Анализ финансовых и кредитных операций

	D	n	g%	i%		D	n	g%	i%		D	n	g%	i%
1	40	5	6	8	21	40	5	10	15	41	45	5	6	8
2	50	6	7	9	22	45	4	11	15	42	50	5	7	9
3	60	5	8	10	23	50	6	12	15	43	45	4	8	10
4	60	5	9	10	24	55	5	12	15	44	60	6	9	12
5	70	6	6	10	25	60	7	10	12	45	55	5	9	12
6	80	7	7	10	26	65	5	9	12	46	60	4	10	12
7	50	6	8	10	27	70	5	8	12	47	60	5	11	12
8	45	5	4	8	28	75	5	9	12	4	40	6	12	15
9	35	4	5	8	29	60	4	7	10	49	35	5	12	15
10	30	4	6	8	30	55	6	8	10	50	40	4	11	15
11	40	5	7	8	31	40	7	9	12	51	45	4	7	9
12	50	6	8	10	32	30	6	10	12	52	35	6	6	10
13	60	7	9	10	33	20	6	11	12	53	30	5	7	10
14	55	6	10	12	34	25	5	12	15	54	25	7	9	12
15	45	7	11	15	35	35	4	11	15	55	20	8	10	12
16	25	6	12	15	36	45	5	9	12	56	55	6	9	10
17	15	6	9	12	37	50	6	8	12	57	45	7	8	10
18	75	5	8	10	38	55	5	7	12	58	80	5	8	10
19	60	4	8	10	39	55	6	9	12	59	90	6	7	10
20	90	5	9	10	40	45	7	9	12	60	45	6	8	10

Задание 4. Кредит в сумме S тыс. рублей выдан на n лет года при разовом начислении процентов про ставке i% годовых. Погашение производится p раз в году. Найти величину погасительного взноса и проценты в периоде k, а также величину погашенного долга на начало этого периода.

	S	n	i%	p	k		S	n	i%	p	k
1	10	4	9	3	11	31	30	3	9	4	11
2	15	5	8	4	15	32	45	5	7	5	15
3	25	3	7	6	14	33	80	6	5	3	10
4	45	6	6	12	60	34	15	7	6	12	50
5	30	7	5	2	12	35	90	9	5	6	22
6	55	8	4	12	70	36	35	4	7	4	14
7	35	5	8	6	25	37	60	5	9	2	9
8	20	4	9	4	11	38	95	7	10	12	71
9	50	9	7	3	24	39	80	8	7	4	25
10	65	6	5	6	30	40	75	9	9	3	20
11	18	5	8	12	50	41	48	5	6	6	17
12	77	4	9	3	10	42	33	7	12	12	70
13	100	10	5	6	55	43	66	8	11	3	21
14	48	7	6	2	13	44	120	6	8	6	30
15	95	6	8	4	23	45	52	10	9	4	35
16	54	8	11	12	70	46	38	9,5	10	12	80
17	250	10	6	3	25	47	70	12	5	6	52
18	48	5	9	2	7	48	62	6	7,5	6	30
19	29	3	8,5	12	23	49	155	8	5,5	4	20
20	24	5	7	4	11	50	10	2	10	12	15
21	150	7	7	3	21	51	100	6	5,7	3	10
22	75	8	4,5	6	40	52	65	8	7	4	6
23	500	15	5	2	30	53	85	7	6	2	11
24	44	12	9	12	100	54	140	10	7,8	3	28
25	85	6	4,8	4	20	55	20	8	7,7	6	40
26	10	4	12	12	43	56	90	5	8	4	19
27	68	9	10	6	50	57	480	8,5	6,5	12	50
28	430	10	9	3	22	58	75	5	9	6	13
29	85	4,5	7	4	17	59	80	9	5	3	25
30	350	8	8	2	15	60	95	5	12	6	19

Задание 5. За имущество, оцененное в сумму S, получена ипотечная ссуда на срок n лет под процентную ставку g%. Найти сумму, которую владелец имущества должен кредитору, в случае разрыва контракта раньше намеченного срока, срок разрыва контракта равен k лет.

	S	n	g%	k		S	n	g%	k		S	n	g%	k
1	80	5	10	1,5	21	45	5	6	1,5	41	70	5	6	4
2	45	4	11	3,5	22	50	5	7	3,5	42	50	6	7	5,5
3	50	6	12	5	23	45	4	8	1	43	60	5	8	4,5
4	55	5	12	4,5	24	60	6	9	2,5	44	60	5	9	3
5	60	7	10	3	25	55	5	9	4	45	70	6	6	3,5
6	65	5	9	2	26	60	4	10	3	46	80	7	7	6,5
7	70	5	8	1,5	27	60	5	11	1	47	50	6	8	4
8	75	5	9	4	28	40	6	12	5,5	4	45	5	4	3
9	60	4	7	3	29	35	5	12	2	49	35	4	5	2,5
10	55	6	8	3,5	30	40	4	11	1	50	30	4	6	1,5
11	40	7	9	6	31	45	4	7	3,5	51	40	5	7	3
12	30	6	10	1,5	32	35	6	6	5,5	52	50	6	8	5
13	20	6	11	2,5	33	30	5	7	2,5	53	60	7	9	5,5
14	25	5	12	4	34	25	7	9	2	54	55	6	10	4
15	35	4	11	2	35	20	8	10	7	55	45	7	11	6
16	45	5	9	4,5	36	55	6	9	1,5	56	25	6	12	1
17	50	6	8	3	37	45	7	8	6,5	57	15	6	9	1,5
18	55	5	7	1	38	80	5	8	4,5	58	75	5	8	2
19	55	6	9	5,5	39	90	6	7	2,5	59	60	4	8	3,5
20	45	7	9	6,5	40	45	6	8	3,5	60	90	5	9	1

Задание 6. Произведена аренда оборудование стоимостью C млн. рублей на срок равный n лет при годовой процентной ставке g%. К концу этого срока остаточная стоимость оборудования составит a% от первоначальной стоимости. Долг погашается в течении всего срока равными срочными уплатами, производимыми в конце каждого года. Составить план погашения.

	C	n	g%	a%		C	n	g%	a%		C	n	g%	a%
1	4,5	5	6	25	21	7	5	6	40	41	8	5	10	40
2	5	5	7	30	22	5	6	7	50	42	4	4	11	30
3	4,5	4	8	70	23	6	5	8	45	43	5	6	12	35
4	6	6	9	25	24	6,5	5	9	30	44	5,5	5	12	20
5	5,5	5	9	45	25	7	6	6	35	45	6	6	10	50
6	6	4	10	35	26	8	4	7	65	46	6,5	5	9	70
7	6	5	11	10	27	5,5	6	8	40	47	7	4	8	35
8	4	6	12	50	28	4,5	5	4	60	4	7,5	5	9	40
9	3,5	5	12	20	29	3,5	4	5	25	49	6	4	7	50
10	4	4	11	15	30	3	4	6	15	50	5,5	6	8	60
11	4,5	4	7	40	31	4,5	5	7	30	51	4	5	9	65
12	3,5	6	6	50	32	5	6	8	55	52	3	6	10	15
13	3	5	7	20	33	6	4	9	50	53	2	6	11	25
14	2,5	5	9	25	34	5,5	6	10	45	54	2,5	5	12	45
15	2	6	10	70	35	4,5	4	11	60	55	3,5	4	11	28
16	5,5	6	9	15	36	2,5	6	12	10	56	4,5	5	9	50
17	4,5	5	8	65	37	1,5	6	9	15	57	5	6	8	35
18	8	5	8	45	38	7,5	5	8	25	58	5,5	5	7	10
19	9	6	7	25	39	6	4	8	35	59	5,5	6	9	55
20	4	6	8	35	40	9	5	9	70	60	4,5	4	9	65



Лабораторная работа 6

Анализ финансовых и кредитных операций

1. Цель работы

1. Вывод балансного уравнения и расчет доходности.

2. Расчет доходности краткосрочных ссудных и учетных операций.

3. Расчет эффективности покупки и продажи краткосрочных финансовых обязательств.

4. Сравнение финансовой эффективности контрактов.

5. Определение предельных параметров контрактов.

2. Краткие теоретические сведения

1. Балансное уравнение и доходность кредитных операций.

Сбалансированность означает, что сумма денег, вложенных кредитором, вместе с начисленными на них процентами, должна быть равна сумме погасительных платежей заемщика, тоже с учетом начисленных процентов.

Сбалансированность вложений и отдачи, можно представить следующим образом. Пусть выдан кредит в размере P - на срок n. Этот кредит погашается срочными платежами Yk в сроки nk (k=1,...,n) при этом в каждом периоде времени между этими сроками tk=nk-nk-1 (n0=0, nn=n) процентная ставка равна ik. Так как в конце срока n после срочной уплаты Yn долг должен быть равен нулю Pn=0, то имеем балансное уравнение

(2.1)



где j=(1+ij)tj - множитель наращения за время равное длительности периода tj.

Балансное уравнение позволяет решить следующие задачи: рассчитать доход кредитной операции для кредитора и распределить этот доход по источникам дохода и периодам, предусмотренным условиями контракта.

Для оценки степени доходности того или иного контракта, с учетом конкретных условий сделки чаще всего используют процентную ставку, которую называют полной доходностью, при анализе инвестиционных проектов она носит название внутренней нормой доходности.

Полной доходностью контракта называется сложная процентная ставка g0, при которой сумма всех доходов, приведенных с помощью этой ставки к некоторому сроку, равна сумме расходов, приведенных к тому же самому сроку.

Из этого определения следует балансное уравнение для определения полной доходности g0

(2.2)

где Pk (k=1,...,m1) - суммы выданных кредитов, m1 - количество выданных сумм, n1k - сроки выдачи, n0 - срок к которому приводятся все платежи, Yk (k=1,...,m2) - срочные уплаты по погашению, m2 - количество срочных уплат, n2k - сроки срочных уплат, - дисконтный множитель по сложной ставке g0.

Если простая ставка g0, то балансное уравнение имеет вид

(2.3)



Обычно при расчете доходности все расходы и доходы приводят к началу контракта, результат будет один и тот же но при этом упрощаются вычисления.

Заметим, что балансное уравнение (2.1) также можно использовать для определения полной доходности контракта, так как оно получено из предположения, что к концу срока суммарный долг равен нулю.

Пример: Пусть кредитором выданы две ссуда, одна в 50 т.р. выдана на срок 5 лет при начислении простых процентов по ставке 10%, а вторая на сумму 100т.р. на 10 лет при начислении сложных процентов по ставке 8%, при этом обе ссуды заканчиваются одновременно и погашаются одним платежом в конце срока. Необходимо определить доходность этой операции для кредитора в виде ставки сложных процентов.

Имеем P1=50000, n1=5, i1=0,1; P2=100000, n2=10, i2=0,08. Продолжительность контракта n определяется большим из сроков n1 и n2, поэтому имеем n=10. Приведем все суммы к началу контракта n0=0. Подставляя в (2.2) приходим к следующему балансному уравнению:

Отсюда получаем:

2. Доходность ссудных и учетные операций с удержанием комиссионных.

Комиссионные повышают доходность операций, так как фактическая выданная сумма кредита уменьшается на величину комиссионных.

Ссудные операции. Если ссуда P выдана на срок n при начислении простых процентов по ставке i и при этом удержаны комиссионные K в размере i процентов от ссуды: K=Pi, то доходность этой операции для кредитора (внутренняя норма доходности g0) определяется из балансного уравнения и равна:

(2.4)

В случае, когда ссуда выдается под сложные проценты имеем

(2.5)

Если полная доходность определяется по простым процентам, то имеем:

-ссуда выдается под простые проценты

(2.6)

-ссуда выдается под сложные проценты

(2.7)

Учетные операции. Пусть P сумма, которую заемщик должен оплатить кредитору в конце срока n равна P, а i - процент комиссионных.

Полная доходность g0 по сложным процентам: =(1+g0)-n для простой учетной ставки d и сложной учетной ставке dc рассчитывается по формулам

(2.8)

Полная доходность g0 по простым процентам =(1+ng0)-1 для простой учетной ставки d и сложной учетной ставке dc определяется из формул

(2.9)

Пример. Оценить доходность ссуды в виде а) простой и б) сложной ставок полной доходности, если ссуда выдана на 5 лет под сложную учетную ставку 8% и удержано 1% комиссионных.

Имеем n=5, i=ic=0,08, i=0,01,

3. Доходность от купли и продажи краткосрочных финансовых обязательств.

Покупка и продажа векселей. Пусть номинал векселя равен S, он куплен по учетной ставке d1 за t1 дней до погашения и продан по ставке d2 за t2 до погашения. Для полной доходности g0 можем записать уравнение: P1=P2, где - дисконтный множитель за срок t1-t2 по процентной ставке g0. Отсюда получаем:

-простая ставка g0

(2.10)



-сложная ставка g0

(2.11)

Покупка и продажа сертификатов. Возможные варианты:

а) покупка в пределах срока. Сертификат, купленный по номиналу P1 за t1 дней до погашения, продается за сумму P2 за t2 дней до погашения:

-простая ставка g0

(2.12)

-сложная ставка g0

(2.13)

Если в сертификате процентная ставка i1, а процентная ставка на рынке в момент продажи i2:

-простая ставка g0

(2.14)

-сложная ставка g0

(2.15)



б) покупка после выпуска и погашение в конце срока. Сертификат номиналом P1 со сроком погашения t1 дней и процентной ставкой i1 куплен за сумму P2 за t2 дней до погашения:

-простая ставка g0

(2.16)

-сложная ставка g0

(2.17)

Пример. Сертификат номиналом P с процентной ставкой 11% и сроком погашения 1.06. куплен 2.02 и продан 5.05, когда процентная ставка на рынке была равна 10%. Оценить доходность сертификата в виде ставки простых процентов для T=365

Имеем t1=(152-33)=119, t2=(152-125)=27;

4. Доходность кредитных операций.

Для оценки доходности кредитной операции для кредитора обычно используется номинальная ставка g0. Если кредит суммой P выдан на срок n лет под процентную ставку i и погашается равными срочными уплатами p раз в году, то величина срочной уплаты по кредиту определяется по формуле Y=P(1+ni)/np. Эти платежи представляют p - срочную ренту с годовой уплатой R=Yp. Приведенная величина этой ренты (приведенный доход кредитора), для номинальной процентной ставки g0 при m=p равен: A=Yanp,g/p. Из равенства P=Yanp,g/p получаем уравнение для определения полной доходности g0:

(2.18)

которое решается численно методом Ньютона.

Вначале выбирается нулевое приближение g0(0) и рассчитывается первое приближение g0(1) по рекурентной формуле метода Ньютона

(2.19)

где

(2.20)

затем используя уже известное первое приближение g0(1) вычисляем второе приближение g0(2) и т.д., до тех пор, пока не выполнится условие

(2.21)

где - точность с которой необходимо определить величину полной доходности g0. После этого считаем, что g0=g0(k+1).

Пример. Пусть кредит выданный на четыре года под ставку 5% погашается равными срочными уплатами каждый квартал. Требуется оценить доходность операции для кредитора с точность до одной десятой процента.

Имеем n=4, i=0,05, p=4, =0,001, np=16. Выбираем начальное приближение g0(0)=0,08. Вычисляем

Так как , то процесс продолжаем. В результате получаем

Считаем, что g0=g0(2)=0,0892=8,92%.

5. Сравнение коммерческих контрактов.

При сравнении финансовой эффективности различных вариантов коммерческого контракта сравниваются приведенные к одной дате величины всех платежей по различным вариантам, т.е. величин Ak, где j=1,...,J; J - количество вариантов. Выбирается такой вариант, у которого величина Aj наименьшая. Обычно все платежи приводятся к началу контракта, а процентная ставка , используемая для приведения к определенной дате называется ставкой сравнения.

Пусть общая сумма предоставляемого льготного кредита или равна P, и он должен быть выплачен в течении срока n двумя вариантами. В первом варианте в начале срока должен быть внесен авансовый платеж P1, затем по окончании льготного периода длительностью L1 остаток долга погашается равными срочными уплатами. Во втором варианте вносится авансовый платеж P2, а длительность льготного периода равна L2. Все проценты в двух вариантах начисляются по сложной ставке ic. Для сравнения эффективности используется сложная ставка .

Определим все платежи по этим вариантам. По первому варианту в льготном периоде будут начислены сложные проценты I1 на остаток долга (P-P1)

Затем регулярно в течении срока (n-L) выплачиваются срочные уплаты Y по погашению остатка долга

Современная величина всех платежей по первому варианту для процентной ставки сравнения будет равна

(2.22)

Современная величина A2 всех платежей по второму контракту также будет вычисляться по формуле (2.22).

Далее вычисляется отношение: A1/A2. Если A1/A2<1, то условия первого варианта более выгодны, если A1/A2=1, то условия эквивалентны, если A1/A2>1, то условия второго варианта более выгодны.

Пример. Используя ставку сравнения равную 10% оценить эффективность двух льготных кредитов каждый на сумму 100т.р. и сроком 10 лет при процентной ставке 8%. В первом кредите длительность льготного периода равна 2 года, погашение производится авансовым платежом в 20т.р. , во втором кредите длительность льготного периода равна 5 лет, авансовый платеж равен 40т.р. Оба кредита погашаются равными срочными уплатами после льготного периода.

Имеем n=10, =0,1; ic=0,08; P1=20000, L1=2, P2=40000, L2=5;

Так как A1/A2<1, то условия первого кредита более выгодны.

6. Определение предельных значений параметров контрактов.

Для оценки контрактов часто используются предельные параметры: цена контракта P, процентная ставка в контракте i и срок контракта n.

Предельным параметром контракта называется такое его значение, при котором приведенная по ставке сравнения величина платежей по этому контракту, равна приведенный величине платежей по базовому контракту.

Пусть имеются два контракта, первый контракт имеет цену P1, срок погашения этой суммы равен n1, процентная ставка равна i1, а второй соответственно имеет параметры P2, n2, i2. Предельные значения P2*, i2*, и n2* для второго контракта, когда в качестве базового служит первый контракт вычисляются по формулам



(2.23)

При P2<P2* (i2<i2*, n2<n2*) второй контракт более выгоден для покупателя, чем первый, а для продавца наоборот, более выгоден первый контракт. Если имеем P2=P2* (i2=i2*, n2=n2*) контракты - эквивалентны.

Пример. Имеется два контракта с параметрами: P1=20т.р., i1=9%, n1=6; P2=25т.р., i2=8%, n2=8. На основание анализа будущего рынка выбрана ставка сравнения =10%. Найти предельную сумму первого контракта используя в качестве базового второй.

Получаем

Так как P1<P*1, то первый контракт более выгоден для покупателя, чем для продавца.

3. Задания

Задание 1. Выданы две ссуды: ссуда P1 тыс. рублей на n1 лет под сложную ставку i1% и ссуда P2 тыс. рублей на n2 лет под сложную ставку i2%, при этом обе ссуды заканчиваются одновременно и погашаются одним платежом в конце срока. Оценить доходность ссудной операции в виде ставки простых и сложных процентов.

	P1	n1	i1%	P2	n2	i2%		P1	n1	i1%	P2	n2	i2%
1	5	5	8	10	3	5	31	17	4	8	9	4	10
2	12	3	9	18	8	9	32	15	8	7	30	5	7
3	45	2	6	20	7	4	33	20	3	5	50	6	6
4	35	6	7	26	6	6	34	8	5	9	14	4	8
5	25	4	5	45	9	5	35	22	7	4	25	6	5
6	20	3	6	40	10	7	36	6	6	6	10	7	6
7	6	7	7	4	4	9	37	65	9	5	50	8	4
8	34	5	4	20	2	6	38	70	10	7	40	9	8
9	8	9	9	5	5	8	39	42	4	9	35	5	11
10	10	4	10	15	5	9	40	30	2	6	25	3	7
11	27	4	8	29	4	10	41	15	5	8	14	3	9
12	25	8	7	30	5	7	42	25	3	9	20	6	8
13	10	3	5	20	6	6	43	40	2	6	35	5	5
14	18	5	9	14	4	8	44	30	6	7	25	4	5
15	12	7	4	20	6	5	45	20	4	5	35	3	4
16	16	6	6	18	7	6	46	25	3	6	30	4	5
17	6	9	5	5	8	4	47	17	7	7	23	6	8
18	7	10	7	4	9	8	48	3	5	4	4	7	3
19	4	4	9	3	5	11	49	80	9	9	100	8	5
20	3	2	6	2	3	7	50	90	5	10	80	6	11
21	40	9	8	20	3	5	51	14	9	18	70	10	7
22	35	5	11	8	5	9	52	13	5	10	42	4	9
23	25	3	7	22	7	4	53	12	3	17	30	2	6
24	14	3	9	6	6	6	54	20	3	15	15	5	8
25	20	6	8	65	9	5	55	18	5	19	25	3	9
26	35	5	5	70	10	7	56	22	7	4	40	2	6
27	25	4	5	42	4	9	57	16	6	6	30	6	7
28	35	3	4	30	2	6	58	65	9	5	20	4	5
29	30	4	5	15	5	8	59	40	10	7	25	3	6
30	23	6	8	25	3	9	60	22	4	9	17	7	7

Задание 2. Определить увеличение эффективности ссуды, выраженной в виде сложных процентов, за счет удержания комиссионных из расчета i % от суммы ссуды для срока ссуды n лет при ставке сложных процентов i% годовых.

	i %	n	i		i %	n	i		i %	n	i
1	2	3	10	21	2	4	15	41	3	4	18
2	2	4	9	22	2,5	3	15	42	2	5	17
3	2	2	8	23	1	3	16	43	3,5	3	12
4	1	4	10	24	1,5	3	12	44	4	4	15
5	3	3	11	25	2,5	3	10	45	3,5	4	13
6	2,5	4	11	26	3	2	9	46	4	4	14
7	2,5	4	12	27	2,5	4	9	47	3,5	5	15
8	2,5	4	12	28	3	4	9	48	2	5	16
9	3	3	14	29	2,5	4	8	49	1	5	18
10	2,5	4	15	30	4	3	8	50	1	4	14
11	1	5	12	31	3,5	5	8	51	1	5	15
12	1,5	4	12	32	2,5	4	10	52	1,5	5	16
13	2,5	5	17	33	3	4	12	53	2,5	5	16
14	3	4	15	34	3	5	11	54	2,5	4	18
15	4,5	5	12	35	2,5	4	10	55	2	5	17
16	2	4	10	36	4	5	10	56	2	5	12
17	1	3	10	37	3,5	5	12	57	2	4	10
18	1,5	4	12	38	3	5	11	58	2	5	9
19	2	4	12	39	2,5	5	15	59	2	5	9
20	2,5	3	12	40	3	5	12	60	2	4	12

Задание 3. При выдаче ссуды по простой ставке процентов i% годовых удерживаются комиссионные в размере i % от суммы ссуды. Определить доходность ссудной операции для срока ссуды t дней (T=365) при доходности в виде ставок сложных и простых процентов без учета комиссионных и с учетом комиссионных.

	i%	i %	t		i%	i %	t		i%	i %	t
1	10	1	200	21	12	4	75	41	10	2	150
2	11	1	150	22	12	3	170	42	9	2	150
3	12	1	100	23	11	3	120	43	9	2	200
4	11	2	100	24	10	2	150	44	10	2	100
5	10	2	200	25	9	2	150	45	11	2	150
6	9	3	120	26	11	1	300	46	12	3	125
7	8	2	250	27	12	1	200	47	11	4	140
8	10	2	150	28	12	1,5	100	48	12	3	130
9	11	2	200	29	15	2	150	49	11	2	120
10	12	3	250	30	12	1,5	200	50	12	1,5	130
11	12	4	150	31	12	1,5	150	51	12	1,5	180
12	12	4	150	32	11	2	200	52	11	2,5	150
13	15	2	250	33	10	2,5	150	53	12	2	120
14	12	1	100	34	9	3	200	54	11	2	130
15	10	1	200	35	10	2	150	55	12	1,5	140
16	9	2	200	36	9	2	120	56	12	1,5	140
17	9	0,5	150	37	10	2	200	57	10	2,5	150
18	8	1,5	200	38	9	2	180	58	9	3	140
19	9	1,5	150	39	9	2	100	59	9	3	120
20	10	2	200	40	10	1	220	60	9	3	100

Задание 4. Вексель учтен по ставке d% за t дней до его оплаты. При учете векселя с его владельца удержаны комиссионные в размере i %. Определить доходность операции учета с удержанием комиссионных в виде ставок простых и сложных процентов при: а) T=365; б) T=360.

	d%	t	i %		d%	t	i %		d%	t	i %
1	18	100	2	21	12	75	3	41	12	100	2
2	17	50	2,5	22	15	60	2	42	15	150	1
3	12	60	1	23	16	80	3,5	43	14	200	2
4	15	15	1,5	24	16	90	4	44	13	300	3
5	13	20	2,5	25	17	80	3,5	45	14	350	3
6	14	20	3	26	18	50	4	46	15	45	3
7	15	30	2,5	27	12	70	3,5	47	9	60	4
8	16	200	3	28	11	40	2	48	8	200	2
9	18	300	2,5	29	10	45	1	49	9	150	3
10	14	100	4	30	9	200	1	50	9	200	1
11	15	150	3,5	31	8	100	1	51	8	300	1
12	16	120	2,5	32	18	80	1,5	52	12	250	1,5
13	16	200	3	33	19	90	2,5	53	10	150	1,5
14	18	150	3	34	20	100	2,5	54	11	120	2
15	17	140	2,5	35	12	60	2	55	10	150	2,5
16	12	160	4	36	18	75	2	56	9	75	2,5
17	10	120	3,5	37	17	90	2	57	8	60	3
18	9	120	3	38	17	80	2	58	9	100	2
19	9	60	2,5	39	18	75	2	59	10	200	1
20	12	70	3	40	19	60	2	60	12	150	1,5

Задание 5. Вексель на сумму S рублей куплен за t1 дней до его погашения по учетной ставке d1% и продан через t2 по учетной ставке d2%. Определить доход, полученный от операции, и ее доходность в виде эффективных ставок простых и сложных процентов при: а) T=365; б) T=360.

	S	t1	d1%	t2	d2%		S	t1	d1%	t2	d2%
1	500	100	5	30	4	31	750	300	11	200	7
2	1000	200	4	100	3	32	600	200	10	150	8
3	1500	200	6	150	5	33	500	150	12	100	8
4	2000	150	7	50	5	34	5000	260	11	200	8
5	3000	350	8	100	5	35	4000	360	12	200	7
6	4000	300	9	200	5	36	4500	400	12	300	7
7	5000	500	8	100	5	37	500	200	11	150	8
8	500	400	7	300	5	38	600	150	12	100	6
9	800	200	6	150	5	39	650	600	15	500	7
10	900	250	7	100	5	40	750	200	10	150	8
11	1500	400	8	100	5	41	700	300	12	200	8
12	2000	450	9	300	7	42	800	200	11	150	8
13	2500	500	8	200	7	43	850	250	12	150	8
14	3500	600	6	500	5	44	800	350	11	150	7
15	4500	500	7	300	4	45	900	250	10	150	7
16	400	250	8	100	5	46	350	200	12	150	9
17	3000	350	9	100	5	47	3000	350	11	200	9
18	3500	200	8	100	5	48	3500	360	12	100	10
19	4000	120	9	100	5	49	4500	180	13	100	10
20	5000	180	7	150	5	50	5000	270	15	150	12
21	4500	150	9	100	5	51	5500	120	12	100	10
22	3000	120	8	100	5	52	4500	300	15	100	10
23	3500	180	10	150	7	53	4200	400	16	100	10
24	4500	150	11	100	7	54	3200	500	17	400	15
25	5000	100	12	50	7	55	6800	240	12	100	10
26	9000	200	10	150	7	56	6500	200	11	150	10
27	950	250	11	100	7	57	5500	300	10	200	7
28	900	400	10	300	7	58	6500	300	9	150	7
29	800	300	12	200	8	59	7000	250	8	100	7
30	850	300	11	100	8	60	7500	350	6	200	5

Задание 6. Выдан кредит на n лет при ставке i%, который погашается равными срочными уплатами p раз в году. Определить доходность операции для кредитора с точность до одной десятой процента.

	n	i%	p		n	i%	p		n	i%	p
1	2	10	2	21	10	7	3	41	1	10	2
2	3	5	4	22	9	6	2	42	3	11	6
3	4	6	12	23	8	8	12	43	5	9	4
4	5	15	6	24	7	9	4	44	7	6	3
5	6	2	3	25	6	8	6	45	9	7	12
6	7	9	3	26	5	5	4	46	2	8	3
7	8	3	12	27	4	7	12	47	4	6	4
8	9	8	6	28	3	4	2	48	6	5	2
9	10	3	4	29	2	6	3	49	8	4	6
10	4	7	2	30	9	9	6	50	9	12	12
11	1	7	6	31	2	10	12	51	10	10	12
12	3	6	4	32	3	11	6	52	9	5	4
13	5	8	12	33	4	9	4	53	8	6	6
14	7	9	2	34	5	6	2	54	7	15	4
15	9	8	3	35	6	7	6	55	6	2	12
16	2	5	2	36	7	8	4	56	5	9	2
17	4	7	6	37	8	6	12	57	4	3	3
18	6	4	4	38	9	5	2	58	3	8	6
19	8	6	3	39	10	4	3	59	2	3	12
20	9	9	12	40	4	12	2	60	9	7	6

Задание 7. С помощью ставки сравнения оценить эффективность двух льготных кредитов каждый на сумму P, срок n лет и ставке ic. Оба кредита погашаются авансовым платежом вначале кредита и равными срочными уплатами после льготного периода. В первом кредите авансовый платеж P1 тыс. рублей, длительность льготного периода L1 лет, во втором соответственно P2 и L2.

	g%	P	n	i%	P1	L1	P2	L2		g%	P	n	i%	P1	L1	P2	L2
1	10	100	6	8	20	2	30	3	31	9	90	7	7	10	3	20	5
2	8	30	8	7	5	3	10	4	32	7	200	12	8	30	4	50	7
3	9	80	7	9	10	1	20	3	33	6	60	9	5	15	2	25	5
4	7	400	14	6	50	4	100	8	34	11	350	10	10	60	4	150	8
5	8,5	70	9	10	10	2	20	4	35	8	150	8	6	30	3	40	5
6	12	250	10	11	50	5	60	6	36	5,5	55	6	9	20	2	30	3
7	6,5	40	5	8	8	1	12	3	37	8,5	140	11	9,5	15	1	40	5
8	9,5	800	15	10	100	2	300	7	38	7,5	50	7	8	5	1	10	2
9	5	450	13	7,5	70	4	90	5	39	10	70	9	6	10	3	15	5
10	11	95	14	9,5	15	3	30	6	40	9,5	350	8	10	40	2	80	4
11	9	110	6	8	20	2	30	3	41	12	200	11	10	50	4	60	5
12	7	40	9	7	5	3	10	4	42	7,5	50	7	9	8	2	12	3
13	10	90	7	8	10	2	20	3	43	9,5	800	14	10	90	2	200	6
14	8	450	13	6	50	3	100	7	44	6	450	13	7,5	70	4	80	5
15	9,5	80	9	9	10	3	20	5	45	10	95	14	9,5	15	3	35	6
16	11	290	10	10	50	6	60	7	46	9	110	6	9	20	3	30	4
17	6,5	50	6	8	8	2	12	3	47	6	50	9	7	5	3	8	4
18	9,5	900	15	10	100	2	300	7	48	10	80	8	9	11	2	15	3
19	6	550	11	7,5	70	4	90	5	49	7	430	13	8	50	3	900	6
20	10	85	13	9,5	15	3	30	6	50	9,5	70	9	7	10	2	20	4
21	9	120	7	8	15	2	25	3	51	8,5	600	10	9	80	3	150	7
22	7	50	8	6,5	5	3	10	5	52	9	75	7	11	15	2	25	3
23	8	450	13	7,5	70	4	80	5	53	6,5	60	6	8	7	2	15	3
24	10	80	9	6	10	2	20	5	54	10	90	10	9	15	4	30	7
25	8	500	11	7,5	60	4	80	6	55	12	300	11	10	80	3	120	6
26	7,5	90	8	8	5	2	10	3	56	7	350	13	7	70	3	100	5
27	9,5	80	12	10	9	2	20	5	57	8,5	60	8	7	5	2	10	3
28	6	100	10	5	15	1	40	6	58	5,5	650	9	7,5	100	3	200	4
29	8	80	8	7,5	20	3	40	6	59	9,5	150	7	9	20	1	40	3
30	12	450	15	10	50	4	150	8	60	6	250	6	5	40	2	80	4

Задание 8. Для ставки сравнения %, которая выбрана на основание прогноза будущего рынка, найти предельную сумму, предельный срок и предельную процентную ставку контракта стоимость. P1, сроком n1 и процентной ставкой i1%. В качестве базового использовать контракт с параметрами P2, n2, i2.

	P1	n1	i1	P2	n2	i2			P1	n1	i1	P2	n2	i2
1	15	5	8	10	3	5	7	31	70	4	8	90	4	10	11
2	20	3	10	18	8	9	8	32	85	8	7	50	5	7	9
3	40	2	6	20	7	4	5	33	60	3	5	70	6	6	8
4	35	6	7	30	6	6	8	34	80	5	9	70	4	8	11
5	35	4	5	45	9	5	6	35	20	7	4	25	6	5	6
6	30	3	6	40	10	7	5	36	15	5	6	10	7	6	5
7	16	7	7	10	4	9	8	37	65	9	6	50	8	4	7
8	30	5	4	20	2	6	7	38	50	10	7	40	9	8	9
9	7	9	9	5	5	8	10	39	40	4	9	35	5	11	10
10	12	4	10	15	5	9	8	40	35	2	6	25	3	7	12
11	25	4	8	15	4	10	9	41	15	5	8	20	4	9	11
12	20	8	7	30	5	7	6	42	25	3	9	20	6	8	10
13	15	3	5	20	6	6	4	43	40	2	6	35	5	5	7
14	18	5	9	12	4	8	11	44	30	5	7	25	6	5	8
15	10	7	4	20	6	5	7	45	20	4	5	30	3	4	6
16	40	6	6	50	7	6	8	46	25	5	6	30	4	5	7
17	7	9	5	5	8	4	6	47	10	7	7	15	6	8	9
18	8	10	7	4	9	8	9	48	35	5	4	45	7	3	5
19	4	4	9	3	5	11	10	49	80	9	9	90	8	5	8
20	3	2	6	2	3	7	8	50	70	5	10	80	6	11	9
21	30	9	8	20	3	5	6	51	80	9	18	70	10	7	11
22	15	5	11	8	5	9	8	52	40	5	10	60	4	9	12
23	25	3	7	20	7	4	5	53	25	3	11	30	2	6	9
24	24	3	9	16	6	6	7	54	20	3	12	15	5	8	13
25	20	6	8	25	9	5	9	55	35	5	19	25	3	9	12
26	35	5	5	40	10	7	8	56	50	7	4	40	2	6	8
27	25	4	5	45	4	9	6	57	40	6	6	30	6	7	5
28	35	3	4	30	2	6	5	58	65	9	5	80	4	5	6
29	30	4	5	35	5	8	7	59	20	10	7	25	3	6	5
30	20	6	8	25	3	9	10	60	25	4	9	35	7	7	8



Лабораторная работа 7

Облигации

1. Цель работы

1. Расчет курсов облигаций: без погашения с выплатой процентов, с нулевым купоном, с выплатами в конце срока.

2. Расчет показателей доходности облигаций.

3. Расчет доходности портфеля облигаций.

4. Расчет премии и дисконта облигаций.

5. Расчет среднего срока и средней продолжительности платежей.

2. Краткие теоретические сведения

1. Облигации и их рейтинг.

Облигация является ценной бумагой, свидетельствующей о том, что ее держатель предоставил заем эмитенту (органу выпустившему облигацию), а эмитент обеспечивает держателю получение регулярного фиксированного дохода и выкуп у держателя этой ценной бумаги в конце ее срока по указанной цене (обычно равной номиналу облигации).

Основными параметрами облигации являются: - номинальная цена N (номинал); -выкупная цена C или правило ее определения, если она отличается от номинала; -норма доходности g (процентная ставка по которой начисляются проценты); -сроки выплаты процентов (год, полугодие, квартал) и срок от даты покупки до даты погашения n.

Рейтингом облигации называется категория надежности (по выплате процентов и выкупной цены), установленная для данной облигации одним из специальных агентств. Количество категорий для разных стран различно, например, в США девять категорий, в Канаде - восемь, а в Великобритании - пять.

2. Курс облигации.

Облигации продаются и покупаются по установившимся на финансовом рынке ценам, при этом она может быть как меньше номинала, так и больше.

Курсом облигации K называется отношение рыночной цены к ее номиналу умноженное на сто K=(P/N)100, где P - рыночная цена, N- номинал. Соответственно для рыночной цены имеем P=KN/100.

Рыночная цена облигации равна современной величине всех будущих доходов от облигации, приведенных по процентной ставке ic, которая используется в настоящий момент на рынке ценных бумаг

,(2.1)

где m - количество будущих доходов по облигации до конца ее срока, Gk - доход от облигации в срок nk, - дисконтный множитель: =(1+ic)-1. Таким образом, курс облигации равен

(2.2)

Доходы по облигации складывается из трех частей: - периодический доход в виде выплачиваемых денег (купонов) или начисляемых на облигацию процентов; - изменение рыночной стоимости; - доход от реинвестиции купонов.

Курсы основных видов облигаций. Если ic - процентная ставка на рынке в момент продажи облигации, то имеем следующие формулы для расчета курсов K:

а) облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов (доходы от такого вида облигаций представляют собой только выплату процентов по годовой ставке g, т.е. представляют собой вечную p-ренту с членом Rp=Ng/p). Используя формулу для современной величины такой ренты по ставке ic из (2.2) получаем

(2.3)

Пример: Определить курс и рыночную цену облигаций номиналом 50тыс. руб. без погашения, с выплатой процентов ежеквартально по ставке 12%, если ставка на рынке равна 10%.

Имеем g=0,12; p=4; ic=0,1,

б) облигации с нулевым купоном (облигации без выплаты процентов) (доход от облигации равен выкупной цене С облигации в конце срока)

(2.4)

в) облигации с выплатой процентов в конце срока (имеется только один доход в конце срока в виде наращенной суммы номинала N по ставке g)

(2.5)

г) облигации с периодической выплатой процентов p раз в году, погашаемые в конце срока (доходы складывается из текущих купонных доходов Ng/p и дохода в конце срока в виде выкупной цены облигации C)

(2.6)

Пример. Компания выпустила облигации с номинальной ценой 100тыс. руб., которые будут выкуплены за 50тыс.руб. через 10 лет, при этом купоны выплачиваются каждые полгода по ставке 7%. Ставка на рынке в момент продажи равна 9%. Определить курс и рыночную цену. Имеем: N=100000, C=50000, n=10, g=0,07; p=2, ic=0,09,

3. Доходность облигаций.

Для оценки доходности облигаций используют следующие показатели: - купонная доходность; -текущая доходность; -полная доходность или ставка (норма) помещения.

Купонная доходность (gc) равна отношению сумме купонов за год к номинальной цене облигации.

Текущая доходность (gt) это отношение текущих доходов по облигации за год к цене ее приобретения.

Полная доходность (g0) (ставка помещения) это процентная ставка, при которой приведенная с помощью этой ставки величина всех будущих доходов от облигации равна рыночной цене на дату приведения.

Методы расчета показателей:

а) облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов p - раз в году (доходы от такого вида облигаций представляют собой только выплату процентов):

- купонная доходность

(2.7)

- текущая доходность

(2.8)

-полная доходность

(2.9)

Пример. Определить полную доходность облигации без погашения, купоны по которой выплачиваются три раза в год по ставке 8%, курс которой на рынке равен 105.

Имеем: g=0.08; p=3,

б) облигации с нулевым купоном (доход от таких облигации представляет собой разность между выкупной ценой C и ценой ее приобретения по рыночному курсу P)

(2.10)

в) облигации с выплатой процентов в конце срока (имеется только один доход в конце срока в виде наращенной суммы номинала по ставке g)



(2.11)

г) облигации с периодической выплатой процентов p раз в году, погашаемые в конце срока (доход складывается из текущего дохода (купонный доход) и дохода в конце срока (выкупная цена облигации) C

(2.12)

нелинейное уравнение, которое решается численно, например, методом Ньютона.

Вместо численного решения уравнения (2.12) для определения полной доходности используют и упрощенный метод, основанный на усреднении доходов за время n

(2.13)

Пример. Используя упрощенный метод оценить доходность облигации с номиналом 200тыс.руб. и выкупной ценой 250 тыс. руб., купоны по которой выплачиваются ежемесячно в течении 15 лет по годовой ставке 10%, если облигация куплена по курсу 110.

Имеем: N=200000, C=250000, n=15, g=0,1; K=110,

4. Портфель облигаций.

Для оценки доходности “портфеля облигаций” используется полная доходность g0, которая определяется из решения нелинейного уравнения

(2.14)

где J количество видов облигаций в портфеле, kj - количество облигаций вида j, Pj - стоимость одной облигации данного вида j, Gk - доходы от облигаций, nk - сроки получения этих доходов, M - количество всех доходов.

На практике, вместо решения уравнения (2.14) для определения полной доходности используют приближенные соотношения:

-если для каждого вида облигаций известны свои значения полной доходности g0(j) и средней продолжительности платежей nA(j)

(2.15)

Пример. Оценить доходность портфеля облигаций, в котором 100 облигаций номиналом 20тыс.руб. имеют курс 102 и полную доходность 9%, а 300 облигаций номиналом 40 тыс. руб. имеют курс 95 и полную доходность 7%.

Имеем: J=2, N1=20000, K1=102, k1=100, g0(1)=0,09; N2=40000, K2=95, k2=300, g0(2)=0,07,



5. Премия и дисконт по облигациям.

Величина E, равная разнице между покупной ценой облигации P и номинала N: E=P-N, называется премией, если она положительна, и дисконтом, если она отрицательна. Премия облигации с периодической выплатой процентов p раз в году по ставке g, погашаемые в конце срока n по выкупной цене C вычисляется по формуле

(2.16)

При p=1 и C=N имеем

(2.17)

Пример. Определить величину премии по облигации номиналом 50тыс.руб. и выкупной ценой в 40тыс.руб., купоны по которой выплачиваются каждые полгода в течении 10 лет по ставке 11%, если ставка на рынке равна 12%.

Имеем: N=50000, C=40000, n=10, p=2, g=0,11; ic=0,12,

т.е. имеем дисконт в сумме 2245 руб. вместо премии.

6. Средний срок и средняя продолжительность платежей по облигациям.

Под средним сроком n облигации понимается средне взвешенная величина сроков nk (k=1,..,m; nm=n) всех доходов Pk, где в качестве весов используются величины этих доходов

(2.18)

Если номинал облигации равен N, купоны по ставке g выплачиваются p - раз в году и выкупная цена равна C, то для среднего срока получаем

(2.19)

Пример. Определить средний срок облигаций номиналом 30 тыс. руб., которые будут выкуплены через 5 лет за сумму 20 тыс. руб., купоны начисляются ежемесячно по ставке 10%. Имеем: N=30000, C=20000, n=5, p=12, g=0,1,

Средняя продолжительность платежей nA представляет собой средневзвешенную величину сроков всех выплат, где в качестве весов используются современные величины всех доходов по облигации, при этом для приведения используется рыночная процентная ставка ic



(2.20)

Если номинал облигации равен N, купоны по ставке g выплачиваются p - раз в году и выкупная цена равна C, то для среднего срока получаем

(2.21)

При C=N и p=1 имеем

(2.22)

Нормированная средняя продолжительность платежей равна

(2.23)

Пример. Определить нормированную среднюю продолжительность платежей по облигациям предыдущего примера, если ставка на рынке равна 12%, а курс облигации равен 105.

Имеем: N=30000, C=20000, n=5, p=12, g=0,1; ic=0,12; K=105,

3. Задания

Задание 1. Предполагается выпуск облигаций с номинальной ценой N тыс. руб., возможная выкупная цена которых через n лет будет равна C тыс. руб., при этом предполагается возможность выплаты купонов p раз в году по ставке g%, в момент выпуска ставка на рынке равна ic %. Определить курс и рыночную цену облигаций для следующих их возможных вариантов: а) облигации без обязательного погашения, б) облигации с нулевым купоном, в) облигации с выплатой процентов в конце срока, г) облигации с купонами и обязательным погашением.

	n	N	C	p	g%	ic%		n	N	C	p	g%	ic%
1	15	20	15	2	9	8,5	31	10	15	10	3	10	11
2	8	40	30	6	8	9	32	7	50	55	4	12	10
3	12	30	25	12	7	6	33	9	45	40	12	8	7
4	6	15	20	3	10	9	34	14	80	50	6	5	6
5	9	60	70	4	6	5	35	11	75	60	2	8,5	8
6	10	45	40	6	7,5	7	36	5	100	70	3	9,5	10
7	17	55	50	3	8	10	37	20	150	100	4	6,5	7
8	7	70	80	12	6	5	38	19	35	30	2	7	6,5
9	18	80	45	6	11	12	39	16	65	80	12	11	9
10	11	25	15	3	6,5	7	40	8	90	100	4	7,5	8
11	10	15	10	2	9	8,5	41	15	20	15	3	10	11
12	7	50	55	6	8	9	42	8	40	30	4	12	10
13	9	45	40	12	7	6	43	12	30	25	12	8	7
14	14	80	50	3	10	9	44	6	15	20	6	5	6
15	11	75	60	4	6	5	45	9	60	70	2	8,5	8
16	5	100	70	6	7,5	7	46	10	45	40	3	9,5	10
17	20	150	100	3	8	10	47	17	55	50	4	6,5	7
18	19	35	30	12	6	5	48	7	70	80	2	7	6,5
19	16	65	80	6	11	12	49	18	80	45	12	11	9
20	8	90	100	3	6,5	7	50	11	25	15	4	7,5	8
21	10	45	40	2	7	6,5	51	9	45	40	6	7,5	7
22	17	55	50	12	11	9	52	14	80	50	3	8	10
23	7	70	80	4	7,5	8	53	11	75	60	12	6	5
24	18	80	45	3	10	11	54	5	100	70	6	11	12
25	11	25	15	4	12	10	55	20	150	100	3	6,5	7
26	10	15	10	12	8	7	56	9	45	40	12	8	7
27	7	50	55	6	5	6	57	14	80	50	6	5	6
28	9	45	40	2	8,5	8	58	11	75	60	2	8,5	8
29	14	80	50	3	9,5	10	59	5	100	70	3	9,5	10
30	11	75	60	4	6,5	7	60	20	150	100	4	6,5	7

Задание 2. Найти текущую, купонную и полную доходность облигаций с номиналом N тыс. руб., купленных по курсу K при следующих их вариантах: а) облигации без обязательного погашения с выплатой купонов p раз в году по ставке g, б) облигации с нулевым купоном и с погашением через n лет по цене C, в) облигации с выкупной ценой C и выплатой процентов в конце срока n по ставке g, г) облигации с выплатой процентов p раз в году по ставке g и обязательным погашением в конце срока n по выкупной ценой C тыс. руб. (использовать упрощенный метод при определении полной доходности).

	K	N	C	p	g%	n		K	N	C	p	g%	n
1	102	100	70	6	9	10	31	87	50	55	3	10	15
2	105	150	100	3	8	7	32	93	45	40	4	12	8
3	99	35	30	12	7	9	33	107	80	50	12	8	12
4	86	65	80	6	10	14	34	111	75	60	6	5	6
5	110	90	100	3	6	11	35	95	100	70	2	8,5	9
6	95	45	40	2	7,5	5	36	82	150	100	3	9,5	10
7	108	55	50	12	8	20	37	99	35	30	4	6,5	17
8	106	70	80	4	6	19	38	96	65	80	2	7	7
9	90	80	45	3	11	16	39	98	90	100	12	11	18
10	80	25	15	4	6,5	8	40	102	45	40	4	7,5	11
11	107	15	10	12	9	15	41	97	55	50	3	10	10
12	103	50	55	6	8	8	42	87	70	80	4	12	7
13	98	45	40	2	7	12	43	78	80	45	12	8	9
14	92	80	50	3	10	6	44	119	25	15	6	5	14
15	87	75	60	4	6	9	45	103	15	10	2	8,5	11
16	97	30	25	12	7,5	10	46	117	70	80	3	9,5	5
17	99	15	20	6	8	17	47	118	80	45	4	6,5	20
18	114	60	70	2	6	7	48	115	25	15	2	7	19
19	111	45	40	3	11	18	49	108	15	10	12	11	16
20	95	55	50	4	6,5	11	50	97	50	55	4	7,5	8
21	120	70	80	2	7	9	51	99	45	40	6	7,5	10
22	119	80	45	12	11	14	52	104	80	50	3	8	17
23	116	25	15	4	7,5	11	53	101	75	60	12	6	7
24	108	45	40	6	10	5	54	105	100	70	6	11	18
25	115	80	50	3	12	20	55	125	150	100	3	6,5	11
26	98	75	60	12	8	9	56	109	35	30	12	8	10
27	102	100	70	6	5	14	57	116	65	80	6	5	7
28	106	150	100	3	8,5	11	58	89	90	100	2	8,5	9
29	109	45	40	12	9,5	5	59	110	45	40	3	9,5	14
30	105	80	50	6	6,5	20	60	117	55	50	4	6,5	11

Задание 3. Продается портфель облигаций: k1 облигаций номиналом N1 тыс. руб. имеют курс K1, полную доходность g1% и k2 облигаций номиналом N2 тыс. руб. имеют курс K2, полную доходность g2%.

	k1	N1	K1	g1	k2	N2	K2	g2		k1	N1	K1	g1	k2	N2	K2	g2
1	600	15	105	8	400	20	103	9	31	250	10	102	6	300	20	98	7
2	100	5	95	7,5	700	10	90	6	32	700	30	110	8,5	400	25	105	9
3	450	8	120	9,5	360	12	80	4	33	500	40	98	11	150	55	85	6
4	300	20	97	11	200	15	103	14	34	400	15	90	7	250	10	110	12
5	250	10	80	5	550	6	115	16	35	350	4	94	6,5	500	8	107	10
6	600	18	75	6	500	25	130	18	36	650	22	115	14	800	40	95	8,5
7	50	100	85	7	250	50	106	12	37	70	70	102	10	190	60	97	9,5
8	90	150	110	8,5	150	40	93	8	38	180	50	80	5	640	30	120	15
9	500	30	104	9,9	800	35	84	5,5	39	20	300	101	11	350	15	94	7,8
10	350	25	106	12	300	35	97	7б4	40	60	100	104	9,2	100	70	120	18
11	250	10	105	8	600	15	98	7	41	250	50	80	5	800	35	84	5,5
12	700	30	95	7,5	100	5	105	9	42	150	40	75	6	300	35	97	7,4
13	500	40	120	9,5	450	8	85	6	43	800	35	85	7	600	15	98	7
14	400	15	97	11	300	20	110	12	44	300	35	110	8,5	100	5	105	9
15	350	4	80	5	250	10	107	10	45	600	15	104	9,9	450	8	85	6
16	650	22	75	6	600	18	95	8,5	46	100	5	106	12	300	20	110	12
17	70	70	85	7	50	100	97	9,5	47	450	8	105	8	250	10	107	10
18	180	50	110	8,5	90	150	120	15	48	300	20	95	7,5	600	18	95	8,5
19	20	300	104	9,9	500	30	94	7,8	49	250	10	120	9,5	50	100	97	9,5
20	60	100	106	12	350	25	120	18	50	600	18	97	11	90	150	120	15
21	350	15	85	7	300	20	107	10	51	450	8	120	9,5	180	50	80	5
22	100	70	110	8,5	250	10	95	8,5	52	300	20	97	11	20	300	75	6
23	800	35	104	9,9	600	18	97	9,5	53	250	10	80	5	60	100	85	7
24	300	35	106	12	50	100	120	15	54	600	18	75	6	250	50	110	8,5
25	600	15	105	8	90	150	94	7,8	55	50	100	85	7	150	40	104	9,9
26	100	5	95	7,5	500	30	120	18	56	90	150	110	8,5	800	35	106	12
27	450	8	120	9,5	350	25	84	5,5	57	500	30	104	9,9	300	35	85	7
28	300	20	97	11	250	10	97	8,4	58	350	25	106	12	600	15	110	8,5
29	250	10	80	5	700	30	98	7	59	300	20	105	8	100	5	104	9,9
30	600	18	75	6	500	40	105	9	60	250	10			450	8	106	12

Задание 4. Найти величину премии или дисконта по облигациям сроком n лет, выкупной ценой C тыс. руб., номиналом N тыс. руб., с начислением процентов p раз в году по ставке g, если ставка на рынке равна ic.

	n	C	N	p	g%	ic%		n	C	N	p	g%	ic%
1	10	15	10	3	10	11	31	15	20	15	2	9	8,5
2	7	50	55	4	12	10	32	8	40	30	6	8	9
3	9	45	40	12	8	7	33	12	30	25	12	7	6
4	14	80	50	6	5	6	34	6	15	20	3	10	9
5	11	75	60	2	8,5	8	35	9	60	70	4	6	5
6	5	100	70	3	9,5	10	36	10	45	40	6	7,5	7
7	20	150	100	4	6,5	7	37	17	55	50	3	8	10
8	19	35	30	2	7	6,5	38	7	70	80	12	6	5
9	16	65	80	12	11	9	39	18	80	45	6	11	12
10	8	90	100	4	7,5	8	40	11	25	15	3	6,5	7
11	15	20	15	3	10	11	41	10	15	10	2	9	8,5
12	8	40	30	4	12	10	42	7	50	55	6	8	9
13	12	30	25	12	8	7	43	9	45	40	12	7	6
14	6	15	20	6	5	6	44	14	80	50	3	10	9
15	9	60	70	2	8,5	8	45	11	75	60	4	6	5
16	10	45	40	3	9,5	10	46	5	100	70	6	7,5	7
17	17	55	50	4	6,5	7	47	20	150	100	3	8	10
18	7	70	80	2	7	6,5	48	19	35	30	12	6	5
19	18	80	45	12	11	9	49	16	65	80	6	11	12
20	11	25	15	4	7,5	8	50	8	90	100	3	6,5	7
21	9	45	40	6	7,5	7	51	10	45	40	2	7	6,5
22	14	80	50	3	8	10	52	17	55	50	12	11	9
23	11	75	60	12	6	5	53	7	70	80	4	7,5	8
24	5	100	70	6	11	12	54	18	80	45	3	10	11
25	20	150	100	3	6,5	7	55	11	25	15	4	12	10
26	9	45	40	12	8	7	56	10	15	10	12	8	7
27	14	80	50	6	5	6	57	7	50	55	6	5	6
28	11	75	60	2	8,5	8	58	9	45	40	2	8,5	8
29	5	100	70	3	9,5	10	59	14	80	50	3	9,5	10
30	20	150	100	4	6,5	7	60	11	75	60	4	6,5	7

Задание 5. Определить средний срок и среднюю продолжительность платежей по облигациям, купленным по курсу K, номиналом N тыс. руб., сроком платежей n, выкупной ценой C, по которым производиться выплата процентов p раз в году по ставке g%, при процентной ставке на рынке ic%.

	n	K	N	C	p	g%	i%		n	K	N	C	p	g%	i%
1	15	105	60	70	2	8,5	8	31	20	80	100	70	6	7,5	7
2	8	95	45	40	3	9,5	10	32	10	75	150	100	3	8	10
3	12	99	55	50	4	6,5	7	33	7	85	35	30	12	6	5
4	6	103	70	80	2	7	6,5	34	9	110	65	80	6	11	12
5	9	120	80	45	12	11	9	35	14	104	90	100	3	6,5	7
6	10	85	25	15	4	7,5	8	36	11	106	45	40	2	7	6,5
7	17	88	45	40	6	7,5	7	37	5	105	55	50	12	11	9
8	7	108	80	50	3	8	10	38	20	95	70	80	4	7,5	8
9	18	105	75	60	12	6	5	39	19	120	80	45	3	10	11
10	11	98	100	70	6	11	12	40	16	97	25	15	4	12	10
11	10	102	150	100	3	6,5	7	41	8	80	15	10	12	8	7
12	7	104	45	40	12	8	7	42	15	75	50	55	6	5	6
13	9	96	80	50	6	5	6	43	8	85	45	40	2	8,5	8
14	14	92	75	60	2	8,5	8	44	12	110	80	50	3	9,5	10
15	11	90	100	70	3	9,5	10	45	6	104	75	60	4	6,5	7
16	5	107	150	100	4	6,5	7	46	9	106	20	15	2	9	8,5
17	20	88	15	10	3	10	11	47	10	85	40	30	6	8	9
18	19	108	50	55	4	12	10	48	17	110	30	25	12	7	6
19	16	122	45	40	12	8	7	49	7	104	15	20	3	10	9
20	8	96	80	50	6	5	6	50	18	106	60	70	4	6	5
21	10	109	75	60	2	8,5	8	51	11	103	45	40	6	7,5	7
22	17	125	100	70	3	9,5	10	52	9	90	55	50	3	8	10
23	7	106	150	100	4	6,5	7	53	14	80	70	80	12	6	5
24	18	87	35	30	2	7	6,5	54	11	103	80	45	6	11	12
25	11	93	65	80	12	11	9	55	5	115	25	15	3	6,5	7
26	10	85	90	100	4	7,5	8	56	20	130	15	10	2	9	8,5
27	7	115	20	15	3	10	11	57	9	106	50	55	6	8	9
28	9	113	40	30	4	12	10	58	14	93	45	40	12	7	6
29	14	102	30	25	12	8	7	59	11	84	80	50	3	10	9
30	11	97	15	20	6	5	6	60	5	97	75	60	4	6	5



Лабораторная работа 8

Форфейтные операции

1. Цель работы

1. Расчет вексельных сумм и корректирующих множителей.

2. Расчет скорректированных вексельных сумм.

3. Расчет совокупных издержек покупателя.

4. Расчет доходности банка.

2. Краткие теоретические сведения

1. Операции а форфэ.

Форфейтная операция связана с приобретением какого-то крупного объекта, комплекта оборудования, крупнотоннажного судна, большого самолета и т.п., когда у покупателя в момент покупки нет соответствующих средств, а продавец не может продать товар в кредит. В форфейтной операции покупатель оплачивает товар комплектом переводных векселей, на сумму равную стоимости покупки плюс проценты за кредит, а продавец сразу учитывает эти векселя в банке, без права оборота на себя, и получает деньги за товар в самом начале сделки. Здесь в качестве кредитора выступает не продавец, а банк, который форфетируя сделку берет на себя весь риск по кредиту.

Каждая из сторон, участвующих в форфейтной сделки, имеет свой интерес: продавец хочет получить при учете векселей сумму, равную стоимости товара, покупатель стремиться сделать минимальными все издержки, связанные с оплатами по векселям, а банк получить прибыль в виде дисконта при погашении векселей.

2. Доходы продавца.

Определение вексельных сумм. Продавец должен получить при учете векселей сумму, равную цене товара P, поэтому он должен знать какая сумма должна быть указана в каждом из векселей с учетом срока его погашения и процентной ставки, за предоставление кредита банком.

Если весь срок кредита разделен на n периодов одинаковой длительности T (число периодов равно числу векселей), то сумма векселя Yk, погашаемого в конце периода k (k=1,...,n) состоит из двух частей: первая часть Vk идет на погашение части основного долга, равного цене товара P, а вторая часть Ik идет на уплату процентов банку за кредит Yk=Vk+Ik.

Проценты за кредит P при процентной ставке g с периодом T начисляются двумя способами, в зависимости от того, как рассматривать сам кредит либо это один кредит P (цена товара) с периодическим погашением, либо это n кредитов Vk, сумма которых равна цене товара P (), с разовыми погашениями в соответствующие сроки. В первом случае проценты на кредит начисляются на остаток задолженности Pk и включаются в сумму векселя, а во втором - проценты начисляются на погашаемую часть долга Vk и тоже включаются в сумму векселя.

Начисление процентов Ik и расчет вексельных сумм Yk, когда погашение основного долга производится равными суммами: Vk=P/n, k=1,...,n,

а) проценты начисляются на остаток долга

(2.1)

Общая сумма процентов I, начисленных за весь срок, и сумма портфеля векселей Y соответственно равны



(2.2)

б) проценты начисляются на погашаемую часть долга. Имеем

(2.3)

Общая сумма процентов I и сумма портфеля векселей Y определяется по формулам первого варианта (2.2).

Различие двух вариантов состоит в том, что в первом случае проценты со сроком уменьшаются, а во втором увеличиваются, в результате и распределение платежей по векселям в первом случае со временем уменьшается, а во втором увеличивается.

Корректирующие множители. Из-за того, что более отдаленные платежи (в результате дисконтирования) реально стоят дешевле, то для покупателя выгоден второй вариант, так как он вначале по векселям платит меньшие суммы, а для продавца наоборот, он менее выгоден. В результате одна из сторон несет убытки. Для того, чтобы это исключить применяются корректирующие множители z, с помощью которых сумма G, получаемая продавцом при учете портфеля векселей, становится равной стоимости товара P. Корректировка может проводится либо изменением вексельных сумм, умножением их на корректирующий множитель, либо изменением процентных ставок, используя предельные параметры так, чтобы этот множитель был равен единице z=1.

Корректирующие множители при учете портфеля векселей по простой учетной ставке d, с тем же периодом T, что и ставка g, для двух вариантов начисления процентов:

а) проценты начисляются на остаток долга. Имеем



(2.4)

Если корректируются вексельные суммы Yk, то имеем

(2.5)

Если корректируются процентные ставки, то получаем

(2.6)

б) проценты начисляются на погашаемую часть долга. Имеем

(2.7)

При корректировке вексельных сумм Yk получаем

(2.8)

При корректировке процентных ставок имеем



(2.9)

Иногда используется упрощенный расчет корректирующего множителя

(2.10)

где tg и td - средние сроки начисления процентов и векселей.

Чтобы можно было пользоваться формулами (2.4-2.10), когда период погашения платежей T не равен временной базе, к которой приурочены ставки g и d, период T выражают в виде дробной части этой базы и сами ставки умножают на величину T.

Пример. За товар стоимостью 400 тыс. руб. уплачено комплектом векселей, которые погашаются каждые полгода в течении полутора лет. Найти суммы, которые должны быть указаны в векселях, при годовой процентной ставке за кредит 8%, используя два варианта начисления процентов.

Имеем T=0,5; n=1,5/0,5=3; g=0,0080,5=0,04,

Пример. Определить скорректированные суммы векселей, которые будут уплачены за товар, стоимостью 1 млн. руб., если предполагается их погашение каждые полгода в течение двух лет, при этом банк производит начисление процентов за кредит на остаток долга по годовой ставке 10%, а учитывает векселя по годовой ставке 12%.

Имеем T=0,5; n=4; g=0,10,5=0,05; d=0,120,5=0,06,

Пример. Найти скорректированную процентную ставку g* (проценты начисляются на погашаемую часть долга) и скорректированные суммы векселей, которыми будет оплачен товар стоимостью 200тыс.руб., если векселя погашаются ежегодно в течении 3лет, а ставка банка равна 11%.

Имеем T=1; n=3; d=0,11,

3. Приведенные совокупные расходы покупателя.

Приведенные расходы покупателя, связанные с погашением векселей:

а) проценты начисляются на остаток долга

(2.11)

б) проценты начисляются на погашаемую часть долга

(2.12)

Пример. Найти современную величину расходов покупателя, который заплатил за товар стоимостью 600тыс.руб. комплектом векселей, которые он должен погашать ежеквартально в течении 2 лет, если банк берет за кредит проценты на остаток долга по годовой ставке 12%, учитывает векселя по ставке 10%, а ставка на рынке 9%.

Имеем T=1/4, n=2/(1/4)=8; g=0,12(1/4)=0,03; d=0,1(1/4)=0,025; ic=0,09(1/4)=0,0225, =(1+0,0225)-1=0,978,

4. Доходность банка при форфейтной сделке.

Оценка доходности долгосрочной кредитной операции производится с помощью сложной процентной ставки полной доходности g0, при которой сумма всех приведенных расходов банка равна приведенной сумме доходов. Ставка полной доходности определяется из численного решения нелинейного уравнения: f(g0)=0, где:

а) проценты начисляются на остаток долга

(2.13)

б) проценты начисляются на погашаемую часть долга

(2.14)



Решение уравнений (2.13) и (2.14) можно провести одним из численных методов, например, методом Ньютона. В начале задается нулевое приближение g(0)0, а затем рассчитываются следующие приближения (g(k)0, k=1,2,...) с помощью рекурентного соотношения

(2.15)

до тех пор, пока не выполнится условие , где заданная точность определения ставки g0. После этого полагают g0=g(k+1)0.

3. Задания

Задание 1. Покупатель должен оплатить стоимость товара в P тыс. руб. портфелем векселей, которые погашаются p раз в году в течении m лет. На какие суммы выписаны векселя, если банк за предоставленный кредит берет проценты по годовой ставке g%, которые могут быть начислены: а) на остаток долга, б) на погашаемую сумму.

	P	g%	p	m		P	g%	p	m		P	g%	p	m
1	100	7	4	2	21	200	8	3	3	41	300	9	2	4
2	400	8	6	1	22	500	9	2	3	42	600	10	3	1,5
3	700	6	3	4	23	800	10	6	2	43	900	11	4	2
4	850	9	2	5	24	150	7	12	1	44	250	8	6	1
5	350	10	12	1	25	450	6	4	3	45	650	7	2	6
6	750	8,5	4	2,5	26	950	7,5	6	1,5	46	550	9,5	12	1
7	250	8,5	3	3	27	440	8,6	4	2,5	47	480	6,5	2	5
8	520	12	2	4	28	880	6	3	3	48	120	8,5	4	3
9	270	11	6	2	29	330	9,3	3	4	49	750	13	8	1,5
10	660	6,8	4	3	30	720	9,8	6	2	50	930	8,2	6	2
11	300	9	3	3	31	100	7	2	4	51	200	8	4	2
12	600	10	2	3	32	400	8	3	1,5	52	500	9	6	1
13	900	11	6	2	33	700	6	4	2	53	800	10	3	4
14	250	8	12	1	34	850	9	6	1	54	150	7	2	5
15	650	7	4	3	35	350	10	2	6	55	450	6	12	1
16	550	9,5	6	1,5	36	750	8,5	12	1	56	950	7,5	4	2,5
17	480	6,5	4	2,5	37	250	8,5	2	5	57	440	8,6	3	3
18	120	8,5	3	3	38	520	12	4	3	58	880	6	2	4
19	750	13	3	4	39	270	11	8	1,5	59	330	9,3	6	2
20	930	8,2	6	2	40	660	6,8	6	2	60	720	9,8	4	3

Задание 2. Какие суммы должны быть проставлены в векселях, которыми заплачено за товар, стоимостью P тыс. руб., если векселя погашаются p раз в году на протяжении m лет. Банк учитывает векселя по годовой ставке d%, а за кредит берет проценты по годовой ставке g% и проценты начисляются на: а) погашаемую часть долга, б) на остаток долга.

	d%	P	g%	p	m		d%	P	g%	p	m
1	8	150	7	12	1	31	9	330	9,3	6	2
2	7	450	6	4	3	32	11	720	9,8	4	3
3	9	950	7,5	6	1,5	33	12	100	7	4	2
4	10	440	8,6	4	2,5	34	10	400	8	6	1
5	7,5	880	6	3	3	35	9	700	6	3	4
6	9	330	9,3	3	4	36	11	850	9	2	5
7	10	720	9,8	6	2	37	12	350	10	12	1
8	8	100	7	2	4	38	7	750	8,5	4	2,5
9	6,5	400	8	3	1,5	39	8	250	8,5	3	3
10	9	700	6	4	2	40	5	520	12	2	4
11	11	850	9	6	1	41	8	270	11	6	2
12	12	350	10	2	6	42	7	660	6,8	4	3
13	10	750	8,5	12	1	43	9	300	9	3	3
14	9	250	8,5	2	5	44	10	600	10	2	3
15	11	520	12	4	3	45	7,5	900	11	6	2
16	12	270	11	8	1,5	46	9	250	8	12	1
17	7	660	6,8	6	2	47	10	650	7	4	3
18	8	550	9,5	12	1	48	8	550	9,5	6	1,5
19	5	480	6,5	2	5	49	6,5	480	6,5	4	2,5
20	7,5	120	8,5	4	3	50	11	120	8,5	3	3
21	10	750	13	8	1,5	51	12	750	13	3	4
22	9,5	930	8,2	6	2	52	10	930	8,2	6	2
23	8,5	200	8	4	2	53	9	300	9	2	4
24	7,5	500	9	6	1	54	11	600	10	3	1,5
25	9,3	800	10	3	4	55	8	900	11	4	2
26	6,6	150	7	2	5	56	5	250	8	6	1
27	7,8	450	6	12	1	57	7,5	650	7	2	6
28	8,2	950	7,5	4	2,5	58	10	200	8	3	3
29	9,1	440	8,6	3	3	59	9,5	500	9	2	3
30	5,5	880	6	2	4	60	8,5	800	10	6	2

Задание 3. О какой годовой процентной ставке кредита для оплаты товара стоимостью P тыс. руб. должен договариваться покупатель с банком и на какие суммы должны быть выписаны векселя, если кредит будет погашаться в течении m лет p раз в году, а банк учитывает векселя по годовой ставке d%, при этом проценты за кредит начисляются на: а) погашаемую часть долга, б) на остаток долга.

	P	d%	p	m		P	d%	p	m		P	d%	p	m
1	300	9	2	4	21	100	7	4	2	41	200	8	3	3
2	600	10	3	1,5	22	400	8	6	1	42	500	9	2	3
3	900	11	4	2	23	700	6	3	4	43	800	10	6	2
4	250	8	6	1	24	850	9	2	5	44	150	7	12	1
5	650	7	2	6	25	350	10	12	1	45	450	6	4	3
6	550	9,5	12	1	26	750	8,5	4	2,5	46	950	7,5	6	1,5
7	480	6,5	2	5	27	250	8,5	3	3	47	440	8,6	4	2,5
8	120	8,5	4	3	28	520	12	2	4	48	880	6	3	3
9	750	13	8	1,5	29	270	11	6	2	49	330	9,3	3	4
10	930	8,2	6	2	30	660	6,8	4	3	50	720	9,8	6	2
11	200	8	4	2	31	300	9	3	3	51	100	7	2	4
12	500	9	6	1	32	600	10	2	3	52	400	8	3	1,5
13	800	10	3	4	33	900	11	6	2	53	700	6	4	2
14	150	7	2	5	34	250	8	12	1	54	850	9	6	1
15	450	6	12	1	35	650	7	4	3	55	350	10	2	6
16	950	7,5	4	2,5	36	550	9,5	6	1,5	56	750	8,5	12	1
17	440	8,6	3	3	37	480	6,5	4	2,5	57	250	8,5	2	5
18	880	6	2	4	38	120	8,5	3	3	58	520	12	4	3
19	330	9,3	6	2	39	750	13	3	4	59	270	11	8	1,5
20	720	9,8	4	3	40	930	8,2	6	2	60	660	6,8	6	2

Задание 4. За товар стоимостью P тыс. руб. покупателем заплачено комплектом векселей, которые погашаются p раз в году в течении m лет, при этом банк выдает кредиты по годовой ставке g%, а учитывает векселя по годовой ставке d%. Найти современную величину расходов покупателя, если годовая процентная ставка на рынке ic%, а проценты начисляются на: а) остаток долга, б) на погашаемую часть долга.

	d%	P	g%	p	m	i%		d%	P	g%	p	m	i%
1	9	250	8	12	1	11	31	10	520	12	4	3	9
2	10	650	7	4	3	12	32	11	270	11	8	1,5	10
3	8	550	9,5	6	1,5	7	33	9	660	6,8	6	2	8
4	6,5	480	6,5	4	2,5	8	34	7	550	9,5	12	1	6,5
5	11	120	8,5	3	3	5	35	6	480	6,5	2	5	11
6	12	750	13	3	4	7,5	36	7	120	8,5	4	3	12
7	10	930	8,2	6	2	10	37	9	750	13	8	1,5	10
8	9	300	9	2	4	9,5	38	8,5	930	8,2	6	2	9
9	11	600	10	3	1,5	8,5	39	9,5	200	8	4	2	11
10	8	900	11	4	2	7,5	40	9,5	500	9	6	1	8
11	5	250	8	6	1	8	41	7	150	7	12	1	5
12	7,5	650	7	2	6	7	42	8	450	6	4	3	7,5
13	10	200	8	3	3	9	43	9,5	950	7,5	6	1,5	10
14	9,5	500	9	2	3	10	44	11	440	8,6	4	2,5	9,5
15	8,5	800	10	6	2	7,5	45	6,5	880	6	3	3	8,5
16	9	330	9,3	6	2	9	46	10	330	9,3	3	4	9
17	11	720	9,8	4	3	10	47	9	720	9,8	6	2	11
18	12	100	7	4	2	8	48	10	100	7	2	4	12
19	10	400	8	6	1	6,5	49	7,5	400	8	3	1,5	10
20	9	700	6	3	4	9	50	8	700	6	4	2	9
21	11	850	9	2	5	11	51	12	850	9	6	1	11
22	12	350	10	12	1	12	52	11	350	10	2	6	12
23	7	750	8,5	4	2,5	10	53	9	750	8,5	12	1	7
24	8	250	8,5	3	3	9	54	10	250	8,5	2	5	8
25	5	520	12	2	4	9,3	55	6	800	10	3	4	5
26	8	270	11	6	2	6,6	56	9	150	7	2	5	8
27	7	660	6,8	4	3	7,8	57	8	450	6	12	1	7
28	9	300	9	3	3	8,2	58	8	950	7,5	4	2,5	9
29	10	600	10	2	3	9,1	59	11	440	8,6	3	3	10
30	7,5	900	11	6	2	5,5	60	8,5	880	6	2	4	7,5



Лабораторная работа 9

Анализ эффективности инвестиций

1. Цель работы

1. Расчет чистого приведенного дохода инвестиционного проекта.

2. Расчет внутренней нормы доходности.

3. Расчет срока окупаемости инвестиционного проекта.

4. Расчет рентабельности в результате вложения инвестиций.

2. Краткие теоретические сведения

1. Основные положения количественного анализа инвестиционных процессов.

Разность между общим доходом G за определенный интервал времени и всеми расходами H, связанными с получением этого дохода, за тот же промежуток времени, называется чистым доходом : .

Инвестиционный анализ заключается в сравнении эффективности различных вариантов проектов обычно по следующим показателям: чистый приведенный доход, внутренняя норма доходности, срок окупаемости, рентабельность.

Расчет показателей основан на приведении доходов и расходов по различным инвестиционным проектам к одному и тому же моменту времени, с помощью процентной ставки, которая называется ставкой сравнения . Иногда ставку сравнения называют нормой рентабельности. В качестве ставки сравнения обычно берут среднюю ставку на рынке ip.

2. Показатели эффективности капиталовложений.

Чистый приведенный доход. Под чистым приведенным доходом , полученным за некоторое время n, понимают разность современных величин всех доходов Gk (k=1,...,n) и всех расходов (капиталовложений) Hk (k=1,...,n), принесших данный доход, за тоже самое время.

Если инвестиции Hk (k=1,...,n1) вкладываются в течение срока n1<n, а после срока n2 до срока n поступает прибыль от этих инвестиций Gk (k=n2+1,...,n), то чистый приведенный дохода от инвестиций рассчитывается по формуле

(2.1)

где - дисконтный множитель по ставке сравнения за один срок.

Когда инвестиции и доходы равномерны и дискретны, т.е. в конце соответствующих периодах времени расходы равны H0 и доходы равны G0, то имеем

(2.2)

В случае непрерывных вложений получаем:

(2.3)

где - непрерывная ставка сравнения (сила роста).

Пример: В производство каждые полгода вкладывается инвестиции в размере 500 тыс. руб. на протяжении четырех лет. Ожидаемая поквартальная прибыль от вложений начнется через год после их окончания и составит 800тыс. руб. Определить чистый приведенный доход через 7 лет, если ожидаемая норма рентабельности 9%.

Имеем две p - срочные ренты при m=1, H0=500000, p1=2, n1=4, G0=800000, p2=4, n2=5, n=7, =0,09; =(1+0,09)-1,

Внутренняя норма доходности. Внутренней нормой доходности называется процентная ставка g0 при которой приведенный, с помощью этой ставки, доход равен приведенной сумме расходов (инвестиций).

Методики расчета внутренней нормы доходности g0 различны и зависят от конкретного распределения по времени как инвестиций, так и доходов. В общем случае используется следующая формула

(2.4)

где Rk, (k=1,...,n)- элемент потока, включающий все виды доходов и все виды расходов в периоде k, - дисконтный множитель по ставке g0.

Если в элементе потока учитываются только инвестиционные расходы и доходы от этих инвестиций: Rk=Gk-Hk (k=1,...,n), где Gk - инвестиционные доходы, а Hk - инвестиционные расходы, n - срок для которого рассчитывается норма доходности, то из определения внутренней нормы доходности получаем

(2.5)



где - дисконтный множитель по ставке g0: =(1+g0)-1. Отсюда следует, что при ставке g0 приведенный чистый доход равен нулю.

Для нахождения величины g0 необходимо решать уравнение (2.4) или уравнение (2.5). Если приведенная сумма инвестиций равна , а доходы в течении срока n во все периоды (k=1,...,n) постоянны и равны G0, то на основании (9.5) можем записать следующее уравнение относительно неизвестной величины g0