Методы и средства измерений
Предмет, задачи и структура теоретической метрологии. Применение теории воспроизведения единиц физических величин и передачи их размеров на практике. Понятие о единстве измерений. Принципы оценивания погрешностей. Основные законы и виды распределений.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.10.2017 |
| Размер файла | 2,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности (рис. 3.4):
Рис. 3.4. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в) погрешности
* аддитивные а, не зависящие от измеряемой величины;
* мультипликативные м, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;
* нелинейные н, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.
Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитивные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.
Примеры аддитивных погрешностей -- от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.
По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности СИ. Основной называется погрешность СИ, определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого СИ в нормативно-технических документах оговариваются условия эксплуатации -- совокупность влияющих величин (температура окружающей среды, влажность, давление, напряжение и частота питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность. Дополнительной называется погрешность СИ, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин.
В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин погрешности СИ делят на статические и динамические. Статическая погрешность -- это погрешность СИ применяемого для измерения ФВ, принимаемой за неизменную. Динамической называется погрешность СИ, возникающая дополнительно при измерении переменной ФВ и обусловленная несоответствием его реакции на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.
3.2 Принципы оценивания погрешностей
Оценивание погрешностей производится с целью получения объективных данных о точности результата измерения. Точность результата измерения характеризуется погрешностью. Погрешность измерения описывается определенной математической моделью, выбор которой обуславливается имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для количественного выражения тех или иных ее свойств.
Характеристики погрешности принято делить на точечные и интервальные. К точечным относятся СКО случайной погрешности и предел сверху для модуля систематической погрешности, к интервальным -- границы неопределенности результата измерения. Если эти границы определяются как отвечающие некоторой доверительной вероятности, то они называются доверительными интервалами. Если же минимально возможные в конкретном случае границы погрешности оценивают так, что погрешность, выходящую за них, встретить нельзя, то они называются предельными (безусловными) интервалами. В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов. Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения. В-третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить, так как в первом случае снижается качество измерений, а во втором -- возможно полное обесценивание результатов всего измерения. В-четвертых, поскольку стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные, точность измерений должна соответствовать цели измерения. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств и времени.
Оценивание погрешностей может проводится до (априорное) и после (апостериорное) измерения. Априорное оценивание -- это проверка возможности обеспечить требуемую точность измерений, проводимых в заданных условиях выбранным методом с помощью конкретных СИ. Оно проводится в случаях:
* нормирования метрологических характеристик СИ;
* разработки методик выполнения измерений;
* выбора средств измерений для решения конкретной измерительной задачи;
* подготовки измерений, проводимых с помощью конкретного СИ.
Апостериорную оценку проводят в тех случаях, когда априорная оценка неудовлетворительна или получена на основе типовых метрологических характеристик, а требуется учесть индивидуальные свойства используемого СИ. Такую оценку следует рассматривать как коррекцию априорных оценок.
3.3 Правила округления результатов измерений
Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами, Эмпирически были установлены следующие правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного результата измерения.
1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной -- если первая цифра равна 3 или более.
2. Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.
3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.
4. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.
5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.
6. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.
Если руководствоваться этими правилами округления, то количество значащих цифр в числовом значении результата измерений дает возможность ориентировочно судить о точности измерения. Это связано с тем, что предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.
Для оценки влияния округления результата измерения Y представим его в виде
(3.4)
где А1 ..., Аs-- десятичные цифры и старшая цифра A1 ? 0; R, P, S -- целые числа, причем R - Р = S - 1.
Абсолютная погрешность, обусловленная округлением, = 0,510P. В качестве оценки относительной предельной погрешности округления рекомендуется [4] принять
поскольку деление абсолютной погрешности лишь на первый член суммы (3.4) ведет к увеличению числового значения оценки погрешности. Поскольку значения A1 могут находиться в пределах от 1 до 9, то при одной значащей цифре (S = 1) предельная погрешность округления может находится в пределах от 6 до 50%. При двух значащих цифрах она составит от 0,6 до 5%, при трех -- от 0,06 до 0,5%.
Оцененные границы погрешности округления характеризуют влияние округления на точность результата измерения. Кроме того, эти данные позволяют ориентироваться в минимально необходимом для записи результата измерений числе значащих цифр при его заданной точности.
Контрольные вопросы
1. Перечислите возможные проявления погрешностей.
2. Назовите признаки, по которым классифицируются погрешности.
3. Сформулируйте свойства случайной, систематической и прогрессирующей составляющих погрешности измерений.
4. Приведите известные вам примеры методических погрешностей.
5. В чем заключаются принципы оценивания погрешностей?
6. Расскажите о математических моделях погрешности измерения.
7. Какие характеристики погрешностей вам известны?
8. Перечислите правила округления результатов измерений.
9. Каким образом ориентировочно оценить погрешность результата измерения по числу его значащих цифр?
ГЛАВА 4. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ
4.1 Систематические погрешности и их классификация
В настоящее время, особенно после введения одного из основополагающих метрологических стандартов -- ГОСТ 8.009-84 ТСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений", понятие "систематическая погрешность" несколько изменилось по отношению к определению, данному ГОСТ 16263-70 ТСИ. Метрология. Термины и определения". Систематическая погрешность считается специфической, "вырожденной" случайной величиной, обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Свойства систематической погрешности, которые необходимо учитывать при объединении составляющих погрешности, отражаются такими же характеристиками, что и свойства "настоящих" случайных величин -- дисперсией (СКО) и коэффициентом взаимной корреляции.
Систематическая погрешность представляет собой определенную функцию влияющих факторов, состав которых зависит от физических, конструктивных и технологических особенностей СИ, условий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдателя. В метрологической практике при оценке систематических погрешностей должно учитываться влияние следующих основных факторов:
1. Объект измерения. Перед измерением он должен быть достаточно хорошо изучен с целью корректного выбора его модели. Чем полнее модель соответствует исследуемому объекту, тем точнее могут быть получены результаты измерения. Например, кривизна земной поверхности может не учитываться при измерении площади сельскохозяйственных угодий, так как она не вносит ощутимой погрешности, однако при измерении площади океанов ею пренебрегать уже нельзя.
2. Субъект измерения. Его вклад в погрешность измерения необходимо уменьшать путем подбора операторов высокой квалификации и соблюдения требований эргономики при разработке СИ.
3. Метод и средство измерений. Чрезвычайно важен их правильный выбор, который производится на основе априорной информации об объекте измерения. Чем больше априорной информации, тем точнее может быть проведено измерение. Основной вклад в систематическую погрешность вносит, как правило, методическая погрешность.
4. Условия измерения. Обеспечение и стабилизация нормальных условий являются необходимыми требованиями для минимизации дополнительной погрешности, которая по своей природе, как правило, является систематической.
Систематические погрешности принято классифицировать по двум признакам. По характеру изменения во времени они делятся на постоянные и переменные. Постоянными называются такие погрешности измерения, которые остаются неизменными в течение всей серии измерений. Например, погрешность от того, что неправильно установлен ноль стрелочного электроизмерительного прибора, погрешность от постоянного дополнительного веса на чашке весов и т.д.
Переменными называются погрешности, изменяющиеся в процессе измерения. Они делятся на монотонно изменяющиеся, периодические и изменяющиеся по сложному закону. Если в процессе измерения систематическая погрешность монотонно возрастает или убывает, ее называют монотонно изменяющейся.
Например, она имеет место при постепенном разряде батареи, питающей средство измерений.
Периодической, называется погрешность, значение которой является периодической функцией времени. Примером может служить погрешность, обусловленная суточными колебаниями напряжения силовой питающей сети, температуры окружающей среды и др. Систематические погрешности могут изменяться и по более сложному закону, обусловленному какими-либо внешними причинами.
По причинам возникновения погрешности делятся на методические, инструментальные и личные (субъективные). Эти погрешности подробно рассмотрены в разд. 4.1.
4.2 Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей
Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может быть достигнуто следующими путями:
* устранением источников погрешностей до начала измерений. В большинстве областей измерений известны главные источники систематических погрешностей и разработаны методы, исключающие их возникновение или устраняющие их влияние на результат измерения. В связи с этим в практике измерений стараются устранить систематические погрешности не путем обработки экспериментальных данных, а применением СИ, реализующих соответствующие методы измерений;
* определением поправок и внесением их в результат измерения;
* оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.
Постоянная систематическая погрешность не может быть найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не искажает ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности. Действительно, результат одного измерения
где хи -- истинное значение измеряемой величины; i -- i-я случайная погрешность; i -- i-я систематическая погрешность.
После усреднения результатов многократных измерений получаем среднее арифметическое значение измеряемой величины
Если систематическая погрешность постоянна во всех измерениях, т.е.
i = , то
Таким образом, постоянная систематическая погрешность не устраняется при многократных измерениях.
Постоянные систематические погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Эти методы рассмотрены ниже.
Наличие существенной переменной систематической погрешности искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений.
Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы:
* Метод замещения, представляющий собой разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется заменой измеряемой величины известной величиной, причем так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких изменений. Этот метод дает наиболее полное решение задачи. Для его реализации необходимо иметь регулируемую меру, величина которой однородна измеряемой. Например, взвешивание по методу Борда [3], измерение сопротивления посредством моста постоянного тока и мер сопротивления [51].
* Метод противопоставления, являющийся разновидностью метода сравнения, при котором измерение выполняется дважды и проводится так, чтобы в обоих случаях причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений. Например, способ взвешивания Гаусса [3].
Пример 5.1. Измерить сопротивление с помощью одинарного моста методом противопоставления.
Сначала измеряемое сопротивление Rx уравновешивают известным сопротивлением R1, включенным в плечо сравнения моста. При этом Rx = R1R3/R4, где R3, R4 -- сопротивления плеч моста. Затем резисторы Rx и R1 меняют местами и вновь уравновешивают мост, регулируя сопротивление резистора R1. В этом случае Rx = R1R3/R4.
Из двух последних уравнений исключается отношение R3/R4. Тогда
Rx = /R7RT .
* Метод компенсации погрешности по знаку (метод изменения знака систематической погрешности), предусматривающий измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого из них с разными знаками.
Пример 5.2. Измерить ЭДС потенциометром постоянного тока, имеющим паразитную термоЭДС.
При выполнении одного измерения получаем ЭДС E1. Затем меняем полярность измеряемой ЭДС и направление тока в потенциометре. Вновь проводим его уравновешивание -- получаем значение Е2. Если термоЭДС дает погрешность Е и Е1 =ЕХ + Е, то Е2 = ЕХ - Е. Отсюда Ех= (Е1 + Е2)/2. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная действием термоЭДС, устранена.
* Метод рандомизации -- наиболее универсальный способ исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей. Суть его состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.
Для устранения переменных и монотонно изменяющихся систематических погрешностей применяют следующие приемы и методы.
* Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей. Если знаки неисправленных случайных погрешностей чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность. Если последовательность знаков "+" у случайных погрешностей сменяется последовательностью знаков "--" или наоборот, то присутствует монотонно изменяющаяся систематическая погрешность. Если группы знаков "+" и "-" у случайных погрешностей чередуются, то присутствует периодическая систематическая погрешность.
* Графический метод. Он является одним из наиболее простых способов обнаружения переменной систематической погрешности в ряду результатов наблюдений и заключается в построении графика последовательности неисправленных значений результатов наблюдений. На графике через построенные точки проводят плавную кривую, которая выражает тенденцию результата измерения, если она существует. Если тенденция не прослеживается, то переменную систематическую погрешность считают практически отсутствующей.
* Метод симметричных наблюдений. Рассмотрим сущность этого метода на примере измерительного преобразователя, передаточная функция которого имеет вид y = kx + y0, где х, у -- входная и выходная величины преобразователя; k -- коэффициент, погрешность которого изменяется во времени по линейному закону; у0 -- постоянная.
Для устранения систематической погрешности трижды измеряется выходная величина у через равные промежутки времени t. При первом и третьем измерениях на вход преобразователя подается сигнал х0 от образцовой меры. В результате измерений получается система уравнений:
Ее решение позволяет получить значение х, свободное от переменной систематической погрешности, обусловленной изменением коэффициента k:
* Специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный анализ, и др.
Исключение систематических погрешностей путем введения поправок. В ряде случаев систематические погрешности могут быть вычислены и исключены из результата измерения. Для этого используются поправки.
Контрольные вопросы
1. Что такое систематическая погрешность? Приведите примеры.
2. Дайте определение исправленного результата измерений.
3. Каким образом классифицируются систематические погрешности?
4. Назовите способы выявления постоянных систематических погрешностей.
5. Назовите способы выявления переменных систематических погрешностей.
6. В чем состоит суть критерия Аббе?
7. Что такое дисперсионный анализ и как он применяется для устранения систематических погрешностей?
8. Как обнаружить систематическую погрешность при помощи критерия Вилкоксона?
9. Каким образом оценивается целесообразность введения поправки для устранения систематической погрешности?
ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
5.1 Вероятностное описание случайных погрешностей
Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за их разброса относительно некоторого значения. Как уже отмечалось ранее, и результат измерения, и его погрешность с известными оговорками могут рассматриваться (см. разд. 4.2) как случайные величины.
Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения.
Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина хi в i-м опыте принимает значение, меньшее х:
(5.1)
График интегральной функции распределения показан на рис. 6.1. Она имеет следующие свойства:
* неотрицательная, т.е. F(x) 0;
* неубывающая, т.е. F(x2) F(x1), если х2 x1;
* диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(- ) = 0; F(+ ) =1;
* вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х1 до х2 Р(x1 < х < х2} = F(x2) - F(x1).
Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей р(х) = dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:
Учитывая взаимосвязь F(x) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х1; х2)
Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [- ; + ] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.
Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х1;х2) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х1 и х2 (см. рис. 5.1).
Поэтому по форме кривой плотности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.
Результирующая погрешность зачастую складывается из ряда составляющих с различными плотностями распределения р1(х), р2(х),..., рn(х). В связи с этим возникает задача определения суммарного закона распределения погрешности.
Рис. 5.1. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции распределения случайной величины
Для суммы независимых непрерывных случайных х1 и х2, имеющих распределения р1(х) и р2(х), он называется композицией и выражается интегралами свертки [48, 49]:
Графическое определение композиции двух случайных независимых величин показано на рис. 5.2. Следует отметить, что масштаб всех графиков по вертикали произвольный, и должно выполняться условие: площадь, ограниченная кривой плотности вероятности, равна единице.
Рис. 5.2. Суммирование законов распределений
5.2 Основные законы распределения
5.2.1 Общие сведения
Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений прежде всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны.
В качестве примера можно привести результаты исследований [4] 219 фактических распределений погрешностей, имеющих место при измерении электрических и неэлектрических величин разнообразными приборами.
Установлено, что примерно 50% распределений принадлежат к классу экспоненциальных, 30% являются уплощенными, а остальные 20% -- различными видами двухмодальных распределений.
Множество законов распределения случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать [4] следующим образом:
* трапецеидальные (плосковершинные) распределения;
* уплощеные (приблизительно плосковершинные) распределения;
* экспоненциальные распределения;
* семейство распределений Стьюдента;
* двухмодальные распределения.
5.2.2 Трапецеидальные распределения
К трапецеидальным распределениям относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона).
Равномерноe распределение (рис. 6.5,а) описывается уравнением
Трапецеидальное распределение (рис. 6.5, б) образуется как композиция двух равномерных распределений шириной а1 и а2, (рис. 5.2):
Рис. 5.5. Распределения: а -- равномерное; б -- трапецеидальное; в -- треугольное (Симпсона)
Треугольное (Симпсона) распределение (рис. 5.5, в) -- это частный случай трапецеидального, для которого размеры исходных равномерных распределений одинаковы: а1 = а2 (см. рис. 5.2):
где Хц, а, b -- параметры распределения.
Математическое ожидание всех трапецеидальных распределений Хц = (x1 + х2) / 2. Медианы из соображений симметрии равны МО. Равномерное и собственно трапецеидальное распределения моды не имеют, а мода треугольного равна 1/а.
Среднее квадратическое отклонение в зависимости от распределения определяется по формуле:
* равномерное ;
* трапецеидальное
* треугольное .
Из приведенных уравнений следует, что СКО трапецеидальных распределений возрастает в 1,41 раза с ростом параметра b от нуля (треугольное) до а (равномерное). Коэффициент асимметрии всех трапецеидальных распределений равен нулю.
Числовые параметры трапецеидальных распределений при различных отношениях ширины исходных равномерных распределений приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Значения параметров трапецеидальных распределений
|
b/а |
a2 /a1 (см. рис. 6.2) |
а/ |
|
к |
k |
|
|
1 |
0 |
1,732 |
1,8 |
0,745 |
1,73 |
|
|
2/3 |
1/5 |
2,037 |
1,9 |
0,728 |
1,83 |
|
|
1/2 |
1/3 |
2,191 |
2,016 |
0,704 |
1,94 |
|
|
1/3 |
1/2 |
2,324 |
2,184 |
0,677 |
2,00 |
|
|
0 |
1 |
2,449 |
2,4 |
0,645 |
2,02 |
Равномерное распределение имеют погрешности: квантования в цифровых приборах, округления при расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах или подпятниках, определения момента времени для каждого из концов временного интервала при измерении частоты и периода методом дискретного счета. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.
5.2.3 Экспоненциальные распределения
Экспоненциальные распределения описываются формулой [4]
(5.5)
где ; -- СКО; -- некоторая характерная для данного распределения константа; Хц -- координата центра; Г(х) -- гамма-функция. В нормированном виде, т.е. при Хц = 0 и = 1,
где А(а) -- нормирующий множитель распределения.
Интегральная функция нормированного экспоненциального распределения описывается выражением
Интеграл, входящий в эту формулу, выражается через элементарные функции только при = 1/n, n = 1; 2; 3; ... При = n = 2; 3; 4; ... он может быть рассчитан по приближенным формулам, приведенным в [53].
Эксцесс и энтропийный коэффициент экспоненциальных распределений соответственно определяются по формулам:
Анализ приведенных выражений показывает, что константа а однозначно определяет вид и все параметры распределений. При < 1 распределение имеет очень пологие спады и по форме близко к распределению Коши.
При = 1 получается распределение Лапласа р(х) = 0,5е-|x| , при = 2 -- нормальное распределение или распределение Гаусса. При > 2 распределения, описываемые формулой (5.5), близки по свойствам к трапецеидальным. При очень больших значениях формула (5.5) описывает практически равномерное распределение. В табл. 5.3 приведены параметры некоторых из экспоненциальных распределений.
Таблица 5.3
Значения параметров экспоненциальных распределений при различных показателях
|
Распределение |
|
|
к |
k |
|
|
Лапласа |
1 |
6 |
0.408 |
1,92 |
|
|
Нормальное (Гаусса) |
2 |
3 |
0,577 |
2,07 |
|
|
Равномерное |
|
1,8 |
0,745 |
1,73 |
5.2.4 Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:
(5.6)
где -- параметр рассеивания распределения, равный СКО; Хц -- центр распределения, равный МО. Вид нормального распределения показан на рис. 5.3.
Рис. 5.6. Экспоненциальные распределения, определяемые по формуле (5.5) при = 1 и Хц = 0
Широкое использование нормального распределения на практике объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей [48, 49], утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
5.2.5 Семейство распределений Стъюдента
Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение.
Контрольные вопросы
1. При каких условиях погрешность измерения может рассматриваться как случайная величина?
2. Перечислите свойства интегральной и дифференциальной функций распределения случайной величины.
3. Назовите числовые параметры законов распределения.
4. Каким образом может задаваться центр распределения?
5. Что такое моменты распределения? Какие из них нашли применение в метрологии?
6. Назовите основные классы распределений, используемых в метрологии.
7. Дайте характеристику распределениям, входящим в класс трапецеидальных распределений.
8. Что такое экспоненциальные распределения? Каковы их свойства и характеристики?
9. Что такое нормальное распределение? Почему оно играет особую роль в метрологии?
10. Что такое функция Лапласа и для чего она используется?
11. Как описывается и где используется семейство распределений Стьюдента?
12. Какие точечные оценки законов распределения вы знаете? Какие требования предъявляются к ним?
13. Что такое доверительный интервал? Какие "способы его задания вам известны?
ГЛАВА 6. ГРУБЫЕ ПОГРЕШНОСТИ И МЕТОДЫ ИХ ИСКЛЮЧЕНИЯ
6.1 Понятие о грубых погрешностях
Грубая погрешность, или промах, -- это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором. К ним можно отнести:
* неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;
* неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например гирь;
* хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например его амплитуды или частоты.
Грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений. Их причинами могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.
6.2 Критерии исключения грубых погрешностей
При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов.
При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.
Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения х, не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погрешность и его исключают.
Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью q (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений.
Критерий "трех сигм" применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q < 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |х? -хi| > 3Sx , где Sx -- оценка СКО измерений. Величины х и Sx вычисляют без учета экстремальных значений xi. Данный критерий надежен при числе измерений n > 20... 50.
Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение |(х? - xi)/SX| = и сравнивается с критерием т, выбранным по табл. 7.1. Если т, то результат хi считается промахом и отбрасывается.
Пример 6.1. При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива составили: 22, 24, 26, 28, 30 л на 100 км. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по критерию Романовского, не является ли он промахом.
Найдем среднее арифметическое значение расхода топлива и его СКО без учета последнего результата, т.е. для четырех измерений. Они соответственно равны 25 и 2,6 л на 100 км.
Поскольку n < 20, то по критерию Романовского при уровне значимости 0,01 и n = 4 табличный коэффициент т = 1,73. Вычисленное для последнего, пятого измерения = |(25 - 30)|/2,6 = 1,92 > 1,73 .
Критерий Романовского свидетельствует о необходимости отбрасывания последнего результата измерения.
Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n> 20). Тогда по теореме Бернулли [56] число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину КШSx, будет n[l - Ф(КШ)], где Ф(КШ) -- значение нормированной функции Лапласа для X = КШ. Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то n[1-Ф(Кш)] = 1. Отсюда Ф(КШ) = (n -1)/n.
Значения критерия Шарлье приведены в табл. 7.2.
Таблица 7.1
Значения критерия Романовского
|
q |
n =4 |
n = 6 |
n = 8 |
n = 10 |
n = 12 |
n = 15 |
n = 20 |
|
|
0,01 |
1,73 |
2,16 |
2,43 |
2,62 |
22,75 |
2,90 |
3,08 |
|
|
0,02 |
1,72 |
2,13 |
2,37 |
2,54 |
2,66 |
2,80 |
2,96 |
|
|
0,05 |
1,71 |
2,10 |
2,27 |
2,41 |
2,52 |
2,64 |
2,78 |
|
|
0,10 |
1,69 |
2,00 |
2,17 |
2,29 |
2,39 |
2,49 |
2,62 |
Таблица 7.2
Значения критерия Шарльe
|
п |
5 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
100 |
|
|
Кщ |
1,3 |
1,65 |
1.96 |
2,13 |
2,24 |
2,32 |
2,58 |
Таблица 7.3
Значения критерия Диксона
|
n |
Zq при q, равном |
||||
|
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
||
|
4 |
0,68 |
0,76 |
0,85 |
0,89 |
|
|
6 |
0,48 |
0,56 |
0,64 |
0,70 |
|
|
8 |
0,40 |
0,47 |
0,54 |
0,59 |
|
|
10 |
0,35 |
0,41 |
0,48 |
0,53 |
|
|
14 |
0,29 |
0,35 |
0,41 |
0,45 |
|
|
16 |
0,28 |
0,33 |
0,39 |
0,43 |
|
|
18 |
0,26 |
0,31 |
0,37 |
0,41 |
|
|
20 |
0,26 |
0,30 |
0,36 |
0,39 |
|
|
30 |
0,22 |
0,26 |
0,31 |
0,34 |
Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство |хi - х?| > КШSx .
Вариационный критерий Диксона удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд х1, х2, . . ., xn (x1 < х2 < . . .< хп). Критерий Диксона определяется как КД = (хn - xn-1/(xn -x1). Критическая область для этого критерия Р(КД > Zq) = q. Значения Zf( приведены в табл. 7.3 [56].
Контрольные вопросы
1. Что такое грубые погрешности и промахи? Как определить их присутствие в выборке по виду закона распределения или гистограмме?
2. Расскажите о критерии "трех сигм" и его модификациях.
3. Как применить критерий Романовского для исключения из выборки промахов?
4. В чем суть критерия Шарлье?
5. Расскажите об использовании вариационного критерия Диксона для нахождения промахов.
ГЛАВА 7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
7.1 Прямые многократные измерения
7.1.1 Равноточные измерения
Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Теоретические основы и методика объединения результатов неравноточных измерений подробно рассмотрены в [3]. Равно точными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях СКО результатов всех рядов измерений равны между собой.
Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость изменений часто оценивают интуитивно на основе длительных наблюдений. Однако существуют математические методы решения поставленной задачи -- так называемые методы проверки однородности [3].
Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.
Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов измерений x1, х2, х.г,..., хn, из которых исключены известные систематические погрешности, -- выборка. Число n зависит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения.
7.2 Однократные измерения
Прямые многократные измерения в большей мере относятся к лабораторным измерениям.
Для производственных процессов более характерны однократные измерения. Однократные прямые измерения являются самыми массовыми и проводятся, если: при измерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, имеет место экономическая целесообразность. Эти измерения возможны лишь при определенных условиях:
* объем априорной информации об объекте измерений такой, что модель объекта и определение измеряемой величины не вызывают сомнений;
* изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;
* средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам.
За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается, как правило, равной 0,95.
Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются:
* погрешности СИ, рассчитываемые по их метрологическим характеристикам;
* погрешность используемого метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае;
* личная погрешность, вносимая конкретным оператором. Если последние две составляющие не превышают 15% погрешности СИ, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность используемого СИ. Данная ситуация весьма часто имеет место на практике.
7.3 Косвенные измерения
Косвенные измерения -- это измерения, при которых искомое значение Q находят на основании известной зависимости
7.2)
где Q1, Q2,...,Qm-- значения, полученные при прямых измерениях. По виду функциональной зависимости F они делятся на две основные группы -- линейные и нелинейные. Для линейных косвенных измерений математический аппарат статистической обработки полученных результатов разработан детально. Обработка результатов косвенных измерений [57] производится, как правило, методами: основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей; линеаризации; приведения; перебора.
Косвенные измерения при линейной зависимости между аргументами. Линейная функциональная зависимость является простейшей формой связи между измеряемой величиной и находимыми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой
где bi -- постоянный коэффициент i-ro аргумента Qi; m -- число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцениваются методом, основанным на раздельной обработке аргументов и их погрешностей.
Косвенные измерения при нелинейной зависимости между аргументами. Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеаризации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:
(7.5)
Здесь -- первая частная производная от функции f по аргументу Qi, вычисленная в точке QЮ1, QЮ2,...,QЮm; Q; -- отклонение результата измерения аргумента Qi от его среднего арифметического; RЮ -- остаточный член:
Метод линеаризации применим, если остаточным членом можно пренебречь. Это возможно в том случае, если
где S(Qi)-- СКО случайной погрешности результата измерений аргумента Qi. При необходимости результаты косвенных измерений можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высокого порядка. Эти вопросы детально рассмотрены в [57]. Оценка результата определяется по формуле
(7.6)
Контрольные вопросы
1. Что такое вариационный ряд и интервалы группирования? Как определяется число интервалов группирования?
2. Что такое гистограмма, полигон и кумулятивная кривая?
3. Перечислите этапы обработки результатов прямых многократных измерений.
4. Для чего необходимо идентифицировать форму закона распределения результатов измерений? Расскажите, каким образом это делается.
5. Напишите алгоритм обработки результатов однократных измерений с точным оцениванием погрешностей.
6. Как обрабатываются результаты линейных косвенных измерений?
7. В чем состоит метод линеаризации и как он используется для обработки результатов нелинейных косвенных измерений?
8. Напишите алгоритм обработки результатов косвенных измерений при использовании метода приведения.
ГЛАВА 8. СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ
8.1 Основы теории суммирования погрешностей
Определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих называется суммированием погрешностей.
Главной проблемой, возникающей при суммировании, является то, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины.
С точки зрения теории вероятностей они наиболее полно могут быть описаны своими законами распределения, а их совместное действие -- соответствующим многомерным распределением. Однако в такой постановке задача суммирования погрешностей практически не разрешима уже для нескольких составляющих, не говоря о нескольких десятках.
Практически приемлемый путь решения данной задачи суммирования погрешностей состоит в отказе от определения и использования многомерных функций распределения составляющих погрешности. Необходимо подобрать для характеристик составляющих такие числовые оценки (СКО, эксцесс и др.), оперируя с которыми можно было бы получить соответствующие числовые оценки результирующей погрешности. При этом следует учитывать, что:
* отдельные составляющие погрешности могут быть коррелиро-ваны между собой;
* при суммировании случайных величин их законы распределения существенно деформируются, т.е. форма закона суммы может резко отличаться от формы закона распределения составляющих.
Правила суммирования погрешностей основываются [4] на том, что погрешность по абсолютному значению всегда много меньше самой измеряемой величины.
Подобные документы
Вопросы теории измерений, средства обеспечения их единства и способов достижения необходимой точности как предмет изучения метрологии. Исследование изменений событий и их частоты. Цифровые измерительные приборы. Методы, средства и объекты измерений.
курсовая работа [607,8 K], добавлен 30.06.2015История развития метрологии. Правовые основы метрологической деятельности в Российской Федерации. Юридическая ответственность за нарушение нормативных требований. Объекты, методы измерений, виды контроля. Международная система единиц физических величин.
шпаргалка [394,4 K], добавлен 13.11.2008Общие положения Государственной системы обеспечения единства измерений. Передача размеров единиц физических величин, их поверочные схемы. Способы поверки средств измерений. Погрешности государственных первичных и специальных эталонов, их оценка.
контрольная работа [184,3 K], добавлен 19.09.2015Общая характеристика объектов измерений в метрологии. Понятие видов и методов измерений. Классификация и характеристика средств измерений. Метрологические свойства и метрологические характеристики средств измерений. Основы теории и методики измерений.
реферат [49,4 K], добавлен 14.02.2011Основные сведения о физических величинах, их эталоны. Система международных единиц, классификация видов и средств измерений. Количественные оценки погрешности. Измерение напряжения и силы тока. Назначение вольтметра, осциллографа и цифрового частотомера.
шпаргалка [690,1 K], добавлен 14.06.2012Сведения о методах и видах измерений. Описание теории и технологической схемы процесса искусственного охлаждения. Метрологическое обеспечение процесса. Выбор и обоснование системы измерений, схема передачи информации. Расчет погрешностей измерения.
курсовая работа [437,4 K], добавлен 29.04.2014Теоретические основы и главные понятия метрологии. Методы нормирования метрологических характеристик средств измерений, оценки погрешностей средств и результатов измерений. Основы обеспечения единства измерений. Структура и функции метрологических служб.
учебное пособие [1,4 M], добавлен 30.11.2010Классификация погрешностей измерительных устройств. Размерность и размер единиц физических величин. Основные методы стандартизации. Расчет критериев Романовского и Диксона. Основные положения системы допусков и посадок. Определение коэффициентов вариации.
контрольная работа [492,4 K], добавлен 12.04.2016Классификация методов поверки. Метод непосредственного сличения, при помощи компаратора (прибора сравнения), прямых и косвенных измерений, независимой поверки. Система передачи размеров единиц физических величин. Эталонная база Республики Беларусь.
реферат [206,6 K], добавлен 05.02.2009Предмет и основные задачи теоретический, прикладной и законодательной метрологии. Исторически важные этапы в развитии науки об измерениях. Характеристика международной системы единиц физических величин. Деятельность Международного комитета мер и весов.
реферат [23,8 K], добавлен 06.10.2013
