Высшая математика

Частное решение дифференциального уравнения представляет собой единственную интегральную кривую у=у(х0,С10,С20) с заданными значениями произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

Для того, чтобы найти частное решение в виде единственной интегральной кривой, проходящую через заданную точку М0 с координатами х=х0 и у=у0, необходимо задать значение производной, которая определяет угловой коэффициент касательной в заданной точке у/=y/0=kk=tgб0. Координаты х=х0; у=у0 и значение производной у/=y/0 в заданной точке М0 называются начальными условиями.

Нахождение частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, сводится к нахождению конкретных значений произвольных констант С1=С10 и С2=С20 из системы уравнений

,

получаемой подстановкой начальных условий в общее решение.

Таким образом, частное решением получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20, для нахождения которых используют два начальных условия:

Первое начальное условие определяет точку М0(х0,у0), через которую пройдет интегральная кривая, а второе условие определяет угол наклона касательной y/0=kk=tgб0 к искомой интегральной кривой.

Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

При решении задачи Коши используют теорему Коши о существовании и единственности решения.

Теорема Коши: Если в правой части дифференциального уравнения функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой области Д, то в любой ее точке существует и причем единственное частное решение у = у(х,С10,С20), удовлетворяющее начальным условиям:

.

Точки, в которых условие теоремы Коши нарушается, называются особыми точками.

9.2.2 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

К простейшим дифференциальным уравнениям 2-го порядка, которые сводятся к уравнениям 1-го порядка относят уравнения вида:

из этих уравнений можно выделить две группы:

к первой группе относятся уравнения с 1) по 4), которые не содержат искомой функции у в правой части.

Для понижения порядка этих уравнений используют стандартную подстановку:

где V(x) - вспомогательная функция.

Ко второй группе относятся уравнения 5) и 6), которые в правой части не содержат аргумент х.

Для понижения порядка используют стандартную подстановку

.

Продифференцировав ее

и подставив в уравнения 5) или 6) сведем их к уравнениям 1-го порядка.

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, на примерах.

Пример 1: Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение:

Правая часть уравнения не содержит у. Уравнение относится к первой группе. Понизим порядок уравнения стандартной подстановкой: Продифференцируем и подставим в дифференциальное уравнение:

Ответ:

Пример 2: Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение: Приведем уравнение, поделив его на 2у:

.

Правая часть не содержит х. Понизим порядок уравнения подстановкой:

.

Найдем:



Ответ: - общее решение.

Пример 3: Найти частное решение дифференциального уравнения: , удовлетворяющего начальным условиям: у(0)=2; у/(0)=3.

Решение:

Найдем общее решение дифференциального уравнения. Правая часть уравнения не содержит у. Уравнение относится к первой группе. Понизим порядок уравнения стандартной подстановкой: Продифференцируем и подставим в дифференциальное уравнение:

.

Проинтегрируем:

. Так как

Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. Подставим начальные условия и найдем значения констант:

.

Подставим значения найденных констант в общее решение и получим частное решение дифференциального уравнения: .

Ответ: - частное решение.

9.2.3 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка представляют линейный многочлен вида:

- это линейное дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде.

Если а0(х)0, то поделив на этот коэффициент, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в приведенном виде:

,где

Если правая часть f(x)=0, то уравнение

- называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).

Если правая часть f(x) 0, то уравнение

- называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

линейныЕ однородныЕ дифференциальныЕ уравнениЯ (ЛОДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид: , где p, q - постоянные коэффициенты.

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ:

Если два частных решения ЛОДУ: у1(х) и у2(х) являются линейно независимыми, т.е. их отношение , то они образуют фундаментальную систему и общее решение ЛОДУ будет их линейной комбинацией:, где С1, С2 - произвольные константы.

Теорема об общем решении ЛОДУ с постоянными коэффициентами:

Общее решение ЛОДУ: находится путем решения его характеристического уравнения: k2+pk+q=0 и в зависимости от корней этого уравнения общее решение представлено следующими функциями:

, если дискриминант характеристического уравнения D 0 и корни действительные и разные k1k2;

, если дискриминант D = 0 и корни действительные и равные (кратные) k1=k2=k;

, если D 0 и корни мнимые, комплексно-сопряженные k1,2 = i, где - действительная часть; - мнимая часть; - мнимая единица.

Действительно ищем решение ЛОДУ в виде .

Продифференцируем дважды и подставим в ЛОДУ:

или . Так как , то получаем характеристическое уравнение ЛОДУ .

В зависимости от корней характеристического уравнения выбирают два линейно независимых частных решения:

1. при k1k2;

2. при k1=k2=k;

3. при k1,2 = i.

Линейная комбинация этих линейно-независимых решений определяет общее решение ЛОДУ второго порядка.

Следовательно, решение ЛОДУ сводится к решению его характеристического уравнения.

Задание: Найти общее решение дифференциальных уравнений:

Пример 1: .

Ищем решение в виде: . Составим характеристическое уравнение: . Решим это уравнение, вычислив дискриминант D=25-24=10. Найдем корни:

.

Имеем два частных, линейно-независимых решения:

, т.к..

Тогда общим решением ЛОДУ будет их линейная комбинация:

.

Пример 2: .

Составим характеристическое уравнение:

.

Его дискриминант: D=4-4=0, а корни кратные

k1=k2=.

Для этого случая два частных, линейно-независимых решения будут:

, т.к..

Тогда общим решением ЛОДУ будет их линейная комбинация:

.

Пример 3: .

Составим характеристическое уравнение: k2 +4k+8 = 0.

Его дискриминант: D=16-32=-16<0, а корни мнимые комплексно-сопряженные:

= i =-2; =2.

Для этого случая два частных, линейно-независимых решения будут:

, т.к..

Тогда общим решением ЛОДУ будет их линейная комбинация:

.

линейныЕ НЕоднородныЕ дифференциальныЕ уравнениЯ (ЛНДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

, где правая часть f(x)0.

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ

Общее решение ЛНДУ равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ () и любого частного решения данного ЛНДУ, т.е. , где - общее решение ЛОДУ; - частное решение ЛНДУ.

Другими словами, для нахождения общего решения ЛНДУ необходимо предварительно решить ЛОДУ путем нахождения корней его характеристического уравнения и найти частное решение ЛНДУ.

Для отыскания частного решения ЛНДУ используется следующая Теорема.

Теорема об отыскании частного решения ЛНДУ

Частное решение уравнения: находится по виду функции f(x) правой части:

1. Если правая часть представляет собой многочлен:

f(x)=Pn(x) = a0+ a1x+... +anxn , то частное решение имеет вид:

- многочлен с неизвестными коэффициентами, которые определяются путем подстановки в уравнение и приравнивания коэффициентов правой и левой части при одинаковых степенях х.

Степень r=0, 1, 2 - определяется числом корней характеристического уравнения равных нулю.

2. Если правая часть f(x)=M, то частное решение ищется в виде: , где N - неизвестный коэффициент, который определяется при подстановке в уравнение, r = 0, 1, 2 - число корней характеристического уравнения, совпадающего с числом .

3. Если правая часть , гдеM и N - действительные числа, то частное решение имеет вид: , где А и В - неизвестные коэффициенты, которые определяются при подстановке в уравнение, r = 0, 1 - число корней характеристического уравнения , совпадающих с .

Таблица для отыскания общего решения ЛОДУ

ЛОДУ II порядка:
Характеристическое уравнение: k2+pk+q=0
Корни характеристического уравнения	Вид общего решения ЛОДУ
k1 k2, действительные разные
k1 = k2 = k, действительные равные
k1,2 = i, комплексно-сопряженные

Таблица для отыскания частного решения ЛНДУ

ЛНДУ II порядка:
ЛОДУ II порядка:
Характеристическое уравнение: k2+pk+q=0
Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
1. k1 0, k2 0	=
2. k1 = 0, k2 0
3. k1 = k2 =0
1. k1 , k2
2. k1 = , k2
3. k1 = = k2
1. k1,2 i
2. k1,2 = i

Задание: Найти общее решение дифференциальных уравнений:

Пример 1: - это ЛНДУ II порядка.

Решение: Общее решение ищем в виде: .

1. Решаем ЛОДУ: . Составим его характеристическое уравнение:

.

корни характеристического уравнения разные. Тогда общее решение ЛОДУ будет:

.

Найдем частное решение ЛНДУ по виду правой части:

.

Так как k1=0, то частное решение ЛНДУ ищем в виде:

,

где А0, А1, А2 -неизвестные коэффициенты.

Продифференцируем два раза:

и подставим в ЛНДУ:

Приравниваем коэффициенты правой и левой части при равных степенях переменной х:

.

Тогда частное решение ЛНДУ будет:

.

Следовательно, общее решение ЛНДУ:

.

Ответ : - общее решение ЛНДУ.

Пример 2. - это ЛНДУ II порядка.

Решение: Общее решение ищем в виде: .

1. Решаем ЛОДУ: .

Составим характеристическое уравнение: k2-3k+ 2=0. Его дискриминант D=9-4?2=10; k1,2 =; k1 =2; k2 =1. корни характеристического уравнения разные. Тогда общее решение ЛОДУ будет: .

2. Находим частное решение ЛНДУ по виду правой части: f(x)=0?cosx+2sinx, где .Частное решение представим в виде:, где А и В -неизвестные коэффициенты.

Продифференцируем и подставим в дифференциальное уравнение:

.

Найдем неизвестные А и В, приравняв коэффициенты правой и левой части при косинусе и синусе:

.

Тогда частное решение ЛНДУ будет: , а его общее Решение:

Ответ : - общее решение ЛНДУ.

если правая часть ЛНДУ представляет сумму двух функций: f(x)=f1(x)+f2(x), для каждой из которых определен вид частного решения , то для этого случая справедлива Теорема о наложении решения:

Теорема о наложении решения:

Если является частным решением уравнения , а - частным решением уравнения, то функция является частным решением уравнения .

Другими словами, если правая часть является суммой функций, то предварительно находят частные решения для каждого слагаемого, а затем их складывают.

Контрольные вопросы по темам 5-9, выносимые на экзамен

1. Дать определения функции двух переменных, аргументов, области определения и привести способы задания функции.

2. Предел функции двух переменных в точке.

3. Непрерывность функции двух переменных в точке и виды точек разрыва.

4. Частные производные функции двух переменных и их геометрический смысл.

5. Дать определения полного и частного дифференциалов функции двух переменных.

6. Частные производные второго порядка функции двух переменных и привести теорему о смешанных частных производных

7. Дать определение локального экстремума функции двух переменных и сформулировать необходимый и достаточный признаки существования локального экстремума.

8. Порядок отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области.

9. Первообразная и основные её свойства.

10. Неопределенный интеграл и его основные свойства.

11. Основные методы интегрирования (методы непосредственного интегрирования, замены переменной и интегрирование по частям).

12. Интегрирование рациональных дробей и иррациональных выражений.

13. Определенный интеграл и его основные свойства.

14. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Связь между неопределенным и определенный интегралами

15. Основные методы вычисления определенного интеграла

16. Приложение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

17. Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования.

18. Несобственные интегралы второго рода от функций с бесконечными разрывами.

19. Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные и линейные).

20. Задача и Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

21. Дифференциальные уравнения второго порядка.

22. Геометрический смысл, задача и Теорема Коши решения дифференциальных уравнений второго порядка.

23. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

24. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

25. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Литература

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. I и II тома.

Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., "Наука", 1986 г.

Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М., "Высшая школа", 1961 г.

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., "Наука", 1997г.

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. (Учебное пособие для студентов ВТУЗов). М., "Наука", 1987 г.

Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. (Учебное пособие для студентов ВТУЗов,1и2 т). М., "Высшая школа", 1986 г.

Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2001.-656с.: ил.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., "Наука", 1989 г.

Щипачев В.С. Основы высшей математики. (учебное пособие для ВТУЗов). М., "Высшая школа", 1989 г.

Колесников А.В. Кратный курс математики для экономистов: Учебное пособие.- М.: ИНФРА-М, 1999.-208с.: ил.

Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. (Учебное пособие для техникумов). М., "Высшая школа", 1973 г.

Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. Ч.1.-М.: Финансы и статистика, 2001.-224 с.:ил.

Рузаков В.Я. Математика: Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2000. Ч.1. - 118 с.

Рузаков В.Я. Математика: Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2002. Ч.2. - 115 с.

Неупокоев В.А. Курс лекций по дисциплине «Высшая математика» (разделы: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия и математический анализ). Учебное пособие. - Челябинск: Издательский центр «Уральская академия», 2001. - 55 с

Неупокоев В.А. Курс лекций по дисциплине «Высшая математика» (разделы: функция нескольких переменных, неопределенный, определенный и несобственные интегралы, дифференциальные уравнения). Учебное пособие. - Челябинск: Издательский центр «Уральская академия», 2001. - 47 с

Неупокоев В.А., Пушкарев Е.Д., Круглова Е.С. Теоретический и практический курс по дисциплине «Математика». Учебное пособие. - Челябинск: Издательский центр «Уральская академия», 2001. -54 с.

Размещено на Allbest.ru