Условие оптимальной стоимости продукта записывается как:

X1 •(784,8 или 959,2) + X2 •(468 или 572) + X3 •(279 или 341) + X4 •(139,5 или 170,5) + X5 •(76,5 или 93,5) + X6 •(45 или 55) + Y1 •(10,8 или 13,2) + Y2 •(23,4 или 28,6) + Y3 •(69,3 или 84,7) + Y4 •(151,2 или 184,8) + Y5 •(293,4 или 358,6)+ Y6 •(520,2 или 635,8) = 25000.

В результате трейдер рассчитывает оптимальные доли (X,Y), необходимые для построения структурированной бабочки - продажа волатильности, удовлетворяющие всем запросам клиента. Покупает и продает нужное количество опционов с учетом BID - ASK спрэда, заложенного в модель. Оптимальные доли коллов и путов представлены в табл. 4.7. и 4.8.:

Таблица 4.7. Оптимальные доли коллов продукта структурированная бабочка-продажа волатильности

Таблица 4.8. Оптимальные доли путов продукта структурированная бабочка-продажа волатильности

Характеристики продукта будут следующими:

1. Суммарная нетто - премия = 25000 рублей;

2. Cложная форма продукта, с четырьмя промежутками ограничения убытков для клиента, и прибыльная зона треугольной формы;

3. Максимальные выплаты при прогнозных цене M2= 8000 рублей равны: F (P,Q,Xoptimal1,Yoptimal1, M4 = 8000) = 20000 руб.

Прибыльная зона в диапазоне цен фьючерса на РАО «ЕЭС» составляет [7600;8500].

4. Ограничение потерь:

min M F (P,Q,Xopt.,Yopt., M) = F (P,Q,Xopt.,Yopt., M1 = 6000) = -65000 руб.,

min M F(P,Q,Xopt.,Yopt.,M)=F(P,Q,Xoptimal,Yoptimal,M2-3=6500-7000)=-52000 руб.,

min MF(P,Q,Xopt.,Yopt., M) = F (P,Q,Xopt.,Yopt., M5-6 = 9000-9500)=-52000 руб.,

min M F (P,Q,Xopt.,Yopt., M) = F (P,Q,Xopt.,Yopt., M7 = 8000) = - 65000 руб..

Графически выплаты продукта в зависимости от цены основного актива представлены следующим образом (рис. 4.3.):

Рис. 4.3. Cтруктурированная бабочка-продажа волатильности на основе котировок биржевых опционов на фьючерсы РАО «ЕЭС», торгуемых на FORTS: конечная денежная выплата по стратегии (ось Y) в зависимости от цены основного актива на момент исполнения опционов (ось X) с учетом уплаченной суммарной опционной нетто-премией

4.1.4 Структурированный стрэнгл - продажа волатильности на основе биржевых опционов на рынке FORTS

Исходные данные банка аналогичны случаю построения «пирамидальной» бабочки.

Исходные данные клиента следующие:

1. Инвестор ожидает падение волатильности относительно текущего уровня, при котором цена фьючерса на РАО «ЕЭС» Mnow= 8204 рублей через период Texpiry не измениться или будет находиться в некотором коридоре от 7200 до 8900 рублей. На ожидаемом диапазоне цен фьючерса на РАО «ЕЭС» є [7500;8500] рублей инвестор желает получить одинаковую максимальную денежную выплату;

2. Ограниченная защита от незначительного падения или роста цены основного актива. Уровень потерь при росте цены фьючерса до 9000 рублей или падении до 7000 рублей на промежутках цен фьючерса [6500;7000] и [9000;9500] должен быть ограничен величиной -15000 рублей;

3. Инвестиционный продукт, который хочет получить клиент, должен иметь отрицательную стоимость;

4. Инвестор желает получить наличными 15000 рублей в результате приобретения данного продукта.

Принципы построения структурированного стрэнгла - продажа волатильности и задача структурирования описаны в пункте 3.6.:

Укажем конкретный вид условий 3-4:

для промежутка 6000 - 6500: ? (Y2 +… + Y6) ? 0;

для промежутка 6500 - 7000: ? (Y3 +… + Y6) = 0;

для промежутка 7000 - 7500: ? (Y4 +… + Y6) ? 0;

для промежутка 7500 - 8000: X1 ? (Y5 + Y6) = 0;

для промежутка 8000 - 8500: X1 + X2 ? Y6 = 0;

для промежутка 8500 - 9000: X1 + X2 + X3 ? 0;

для промежутка 9000 - 9500: X1 + X2 + X3 + X4 = 0;

для промежутка 9500 -10000: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ? 0.

Возможность монетизации продукта записывается как:

X1 •(784,8 или 959,2) + X2 •(468 или 572) + X3 •(279 или 341) + X4 •(139,5 или 170,5) + X5 •(76,5 или 93,5) + X6 •(45 или 55) + Y1 •(10,8 или 13,2) + Y2 •(23,4 или 28,6) + Y3 •(69,3 или 84,7) + Y4 •(151,2 или 184,8) + Y5 •(293,4 или -358,6)+ Y6 •(520,2 или 635,8) = -15000.

В результате трейдер рассчитывает оптимальные доли (X,Y), необходимые для построения структурированного стрэнгла - продажа волатильности, удовлетворяющие всем запросам клиента. Покупает и продает нужное количество опционов с учетом BID - ASK спрэда, заложенного в модель. Оптимальные доли коллов и путов представлены в табл.4.9. и 4.10.:

Таблица 4.9. Оптимальные доли коллов продукта структурированный стрэнгл-продажа волатильности

Таблица 4.10. Оптимальные доли путов продукта структурированный стрэнгл-продажа волатильности

Характеристики продукта следующие:

1. Суммарная нетто - премия = -15000 рублей;

2. Cложная форма продукта с двумя промежутками ограничения убытков для клиента, и прибыльная зона в виде трапеции;

3. Максимальная выплата при прогнозном промежутке цен фьючерса на РАО «ЕЭС» є [7500; 8500] рублей равна:

F (P,Q,Xoptimal1,Yoptimal1, M8-9= 7500 - 8500) = 28333 руб.;

Прибыльная зона в диапазоне цен фьючерса на РАО «ЕЭС» є [7200;8900];

4. Ограничение потерь:

min M F(P,Q,Xopt.,Yopt., M) = F(P,Q,Xopt.,Yopt., M1-2=6500-7000)= ?15000 руб.,

min M F(P,Q,Xopt.,Yopt., M) = F(P,Q,Xopt.,Yopt., M6-7=9000-9500) = ?15000 руб.

Графически выплаты продукта в зависимости от цены основного актива можно представить на рис. 4.4.:

Рис. 4.4. Cтруктурированный стрэнгл - продажа волатильности на основе котировок биржевых опционов на фьючерсы РАО «ЕЭС», торгуемых на FORTS: конечная денежная выплата по стратегии (ось Y) в зависимости от цены основного актива на момент исполнения опционов (ось X) с учетом полученной суммарной опционной нетто - премией

4.1.5 Структурированная бабочка (бимодальный прогноз) - покупка волатильности на основе биржевых опционов на рынке FORTS

Исходные данные банка аналогичны случаю построения «пирамидальной» бабочки.

Исходные данные клиента будут следующими:

1. Инвестор ожидает значительного роста волатильности относительно текущего уровня, при котором цена фьючерса на РАО «ЕЭС» Mnow= 8204 рублей через период Texpiry упадет до первой прогнозной цены 6000 рублей или ниже, или вырастет до второй прогнозной цены 10000 рублей или выше.

На ожидаемых прогнозных ценах фьючерса на РАО «ЕЭС» 6000 рублей и 10000 рублей инвестор желает получить одинаковую максимальную денежную выплату;

2. Защита от падения или роста цены основного актива на различных уровнях:

а). Уровень максимальных потерь будет, когда цена фьючерса останется на уровне 8000 рублей. Максимальные ограничения должны быть ограничены величиной - 40000 рублей;

б). Уровень потерь при росте цены фьючерса до 8500 рублей или падении до 7500 рублей на промежутках цен фьючерса [6500;7000] и [8500;9500] должен быть ограничен величиной -10000 рублей;

3. Инвестиционный продукт, который хочет получить клиент, должен иметь отрицательную стоимость;

4. Инвестор желает получить наличными 3000 рублей в результате приобретения данного продукта.

Принципы построения структурированной бабочки-покупки волатильности и задача структурирования описаны в пункте 3.7.:

Укажем конкретный вид условий 3- 6:

для промежутка 0 - 6000: Y1 +… + Y6 = 0;

для промежутка 6000 - 6500: ? (Y2 +… + Y6) ? 0;

для промежутка 6500 - 7000: ? (Y3 +… + Y6) = 0;

для промежутка 7000 - 7500: ? (Y4 +… + Y6) = 0;

для промежутка 7500 - 8000: X1 ? (Y5 + Y6) ? 0;

для промежутка 8000 - 8500: X1 + X2 ? Y6 ? 0;

для промежутка 8500 - 9000: X1 + X2 + X3 = 0;

для промежутка 9000 - 9500: X1 + X2 + X3 + X4 = 0;

для промежутка 9500 - 10000: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ? 0;

для промежутка 10000 - +?: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 0,

Возможность монетизации продукта записывается как:

X1 •(784,8 или 959,2) + X2 •(468 или 572) + X3 •(279 или 341) + X4 •(139,5 или 170,5) + X5 •(76,5 или 93,5) + X6 •(45 или 55) + Y1 •(10,8 или 13,2) + Y2 •(23,4 или 28,6) + Y3 •(69,3 или 84,7) + Y4 •(151,2 или 184,8) + Y5 •(293,4 или 358,6)+ Y6 •(520,2 или 635,8) = -3000.

В результате трейдер рассчитывает оптимальные доли (X,Y), необходимые для построения структурированной бабочки - покупка волатильности, удовлетворяющие всем запросам клиента. Покупает и продает нужное количество опционов с учетом BID - ASK спрэда, заложенного в модель. Оптимальные доли коллов и путов представлены в табл. 4.11. и 4.12.:

Таблица 4.11. Оптимальные доли коллов опционного продукта-структурированная бабочка-покупка волатильности

Таблица 4.12. Оптимальные доли путов опционного продукта структурированная бабочка-покупка волатильности

Характеристики продукта будут следующими:

1. Суммарная нетто - премия = 3000 рублей;

2. Cложная форма продукта с двумя промежутками ограничения убытков для клиента и бимодальной прибыльной зоной;

3. Максимальная выплата достигается при двух прогнозных ценах фьючерса на РАО «ЕЭС» (0; 6000) рублей и (10000; + ?) рублей.

F (P,Q,Xoptimal1,Yoptimal1, M1= 6000) = 29043 руб.,

F (P,Q,Xoptimal2,Yoptimal2, M9= 10000) = 29043 руб.,

4. Ограничение потерь:

min M F(P,Q,Xopt.,Yopt., M) = F(P,Q,Xopt.,Yopt., M3-4= 6500 - 7500) = ? 10000 руб.,

min M F(P,Q,Xopt.,Yoptimal, M) = F(P,Q,Xopt.,Yopt., M5 = 8000) = ? 40000 руб.,

min M F(P,Q,Xopt.,Yopt., M) = F(P,Q,Xopt.,Yopt., M6-7 = 8500-9500) = ?10000 руб.

Графически выплаты продукта в зависимости от цены основного актива можно представить следующим образом (см. рис. 4.5.):



Рис. 4.5. Структурированная бабочка-покупка волатильности на основе котировок биржевых опционов на фьючерсы РАО «ЕЭС», торгуемых на FORTS: конечная денежная выплата по стратегии (ось Y) в зависимости от цены основного актива на момент исполнения опционов (ось X) с учетом полученной суммарной опционной нетто - премией

4.2 Оценка внебиржевых европейских опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»

Для корректной оценки выпускаемых внебиржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» трейдеру банка необходимо знать исходные данные или величины, которые можно найти с помощью анализа различных данных. Исходную величину текущей рыночной цены спот M можно «подкачивать» из торгового терминала FORTS или информационной системы REUTERS. Время жизни опциона - T легко подсчитать, зная дату заключения сделки по опционному продукту и дату его исполнения. Один из вариантов подсчета безрисковой процентной ставки приводиться далее в п. 4.2.1. Страйки выпускаемых внебиржевых опционов заранее неизвестны, так же как и значения функции уклона волатильности им соответствующие. В результате получаем на исходные данные трейдера на 01.04.05:

M=8204 рублей - текущая рыночная цена на фьючерс РАО «ЕЭС»;

S - «плавающий» страйк внебиржевого опциона на фьючерс РАО «ЕЭС» заранее неизвестен и определяется в результате решения задачи линейной оптимизации;

R - безрисковая ставка процента, нахождение ставки см. в пункте 4.2.1.;

V(S)- значение функции волатильности V(S) при определенном страйке опциона S, моделирование самой функции уклона волатильности V(S) можно найти в п. 4.2.2..

4.2.1 Моделирование безрисковой ставки на основе пут - колл паритета биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» на момент оценки внебиржевых опционов

Безрисковая ставка находиться согласно процедуре описанной в п. 2.7..

Сравним страйки биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» по состоянию на 01.04.05 с целью нахождения одинаковых страйков.

Страйки биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» представлены множеством SC:

SC = (7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000),

Страйки биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС» представлены множеством SP:

SP = (6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500),

На 01 апреля 2005 г. существуют три пары опционов колл и пут с одинаковыми страйками:

SC1 = SP4 = 7500 руб.,

SC2 = SP5 = 8000 руб.,

SC3 = SP6 = 8500 руб.,

Используя обозначения и символы, применяемые в диссертационном исследовании запишем формулу колл - пут паритета (26) в следующем виде:

, (176)

где:

Pi - текущая рыночная стоимость опциона колл cо страйком Si;

Qi - текущая рыночная стоимость опциона колл cо страйком Si;

Si - одинаковый страйк биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»;

T - время жизни опциона выраженное в доле от 1 года (кол-во дней жизни опциона/365 дней в году);

M - текущая цена фьючерса на РАО «ЕЭС»;

R - безрисковая ставка, используемая при дисконтировании страйка Si.

Средневзвешенные котировки премий биржевых опционов колл и пут с учетом одинаковых страйков запишем в виде таблицы:

	SC1 = SP4 = 7500	SC2 = SP5 = 8000	SC3 = SP6 = 8500
Премии опционов колл (Pi)	872	520	310
Премии опционов пут (Qi)	168	326	578

Таблица 4.13. Средневзвешенные опционные премии биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» с одинаковыми страйками на 01.04.05

Зная одинаковые страйки биржевых опционов колл и пут Si , величины их текущих котировочных премий Pi и Qi , время жизни опционов T и текущую цену фьючерса M нетрудно записать выражения пут-колл паритетов для трех пар биржевых опционов с одинаковыми страйками.

Для страйка SC1 = SP4 = 7500 рублей: 872+7500•e-R•0,19=168+8204

Для страйка SC2 = SP5 = 8000 рублей: 520+8000•e-R•0,19=326+8204

Для страйка SC3 = SP6 = 8500 рублей: 310+8500•e-R•0,19=578+8204

Решением этих уравнений будут три различные безрисковые процентные ставки. Запишем их в виде множества R:

R = (0%; -0,7%; 1,74%)

Безрисковая процентная ставка не может быть различной для одного срока инвестирования, поэтому на биржевом рынке опционов наблюдается диспаритет цен опционов колл и пут.

В целях оценки внебиржевых опционов и нахождения функции уклона волатильности будем использовать среднее значение трех найденных процентных ставок:

.

Которая будет в дальнейшем использоваться при моделировании функции уклона волатильности в п. 4.2.2. и оценки выпускаемых внебиржевые опционы при оптимизации новых опционных продуктов в п.4.3..

4.2.2 Моделирование функции уклона волатильности на основе биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» в момент оценки внебиржевых опционов

Функция уклона волатильности находиться согласно процедуре описанной в п. 2.8..

Котировочные величины премий биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» с одной датой экспирации и соответствующие им страйки по состоянию на 01.04.05 таковы:

Для опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»:

P = (872, 520, 310, 155, 85, 50),

SC = (7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000),

Для опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

Q = (12, 26, 77, 168, 326, 578),

SP = (6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500).

Исходные данные для нахождения внутренних волатильностей биржевых опционов представлены следующим образом:

«с» - в случае нахождения внутренней волатильности для биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»;

«p» - в случае нахождения внутренней волатильности для биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»;

M = 8204 рублей;

S -страйк из множества страйков биржевых опционов колл SC;

S= или

S- страйк из множества страйков биржевых опционов пут SP;

T = 0,19 (69 дней/365 дней в году);

R = 0,347%;

Pi - котировочная премия биржевого опциона колл;

СM=

Qi- котировочная премия биржевого опциона пут;

По процедуре Ньютона - Рафсона с помощью встроенной функции Newton RaphsonCollectorVol («с» или «p»; M; S; T; R; P) находим внутренние волатильности для каждого биржевого опциона:

Для биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»:

VC1= Newton RaphsonCollectorVol («с»;8204;7500;0,19; 0,00347;872) = 31,42%;

VC2= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;8000;0,19;0,00347;520) = 28,98%;

VC3= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;8500;0,19;0,00347;310) = 30,41%;

VC4= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;9000;0,19;0,00347;155)= 26,69%;

VC5= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204; 9500;0,19;0,00347;85) = 31,09%;

VC6= Newton RaphsonCollectorVol («с»; 8204;10000;0,19;0,00347;50) = 32,96%.

Для биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

VP1= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;6000;0,19;0,00347;12) = 37,56%;

VP2= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;6500;0,19;0,00347;26) = 33,92%;

VP3= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;7000;0,19;0,00347;77) = 33,57%;

VP4= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;7500;0,19;0,00347; 168) = 31,87%;

VP5= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;8000;0,19;0,00347;326) = 30,09%;

VP6= Newton RaphsonCollectorVol («p»;8204;8500;0,19;0,00347;578) = 28,8%.

В результате запишем множество внутренних волатильностей VC для биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»:

VC = (31,42%, 29,98%, 30,41%, 26,69%, 31,09%, 32,96%),

И множество внутренних волатильностей VP для биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

VP = (37,56%, 33,92%, 33,57%, 31,87%, 30,09%, 28,8%).

В табличном виде страйки и соответствующие им волатильности биржевых опционов колл и пут представлены следующим образом:

Страйки биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» (SP,Sc)	Внутренние волатильности биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС» (VP)	Внутренние волатильности биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»(VC)
6000(0,6)	37,56%
6500(0,65)	33,92%
7000(0,7)	33,57%
7500(0,75)	31,87%	31,42%
8000(0,8)	30,09%	28,98%
8500(0,85)	28,80%	30,41%
9000(0,9)		29,69%
9500(0,95)		31,09%
10000(1)		32,96%

Таблица 4.14. Внутренние волатильности биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» в зависимости от страйка по состоянию на 01.04.05

В графическом представлении множества внутренних волатильностей выглядят следующим образом:



Рис. 4.6. Внутренние волатильности биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» в зависимости от страйков биржевых опционов по состоянию на 01.04.05

Используя линейную аппроксимацию через свойство «Формат линии тренда» в программном продукте EXCEL можно найти и построить несколько функции характеризующих общее множество волатильностей. Получаем следующие варианты функций уклона волатильности биржевых опционов в зависимости от страйков опционов колл и пут:

1. Линейная функция уклона волатильности со степенью n = 1 в зависимости от уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов (рис. 4.7.):

V(S/104) = -0,125•(S/104) + 0,417 c R2 = 0,3508,



Рис. 4.7. Линейная функция уклона волатильности V(S) в зависимости уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»

2. Квадратичная функция внутренней волатильности cо степенью n=2 в зависимости от уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов (см. рис. 4.8.):

V(S/104) = 1,2713•(S/104)2 - 2,1591•(S/104) + 1,2142 с R2 = 0,9211,



Рис. 4.8. Квадратичная функция уклона волатильности V(S) cо степенью n=2 в зависимости уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»

3. Кубическая функция внутренней волатильности cо степенью n=3 в зависимости от уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов (рис. 4.9.):

V(S/104) = 0,0018•(S/104)3 - 0,0311•(S/104)2 +0,1295•(S/104) + 0,3208

с R2 = 0,9336.



Рис. 4.9. Кубическая функция уклона волатильности V(S) cо степенью n=3

Совместив три возможные функции уклона волатильности на одном графике, но, заменив уменьшенный страйки на обычные можно получить более наглядную картину возможных функций уклона волатильности V(S):

Рис. 4.10. Возможные функции уклона волатильности V(S) c различными степенями

Критерием при выборе функции уклона волатильности будет значение «R2». В данном случае следует выбрать функцию уклона волатильности V(S) со степенью n=2, то есть параболу, так как у квадратичной и кубической функции почти одинаковый «R2»: 0,9211 и 0,9336, что намного больше «R2» линейной функции-0,3508. А так как увеличение степени многочлена существенно не улучшает «R2» , то следует выбрать квадратичную функции уклона волатильности (cм. п. 2.8.).

Результат: при оценке выпускаемых внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» на 01.04.05 будем использовать следующее уравнение функции уклона волатильности для нахождения внутренней волатильности для различных страйков на промежутке страйков S є [6000;10000]:

V(S/104) = 1,2713•(S/104)2 - 2,1591•(S/104) + 1,2142

4.3 Оптимизация «бычьего» структурированного коллара

Предположим трейдер банка решает оптимизировать или реструктуризировать еще не реализованный Предполагается, что заявки на покупки или продажу 12 типов опционов составляющих «бычий» структурированный коллара еще не выставлены в систему торгов опционами на FORTS. клиенту и не составленный на ранке FORTS опционный продукт - «бычий» структурированный коллар, составленный из двенадцати биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС», исходя из предпосылок оптимизации опционных продуктов (см. раздел 2.9.), путем замены одного вида биржевого опциона с стандартным страйком на внебиржевой опцион с «плавающим страйком». Оптимизация «бычьего» структурированного коллара производиться для получения большей денежной выплаты при прогнозной цене.

Исходные данные банка аналогичны случаю построения обычного «бычьего» структурированного коллара, за исключением условий, связанных с заменой биржевого опциона на внебиржевой.

Измененные условия будут выглядеть следующим образом:

1. Предположим, что трейдер меняет биржевой опцион колл с максимальным страйком SC6 на внебиржевой опцион колл со страйком SOC6, хотя можно заменить любой биржевой опцион колл или пут;

2. Спецификация страйков биржевых и внебиржевых опционов колл и пут на 1 апреля 2005 г. становиться следующей:

а) Страйк одного выпускаемого внебиржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» будет заранее не известен, но возможный интервал плавающего страйка задается страйком SC6=10000 рублей и величиной W=300 рублей, но так как выпускаемые опционы могут иметь страйки только на промежутке S є [6000;10000], то возможный интервал «плавающего» страйка будет следующим:

10000 рублей - 300 рублей? SOC6 ? 10 000 рублей,

или

9700 рублей ? SOC6 ? 10000 рублей,

б) Страйки 5-и биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» остаются без изменений:

SC = (7500, 8000, 8500, 9000, 9500),

в) Страйки 6-и биржевых опционов путов на фьючерс РАО «ЕЭС» также остаются без изменения:

SP = (6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500).

3. Котировочные величины премий биржевых колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» по состоянию на 01.04.05 остаются без изменений за исключений премии внебиржевого опциона колл с плавающим» страйком SOC6 и внутренней волатильностью V(SOC6), зависящей от страйка внебиржевого опциона. Запишем премию внебиржевого опциона с плавающим страйком SOC6 в виде VBA кода для оценки опциона колл, с учетом BID - ASK спрэда:

 0,9•BSCallValue(8204,SOC6,0,00347,0,19,V(SOC6)),для BIDa, POC6 =

1,1•BSCallValue (8204,SOC6,0,00347,0,19,V(SOC6)), для АSKa.

4. Текущая стоимость фьючерса на РАО «ЕЭС» остается без изменений:

Mnow = 8204 рублей.

5. Трейдер банка может купить, продать или выпустить не больше E=10 биржевых или внебиржевых опционов с одним страйком;

6. Трейдер банка может составить опционную стратегию из данных 5 биржевых коллов, 6 биржевых путов и 1 внебиржевого опциона колл с «плавающим» неизвестным страйком SOC6 . В общем виде (с неизвестными пока количествами опционов) ее можно записать следующим образом:

F(P,Q,X,Y,M) = X1• (? (784,8 или 959,2) + max (M?7500;0)) + X2• (? (468 или 572) + max (M?8000;0)) + X3• (? (279 или 341) + max (M ? 8500;0)) + X4• (? (139,5 или 170,5) + max (M?9000;0)) + X5• ( ? (76,5 или 93,5) + max (M ? 9500;0)) + XOC6•( ? (0,9 • BSCallValue (8204, SOC6, 0,00347, 0,19, VC6(SOC6)) или 1,1• BSCallValue (8204, SOC6, 0,00347, 0,19, VC6(SOC6)) + max (M ? SOC6;0)) + Y1•( ? (10,8 или 13,2) + max (6000?M;0)) + Y2• (? (23,4 или 28,6) + max (6500 ? M;0)) + Y3• (? (69,3 или 84,7) + max (7000 ? M;0)) + Y4• ( ? (151,2 или 184,8) + max (7500 ? M;0)) + Y5•( ? (293,4 или 358,6) + max (8000 ? M;0)) + Y6•(? (520,2 или 635,8) + max (8500 ? M;0)).

Исходные данные клиента, задача оптимизации и конкретный вид условий 3 - 6 остаются без изменений:

В результате трейдер рассчитывает оптимальные доли (X,Y), необходимые для построения оптимизированного «бычьего» структурированного коллара, удовлетворяющего всем запросам клиента. Затем он покупает и продает нужное количество 11 биржевых опционов с учетом BID - ASK спрэда, заложенного в модель и выпускает 1 внебиржевой опцион колл со страйком SOC6, значением волатильности V(SOC6) и опционной премии POC6 полученными в результате решения задачи оптимизации.

В табличном виде доли 11 биржевых и 1 внебиржевого опционов с учетом оптимального страйка SOC6 выглядят следующим образом:

Таблица 4.17. Доли коллов оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Таблица 4.18. Доли путов оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Оптимальная величина страйка: SOC6 =9700 руб.

Значение волатильности:V (SOC6=9700 руб.)=31,60 %.

Оценочная величина внебиржевого европейского опциона колл со страйком 9700 рублей и внутренней волатильностью 31,60% V(0,97)=1,2713·(0,97)² -2,1591·(0,97)+1,2142=0,3160 или 31,60%.:

POC6= BSCallValue (8204, 9700, 0,00347, 0,19, 0,3160) = 67 рублей.

С учетом BID - ASK спрэда:

0,9 • BSCallValue (8204, 9700, 0,00347, 0,19, 31,49%) =60, для BIDa,

POC6 =

1,1 • BSCallValue (8204, 9700, 0,00347, 0,19, 31,49%) =73, для АSKa.

Характеристики оптимизированного продукта отличаются от обычного «бычьего» структурированного коллара большей величиной максимальных денежных выплат при прогнозной цене ME = 9500 рублей задаваемой клиентом:

F (P,Q,Xoptimal,Yoptimal, ME= 9500) = 13297 руб.

Выплаты по оптимизированному продукту в зависимости от цены основного актива представлены на рисунке 4.11.:

Рис. 4.11. Оптимизированный «бычий» структурированный коллар на основе котировок одиннадцати биржевых опционов на фьючерсы РАО «ЕЭС», торгуемых на FORTS и одного внебиржевого опциона также на фьючерс РАО «ЕЭС»: конечная денежная выплата по стратегии (ось Y) в зависимости от цены основного актива на момент исполнения опционов (ось X)

В результате оптимизации максимальная денежная выплата опционного продукта «бычий» структурированный коллар увеличилась на 366 рублей до 13297 рублей без изменения структуры конечных денежных выплат и сохранении всех запросов, который поставил клиент. Положительный эффект оптимизации происходит за счет эффекта изменения страйка опциона с 10 000 рублей до 9700 рублей (см. таблицу 3.1.). В результате уменьшения страйка появляется отрицательный эффект уклона волатильности (см. таблицу 1.3.) выпускаемого внебиржевого опциона колл и соответственно его стоимости, так как изначально первоначальный биржевой опцион колл с страйком 10 000 рублей продавался, то денежная позиция короткого внебиржевого опциона колл со страйком 9700 рублей уменьшиться из-за уменьшения волатильности согласно функции уклона волатильности V(S), n=2 полученной в п. 4.2.2., но положительный эффект изменения страйка будет превалировать и происходит увеличение максимальной денежной выплаты при прогнозной цене 9500 рублей.

Трейдер банка решает оптимизировать пока еще не реализованный и не предложенный опционный продукт - «бычий» структурированный коллар, составленный из 12-ти биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» исходя из предпосылок оптимизации опционных продуктов (см. раздел 3.10.), путем возможной замены всех биржевых опционов со стандартными страйками на внебиржевые опционы, с «плавающими» страйками полученными в результате решения задачи линейной оптимизации.

Исходные данные банка в случае замены всех биржевых опционов аналогичны случаю оптимизации «бычьего» структурированного коллара с заменой одного типа опционов:

1. Трейдер решает заменить все биржевые опционы колл и пут на внебиржевые опционы;

2. Спецификация страйков биржевых и внебиржевых опционов колл и пут на 1 апреля 2005 г. становиться следующей:

а) Неизвестные страйки 6-ти внебиржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» заданы множеством SOC:

SOC = (SOC1, SOC2, SOC3, SOC4, SOC5, SOC6),

б) Неизвестные страйки 6-ти внебиржевых опционов путов на фьючерс РАО «ЕЭС» заданы множеством:

SOP = (SOP1, SOP2, SOP3, SOP4, SOP5, SOP6).

в) Максимальное увеличение или уменьшение каждого плавающего страйка внебиржевых опционов колл и пут из множеств SOC и SOP относительно страйков стандартных биржевых опционов колл и пут из множеств SC и SP определяется величиной W=200 рублей.

Величина W должна быть меньше любой разницы между страйками стандартных биржевых опционов колл или пут для сохранения монотонности возрастания «бычьего» структурированного коллара:

W< (SCi - SCj) = 200 рублей,

где SCi < SCj , i,j = 1…6;

W< (SPi - SPj) = 200 рублей.

где SPi < SPj ,i,j = 1…6;

г) Страйки выпускаемых внебиржевых опционов должны находиться в интервале от минимального страйки до максимального страйка стандартных биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»:

SOC,SOP [6000 рублей;10000 рублей],

Интервалы значения 6-ти страйков внебиржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» будут следующими:

7300 рублей ? SOC1 ? 7700 руб.,

7800 рублей ? SOC2 ? 8200 руб.,

8300 рублей ? SOC3 ? 8700 руб.,

8800 рублей ? SOC4 ? 9200 руб.,

9300 рублей ? SOC5 ? 9700 руб.,

9800 рублей ? SOC6 ? 10000 руб.

Интервалы значения 6-ти страйков внебиржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

6000 рублей ? SOP1 ? 6200 руб.,

6300 рублей ? SOP2 ? 6700 руб.,

6800 рублей ? SOP3 ? 7200 руб.,

7300 рублей ? SOP4 ? 7700 руб.,

7800 рублей ? SOP5 ? 8200 руб.,

8300 рублей ? SOP6 ? 8700 руб..

3. Величины премий 6-ти внебиржевых опционов колл и 6-ти внебиржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС» по состоянию на 01.04.05., определяются с помощью встроенной функции с помощью VBA кода по формуле Блэка - Шоулса. Каждая премия внебиржевых опционов зависит от страйка из множества страйков внебиржевых опционов колл SOC или пут SOP, а также от соответствующей каждому страйку значению функции уклона волатильности для коллов VC (SOC) и путов VP (SOP). С учетом BID - ASK спрэда премию выглядят следующим образом:

Для внебиржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС»:

0,9 •BSCallValue (8204, SOC1, 0,00347, 0,19, V(SOC1)) для BIDa,

POC1 =

1,1•BSCallValue (8204, SOC1, 0,00347, 0,19, V (SOC1)) для АSKa,

0,9 • BSCallValue (8204, SOC6, 0,00347, 0,19, V (SOC6)) для BIDa,

POC6 =

1,1 • BSCallValue (8204, SOC6, 0,00347, 0,19, V (SOC6)) для АSKa.

Для внебиржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»:

0,9 •BSPutValue (8204,SOP1,0,00347,0,19,V (SOP1)) для BIDa,

QOP1 =

1,1•BSPutValue (8204,SOP1,0,00347,0,19,V (SOP1)) для АSKa,

0,9 • BSPutValue (8204, SOP6,0,00347,0,19,V (SOP6)) для BIDa,

QOP6 =

1,1• BSPutValue (8204, SOP6,0,00347,0,19,V (SOP6)) для АSKa.

4. Текущая стоимость фьючерса на РАО «ЕЭС» остается без изменений:Mnow =8204 рублей;

5. Трейдер банка может выпустить не больше E=10 внебиржевых опционов с одним страйком;

6. Трейдер банка может составить опционную стратегию (175) из данных 6-ти внебиржевых опционов коллов, 6-ти внебиржевых опционов пут с «плавающими» неизвестными страйками. В общем виде (с неизвестными пока количествами опционов и величинами страйков) ее можно записать следующим образом:

F(P,Q,X,Y,M)=XOC1•(?(0,9•BSCallValue (8204,SOC1,0,00347,0,19,V(SOC1)) или 1,1•BSCallValue (8204,SOC1,0,00347,0,19,V(SOC1)))+max(M?SOC1;0)) +…+ XOC6•(?(0,9•BSCallValue (8204,SOC6,0,00347,0,19,V(SOC6)) или 1,1•BSCallValue (8204,SOC6,0,00347,0,19,V(SOC6)))+max(M?SOC6;0))+YOP1•(?(0,9•BSPutValue (8204, SOP1,0,00347,0,19,V(SOP1)) или 1,1•BSPutValue (8204,SOP1, 0,00347,0,19,

V (SOP1))) + max (SOP1?M; 0)) +…+ YOP6• (? (0,9 • BSPutValue (8204, SOP6,

0,00347,0,19,V(SOP6)) или 1,1•BSPutValue(8204,SOP6,0,00347,0,19,V(SOP6))) + max(SOP6?M;0)).

Исходные данные клиента, задача оптимизации и конкретный вид условий 3 - 6 остаются без изменений, кроме величины монетизации, которую трейдер решает увеличить с 1000 рублей до 7000 рублей.

Решая задачу линейного программирования в EXCEL трейдер может получить оптимальные страйки (SOCi,SOPi), внутренние волатильности (VOCi,VOPi), премии (POCi,QOPi) и доли (Xi,Yi) внебиржевых опционов колл и пут необходимые для построения оптимизированного «бычьего» структурированного коллара, удовлетворяющего всем запросам клиента с учетом BID-ASK спрэда, заложенного в модель.

В табличном виде страйки SOCi и SOPi; волатильности VOCi и VOPi; премии POCi и QOPi; доли Xi и Yi внебиржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» выглядят следующим образом:

Таблица 4.17. Страйки 6-ти внебиржевых опционов колл оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Таблица 4.18. Страйки 6-ти внебиржевых опционов пут оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар



Таблица 4.19. Волатильности для подсчета премий 6-ти внебиржевых опционов колл оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Таблица 4.20. Волатильности для подсчета премий 6-ти внебиржевых опционов пут оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Таблица 4.21. Оценочные премии 6-ти внебиржевых опционов колл оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Таблица 4.22. Оценочные премии 6-ти внебиржевых опционов пут оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Таблица 4.23. Оптимальные доли и страйки коллов оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Таблица 4.24. Оптимальные доли и страйки путов оптимизированного продукта «бычий» структурированный коллар

Характеристики продукта:

Характеристики оптимизированного продукта отличаются от биржевого «бычьего» структурированного коллара большей величиной максимальных денежных выплат при прогнозной цене ME = 9500 рублей и большей величиной монетизации. Укажем конкретный вид измененных характеристик «бычьего» (1. и 3.) структурированного коллара:

1. Суммарная нетто-премия = -7000 руб. или монетизация (получение денежных средств сразу), на сумму 7000 руб.;

3. При росте цены фьючерса на акции РАО «ЕЭС» до прогнозной цены ME•= 9500 руб. максимальная выплата равна:

F (P, Q, Xoptimal, Yoptimal, ME= 9500) = 21946 руб. с учетом монетизации.

Графически выплаты продукта оптимизированного «бычьего» структурированного коллара основанного на 12-ти внебиржевых опционах в зависимости от цены основного актива можно представить следующим образом:



Рис. 4.12. Оптимизированный «бычий» структурированный коллар на основе 6-ти внебиржевых опционов колл и 6-ти внебиржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС»

В результате оптимизации максимальная денежная выплата опционного продукта «бычий» структурированный коллар увеличилась на 9015 рублей до 21946 рублей (почти в 2 раза), а величина монетизации увеличилась с 1000 рублей до 7000 рублей, при сохранении всех запросов, который поставил клиент. Положительный эффект оптимизации происходит за счет эффекта изменения двенадцати страйков опционов.

В результате изменения страйков двенадцати опционов появляется смешанный суммарный эффект уклона волатильности. В некоторых случаях при изменения страйков данный эффект положителен, а в некоторых отрицательный.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Основным теоретическим результатом данного диссертационного исследования является разработка инструментария и методов построения/оптимизации сложных опционных продуктов на российском фондовом рынке Реализация данного подхода возможна и на других фондовых и финансовых рынках (см. 6 пункт выводов). на основе биржевых и внебиржевых опционов с учетом уклона волатильности и единой безрисковой ставки.

В результате проведенного исследования были получены следующие положения, выносимые на защиту:

1. Развит инструментарий и методы, которые позволяют получить сложные опционные продукты на фондовом рынке, оптимальным образом удовлетворяющие целям клиента;

2. Для управления портфелем обычных опционов возможен и результативен подход построения опционных продуктов основанный на нахождении портфеля биржевых опционов Подход аналогичный «современной теории портфеля» Марковица (1952). (из всего множества возможных портфелей) с долями отдельных опционов, найденными в результате решения задачи линейной оптимизации конечных денежных выплат с ограничениями на стоимость и задаваемую структуру максимальных потерь;

3. Развит и практически реализован метод улучшения характеристик опционных продуктов для увеличения максимальных конечных денежных выплат и величины монетизации (уменьшение стоимости) продуктов за счет замены биржевых опционов в портфеле на внебиржевые опционы;

4. Предложенный инструментарий и методы позволяют эффективно использовать возможность выпуска внебиржевых опционов (когда она имеется) с учетом зависимости внутренней волатильности от страйка выпускаемых опционов (эффект уклона волатильности) для целей оптимизации опционных продуктов.

К практическим результатам исследования можно отнести разработку семейства новых опционных продуктов: структурированные коллары, «пирамидальную» бабочку, структурированные бабочки, структурированные стрэддлы, структурированный стрэнгл представляют собой диверсифицированные портфели биржевых или смешанных (биржевых и внебиржевых) опционов на фьючерс РАО «ЕЭС», доли которых находятся путем решения задачи линейной оптимизации.

Дальнейшие исследования по этой тематике целесообразно проводить по следующим направлениям:

1. Построение сложных структурированных опционных продуктов на основе биржевых, внебиржевых опционов с неограниченным количеством страйков;

2. Использование разработанных методов оптимизации для улучшения различных характеристик опционных стратегий и продуктов;

3. Применение предложенного инструментария и методов построения сложных опционных продуктов на основе портфеля экзотических и обычных/экзотических опционов;

4. Хеджирование различных видов опционов (в том числе экзотических) с помощью разработанной методологии построения сложных опционных продуктов;

5. Исследования в области адаптации разработанного инструментария и методов при разработке деривативов и структурных продуктов на различные активы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1: VBA КОД ДЛЯ ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ ПО ФОРМУЛЕ БЛЭКА-ШОУЛСА

Function BSCallValue (M,S,R,T,V) Dim ert, eqt Dim D One, D Two, ND One, ND Two ert = Exp (-R*T) D One=(Log (M/ S) (R + 0.5*V ^2)*T) / (V *Sqr(T)) D Two=(Log (M/S) +(R -0.5 * V^2) *T)/(V*Sqr (T)) ND One=Application. Norm S Dist (D One) ND Two=Application. Norm S Dist (D Two) BSCallValue=(M*eqt*ND One-S *ert*ND Two) End Function.	Function BSPutValue (M,S,R,T,V) Dim ert, eqt Dim D One, D Two, ND One, ND Two ert = Exp (-R*T) D One=(Log(M/S) + (R+0.5*V ^2)*T) / (V* Sqr(T)) D Two=(Log(M/S) + (R-0.5*V^2)*T)/(V* Sqr(T)) ND One=Application. NormS Dist (- D One) ND Two=Application. Norm S Dist (- D Two) BSPutValue= (-M*eqt*NDOne+S*ert*ND Two) End Function.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2: VBA КОД НАХОЖДЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА-РАФСОНА

Function Newton Raphson Collector Vol (Call Put Flag As String, M As Double, _

S As Double, T As Double, R As Double, CM As Double) As Double

Dim vi As Double, ci As Double

Dim Vegai As Double, epsilon As Double

Dim counter As Integer, z As Integer

z = 1

If Call Put Flag = "p" Then z = - 1

vi = z * (Abs (Log (M / S) + R * T) * 2 / T) ^ 0.5

ci = z * Black Scholes (M, S, T, R, vi)

Vegai = z * Black Scholes Vega (M, S, T, R, vi)

epsilon = 0.000000000001

counter = 0

While Abs (CM - ci) > epsilon

counter = counter + 1

If counter > 30 Then

Exit Function

End If

vi = vi - (ci - CM) / Vegai

ci = z * Black Scholes (M, S, T, R, vi)

Vegai = z * Black Scholes Vega (M, S, T, R, vi)

Wend

Newton Raphson Collector Vol = z * vi

End Function

Public Function BlackScholesVega (M, S, T, R, v)

Dim d1 As Double

d1 = (Log (M / S) + (R + v ^ 2 / 2) * T) / (v * Sqr (T))

Black Scholes Vega = Exp (- d1 ^ 2 / 2) * M * Sqr (T) / Sqr (2 * Application. Pi))

End Function

Public Function Black Scholes (M, S, T, R, v)

Dim d1 As Double

d1 = (Log (M / S) + (R + v ^ 2 / 2) * T) / (v * Sqr (T))

Black Scholes = M * Application. Norm S Dist (d1) - S * Exp (- R * T) * Application. Norm S Dist (d1 - v * Sqr (T))

End Function

ЛИТЕРАТУРА

Антонов П. Роль и значение производных инструментов в экономике страны и особенности развития срочного рынка в России// Управление финансовыми рисками.-2005.- N1.

Антонов П. Экономическая эффективность несовершенных видов хеджирования производных инструментов// Диссертация, 2004.

Аристотель. Политика.- М.: Издательство АСТ, 2002.-394 с.

Базовый курс по рынку ценных бумаг: Учеб. пособие.-M.,1997.-c.5-10.

Балабушкин А. Опционы и Фьючерсы. Методическое пособие.-M.:Фондовая биржа РТС, 2002.

Буренин А.Н. Фьючерсные, Форвардные и Опционные рынки: Учебное пособие 2-е издание - М.: Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2002.

Вайн C. Опционы: полный курс для профессионалов.-M.:Альпина Паблишер, 2003.

Галанов В.А. Производные инструменты срочного рынка: Учебник- М.: Финансы и статистика, 2002.

Галиц Л. Финансовая Инженерия: Инструменты и способы управления финансовым риском.- М.:ТВП,1998.

Колб Р. Финансовые деривативы: Учебник./Пер. с англ. - М.: Филинъ,1997.

Коннолли К. Покупка и Продажа Волатильности.-M.: Аналитика, 2001.

Курочкин C., Пичугин И. Структурированный коллар: построение сложных опционных продуктов // Рынок Ценных Бумаг.-2005.-N 14 (293).

Курочкин С. Функции выплат, реализуемые с помощью опционных стратегий //Экономика и математические методы.-2005. -том 41, N 3.

Мельников А.В., Нечаев М.Л. К вопросу о хеджировании платежных обязательств в среднеквадратичном.// Теория вероятностей и ее применение.-1998.-т. 43.

Найман Э. Трейдер-инвестор.-К.: Вира-Р,2000.

Пензин К.В. О рынке производных инструментов в России.-M.:Деньги и Кредит, 2001.

Пичугин И. Свопы на акции - перспективный продукт для доступа на фондовый рынок //Рынок Ценных Бумаг.-2005.- N 1 (280).

Пичугин И. Бычий структурированный коллар - решение для консервативных инвесторов// Развитие фондового рынка в России, Издательский дом ГУ-ВШЭ.-2005.

Просянкин П. Структурные продукты. Что это такое? // Материалы презентации «Ренессанс Капитал» на сайте www.derex.ru - 2005.

Селивановский А. Некоторые замечания к дискуссии о законодательстве о деривативах //Рынок Ценных Бумаг.-2005.- N 22 (301).

Чекулаев М. Загадки и Тайны Опционной торговли: Механика Биржевого успеха. - М.: ИК Аналитика, 2001.

Фельдман А. Б. Производные финансовые и товарные инструменты.-M.: Финансы и Статистика,2003.

ФКЦБ РФ. Об утверждении положения о требованиях к операциям, связанным с совершением срочных сделок на рынке ценных бумаг// Постановление N9.-2001.

Andersen L. and Brotherton-Ratcliffe R. The equity option volatility smile: An implicit finite-difference approach// Journal of Computational Finance.-1997.

Avellaneda M. A look ahead at options pricing and volatility// Quantitative Finance.-2004. - Vol. 4.

Bachelier L. Thйorie de la Spйculation (1900).-Cambridge: MIT Press, 1964.

Baness J. Elements of a Theory of Stock-Option Value// Journal of Political Economy.-1964.

Bates David S. Jumps and stochastic volatility: exchange rate processes implicit in deutsche mark options// Review of Financial Studies.-1996.-Vol. 9(1).

Black F. and Scholes M. The valuation of option contracts and a test of market efficiency// Journal of Finance.-1972.

Black F. and Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //Journal of Political Economy.-1973.

Black F. The Pricing of Commodity Contracts// Journal of Financial Economics.-1976.

Boyle P. Options: A Monte Carlo Approach// Journal of Financial Economics.-1977.

Braddock John C. Derivatives Demystified: Using Structured Financial Products. - John Wiley & Sons Inc, 1997.

Brigo D. and Mercurio F. A mixed-up smile//Risk.- 2000.-Vol. 13(9).

Britten-Jones M. and Neuberger A. Option prices, implied prices processes, and stochastic volatility// Journal of Finance. - 2000.-Vol. 55 (2).

Cox J., Ross S. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Financial Economics.-1976.

Cox J., Ross S., Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach// Journal of Financial Economics.-1979.-Vol.7-pp.229-263.

Сox J., Rubinstein M. Options markets.-New Jersey: Prentice Hall, 1985.

Cvitanic J., Karatzas I. Hedging contingent claims with constrained portfolios //Ann. Appl. Probab. -1993.-Vol.3.

Das S. Structured Products and Hybrid Securities.-New-York: John Wiley&Sons, 2000.

Derman E. Static Options Replication// Journal of Derivatives, 1994.

Derman E., Kani I. Riding on a smile// Risk.-1994.-Vol. 7 (2).

Derman E. Regimes of volatility// Risk.-1999.- Vol.4.

Duffie D., Richardson H.R. Mean-variance hedging in continuous time// Ann. Appl. Probab.-1991.-Vol.1.

Dupire B. Pricing with a smile// Risk.-1994. - Vol. 7 (1).

Dupire B. A unified theory of volatility// Working paper, 1996.

Eales B., Choudhry M. Derivatives Instruments: A Guide to Theory and Practice.-Oxford: Butterworth-Heinemann, 2003.

El Karoui N., Quenez M.C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market // SIAM J. Control Optim.-1995.-Vol.33.

Garman M., Klass M. On the estimation of price volatility from historical data //Journal of Business.-1980.-Vol. 53.-pp. 67-78.

Haug E. Option pricing formulas. - McGraw-Hill, 1997.

Harrison M.J., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets// J. Econom. Theory.- 1979.-Vol.20.

Harrison M.J., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading// Stoh. Process. Appl.-1981.-Vol.11.

Harrison M.J., Pliska S.R. A stochastic calculus model of continuous trading complete markets// Stoh. Process. Appl.-1983.-Vol.15.

Heston S. А closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options//Review of Financial Studies.-1993.-Vol. 6 (2).

Hull J. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities// Journal of Finance, 1987.

Hull J. and White A. An analysis of the bias in option pricing caused by a stochastic volatility// Advances in Futures and Options Research. - 1988.-Vol.3.

Hull J. Options, Futures and Other Derivatives. - New Jersey. Prentice Hill, 2003.

Jackson M., Staunton M. Advanced modeling in finance using Excel and VBA.-Chichester: John Wiley&Sons, 2001.

Jarrow R. and Rudd A. Approximate Option Valuation for Arbitrary Stochastic Processes// Journal of Financial Economics, 1982.

Kat Harry M. Structured Equity Derivatives. - Chichester: John Wiley&Sons, 2001.

LIFFE Options: a guide to trading strategies. - LIFFE, 2002.

McMillan Lawrence G. Options as a strategic investment.-New-York: New York Institute of Finance, 1993.

Margrabe W. The value of an option to exchange one asset for another// Journal of Finance, 1978.

Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance.-1952. - pp. 77-91.

Merton, Robert C. Theory of rational option pricing// Bell Journal of Economics and Management Science, 1973.

Merton Robert C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous// Journal of Financial Economics.-1976.-Vol.3.

Mikhailov S. Volatility models// Working paper.-2003.

Natenberg S. Option Volatility and Pricing.-New-York: McGraw-Hill, 1994.

Parkinson M. The extreme value method for estimating the variance of the rate of return// Journal of Business.-1980.-Vol. 53.-pp. 61-65.

Purnanandam A. Do banks hedge in response to the financial distress costs? //Working paper, Cornell University, 2003.

Ravindran K. Customized Derivatives. -New-York: McGrawHill, 1998.

Rogers L. Christopher G. and Satchell Stephen E. Estimating variance from high, low and closing prices// Annals of Applied Probability.-1991.-Vol.1. - pp. 504-512.

Rubinstein M. Implied binomial trees//Journal of Finance.-1994.-Vol.3.

Samuelson P. Rational Theory of Warrant Pricing// Industrial Management Review, 1965.

Schweizer M. A guided tour through Quadratic Hedging Approaches // Working paper, Technische Universitat Berlin.-1999.

Sharpe W. Investments. - New Jersey: Prentice Hal1, 1978.

Shiller R. The New Financial Order: Risk in the 21st Century. - Princeton University Press, 2003.

Smithson C. Valuing assets held in investment portfolios, 2004.

Stoll H. The relationship between put and call prices// Journal of Finance.-1969.-Vol. 24(5).-pp. 801-824.

Тaleb N. Dynamic Hedging Wiley. - John Wiley & Sons, 1996.

Wiggins J. Option Values Under Stochastic Volatility: Theory and Empirical Evidence// Journal of Financial Economics, 1987.

White A., Hatfield G., Dorsey R. A genetic algorithm approach to pricing options with futures-style margining// MFA annual meeting materials, 1998.

Wilmott P., Dewynne J. and Howison S. Option Pricing.-Oxford: Oxford Financial Press, 1997.

Wilmott P. Paul Wilmott introduces Quantitative Finance.-New-York: John Wiley&Sons, 2001.

Статистические данные с сайта www.bis.org:Банк Международных расчетов (BIS).

Статистические данные с сайта www.world-exchanges.org: Всемирная Организация Фондовых Бирж (WORLD FEDERATION OF EXCHANGES).

Материалы исследований шведского исследователя в области деривативов Я. Романа Я.: http://janroman.net.dhis.org/.

Материалы словаря-энциклопедии по деривативам независимого исследователя Г. Холтона: http://www.riskglossary.com/.

Интернет - сайт Российской Торговой Системы (www.rts.ru) с свободным доступом к данным торгов на FORTS, откуда были взяты котировки фьючерсов на РАО «ЕЭС» и опционов на фьючерс РАО «ЕЭС».

Интернет-сайт биржи «Санкт-Петербург» (www.spbex.ru). - Бирже «Санкт-Петербург» исполнилось 14 лет//Новости биржи, 2005.

Размещено на Allbest.ru