Высшая математика

A(x-x0)2+B(у-у0)2=.

Это уравнение называется каноническим уравнением линий второго порядка со смещенным центром, в котором x0 и у0 - координаты смещенного центра. Смещенный центр- это точка С(х0;у0), которая является центром симметрии, а прямые х=х0 и у=у0 являются осями симметрии.

Если центр симметрии находится в начале координат, т.е. х0=0, у0=0, то уравнение имеет вид: Ах2+Ву2=.

Данное уравнение называется каноническим уравнением линий второго порядка с несмещенным центром. Для линий второго порядка с несмещенным центром осями симметрии служат координатные оси.

Определение: Линии, имеющие центр и оси симметрии, называются центральными.

К центральным линиям второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола, которые рассмотрим ниже.

3.2.1 окружность

Определение: Окружность - это линия второго порядка, которая представляет собой геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром.

Если центр находится в начале координат, то окружность задается каноническим уравнением второй степени вида: х2+у2=R2 , где R - радиус окружности; х,у - текущие координаты точек, лежащих на окружности.

Для вывода данного уравнения возьмем на окружности произвольную точку М(х;у). Отрезок ОМ=R является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ОМР, а катеты определяются координатами х и у точки М. Уравнение окружности получается по теореме Пифагора: х2+у2=R2, которое называется каноническим уравнением окружности с несмещенным центром.

Если центр окружности находится в точке С(х0;у0), то уравнение окружности со смещенным центром будет иметь

вид: (х-х0)2+(у-у0)2=R2.

Построение окружности выполняется с помощью циркуля.

3.2.2 эллипс

Определение: Эллипс - это линия второго порядка, которая представляет собой геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная большой оси эллипса.

Эллипс с несмещенным центром задается каноническим уравнением второй степени вида:

,

где а и в - полуоси, х,у - текущие координаты точек, лежащих на эллипсе. Центр симметрии находится в начале координат. Осями симметрии служат координатные оси.

При рассмотрении эллипса возможны два случая:

1. Если ав, то а называется большая полуось, лежащая на координатной оси Ох, а в - малая полуось, лежащая на координатной оси Оу;

2. Если ав, то а называется малая полуось, лежащая на координатной оси Ох, а в-большая полуось, лежащая на координатной оси Оу.

Фокусы F1 и F2 всегда лежат на большой оси эллипса, причем симметрично относительно центра симметрии на расстоянии:

,

где величина "с" определяет фокусное расстояние.

Для характеристики формы эллипса вводится эксцентриситет.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине его большой полуоси:

=, если ав и =, если ва.

Значение эксцентриситета меняется в пределах 0??1. При этом форма эллипса изменяется от окружности (е=0, при а=в=R) и, вытягиваясь, вырождается в прямую (е=1, при а>>в).

Уравнение эллипса выводится из его основного свойства, представленного в определении. Возьмём на эллипсе произвольную точку М(х;у). Расстояния r1 и r2 от фокусов F1 и F2 до точки М(х;у) называются фокальными радиусами.

В соответствии с определением сумма фокальных радиусов есть величина постоянная, равная большой оси эллипса: r1 + r2 = 2а (при ав) - основное свойство эллипса. Для вывода уравнения эллипса необходимо выразить фокальные радиусы r1 и r2 через координаты точки М(х;у) и фокусов F1(с;0) и F2(-с;0)и подставить в это равенство.

Если центр симметрии смещен и находится в точке С(х0;у0), то уравнение эллипса со смещенным центром имеет вид:

.

Построение эллипса рассмотрим ниже на примерах.

Пример. Определить вид, параметры и построить линию, заданную уравнением:

.

Решение: 1. Это эллипс с несмещенным центром вида:

.

2.Найдем параметры: - большая полуось на оси Ох;

- малая полуось на оси Оу;

- фокусное расстояние

=1- эксцентриситет.

Фокусы F1(4.6;0) и F2(-4.6;0) лежат на большой оси, совпадающей с осью Ох, симметрично, на расстоянии с=4.6 относительно начала координат.

3. Построение эллипса (см. рисунок выше) выполним по этапам:

1) строим систему координат Оху;

2) на координатных осях симметрично относительно начала координат откладываем большую и малую полуоси (а=5, в=2) и показываем вершины эллипса А1,А2,В1,В2;

3) через вершины эллипса параллельно координатным осям строим осевой прямоугольник;

4) вписываем эллипс в осевой прямоугольник;

5) на большой оси, совпадающей с осью Ох, симметрично относительно начала координат показываем фокусы F1(4.6;0) и F2(-4.6;0).

3.2.3 гипербола

Определение: Гипербола - это линия второго порядка, которая представляет собой геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная действительной оси гиперболы.

Основное свойство гиперболы, представленное в определении, можно выразить в виде равенства: r1 - r2 =2а, где а - действительная полуось гиперболы, r1 и r2 - фокальные радиусы произвольной точки М(х;у) гиперболы.

Гипербола задается каноническими уравнениями второй степени вида:

,

где а и в - полуоси, х,у - текущие координаты точек, лежащих на эллипсе.

Это канонические уравнения гиперболы с несмещенным центром. Центр симметрии находится в начале координат. Осями симметрии служат координатные оси.

Гиперболы бывают двух видов - обычная и сопряженная.

1. Обычная гипербола задается уравнением вида:

,

где а называется действительная полуось, лежащая на оси Ох; в-мнимая полуось, лежащая на оси Оу.

2. Сопряженная гипербола задается уравнением вида:

или ,

где а называется мнимая полуось, лежащая на оси Ох, в- действительная полуось, лежащая на оси Оу.

Фокусы F1 и F2 всегда лежат на действительной оси гиперболы, причем симметрично относительно центра симметрии на расстоянии: где величина "с" определяет фокусное расстояние.

Для характеристики формы гиперболы вводится эксцентриситет.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния "с" к длине его действительной полуоси:

=, если а -действительная полуось

=, если в-действительная полуось.

Значение эксцентриситета меняется в пределах 1? ?.

Гипербола состоит из двух ветвей, которые расположены симметрично относительно оси симметрии и проходят через действительные вершины гиперболы, неограниченно приближаясь на бесконечности к двум прямым, называемым асимптотами.

Для построения асимптот строится осевой прямоугольник со сторонами и , проходящими через вершины гиперболы параллельно координатным осям. Асимптоты строятся по диагоналям осевого прямоугольника и задаются уравнениями вида:

х.

Если центр симметрии смещен и находится в точке С(х0;у0), то уравнение гиперболы со смещенным центром имеют вид:

.

Построение гиперболы рассмотрим на примере.

Пример. Определить вид, параметры и построить линию заданную уравнением:

Решение:1. Это гипербола с несмещенным центром вида:

.

2. Найдем параметры: - действительная полуось на оси Ох;

- мнимая полуось на оси Оу;

- фокусное расстояние;

=- эксцентриситет.

Фокусы F1(3.6;0) и F2(-3.6;0) лежат на действительной оси, лежащей на оси Ох, симметрично, на расстоянии с=3.6 относительно начала координат.

3. Порядок построения гиперболы:

1) строим систему координат Оху;

2) на координатных осях симметрично относительно начала координат откладываем действительную и мнимую полуоси (а=3; в=2) и показываем действительные (А1,А2) и мнимые (В1,В2) вершины гиперболы;

3) через вершины гиперболы параллельно координатным осям строим осевой прямоугольник;

4) по диагоналям осевого прямоугольника строим асимптоты;

5) от действительных вершин (А1,А2) к асимптотам строим правую и левую ветви гиперболы;

6) на действительной оси, лежащей на оси Ох, симметрично относительно начала координат показываем фокусы F1(3.6;0) и F2(-3.6;0).

3.2.4 парабола

Определение: Парабола - это линия второго порядка, которая представляет собой геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом и от заданной прямой, называемой директрисой.

Парабола с несмещенным центром (вершиной) задается каноническими уравнениями вида:

,

где р - параметр параболы, который определяет расстояние от фокуса до директрисы.

Фокус (F) и директриса (прямая D) располагаются симметрично относительно начала координат на расстоянии C=D=, где С-фокусное расстояние; D-расстояние до директрисы от начала координат. Фокус F всегда лежит на оси симметрии внутри параболы, а директриса D проходит перпендикулярно оси симметрии вне параболы.

Расстояние от фокуса до директрисы определяется параметром параболы и составляет:

р = C+ D.

Для параболы вида: осью симметрии служит координатная ось Ох, а для параболы вида: осью симметрии служит координатная ось Оу. Центр симметрии, который называется вершиной параболы, находится в начале координат.

Уравнения параболы выводятся из её основного свойства, представленного в определении. Возьмём на параболе произвольную точку М(х;у). Расстояния от фокуса и директрисы до этой точки обозначим: r - фокальный радиус и d - расстояние до директрисы. В соответствии с определением точки параболы равноудалены от фокуса и директрисы, т.е. r = d - основное свойство параболы.

Для вывода уравнения параболы, например: у2=2рх, необходимо выразить r и d через координаты точки М(х;у), фокуса и директрисы:

r =и d =.

Приравняв эти величины:

= ,

возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

.

Сократим равные члены уравнения его левой и правой частей и, перенеся с левой части в правую величину рх, получим уравнение параболы: у2=2рх. Аналогично выводятся другие уравнения параболы.

Если центр симметрии (вершина) смещен и находится в точке С(х0;у0), то уравнения параболы со смещенным центром имеют вид:

.

Построение параболы рассмотрим на примере.

Пример. Определить вид, параметры и построить линию: (у-3)2= - 8(х+1).

Решение:

1. Это парабола со смещенным центром (вершиной) вида: (у-у0)2= -2р(х-х0).

2. Найдем параметры: -2р=-8 р=4 - параметр параболы, определяющий расстояние от фокуса до директрисы (р=с+D); с=D==2 - расстояния от вершины до фокуса и директрисы.

Найдём смещенный центр - вершину параболы: у-у0 = у-3 у0=3; х-х0 = х+1 х0= -1 Тогда С(-1;3) - вершина параболы.

3. Для построения параболы перейдем во вспомогательную систему координат Сх1у1, приняв за новые координаты: х1=х+1; у1=у-3. Тогда во вспомогательной системе координат получим уравнение параболы с несмещенным центром (вершиной): у12= - 8х1.

Так как квадрат числа всегда положительный у12= - 8х10, то х10 и ветвь параболы будет слева от оси Су1. Осью симметрии служит ось Сх1. Фокус лежит на оси симметрии внутри параболы и имеет координаты: F(-2;0). Директриса (прямая) проходит через точку D(2;0) перпендикулярно оси симметрии. Фокус F(-2;0) и точка D(2;0) симметричны относительно вершины С.

Построение параболы выполним во вспомогательной системе координат по расчетным точкам, вычислив таблицу:

х1	0	- 2	- 8
у1	0	4	8

х1= 0 у12=-8*0=0; х1= -2 у12=-8*(-2)=16, у1=; х1=-8 у12=-8*(-8)=64, у1=.

Порядок построения параболы:

1) строим основную Оху и вспомогательную системы координат Сх1у1;

2) во вспомогательной системе координат Сх1у1 из таблицы по координатам наносим расчетные точки;

3) строим параболу по расчетным точкам;

4) на оси Сх1 показываем симметрично относительно вершины параболы фокус F(-2;0) и точку D(2;0), через которую перпендикулярно оси Сх1 строим директрису.

4. Введение в математический анализ

4.1 Понятие функции и аргумента

Математический анализ изучает переменные величины и функциональные зависимости между ними.

Переменные величины - это величины, принимающие различные значения. Все значения переменной величины образуют множество ее значений.

Введем понятие функции. Пусть мы имеем две переменные. Одна независимая переменная х принимает произвольные значения, образующие числовое множество D. Другая зависимая переменная у принимает значения в зависимости от значений х. Множество значений у образует числовое множество Е.

Определение: Функцией y=f(x) называется закон или правило, по которому каждому значению х из множества D (хD) ставится в соответствие единственное значение у из множества Е (уЕ).

Независимая переменная х называется аргументом, а зависимая переменная у называется функцией. Множество значений независимой переменной D называется областью определения функции, а множество значений зависимой переменной Е называется множеством значений функции.

Символ f означает то правило, по которому множество значений независимой переменной х преобразуется во множество значений другой переменной у. Показывают .

Функцию можно наглядно представить в виде "черного ящика", который преобразует каждое входное значение х в выходное значение у.

Функция считается заданной, если указано правило, по которому определяется значение функции у по заданному значению аргумента х.

Существуют следующие способы задания функции:

Аналитический с помощью формул.

Графический с помощью графиков.

Табличный с помощью таблиц.

Программный с помощью алгоритмических языков программирования.

Описательный с помощью текста.

Наиболее распространен аналитический способ задания функции с помощью математических формул.

Например: 1); 2) у = log3(4-2x); 3) у =.

Задав аргументу конкретное значение х=х0 из области определения функции (D), по формуле можно вычислить значение функции y=f(x0), которое называется частным значением функции.

При исследовании функции, заданной аналитическим способом, важно знать область определения функции (D).

Определение: Областью определения функции (D), заданной аналитическим способом, называется множество значений аргумента х, для которых можно рассчитать частные значения функции у=f(x), т.е. в области D функция принимает действительные значения

При нахождении области определения функции существует ряд ограничений, таких как:

Под знаком четного корня должна быть неотрицательная величина.

Например, функция определена при условии , так как у2= х-10. Откуда . Тогда область определения функции будет: D(f) = .

Под знаком логарифма должна быть положительная величина.

Например, функция у = log3(4-2x) определена при условии , так как обратная показательная функция 3у=(4-2x) всегда положительная величина. Откуда следует: 4-2x>0. Решим это неравенство: -2х>- 4, разделим обе части на -2, знак неравенства при этом сменится на противоположный. Получим: х<2. Тогда область определения функции будет: D(f) = .

Величина, находящаяся в знаменателе, не должна обращаться в ноль (деление на ноль запрещено).

Пример: Найти область определения функции: у =.

Решение: В этой формуле имеются два ограничения 1. и 3. Составим и решим систему из двух неравенств:

.

Тогда область определения функции будет: D(f) = .

4.2 пределы функции в точке и на бесконечности

Введем понятие предела функции в точке и на бесконечности.

Пусть на множестве D задана функция у = f(х). Рассмотрим поведение функции при стремлении аргумента к числу х0, т.е. х>х0. Выберем произвольную последовательность значений аргумента {x1,x2,…xn,…}={xn}, общий член которой xn неограниченно близко приближается к числу х0, т.е. стремится xn>х0. При этом соответствующие значения функции образуют числовую последовательность {f(x1), f(x2),…f(xn),…} = {f(xn)}.

Дадим определение предела функции в точке.

Определение: Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х = х0, если для любой последовательности значений аргумента {xn}, стремящейся к х0, т.е. xn>х0, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} стремится к числу А, т.е. f(xn)>A.

Предел в точке обозначается: .

Существуют также односторонние пределы в точке - пределы слева и справа, когда значения аргумента приближаются к точке х=х0 со стороны больших или меньших значений:

Теорема. Для того чтобы функция имела у = f(х) имела предел в точке х=х0 необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой правый и левый пределы, которые и определяют предел функции в точке:

Введём понятие предела функции на бесконечности. В этом случае значение аргумента неограниченно возрастает до бесконечности. Дадим Определение:

Определение: Число А называется пределом функции у = f(х) на бесконечности при х>?, если для любой последовательности значений аргумента, стремящейся к бесконечности, т.е. xn>?, соответствующая последовательность значений функции стремится к числу А, т.е. f(xn)>A.

Предел на бесконечности обозначается:

.

Отметим, что функция может иметь пределы как на +?, так и на -?:

.

замечательные пределы и их следствия

Первый замечательный предел:

или ,

где u=u(x)>0 при x>0

Следствия из первого замечательного предела:

;; .

Пример. .

Второй замечательный предел:

или ,

где е 2.73…-натуральное число, а logex = lnx называется натуральным логарифмом.

Следствия из второго замечательного предела:

;;

;.

бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение: Функция называется бесконечно малой в точке х=х0 или на бесконечности при х, если её пределы равны нулю:

.

Определение: Функция называется бесконечно большой в точке х=х0 или на бесконечности при х, если её пределы равны бесконечности:.

Следует отметить, что одна и та же функция может быть одновременно бесконечно малой или бесконечно большой в разных точках. На рисунке функция является бесконечно малой в точке х=1 и при , а в точке х=0 эта функция является бесконечно большой.

Теорема о связи бесконечно малых или бесконечно больших функций: Если функция является бесконечно малой в точке х=х0 или на бесконечности при х, то функция является бесконечно большой и наоборот, если - бесконечно большая функция, то является бесконечно малой функцией.

Пример. Функция является б.малой в точке х=2, т.к., а функция является б.большой в точке х=2, т.к..

Определение: Две бесконечно малые функции в точке х=х0 или на бесконечности при х называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице, т.е.

.

При нахождении пределов б.малые функции можно заменять на эквивалентные.

Составим таблицу эквивалентных бесконечно малых функций, основываясь на двух замечательных пределах и их следствиях.

таблица эквивалентных бесконечно малых функций

1) sinu~ u; tgu~ u; arcsinu~ u; arctgu~u,

2) еu-1~u; 3)au-1~u lna; 4)ln(1+u) ~u; 5)(u+1) ~ u; 6) (1-cosu)~,

где u=u(x)>0 -б.малая функция;

Теорема об арифметических операциях над пределами: Если функции f(x) и имеют конечные пределы в точке х=х0 или на бесконечности при х , то

;

;

при условии .

вычисление пределов

При вычислении пределов необходимо выделить случаи когда функция определена или неопределена в предельной точке.

Если функция определена в предельной точке х=х0, то вычисление предела сводится к вычислению частного значения функции в этой точке путем подстановки в неё значения аргумента, т.е. .

Пример. .

Если функция неопределена в предельной точке х=х0, то для характерных неопределенностей типа: имеется ряд практических приемов вычисления пределов для раскрытия этих неопределенностей.

1. Неопределенность .

Если эта неопределенность возникла для тригонометрических функций, то можно использовать первый замечательный предел и его следствия, а также можно провести замену эквивалентных б.малых функций.

Пример. = sin2 x=(sinx)2~x2; arctg3x~3x; (e6x-1) ~6x =

=.

Если эта неопределенность возникла при делении многочленов, то нужно в числителе и знаменателе выделить и сократить сомножитель, стремящийся к 0.

Пример.

.

Неопределенность раскрывается путем деления числителя и знаменателя дроби на наибольшую степень переменной х и замены б.большой переменной х> на новую б.малую переменную 0.

Пример.

0 при х> =.

Неопределенности путем преобразования приводятся к неопределенностям вида:.

Примеры.

1);

2)

.

Неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела.

Пример.

= 2x=u, х=1/2u; х 0;u0 ==

=.

4.3 Непрерывность функции и точки разрыва

Определение: Функция у=f(х) называется непрерывной в точке х=х0, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке х0, т.е. существует частное значение функции f(x0);

2. Существуют равные правый и левый пределы функции в точке х0;

3. Эти пределы равны частному значению функции в этой точке, т.е.

Если в точке х0 не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то точка х0 называется точкой разрыва. Различают два вида разрывов: разрывы I и II рода.

К точкам разрыва I рода относят точки скачка функции, когда существуют правый и левый пределы функции, но они не равны друг другу:

.

Величина h= называется величиной скачка.



К точкам разрыва II рода относят точки бесконечного разрыва, в которых предел функции равен бесконечности. Так, функция имеет точку бесконечного разрыва II рода в точке х0=0, т.к

..

Отметим, что все элементарные функции и их комбинации непрерывны в области их определения.

4.4 Производная функции

Переходим к дифференциальному исчислению. Дифференциальное исчисление основывается на понятии производной функции.

Введем понятие производной функции. Пусть на некотором множестве D задана непрерывная функция у = f(х). Возьмем произвольную точку х из этого множества (хD) и дадим аргументу приращение х. Причем так, чтобы (х+х)D При этом функция получит приращение:

.

Определение: Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю .

Производная обозначается:

.

Если функция у = f(x) имеет конечную производную в каждой точке множества D, то производная является также функцией от х. Название производной можно рассматривать как функцию, произведенную от исходной функции у = f(x).

геометрический и физический смысл производной

Геометрически производная определяет угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(x), т.е.

.

Пусть на графике функции у = f(x) задана точка М1(х1,у1). Проведем касательную K и нормаль N к графику функции в заданной точке. Нормаль - это прямая перпендикулярная к касательной.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в заданной точке , а угловой коэффициент нормали из условия N+K равен

.

Тогда можно записать уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке М1(х1,у1), используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:

- ур. касательной;

- ур. нормали.

Физический смысл производной заключается в том, что она определяет мгновенную скорость движения.

Пусть материальная точка двигается по закону у = f(t), где у - пройденный путь за время t. Тогда скорость движения в момент времени t = t0 , будет равна:

.

Ниже будет дан пример расчета скорости и ускорения, исходя из физического смысла первой и второй производных.

4.5 дифференцирование функций

Определение: Функция у = f(x) называется дифференцируемой на множестве D, если в каждой точке этого множества существует конечная её производная, т.е. для каждого хD существует конечный предел

.

Дифференцирование функции - это означает нахождение её производной.

Теорема. Для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой на множестве D необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке хD этого множества приращение функции ?у можно было представить в виде:

?у=А*?х+б(?х)*?х,

где А - множитель, который определяется значением производной в точке х:

А=f/(x); б(?х) - б.малая функция при ?х0.

Действительно, если ?у=А*?х+б(?х)*?х, то существует конечный предел:

.

дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции у=f(x) называется главная линейная часть приращения функции, которая обозначается в виде:

dy= А*?х=f /(x)* ?х.

Если возьмём линейную функцию у=х, то дифференциал этой функции будет равен:

dх=(x)/* ?х=1*?х=?х или dх =?х,

т.е. дифференциал аргумента равен его приращению.

Тогда дифференциал любой функции будет равен: dy=f /(x)*dх. Откуда производную можно представить в виде отношения дифференциала функции к дифференциалу аргумента:

.

Используя обозначение дифференциала, приращение функции можно представить в виде:

?у=dy+б(?х)*?х.

Второй нелинейный член приращения: б(?х)*?х является б.малой величиной более высокого порядка, чем ?х и ввиду его малости можно отбросить из выражения. Тогда приращение функции приблизительно равно её дифференциалу:

?у dy = f/(x)* ?х.

Если представить приращение функции в виде: ?у=f(x+?х)-f(x) f/(x)* ?х, тогда можно записать f(x+?х) f(x) + f/(x)* ?х. Данная формула используется для приближенного расчета значения функции в точке x+?х по известному значению в точке х.

Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Если функция y=f(x) является дифференцируемой в точке х, то в этой точке она непрерывна.

Отметим, что всякая дифференцируемая на множестве D функция является непрерывной на этом множестве. Однако обратное утверждение не верно - не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Таблица производных элементарных функций

1. С /= 0, где С = const

2. ,

где показатель -число

3.

4. , где е = 2,71...

5.

6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Основные правила дифференцирования

Пусть даны две дифференцируемые функции: f(x) и (x).

1. Правило дифференцирования суммы, разности функций:

;

2. Правило дифференцирования произведения:

;

3. Правило дифференцирования частного (дроби):

.

4. Правило дифференцирования сложной функции.

Пусть дана функция у = f(u), где u = u(x) - промежуточный аргумент или промежуточная функция. Тогда у=f(u(x)) называется сложной функцией. Производная от сложной функции вычисляется по формуле: .

Пример:, т. к. (sin u)/=(sinu)/* u/ где u = x3.

4.6 Производные высших порядков

Производная у/ = f/ (x) называется производной первого порядка или первой производной. Первая производная может быть также дифференцируемой функцией.

Определение: Производной второго порядка или второй производной называется производная от производной первого порядка и обозначается:

y// = f// (x) = (у/)/.

Физический смысл второй производной заключается в том, что она определяет ускорение, если задан закон движения y = f(t).

Если первая производная физически определяет скорость:y/ = V, то вторая производная физически определяет ускорение: y// = V/=а.

Если производная второго порядка является дифференцируемой функцией, то производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка: y/// = (y//) = f///(x). Аналогично можно ввести понятие производных более высокого порядка уIV, yV и т.д.

При вычислении производных второго и более высокого порядка используются те же правила дифференцирования и таблица производных, что и для производных первого порядка.

Пример. Вычислить у/// для функции у=ln3x2.

Решение: 1) у/=(ln3x2)/ (3x2)/ =;

у//=(у/)/=;

у///=(у//)/=(-2х-2)/ =4х -3.

4.7 Исследование функций с помощью производных

4.7.1 основные теоремы дифференциального исчисления

Основные теоремы дифференциального исчисления лежат в основе исследования функций с помощью производных.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) достигает своего наибольшего или наименьшего значения внутри отрезка в некоторой точке х=c, то производная в этой точке равна нулю: f /(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) внутри отрезка в точке х=c имеет наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох, т.к. угловой коэффициент касательной, который определяется значением производной в этой точке равен нулю: кк=f /(c)=0.



Теорема Ролля. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) принимает на концах отрезка равные значения f(a)=f(b), то внутри отрезка [а,b]существует точка х=с, в которой производная равна нулю: f /(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), принимающей на концах этого отрезка равные значения f(a)=f(b), существует такая точка х=с внутри отрезка, в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа. Если функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [а,b], то внутри этого отрезка существует такая точка х=с, в которой производная равна

f /(c) = .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), существует такая точка х=с внутри отрезка [а,b], в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна секущей, соединяющей график на концах отрезка.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.малых или б.больших функций в точке х=х0 или на бесконечности при равен пределу отношения их производных:

Правило Лопиталя используется для вычисления пределов при раскрытии неопределенностей типа:

.

Примеры. Вычислить пределы:

1. ;

2. .

4.7.2Признак монотонности функций

Определение: Функция f(x) называется монотонной на интервале, если она на нем или только возрастает, или только убывает.

Если функция монотонно возрастает на интервале, то большему значению аргумента х2x1, соответствует большее значение функции: f(x2)f(x1).

Если функция монотонно убывает на интервале, то большему значению аргумента х2x1, соответствует меньшее значение функции: f(x2)f(x1).

На рисунке на интервале функция монотонно возрастает , а на интервале монотонно убывает.

Введем обозначения

х = х2 - х1 - приращение аргумента и приращение функции:

у = f(x2) - f(x1).

Для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеют одинаковые знаки, а следовательно, отношение 0. Для убывающей функции приращения аргумента и функции имеют противоположные знаки, а следовательно, отношение 0. Так как первая производная функции равна

,

то по знаку производной можно определять участки возрастания и убывания функции.

Необходимый и достаточный признак монотонности функции

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема на интервале и ее производная положительна у, то функция на этом интервале монотонно возрастает, а если производная отрицательна у0, то функция на интервале монотонно убывает.

Свяжем это с геометрическим смыслом первой производной, которая определяет угловой коэффициент касательной. Для возрастающей функции угол наклона касательной острый 00900, а следовательно, у/=tg0. Для убывающей функции этот угол тупой 9001800, у/=tg0.

Отметим, что если в точках первая производная равна нулю или не существует, то в этих точках функция не возрастает и не убывает. Здесь возможны:

точки перегиба, в которых выпуклость графика функции сменяется вогнутостью или наоборот;

точки локального экстремума, в которых участок возрастания функции сменяется участком убывания или наоборот.

Определение: Точки, в которых первая производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками I рода.

4.7.3 Локальные экстремумы функций

Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума (или минимума) функции, если в некоторой окрестности точки х0 функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, т.е. для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется условие f(x) f(x0) (или f(x) f(x0)).

Точки локального максимума или минимума объединены общим названием - точками локального экстремума функции.

Отметим, что в точках локального экстремума функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения лишь в некоторой локальной области. Возможны случаи, когда по значению уmaxуmin .

Необходимый признак существования локального экстремума функции

Теорема. Если непрерывная функция у = f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то в этой точке первая производная либо равна нулю, либо не существует, т.е. локальный экстремум имеет место в критических точках I рода.

В точках локального экстремума либо касательная параллельна оси 0х , либо имеются две касательные (см. рисунок). Отметим, что критические точки являются необходимым, но недостаточным условием локального экстремума. Локальный экстремум имеет место только в критических точках I рода, но не во всех критических точках имеет место локальный экстремум.

Например: кубическая парабола у = х3, имеет критическую точка х0=0, в которой производная у/(0)=0, но критическая точка х0=0 не является точкой экстремума, а в ней имеет место точка перегиба (см. ниже).

Достаточный признак существования локального экстремума функции

Теорема. Если при переходе аргумента через критическую точку I рода слева направо первая производная у / (x)

меняет знак с “+” на “-”, то непрерывная функция у(х) в этой критической точке имеет локальный максимум;

меняет знак с “-” на “+”, то непрерывная функция у(х) имеет в этой критической точке локальный минимум

не меняет знак, то в этой критической точке нет локального экстремума, здесь имеет место точка перегиба.

Для локального максимума область возрастания функции (у/0) сменяется на область убывания функции (у/0). Для локального минимума область убывания функции (у/0) сменяется на область возрастания функции (у /0).

Пример: Исследовать функцию у = х3 + 9х2 + 15х - 9 на монотонность, экстремум и построить график функции.

Решение:

Найдем критические точки I рода, определив производную (у/) и приравняв ее нулю: у/ = 3х2 + 18х + 15 =3(х2 + 6х + 5) = 0

Решим квадратный трехчлен с помощью дискриминанта:

х2 + 6х + 5 = 0 (а=1, в=6, с=5) D= , , х1к = -5, х2к = -1.

2) Разобьем числовую ось критическими точками на 3 области и определим в них знаки производной (у/). По этим знакам найдем участки монотонности (возрастания и убывания) функций, а по изменению знаков определим точки локального экстремума (максимума и минимума).

Результаты исследования представим в виде таблицы, из которой можно сделать следующие выводы:

1. На интервале у /(-10) 0 функция монотонно возрастает (знак производной у оценивался по контрольной точке х = -10, взятой в данном интервале);

2. На интервале (-5 ; -1) у /(-2) 0 функция монотонно убывает (знак производной у оценивался по контрольной точке х = -2, взятой в данном интервале);

3. На интервале у /(0) 0 функция монотонно возрастает (знак производной у оценивался по контрольной точке х = 0, взятой в данном интервале);

4. При переходе через критическую точку х1к= -5 производная меняет знак с "+" на "-" , следовательно эта точка является точкой локального максимума

(ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);

5. При переходе через критическую точку х2к= -1 производная меняет знак с "-" на "+" , следовательно эта точка является точкой локального минимума

(ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

х -5 (-5 ; -1) -1

y / + 0 - 0 +

y 16 -16

max min

3) Построение графика выполним по результатам исследования с привлечением дополнительных расчетов значений функции в контрольных точках:

строим прямоугольную систему координат Оху;

показываем по координатам точки максимума (-5; 16) и минимума (-1;-16);

для уточнения графика рассчитываем значение функции в контрольных точках, выбирая их слева и справа от точек максимума и минимума и внутри среднего интервала, например: у(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6)-9=9; у(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

у(0)= -9 (-6;9); (-3;0) и (0;-9) - расчетные контрольные точки, которые наносим для построения графика;

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

показываем график в виде кривой выпуклостью вверх в точке максимума и выпуклостью вниз в точке минимума и проходящей через расчетные контрольные точки.

4.7.4 Выпуклость, вогнутость графика функции и точки перегиба

Определение: График дифференцируемой на интервале (a;b) функции называется выпуклым (или вогнутым), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Так график кубической параболы у=х3 на интервале выпуклый и лежит ниже своих касательных, а на интервале вогнутый и лежит выше своих касательных.



Отметим, что выпуклость и вогнутость графика функции можно определять по знаку её второй производной. Для кубической параболы у=х3 график на интервале выпуклый, а вторая производная на этом интервале отрицательна у//=(3x2)/=6x<0(при x<0). На интервале её график вогнутый, а вторая производная на этом интервале положительна у//=6x>0(при x>0). Это связано с тем, что вторая производная определяет поведение первой производной. Для выпуклого участка угловой коэффициент касательной, который определяется первой производной, убывает, а следовательно вторая производная отрицательна, а для вогнутого участка наоборот угловой коэффициент касательной возрастает, а следовательно вторая производная положительная.

необходимыЙ и достаточныЙ признак выпуклости и вогнутости

Теорема. Если на интервале (а;b) вторая производная непрерывной функции положительна у//>0, то график функции вогнутый, а если вторая производная отрицательна у//<0, то график функции выпуклый.

Определение: Точка, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Необходимый признак существования точек перегиба

Теорема. Если непрерывная функция y=f(x) имеет точку перегиба хп, то в этой точке вторая производная равна нулю (у//=0) или не существует.

Определение: Точки, в которых вторая производная равна нулю (у//=0) или не существует называются критическими точками второго рода.

Согласно теоремы точки перегиба бывают только в критических точках второго рода, но не во всех в критических точках второго рода имеют место точки перегиба.

Достаточный признак существования точек перегиба

Теорема. Если при переходе аргументом через критическую точку второго рода хп вторая производная меняет знак, то эта критическая точка является точкой перегиба.

Так кубическая парабола у=х3 имеет точку перегиба хп=0, в которой её вторая производная у//=6хп=0 и при переходе через эту точку вторая производная меняет знак с «-» на «+».

4.7.5 асимптоты графиков функций

При исследовании поведения функций на бесконечности при х? или вблизи точек бесконечного разрыва второго рода, когда у? часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой.

Определение: Прямые к которым неограниченно близко приближаются графики функций называются асимптотами.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты имеют место в точках бесконечного разрыва второго рода, когда пределы в этих точках равны бесконечности.

Определение: Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции у=f(x), если стремится к бесконечности хотя бы один из пределов: правый или левый .

Вертикальные асимптоты имеют место, когда функция неопределена в точке при делении на ноль.



Пример. Функция неопределена при

х-1=0 или х=1. В этой точке функция терпит бесконечный разрыв второго рода, т.к.

-левый предел;

-правый предел.

Прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

Здесь же отметим, что на бесконечности при х? эта функция стремится к нулю:

у=f(x) 0, т.к. =0.

Горизонтальная прямая у=0, к которой стремится функция на бесконечности называется горизонтальной асимптотой.

Определение: Прямая у=b называется горизонтальной асимптотой графика функции у=f(x) при х?, если равен числу b любой из пределов: .

Отметим, что эти пределы могут быть разными

,

а следовательно имеют место две горизонтальные асимптоты y=b1и y=b2.

Существуют также наклонные асимтоты.

Определение: Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х ?, если равен нулю любой из пределов .

Для отыскания наклонной асимптоты используют следующую теорему.

Теорема. Для того, чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали по два конечных предела

.

С помощью этих пределов определяются параметры (k и b) наклонных асимптот. Причем пределы при х - ? и при х + ? вычисляются раздельно, т.к. возможны две разные наклонные асимптоты у=k1x+b1 и y= k2x+b2.

Отметим, что горизонтальная асимптота у=b является частным случаем наклонной асимптоты, когда

.

4.7.6 Общая схема исследования функций и построения графиков

Общая схема исследования функций и построения графиков включает следующие этапы:

1. Находится область определения функции D(y);

2. Находятся точки пересечения графика функции с осями координат: у(0) и у(х)=0 и определяются интервалы знакопостоянства функции;

3. Определяются точки разрыва функции, в которых нарушаются условия непрерывности, и вычисляются односторонние пределы в этих точках;

4. Находятся вертикальные асимптоты в точках бесконечного разрыва, а также наклонные и горизонтальные асимптоты при х ?;

5. Находятся критические точки первого рода, в которых первая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы монотонности, а по изменению знака определяются точки локального экстремума;

6. Находятся критические точки второго рода, в которых вторая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы выпуклости и вогнутости, а по изменению знака определяются точки перегиба;

7. Строится график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости рассчитывают несколько контрольных значений функции по её формуле.

Пример выполнения контрольной работы по темам 1-4

Предлагаемый пример является одним из вариантов контрольной работы, предназначенной для студентов заочного отделения, а также используемой, как сводная контрольная для студентов дневного отделения.

Контрольная работа включает четыре задания по первым четырем темам курса.

Контрольная работа

ЗАДАНИЕ 1: Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Вычислим определители системы и неизвестных , х, у и z.

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

х0 ; у0 = z0 =

Проверка: (верно).

Ответ: (х0=0, у0= -1, z0=2)-точка пересечения плоскостей.

ЗАДАНИЕ 2: Даны три точки А(2;-1), В(3;0), С(4;1).

Найти вектор:

Решение:

1) Найдем координаты векторов:

линейный уравнение дифференциал геометрия

Выполним операции над векторами:

ЗАДАНИЕ 3: Записать уравнения: 1) стороны АС, 2) высоты CD и 3) медианы ВЕ в треугольнике с вершинами А(-8;3), В(-6;0), С(6;-5).

Решение:

1) Составим уравнение стороны АС, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:



14*(у - 3)=(-8)*(х + 8)

8х + 14у + 22=0 - искомое уравнение стороны АС;

2) Высота CD АВ .

Найдем

и

Составим уравнение высоты CD, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку С(6;-5) с заданным угловым коэффициентом

: - искомое уравнение высоты CD с угловым коэффициентом.

Запишем его в общем виде, умножив обе части уравнения на 3: 2х-3у-27=0- общее уравнение высоты CD;

3) Медиана ВЕ проходит через середину стороны АС. Найдем координаты Е(хЕ;уЕ)-середины отрезка АС по формулам: . Е (-1;-1) - середина стороны АС.

Составим уравнение медианы ВЕ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

5у = -х-6

х + 5у + 6=0 - искомое уравнение медианы ВЕ;

ЗАДАНИЕ 4: Продифференцировать функцию: .

Решение:

(использовали правила дифференцирования произведения сложных функций).

Контрольные вопросы по темам 1-4, выносимые на экзамен

1. Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными (дать геометрический смысл и. рассмотреть возможные условия решения системы методом Крамера).

2. Матрицы и определители 2-го порядка и их свойства.

3. Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными (дать геометрический смысл и. рассмотреть возможные условия решения системы методом Крамера).

4. Матрицы и определители 3-го порядка (дать два способа вычисления определителей - методом диагоналей и методом разложения с использованием миноров и алгебраических дополнений).

5. Прямоугольные и квадратные матрицы систем с многими неизвестными, ранг матриц и эквивалентные преобразования матриц.

6. Теорема Кронекера-Капели. Сущность методов Гаусса и Жордана-Гаусса.

7. Основные действия с матрицами (сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число, произведение матриц, транспонирование и обращение матриц).

8. Матричный метод решения системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

9. Что представляют собой скалярные и векторные величины? Привести примеры этих величин.

10. Дать определение вектора и указать, чем определяется вектор. Привести формулы вычисления модуля и направления вектора.

11. Рассмотреть линейные операции над векторами геометрическими методами.

12. Дать определения компоненты и проекции вектора на координатную ось. Привести формулы вычисления проекции и связи её с компонентой.

13. Разложение вектора на компоненты и координатная форма представления векторов.

14. Линейные операции над векторами аналитически в координатной форме.

15. Дать определение прямой линии на плоскости и привести общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

16. Как находится угол между двумя прямыми? Записать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

17. Как определяются длина отрезка и координаты его середины?

18. Окружность, её основное свойство и канонические уравнения со смещенным и несмещенным центром.

19. Эллипс, его основное свойство и канонические уравнения со смещенным и несмещенным центром.

20. Гипербола, её основное свойство и канонические уравнения со смещенным и несмещенным центром.

21. Парабола, её основное свойство и канонические уравнения со смещенной и несмещенной вершиной.

22. Дать определения функции, аргумента, области определения и привести способы задания функции.

23. Дать определение предела функции в точке и на бесконечности.

24. Дать определения б.малой и б.большой функций и теорему о их связи.

25. Непрерывность функции в точке и виды точек разрыва. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.

26. Дать определение производной функции и привести основные правила дифференцирования.

27. Дать геометрический и физический смысл первой и второй производной.

28. Сформулировать основные теоремы дифференциального исчисления - теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и правило Лопиталя.

29. Дать определение монотонности функций и сформулировать необходимый и достаточный признак монотонности.

30. Дать определение локального экстремума функции и сформулировать необходимый и достаточный признаки существования локального экстремума.

31. Дать определение выпуклости и вогнутости графика функций и сформулировать необходимый и достаточный признак выпуклости и вогнутости.

32. Дать определение точек перегиба графика функции и сформулировать необходимый и достаточный признаки существования локального экстремума.

33. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

34. Общая схема исследования и построения графиков функций.

5. Функция двух переменных

пусть мы имеем три переменные величины x; y и z. две из них x и y - независимые переменные, принимающие произвольные значения в пределах некоторой области D. Третья z является зависимой переменной, принимающей значения в пределах некоторого множества Е в зависимости от значений x и y.

Определение: Функцией двух независимых переменных x и y называется закон или правило, по которому каждой паре значений (x,y) из области D ставится в соответствие единственное значение z из множества Е.

Функция двух переменных обозначается: z = f(x,y) = z(x,y).

Независимые переменные x и y называются аргументами. Зависимая переменная z называется функцией. Множество пар значений аргументов x и y образует область D, которая называется областью определения функции. Множество Е называется множеством значений функции. Символ f означает тот закон или правило, по которому множество пар значений аргументов (х, у) преобразуется во множество значений функции z. С помощью этого правила область D преобразуется в множество Е. Показывают .

Функция считается заданной, если указан закон или правило, по которому определяется значение функции z=f(x,y) по заданным значениям аргументов х и у.

Способ задания функции двух переменных может быть:

1. Аналитическим, с помощью формул;

2. Графическим, с помощью графика;

3. Табличным, с помощью таблиц

4. Программным и др.

Наиболее распространен аналитический способ с помощью формул.

Например: 1); 2)z = log3(4x+2y2); 3) z =.

Задав аргументам конкретное значение х=х0 и у=у0 из области определения функции (D), по формуле можно вычислить значение функции z0=f(x0,у0), которое называется частным значением функции.

При аналитическом способе важно знать область определения функции (D).

Определение: Областью определения функции (D) называется множество пар значений аргументов (х,у), при которых функция принимает действительное значение, т.е. для любой пары чисел (х0;у0) D может быть рассчитано по формуле частное значение функции z0=f(x0;y0).

При нахождении D в аналитическом способе существует ряд ограничений:

1. Под знаком четного корня должна быть неотрицательная величина;

2. Под знаком логарифма должна быть только положительная величина;

3. Деление на ноль запрещено и др.

Пример. Найти область определения для функции

.

Решение: Функция определена при условии: х2+у2-40 х2+у24. Область определения D имеет границу в виде окружности х2+у2=4 с радиусом r =. Для уточнения местоположения области D возьмем две контрольные точки: М1(0;0) - внутри окружности и М2(3;0) - вне окружности. Подставим координаты этих точек в неравенство х2+у24 и проверим выполняется ли оно, а следовательно принадлежат или нет точки области D. М1(0;0): 02+02 4 0 4 М1(0;0) D; М2(3;0): 32+024 94 М2(3;0)D.

Ответ: Областью определения функции является множество точек плоскости, лежащих вне окружности х2+у2=4 радиусом R=2, включая точки окружности.

Если представить переменные x; y и z прямоугольными координатами, то каждая пара значений (x, y) определяет некоторую точку М(x, y) на плоскости Оxy. В этом случае функция двух переменных является функцией точки плоскости, т.е. z=f(x;y)=f(М). При этом множество точек М(x, y) образует на плоскости область определения функции Д.