Высшая математика

Значение функции z=f(x;y) определяет точку М(x;y;z) в пространстве. При этом множество значений этой функции образуют некоторую поверхность в пространстве, которая называется графиком функции z=f(М).

Построение графика функции осуществляется методом сечений с помощью, например, линий уровня. Этот способ заключается в том, что поверхность z=f(М) рассекают горизонтальными плоскостями, задавая различные значения z=С1, С2, С3, ... При этом получаются горизонтальные линии сечения f(x,y)=С1,С2,С3,..., которые называются линиями уровня. Они определяют характер графика функции z=f(x;y).

Пример. Построить график z=x2 +y2. Составим линии уровня.

1). z=0 x2+y2=0 или x=y=z=0 - точка начало координат;

2). z=1 x +y2=1 - окружность r=1;

3). z=4 x2+y2=22 - окружность r=2.

Следовательно, в каждом горизонтальном сечении поверхности будет окружность.

Если рассечь поверхность вертикальными плоскостями х=0 и у=0 получим в сечениях параболы z=y2 и z=x2. Графиком функции z=x2 +y2 является поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Аналогичным образом можно ввести понятие функции трех, четырех и многих переменных. Ниже мы рассматриваем только функцию двух переменных.

5.1 Предел и Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z=f(x;y) определена в окрестности некоторой точки М0(х0;у0).

Рассмотрим последовательность точек на плоскости: {Мn(xn;yn)}=М1(х1;у1), М2(х2;у2), …Мn(xn;yn). Говорят, что эта последовательность сходится к точке М0(х0;у0), если xnх0 и ynу0 . При этом значения функции образуют числовую последовательность {zn=f(xn;yn)}=f(x1;y1),f(x2;y2),…f(xn;yn).

Определение: Число А называется пределом функции z=f(x;y) в точке М0(х0;у0) при xnх0 и ynу0 , если для любой последовательности точек {Мn(xn;yn)} сходящейся к точке М0(х0;у0), соответствующая последовательность значений функции {f(xn;yn)} стремится к числу А, т.е. {f(xn;yn)>A.

Предел в точке обозначается:

.

Введем понятие непрерывности функции в точке.

Определение: Функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке М0(х0;у0), если выполняются два условия:

1. Функция определена в этой точке, т.е. существует частное значение функции z0=f(x0,y0);

2. Существует конечный предел функции в этой точке, который равен частному значению, т.е.

.

Определение: Точки, в которых нарушено хотя бы одно из этих условий непрерывности, называются точками разрыва.

Точки разрыва бывают I и II рода - точки скачка и точки бесконечного разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в некоторой области D, если она непрерывна в каждой ее точке.

Пример. Исследовать функцию на непрерывность

z=.

Решение: Функция z= неопределена при условии: x2-y=0. Следовательно, при y=x2 нарушено 1-е условие. Функция терпит бесконечный разрыв II рода в точках параболы y = x2, т.к.

.

Ответ: Функция непрерывна всюду, кроме точек параболы y=x2, где она терпит бесконечный разрыв II рода.

5.2 Частные производные функции двух переменных

Пусть функция z = f(x; y) непрерывна в некоторой области D. Если переменной x дать приращение Дx, оставляя при этом переменную y неизменной, то функция получит частное приращение ДxZ = f(x + Дx, y) - f(x, y).

Определение: Частной производной функции z = f(x; y) по переменной x называют предел отношения частного приращения функции ДxZ к приращению аргумента Дx при Дx >0.

Частная производная обозначается

.

Аналогично вводятся понятия: частного приращения функции по переменной y при неизменном значении x:

,

а также частной производной:

Частные производные определяют скорости изменения функции по направлениям x или y и численно равны угловым коэффициентам касательных к этим направлениям.

Определение: Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой на некоторой области D, если в каждой точке этой области существуют её конечные частные производные f/x и f/y.

Вычисление частных производных осуществляется обычным способом, используя таблицу производных и основные правила дифференцирования. При этом полагают, что изменяется лишь одна переменная, другая остается постоянной.

Пример. Найти частные производные функции :z = x2y3 - sinx + ey.

Решение: ;

.

5.3 Полный и часные дифференциалы функции двух переменных

Если обоим аргументам х и у дать одновременно приращения Дx и Дy, то функция z = f(x; y) получит полное приращение: ДZ = f(x+Дx, y+Дy) - f(x, y).

Определение: Полным дифференциалом функции z=f(x;y) называется главная часть полного приращения ДZ, линейная относительно приращений аргументов Дx и Дy, которая вычисляется по формуле:

,

где -частные производные;

-дифференциалы аргументов, совпадающие с их приращениями.

Определение: Частным дифференциалом называется произведение частной производной на дифференциал аргумента:

Видим, что полный дифференциал функции двух переменных равен сумме частных дифференциалов:

отметим, что при малых приращениях аргументов Дx и Дy полное приращение функции

можно заменить его главной частью - полным дифференциалом

т.е. ДZ ? dZ или

.

Эту формулу можно записать в виде:

.

Данная формула широко используется для оценки значения функции в точке М(x+?x, y+?y), если известно значение функции в точке Мо(x,y).

5.4 Частные производные высших порядков

пусть дана функция z=f(x;y), имеющая частные производные

если эти частные производные продифференцировать по х, а затем по у, то получим частные производные 2-го порядка:

производные называются смешанными.

Теорема. Если функция z=f(x;y) и её смешанные частные производные непрерывны в некоторой области D, то эти производные равны друг другу и порядок вычисления не влияет на результат, т.е.

.

Пример. Найти смешанные частные производные функции: z=x2y3 - sinx + ey.

Решение: ;

;

Смешанные производные равны друг другу, т.к. они и сама функция непрерывны при любых значениях х и у.

5.5 Экстремум функции двух переменных

Определение: Точка Мо(хо;уо) называется точкой локального экстремума (максимума или минимума) функции двух переменных z=f(x;y), если значение функции в точке Мо(хо;уо) является наибольшим или наименьшим в некоторой окрестности этой точки.

Необходимое условие экстремума

Теорема. Если функция Z = f(X; Y) достигает экстремума в точке Мо(хо, уо), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

.

Определение Точки, в которых частные производные равны нулю называются критическими или стационарными точками.

В связи с тем, что частные производные геометрически определяют угловые коэффициенты касательных, то в критических точках касательные по направлениям х и у параллельны координатным осям, т.к.

.

Данное условие является необходимым, но не достаточным условием. Не во всех критических точках имеет место экстремум.

Достаточное условие экстремума

Теорема. Для того, чтобы установить является ли критическая точка Мо(хо;уо) точкой экстремума, достаточно найти значения частных производных 2-го порядка в этой точке:

и вычислить определитель

Д==АС - В2.

тогда:

1. Если Д > 0, то функция в критической точке М0 имеет экстремум, причем, если А < 0, то максимум, а если А > 0, то минимум;

2. Если Д < 0, то в критической точке М0 нет экстремума;

3. Если Д = 0, то требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: 1)Найдем частные производные 1-го и 2-го порядка:

2)Найдем критические точки, в которых частные производные 1-го порядка равны нулю:

- точка Мо(0;3) - критическая;

3)Определим наличие экстремума в критической точке Мо(0;3).

Вычислим частные производные 2-го порядка в критической точке и найдем определитель, составленный из этих производных

Д=АС-В2=4-1=3>0, где

Так как Д=3> 0 и А=2> 0, то критическая точка Мо(0; 3) является точкой минимума..

4)Найдем значение функции в точке минимума zmin(0;3)=02+0*3+32 -6*3-3*0=-9

Ответ: zmin(0;3)= -9 - точка минимума.

Отыскание наибольшего и наименьшего значения в замкнутой области

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных z = f(x; y) в некоторой замкнутой области D. Граница области D на плоскости задана уравнением линии у=у(х). Наибольшее и наименьшее значения функция могут достигать либо во внутренних критических точках области, либо на границе области. Поэтому, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области необходимо:

1. Найти критические точки, лежащие внутри области, приравняв к нулю первые частные производные.

2. Вычислить значения функции во внутренних критических точках.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе всей области.

4. Сравнить значения функции в критических точках внутри области и на ее границе и выбрать наибольшее и наименьшее значения функции.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2+2y2-2x-5 в области D, ограниченной сверху - окружностью х2+у2=4, а снизу - прямой у=0.

Решение: Наибольшее и наименьшее значения функции возможны либо внутри области D в критических или стационарных точках, где возможны локальные экстремумы функции, либо на его границе.

1)Найдем критические точки в области D, приравняв нулю частные производные:

x0=1, у0=0.

Точка М0(1;0) - критическая точка, в которой возможен локальный экстремум функции. Найдем значение функции в этой критической точке z(1;0)=1+0-2-5= -6;

2)Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. Исследуем функцию на каждой границе отдельно.

2а)На окружности: х2+у2=4. Радиус окружности - R=

Выразим и подставим в функцию это уравнение. Получим функцию одной переменной: z=x2+2(4-x2)-2x-5 =-x2-2x+3.

Найдем для этой функции критические точки, в которых производная равна нулю: z/=-2x-2=0 x0=-1-критическая точка.

Вычислим значение функции в этой точке: z(-1)= -(-1)2-2*(-1)+3 = 4.

2b)На прямой: у=0. Подставим в функцию это уравнение: z=x2-2x-5. Получим функцию одной переменной. Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке -2 х 2, которые будут либо внутри отрезка в критических точках, где возможны локальные экстремумы, либо в граничных точках отрезка при х1=-2 или х2=2.

Найдем критические точки функции, где производная равна нулю: z/=(x2-2x)/=2х-2=0. Имеем одну критическую точку: х0=1.

Вычислим значения функции в этой критической точке и в граничных точках х1=-2 и х2=2: z(1)=12-2-5=-6; z(-2)=(-2)2 -2*(-2)-5=3; z(2)=22-2*2-5=-5.

3)Выпишем значения функции во всех критических и граничных точках области: z(1;0)=-6; z(-1)=4; z(1)=-6; z(-2)= 3; z(2)=-5. Выберем наибольшее и наименьшее значения функции zнаиб(-1)=4, zнаим(1;0)= -6. Ответ: zнаиб(-1)=4, zнаим(1;0)= -6.

6. Неопределенный интеграл

6.1 Первообразная функция и ее свойства

Дифференцирование и интегрирование являются взаимно противоположными математическими операциями.

При дифференцировании по исходной функции F(x) находится ее производная , которая определяет скорость изменения исходной функции (по известному пути находится скорость).

При интегрировании, наоборот, по производной находится исходная, так называемая первообразная функция F(x) ( по скорости находится путь).

Определение: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) в некоторой области D, если в каждой точке этой области ее производная

или

Пример. является первообразной для т.к.

.

Отметим, что задача нахождения первообразной решается неоднозначно.

Так является также первообразной для

,

где C - произвольная константа.

основные свойства первообразной

Сформулируем основные свойства первообразной в виде теорем.

Теорема 1. Если F(x) - первообразная от функции f(x), то и F(x)+C является также первообразной f(x).

Теорема 2. Любые две первообразные от одной функции f(x) отличаются друг от друга на постоянную величину , где C - произвольная константа.

Теорема 3. (Теорема Коши). Всякая непрерывная на отрезке функция f(x) имеет первообразную F(x).

6.2 Неопределенный интеграл

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех её первообразных F(x)+C.

Неопределенный интеграл обозначается:

,

где - знак интеграла, f(x) - подинтегральная функция, f(x)dx - подинтегральное выражение, x - переменная интегрирования, F(x) - первообразная, C - произвольная константа.

Название неопределенный интеграл отражает тот факт, что при интегрировании находим не одну, а целое семейство первообразных функций.

основные Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подинтегральной функции:

.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной константе:

4. Неопределенный интеграл инвариантен относительно переменной интегрирования и вид первообразной не зависит от переменной интегрирования.

Если , то .

Пример: .

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

6. Постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла:

.

Таблица основных интегралов

1. , где u=u(x) 2.,()

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14, (a=const)

15. 16. .

17. 18.

каждую формулу таблицы можно доказать, используя первое свойство неопределенного интеграла:

,

путем дифференцирования правой части и получения подинтегральной функции.

Докажем, например, формулу 2:

.

Покажем, что производная от этого интеграла равна подинтегральной функции:

.

6.3 основные методы интегрирования

6.3.1 Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования заключается в алгебраическом преобразовании подинтегрального выражения и приведении к ряду табличных интегралов.

Рассмотрим метод непосредственного интегрирования на примерах.

Задание. Вычислить интегралы:

пример 1.

пример 2.

пример 3.



6.3.2 Метод подстановки или замены переменной

Метод подстановки или замены переменной заключается в том, что либо часть подинтегрального выражения заменяют через новую переменную u, либо переменную интегрирования х заменяют через вспомогательную функцию новой переменной u: .

При этом вспомогательная функция должна быть дифференцируемой функцией, т.е. иметь производную: , а также иметь обратную функцию для обратной подстановки в конце вычисления интеграла. Тогда можно записать основную формулу подстановки:

.

Рассмотрим метод подстановки на примерах.

Задание. Вычислить интегралы:

пример 1.

пример 2.

пример 3.



пример 4.

пример 5.

6.3.3 Метод интегрирования по частям

Пусть U(x) и V(x) - дифференцируемые функции. Рассмотрим дифференциал произведения этих функций

d(UV)=UdV+VdU

и проинтегрируем это выражение почленно:

или ,

откуда получаем формулу интегрирования по частям:

Использование этой формулы предполагает, что является более простым, чем

При использовании этого метода надо уметь разбивать подинтегральное выражение на две части U и dV.

Можно выделить две характерные группы разбиения.

Первая группа, к ней относят интегралы вида:

,

где - многочлен n-ой степени,

.

В этой группе , а

Вторая группа, к ней относят интегралы вида:

,

в этой группе

, а

Рассмотрим метод интегрирования по частям на примерах.

Задание. Вычислить интегралы:

пример 1.



пример 2.

пример 3.

При вычислении интеграла неправильную дробь привели к правильной дроби путем деления числителя на знаменатель и выделения целой части:

.

Подробнее интегрирование рациональных дробей рассмотрим ниже.

6.3.4 интегрирование рациональных дробей

Определение: Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией называют отношение двух многочленов:

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если наибольшая степень числителя (m) меньше наибольшей степени знаменателя (n), т.е. при m<n, и наоборот, при mn дробь называется неправильной.

Всякую неправильную дробь можно привести к правильной путем выделения целой части при делении многочленов.

Пример.

интегрирование рациональных дробей выполняется путем их разложения на простейшие дроби.

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается на линейные и квадратные сомножители

,

где х1, х2-корни многочлена, можно представить единственным образом в виде суммы простейших элементарных дробей:

,

где А1, А2, Мi, Ni - неопределенные коэффициенты разложения.

Для нахождения коэффициентов разложения необходимо правую часть равенства привести к общему знаменателю и приравнять числители левой и правой частей, которые представлены многочленами.

Известно, что многочлены равны друг другу, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х левой и правой частей, получаем систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решив эту систему, находим эти коэффициенты разложения. Этот метод называется методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить дробь на простейшие дроби: .

1. Данная дробь неправильная. Приведем ее к правильной, разделив многочлены.

=.

2. Разложим знаменатель на простейшие сомножители:

.

3. Разложим правильную дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:

приравниваем коэффициенты при равных степенях:

При

Из (1) М=-А; из (3) N = A - 4. Подставляем в (2) и получаем A+A-4 +A=2;

3A = 6; A = 2; M = - 2; N = - 2.

Подставим полученные коэффициенты и получим дробь

.

Тогда неправильную дробь можно представить в виде:

==2х +.

Интегрирование рациональной дроби рассмотрим на примере.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение. Дробь неправильная, которую мы разложили на простейшие (см. выше):

=2х +.

Интегрируем рациональную дробь путем интегрирования целой части и простейших дробей.

последний интеграл возьмем отдельно. Этот интеграл содержит квадратный трехчлен: х2+х+1.

Интегрирование выражений с квадратным трехчленом

Интегрирование выражений с квадратным трехчленом

выполняется с помощью универсальной подстановки:

u=.



Тогда +

6.3.5 интегрирование иррациональных выражений

Рассмотрим метод подстановки при интегрировании иррациональных выражений вида:

,

где - корни - иррациональные числа.

в этих выражениях за новую переменную берут подстановку: , где р-наименьший общий знаменатель дробей

Рассмотрим интегрирование иррациональных выражений на примерах.

пример1. Вычислить интеграл

.

Решение.



пример1. Вычислить интеграл

.

Решение.

7. определенный интеграл

7.1 задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Мощным средством исследования в математике и других дисциплинах является определенный интеграл. С помощью определенного интеграла решаются разнообразные геометрические и физические задачи, например, вычисление: площадей, длин линий, объемов, работы и др.

I. Рассмотрим геометрическую задачу по определению площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке задана непрерывная, неотрицательная функция . Тогда на координатной плоскости Оху под графиком y=f(x) образуется фигура, ограниченная прямыми x=a, x=b и y=0, которая называется криволинейной трапецией.

Определим ее площадь. Для этого разобьем произвольным образом отрезок на n-частей точками разбиения: а=х0<х1<х2<...<хn=в. выберем на каждом элементарном отрезке , произвольные точки сi, где i=1,2,…n. Вычислим значения функции в этих точках: f(ci).

Рассмотрим ступенчатую фигуру, представленную системой прямоугольников с основаниями xi=xi-xi-1 и высотами h=f(ci). Площадь ступенчатой фигуры выразим через сумму площадей n-прямоугольников: . Эта сумма для функции f(x) на отрезке называется интегральной суммой.

Обозначим через d - длину наибольшего элементарного отрезка разбиения, т.е. d=max. Если увеличивать количество точек разбиения неограниченно так, чтобы , то площадь ступенчатой фигуры будет максимально приближаться к площади криволинейной трапеции S, т.е. . Этот предел для непрерывной функции у=f(x) существует и не зависит от разбиения и выбора промежуточных точек.

II. Рассмотрим физическую задачу о работе переменной силы.

Пусть тело под действием переменной силы F(x), направленной вдоль оси Ох, перемещается из точки х=а в точку х=в. если бы сила была постоянной, то работа по перемещению тела была равна произведению силы на длину отрезка . Но сила меняет свое значение в каждой точке х.

Для вычисления работы А разобьем произвольным образом отрезок на n - частей точками а=х0, х1, х2 ... хn=в. на каждом элементарном отрезке хi выберем произвольные промежуточные точки сi и определим значения силы в этих точках F(ci). Положим, что на элементарных отрезках хi сила сохраняет постоянную величину F(ci). Тогда работа по перемещению тела из точки а в точку в может быть приближенно выражена суммой:

.

Если увеличивать неограниченно число разбиений так, чтобы наибольшая длина элементарного отрезка разбиения d=max>0, то сумма , которая называется интегральной суммой, будет стремиться к истинному значению работы переменной силы, т.е.

.

Вышеприведенные задачи сводятся к вычислению предела интегральных сумм, приводящего к понятию определенного интеграла.

7.2 Определенный интеграл

Определение 1. Определенным интегралом от непрерывной на отрезке функции у=f(x) называется конечный предел интегральной суммы

=,

когда наибольшая длина элементарного отрезка разбиения

d=max>0.

Определенный интеграл обозначается:

,

где-знак интеграла; а и в - нижний и верхний предел интегрирования; f(x) - подинтегральная функция; х - переменная интегрирования.

Исходя из данного определения, выразим пределы интегральных сумм площади криволинейной трапеции и работы переменной силы через определенный интеграл:

-формула расчета площади криволинейной трапеции;

-формула расчета работы переменной силы.

Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Геометрически определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, расположенной под графиком функции у=f(x) на отрезке .

Физически определенный интеграл равен работе по перемещению тела из точки а в точку в под действием переменной силы.

Определение 2. Определенным интегралом от непрерывной на отрезке функции у=f(x) называется число, равное приращению ее первообразной на этом отрезке, которое вычисляется как разность значений первообразной по верхнему минус по нижнему пределу:

,

где - приращение первообразной.

Данная формула называется формулой Ньютона-лейбница, которая позволяет находить определенный интеграл как разность значений первообразной функции.

Последнее определение позволяет связать понятия определенного и неопределенного интегралов. Так, если неопределенный интеграл представляет собой множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на произвольную константу, то определенный интеграл является приращением первообразной функции на отрезке .

тогда связь между определенным и неопределенным интегралами может быть записана в виде

:.

Последняя формула позволяет вычислять определенный интеграл путем предварительного нахождения неопределенного интеграла без произвольной константы и последующего вычисления разности значений первообразной по верхнему минус по нижнему пределам.

Связь между определенным и неопределенным интегралами позволяет перенести ряд основных свойств и методов расчета неопределенного интеграла на определенный.

7.3 Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл инвариантен относительно переменной интегрирования, т.е. не зависит от переменной интегрирования:

 ( )

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

.

3. Постоянный множитель может быть вынесен за знак определенного интеграла:

.

4. Определенный интеграл меняет свой знак при перестановке пределов интегрирования:

.

5. Для любых трех чисел «а», «в» и «с» справедливо равенство:

.

6. Теорема о среднем. Определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции у=f(x) равен произведению длины этого отрезка на среднее значение функции в некоторой точке х=с, т.е.



,

где - называется средним значением функции на отрезке .

Геометрический смысл этого свойства: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой, равной среднему значению функции.

7. Теорема об оценке определенного интеграла.

Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке (а < в), то значение определенного интеграла может быть оценено по формуле:

.

Действительно, т.к.

и проинтегрируем:

 .

8. Теорема о сравнении определенных интегралов. Если на отрезке

.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ

Определение: Функция у=f(x) называется интегрируемой на отрезке , если существует определенный интеграл .

Теорема 1. Для того чтобы функция у=f(x) была интегрируемой на отрезке необходимо, чтобы функция была ограниченной.

Замечание. Любая интегрируемая функция является ограниченной, но не все ограниченные функции являются интегрируемыми, т.е. обратная Теорема не верна.

Теорема 2. Любая непрерывная функция f(x) на отрезке является интегрируемой.

Условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости ее на отрезке .

7.4 Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Связь между неопределенным и определенным интегралами

Определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и в представляет собой число, равное площади криволинейной трапеции.



Если изменять, например, верхний предел интегрирования, не выходя из отрезка , то величина интеграла будет изменяться, т.е. представлять собой функцию своего верхнего предела. Обозначим интеграл с переменным верхним пределом через

Ф(х)=,

где t - инвариантная переменная интегрирования; а х в.

Геометрически Ф(х) - представляет переменную площадь заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции. При этом Ф(х) - возрастающая функция - с ростом х площадь криволинейной трапеции увеличивается.

Рассмотрим основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, которая устанавливает связь между производной и интегралом.

Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции у=f(x) по переменному верхнему пределу существует и равна значению подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

.

Таким образом, для любой непрерывной на отрезке функции у=f(x) интеграл с переменным верхним пределом Ф(х)= является первообразной, т.к. .

В связи с тем, что все первообразные для функции у=f(x) отличаются лишь на постоянную величину, то можно написать связь между неопределенным и определенным интегралами в виде:

.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Если Ф(х) = первообразная для f(x), то любая другая первообразная F(x) отличается от первой на произвольную константу т.е. Ф(х)==F(x)+C. Приняв х=а, получим Ф(а)==F(а)+C=0. Откуда С=-F(a). Приняв х=в и подставив С=-F(a), получим: - это формула Ньютона-Лейбница.

7.5 Основные методы вычисления определенного интеграла

Связь между определенным и неопределенным интегралами позволяет перенести основные методы вычисления неопределенного интеграла на определенный интеграл.

Рассмотрим некоторые особенности этих методов.

Метод подстановки или замены переменной

При вычислении определенного интеграла переменную интегрирования х можно заменить на новую, вспомогательную функцию (где u - новая переменная), удовлетворяющую следующим условиям:

1)функция - непрерывно-дифференцируемая функция, ;

2)значения функции не выходят за пределы отрезка при изменении новой переменной в пределах ;

3) . Тогда справедлива формула подстановки или замены переменной:

.

Пример:

Замечание При замене переменной для вычисления неопределенного интеграла необходимо возвращаться от новой переменной u к старой х. При вычислении определенного интеграла, перейдя к новым пределам интегрирования б и в, обратный переход к старой переменной х не выполняется.

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Пусть U(x) и V(x) - непрерывно-дифференцируемые функции на отрезке . Рассмотрим дифференциал произведения этих функций . Проинтегрируем это выражение почленно

.

Откуда получаем формулу интегрирования по частям:.

Рассмотрим на примерах.

примеры. Вычислить интегралы.

1.

2.

ИНТинтЕГРИРОВАНИЕ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙНА СИММЕТРИЧНОМ ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим интеграл вида: .

Представим его в виде: . В первом интеграле сделаем замену переменной, то.

Тогда .

Рассмотрим интегрирование четных и нечетных функций на симметричном интервале:

1) Если f(x) - четная, то f(-x) = f(x), тогда.

2) Если f(x) - нечетная, то f(-x)=-f(x), тогда.

примеры. Вычислить интегралы.

1..

2. .

7.6 Приложение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач

Определенный интеграл может быть применен для решения разнообразных геометрических и физических задач. При этом могут быть использованы две схемы расчета.

Первая схема основана на составлении интегральных сумм и переходе к определенному интегралу как пределу интегральных сумм при неограниченном числе разбиения.

По первой схеме рассмотрены выше задачи - вычисление площади криволинейных трапеций и работы переменной силы, приводящие к понятию определенного интеграла.

Вторая схема решения задач основана на представлении дифференциала искомой величины и последующего его интегрирования.

Рассмотрим вторую схему расчета.

Пусть требуется найти некоторую геометрическую или физическую величину U, которая зависит от параметра х. Этот параметр изменяется в пределах а ? х ? в.. Далее поступаем по следующей схеме:

1. Задаем в пределах а ? х ? в параметру произвольное значение х. При этом искомая величина примет значение U(x).

2. Даем параметру бесконечно малое приращение Дх=dx. При этом искомая величина получит приращение ДU, которое приближенно представим дифференциалом: ДU?dU.

3. Выразим дифференциал в виде: dU=f(x)dx , где f(x) - определяемая из условия задачи функция от х. При этом используется допущение, что при изменении параметра х на бесконечно малую величину Дх=dx, изменение искомой величины будет пропорциональным dx , т.е. dU=f(x)dx, где в качестве коэффициента пропорциональности принимается значение функции f(x).

4. Находим искомую геометрическую или физическую величину, интегрируя дифференциал dU в пределах изменения параметра а ? х ? в :

.

В данном случае интеграл выступает в качестве сумматора бесконечно малых приращений искомой величины.

Воспользуемся описанной схемой для расчета ряда геометрических и физических величин.

7.6.1 Расчет площади криволинейных фигур

Пусть на отрезке [а,в] заданы две непрерывные функции , причем для любого х принадлежащего [а, в] .

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а также вертикальными прямыми х=а и х=в.

Возьмем на отрезке [а;в], произвольное значение аргумента х и дадим ему бесконечно малое приращение dx. Площадь криволинейной фигуры получит бесконечно малое приращение ?S, которое мы можем приближенно представить в виде дифференциала площади ?S?dS. Дифференциал площади выразим в виде площади прямоугольного элемента с основанием dx и высотой т.е. . Для определения всей площади криволинейной фигуры, заключенной между кривыми проинтегрируем этот дифференциал в пределах [a, в]:

(1) - это формула расчета площади криволинейной фигуры.

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной графиками параболы и прямой линии .

Построим кривые , задавая значение х в характерных точках:

х	0	±1	±2
у1	2	1	-2
у2	0	±1

Для нахождения площади заштрихованной фигуры, определим пределы интегрирования, которыми будут абсциссы точек пересечения этих кривых. Для этого решим совместно систему уравнений:

х1=-2; х2=1-абциссы точек пересечения линий, которые будут пределами интегрирования.

Тогда площадь фигуры будет:

Формула (1) является общей для любых фигур, заключенных между заданными линиями у1(x) и у2(x).

Если возьмем нижнюю линию у2(x)=0 - ось абсцисс, то получим формулу расчета криволинейной трапеции, ограниченной кривой у1(x) и осью абсцисс: .

Данная формула была получена выше, по первой схеме расчета, исходя из предела интегральных сумм.

7.6.2 Длина дуги кривой

Пусть в прямоугольных координатах задана кривая уравнением у=f(x) на отрезке [а, в], где у=f(x) - непрерывная на отрезке функция.



Возьмем на отрезке [а, в] произвольное значение аргумента х и дадим ему бесконечно малое приращение dx, что приведет к приращению dy и приращению длины дуги, которое представим её дифференциалом dL. Дифференциал дуги dL приближенно равен длине секущей, вычисляемой по формуле Пифагора:

Для определения длины всей дуги проинтегрируем ее дифференциал в пределах а ? х ? в и получим формулу длины дуги кривой: .

7.6.3 Вычисление работы, выполненной действием переменной силы

Данная задача рассмотрена выше по первой схеме расчета через предел интегральных сумм. Рассмотрим эту же задаче по второй схеме.

Пусть тело под действием переменной силы F(x), направленной вдоль оси Ох, перемещается из точки х=а в точку х=в. Требуется определить работу А, совершаемую силой F(x) по перемещению тела вдоль оси Ох из точки х=а до точки х=в. Функция F(x) предполагается непрерывной на отрезке [a,в].

Возьмем на отрезке [a,в] произвольное значение х и дадим ему бесконечно малое приращение dx. Выразим дифференциал работы dA по перемещению тела из точки х в точку x+dx. Предполагаем в виду малости величины dx, значение силы F(x) на этом этапе постоянное. Тогда дифференциал работы равен произведению силы на перемещение, т.е. dA=F(x)dx. Всю работу по перемещению тела из точки х=а в точку х=в находим интегрированием этого дифференциала, т.е.

-формула расчета работы переменной силы.

Данная формула получена и по первой схеме расчета через предел интегральныхсумм.

Пример: Электрический заряд е1, помещенный в начало координат, отталкивает заряд того же знака е2 с силой

(Закон Кулона).

Определить работу А силы F при перемещении заряда е2 из точки х=а в точку х=в.

Решение:

Выразим дифференциал работы dA по перемещению заряда е2 из произвольной точки x в точку х+dx, предполагая в виду малости dx - F(x)=const. Тогда. dA=F(x)dx.

Вся работа по перемещению заряда е2 из точки а в точку в определится интегрированием этого дифференциала:

.

8. Несобственные интегралы

Рассмотрим два вида несобственных интервалов:

1. Несобственные интегралы I-го рода с бесконечными пределами интегрирования;

2. Несобственные интегралы II-го рода от функций с бесконечными разрывами.

8.1 Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами интегрирования

Определение: Интегралы вида: называются несобственными интегралами I-го рода с бесконечными пределами, которые определяются с помощью пределов:

Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.

Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.

Действительно, пусть функция f(x) определена и непрерывна при любом значении x=в из полубесконечного отрезка [a, +?).

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом: , где в>a. При изменении «в» интеграл изменяется, при этом он является непрерывной функцией от «в». Если при в >+? существует конечный предел , то этот предел и определяет несобственный интеграл от функции f(x) на интервале [a, +?) и обозначается:

=.

Если указанный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае он расходится.

Если f(x) ? 0, то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной справа области, заключенной между линиями y=f(x), x=a и y=0. В этом и заключается геометрический смысл несобственного интеграла.

Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

;

.

В последнем выражении интеграл сходится, если существуют одновременно оба предела.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение.

Во многих случаях бывает достаточно установить - сходится данный интеграл или расходится и оценить его значение. Для этого полезно знать следующие теоремы, которые мы приведем без доказательства с примерами.

теоремы сходимости Для знакоположительных функций

Теорема 1. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0?f(x)?g(x) при любом х ? а, несобственный интеграл от большей функции сходится, то несобственный интеграл от меньшей функции также сходится. Причем

? .

Пример. Исследовать сходимость интеграла:

.

Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией . Для знакоположительных на интервале [0;+] функций имеем:

<

Рассмотрим несобственный интеграл от большей функции:

Он сходится к 1. Тогда согласно теореме 1 несобственный интеграл от меньшей функции: также сходится и его значение меньше 1.

Теорема 2. Если для знакоположительных функций, для которых выполняется неравенство 0?g(x)?f(x), при любых х ? а, несобственный интеграл от меньшей функции расходится, то расходится и несобственный интеграл от большей функции.

Пример. Исследовать сходимость интеграла:

Решение. Сравним подинтегральную функцию с функцией . Для знакоположительных на интервале [1;+) функций имеем:

Рассмотрим несобственный интеграл от меньшей функции:

.

Этот интеграл расходится. Тогда согласно теореме 2 расходится и несобственный интеграл от большей функции:

Теорема абсолютной сходимости Для знакопеременной функции

Теорема3. Если сходится несобственный интеграл

,

то сходится и несобственный интеграл

,

в этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Пример. Исследовать сходимость

.

Решение. Подинтегральная функция - знакопеременная. Сравним эту функцию по абсолютной величине с функцией . Для знакоположительных на интервале [1;+?) функций имеем:

0.

Рассмотрим несобственный интеграл от большей функции:

,

который сходится. Тогда, согласно теореме 1 для знакоположительных функций несобственный интеграл от меньшей функции

также сходится, а следовательно, согласно теореме 3 абсолютно сходится и несобственный интеграл

Отметим, что первые две теоремы справедливы для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Для знакопеременной функции f(x) можно провести исследования несобственных интегралов по абсолютной сходимости с помощью третьей теоремы и с использованием при этом двух первых теорем.

8.2 Несобственные интегралы второго рода от функций с бесконечными разрывами

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при a?x<c и c<x?в, а при х=с функция неопределена или терпит бесконечный разрыв. Это возможно для функций, в знаменателе которых выражение обращается в ноль.

Пример. Функция неопределена и терпит бесконечный разрыв в точке х=с=1, т. к. в этой точке знаменатель обращается в ноль и значение функции стремится в бесконечность.

Определение: Интегралы от функции у=f(x), неопределенной в точке x=c или имеющей в этой точке бесконечный разрыв, называются несобственными интегралами II-го рода, которые определяются с помощью пределов:

Определение Несобственные интегралы называются сходящимися, если существуют конечные пределы, с помощью которых эти интегралы определяются.

Несобственные интегралы называются расходящимися, если эти пределы не существуют или бесконечные.

Отметим, что в первом интеграле функция f(x) неопределена в точке верхнего предела, во втором интеграле - в точке нижнего предела, а в третьем интеграле функция имеет бесконечный разрыв внутри отрезка интегрирования.

Примеры.



В последнем примере оба интеграла расходятся, следовательно исходный интеграл расходится. Однако, если не обратить внимание на точку разрыва х = 0, то можно получить неверный результат. Действительно,

,

что невозможно.

Если функция f(x), определенная на отрезке [а, в], имеет внутри этого отрезка конечное число точек бесконечного разрыва с1, с2, с3, ... сn, то интеграл от функции f(x) на [а, в] определяется как сумма несобственных интегралов:

,

который называется сходящимся, если каждый из несобственных интегралов правой части равенства сходится.

Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то и весь интеграл называется расходящимся.

Для определения сходимости несобственных интегралов II-го рода от разрывных функций и оценки их значений могут быть применены теоремы, аналогичные Теоремам сходимости 1, 2 и 3 для знакоположительных и знакопеременных функций для несобственных интегралов I-го рода с бесконечными пределами.

Для сравнения разрывных функций, стоящих под знаком интеграла, часто берут функцию . Легко проверить, что сходится при 0б<1 и расходится при б ? 1. Это же относится и к интегралам типа

.

Пример: Определить сходимость

.

Решение: Сравним подинтегральную функцию с функцией . Для знакоположительных на отрезке [0;1] функций имеем:

.

Обе функции имеют точку бесконечного разрыва х=0. Рассмотрим несобственный интеграл от большей функции:

,

который сходится. Тогда согласно теореме 1 для знакоположительных функций сходится и исходный несобственный интеграл:

.

9. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения играют важную роль в решении различных математических задач.

Определение: Дифференциальные уравнения - это уравнения, которые связывают между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и ее производные или дифференциалы различных порядков .

в общем виде дифференциальное уравнение n-го порядка записывается как . Порядок уравнения определяется порядком старшей производной.

Пример: - это уравнение 1-го порядка;

- это уравнение 3-го порядка.

9.1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её первую производную или дифференциалы у/(х) или dy и dx.

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно представить как: F(x,y,y/)=0 или F(x,y,)=0 (1).

Если разрешить его относительно производной (2), то получим приведенный вид дифференциального уравнения 1-го порядка.

К простейшему дифференциальному уравнению 1-го порядка сводится основная задача интегрального исчисления - это отыскание первообразной функции у по ее производной .

Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения: или .

Тогда искомая функция будет найдена интегрированием - это общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка. Задав произвольной константе С конкретное значение С=С0, получим частное решение .

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется искомая функция у=у(х,С), которая при любом значении произвольной константы С обращает это уравнение в тождество.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Определение Частным решением называется такое решение у=у(х,С0), которое получается из общего решения при задании определенного значения произвольной константы С=С0.

ГЕОМЕТРИЧЕСКий смысл решения дифференциальных уравнений первого порядка

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых у(х,С) для различных С=С0,С1,С2,С3, ….

Частное решение дифференциального уравнения представляет собой единственную интегральную кривую с заданным значением С = С0.

Так как производная определяет угловой коэффициент касательной, то дифференциальное уравнение 1-го порядка задает в каждой точке М(х,у) направление касательной к графикам интегральных кривых.

Таким образом, дифференциальное уравнение 1-го порядка геометрически задает поле направлений касательных, а его решения представляют собой интегральные кривые, в каждой точке которых задано направление касательной.

9.1.1 Задача и теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано уравнение , для которого общим решением служит набор интегральных кривых у=у(х, С).

Задача Коши заключается в отыскании частного решения, удовлетворяющего начальному условию:

.

Геометрически начальное условие задает точку М0(х0,у0) на плоскости, а задача Коши сводится к отысканию той интегральной кривой у=у(х,С0), которая проходит через заданную точку М0(х0,у0).

Для решения задачи Коши предварительно находится общее решение дифференциального уравнения у = у(х, С), а затем в общее решение подставляются начальные условия: х = х0, у = у0 в виде у0 = у(х0, С). Откуда находится значение произвольной константы С = С0. А частное решение, удовлетворяющее начальным условиям будет: у = у(х, С0).

Теорема Коши: Если в правой части дифференциального уравнения

функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D, то в любой ее точке М0(х0,у0) существует и причем единственное частное решение у = у(х, С0), удовлетворяющее начальным условиям .

Точки, в которых условие теоремы Коши нарушается, называются особыми точками.

Отметим, что если при интегрировании дифференциального уравнения общее решение получается в виде F(x,y,C)=0, которое нельзя разрешить в явном виде относительно у = у(х,С), то это соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Соотношение F(x,y,C0)=0 называется частным интегралом.

9.1.2 Основные виды дифференциального уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНые Уравнения первого ПОРЯДКА с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

,

где в правой части переменные разделены в виде сомножителей двух функций.

Для его решения представим производную в виде отношения дифференциалов:

.

Уравнение с разделяющимися переменными примет вид:

.

Разделим переменные, умножив уравнение на . Получим уравнение, которое называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Оно получено из уравнения с разделяющимися переменными и его решение равносильно первому.

Интегрируя это уравнение найдем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

.

Пример: Найди частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1.

Решение:

1. Найдем общее решение, представив:

.

Разделим переменные, умножив на

.

Проинтегрируем:



или

2. Подставим в общее решение начальные условия х0=0, у0=1 и найдем значение произвольной константы:

, т.к. cos0 = 1.

Подставим значение константы в общее решение и получим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: .

Ответ: - частное решение.

дифференциальное уравнение вида:

также относится к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

Почленно разделив на , получим уравнение с разделенными переменными:

.

Интегрируя почленно это уравнение, получим его общее решение.

Пример: решить уравнение:

Решение:

1. Разделим уравнение почленно на и получим уравнение с разделенными переменными:

2. проинтегрируем это уравнение почленно:

Подставим в уравнение и получим общее решение в виде общего интеграла:

.

Ответ: - общий интеграл.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНые Однородные уравнения первого ПОРЯДКА

Дифференциальные однородные уравнения - это уравнения, которые можно привести к виду:. Однородные уравнения реша.тся с помощью подстановки или , где z вспомогательная переменная.

Продифференцируем данную подстановку:

и подставим в однородное уравнение:

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на

.

Получим уравнение с разделенными переменными

.

Проинтегрируем и найдем общее решение в виде общего интеграла:

.

Пример: Решить уравнение:

.

Решение: Разделим уравнение почленно на х:

.

Введем подстановку: . продифференцируем эту подстановку и подставим в уравнение:

Ответ:

Линейные ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНые уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеют вид: , где a0(x), a1(x) и в(х) - функции, зависящие от х.

Если a0(x) ? 0, то поделив на а0(х) получим линейное дифференциальное уравнение в приведенном виде:

, где

Если правая часть q(x)=0, то уравнение - называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка (ЛОДУ).

ЛОДУ решается непосредственным интегрированием, разделив переменные:

Если q(x) ? 0, то уравнение - называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

ЛНДУ решается методом подстановки. Решение ищется в виде произведения двух функций: y = UV и сводится к решению двух дифференциальных уравнений:

.

Действительно, продифференцируем произведение

y = UV:

и подставим в ЛНДУ:

сгруппируем:

для нахождения U приравняем выражение в скобке нулю: Другую переменную V найдем из остатка: Таким образом, решение НЛДУ с помощью подстановки y = UV свелось к решению двух уравнений:

из первого находим U и, подставляя во второе, находим V.

Пример: Решить уравнение:

.

Решение:

В этом уравнении р(х)=tgx, а . Примем y=UV и разобьем на два уравнения:

Решим эти уравнения:

Откуда общее решение будет:

Ответ: - общее решение

9.2 Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает между собой независимую переменную х, искомую функцию у(х) и её первую и вторую производные у/ и у// .

В общем виде дифференциальное уравнение 2-го порядка можно представить в виде: F(x,y,y/,y//)=0 (1).

Если разрешить его относительно второй производной (2), то получим приведенный вид дифференциального уравнения 2-го порядка.

Решение данного уравнения находится двухкратным интегрированием с появлением двух произвольных констант С1 и С2.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется искомая функция у=у(х,С1,С2), которая при любых значениях произвольных констант С1, С2 обращает это уравнение в тождество.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Определение Частным решением называется такое решение у=у(х,С10,С20), которое получается из общего решения при конкретных значениях произвольных констант С1=С10 и С2=С20.

9.2 Геометрический смысл, задача и Теорема коши решения дифференциальных уравнений второго порядка

Геометрически общее решение дифференциального уравнения второго порядка представляет собой двухпараметрическое семейство интегральных кривых у=у(х,С1,С2). Причем через каждую заданную точку М0(х0;у0) проходит целый пучёк интегральных кривых.