятия аналитической геометрии: координаты точек, координатная форма представления линий и поверхностей с помощью алгебраических уравнений, формы записи уравнений прямых линий и линий второго порядка на плоскости, а также уравнений прямой и плоскости в пространстве.

Основные понятия математического анализа: функция, аргумент, ее область определения, пределы функции в точке и на бесконечности, непрерывность функции, точки разрыва, производная функции, ее физический и геометрический смысл, основные правила дифференцирования, основные теоремы дифференциального исчисления, исследование функций и построение их графика.

Определение функции двух переменных. Понятие частных производных и способы нахождения локального экстремума и наибольшего значения функции двух переменных.

Определения первообразной, неопределенного, определенного и несобственного интегралов. Их основные свойства. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки или замены переменной, интегрирование по частям.

Формулу Ньютона-Лейбница. Геометрические и физические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, определение работы переменной силы на прямолинейном отрезке.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задачу и теорему Коши о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений.

Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные уравнения.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка, его общее и частное решения. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Студент должен уметь:

1. Вычислять определители матриц, выполнять различные действия с матрицами, решать системы линейных уравнений методами Крамера, Гаусса и матричным методом с помощью обратных матриц.

2. Выполнять линейные операции над векторами (находить сумму, разность векторов, произведение вектора на скаляр) как геометрическим построением, так и аналитически с помощью их координат, находить скалярное и векторное произведения векторов.

3. Составлять уравнения прямых линий и преобразовывать эти уравнения из одного вида в другой; находить точки пересечения линий, заданных уравнениями; определять параллельность и перпендикулярность прямых, а также находить угол между ними. Строить линии второго порядка - окружность, эллипс, параболу, гиперболу. Составлять уравнения прямых линий и плоскости в пространстве и строить их в прямоугольной системе координат.

4. Находить пределы функций в точке и на бесконечности. Вычислять производные различных функций; проводить исследование функций и строить их графики.

5. Выполнять дифференцирование функции двух переменных - находить частные производные и определять локальные экстремумы этих функций.

6. Вычислять неопределенные, определенные и несобственные интегралы. Решать геометрические и физические задачи по вычислению площади плоских фигур и определению работы переменной силы на прямолинейном отрезке.

7. Находить общее и частное решения основных видов дифференциальных уравнений 1-го порядка (уравнений с разделяющимися переменными, однородных и линейных уравнений), а также дифференциальных уравнений 2-го порядка (уравнений, допускающих понижения порядка, и линейных уравнений).

1. Элементы линейной алгебры

1.1 Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

Система линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

(1),

где x, у - неизвестные, аi,j - коэффициенты при неизвестных х,у; индексы: i=1,2- определяет номер уравнения, j=1,2 - определяет номер неизвестного; b1, b2 - свободные члены уравнения.

Дадим ряд определений.

Определение: Решением системы линейных уравнений (1) называется пара чисел (х0,у0), при подстановке которой в эту систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система называется несовместной, если она не имеет решений.

Определение: Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределенной, если она имеет несколько решений.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Геометрически система уравнений с двумя неизвестными задает две прямые на плоскости.

При этом возможны 3 случая:

1) прямые пересекаются в одной, единственной точке - в этом случае система имеет единственное решение, она совместна и определена;

2) прямые совпадают, имеется бесконечное множество совместных точек - в этом случае система совместна, но не определена;

3) прямые параллельны и общих точек пересечения нет - в этом случае система несовместна и решений не имеет.

Введем понятие матрицы и определителя второго порядка.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение: Квадратной матрицей 2-го порядка называется таблица чисел, которая состоит из 2-х строк и 2-х столбцов и обозначается:

А = ,

где аi,j - называются элементами матрицы, индексы: i = 1, 2 - определяет номер строки, j = 1, 2 - номер столбца.

Элементы а11а22 образуют главную диагональ матрицы, а элементы а12а21 образуют побочную диагональ матрицы.

Каждая матрица характеризуется своим определителем.

Определение: Определителем матрицы 2-го порядка называется число, которое определяется по методу диагоналей - как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель 2-го порядка обозначается и вычисляется по следующей схеме:

.

Пример. Вычислить определитель матрицы A =

Решение: = 3(-6) - (-1)2 = -16.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1.Определитель не изменится, если его строки и столбцы поменять местами:

.

2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак на противоположный:

.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю:

.

4. Определитель равен нулю, если все элементы какой-нибудь строки или столбца равны нулю:

.

5.Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя:

.

6. Если строка или столбец определителя состоит из двух слагаемых или разности, то определитель можно разложить на два определителя:

.

7. Определитель не изменится, если к элементам любой строки или столбца прибавить или отнять соответствующие элементы другой строки или

столбца, умноженные на одно и тоже число:

.

Рассмотренные выше свойства определителей 2-го порядка распространяются на определители более высокого порядка.

Перейдем к решению системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера.

Систему (1) путем последовательного исключения неизвестных х и у приведем к равносильной (эквивалентной) системе (2), имеющей одинаковые решения с исходной системой (1).

Действительно, если умножить 1-е уравнение системы (1) на коэффициент а22, а 2-е уравнение на коэффициент а12 и вычтем из 1-го, исключим тем самым неизвестную у. Аналогичным образом исключив из уравнений неизвестную х, получим равносильную системы (2): (2)

Перепишем эту систему через определители 2-го порядка в виде:

(2),

где - называется определителем системы;

- называется определителем неизвестного х;

- называется определителем неизвестного у.

Определители неизвестных получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при неизвестном на столбец свободных членов.

При решении системы (2) возможны 3 случая при выполнении следующих условий:

1. Если определитель системы (2) , то, поделив обе части уравнений системы на , получим единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

.

При первом условии система имеет единственное решение, она совместна и определена. Прямые пересекаются в одной точке с координатами М(х0, у0).

2. Если определитель системы и определители неизвестных также = 0, то система (2) имеет вид: и при любых значениях х и у имеем верные числовые тождества.

При втором условии система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Прямые совпадают друг с другом.

3. Если определитель системы , а хотя бы один из определителей неизвестных или или , то система (2) имеет вид: , что невозможно при любых значениях х и у.

При третьем условии система решения не имеет, она не совместна. Прямые параллельны друг другу и общих точек пересечения не имеют.

Метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей называется методом Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение:1) Вычислим определители системы и неизвестных , х и у.

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

х0 ; у0 =

Проверка: (верно).

Ответ: (х0=6, у0=4) -координаты точки пересечения прямых.

1.2 Решение системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

(3),

где aij- коэффициенты при неизвестных х, у и z, индексы: i = 1,2,3 - определяют номер уравнения и j = 1,2,3 - номер неизвестного.

Определение: Решением системы уравнений (3) называется тройка чисел (х0,у0,z0), при подстановке которой в эту систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ уравнений с тремя неизвестными

Геометрически система уравнений (3) задает 3 плоскости в пространстве.

При этом возможны 3 случая:

1) плоскости пересекаются в единой точке с координатами (x0,y0,z0), система в этом случае имеет единственное решение - она совместна и определена;

2) плоскости совпадают друг с другом - система имеет бесконечное множество решений, т.е. она совместна, но не определена;

3) плоскости параллельны друг другу и общих точек пересечения не имеют - система несовместна и решений не имеет.

Данную систему (3) можно решить методом Крамера с помощью определителей третьего порядка.

Введем понятие матрицы и определителя третьего порядка.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Определение: Квадратной матрицей 3 -го порядка называется таблица чисел, которая состоит из 3-х строк и 3-х столбцов и обозначается:

А = ,

где аi,j - называются элементами матрицы, индексы: i = 1, 2, 3 - определяет номер; строки, j = 1, 2, 3 - номер столбца. Элементы а11а22а33 образуют главную диагональ матрицы, а элементы а13а22а31 образуют побочную диагональ матрицы.

Каждая матрица характеризуется своим определителем.

Определение: Определителем матрицы 3-го порядка называется число, которое вычисляется методом диагоналей - как разность суммы произведений элементов главных диагоналей и суммы произведений элементов побочных диагоналей.

Определитель 3-го порядка обозначается и вычисляется по следующей схеме:

Существует другой, универсальный способ вычисления определителей 3-го порядка, который называется методом разложения и реализуется по следующей схеме:

Данная формула называется формулой разложения по элементам 1-ой строки. Эта формула позволяет вычисление определителя 3-го порядка свести к вычислению определителей 2-го порядка.

Для раскрытия сущности этой формулы введем два понятия - минора и алгебраического дополнения.

Определение: Минором Мij элемента aij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, полученный путем вычеркивания i - строки и j - столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Так, для a11 соответствует минор M11 =, для a12 - минор M12=, а для а13- минор M13 =.

Определение: Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется его минор Мij, взятый со знаком +, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная и со знаком - , если эта сумма нечетная, т.е.: Aij = (-1)i+jMij.

Например: A11 = (-1)1+1M11 = M11; A12 = (-1)1+2M12 = -M12; A13 = (-1)1+3 M13 = M13.

Схема чередования знаков миноров для соответствующих элементов матрицы: .

Исходя из этих понятий, формулу разложения по элементам 1-ой строки при вычислении определителя 3-го порядка можно записать так:

.

Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу и равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Этот способ вычисления определителей называется методом разложения. Он универсален и применим для определителей любого порядка.

Перейдем к решению системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.

Систему: (3) путем последовательного исключения неизвестных х, у и z можно привести к равносильной (эквивалентной) системе (4), имеющей одинаковые решения с исходной системой (3): (4), где - определитель системы, , , - определители неизвестных x, y, z, которые получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при неизвестном на столбец свободных членов.

При решении системы (4) возможны 3 случая при выполнении следующих условий:

Если определитель системы , то, поделив обе части уравнений системы на , найдем неизвестные по формулам Крамера:

При первом условии система имеет единственное решение, она совместна и определена. Три плоскости пересекаются в одной точке с координатами (х0, у0, z0).

1. Если определитель системы и все определители неизвестных , то имеем и при любых значениях x, y и z имеем верное тождество.

При втором условии система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Плоскости совпадают друг с другом.

2. Если определитель системы , а определители неизвестных могут быть или или , то имеем:, что невозможно при любых значениях х и у.

При третьем условии система решения не имеет, она не совместна. Плоскости параллельны друг другу и общих точек не имеют.

Метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей называется методом Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

1.

Решение:

1) Вычислим определители системы и неизвестных , х, у и z.

а) методом разложения по 1-ой строке:

б) методом диагоналей:

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

х0 ; у0 = z0 =

Проверка: (верно).

Ответ: (х0=0, у0= -1, z0=2)-точка пересечения плоскостей.

1.3 Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

Рассмотрим систему линейных уравнений с многими переменными:

, (5)

где aij- коэффициенты при неизвестных хi; bi-свободные члены;

индексы: i = 1,2,3…m- определяют номер уравнения и j = 1,2,3...n- номер неизвестного.

Определение: Решением системы уравнений (5) называется совокупность n чисел (х10, х20,….хn0), при подстановке которых в систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение (х10, х20,….хn0), и неопределенной, если таких решений несколько.

Определение: Система называется несовместной, если она не имеет решения.

Определение: Таблицы, составленные из числовых коэффициентов (aij) и свободных членов (bi) системы уравнений (5), называются матрицей системы (А) и расширенной матрицей (А1), которые обозначаются в виде:

А= и А1=.

Определение: Матрица системы А, имеющая неравное число строк и столбцов (n?m), называется прямоугольной. Если число строк и столбцов совпадает (n=m), то матрица называется квадратной.

Если в системе число неизвестных равно числу уравнений (n=m), то система имеет квадратную матрицу n-го порядка.

Выделим в матрице А k-произвольных строк и k-произвольных столбцов (km, kn).

Определение: Определитель k-порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-порядка матрицы А.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А. Если все миноры (k+1)-порядка равны нулю, а хотя бы один из миноров k-порядка не равен нулю, то говорят, что матрица имеет ранг равный k.

Определение: Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Ранг матрицы обозначается через r(A).

Определение: Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным.

Определение: Если для двух матриц А и В их ранги совпадают r(A)= r(В), то эти матрицы называются эквивалентными и обозначаются А В.

Ранг матрицы не изменится от элементарных, эквивалентных преобразований, которые включают:

1. Замену строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;

2. Перестановку строк или столбцов местами;

3. Вычеркивание строк или столбцов, все элементы которых равны нулю;

4. Умножение или деление строки или столбца на число, отличное от нуля;

5. Прибавление или вычитание элементов одной строки или столбца из другой, умноженной на любое число.

При определении ранга матрицы используют эквивалентные преобразования, с помощью которых исходную матрицу приводят к ступенчатой (треугольной) матрице.

В ступенчатой матрице под главной диагональю располагаются нулевые элементы, причем первый ненулевой элемент каждой её строки, начиная со второй, расположен правее первого неравного нулю элемента предыдущей строки.

Отметим, что ранг матрицы равен числу ненулевых строк ступенчатой матрицы.

Например, матрица А= - ступенчатого вида и её ранг равен числу ненулевых строк матрицы r(A)=3. Действительно, все миноры 4-го порядка с нулевыми элементами 4-ой строки равны нулю, а миноры 3-го порядка отличны от нуля. Для проверки вычислим определитель минора первых 3-х строк и3-х столбцов:

М=

Любую матрицу можно привести к ступенчатой путем обнуления элементов матрицы под главной диагональю с помощью элементарных действий.

Вернемся к исследованию и решению системы линейных уравнений (5).

Важную роль в исследовании систем линейных уравнений играет Теорема Кронекера-Капели. Сформулируем эту теорему.

Теорема Кронекера-Капели: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы А1, т.е. r(A)=r(A1). В случае совместности система является определенной, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных, т.е. r(A)=r(A1)=n и неопределенной, если этот ранг меньше числа неизвестных, т.е. r(A)= r(A1)<n.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений:

Решение:

Определим ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А1. Для этого составим расширенную матрицу А1 и приведем её к ступенчатому виду.

При приведении матрицы выполним следующие действия:

1) вычтем из 2-ой строки 1-ю строку;

2) вычтем из 3 и 4 строк 1-ю строку, умноженную на 4;

3) умножим 4-ю строку на (-1) и поменяем местами со 2-ой строкой;

4) сложим 3 и 4 строки со 2-й строкой, умноженной соответственно на 5 и 4;

5) вычитаем из 4-ой строки 3-ю и вычеркиваем 4-ю строку с нулевыми элементами.

А1=~~~

~~~

В результате выполненных действий получили ступенчатую матрицу с тремя ненулевыми строками как в матрице системы (до черты), так и в расширенной матрице. Откуда видно, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен 3, но меньше числа неизвестных (n=4).

Ответ: т.к. r(A)=r(A1)=3<n=4, то согласно теореме Кронекера-Капели система совместна, но не определена, имеет бесконечное множество решений.

В связи с тем, что ранг матриц удобно определять путем приведения их к ступенчатому виду, рассмотрим способ решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

метод Гаусса

Сущность метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных путем приведения к ступенчатому виду расширенной матрицы А1, которая включает до черты матрицу системы А. При этом одновременно определяются ранги матриц А, А1 и проводится исследование системы по теореме Кронекера-Капели. На последнем этапе решают систему уравнений ступенчатого вида, делая подстановки снизу вверх найденных значений неизвестных.

Рассмотрим применение метода Гаусса и теоремы Кронекера-Капели на примере.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Определим ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А1. Для этого составим расширенную матрицу А1 и приведем её к ступенчатому виду. При приведении выполним следующие действия:

1) вычтем из 2-ой строки 1-ю строку;

2) вычтем из 3-ей строки 1-ю строку, умноженную на 2;

3) разделим 2-ю строку на (-2),а 3-ю строки умножим на (-1) и поменяем их местами.

А1=~~~

Получили ступенчатую матрицу, у которой число строк равно 3, причем у матрицы системы (до черты) также нет нулевых сток. Следовательно, ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны 3 и равны числу неизвестных, т.е. r(A)=r(A1)=n=3.. Согласно теореме Кронекера-Капели система совместна и определена, имеет единственное решение.

В результате преобразования матрицы А1, обнуляя коэффициенты при неизвестных, последовательно исключили их из уравнений и получили ступенчатую (треугольную) систему уравнений:

--

Двигаясь последовательно снизу вверх, подставляя решение (х3=1) из третьего уравнения во второе, а решения (х2=1, х3=1) из второго и третьего уравнений в первое, получим решение системы уравнений: х1=1,х2=1, х3=1.

Проверка: -(!) Ответ: (х1=1,х2=1, х3=1).

метод Жордано-Гаусса

Данную систему можно решить усовершенствованным методом Жордано-Гаусса, который заключается в том, что матрицу системы А в расширенной матрице (до черты) приводят к единичной матрице: Е= с единичными диагональными и нулевыми недиагональными элементами и получают сразу решение системы без дополнительных подстановок.

Решим рассмотренную выше систему методом Жордано-Гаусса. Для этого преобразуем полученную ступенчатую матрицу в единичную, выполнив следующие действия:

1) вычтем из 1-ой строки 2-ю строку;

2) сложим с 1-ой строкой 3-ю строку, умноженную на 3;

3) вычтем из 2-ой строки 3-ю строку, умноженную на 4.

А1=~~

Исходная система уравнений свелась к системе:, которая и определяет решение.

основные действия с матрицами

Пусть даны две матрицы: А= B=.

1. Матрицы равны А=В, если равны их одноименные элементы:aij=bij

2. Суммой (разностью) матриц (А ± В) называется матрица, определяемая равенством:

А±В=±=.

При суммировании (вычитании) матриц складываются (вычитаются) их одноименные элементы.

3. Произведением числа k на матрицу A называется матрица, определяемая равенством:

kA=k=.

При умножении матрицы на число умножаются на это число все элементы матрицы.

4. Произведением матриц АВ называется матрица, определяемая равенством:

АВ=*=.

При умножении матриц элементы строк первой матрицы умножаются на элементы столбцов второй матрицы и суммируются, причем элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки первой матрицы и j-м столбца второй матрицы.

При умножении матриц в общем случае переместительный закон не действует, т.е. АВ?ВА.

5. Транспонированием матрицы А называется действие, приводящее к замене строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками.

Матрица АТ= называется транспонированной матрицей для матрицы А=.

Если определитель матрицы А не равен нулю (Д?0), то такую матрицу называют невырожденной. Для всякой невырожденной матрицы А существует обратная матрица А-1, для которой выполняется равенство: А-1 А= А А-1=Е, где Е=- единичная матрица.

6. Обращением матрицы А называется такие действия, при которых получается обратная матрица А-1

При обращении матрицы А выполняются следующие действия:

1. Вычисляется определитель матрицы Д?0;

2. Для каждого элемента aij путем вычеркивания i-строки и j-столбца определяются миноры Mij и вычисляются их алгебраические дополнения Aij==(-1)I+j Mij

3. Cоставляется матрица из алгебраических дополнений (Aij) и транспонируется (Aij)Т.

4. Составляется обратная матрица по формуле:

А-1==

матричный метод решения системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных уравнений c n неизвестными, имеющей вид:

(6)

Составим квадратную матрицу системы:

А=.

Таблица чисел, состоящая только из одного столбца называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.

Введем матрицы-столбцы для неизвестных и свободных членов:

Х=.

Используя основные действия над матрицами, систему линейных уравнений (6) можно представить в матричном виде: А*Х = В (7).

Так, для системы с двумя неизвестными матричный вид будет:

А*Х=В *

Матричное представление системы позволяет непосредственно получить её решение с использованием обратной матрицы.

Действительно, умножим обе части матричного уравнения (7) на обратную матрицу А-1, получим: А-1АХ= А-1В. Учитывая, что А-1А=Е - единичная матрица и Е*Х=Х, окончательно получим решение системы линейных уравнений в матричном виде:Х=А-1*В- это формула решения системы линейных уравнений матричным методом с помощью обратной матрицы.

Пример: Решить систему уравнений матричным методом:

Решение: 1)Составим матрицу системы:

А=;

2)Вычислим определитель системы :

3) Вычислим алгебраические дополнения матрицы системы:

А11=(-1)2=1-12= -11; А12=(-1)3=-2+9=7 А13=(-1)4=8-3=5

А21=(-1)3=2+4=6 А22=(-1)4=1-3=-2 А23=(-1)5=-4-6=-10

А31=(-1)4=-6-1=-7 А32=(-1)5=-3+2=-1 А33=(-1)6=1+4=5

4) Составим обратную матрицу:

А-1===

5) Находим матрицу-столбец решений по формуле: Х=А-1В

=*=

6) Выписываем решение системы: х0=0; у0=-1;z0=2

Проверка: (верно).

Ответ: (х0=0; у0=-1;z0=2) - координаты точки пересечения плоскостей

2. элементы Векторной алгебры

2.1 векторные и скалярные величины

Величины бывают скалярные и векторные.

Скалярные величины задаются только их численным значением. К скалярным величинам относят такие величины как: температура, работа, длина, площадь, объем и т. д. Скаляр - это число.

Векторные величины характеризуются как численным значением (длиной), так и направлением в пространстве. К векторным величинам относят: силу, скорость, ускорение и т.д.

Дадим ряд определений.

Определение: Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий начало и конец.

Вектор обозначается =, где А - начало или точка приложения вектора, В - конец вектора. Вектор показывается отрезком со стрелкой на конце:

B

A

Вектор характеризуется длиной и направлением в пространстве.

Определение: Длина вектора называется модулем вектора и обозначается:

.

Определение: Векторы и называются коллинеарными (), если они лежат на одной или параллельных прямых.

Определение: Векторы и называются равными (=), если выполняются три условия:

они коллинеарны;

имеют равные модули; =

сонаправлены.

Определение: Векторы и называются противоположными, если выполняются три условия:

они коллинеарны ;

имеют равные модули;

противоположно направлены.

Определение: Векторы называются свободными, если их можно перемещать в пространстве параллельно самим себе.

Далее рассматриваем свободные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. Компланарные векторы всегда можно свести в одну плоскость.

Определение: Векторы называются ортогональными, если они взаимно перпендикулярны друг другу.

2.2 геометрические методы линейных операций над векторами

К линейным операциям над векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение их на число (на скаляр). Линейные операции над векторами могут выполняться геометрическими методами и аналитическим способом с помощью координат векторов.

Рассмотрим геометрические методы.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала первого в конец второго , при условии, что второй вектор приложен к концу первого.

Метод сложения векторов, данный в определении называется методом треугольника.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сложения векторов можно выполнять также методом параллелограмма, в котором слагаемые векторы прикладывают в одну точку. По этим векторам, как по сторонам строят параллелограмм и их суммой является вектор, идущий по диагонали из общей точки в противоположную вершину.

При сложении нескольких векторов используется метод многоугольника, который заключается в последовательном применении метода треугольника и сумма векторов представляет собой вектор, идущий из начала первого в конец последнего, когда каждый следующий вектор прикладывается к концу предыдущего. Например, сумма представляет собой вектор, идущий из начала в конец вектора .

Свойства суммы векторов:

1. Переместительное свойство: ;

2. Сочетательное свойство: .

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение: Разностью двух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор , т.е. .

Геометрически разность векторов это вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , если эти векторы приложены к одной точке. При чем вектор является второй диагональю в параллелограмме.

Часто вычитание векторов заменяется на сложение с использованием противоположного вектора (), при этом применяется метод треугольника.

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (СКАЛЯР )

Определение: Произведением вектора на число k называется вектор , который

коллинеарен вектору , т.е. ¦;

имеет длину ;

сонаправлен вектору , если k>0 или противоположно направлен, если k<0.

Геометрически операция умножения вектора на число приводит либо к удлинению (при k>1), либо к укорочению (при 0<k<1), либо к изменению направления на противоположное (при k<0). При этом результирующий вектор всегда коллинеарен вектору , т.е. ¦. Исходя из последнего вытекает условие коллинеарности векторов.

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны , если они пропорциональны друг другу, т.е. выполняется условие: .

Пример: Дан вектор . Построить вектора 1,5 и -1/3.

1,5 -1/3

Свойства операции умножения вектора на число

1. Распределительное свойство относительно суммы (разности) векторов:

;

2. Распределительное свойство относительно числовых множителей:

;

3. Сочетательное свойство относительно числовых множителей:

.

Линейные операции над вектором можно выполнять аналитическим способом с помощью координат векторов, не прибегая к геометрическим построениям.

Перейдем к координатной форме векторов.

2.3 Координатная форма векторов

Введем понятия компоненты и проекции вектора на координатную ось Ох.

Пусть координатная ось Ох задана началом координат (точкой О), положительным направлением оси Ох и единичным масштабным отрезком. Масштаб и положительное направление оси зададим в виде единичного вектора-орта , имеющего единичную длину и направленного вдоль положительного направления координатной оси.

Из начала и конца вектора опустим на ось Ох перпендикуляры. Координаты хн, хк - являются координатами проекций Ах и Bx начала и конца вектора.

B

A

хН хК

O x

Определение: Компонентой (или составляющей) вектора на координатную ось Ох называется вектор: , идущий из проекции начала в проекцию конца вектора.

Определение: Проекцией (или координатой) вектора на координатную ось Ох называется число: , равное длине его компоненты , взятое со знаком "+", если направление компоненты совпадает с положительным направлением координатной оси и со знаком "-", если направление компоненты противоположно положительному направлению координатной оси Ох.

Если известны координаты начала хн и конца хк вектора, то проекция или координата вектора определяется как разность координат конца и начала . Если известен угол наклона вектора к координатной оси Ох, то проекция вектора , где - модуль (длина) вектора, - угол наклона.

Компоненту вектора на координатную ось можно выразить через проекцию в виде: - это формула связи компоненты и проекции вектора.

Рассмотрим вектор на плоскости в прямоугольной системе координат Оху, которая задана началом координат (точкой О) и единичными векторами-ортами , определяющими масштаб и положительные направления координатных осей.

Взаимно перпендикулярные (ортогональные) единичные векторы-орты образуют прямоугольный базис.

Любой вектор в этой системе может быть разложен на две составляющие компоненты и представлен в виде их суммы: .

Выразим компоненты вектора через соответствующие проекции



соответствующие проекции:

и ,

где - единичные векторы-орты;

и - проекции вектора на оси и , которые называются координатами вектора.

Тогда вектор на плоскости можно выразить в координатной форме в виде:

,

где () и () -координаты начала и конца вектора. Это полная координатная форма векторов.

Можно использовать сокращенную координатную форму векторов:

Если рассматривать вектор в трехмерном пространстве, то в прямоугольной системе координат Охуz вектор раскладывается на три составляющие компоненты и представляется в виде их суммы:

.

Выразим компоненты через координаты вектора:

, ,

,

где - единичные векторы-орты, определяющие масштаб и положительные направления координатных осей,и ;

, , - проекции или координаты вектора.

Получим координатную форму вектора в трехмерном пространстве:

.

Можно также использовать сокращенную координатную форму вектора:

.

Далее для простоты и удобства построения в линейных операциях будем рассматривать векторы на плоскости. При переходе к трехмерному пространству добавляется лишь третья координата вектора.

2.4 Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть даны два вектора на плоскости:

Линейные операции над векторами (сложение, вычитание и умножение вектора на число) в координатной форме выполняются аналитическим способом путем арифметических действий над их одноименными координатами:

1) сложение: ;

2) вычитание: ;

3) умножение вектора на число: , где k-число (скаляр).

Отметим условие коллинеарности векторов в координатной форме.

Если векторы коллинеарны (), то выполняется условие . Тогда

Или

 - условие коллинеарности векторов в координатной форме.

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны друг другу.

Пример.

Даны 3 точки А(2;-1), В(3;0), С(4;1). Найти вектор

Решение:

1) Найдем координаты векторов:

Выполним операции над векторами:

2.5 Определение длины и направления векторов

Векторы характеризуются длиной или модулем и направлением в пространстве.

Пусть на плоскости дан вектор .

Длина или модуль вектора определяется как длина гипотенузы по теореме Пифагора:

где - координаты или проекции вектора.

Направление вектора в пространстве определяется углами и , которые вычисляются через направляющие косинусы.

Так как проекции вектора на координатные оси определяются в виде: , откуда получаются формулы, по которым вычисляются направляющие косинусы:

.

Для трехмерного вектора его длина (модуль) определяется по формуле:

.

Направление трехмерного вектора в пространстве определяется углами , которые вычисляются через направляющие косинусы по формулам:

.

Пример: Даны на плоскости точки А(-3;2) и В(1;6). Найти 1) вектор, 2) модуль , 3) направляющие косинусы, 4) построить вектор.

Решение:1) найдем координаты вектора:

выпишем его координаты АВх = 4, АВу= 4;

2) вычислим модуль по формуле:

;

3) вычислим направляющие косинусы по формулам:

4) построим вектор по его координатам

и координатам точек А(-3;2) и В(1;6).

2.6 скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается: , где ц-угол между векторами.

Данной формуле можно придать другой вид. Так как -проекции векторов друг на друга, то скалярное произведение двух векторов можно записать через их проекции в виде:

.

Следовательно, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора.

Исходя из этого, проекции векторов можно определять по формуле:

.

Свойства скалярного произведения

1. Переместительное свойство:;

2. Сочетательное свойство: k, где k-число;

3. Распределительное свойство: .

Скалярное произведение в координатной форме

Пусть заданы два вектора в координатной форме:

Определим их скалярное произведение. При этом отметим, что в связи с ортогональностью единичных орт (ц=90°, ), скалярные произведения разноимённых орт равны 0 (), а одноимённых равны 1 (, т.к.).

Тогда:

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их одноименных координат:

.

Условие ортогональности векторов:

Для ортогональных векторов ц=90° и , то их скалярное произведение равно нулю:

Физический смысл скалярного произведения

Скалярное произведение вектора силы , действующего на тело, на вектор его перемещения определяет работу по перемещению тела по прямой из точки А в точку В:

А=.

Действительно - это величина компоненты силы, под действием которой происходит перемещение тела, а - это путь.

Угол между векторами находится по формуле:

, т.к. .

Примеры.

1. Найти проекцию вектора на вектор .

Решение:

2. Определить работу по перемещению тела из точки А(1,3,-2) в точку В(4,2,5) под действием сил

.

Решение:

1) Найдем вектор перемещения тела:

;

2) Вычислим равнодействующую трех сил:

.

3) Определим работу по перемещению тела, как скалярное произведение вектора равнодействующей силы и вектора перемещения:

А== 3*3+5*(-1)+5*7=39 дж.

2.7 векторное произведение векторов

Определение: Векторным произведением двух векторов называется третий вектор , который определяется тремя условиями:

1) модуль вектора равен произведению модулей векторов на синус угла между ними: и численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах;

2) вектор ортогонален к каждому из векторов ;

3) вектор направлен так, что из него конца виден кратчайший поворот от вектора к вектору против часовой стрелки, т.е. векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения

1. Переместительное свойство: (при перестановке сомножителей вектор произведения меняется направление на противоположное, а его модуль остается прежним);

2. Сочетательное свойство: k, где k-число;

3. Распределительное свойство: .

Векторное произведение в координатной форме

Пусть заданы два вектора в координатной форме:

Векторное произведение в координатной форме записывается в виде определителя 3-го порядка, в 1-й строке которого расположены единичные орты координатных осей, а во 2-й и 3-й строках находятся координаты векторов сомножителей:

.

При выводе этой формулы используется следующее:

1) векторные произведения двух одноименных орт равны 0 (, т.к. ц=0°, );

2) векторные произведения двух разноименных орт равны третьему орту с учетом знака при образовании ими правой тройки векторов ( и т.д.).

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами: А(2;0;1), В(1;2;4) и

С(-3;1;2).

Решение: Так как

,

1) Найдем координаты векторов:

;

2) Определим векторное произведение:

=

3) Вычислим площадь треугольника:

кв. ед.

3. Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия - это раздел математики, который изучает геометрические фигуры не геометрическим построением, а аналитическим методом с помощью алгебраических уравнений.

В основе аналитической геометрии лежит метод координат. Метод координат заключается в том, что любую линию на плоскости или в пространстве можно задать алгебраическим уравнением, которое называется уравнением линии. Уравнение линии связывает между собой текущие координаты произвольной точки , лежащей на линии.

Например, уравнение у=2х-1 задает на плоскости прямую линию. В этом уравнении х и у - текущие координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной прямой. Все точки прямой имеют координаты, которые обращают данное уравнение в верное числовое тождество.

Проверим, лежат ли точки и на прямой, заданной уравнением у=2х-1. Подставим координаты точек в это уравнение:

- точка лежит на прямой;

2) М2(2;2): 2= - точка не лежит на прямой.

Данная задача решена нами не геометрическим построением, а аналитически с помощью уравнения.

Уравнение первой степени у=2х-1 задает на плоскости линию первого порядка, а уравнение второй степени у=х2 задает на плоскости линию второго порядка. Порядок линии определяется старшей степенью координат точек линии.

Ниже рассмотрим линии первого и второго порядка на плоскости.

3.1 Прямая линия на плоскости

3.1.1 Общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом

Определение: Прямая - это линия первого порядка, которая задается уравнением первой степени вида: Ах + Ву + С = 0

Это уравнение вида называется общим уравнением прямой линии. В этом уравнении А, В, С - числовые коэффициенты, х, у - текущие координаты произвольной точки, лежащей на прямой линии.

Покажем, что уравнение первой степени вида: Ах + Ву + С = 0 задает прямую линию на плоскости. Преобразуем это уравнение: Ву = - Ах - С в , введем обозначения: и . Получим уравнение , график которого представляет собой прямую линию.

Уравнение вида: называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; где - угловой коэффициент, - угол наклона, - отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу.

3.1.2 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом

Пусть прямая L проходит через заданную точку М1(х1;у1) с наклоном, заданным угловым коэффициентом . Возьмем на прямой произвольную точку с текущими координатами М(х;у). Опустим перпендикуляры на координатные оси и рассмотрим М1МР. Выразим

.

Умножим обе части уравнения на (х-х1) и получим уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:

.

Пример. Составить уравнение прямой L, проходящей через М(1;2) под углом .

Решение:

Найдем угловой коэффициент ;

2) Составим уравнение прямой L, проходящей через заданную точку М(1; 2) с угловым коэффициентом к = 1. Подставим координаты в уравнение и получим: у - 2=х - 1 у=х+1 - искомое уравнение прямой.

3.1.3 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть прямая L проходит через две заданные точки М1(х1;у1), М(х2;у2). Запишем уравнение прямой L, проходящей через точку М1: у - у1 = к(х - х1). Так как точка М2 лежит на L, то ее координаты удовлетворяют этому уравнение, т.е.

у2 - у1=к(х2 - х1).

Откуда выразим угловой коэффициент - это формула расчета углового коэффициента прямой, проходящей через две заданные точки. Подставим в первое уравнение:

.

Если разделить на у2 - у1 , то получим:

- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример. Даны две точки А(-1;2) и В(1;5). Записать уравнение прямой АВ и найти ее угловой коэффициент.

Решение:

Запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А и В:

.

Подставим координаты точек А(хА = -1, уА = 2) и В(хВ = 1, уВ = 5) в это уравнение:

2(у - 2) = 3(х + 1) 2у - 4 = 3х + 3 3х + 2у - 7 = 0.

Получили общее уравнение прямой АВ. Преобразуем полученное уравнение в уравнение прямой с угловым коэффициентом вида: у=кх+в. Выразим у через х: 2у=3х+7 /:2 у = (х +7) - это уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом, где - угловой коэффициент АВ.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А и В можно также рассчитать по формуле: .

3.1.4 Угол между двумя прямыми

Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями: , где - угловые коэффициенты.

Найдем угол между двумя прямыми: .

Из тригонометрии известно, что:

.

Перепишем это выражение в виде: . Получили формулу для нахождения угла между двумя прямыми. В этой формуле tgц вычисляется по модулю (положительное значение), т.к. угол между прямыми берется острый.

3.1.5 Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Если прямые L1 и L2 параллельны друг другу, то , откуда следует: к2-к1=0 или к1 = к2- это условие параллельности прямых. Для параллельных прямых угловые коэффициенты совпадают.

Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то , а . Это возможно, когда знаменатель 1+к1к2 = 0 - это условие перпендикулярности прямых.

3.1.6 Определение длины отрезка прямой и координат его середины

Пусть дан отрезок прямой , проходящей через точки А(хА;уА) и В(хВ;уВ).

Длина отрезка АВ определяется по теореме Пифагора:

АВ=.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:

.

Пример.

Записать уравнения 1) стороны АС, 2) высоты CD и 3) медианы ВЕ в треугольнике с вершинами А(-8;3), В(-6;0), С(6;-5). 4) Найти координаты точки М(хм;ум) - пересечения высоты CD и медианы ВЕ.

Решение:

Составим уравнение стороны АС, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

14*(у - 3)=(-8)*(х + 8)

8х + 14у + 22=0 - общее уравнение стороны АС;

Высота CD АВ .

Найдем

и

Составим уравнение высоты CD, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку С(6;-5) с заданным угловым коэффициентом

: -

искомое уравнение высоты CD с угловым коэффициентом. Запишем его в общем виде, умножив обе части уравнения на 3: 2х-3у-27=0- общее уравнение высоты CD;

Медиана ВЕ проходит через середину стороны АС. Найдем координаты Е(хЕ;уЕ)-середины отрезка АС по формулам:

. Е (-1;-1) - середина стороны АС.

Составим уравнение медианы ВЕ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

5у =-х-6

х + 5у + 6=0 - общее уравнение медианы ВЕ;

Найдем координаты точки М(хм;ум) - пересечения высоты CD и медианы ВЕ, решив систему их уравнений методом Крамера:

· Вычислим определители системы и неизвестных , х, и у.

· Найдем решение системы по формулам Крамера:

хМ ; уМ =

Проверка: (верно).

М (9;-3) -точка пересечения высоты CD и медианы ВЕ.

3.2 Линии второго порядка

Определение: Линиями второго порядка называются линии, которые задаются уравнениями второй степени вида: Ах2+Ву2+Сх+Dy+E=0,

где х,у - текущие координаты точек, лежащих на линии; A,B,C,D,E - числовые коэффициенты.

Данное уравнение называется общим уравнением линий второго порядка.

Общее уравнение линий второго порядка можно привести к каноническому (простейшему) виду. Для этого в общем уравнении необходимо сгруппировать и дополнить члены, содержащие координаты х и у, до полных квадратов и получить уравнение вида: