Неразрушающий контроль в производстве

Числовые характеристики случайной величины

~ 1 k t=¹ Yt

k ^

^k i=1

равны:

M[ T] = 1/А; D[ T] = 1/kA²; <7₁ = 1/(Wk); v_t = 1/>/k.

При увеличении k нормированный поток Эрланга неограниченно приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом Z = 1/А между событиями.

2.2.3 Понятие марковского случайного процесса

Случайный процесс, протекающий в какой-либо физической системе, называется марковским (или процессом без последействий), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы в будущем

t

(при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит о предыстории процесса - от прошлого).

2.2.4 Граф состояний. Схемы гибели и размножения

Размеченный граф состояний

Марковские процессы с дискретными состояниями s₁, s₂, ..., s_n удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (рис. 4.2), где прямоугольниками (или кружками) обозначены состояния s₁, s₂, ... системы S, а стрелками - возможные переходы из состояния в состояние (на графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния). Иногда на графе состояний отмечают не только возможные переходы из состояния в состояние, но и возможные задержки в прежнем состоянии; это изображается стрелкой («петлей»), направленной из данного состояния в него же (рис. 4.3), но можно обходиться и без этого. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).

На практике часто приходится встречаться с системами, граф состояний которых имеет вид, показанный на рис. 4.4 (все состояния можно вытянуть в цепь, причем каждое из них связано прямой и обратной связью с двумя соседними, кроме двух крайних, каждое из которых связано только с одним соседним). Схема, показанная на рис. 4.4, называется схемой гибели и размножения. Это название заимствовано из биологических задач, где состояние популяции s_k означает наличие в ней к единиц. Переход вправо связан с «размножением» единиц, а влево - с их «гибелью». «Интенсивности размножения» (Х₀, ..., Х_п-1) проставлены у стрелок, ведущих слева направо, «интенсивности гибели» (ц₁, ц₂, ..., M-_n-1) - У стрелок, ведущих справа налево; каждая из них отмечена индексом того состояния, из которого исходит соответствующая стрелка.

Для СМО «интенсивности размножения» (Х₀, А₁, ..., Х_п-1) имеют смысл, например, интенсивности поступления заявок; «интенсивности гибели» (ц₁, |Л₂, ..., M-_n-1) - смысл интенсивности потока обслу- живаний.

Рассматривая марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, очень удобно пользоваться размеченным графом состояний, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния s_t в s^, поставлена интенсивность Х^ потока событий, переводящего систему по данной стрелке (рис. 4.5).

2.2.5 Уравнения Колмогорова

Пусть в момент времени t система S находится в состоянии s_;. Вероятность этого есть p(t).

Вероятность того, что система, находящаяся в состоянии s_i, за элементарный промежуток времени (t, t + dt) перейдет в состояние s, есть вероятность того, что за это время dt появится хотя бы одно событие потока, переводящего S из s_i в s. С точностью до бесконечно малых высших порядков эта вероятность равна X.dt, где X. - интенсивность соответствующих потоков событий (как только происходит первое событие в потоке с интенсивностью X.., система из состояния s_t скачком переходит в s.).

Потоком вероятности перехода из состояния s. в s. называется

величина X.p.(t), причем интенсивность X.. здесь может быть как за.. . ..

висящей, так и независящей от времени.

Рассмотрим случай, когда система S имеет конечное число состояний s₁, s₂, ..., s_n. Для описания случайного процесса, протекающего в этой системе, применяются вероятности состояний

P1(t), P2(t), *** , Pn(t), (4.3)

гдеp(t) - вероятность того, что система S в момент t находится в состоянии s :

p_i (t) = P{S(t) = s.}. (4.4)



Очевидно, для любого t

5> (t) = 1. (4.5)

i=1

Для нахождения вероятностей (4.3) нужно решить систему дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид

= ХХцР!(t) - Pi(t)ЈXy (i = 1,2 , ..., n)

^dt j=1 j=1 или, опуская аргумент t у переменных p,

^p- = jj X.jPj - Pi jj Xij (i = 1,2, ..., n). (4.6)

^dt j=1 j=1

Отметим, что интенсивности X. могут зависеть от времени t (аргумент t для краткости написания опущен).

Уравнения (4.6) удобно составлять, пользуясь размеченным графом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие. Например, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 4.5, система уравнений Колмогорова имеет вид

dp1/ dt = X31 p3 -(X12 + X14)p1;

dp2/ dt = X12p1 -X23p2 ; dp3/dt = X23p2 -(X31 +X34 +X35)p3 ; dp4 / dt = X14p1 + X34p3 + X54p5 ; ^dp5^{/ dt} = ^X35p1 ^-X54P5 .

Поскольку для любого t выполняется условие (4.5), можно любую из вероятностей (4.3) выразить через остальные и таким образом уменьшить число уравнений на одно.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (4.6) для вероятностей состояний p₁(t), p₂(t), ..., p_n(t), нужно задать начальное распределение вероятностей

_Л(0), p2(0), ..., p_i(0), ..., pn(0), (4.8)

сумма которых равна единице:

jj p. (0) = 1.

i=1

Если, в частности, в начальный момент t = 0 состояние системы S в точности известно, например, S(0) = s, то p.(0) = 1, а остальные вероятности (4.8) равны нулю.

2.2.6 Финальная вероятность состояний. Эргодические системы. Существенные и несущественные состояния

В общем случае вероятности k-х состояний s_k системы S являются функциями времени:p_k(t). Во многих случаях, когда процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, возникает вопрос о предельном поведении вероятностейp_k(t) при t ^ <». Если все потоки событий, переводящие систему из состояние в состояние, являются простейшими (т. е. стационарными пуассоновскими с постоянными интенсивностями X. перехода из состояния s_t в s.), в некоторых случаях существуют финальные (или предельные) вероятности состояний.

Финальная вероятность состояний

Pk =^lim^ Pk^(t) (^k =^{1 n}) не зависит от того, в каком состоянии система S находилась в начальный момент. Это означает, что с течением времени в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются.

В этом предельном режиме каждая финальная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.

Система, для которой существуют финальные состояния, называется эргодической и соответствующий случайный процесс - эргодическим.

Для существования финальных вероятностей состояний одного условия Х._; = const недостаточно, требуется выполнение еще некоторых условий, проверить которые можно по графу состояний, выделив на нем «существенные» и «несущественные» состояния. Состояние s_t называется существенным, если нет другого состояния s. такого, что, перейдя однажды каким-то способом из в. в в., система уже

^{1 J}

не может вернуться в в.. Все состояния, не обладающие таким свойством, называется несущественными.

Например, для системы S, граф которой дан на рис. 4.6, состояния s₁, s₂ несущественны (из s₁ можно уйти, например, в s₂ и не вернуться, а из s₂ в s₄ или s₅ и не вернуться), а состояния s₃, s₄, s₅, s₆, s₇ - существенны (существенные состояния обведены жирными линиями).

При конечном числе состояний n для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каждого существенного состояния можно было (за какое-то число шагов) перейти в каждое другое существенное. Граф, представленный на рис. 4.6, этому условию не удовлетворяет (например, из существенного состояния s₄ нельзя перейти в существенное состояние s₆).



Рис. 4.6. Граф, иллюстрирующий существенные и несущественные состояния системы

Несущественные состояния потому так и называются, что из каждого такого состояния система рано или поздно уйдет в какое-то из существенных и больше не вернется. Естественно, финальные вероятности для несущественных состояний равны нулю.

2.3 Теория массового обслуживания

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих на нее в случайные моменты времени. Примеры СМО: телефонная станция; бюро ремонта; билетная касса; парикмахерская; ЭВМ; Центральная лаборатория методов НК предприятия. Теория массового обслуживания занимается изучением случайных процессов, протекающих в системах массового обслуживания.

Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания (или «прибором»). Системы массового обслуживания бывают как одно-, так и многоканальными. Примеры одноканальной СМО - билетная касса с одним кассиром, лаборатория НК с одной автоматизированной контрольной установкой; примеры многоканальной СМО - та же касса с несколькими кассирами, та же лаборатория с несколькими (одинаковыми) автоматизированными установками.

Различают СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем в процессе ее работы не участвует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент занятости всех каналов, не покидает СМО, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал. Число мест в очереди m может быть как ограниченным, так и неограниченным. При m=0 СМО с очередью превращается в СМО с отказами. Очередь может иметь ограничение не только по количеству стоящих в ней заявок (длине очереди), но и по времени ожидания (такие СМО называются «системами с нетерпеливыми клиентами»).

Системы массового обслуживания с очередью различаются не только по ограничениям очереди, но и по дисциплине обслуживания: обслуживаются ли заявки в порядке поступления, или в случайном порядке, или же некоторые заявки обслуживаются вне очереди (так называемые «СМО с приоритетом»). Приоритет может иметь несколько градаций или рангов.

Аналитическое исследование СМО является наиболее простым, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, - простейшие (стационарные пуассоновские). Это значит, что интервалы между событиями в потоках имеют показательное распределение с параметром,равным интенсивности соответствующего потока. Для СМО это допущение означает, что как поток заявок, так и поток обслуживаний - простейшие.

Из математики известно, что неотрицательная случайная величина Х имеет показательное распределение, если ее плотность распределения (равная плотности вероятности) имеет вид

Г 0 при x < 0; f (x) = j ^

[ цe ^цх при x > 0,

где ц = const - параметр показательного распределения.

Для каждой случайной величины параметр показательного распределения m имеет вполне определенное значение, например, f(x) = 5e^-5x.

Основные характеристики случайной величины X, имеющей показательное распределение с параметром ц:

математическое ожидание

M[X] = -;

ц

дисперсия

D[X] = 4;

_ц2

среднее квадратическое значение

o[X] = ¹

^ц

функция распределения

Г0 при x < 0;

F(_x) = J

[l - e"^цx при x > 0.

Под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом.

Этот поток оказывается простейшим, только если время обслуживания заявки Т_обсл представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение. Параметр этого распределения ц и есть величина, обратная среднему времени обслуживания:

Ц -- 1/ Јобсл,

где Јобсл -- М[То_бсл] - математическое ожидание времени обслуживания заявки.

Вместо «поток обслуживания - простейший» часто говорят «время обслуживания - показательное». В дальнейшем для краткости всякую СМО, в которой все потоки простейшие, будем называть простейшей СМО (главным образом, они и будут здесь рассматриваться).

Если все потоки событий простейшие, то процесс, протекающий в СМО, представляет собой марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным времени. При выполнении некоторых условий для этого процесса существует финальный стационарный режим, при котором как вероятности состояний, так и другие характеристики процесса не зависят от времени.

С помощью теории массового обслуживания решаются следующие задачи:

1) нахождение вероятностей различных состояний СМО;

2) установление зависимости между заданными параметрами (числом каналов n, интенсивностью потока заявок X, распределением времени обслуживания и т. д.) и характеристиками эффективности работы СМО.

В качестве характеристик эффективности работы СМО могут рассматриваться, например, следующие:

1) среднее число заявокA, обслуживаемое СМО в единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО;

2) вероятность обслуживания поступившей заявки Q или относительная пропускная способность СМО; Q = A/X;

3) вероятность отказа -Р_отк, т. е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена, получит отказ; Р_отк = 1 - Q;

4) среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди)г; _

5) среднее число заявок в очереди r;

6) среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием) ^_ист;

7) среднее время пребывания заявки в очереди t₀;

8) среднее число занятых каналов k.

В общем случае вероятности различных состояний СМО и характеристики эффективности работы СМО зависят от времени. Но многие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стационарному. Далее, не оговаривая этого каждый раз специально, будем вычислять финальные вероятности состояний и финальные характеристики эффективности СМО, относящиеся к предельному, стационарному режиму ее работы.

Система массового обслуживания называется открытой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО.

Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявки в системе tсист выражается через среднее число заявок в системе с помощью формулы Литтла:

иист = z/X, (4.9)

где X - интенсивность потока заявок.

Аналогичная формула (называется также формулой Литтла) связывает среднее время пребывания заявки в очереди t₀ и среднее число r заявок в очереди:

to = Г / X. (4.10)

Формулы Литтла очень полезны, так как позволяют вычислять не обе характеристики эффективности, а только какую-нибудь одну из них.

Подчеркнем, что формулы (4.9) и (4.10) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков заявок и обслуживаний); единственное требование к потокам заявок и обслуживаний - чтобы они были стационарными.

Аналогично универсальное значение для открытых_СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов k через абсолютную пропускную способность A:



k = A/-, (4.11 )

где ц = 1Добсл - интенсивность потока обслуживаний.

Очень многие задачи теории массового обслуживания, касающиеся простейших СМО, решаются при помощи схемы гибели и размножения.

Для схемы гибели и размножения (рис. 4.4) финальные вероятности состояний выражаются формулами:

X₀ X₀Xi X₀Xi ...X_k-1 X₀Xi ...X_n-1 ^ p₀ = 1 + +... + ^k-¹+... + ⁿ-¹

(4.12)

^--1 --1--2 --1--2 ."Mk --1--2 ."M-n

X₀ X₀X₁

P1 =-- Po; P2 =-°-^LPo; --1 --1--2

pk =^XoX1.^Xk-1 po (0 < k < n); ... ; pn = ^XoX1-^Xn-1 Po.

--1--2.-- k --1--2 .--n

При выводе формул для среднего числа заявок (в очереди или в системе) широко применяется прием дифференцирования рядов, состоящий в следующем. Если x < 1, то

У kx^k-1 -- x^-^x^k -- x^У x^k -- x k--1 k--1^{dx dx}k--1 ^{dx 1 - x} 1 - x

и окончательно

~ k x

У _kx^k ---

У 1-x². (⁴.¹³)



2.4 Финальные вероятности состояний и характеристики эффективности для некоторых часто встречающихся типов систем массового обслуживания

2.4.1 Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга)

На n-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью X; время обслуживания - показательное с параметром „ -- 1/ Јобсл. Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди, число заявок совпадает с числом занятых каналов):

s₀ - СМО свободна;

s₁ - занят один канал, остальные свободны; ...;

s_k - занято k каналов, остальные свободны (1 < k < n); ...;

s - заняты все n каналов.

n

О чем эта задача? Проанализируем исходные данные.

1. «n-канальная СМО» - это, например, n контролеров, работающих в цеховой лаборатории НК и выполняющих одинаковую работу.

2. Поскольку «СМО с отказами», то партии продукции («поток заявок»), пришедшие в момент, когда все контролеры заняты, не принимаются (получают отказ).

3. «Партии продукции поступают на контроль с интенсивностью X» означает, что в единицу времени на контроль поступает в среднем X партий.

4. «Время обслуживания - показательное с параметром ц -- 1/Ј₀б_сл» означает, что время обслуживания заявки (т. е. время контроля одной предъявленной партии) Г_обсл представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение

^{f (Т}обсл⁾ _„*,*

1ц е ^^обсл при Тобсл > 0



где ц = 1/Јобсл - параметр показательного распределения (Јобсл = = М[Т_обсл] - математическое ожидание времени обслуживания (контроля) партии продукции). Параметр показательного распределения m есть интенсивность потока обслуживаний (т. е. число контролируемых партий в единицу времени).

Теперь для поставленной задачи найдем финальные вероятности состояний СМО и характеристики эффективности СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга:

Po =|l +1 + 2- +... + nj ; Pk =kp₀(k =^1,2 n^ (4.14)

где p =Х/ц.

Что мы получили?

Параметр р = Х/ц - отношение интенсивностей поступления партий на контроль (Х) и их обслуживания (ц) или, что то же самое, отношение количества партий, поступивших на контроль за время T, к количеству партий, проверенных за это же время T. Поскольку рассматривается СМО «с отказами», то р < 1 (если контролер не проверил предыдущую партию, то следующую он не принимает).

Характеристики эффективности:

A = Х(1 -p_n); Q = 1 -p_n; P_OTO = p_n; k = p(1 -p_n). (4.15)

Что мы нашли?

1. A = Х (1 - p_n) - среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО - т. е. среднее число партий, контролируемых всей цеховой лабораторией НК в единицу времени.

Параметрp_n - вероятность того, что СМО находится в состоянии s. т. е. заняты все n каналов (все контролеры).

2. Q = 1 - p_n - вероятность обслуживания поступившей заявки или относительная пропускная способность СМО - т. е. вероятность того, что предъявляемую на контроль партию примут на контроль (окажется хотя бы один свободный контролер, который ее сможет взять).

3. Р_отк = P_n - вероятность отказа, т. е. вероятность того, что предъявляемая партия не будет принята на контроль, получит отказ, так как все контролеры заняты; P = 1 - Q.

4. k -- р(1 - p_n) - среднее число занятых каналов (контролеров).

Вернемся к выражениям (4.14).

При больших значениях n вероятности состояний (4.14) удобно

вычислять через табулированные функции

_a^m _-

P(m, a) -- -- е ^a, (4.16)

m!

представляющую собой распределение Пуассона, и

m _ak

R(m, a) --У О. е~^a. (4.17)

k--0 k!

Справка. Из математики известно, что распределение случайной величины X будет пуассоновским тогда, когда число независимых испытаний n велико, а вероятность появления события в каждом испытании p мала. Это распределение называют также законом редких явлений. При этом вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение m, выражается формулой (4.16), где a = np - параметр Пуассона (интенсивность появления событий в n независимых испытаниях). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона,

M[X] -- D[X] -- a.

Для определения численных значений P(m, a) и R (m, a) существуют таблицы - например, [2, прил. 1 и 2].

Функцию P(m, a) можно выразить через R(m, a):

P(m, a) -- R(m, a)-R(m-1, a). (4.18)

Пользуясь этими функциями, формулы Эрланга (4.14) можно переписать в виде

Pk -- P(k, p)/R(n, p)(k -- 0,1, ..., n). (4.19)

2.4.2 Простейшая одноканальная СМО с неограниченной очередью

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью Х. Время обслуживания - показательное с параметром М = 1/ Јобсл. Длина очереди не ограничена. Финальные вероятности существуют только при р = (Х/м) < 1 (при р > 1 очередь растет неограниченно). Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО, находящихся в очереди или обслуживаемых: s₀ - СМО свободна; s₁ - канал занят, очереди нет;

s₂ - канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...; s_k - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди; ... Для поставленной задачи найдем финальные вероятности состояний и характеристики эффективности СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

P0 = 1 -р; Pk =p^k(1 -P)(k = 1, 2, ...), (4.20)

где р = (Х/м) < 1.



Характеристики эффективности:

A = Х; Q = 1; P_0TK =0; (4.21)

Z=7^е-; г=-Ј-; ^сист =^1--; t0 =-f--; (⁴.²²) 1 -р 1 -р Х(1 -р) Х(1 -р)

среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал занят)

k =Х/м = р. (4.23)

2.4.3 Простейшая одноканальная СМО с ограничением по длине очереди

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью Х; время обслуживания - показательное с параметром М = 1/Јобсл. В очереди m мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО. Состояния СМО:

s₀ - СМО свободна;

s₁ - канал занят, очереди нет;

s₂ - канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...;

s_k - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди; ...;

s_m+₁ - канал занят, m заявок стоят в очереди. Найдем финальные вероятности состояний СМО и характеристики ее эффективности.

Финальные вероятности состояний существуют при любом р = Л/ц и равны

P0 -- Т^-Р*; Pk -- P^kP0(k -- 1, m +1). (4.24)

1 - p^m+2

Характеристики эффективности СМО:

^{A -- Л}( ^-Pm+1); ^{Q -- 1 -}Pm+1; ^Pотк -- Pm+1. Среднее число занятых каналов (вероятность того, что канал занят)

k -- 1-P0. (4.25)

Среднее число заявок в очереди

1 - p^m (m +1 - mp)

(4.26)

(1 -p^m+²) (1 -p) Среднее число заявок в СМО

2 -- r + k. (4.27)

По формуле Литтла

сист -- 2/Л; t0 -- r/Л. (4.28)

2.4.4 Простейшая многоканальная СМО с неограниченной очередью

На n-канальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью Л; время обслуживания одной заявки - показательное с параметром Ц -- 1/ ^бсл. Финальные вероятности существуют только при p/n = х < 1, где р = Л/ц. Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО:

s₀ - СМО свободна;

s₁ - занят один канал; ...;

s_k - занято k каналов(1d"kd"n);

s_n - заняты все n каналов;

s_n+l - заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди; s_n+_r - заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди.

Найдем финальные вероятности состояний и характеристики эффективности такой СМО.

(4.29)

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

и Р Pⁿ pⁿ⁺¹ 1 1! n! n * n! 1 -x

Pk=ki P0 ("^k"ⁿ);

P0 (p> 1).

n^r * n!

С помощью функций P(m, а) и R(m, a) (4.16)-(4.18) формулы (4.29) могут быть приведены к виду

Pn+r =XrPn(r = 1, 2, -*). Характеристики эффективности СМО:

(4.31)

(4.32)

(4.33)

P0 = X Pn

r = p

n* n! (1 -x)² (1 -x)²'

z = r + k = r + p; ^ист = z /Х; t0 = r/Х.

2.4.5 Простейшая многоканальная СМО с ограничением по длине очереди

Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4.4.4, с той разницей, что число m мест в очереди ограничено.

Финальные вероятности состояний существуют при любых Х и М и выражаются формулами:

I ^ „n ~.n+1 -i „,m ' ¹

po -- |1+^p+...+-e--__

[ 1! n! n * n! 1 -х

_pk

pk --^po (1 < k < n); (4.34)

k!

p»+r

pn+r ---7--TPO (¹ <p<^m)^, n * n!

где х = p/n = Л/(пц).



Характеристики эффективности СМО:

^A--^Л(^{1 -}pn+m); ^Q--^{1 -}pn+m; ^тк-- p_b+-; ^{k --} p(^{1 -}pn+m);

(4.35)

- pⁿ⁺¹ po¹ -(m + ¹)x^- + mX^m+1. _{(4 36)}

^{n *n (1 -х)2 '}

2 -- r + k; (4.37)

^ист -- 2/Л; to -- r/Л. (4.38)

2.4.6 Многоканальная СМО с отказами при простейшем потоке заявок и произвольном времени обслуживания

Формулы Эрланга (4.14) остаются справедливыми и тогда, когда поток заявок - простейший, а время обслуживания Т_обсл имеет произвольное распределение с математическим ожиданием ^бсл -- 1/ ц.

2.4.7 Одноканальная СМО с неограниченной очередью при простейшем потоке заявок и произвольном времени обслуживания

Если на одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью Л, а время обслуживания Т_обсл распределяется по произвольному закону с математическим ожиданием ^бсл -- 1/ц и коэффициентом вариации и, то среднее число заявок в очереди выражается формулой Полячека-Хинчина

- Р² (1 + Vm)² r =-

2(1 -P) '

где p = Х/м, а среднее число заявок в СМО



- Р² (1 + Vm)²

z = --^ ^ + р. (4.40)

2(1 -р) ^{Н 1} '

Из (4.39) и (4.40) по формуле Литтла получим

- Р² (1 + Vm)² - Р² (1+ VM)² ₁ t0 = J/ \ ; Тсист = ^М + ¹ (4.41)

2Х(1 -р) 2Х(1 -р) м

2.4.8 Одноканальная СМО при произвольном (пальмовском) потоке заявок и произвольном времени обслуживания

Точных формул для этого случая не существует; приближенная оценка длины очереди может быть произведена по формуле

- р² (²+v2)

^{r и} гЕГРГ ⁽⁴.⁴²⁾

где Vx - коэффициент вариации интервала между событиями во входном потоке; р = Х/м; Х - величина, обратная математическому ожиданию этого интервала; м = 1/ Тобсл - величина, обратная среднему времени обслуживания; v_m - коэффициент вариации времени обслуживания.

Среднее число заявок, связанных с СМО,

р² (+v2)

z

н^сг^ ^<4.⁴³⁾

а средние времена пребывания заявки в очереди и в СМО соответственно равны:



- Р²(²+v2)

t0

2Х(1 -р) '

р²(² +v2) 1

(4.39)

^Г-РТ¹

2.4.9 Простейшая многофазовая СМО с очередью

Анализ многофазовых СМО в общем случае затруднен тем, что входящий поток каждой последующей фазы является выходным потоком предыдущей и в общем случае имеет последействие. Однако, если на вход СМО с неограниченной очередью поступает простейший поток заявок, а время обслуживания показательное, то выходной поток этой СМО - простейший, с той же интенсивностью Л, что и входящий. Из этого следует, что многофазовую СМО с неограниченной очередью перед каждой фазой, простейшим входящим потоком заявок и показательным временем обслуживания на каждой фазе можно анализировать как простую последовательность простейших СМО.

Если очередь к фазе ограничена, то выходной поток этой фазы перестает быть простейшим и указанный прием может применяться только в качестве приближенного.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Общие тенденции развития промышленности связаны с усложнением технических систем, уменьшением их габаритных размеров и массы, что приводит к постоянному ужесточению и усложнению режимов их работы по нагрузкам, скоростям, вибрациям и ряду других воздействий. При этом цена отказа технических систем может быть очень высокой.

Решение задачи обеспечения высокого качества и надежности тесно связано с задачей повышения уровня контроля продукции. Повышение качества может быть достигнуто как за счет улучшения средних значений его показателей, так и за счет уменьшения их дисперсии. Улучшение средних значений показателей качества может достигаться по двум ключевым направлениям. Первое - за счет высокого научно-технического уровня разработок, применения перспективных материалов и технологических процессов изготовления и сборки (в учебном пособии не рассматривается). Второе - за счет статистического регулирования технологических процессов путем корректирования значений их параметров по результатам выборочного контроля производимой продукции. Уменьшение дисперсии показателей качества выпускаемой продукции может быть достигнуто путем проведения непрерывного контроля изменения свойств объектов производства на всех стадиях технологического процесса.

Высококачественный объект должен обладать заданным и постоянным химическим составом, микро- и макроструктурой, механическими характеристиками, геометрическими размерами, в нем не должно содержаться несплошностей. Выполнение всех этих требований возможно только путем применения различных методов контроля, дополняющих друг друга.

При этом часто представляется целесообразным перейти от выборочного контроля качества материалов и изделий к сплошному. Если выборочный контроль может быть реализован на базе разрушающих испытаний ограниченного количества изделий, то сплошной контроль различных свойств материалов и изделий возможен только на основе применения неразрушающих методов, т.е. методов, не нарушающих пригодности продукции к использованию. Методы НК предусматривают выявление дефектов без повреждения объектов, а иногда даже без их разборки. Это достигается путем использования физических методов, связанных с анализом результата воздействия на объект контроля излучений и полей различной физической природы. Особенно важное значение методы НК приобретают при проверке качества объектов в процессе эксплуатации. В настоящее время НК является неотъемлемой частью производства и эксплуатации в энергетике, химическом производстве, авиации, морском, железнодорожном транспорте и ряде других отраслей промышленности.

За короткий срок НК выделился в самостоятельную отрасль технических наук. Он основывается на комплексном применении самых различных областей физики: оптики, акустики, электромагнетизма, газовой динамики, физики твердого тела, атомной физики и др. Для работы в области НК необходимо владеть знаниями в области прочности материалов, технологии производства продукции, метрологии, математической статистикой, теорией распознавания образов, спектральным и импульсным анализом и т.д. Обеспечение приборной базы НК основано на применении электроники, электротехники, автоматики, вычислительной техники, точного приборостроения.

Передовые достижения в смежных областях науки быстро осваиваются и усовершенствуются в НК. Например, лазерная техника, голография, ядерный магнитный резонанс используются в приборах и методах контроля, причем на основе оптической голографии развилась акустическая вычислительная голография. Микропроцессоры применяются для распознавания образа дефекта, управления процессом контроля и т.д. Теория хрупкого разрушения является основой оценки допустимости дефектов. Математическая теория игр находит применение для выбора критериев оценки качества при отсутствии исчерпывающих данных о дефекте. Перспективы развития методов НК тесно связаны с применением вычислительной техники и роботизацией производственных процессов. Применение вычислительной техники позволяет автоматизировать наиболее сложный и ответственный этап контроля - принятие достоверного решения. Роботизация контроля продукции открывает большие возможности для гибких производственных систем и является особенно существенной при вредных или опасных производственных условиях.

Затраты на контроль быстро окупаются снижением производственных и эксплуатационных расходов, повышением качества функционирования и надежности технических объектов.

В учебном пособии рассмотрены общие вопросы неразрушающего контроля: понятие качества, его контроля, организация службы контроля, классификация и краткая характеристика методов контроля, их стандартизация и метрологическое обеспечение, статистические методы управления качеством, организация подразделений неразрушающего контроля на базе теории массового обслуживания.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1969. 576 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983. 416 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1972. 386 с.

4. Ермолов И.Н, Останин Ю.Я. Методы и средства неразрушаю- щего контроля качества. М., Высшая школа, 1988. 368 с.

5. Контроль качества продукции машиностроения / Под ред. А.Э. Артеса. М.: Изд-во стандартов, 1974. 448 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.

7. Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 1o т. М.: Машиностроение, 1989. Т.7.: Качество и надежность в производстве / Под ред. И. В.Апполонова. 28o с.

8. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. Изд. 3-е. М.: Наука, 1969. 511 с.

9. Технология технического контроля в машиностроении: Справочное пособие / Под общ. ред. В.Н. Чупырина. М.: Изд-во стандартов, 199o. 4oo с.

1o. Шиндовский Э, Щюрц О. Статистические методы контроля производства. М.: Изд-во стандартов, 1969.

Размещено на Allbest.ru