Анализ финансовых и кредитных операций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа № 1

Простые процентные и учетные ставки

ставка процент платеж ипотечный ссуда

1. Цель работы

1. Расчет простых процентных ставок и суммы процентных денег, расчет обыкновенных и точных процентов, расчет наращенных сумм по постоянным и переменным простым процентным ставкам.

2. Математическое дисконтирование, и учет: определение дисконтной величины по учетной ставке, расчет суммы наращивания по простой учетной ставке, расчет дисконтной величины по простым процентной и учетной ставкам.

3. Расчет продолжительности ссуды, расчет уровней простых процентной и учетной ставок.

2. Краткие теоретические сведения

1. Простые проценты и процентные ставки.

Процентными деньгами или, кратко, процентами называется абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.п.

Процентная ставка i равна отношению суммы процентных денег IT, выплачиваемых за определенный фиксированный интервал времени T к величине ссуды P: i=IT/P. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби.

Величина суммы P называется базой, а интервал времени T, относительно которого определена или, как говорят, приурочена процентная ставка называется периодом начисления или временной базой. В качестве периода начисления T обычно используют год, полугодие, квартал, месяц.

Если процентная ставка i на всем протяжении ссуды применяется к одной и той же первоначальной сумме долга P (база равна P), то она называется простой процентной ставкой, а сами проценты I простыми процентами, если процентная ставка iс применяется к первоначальной сумме долга P вместе с начисленными на нее процентами I за предыдущие периоды начисления T (база равна P+I), то она называется сложной процентной ставкой, а сами проценты I называются сложными процентами.

2. Наращение по простым процентам.

Под наращенной суммой ссуды S (долга, других видов инвестиционных средств и т.д.) понимается первоначальная сумма P вместе с начисленными на нее процентами I к концу срока.

Величина начисленных простых процентов за весь срок ссуды t при процентной ставке i с периодом начисления T определяется по формуле

(2.1)

где n=t/T - число периодов начисления.

Формула для расчета наращенной суммы при начислении простых процентов за срок равный n периодам имеет равна

(2.2)

i - множитель наращения простых процентов.

Пример. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 7000 руб., срок долга - 4 года при ставке простого процента, равной 10 годовых.

Имеем P=7000; n=4, i=0,1,

I=700040,1=2800; S=7000+2800=9800.

3. Начисление краткосрочных процентов.

При n=t/T <1 используются вариант начисления с использованием точного процента и вариант начисления с использованием обыкновенного (коммерческого) процента.

При точном проценте за временную базу принимают число дней равное календарному числу дней в году, т.е. T=365 дней, при обыкновенном проценте за временную базу берут год, состоящий из 12 месяцев по 30 дней каждый, т.е. T=360 дней.

Точные проценты Im и приближенные проценты I0 , начисляемые по одной и той же ставке за одно и тоже число дней, связаны между собой следующим соотношением

(2.3)

Кроме того при начислениях, определение числа дней пользования ссудой может быть точным и приближенным. В первом случае подсчитывается фактическое количество дней, т.е. точное число дней между двумя датами, датой выдачи ссуды tc и датой ее погашения tp ; во втором случае количество дней определяется из предположения, что в месяце 30 дней. В обеих этих случаях день выдачи и погашения считается одним днем.

Для определения точного числа применяют специальную таблицу, в которой каждый календарный день имеет свой порядковый номер и вычисления проводят по формуле

(2.4)

где Nc- порядковый номер даты выдачи ссуды, Np - порядковый номер даты погашения.

Для определения приближенного числа дней используется следующая формула:

(2.5)

где Mc и Lc- месяц и число даты выдачи ссуды, а Mp и Lp - месяц и число даты погашения.

Пример. Ссуда в размере 100 тыс. рублей выдана 20.01 до 05.10 включительно под 8 годовых, год невисокосный. Необходимо найти размер погасительного платежа.

Имеем P=10000, i=0,08, точное число дней ссуды - 258, приближенное - 255. Находим:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды

n=258/365; S=105654,79 руб.,

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

n=258/360; S=105733,33 руб.,

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

n=255/360; S=105666,67 руб.

4. Переменные ставки.

Если в кредитных соглашениях предусматривается дискретно изменяющееся во времени процентные ставки, то для срока погашения длительностью n, разбитого на m периодов c длительностью nk k=1,...,m; наращенная сумма определяется по формуле

(2.6)

где ik - ставка простых процентов в периоде k.

Пример. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - 6%, в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0,5%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Имеем n1=1, n2=n3=n4=0,5, i1=0,06, i2=0,065, i3=0,07, i4=0,075,

.

5. Дисконтирование и учет по простым ставкам.

Процесс заключающийся в определение стоимостной величины A на некоторый момент времени, если известно, что в будущем она имеет заданную величину S называется дисконтированием.

Расчет величины A называют приведением суммы S к заданной дате, а саму сумму A, найденную дисконтированием, называют современной или приведенной величиной S. Проценты, полученные в результате дисконтирования: D=S-A, называются дисконтом, а сам процесс начисления и удержания этих процентов называется учетом.

В зависимости от вида применяемой ставки применяют два вида дисконтирования. - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи обратной наращению первоначальной суммы. Поэтому заменяя в (2.2) величину P на величину A, при заданном S получаем

(2.7)

где i - дисконтный множитель. Дисконт соответственно будет равен

(2.8)



Пример. Через 180 дней с момента подписания контракта должник уплатит 31 тыс. руб. Кредит предоставлен под 6% годовых. Определить, какую сумму получит должник и сумму дисконта.

Имеем t=180, T=365, i=0,06,

руб., Di=S-P=890,9 руб.

При банковском (коммерческом) учете проценты начисляются на известную сумму, которую необходимо уплатить в конце срока ссуды, при этом применяется учетная ставка d. Учетная ставка d равна отношению дисконта DT, полученного за определенный фиксированный интервал времени T к величине суммы S, которую необходимо оплатить в конце срока ссуды: d=DT/S. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби.

При простой учетной ставке дисконт ID за время t (от учета до конца срока ссуды), равное n периодам n=t/T, вычисляется по формуле

(2.9)

Сумма A, которую необходимо выплатить при учете соответственно будет равна

(2.10)

где d - дисконтный множитель.

Отметим, что сейчас для при учете используется точная ставка (T=365) и берется точное число дней.

Пример. Переводной вексель(тратта) выдан на сумму 100 тыс. рублей с уплатой 17.11. Владелец векселя произвел его учет в банке 23.09 по учетной ставке 8%. Имеем S=100000, d=0,08, t=55, T=365,

, D=100000-98794,52=1205,48 руб.

6. Наращение по простой учетной ставке.

Простая учетная ставка может быть применена при расчете наращенной суммы. В соответствии с (2.9) заменяя A на P для наращенной суммы получаем

(2.11)

Пример. Ссуда в размере 100 тыс. рублей выдана 20.01 до 05.10 включительно. Найти наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке, равной 8%. Имеем P=100000, t=258, d=0,08, T=365,

Операции начисления процентов и дисконтирования по учетной ставке могут совмещаться, при учете платежного обязательства, предусматривающего начисление простых процентов. В этом случае сумма долга на конец срока представляет собой наращенную сумму, а учет проводиться раньше этого срока. Следовательно, имеем

(2.12)



где P - первоначальная сумма ссуды, A - сумма полученная при учете обязательства, n1 - общий срок платежного обязательства, n2 - срок от учета до даты погашения (n1>n2).

Пример. Обязательство уплатить через 180 дней 30 тыс. рублей с процентами (6% годовых) было учтено за 120 дней до наступления срока, учетная ставка 7,5%. Полученная при учете сумма без комиссионных составит величину

7. Определение продолжительности ссуды и уровня процентной и учетной ставок.

При разработке условий контрактов возникает необходимость в решении обратных задач - определение срока ссуды и уровней процентной и учетной ставок при всех прочих равных условиях. Из (2.2) и (2.10) легко получаем формулы для расчета продолжительности срока ссуды в годах

(2.13)

и в днях:

(2.14)

а также формулы для определения процентной и учетной ставок:

(2.15)

Пример. В контракте предусматривается погашение обязательства через 120 дней в сумме 12 тыс. рублей, первоначальная сумма долга - 11,5 тыс. рублей. Необходимо определить доходность операции для кредитора в виде обыкновенных учетной и процентной ставок.

Имеем S=12000, P=11500, t=120, T=360,

=13,04%, =12%.

Пример. Когда должен быть учтен вексель на сумму 50 тыс. руб., с датой погашения 30.11, чтобы получить сумму в 47 тыс. руб., если банк будет использовать точную учетную и точную процентную ставки 9%, с точным и приближенным числом дней.

Имеем S=50000, P=47000, Np=334, Mуч.=11, Lуч.=30, d=0,09, T=365.

Точное число дней:

Приближенное число дней:

3. Задания

Задание 1. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна P руб., срок долга n лет, ставка простого процента i годовых.

	P	n	i%		P	n	i%		P	n	i%
1	7000	3	12	21	7500	4	12	41	3500	3	9
2	6000	5	11	22	6500	3	12	42	3200	4	15
3	5000	4	13	23	9000	4	13	43	3500	5	12
4	4500	3	12	24	8000	5	15	44	6400	5	16
5	5500	5	16	25	7000	4	12	45	3200	4	8
6	6500	6	13	26	4500	6	19	46	4300	6	23
7	8000	3	12	27	3800	5	16	47	8700	3	14
8	9000	4	14	28	4600	4	12	48	5700	4	12
9	3000	5	15	29	7000	5	12	49	5400	4	15
10	5500	3	16	30	8600	5	15	50	4300	6	18
11	3500	4	12	31	9700	4	12	51	5000	4	12
12	6000	4	14	32	6700	3	15	52	5700	5	11
13	8500	3	15	33	4300	5	17	53	6500	4	8
14	9500	5	16	34	5400	3	14	54	8600	3	10
15	6000	6	14	35	7600	4	15	55	9800	6	14
16	5500	5	12	36	8000	5	12	56	6500	4	8
17	4500	4	15	37	9600	4	13	57	8400	5	7
18	3500	5	17	38	4800	6	17	58	7500	3	11
19	6500	4	12	39	6500	4	12	59	2100	4	12
20	7500	4	14	40	6800	3	12	60	6800	5	20

Задание 2. На сколько лет должен быть вложен капитал P руб. при i годовых, чтобы к концу срока он увеличился в k раз.

	P	k	i%		P	k	i%		P	k	i%
1	3500	3	9	21	7000	3	12	41	7500	2	12
2	3200	2	15	22	6000	2	11	42	6500	2	12
3	3500	3	12	23	5000	4	13	43	9000	4	13
4	6400	2	16	24	4500	3	12	44	8000	3	15
5	3200	4	8	25	5500	2	16	45	7000	4	12
6	4300	2	23	26	6500	3	13	46	4500	2	19
7	8700	3	14	27	8000	3	12	47	3800	2	16
8	5700	4	12	28	9000	4	14	48	4600	4	12
9	5400	4	15	29	3000	2	15	49	7000	3	12
10	4300	2	18	30	5500	3	16	50	8600	2	15
11	5000	4	12	31	3500	3	12	51	9700	4	12
12	5700	3	11	32	6000	4	14	52	6700	3	15
13	6500	4	8	33	8500	3	15	53	4300	3	17
14	8600	3	10	34	9500	2	16	54	5400	3	14
15	9800	2	14	35	6000	2	14	55	7600	4	15
16	6500	2	8	36	5500	3	12	56	8000	2	12
17	8400	3	7	37	4500	4	15	57	9600	4	13
18	7500	3	11	38	3500	2	17	58	4800	2	17
19	2100	2	12	39	6500	2	12	59	6500	4	12
20	6800	3	20	40	7500	4	14	60	6800	3	12

Задание 3. Определить такую ставку процентов i, чтобы за n лет капитал P руб. увеличился на I руб.

	P	n	I		P	n	I		P	n	I
1	7500	4	5000	21	3500	3	500	41	7000	3	1500
2	6500	3	2000	22	3200	4	800	42	6000	5	2500
3	9000	4	3000	23	3500	5	1000	43	5000	4	2000
4	8000	5	1000	24	6400	5	2000	44	4500	3	1000
5	7000	4	2000	25	3200	4	2000	45	5500	5	3000
6	4500	6	2000	26	4300	6	1000	46	6500	6	2000
7	3800	5	1000	27	8700	3	2000	47	8000	3	4000
8	4600	4	3000	28	5700	4	1000	48	9000	4	2000
9	7000	5	2000	29	5400	4	2000	49	3000	5	2500
10	8600	5	2000	30	4300	6	500	50	5500	3	4500
11	9700	4	1000	31	5000	4	2000	51	3500	4	1200
12	6700	3	1000	32	5700	5	3000	52	6000	4	1400
13	4300	5	2000	33	6500	4	1000	53	8500	3	1500
14	5400	3	1000	34	8600	3	2000	54	9500	5	1600
15	7600	4	2000	35	9800	6	1000	55	6000	6	1400
16	8000	5	1000	36	6500	4	2000	56	5500	5	1200
17	9600	4	2000	37	8400	5	5000	57	4500	4	1500
18	4800	6	1000	38	7500	3	2000	58	3500	5	1700
19	6500	4	3000	39	2100	4	3000	59	6500	4	1200
20	6800	3	1000	40	6800	5	2000	60	7500	4	1400

Задание 4. Ссуда в размере P тыс. рублей выдана d1 (дата выдачи) до d2 (дата погашения) включительно под i годовых, год невисокосный. Необходимо найти размер погасительного платежа, применяя три метода.

	P	d1	d2	i%		P	d1	d2	i%
1	50	12.05	13.11	8,1	31	130	01.02	12.11	5,1
2	150	07.05	18.12	6,2	32	25	05.06	14.11	4,9
3	200	22.03	12.10	10	33	30	28.02	03.12	9,4
4	550	07.01	15.05	9,3	34	75	03.03	29.02	7,6
5	300	13.08	21.11	7,2	35	250	02.02	31.10	6,9
6	45	08.04	18.09	5,6	36	800	19.01	30.10	11
7	80	17.02	13.07	11	37	440	18.06	04.11	8,6
8	170	04.03	21.09	8,5	38	530	09.07	31.10	7,8
9	88	08.05	12.12	6,7	39	59	31.03	29.08	6,6
10	690	31.05	01.10	9,2	40	370	19.09	05.12	5,8
11	70	02.05	03.11	7,1	41	60	14.02	15.12	6,6
12	450	07.08	11.12	8,2	42	140	24.05	17.12	7,4
13	20	21.07	13.10	11	43	120	04.06	31.12	8,3
14	55	17.03	05.05	7,3	44	500	06.05	11.11	9,1
15	150	18.08	01.11	6,2	45	180	15.01	29.02	5,5
16	450	18.04	30.09	7,6	46	75	05.10	28.12	4,7
17	80	17.02	13.07	11	47	350	23.02	11.11	11
18	70	14.07	31.12	8,1	48	250	06.01	28.09	9,5
19	650	08.07	22.11	8,7	49	970	16.04	29.10	7,5
20	90	01.05	31.10	5,2	50	44	17.05	23.09	8,8
21	30	04.02	10.11	7,4	51	600	24.03	05.09	7,6
22	150	06.06	24.11	8,4	52	40	14.05	17.11	8,4
23	300	18.02	13.12	6,9	53	20	04.08	31.10	9,3
24	750	13.03	19.02	5,5	54	50	16.05	13.10	6,1
25	35	22.03	21.11	9,4	55	80	05.01	19.02	4,5
26	80	09.01	23.10	10	56	175	15.10	08.12	8,7
27	44	08.06	14.11	12	57	30	13.03	19.12	10
28	33	19.08	30.09	8,6	58	25	16.02	29.02	6,5
29	910	01.02	19.07	7,7	59	70	26.03	19.11	5,5
30	170	29.08	15.11	4,9	60	540	07.04	13.09	7,8

Задание 5. Начисленная за 55 дней ссуды сумма процентов составила I тыс. рублей (временная база 360 дней). Необходимо определить аналогичную сумму при условии начисления точных процентов (временная база 365 дней).

	I	N	I		I		I		I		I
1	15,5	11	13,2	21	33,5	31	76	41	24,5	51	14,6
2	20,5	12	14,5	22	62,5	32	43,7	42	34,2	52	76
3	30,3	13	23,6	23	43,5	33	78	43	12,2	53	97
4	21,5	14	34,9	24	13,2	34	95	44	29	54	92
5	34,6	15	32,6	25	27	35	95,5	45	32,6	55	10,9
6	56,4	16	12,8	26	63	36	67,8	46	67	56	34
7	12,2	17	45,7	27	45	37	23,2	47	73	57	61
8	12,5	18	56,6	28	40	38	85	48	79	58	36
9	14,3	19	75,9	29	60	39	85,8	49	36	59	43
10	15,6	20	45,7	30	55	40	32,8	50	12,9	60	54

Задание 6. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год- i, в каждом следующем полугодии ставка повышается на . Необходимо определить множитель наращения за n лет.

	i%	%	n		i%	%	n		i%	%	n
1	8	1	2,5	21	5	1	3	41	8	2	3
2	6	2	3	22	7	2,5	4	42	6	1	4
3	7	0,5	3	23	8	1	3	43	5	1	3
4	10	1	2,5	24	5	0,5	3	44	4,5	0,5	2,5
5	8	0,5	3,5	25	6	0,5	3	45	6	1	3
6	8	1,5	3	26	7	1	2,5	46	9,5	0,5	4
7	5	2	3,5	27	5	0,5	3	47	8	2	3,5
8	6	1	4	28	6,5	0,5	2,5	48	6,5	0,5	3
9	9	1	2,5	29	5	1	2,5	49	7	1,5	3,5
10	11	0,5	3,5	30	5,5	2	2,5	50	10	2	2,5
11	6	1,5	3	31	7,5	1	2,5	51	9	1	3
12	5	2,5	2,5	32	6,5	0,5	3	52	5	1	3
13	5	1	2,5	33	3,5	1	3	53	5,5	2	3
14	6	2	3	34	5,5	2,5	4	54	6	1	4
15	12	0,5	3	35	6	1	3	55	7,5	1	3
16	7	1	2,5	36	7	0,5	3	56	8	0,5	2,5
17	8	0,5	3,5	37	5,5	0,5	3	57	6	1	3
18	9	1,5	3	38	6,5	1	2,5	58	5,5	0,5	4
19	10	2	3,5	39	7	0,5	3	59	6	2	3,5
20	9	1	4	40	5,5	0,5	2,5	60	7	0,5	3

Задание 7. Через t дней с момента подписания контракта должник уплатит S тыс. рублей. Кредит предоставлен под i годовых. Определить, какую сумму получит должник и сумму дисконта. Временная база 365 дней.

	t	S	i%		t	S	i%		t	S	i%
1	20	30	8	21	50	40	6	41	30	55	8
2	30	45	6	22	100	125	5	42	40	40	9
3	50	55	5	23	30	130	10	43	50	125	12
4	100	60	8	24	42	150	5	44	40	650	9
5	30	30	10	25	14	135	14	45	50	700	8
6	20	70	12	26	35	125	12	46	100	400	8
7	10	55	15	27	50	120	15	47	120	450	12
8	20	75	6	28	100	90	12	48	60	350	10
9	40	80	8	29	25	36	11	49	60	650	11
10	30	36	5	30	15	40	9	50	50	550	9
11	20	42	10	31	30	50	8	51	40	640	7
12	21	57	12	32	60	70	6	52	30	76	12
13	20	130	8	33	50	400	6	53	30	55	6
14	30	40	6	34	10	125	5	54	40	40	8
15	50	50	5	35	30	150	10	55	50	125	10
16	100	650	8	36	120	150	5	56	40	650	5
17	30	300	10	37	150	135	14	57	50	700	7
18	20	700	12	38	300	125	12	58	100	400	11
19	10	550	15	39	250	120	15	59	120	450	15
20	20	750	6	40	100	900	12	60	60	350	12

Задание 8. Тратта (переводной вексель) выдана на сумму S тыс. рублей с уплатой d1 (дата уплаты). Владелец документа учел его в банке d2 (дата учета) по учетной ставке i. Определить полученную сумму (без уплаты комиссионных) и дисконт. Временная база 365 дней.

	S	d1	d2	i%		S	d1	d2	i%
1	660	12.05	13.11	8,1	31	635	01.02	12.11	5,1
2	170	07.05	18.12	6,2	32	256	05.06	14.11	4,9
3	20	22.03	12.10	10	33	860	28.02	03.12	9,4
4	850	07.01	15.05	9,3	34	78	03.03	29.02	7,6
5	70	13.08	21.11	7,2	35	25	02.02	31.10	6,9
6	450	08.04	18.09	5,6	36	80	19.01	30.10	11
7	800	17.02	13.07	11	37	44	18.06	04.11	8,6
8	14	04.03	21.09	8,5	38	58	09.07	31.10	7,8
9	38	08.05	12.12	6,7	39	590	31.03	29.08	6,6
10	269	31.05	01.10	9,2	40	440	19.09	05.12	5,8
11	470	02.05	03.11	7,1	41	360	14.02	15.12	6,6
12	560	07.08	11.12	8,2	42	40	24.05	17.12	7,4
13	230	21.07	13.10	11	43	20	04.06	31.12	8,3
14	350	17.03	05.05	7,3	44	50	06.05	11.11	9,1
15	315	18.08	01.11	6,2	45	18	15.01	29.02	5,5
16	145	18.04	30.09	7,6	46	375	05.10	28.12	4,7
17	85	17.02	13.07	11	47	35	23.02	11.11	11
18	490	14.07	31.12	8,1	48	25	06.01	28.09	9,5
19	960	08.07	22.11	8,7	49	98	16.04	29.10	7,5
20	43	01.05	31.10	5,2	50	440	17.05	23.09	8,8
21	430	04.02	10.11	7,4	51	66	24.03	05.09	7,6
22	15	06.06	24.11	8,4	52	140	14.05	17.11	8,4
23	36	18.02	13.12	6,9	53	230	04.08	31.10	9,3
24	75	13.03	19.02	5,5	54	450	16.05	13.10	6,1
25	435	22.03	21.11	9,4	55	380	05.01	19.02	4,5
26	480	09.01	23.10	10	56	675	15.10	08.12	8,7
27	440	08.06	14.11	12	57	630	13.03	19.12	10
28	330	19.08	30.09	8,6	58	925	16.02	29.02	6,5
29	10	01.02	19.07	7,7	59	870	26.03	19.11	5,5
30	70	29.08	15.11	4,9	60	330	07.04	13.09	7,8

Задание 9. Найти наращенную сумму для данных задания 4 при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке, равной i%.

Задание 10. Обязательство уплатить через t1 дней P тыс. рублей с процентами (i% годовых) было учтено за t2 дней до наступления срока, учетная ставка d%. Определить полученную при учете сумму.

	t1	P	i%	t2	d%		t1	P	i%	t2	d%
1	200	30	5	12	6,5	31	300	55	6	200	9,5
2	150	50	7	100	9	32	150	50	7	15	8,5
3	120	20	6	10	6,5	33	300	93	7	40	8
4	180	95	8	35	9	34	150	70	4	20	6,5
5	150	90	6	20	7,5	35	270	72	6	150	6,5
6	300	74	5	150	6,5	36	100	60	8	10	9,5
7	150	90	7	30	8,5	37	180	46	7	30	8
8	150	43	9	30	10,5	38	150	36	6	20	7,5
9	200	18	5	30	6	39	300	25	9	60	11
10	350	27	8	50	10	40	60	50	4	15	6,5
11	180	36	5	30	7,5	41	100	40	6	15	7,5
12	90	24	7	20	8,5	42	250	100	9	50	10
13	120	90	8	20	11,5	43	120	35	5	20	6,5
14	90	120	4	15	6,5	44	90	84	7	20	10
15	180	25	6	30	9,5	45	90	75	7	15	4,5
16	120	14	5	40	5,5	46	300	56	6	120	7,5
17	200	90	6	50	8	47	120	100	5	20	6,5
18	250	95	6	120	7,5	48	200	26	9	10	11
19	300	45	5	30	6,5	49	180	20	6	20	7,5
20	90	45	5	30	6,5	50	250	25	7	50	8,5
21	270	21	5	30	6,5	51	200	75	6	40	9,5
22	300	85	7	60	8,1	52	60	16	6	15	8,5
23	90	14	5	20	7,5	53	150	37	7	30	5,3
24	180	15	6	60	9,4	54	100	13	6	10	4,5
25	120	17	7	15	8,5	55	150	45	5	50	7,25
26	150	70	7	30	9	56	150	35	6	30	5,4
27	200	100	7	100	8,5	57	180	80	4	30	6,5
28	200	120	5	50	6,5	58	300	65	5	20	5,5
29	200	55	7	30	8,2	59	200	75	6	50	8,5
30	300	85	7	100	9,7	60	100	30	6	15	7,5

Задание 11. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный P рублей, вырос до S рублей при условии, что на сумму долга начисляются простые проценты (временная база 365 дней) по ставке i.

	P	S	i%		P	S	i%
1	12000	15000	20	31	15000	18000	15
2	1250	1500	25	32	15000	15200	10
3	20000	20500	15	33	350	400	20
4	270	300	16	34	20000	21000	20
5	10000	11500	20	35	2450	2500	8
6	3450	3500	8	36	36000	37500	11
7	4500	5000	40	37	3550	3700	10
8	4750	5000	11	38	500	550	30
9	1560	1600	11	39	3450	3500	15
10	4750	5000	15	40	20000	20100	15
11	15000	15500	20	41	350	400	18
12	270	300	18	42	10500	11500	20
13	32750	35000	25	43	2470	2500	8
14	3450	3500	9	44	280	300	16
15	2550	2700	10	45	4500	4550	5
16	3550	3700	7	46	3450	36000	8
17	4500	4650	15	47	3750	4000	11
18	45000	47000	5	48	45000	47000	11
19	35500	37000	12	49	47500	50000	8
20	37500	40000	8	50	32000	33000	8
21	12000	12500	10	51	20500	21000	20
22	750	800	15	52	2550	2600	15
23	15000	16000	20	53	37250	37500	11
24	2550	2600	10	54	4500	4550	7
25	32000	35000	25	55	2400	2500	8
26	4500	4550	15	56	4750	5000	9
27	3200	3500	10	57	3550	3800	10
28	3750	4000	15	58	35500	37000	10
29	15000	15100	10	59	47500	50000	11
30	750	800	18	60	86000	93000	9

Задание 12. В контракте предусматривается погашение обязательства через t дней в сумме S тыс. рублей, первоначальная сумма долга P тыс. рублей. Необходимо определить доходность операции для кредитора в виде учетной ставки и ставки процентов. В обоих случаях временная база 360 дней.

	t	S	P		t	S	P
1	80	44	38	31	100	16	12,5
2	60	15,5	14	32	60	23	21,5
3	100	16	15	33	90	13	12,7
4	60	18	16	34	100	15	13,9
5	30	25	23,5	35	90	47	45
6	90	12,5	10	36	100	35	32,9
7	150	15	13	37	50	47	45,9
8	180	16	15,5	38	100	43	40,8
9	100	15	14,3	39	60	47	45,8
10	50	16	14,5	40	80	87	85,7
11	60	15	12,2	41	90	70	67,5
12	120	12	11,5	42	100	16,5	12,5
13	100	17,5	16	43	120	23,7	21
14	200	16,5	14	44	60	15	13,7
15	100	18,5	16	45	100	16,5	13,9
16	90	25,6	23	46	60	47,5	45
17	30	12	10,5	47	30	35,5	32
18	60	15,6	14	48	90	50	48,9
19	150	17	15,5	49	150	45	43,8
20	100	15,5	14	50	180	50	47,8
21	180	65,8	65	51	50	87	83,8
22	200	65	64,8	52	180	65	63,7
23	100	76	74,7	53	200	66	64,8
24	90	67	65,9	54	180	80	76,8
25	30	87,9	87	55	210	70	67,9
26	60	100	98,7	56	300	88	85
27	150	67	65,9	57	150	100	95,9
28	100	65	64	58	60	70	65,9
29	90	87	80,6	59	180	68	64,9
30	100	95	89,7	60	150	88	87,6

Задание 13. Определить дату, когда должна быть погашена ссуда на сумму P тыс. руб., полученная в момент времени tc если сумма долга вместе с процентами будет равна S тыс. руб., а проценты начисляться по точной процентной и учетной ставке a%, с точным и приближенным числом дней.

№	P	tc	S	a%	№	P	tc	S	a%
1	150	3.02	160	15	31	730	23.02	750	4
2	250	4.03	270	10	32	940	26.03	970	6
3	350	22.01	370	11	33	860	30.01	880	7
4	100	28.01	105	7	34	680	5.03	700	9
5	200	13.02	210	8	35	190	31.01	200	5
6	400	18.02	410	9	36	220	6.03	235	10
7	500	1.03	520	12	37	280	14.01	300	14
8	300	2.02	320	13	38	770	15.02	805	8
9	450	7.01	460	10	39	410	19.03	425	11
10	550	8.02	570	18	40	520	24.04	545	13
11	700	9.01	730	9	41	630	12.03	650	12
12	600	21.01	625	11	42	970	11.04	1000	5
13	650	23.02	665	15	43	810	22.01	825	6
14	800	26.03	835	7	44	760	28.01	780	9
15	850	30.01	870	6	45	590	29.03	600	3
16	950	5.03	980	5	46	510	10.02	525	4
17	900	31.01	920	12	47	330	3.02	350	8
18	1100	6.03	1150	14	48	380	4.03	400	7
19	1200	14.01	1230	8	49	420	17.01	425	11
20	1800	15.02	1840	7	50	440	25.02	450	14
21	1600	19.03	1660	11	51	290	27.03	305	10
22	1700	10.02	1770	9	52	210	16.04	215	15
23	460	29.03	470	4	53	230	13.02	250	20
24	930	24.04	950	6	54	160	18.02	175	16
25	880	12.03	900	10	55	870	1.03	900	8
26	720	11.04	730	5	56	890	2.02	910	5
27	130	17.01	135	8	57	990	7.01	1050	7
28	240	25.02	250	12	58	980	8.02	1000	11
29	570	27.03	600	14	59	1800	9.01	1880	17
30	390	16.04	410	15	60	1900	21.01	2010	9

Задание 14. Найти срок учета векселя на сумму S тыс. руб., с датой погашения tp, чтобы получить сумму в P тыс. руб., если при учете использовать точную учетную и точную процентную ставки a%, с точным и приближенным числом дней.

№	P	tp	S	a%	№	P	tp	S	a%
1	730	3.12	750	4	31	150	23.10	160	15
2	940	4.10	970	6	32	250	26.09	270	10
3	860	22.11	880	7	33	350	30.12	370	11
4	680	28.11	700	9	34	100	5.11	105	7
5	190	13.12	200	5	35	200	31.11	210	8
6	220	18.12	235	10	36	400	6.10	410	9
7	280	1.10	300	14	37	500	14.11	520	12
8	770	2.09	805	8	38	300	15.12	320	13
9	410	7.11	425	11	39	450	19.10	460	10
10	520	8.10	545	13	40	550	24.08	570	18
11	630	9.11	650	12	41	700	12.09	730	9
12	970	21.11	1000	5	42	600	11.08	625	11
13	810	23.12	825	6	43	650	22.11	665	15
14	760	26.10	780	9	44	800	28.12	835	7
15	590	30.10	600	3	45	850	29.10	870	6
16	510	5.9	525	4	46	950	10.02	980	5
17	330	31.11	350	8	47	900	3.11	920	12
18	380	6.10	400	7	48	1100	4.09	1150	14
19	420	14.12	425	11	49	1200	17.12	1230	8
20	440	15.11	450	14	50	1800	25.10	1840	7
21	290	19.10	305	10	51	1600	27.09	1660	11
22	210	10.12	215	15	52	1700	16.08	1770	9
23	230	29.09	250	20	53	460	13.11	470	4
24	160	24.08	175	16	54	930	18.10	950	6
25	870	12.09	900	8	55	880	1.10	900	10
26	890	11.10	910	5	56	720	2.12	730	5
27	990	17.12	1050	7	57	130	7.12	135	8
28	980	25.11	1000	11	58	240	8.11	250	12
29	1800	27.09	1880	17	59	570	9.11	600	14
30	1900	16.08	2010	9	60	390	21.01	410	15

Порядковые номера дней в году.

день	янв	фев	март	апр	май	июнь	июль	авг	сент	окт	нояб	дек
1	1	32	60	91	121	152	182	213	244	274	305	335
2	2	33	61	92	122	153	183	214	245	275	306	336
3	3	34	62	93	123	154	184	215	246	276	307	337
4	4	35	63	94	124	155	185	216	247	277	308	338
5	5	36	64	95	125	156	186	217	248	278	309	339
6	6	37	65	96	126	157	187	218	249	279	310	340
7	7	38	66	97	127	158	188	219	250	280	311	341
8	8	39	67	98	128	159	189	220	251	281	312	342
9	9	40	68	99	129	160	190	221	252	282	313	343
10	10	41	69	100	130	161	191	222	253	283	314	344
11	11	42	70	101	131	162	192	223	254	284	315	345
12	12	43	71	102	132	163	193	224	255	285	316	346
13	13	44	72	103	133	164	194	225	256	286	317	347
14	14	45	73	104	134	165	195	226	257	287	318	348
15	15	46	74	105	135	166	196	227	258	288	319	349
	янв	фев	март	апр	май	июнь	июль	авг	сент	окт	нояб	дек
16	16	47	75	106	136	167	197	228	259	289	320	350
17	17	48	76	107	137	168	198	229	260	290	321	351
18	18	49	77	108	138	169	199	230	261	291	322	352
19	19	50	78	109	139	170	200	231	262	292	323	353
20	20	51	79	110	140	171	201	232	263	293	324	354
21	21	52	80	111	141	172	202	233	264	294	325	355
22	22	53	81	112	142	173	203	234	265	295	326	356
23	23	54	82	113	143	174	204	235	266	296	327	357
24	24	55	83	114	144	175	205	236	267	297	328	358
25	25	56	84	115	145	176	206	237	268	298	329	359
26	26	57	85	116	146	177	207	238	269	299	330	360
27	27	58	86	117	147	178	208	239	270	300	331	361
28	28	59	87	118	148	179	209	240	271	301	332	362
29	29	-	88	119	149	180	210	241	272	302	333	363
30	30	-	89	120	150	181	211	242	273	303	334	364
31	31	-	90	-	151	-	212	243	-	304	-	365



Лабораторная работа № 2

Расчеты со сложными процентами

1. Цель работы

1. Расчет наращенных сумм по постоянным и переменным сложным процентам, - расчет времени увеличения капитала, - начисление годовых процентов, - расчет номинальных и эффективных процентных ставок.

2. Дисконтирование по сложной процентной ставке, - дисконтирование по сложной учетной ставке, -наращивание по сложной учетной ставке, сравнение процессов наращивания и дисконтирования по простым и сложным процентным и учетным ставкам.

3. Непрерывное наращивание и дисконтирование.

4. Определение сроков платежа, расчет сложных процентных и сложных постоянных и переменных учетных ставок.

5. Наращивание процентов при инфляции.

2. Краткие теоретические сведения

1. Формула наращения сложных процентов.

Базой для начисления сложных процентов служит наращенная сумма за предыдущие периоды начисления процентов, т.е. первоначальная сумма долга P вместе с начисленными процентами I. Формула наращения сложных процентов за время t равное n периодам начисления имеет вид:

(2.1)

где ic -процентная ставка, in множитель наращения по сложным процентам.

Если процентная ставка дискретно изменяется в определенные моменты времени, а между ними имеет фиксированное значение, то вычисление сложных процентов производиться по формуле:

(2.2)

где ik и nk - ставка простых процентов и продолжительность начислений по этой ставке в периоде k.

2. Формулы определения сроков увеличения первоначальной суммы в K раз.

Простые проценты: (2.3)

сложные проценты: (2.4)

3. Начисление годовых процентов при дробном числе лет.

При дробном числе лет n начисление проводится двумя способам: по формуле сложных процентов (2.1) или на основе смешанного метода, когда за целое число лет начисляются сложные проценты, а дробное число лет - простые проценты

(2.5)

где n=a+b, a - целое число лет, b - дробная часть года. Для определения a и b срок t вычисляется в днях, и пользуются формулой n=tдн/365=a+b.

Пример. Кредит в размере 30 тыс. Рублей выдан на срок 3 года и 160 дней. Если обусловленная в контракте ставка равна 6,5% и предусмотрен смешанный метод начисления процентов, то сумма долга на конец срока составит руб. Расчет по формуле наращения (2.1) дает следующую величину: руб.

4. Номинальная ставка.

Если при годовой процентной ставке j предусмотрено m периодов начисления в год, то проценты за каждый период начисляются по ставке j/m, а ставка j называется номинальной процентной ставкой.

Начисление по номинальной ставке производится по формуле

(2.6)

где mn - количество периодов начисления в течении n лет.

Пример. Первоначальная сумма ссуды 10 тыс. рублей, срок 5 лет, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная годовая ставка 5%. Наращенная сумма руб.

Если количество периодов начисления mn не целое число, то иногда используется формула смешанного метода (2.5) при ставке j/m

(2.7)

где mn=a+b, a -целое число периодов начисления, b - дробная часть одного периода начисления.

Для определения значений a и b срок ссуды t вычисляют в месяцах и пользуются формулой



(2/8)

Пример. Во что обратится сумма, равная 10 тыс. рублей, через 25 месяцев, если проценты начисляются ежеквартально. Номинальная ставка равна 6%. Имеем ,. По формуле наращения (2.1) получаем руб. На основе смешанного метода имеем: руб.

5. Эффективная ставка.

Годовая ставка сложных процентов ic, которая дает такую же наращенную сумму, что и номинальная ставка j/m при m начислениях за год, называется эффективной процентной ставкой. Для расчета эффективной ставки используют соотношение:

(2.9)

Если требуется определить номинальную ставку j, по известному значениею действительной ставки iс, то пользуются соотношением:

(2.10)

Пример. Пусть банк начисляет проценты на вклад по номинальной ставке 12% годовых. Эффективная (годовая) ставка при ежедневной капитализации процентов равна , т.е. 12,74%. В то же время ежемесячное начисление дает , т.е. 12,68%.

6. Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке.

Формула расчета современной величины A и дисконта D для известной суммы S имеет вид

(2.11)

где ic - годовая ставка процентов, in - учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются m раз в году по номинальной ставке j, то соответственно имеем

(2.12)

Пример. Необходимо определить современную величину 50 тыс. рублей, которые будут выплачены через 5 лет. Ставка сложных процентов 5%.

тыс. рублей.

7. Учет по сложной учетной ставке.

Учетная ставка, которая в течении времени равному одному периоду применяется не к сумме S (как при учете по простой учетной ставке), а к приведенной сумме A на начало предыдущего периода называется сложной учетной ставкой.

Формулы для расчета современной величины и дисконта по сложной учетной ставке имеют следующий вид

(2.13)

Пример. Какова сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 тыс. рублей, если срок погашения равен 2,5 года, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную 8%?

тыс. рублей.

Дисконт составит 5-4,059=0,941 тыс. рублей.

При учете m раз в году применяется номинальная учетная ставка c и дисконтирование в каждом периоде осуществляется по ставке c/m

(2.14)

Пример. Какова сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 тыс. рублей, если срок погашения равен 2,5 года, покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную 8%, дисконтирование производится 4 раза в году?

В этом случае c=0,08 , mn=10, тыс. рублей. Сумма дисконта 5-4,085=0,915 тыс. рублей

8. Эффективная учетная ставка.

Эффективной учетной ставкой называется сложная годовая ставка dc, которая эквивалентна дисконтированию m раз в году по номинальной ставке c. Из этого определения следует

(2.15)

Пример. Обязательство, равное 20000 рублей должно быть погашено через 5 лет, учетная ставка 5%, начисление дисконта поквартальное. Найти современную величину обязательства и эффективную учетную ставку.

c=0,05, n=5, m=4, следовательно, рублей, , т.е. 4,907%.

9. Наращение по сложной учетной ставке.

Формулы определения наращенных сумм по сложным ставкам имеют вид:

(2.16)



Пример. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого 10 тыс. рублей, срок погашения - 1,5 года. В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка в размере: c=10%.

Имеем c=0,1 и тыс. рублей.

Если наращение по учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в году, то m=4 , mn=6 , тыс. рублей.

10. Непрерывное наращение и дисконтирование.

Непрерывное наращение (непрерывные проценты) применяются при долгосрочных инвестициях при этом применяют непрерывную процентную ставку (силу роста), а сами проценты называют непрерывными.. Сила роста может быть постоянной и переменной во времени.

Формула наращения для постоянной силы роста имеет вид

(2.17)

Если сила роста (t) зависит от времени, то наращенная сумма определяется по формуле

(2.18)

Из (2.18) следует, что при дискретном изменении силы роста множитель наращения можно определить по следующей формуле



где k постоянная сила роста в течении срока nk, при этом: , n - суммарная продолжительность всех сроков nk.

Пример. Предусматривается непрерывное начисление процентов на некоторую сумму ссуды, причем сила роста изменяется дискретно: первые два года проценты начисляются по ставке 8%, следующие три года - по 9%, далее в течение 5 лет - по 10%. Имеем 1=0,08; n1=2; 2=0,09; n2=3; 3=0,1; n3=5. Находим: .

Пример. Пусть сила роста непрерывно изменяется во времени по линейному закону , где 0 - величина силы роста для t=0, - годовой прирост (темп). Величина a может быть как положительной, так и отрицательной. Имеем , отсюда множитель наращения равен: .

Пример. Пусть сила роста изменяется как геометрическая прогрессия: , где 0 - начальное значение процентной ставки (значение силы роста при t=0), q - знаменатель геометрической прогрессии (годовой коэффициент роста). В соответствии с (2.18) имеем

Иногда вместо переменной силы роста (t) используют среднюю силу роста 

(2.19)

Современная величина A при дисконтировании по непрерывной процентной ставке и непрерывной учетной ставке определяется на основании одной и той же формулы

(2.20)

11. Определение срока платежа и процентных ставок.

Формулы для расчета сроков платежей и сложных процентных ставок имеют вид:

а) при наращении по сложной годовой ставке

(2.21)

б) при наращении по номинальной процентной ставке

(2.22)

в) при дисконтировании по сложной годовой ставке

(2.23)

г) при дисконтировании по номинальной учетной ставке



д) при наращении по постоянной ставке непрерывных процентов

(2.24)

е) сила роста изменяется как геометрическая прогрессия

,

(2.25)

12. Наращение процентов и инфляция.

Из-за инфляции цены на товары и услуги со временем увеличиваются. Индекс цен JT за период времени T равен отношению средней цены CT на определенные товары и услуги в конце периода на среднюю цену C0 в начале периода: JT=CT/C0.

Темп инфляции h равен относительному приросту цен за период T:

.

Индекс цен и темп инфляции связаны между собой соотношением: При одном и том же темпе инфляции за время t=nT индекс цен J соответственно будет равен:

Для учета инфляции используются брутто-ставки:

а) процентная брутто-ставка ri, это такая годовая сложная процентная ставка, которая с учетом инфляции дает такую же реально наращенную сумму, что и годовая сложная процентная ставка ic без учета инфляции. Из этого определения следует

(2.26)

б) учетная брутто-ставка rd, это такая годовая сложная учетная ставка, которая с учетом инфляции дает такую же реальную современную величину, что и годовая сложная учетная ставка dc - без инфляции. Имеем

(2.27)

3. Задания

Задание 1. В какую сумму обратится долг, равный P тыс. рублей, через n лет при росте по сложной ставке i%?

№	P	n	i%	№	P	n	i%	№	P	n	i%
1	12	6	5	21	15	4	5	41	6	4	4
2	15	5	4	22	25	5	5	42	8	3	3
3	34	4	6	23	35	6	6	43	12	5	5
4	54	6	4	24	47	5	7	44	10	6	6
5	60	5	5	25	85	5	6	45	9	4	7
6	35	7	3	26	65	6	7	46	8	5	6
7	65	5	4	27	75	4	8	47	7	5	8
8	32	4	5	28	50	7	7	48	12	6	5
9	45	6	7	29	40	6	8	49	11	5	6
10	60	5	8	30	35	7	6	50	16	4	4
11	75	5	6	31	65	5	7	51	15	5	5
12	80	7	5	32	14	6	5	52	12	5	6
13	90	6	6	33	16	5	6	53	16	4	6
14	16	3	7	34	12	4	5	54	13	6	3
15	15	4	8	35	15	6	6	55	9	4	4
16	18	6	3	36	17	5	4	56	10	6	5
17	25	5	4	37	19	6	3	57	13	5	6
18	20	6	5	38	25	5	6	58	12	5	5
19	45	5	5	39	34	7	7	59	50	4	6
20	30	4	6	40	36	6	5	60	55	4	4

Задание 2. Определить число лет, необходимое для удвоения первоначальной суммы, применяя простые и сложные проценты, ставка - i%.

№	i%	№	i%	№	i%	№	i%	№	i%	№	i%
1	3,2	11	5,2	21	2,5	31	7,3	41	8,7	51	11
2	4,5	12	4,7	22	2,8	32	7,6	42	9	52	10,2
3	5,5	13	6	23	2,7	33	2,9	43	9,2	53	10,3
4	6,5	14	6,2	24	2,3	34	8,1	44	9,4	54	10,4
5	3,5	15	6,4	25	5,1	35	8,2	45	9,5	55	10,6
6	4,3	16	6,6	26	5,3	36	8,3	46	10	56	10,7
7	7,5	17	5,2	27	5,7	37	8,4	47	9,1	57	12
8	3	18	5,3	28	8	38	8,5	48	9,3	58	11,5
9	4	19	6,8	29	7,4	39	9	49	9,5	59	12,2
10	5	20	2	30	7,1	40	8,9	50	10,5	60	12,5

Задание 3. Определить число лет, необходимое для увеличения в k раз первоначальной суммы, применяя простые и сложные проценты, ставка - i%. Сравнить результаты.

№	k	i%	№	k	i%	№	k	i%	№	k	i%
1	3	15	16	3	12	31	4	30	46	3	10,5
2	4	23	17	4	15	32	5	27	47	4	11,5
3	5	24	18	5	25	33	4	29	48	5	12,5
4	6	30	19	4	12,5	34	3	13	49	4	14,5
5	4	25	20	4	15,5	35	4	13,5	50	4	18,5
6	5	30	21	3	16	36	5	14,5	51	5	21,5
7	6	25	22	3	16,5	37	4	15,5	52	3	23,5
8	7	35	23	4	14	38	4	16,5	53	4	26,5
9	8	45	24	4	13,5	39	5	17,5	54	5	27,5
10	7	24	25	5	16,5	40	4	18	55	6	27,5
11	6	20	26	6	20,5	41	4	18,5	56	5	28
12	5	35	27	4	22,5	42	5	19	57	4	30
13	6	45	28	5	24	43	6	21	58	4	35
14	5	43	29	4	25,5	44	4	11	59	5	23
15	6	23	30	3	27	45	3	10	60	4	22,5

Задание 4. Кредит в размере P тыс. рублей выдан на срок n лет и d дней. Контрактом обусловлена процентная ставка i%. Определить сумму долга на конец срока, применяя формулу наращения по сложным процентам и смешанный метод начисления процентов. Сравнить результаты.

№	P	n	d	i%	№	P	n	d	i%	№	P	n	d	i%
1	25	4	120	4	21	20	2	150	3,5	41	30	5	60	5
2	16	3	180	4	22	35	3	180	4,5	42	24	4	180	3
3	40	4	90	6	23	30	4	30	4,5	43	45	2	30	5,5
4	45	4	200	3,5	24	50	4	60	4,5	44	40	5	150	6
5	55	5	50	4	25	55	5	180	5,5	45	60	3	100	5
6	60	4	60	4,5	26	65	4	90	5	46	70	4	60	5
7	70	2	30	6,5	27	80	3	150	4,5	47	75	3	60	7
8	120	3	200	5	28	80	4	30	6	48	125	4	100	4
9	85	4	90	6	29	130	5	210	5	49	90	3	150	4,5
10	200	4	150	5,5	30	95	3	180	5	50	250	4	180	6
11	125	3	120	4	31	1205	4	150	3,5	51	130	3	60	5
12	165	5	180	4	32	135	4	180	4,5	52	2405	3	180	3
13	140	4	90	6	33	310	4	30	4,5	53	145	5	30	5,5
14	455	2	200	3,5	34	150	4	60	4,5	54	40	4	150	6
15	155	5	50	4	35	55	5	180	5,5	55	160	6	100	5
16	6505	3	60	4,5	36	165	3	90	6	56	7005	4	60	5
17	170	5	30	6,5	37	850	2	150	4,5	57	175	4	60	7
18	12	3	200	5	38	180	4	30	6	58	12	4	100	4
19	185	3	90	6	39	13	4	210	5	59	190	4	150	4,5
20	20	3	150	5,5	40	195	5	180	5	60	25	3	180	6

Задание 5. Первоначальная сумма ссуды P тыс. рублей, срок n лет, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная годовая ставка i%. Определить наращенную сумму.

№	P	n	i%	№	P	n	i%	№	P	n	i%
1	12	4	4	21	35	3	5,5	41	35	3	5
2	20	5	5	22	25	4	4,5	42	45	2	4
3	25	6	6	23	18	3	6,5	43	44	3	4,5
4	45	5	5	24	17	2	5,5	44	50	4	5,5
5	35	6	6	25	13	3	4,5	45	53	4	6
6	50	4	6	26	15	3	3,5	46	55	4	7
7	60	4	7	27	24	4	5	47	45	3	8
8	35	5	8	28	35	5	6	48	65	5	5
9	30	6	7	29	65	4	4,5	49	40	4	6
10	45	6	8	30	75	4	5,5	50	65	3	6
11	40	5	11	31	85	3	6,5	51	70	3	5,5
12	20	4	10	32	90	4	7	52	18	2	6,5
13	45	3	6	33	11	5	8,5	53	15	3	7
14	50	4	5	34	15	4	6,5	54	14	4	8
15	60	5	6	35	16	3	5,5	55	11	4	7,5
16	12	4	6	36	18	4	4,5	56	16	3	2,5
17	11	3	5	37	12	3	5,5	57	17	4	3
18	14	3	6	38	23	4	5,5	58	18	3	3,5
19	25	4	4	39	24	3	5	59	16	4	4
20	35	4	4,5	40	25	4	6	60	12	4	4,5

Задание 6. Первоначальная сумма ссуды P тыс. рублей, срок m месяцев, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная годовая ставка i%. Определить наращенную сумму.

№	P	m	i%	№	P	m	i%	№	P	m	i%
1	35	34	5	21	35	35	3	41	20	35	6
2	25	35	4	22	45	34	4	42	22	25	6,5
3	18	26	4,5	23	44	37	2	43	25	35	5,5
4	17	32	5,5	24	50	32	3	44	24	40	4,5
5	13	28	6	25	53	37	4	45	35	40	6,5
6	15	28	7	26	55	37	4	46	32	40	5,5
7	24	29	8	27	45	42	5	47	45	35	4,5
8	35	28	5	28	65	29	6	48	60	50	3,5
9	65	31	6	29	40	41	5	49	55	40	5
10	75	35	6	30	65	43	7	50	40	35	6
11	85	38	5,5	31	70	35	8	51	16	35	4,5
12	90	40	6,5	32	18	40	5	52	23	28	5,5
13	11	40	7	33	15	50	6	53	25	35	6,5
14	15	28	8	34	14	40	5	54	26	40	7
15	16	28	7,5	35	11	35	6	55	24	40	8,5
16	18	29	2,5	36	16	44	5	56	25	34	6,5
17	12	35	3	37	17	35	6	57	30	47	5,5
18	23	35	3,5	38	18	44	6	58	35	35	4,5
19	24	34	4	39	16	35	8	59	40	50	5,5
20	25	35	4,5	40	12	40	5	60	45	40	5,5

Задание 7. Банк начисляет проценты на вклад по номинальной ставке i% годовых. Определить эффективные годовые ставки при ежедневной и ежемесячной капитализации процентов.

№	i%	№	i%	№	i%	№	i%	№	i%	№	i%
1	18	11	2,4	21	13,5	31	15,6	41	2,9	51	3,8
2	12	12	3,6	22	14,5	32	18,9	42	3	52	4,7
3	15	13	3,5	23	15,5	33	21,5	43	3,1	53	30
4	10	14	2,5	24	19	34	23,5	44	11,2	54	25
5	6	15	11	25	20	35	24,5	45	11,8	55	27,5
6	24	16	10,5	26	21	36	27	46	11,7	56	26,5
7	12,5	17	15,5	27	20,5	37	28	47	16,8	57	23,5
8	6,5	18	13	28	22	38	9,7	48	17,7	58	29,5
9	7	19	13,2	29	8,4	39	9	49	26,4	59	32
10	7,5	20	13,4	30	7,2	40	9,5	50	29	60	20,4

Задание 8. Определить современную величину S тыс. рублей, которые будут выплачены через n лет. Ставка сложных процентов i%.

№	S	n	i%	№	S	n	i%	№	S	n	i%
1	35	3	7	21	35	3	4	41	20	5	3
2	25	5	6	22	45	5	3	42	22	4	4
3	18	6	8	23	44	6	5	43	25	5	5
4	17	3	6	24	50	4	5	44	24	5	4
5	13	7	5	25	53	5	6	45	35	6	3
6	15	8	5	26	55	6	5	46	32	5	4
7	24	9	4	27	45	7	6	47	45	5	5
8	35	8	3	28	65	6	7	48	60	6	6
9	65	3	3	29	40	5	8	49	55	7	5
10	75	5	4	30	65	6	7	50	40	8	4
11	85	8	5	31	70	7	6	51	16	7	5
12	90	9	5	32	18	6	5	52	23	7	6
13	11	4	5	33	15	6	5	53	25	6	7
14	15	7	6	34	14	5	6	54	26	5	5
15	16	8	7	35	11	6	7	55	24	5	6
16	18	9	5	36	16	6	6	56	25	4	7
17	12	3	4	37	17	4	7	57	30	5	8
18	23	5	6	38	18	7	8	58	35	6	6
19	24	4	5	39	16	5	8	59	40	6	5
20	25	3	3	40	12	7	7	60	45	5	5

Задание 9. Какова сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму S тыс. рублей, если срок погашения n лет, а сложная годовая учетная ставка d%?

№	S	n	d%	№	S	n	d%	№	S	n	d%
1	5	3,5	3	21	3,5	3	4	41	2,5	5	6
2	4,5	5	5	22	4,5	4	3	42	5,5	4	8
3	8	6,5	6	23	4,4	5	5	43	2,5	5	6
4	7	3,5	4,5	24	5	4	5	44	2	5,5	8
5	3,7	7	5,5	25	5	3	6	45	3,5	6	9,5
6	9	8,5	6	26	5,5	4	5	46	3,5	5	3
7	12	9,5	7	27	4,5	5	6	47	4,5	5	5
8	3,5	8	6	28	6,5	6	7	48	6	6,5	6,5
9	6,5	3	5,5	29	4	5	8	49	5,5	7	7,5
10	7,5	5	6	30	6,5	4	7	50	4	8,5	6,5
11	8,5	8	7,5	31	7	5	6	51	6,5	7	8
12	9	9,5	6	32	5,5	6	5	52	2,5	7	6,5
13	11	4,5	6,5	33	6	7	5	53	2,5	6	7
14	6,5	7	5,5	34	10	5	6	54	6	5,5	8
15	7,5	8	6,5	35	12	6	7	55	4	5,5	9,5
16	8	9,5	6	36	8,5	7	6	56	2,5	4	4,5
17	4,5	3	4,5	37	7	8	7	57	3	5,5	5,5
18	2,7	5	7,5	38	8	6	8	58	3,5	6	6
19	10	4,5	5	39	6,5	5	8	59	4	6,5	7
20	2,5	3	7,5	40	9	5	7	60	4,5	5	7,5

Задание 10. Обязательство, равное S тыс. рублей, должно быть погашено через n лет, учетная ставка c%, начисление дисконта поквартальное. Найти современную величину обязательства и эффективную учетную ставку.

№	S	n	c%	№	S	n	c%	№	S	n	c%
1	20	3	5	21	35	6	4	41	20	3,5	3,5
2	25	2,5	4	22	34	6,5	3	42	12	4	2,5
3	12	4	4,5	23	37	5,5	5	43	15	5	3,5
4	24	5	5,5	24	32	4,5	3,5	44	7,5	4,5	4
5	35	4,5	6	25	37	6,5	4,5	45	6,5	6	4
6	40	6	7	26	37	5,5	6	46	8	5,5	4
7	35	5,5	8	27	42	4,5	7	47	9	3	3,5
8	20	3,5	5	28	29	3,5	2,5	48	10	2,5	5
9	45	4	6	29	41	5	4	49	11	2	4
10	12	5,5	6	30	43	6	5,5	50	12,5	3	3,5
11	7	6	5,5	31	35	4,5	3	51	13	4,5	3,5
12	7,5	3,5	6,5	32	40	5,5	4	52	15	5	2,8
13	4,5	4	7	33	50	6,5	5	53	16	4	3,5
14	5	2,5	8	34	40	7	3,5	54	20	6	4
15	6,5	5	7,5	35	35	8,5	4	55	15	4,5	4
16	6,5	6,5	2,5	36	44	6,5	5,5	56	4,5	5	3
17	7	3,5	3	37	35	5,5	4	57	5,5	3,5	4
18	8	4	3,5	38	44	4,5	3,5	58	6,5	4	3,5
19	12	5	4	39	35	5,5	5	59	7,5	5,5	5
20	10	3,5	4,5	40	40	5,5	4	60	8	4	4

Задание 11. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого P тыс. рублей, срок погашения - n лет, в контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка d%. Решить задачу, если наращение по учетной ставке осуществляется а) один раз в году; б) ежеквартально.

№	P	n	d%	№	P	n	d%	№	P	n	d%
1	30	1,5	3	21	43	1,5	3	41	30	2	3,5
2	25	2	4	22	30	2	2	42	15	3	6
3	45	3,5	6	23	40	3,5	1,5	43	6,5	3,5	5
4	12	4	5	24	35	4	4	44	7,5	4	3,5
5	14	3,5	6	25	45	3,5	4,5	45	5,5	5	4
6	15	2,5	7	26	12	2,5	5,5	46	4,5	4,5	6,5
7	12	1,5	8	27	15	6	6	47	3,5	3	8
8	16	2	7	28	14	7	4,6	48	2,5	2,5	9
9	12	3	4	29	12	3,5	2	49	6,5	5,5	3,5
10	23	4	5	30	15	2	3,5	50	7,5	6	5
11	25	4,5	3,5	31	19	3,5	4,5	51	4,5	3,5	2,5
12	43	5	5	32	20	5,5	7,5	52	6,5	4	4
13	20	6	4,5	33	12,5	4,5	4	53	5,5	2,5	3,5
14	15	3,5	5	34	10,5	3	6	54	4,5	1,5	4,5
15	16	4	2	35	7,5	2,5	6,5	55	6,5	3,5	5,5
16	17	5,5	2,5	36	4,5	1,5	4,5	56	3,5	2	5,5
17	12	3,5	3	37	2	4	5,5	57	2,5	4	3,5
18	15	2,5	5,5	38	1,5	5	6,5	58	12	4,5	6,5
19	19	5,5	7	39	6	2,5	4,5	59	11,5	6	7,5
20	20	4,5	8	40	8,5	3,5	6	60	6,5	3	8,5

Задание 12. Первоначальная сумма P тыс. рублей, ставка i% годовых. Найти множитель наращения и наращенную сумму через 1) d дней; 2) 1 год; 3) n лет, при условии, что ставка: а)простая процентная; б) сложная процентная; в)простая учетная; г)сложная учетная. Результаты записать в таблицу и сравнить.

№	P	i%	d	n	№	P	i%	d	n	№	P	i%	d	n
1	10	3	90	2	21	3	5	150	3	41	12	5	30	4
2	4,5	4	120	2	22	15	4	45	2	42	6,5	3,5	300	7
3	16	5,5	60	4	23	7,5	6	330	8	43	4,5	6	120	3
4	6	5,5	120	3	24	5	4,5	270	4	44	8	4,5	270	4
5	5,5	6	90	5	25	9	6	300	5	45	6	7	120	2
6	10	3,5	135	4,5	26	6,5	4,5	150	3	46	12	4	225	3,5
7	7,5	5	210	5	27	7	6,5	240	5	47	4,5	6	270	3
8	6,5	5,5	210	3,4	28	4	7	270	4	48	5,5	4	150	2,5
9	5,5	4,5	300	6	29	6,5	6,5	300	3	49	6,5	6,5	210	2
10	7,5	6	150	4	30	7,5	7	150	3	50	8,5	4	210	4
11	8	4	60	2	31	7,5	3,5	45	3	51	9	4,5	150	3
12	6	4,5	135	4	32	10	5	300	3	52	7,5	6	150	3
13	12,5	6,5	90	4	33	4,5	7,5	60	2	53	4,5	6	45	4
14	6	7	90	2	34	6,5	7	270	5	54	5,5	6	225	3
15	7,5	4,5	135	3	35	9	5	270	3	55	8	5	270	2
16	10	5	135	4	36	9	3,5	90	3	56	12	6	150	4
17	4,5	5	270	5	37	11	7	210	5	57	6	6	90	5
18	10	4	60	4	38	7,5	4,5	210	4	58	12	5	120	3
19	6	5	240	4	39	16	3,5	90	2	59	8	6,5	300	3
20	8,5	4	135	3	40	4,5	4	330	2	60	4,5	4,5	270	4

Задание 13. Предусматривается непрерывное начисление процентов на сумму P тыс. рублей, причем сила роста изменяется дискретно: первые три года проценты начисляются по ставке 1%, следующие два года - 2%, далее в течение 4 лет - по 3%. Найти множитель наращения и наращенную сумму.

№	P	1	2	3	№	P	1	2	3	№	P	1	2	3
1	10	3	4	6	21	3	5	6	7	41	12	5	6	8
2	4,5	4	7	10	22	15	4	6	7	42	6,5	3,5	5	7
3	16	5,5	6	8	23	7,5	6	7	10	43	4,5	6	7	9
4	6	5,5	6	7	24	5	4,5	5	7	44	8	4,5	6	8
5	5,5	6	6,5	5	25	9	6	5	3	45	10	3,5	4	6
6	6,5	4,5	4	3	26	12	4	7	10	46	7,5	5	4,5	4
7	4,5	6	5	4	27	7	6,5	6	5	47	6,5	5,5	6	7
8	4	7	5	4	28	5,5	4	7	9	48	5,5	4,5	5	6
9	6,5	6,5	7	8	29	6,5	6,5	5	2	49	7,5	6	6,5	8
10	7,5	7	6	3	30	8,5	4	6	9	50	180	3,5	4,5	5,5
11	8	4	5	5,5	31	7,5	5,5	4	3	51	9	4,5	6	7
12	6	5,5	5	4	32	10	5	7	8	52	7,5	6	4	3
13	12,5	6,5	7	9	33	4,5	7,5	6	2	53	4,5	6	7	9
14	6	7	7,5	8	34	6,5	7	8	6	54	5,5	6	4	3
15	7,5	4,5	6	7	35	9	5	6	6,5	55	8	5	6	6,5
16	10	5	7	9	36	9	3,5	5	7	56	12	6	6,5	7
17	4,5	5	6	8	37	11	7	8	8,5	57	6	6	4	3
18	10	4	4,5	6	38	7,5	4,5	4	3	58	12	5	5,5	7
19	6	5	4	3,5	39	16	3,5	3	2	59	8	6,5	5	3
20	8,5	4	5	8	40	4,5	4	3	2	60	4,5	5,5	6	8

Задание 14. Предусматривается непрерывное начисление процентов на сумму P тыс. рублей, причем сила роста изменяется во времени по линейному закону. Начальное значение силы роста равно 0%, ежегодный абсолютный прирост %. Найти множитель наращения и наращенную сумму через n лет.

№	P	0		n	№	P	0		n	№	P	0		n
1	3	3	1	3	21	8	5	1	7	41	4,5	5	2	4
2	9	4	0,5	4	22	6,5	4	0,5	3	42	10	3,5	1,5	7
3	7,5	5,5	3	5	23	12	6	0,5	3	43	4,5	5,5	2	7
4	6	6	2	5	24	8	4,5	1,5	6	44	6,5	4,5	2,5	4
5	9	6	1	6	25	7,5	6	0,5	3	45	10	7	2,5	5
6	8	3,5	3	6	26	12	4,5	2	4	46	9	4	1,5	3
7	4,5	5	1,5	4	27	4,5	6	0,5	4	47	6,5	6,5	0,5	5
8	6	5,5	1,5	7	28	5,5	7	1	6	48	7,5	4	2	4
9	6,5	4,5	2,5	5	29	6	6,5	1,5	3	49	7,5	6,5	1	4
10	8	6	2	4	30	8,5	7	2	3	50	4,5	4	2,5	6
11	7,5	4	0,5	3	31	10	5,5	1	2	51	6	4,5	2	4
12	11	5,5	2	3	32	7,5	5	1,5	4	52	12	6	2,5	5
13	4,5	6,5	2	5	33	15	7,5	1,5	4	53	6	6	1,5	5
14	2,5	7	2	3	34	5,5	7	2	6	54	4,5	6	3	4
15	9	4,5	0,5	5	35	6	5	2,5	5	55	10	5	1	4
16	7,5	5	3	5	36	12	3,5	1,5	4	56	8	6	2,5	6
17	11	5	0,5	3	37	5,5	7	3	7	57	10	6	1	5
18	6	4	4,5	6	38	12	4,5	1	4	58	7	5	2	6
19	16	5	0,5	5	39	8	3,5	1,5	5	59	8,5	6,5	1,5	6
20	9	4	3	4	40	4,5	4	2	4	60	12	5,5	2,5	4

Задание 15. Предусматривается непрерывное начисление процентов на сумму P тыс. рублей, причем начальный уровень силы роста равен 0%. Предполагается, что процентная ставка изменяется по линейному закону , срок ссуды n лет. Найти годовой коэффициент роста, множитель наращения и наращенную сумму.

№	P			n	№	P			n	№	P			n
1	8	3	0,2	7	21	7,5	5	0,25	2	41	9	5	0,15	4
2	6	4	0,141	3	22	10	4	0,1	7	42	7,5	3,5	0,12	2
3	12,5	5,5	0,6	3	23	4,5	6	0,15	4	43	4,5	6	0,4	7
4	6,5	4,5	0,5	4	24	5,5	4,5	0,2	4	44	7,5	6	0,12	3
5	9	6	0,3	5	25	8	7	0,11	6	45	10	3,5	0,3	4
6	9	4,5	0,1	3	26	12	4	0,15	6	46	4,5	5	0,15	5
7	11	6	0,15	3	27	6	6,5	0,35	7	47	10	5,5	0,25	8
8	7,5	7	0,12	4	28	12	4	0,3	4	48	6	4,5	0,2	3
9	16	6,5	0,25	5	29	8	6,5	0,15	4	49	8,5	6	0,12	4
10	4,5	7	0,16	6	30	4,5	4	0,25	3	50	9,7	8	0,18	5
11	10	4	0,132	3	31	12	5,5	0,1	2	51	11	4,5	0,15	4
12	15	5,5	0,5	3	32	12	5	0,12	4	52	13	6	0,11	5
13	15	6,5	0,17	5	33	14	7,5	0,17	4	53	2,5	6	0,320	5
14	12	7	0,11	3	34	4,5	7	0,22	6	54	16	6	0,2	4
15	6	4,5	0,2	5	35	20	5	0,14	5	55	7,5	5	0,25	4
16	25	5	0,15	5	36	8	3,5	0,4	4	56	10	6	0,16	6
17	5,5	5	0,3	3	37	15	7	0,21	7	57	6	6	0,12	5
18	16	4	0,220	6	38	7	4,5	0,15	4	58	12,5	5	0,15	6
19	8	5	0,12	5	39	11,5	3,5	0,12	5	59	9	6,5	0,4	6
20	10,5	4	0,4	4	40	12	4	0,2	4	60	12,5	5,5	0,35	4

Задание 16.За какой срок сумма, равная P тыс. рублей, достигнет S тыс. рублей при условии, что на нее начисляются проценты по сложной процентной ставке i% а)раз в году; б)поквартально; в)ежемесячно?

№	P	S	i%	№	P	S	i%	№	P	S	i%
1	30	40	3	21	43	45	3	41	30	35	3,5
2	25	30	4	22	30	37	2	42	15	19	6
3	45	50	6	23	40	45	1,5	43	6,5	8	5
4	12	20	5	24	35	40	4	44	7,5	9	3,5
5	14	20	6	25	45	50	4,5	45	5,5	7	4
6	15	20	7	26	12	18	5,5	46	4,5	6	6,5
7	12	15	8	27	15	20	6	47	3,5	5	8
8	16	20	7	28	14	18	4,6	48	2,5	3	9
9	12	15	4	29	12	15	2	49	6,5	8	3,5
10	23	30	5	30	15	20	3,5	50	7,5	9	5
11	25	30	3,5	31	19	24	4,5	51	4,5	5	2,5
12	43	50	5	32	20	24	7,5	52	6,5	8	4
13	20	25	4,5	33	12,5	15	4	53	5,5	8	3,5
14	15	20	5	34	10,5	12	6	54	4,5	6	4,5
15	16	20	2	35	7,5	10	6,5	55	6,5	7	5,5
16	17	20	2,5	36	4,5	6	4,5	56	3,5	5	5,5
17	12	15	3	37	2	3,5	5,5	57	2,5	4	3,5
18	15	18	5,5	38	1,5	2	6,5	58	12	15	6,5
19	19	24	7	39	6	7,5	4,5	59	11,5	15	7,5
20	20	25	8	40	8,5	9	6	60	6,5	8,5	8,5

Задание 17. За какой срок сумма, равная P тыс. рублей, достигнет S тыс. рублей при начислении изменяющейся с постоянным темпом ставки непрерывных процентов, если начальная ставка 0%, годовой темп роста a?

№	P	S	0	a	№	P	S	0	a	№	P	S	0	a
1	8	10	7	1,1	21	7,5	8	2	1,1	41	12	12,5	4	1,12
2	9	12	4	1,2	22	6	8	3	1,2	42	13	15	3	1,13
3	10	12	7	1,1	23	7,5	8	2	1,12	43	14	15	2	1,35
4	12,5	14	3	1,12	24	4,5	5	4	1,11	44	23	24,5	4	1,45
5	4,5	6	7	1,15	25	6	7	5	1,12	45	2,5	2,9	3	1,11
6	6,5	7	4	1,2	26	5,5	7	4	1,12	46	3	3,5	2	1,12
7	7,5	8	3	1,3	27	9	10	5	1,13	47	4,5	4,8	4	1,13
8	8	9	6	1,2	28	10	12	4	1,15	48	5,5	5,8	5	1,09
9	9	12	3	1,11	29	12	15	6	1,15	49	6	6,8	3	1,07
10	4,5	6	4	1,12	30	11	12	3	1,15	50	1,5	1,75	4	1,06
11	6	7,5	7	1,1	31	10	12	4	1,16	51	2	2,25	2	1,08
12	7,5	9	4	1,2	32	12	14	4	1,21	52	3	3,5	3	1,05
13	6	8	3	1,3	33	16	18	5	1,2	53	4,5	4,8	2,5	1,11
14	8	12	4	1,2	34	8,5	10	4	1,3	54	6,8	7	1,5	1,12
15	4,5	6	6	1,1	35	4,5	6	3	1,2	55	7,6	8	3,5	1,13
16	5,7	6	4	1,1	36	4,7	5	5	1,12	56	12,8	13	4	1,16
17	6,4	7	3	1,2	37	5,3	5,7	3,5	1,13	57	11,7	12	3,5	1,21
18	5,8	6	2	1,12	38	4,8	5	2,5	1,15	58	12,7	13	4	1,2
19	9,2	9,5	4	1,11	39	5,7	6	2	1,15	59	11,7	12	3	1,3
20	10,8	11	4,5	1,12	40	6,7	7	3	1,15	60	12,6	13	2,5	1,2

Задание 18. Вексель выписан на срок n лет. Найти такую сложную учетную ставку, чтобы при учете векселя владелец получил R% от его суммы.

№	n	R	№	n	R	№	n	R	№	n	R
1	2	90	16	3	87	31	5	90	46	2,5	89
2	3	95	17	3	88	32	3	89	47	3	88
3	2	80	18	4	90	33	3,5	87	48	4,5	87
4	4	85	19	2	92	34	4	88	49	5	85
5	3	88	20	3,5	91	35	2,5	90	50	6	85
6	2	87	21	2,5	90	36	4	92	51	4	87
7	4	92	22	4	93	37	3,5	91	52	3	83
8	3	85	23	3,5	92	38	2	90	53	4	80
9	2,5	87	24	3	89	39	1,5	88	54	3	87
10	1,5	88	25	4	88	40	4	89	55	2	86
11	4	90	26	4	90	41	3,5	92	56	1,5	89
12	3	91	27	5,5	89	42	3	93	57	4	90
13	2,5	89	28	3	88	43	2	90	58	3	92
14	3	89	29	2	86	44	3	90	59	2,5	96
15	3	93	30	4	89	45	4	89	60	4	90



Задание 19. Найти такую номинальную ставку процентов, чтобы первоначальная сумма возросла на R%, если начисление производится в течение n лет а) ежеквартально; б) ежемесячно.

№	R	n	№	R	n	№	R	n	№	R	n
1	20	2	16	40	4	31	35	2	46	12	4
2	35	3	17	30	3	32	25	3	47	15	3
3	10	4	18	45	4	33	24	4	48	16	2
4	12	3	19	18	5	34	70	3	49	35	4
5	15	4	20	35	4	35	58	5	50	38	3
6	45	5	21	36	3	36	65	4	51	67	5
7	35	5	22	34	6	37	75	3	52	45	4
8	20	4	23	38	4	38	52	2	53	65	3
9	25	3	24	40	5	39	56	3	54	64	4
10	30	4	25	45	4	40	65	5	55	75	3
11	20	3	26	55	5	41	69	4	56	53	2
12	15	2	27	65	4	42	54	3	57	54	4
13	45	5	28	75	3	43	55	4	58	64	3
14	60	3	29	75	4	44	43	3	59	63	3
15	35	5	30	55	2	45	35	2	60	45	4

Задание 20. Найти брутто-ставку, если ожидаемый средний годовой темп инфляции равен h%, сложная процентная ставка i%.

№	h	i	№	h	i	№	h	i	№	h	i
1	5	8	16	5	6	31	4	5	46	5	7
2	6	9	17	10	12	32	6	7	47	8	7
3	7	6	18	12	15	33	5	7	48	7	5
4	8	9	19	8	6	34	7	9	49	6	5
5	9	6	20	9	8	35	6	5	50	5	9
6	10	11	21	10	7	36	8	5	51	4	5
7	5	6	22	9	8	37	9	5	52	7	5
8	7	10	23	10	8	38	10	7	53	8	10
9	6	10	24	12	8	39	11	8	54	10	8
10	8	10	25	15	10	40	12	8	55	11	10
11	4	8	26	12	8	41	11	10	56	12	10
12	5	8	27	6	8	42	10	8	57	10	8
13	6	8	28	5	10	43	9	8	58	11	12
14	6	11	29	7	10	44	8	5	59	9	12
15	8	11	30	8	7	45	9	7	60	8	12



Лабораторная работа 3

Эквивалентность процентных ставок и условий контрактов

1. Цель работы

1. Расчеты эквивалентных дискретных простых и сложных процентных ставок, расчеты эквивалентных непрерывных ставок.

2. Определение средних процентных и учетных ставок

3. Консолидация платежей при заданной сумме и при заданном сроке.

4. Изменение условий контрактов.

2. Краткие теоретические сведения

1. Эквивалентность процентных ставок.

Разные виды процентных ставок, которые при равенстве всех остальных условий сделки или финансового соглашения приводят к одному и тому же финансовому результату называются эквивалентными процентными ставками.

Из формул наращения и дисконтирования получаем формулы эквивалентности:

а) простая процентная и простая учетная ставки

(2.1)

б) простая процентная и сложная процентная ставки

(2.2)



в) простая процентная и номинальная с начислением m раз в году процентная ставки

(2.3)

г) простая учетная и сложная процентная ставки

(2.4)

д) сложная учетная и сложная процентная ставки

(2.5)

е) сила роста и сложная процентная ставка

(2.6)

з) сила роста и номинальная с начислениями m раз в году процентная ставка

(2.7)

2. Средние процентные ставки.

Для упрощения расчетов при переменных ставках процентов иногда используют средние ставки процентов. Постоянная процентная ставка, которая в течении определенного срока n эквивалентна переменной процентной ставке, называется средней процентной ставкой за этот срок.

Если за периоды времени n1, n2,...,nm (весь срок ) начисляются дискретные простые проценты по процентным ставкам i1, i2,...,im, то средняя простая процентная ставка i0 за весь срок n равна

(2.8)

Если дискретные простые проценты в периоды времени n1, n2,...,nm (весь срок ) начисляются по учетным ставкам d1, d2,...,dm, то средняя простая учетная ставка d0 определяется по формуле

(2.9)

Для дискретных сложных процентов i1, i2,...,im, с периодами начисления n1, n2,...,nm за весь срок будем иметь следующую среднюю сложную процентную ставку

(2.10)

Аналогично для средней сложной учетной ставки имеем

(2.11)

3. Эквивалентность условий контрактов. Уравнение эквивалентности.

Если возникает необходимость заменить одно или несколько финансовых соглашений другим, то используется принцип финансовой эквивалентности, который заключается в равенстве финансовых результатов до и после изменения условий обязательств. Этот принцип положен в основу уравнения эквивалентности, в котором приведенные по заданной ставке сумма одних платежей с заданными датами равна приведенной к той же самой дате сумме других платежей со своими датами:

(2.12)

где m1 количество платежей Pk(1) срок которых раньше даты приведения, M1 общее количество таких платежей, k(1) и k(1 соответствующие этим платежам, при их приведении по заданной ставке к заданной дате, множители наращения и дисконтирования, соответственно m2 количество платежей Pk(2) срок которых раньше даты приведения, M2 общее количество таких платежей, k(2) и k(2) соответствующие этим платежам, при их приведении по заданной ставке к заданной дате, множители наращения и дисконтирования.

Из принципа финансовой эквивалентности следует определение эквивалентных платежей. Разные виды платежей считаются эквивалентными, если после приведения их по заданным процентным ставкам к одному и тому же моменту времени платежи окажутся равными.

4. Консолидирование (объединение) платежей при заданном сроке.

Платежи P1, P2,...,Pm,...,PM, имеют сроки n1, n2,....,nM, при этом сроки n1, n2,...,nm меньше срока n0, а сроки nm+1,...,nM больше n0 объединяются в один в сумме P0 и сроком n0. Используя формулы наращения и дисконтирования после приведения всех платежей к сроку n0 получаем следующие формулы для определения суммы едино разового платежа P0:

а) для простой процентной ставки i

(2.13)

б) для простой учетной ставки d

(2.14)

в) для сложной процентной ставки ic

(2.15)

г) для сложной учетной ставки: dc

(2.16)

Пример. Два платежа P1=100 тыс. рублей и P2=50 тыс. рублей со сроками 150 и 180 дней, отсчитываемыми от одной базы, заменяются одним со сроком 200 дней. Если стороны согласились на замену при использовании простой ставки, равной 6% годовых, то

тыс. рублей.

При условии, что ставка сложных процентов 6%, соответственно получим

т.р.

Пример. Решено консолидировать 3 платежа со сроками 15.05, 15.06, 15.08, суммы платежей 10, 20, 15 тыс. рублей. Срок консолидированного платежа - 01.08. При условии, что ставка простых процентов равна 8%, получим

т.р.

Пример. Два векселя со сроками 10.06 (10 тыс. руб) и 01.08 (20 тыс. рублей) заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применена учетная ставка 8%. Сумма нового векселя равна

т.р.

5. Консолидирование платежей при заданной сумме и ставке процентов.

Из полученного уравнения эквивалентности определяется дата погашения консолидированного платежа, если известна его сумма P0, а также суммы Pk и сроки nk отдельных платежей общее число которых равно M:

а) простые проценты:

(2.17)

б) сложные проценты:

(2.18)



в) простые учетные ставки:

(2.19)

г) сложные учетные ставки:

(2.20).

Пример. Платежи в размере 10, 20, 15 тыс. рублей уплачиваются через 50, 80, 150 дней после некоторой даты. Решено заменить их одним платежом, равным 50 тыс. руб. Такое решение предполагает некоторую отсрочку. Найдем срок консолидированного платежа, при условии, что простая процентная ставка i=10%. Вначале находим современную величину консолидируемых платежей (2.17)