Если в разрабатываемом продукте конечные денежные выплаты на промежутке цены основного между Mi, Mj є [min (SC1;SP1); max (SC6;SP6)] определены неположительной величиной L, то должны выполняться следующие условия (26-28) горизонтальности конечных выплат на этом промежутке цены основного актива:

а) Разница суммы долей опционов колл со страйками до Mi и суммы долей биржевых опционов пут со страйками больше Mj должна быть равна нулю:

Dk = У Sci ? Mi Xi ? У Spj ? Mj Yj = 0, (26)

б) Функция конечных денежных выплат в точках Mi и Mj должна равняться отрицательной величине максимальных потерь устанавливаемых инвестором:

F (P, Q, X, Y, M=Mi) =L, (27)

F (P, Q, X, Y, M=Mj) =L. (28)

2. Условие наклона функции конечных денежных на промежутке между соседними страйками Sk;Sk+1є [min(SC1;SP1);max(SC6;SP6)] определяется исходя из разницы суммы долей биржевых опционов колл со страйком меньше Sk и суммы долей биржевых опционов пут со страйками больше Sk+1, а именно:

а) «Бычий» наклон между соседними страйками Sk; Sk+1 достигается при положительной разнице суммы долей биржевых опционов колл со страйком меньше Sk и суммы долей биржевых опционов пут со страйками больше Sk+1.:

Dk = У Sci ? Sk Xi ? У Spj ? Sk+1 Yj ? 0, (29)

б) «Медвежий» наклон функции между соседними страйками Sk; Sk+1 достигается при отрицательной разнице суммы долей биржевых опционов колл со страйком меньше Sk и суммы долей биржевых опционов пут со страйками больше Sk+1.:

Dk = У Sci ? Sk Xi ? У Spj ? Sk+1 Yj ? 0, (30)

в) «Нейтральный» или горизонтальный наклон функции между соседними страйками Sk; Sk+1 достигается при нулевой разнице суммы долей биржевых опционов колл со страйком меньше Sk и суммы долей биржевых опционов пут со страйками больше Sk+1.:

Dk = У Sci ? Sk Xi ? У Spj ? Sk+1 Yj = 0. (31)

Условие наклона функции конечных денежных на промежутке цен основного актива [0;min(SC1;SP1)] определяется исходя суммы долей всех биржевых опционов пут.

а) «Бычий» наклон функции конечных денежных на промежутке цен основного актива [0;min(SC1;SP1)] получается при положительной сумме долей всех биржевых опционов пут:

У k=1..6 Yk > U, (32)

Положительная величина U отвечает за степень «бычьего» наклона.

б) «Медвежий» наклон функции конечных денежных на промежутке цен основного актива [0; min(SC1;SP1)] получается при отрицательной сумме долей всех биржевых опционов пут:

У k=1..6 Yk < U, (33)

Отрицательная величина U отвечает за степень «медвежьего» наклона.

в) «Нейтральный» или горизонтальный наклоны функции конечных денежных на промежутке цен основного актива [0;min(SC1;SP1)] получается при нулевой сумме долей всех биржевых опционов колл:

У k=1..6 Yk= 0. (34)

Условие наклона функции конечных денежных на промежутке цен основного актива [max(SC6;SP6);+?] определяется исходя суммы долей всех биржевых опционов колл:

а) «Бычий» наклон функции конечных денежных на промежутке цены основного актива [max(SC6;SP6);+?] получается при положительной сумме долей всех биржевых опционов колл:

У k=1..6 Xk > U, (35)

Положительная величина U отвечает за степень «бычьего» наклона.

б) «Медвежий» наклон функции конечных денежных на промежутке цены основного актива [max(SC6;SP6);+?] получается при отрицательной сумме долей всех биржевых опционов колл:

У k=1..6 Xk< U, (36)

Отрицательная величина U отвечает за степень «медвежьего» наклона.

в) «Нейтральный» или горизонтальный наклон функции конечных денежных на промежутке цены основного актива [max(SC6;SP6);+?] получается при нулевой сумме долей всех биржевых опционов колл:

У k=1..6 Xk= 0. (37)

3. Условие монотонности «бычьего», «медвежьего», длинного или короткого по волатильности наклона определяется комбинацией условий наклонов на различных промежутках цены основного актива:

а) Монотонность «бычьего» наклона функции конечных денежных выплат на всем промежутке цены основного актива [min (SC1;SP1); max(SC6;SP6)] определяется «бычьим» наклоном на всех промежутках между всеми возможными соседними страйками Sk и Sk+1 є [min (SC1;SP1); max (SC6; SP6)];

б) Монотонность «медвежьего» наклона функции конечных денежных выплат на всем промежутке цены основного актива [min(SC1;SP1);max(SC6;SP6)] определяется «медвежьим» наклоном на всех промежутках между всеми возможными соседними страйками Sk и Sk+1 є [min (SC1;SP1); max (SC6;SP6)].

4. Условие положительной/бесплатной/отрицательной стоимости или демонетизации/монетизации зависит от величины суммарной опционной нетто-премии продукта с учетом BID-ASK спрэда в момент покупки или продажи обычных биржевых опционов колл и пут:

У k=1..6 Xk•((PBid(k) или PAsk(k))+ Yk•(QBid(k) или QAsk(k))), (38)

а) Положительная стоимость или демонетизации денежной позиции клиента происходит при положительной суммарной опционной нетто-премии продукта с учетом BID-ASK спрэда:

У k=1..6 (Xk•(PBid(k) или PAsk(k)) + Yk•(QBid(k) или QAsk(k))) > 0, (39)

б) Бесплатная стоимость или неизменное состояние денежной позиции клиента происходит при нулевой суммарной опционной нетто-премии продукта с учетом BID-ASK спрэда:

У k=1..6 (Xk•(PBid(k) или PAsk(k))+ Yk•(QBid(k) или QAsk(k))) = 0, (40)

в) Отрицательная стоимость или монетизации денежной позиции клиента происходит при отрицательной суммарной опционной нетто-премии продукта с учетом BID-ASK спрэда:

У k=1..6 (Xk•(PBid(k) или PAsk(k))+ Yk•(QBid(k) или QAsk(k))) < 0. (41)

2.5 Выпуск и оценка внебиржевых опционов на российском фондовом рынке

Основными причинами использования внебиржевых опционов на акции и финансовых активов являются:

· получение большего спектра страйков внебиржевых опционов;

· комбинации различных сроков экспирации внебиржевых опционов;

· увеличение объема опционной позиции и конструирование опционных продуктов для крупных клиентов;

· возможность выпуска различных экзотических опционов, не представленных на биржевом рынке, для построения более сложных опционных продуктов;

· внебиржевые опционы могут быть выпушены в местной или иностранной валюте;

· возможность использования оффшорных счетов для целей оптимизации налоговых платежей.

К основным недостаткам использования внебиржевых опционов можно отнести наличие:

· риска контрагента;

· юридического риска;

· риска корректной оценки и хеджирования выпускаемых опционов.

Каждый банк должен взвесить все преимущества и недостатки использования внебиржевых опционов и принять решение о разумной политике в данном направлении. Обычной практикой инвестиционных банков является удовлетворение требований клиентов при получении прибыли самими банком и проведении разумной риск-политики. То есть, если клиент желает получить новый опционный продукт на основе внебиржевых опционов, то банк скорее всего пойдет навстречу клиенту и предоставит ему этот продукт.

В диссертационном исследовании предположим, что банк может выпускать внебиржевые опционы.

2.5.1 Задача оптимизации опционных продуктов

Используя больший спектр страйков внебиржевых опционов можно предложить модель выпуска внебиржевых опционов для частичной/полной замены биржевых опционов, на которых строятся все, разработанные в данном исследовании, опционные продукты. Оптимизировать и реструктуризировать опционные продукты можно также, используя остальные причины выпуска внебиржевых опционов, но данная проблематика не будет рассмотрена в данном исследовании.

Биржевые опционы, используемые при составлении разработанных опционных продуктов, не позволяют клиенту - инвестору получить продукт с максимальной, теоретически возможной, денежной выплатой, так как все страйки экспирации биржевых опционов заранее фиксированы.

Выпуская внебиржевые опционы и используя их при конструировании опционных продуктов, банк может оптимизировать опционные продукты на основе биржевых опционов или получить новое семейство опционных продуктов с улучшенными характеристиками, удовлетворяющими специфическим и сложным запросам клиентов-инвесторов.

Далее приведен анализ влияния эффекта возможного изменения страйка опциона на увеличение или уменьшение стоимости опциона и свободных денежных средств, исходя из известных законов ценообразования опционов, приведен далее в таблице 2.1.:

Тип трансакции	Увеличение страйка опциона ^	Уменьшение страйка опциона v
Покупка опциона колл	1.Стоимость опциона v 2. Свободные денежные средства ^	1.Стоимость опциона ^ 2. Свободные денежные средства v
Продажа опциона колл	1.Стоимость опциона v 2. Свободные денежные средства v	1.Стоимость опциона ^ 2. Свободные денежные средства ^
Покупка опциона пут	1.Стоимость опциона ^ 2. Свободные денежные средства v	1.Стоимость опциона v 2. Свободные денежные средства ^
Продажа опциона пут	1.Стоимость опциона ^ 2. Свободные денежные средства ^	1.Стоимость опциона v 2. Свободные денежные средства v

Таблица 2.1. Влияние эффекта изменения страйка на стоимость опциона и свободные денежные средства

Из таблицы следует, что, используя опционы со страйком выше или ниже текущего страйка биржевого опциона, можно получить более дешевый или дорогой внебиржевой опцион.

В задачу линейной оптимизации долей биржевых опционов колл и пут следует добавить задачу оптимизации страйков выпускаемых опционов. Возможный интервал изменения страйков внебиржевых опционов определяется некоторой величиной W, которая должна быть меньше разницы между страйками любых опционов одного типа, чтобы сохранялась монотонность наклонов конечных денежных выплат опционных продуктов.

Основной проблемой оптимизации разработанных опционных продуктов является корректная оценка внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» на всех возможных интервалах оптимальных страйков внебиржевых опционов. Модель оценки европейских биржевых опционов на фьючерсы РАО «ЕЭС», а также нахождение безрисковой процентной ставки и функции уклона волатильности рассматриваются далее в пп. 2.5.2. и разделах 2.6.-2.8.

2.5.2 Оценка внебиржевых опционов по модели Блэка - Шоулса при уклоне волатильности для всех страйков выпускаемых опционов

Для решения задачи оптимизации опционных продуктов с помощью полной/частичной замены биржевых опционов на внебиржевые необходимо решить задачу корректной оценки внебиржевых опционов со страйками, отличными от стандартных страйков биржевых опционов.

Существует множество моделей оценки стоимости обычных внебиржевых опционов, среди них основными являются: модель Блэка-Шоулса, Биномиальная модель и метод Монте-Карло.

В диссертационном исследование в целях упрощения задачи по оценке внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» будет использоваться модель Блэка - Шоулса с учетом эффекта уклона волатильности, в зависимости от цены фьючерса и страйка опционов. Значения опционных премий внебиржевых опционов, полученные с помощью модели Блэка-Шоулса, с учетом уклона волатильности, будут отражать справедливые цены внебиржевых опционов для всех возможных страйков выпускаемых опционов. Использование других моделей оценки внебиржевых опционов (Биномиальной или Монте-Карло) нецелесообразно, так как расхождения в полученных значениях будут незначительными и ими можно пренебречь. В реальной практике следует более детально рассмотреть применение каждой модели оценки внебиржевых опционов и сравнить полученные значения с реальными премиями биржевых опционов, с такими же характеристиками. Наиболее предпочтительными будут значения, подсчитанные по одной из моделей оценки внебиржевых опционов, близкие к реальным значениям премий биржевых опционов.

Предпосылки модели оценки внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»:

· в основе выпускаемых опционов лежит фьючерс на акции РАО «ЕЭС»;

· дивиденды не будут учитываться;

· внебиржевые опционы могут быть исполнены только на TExpiry;

· брокерская комиссия инвестиционному банку = 0;

· безрисковая процентная ставка постоянна R = const;

· доходность фьючерса на акции имеет логарифмически нормальное распределение, но существует уклон волатильности;

Исходные данные для оценки внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС»:

1. M - текущая цена фьючерса на РАО «ЕЭС» M є (0; + ?), лежащая в основе выпускаемого опциона. Цена фьючерса может быть получена из торгового терминала FORTS, подключенного к информационному шлюзу биржи или информационного терминала REUTERS, с использованием специальных ссылок Quotes feeds. Для корректной оценки стоимости внебиржевых опционов необходимо постоянное обновление данной величины;

2. S - величина страйка, выпускаемого опциона на фьючерс РАО «ЕЭС»;

3. R - безрисковая процентная ставка на срок действия опциона;

4. V - волатильность цены фьючерса на РАО «ЕЭС»;

5. - срок жизни опциона, определяемый разницей в днях от 1 года между датой экспирации опциона Texpiry и текущим периодом Tnow .

Искомые величины премий внебиржевых опционов колл или пут получаются путем ввода исходных данных в формулы Блэка-Шоулса стоимости европейских опционов колл и пут . Формулы для подсчета премий европейских опционов колл выглядят следующим образом:

, (42)

где d1 и d2:

, (43)

. (44)

Формула для подсчета премии европейского опциона пут получается с помощью пут-колл паритета.

Проблемными моментами оценки опционов является нахождение величины единой безрисковой ставки R и волатильности цен фьючерса на РАО «ЕЭС» для каждого страйка выпускаемых внебиржевых опционов.

Моделирование внутренней безрисковой процентной ставки R биржевых опционов на основе пут-колл паритета будет рассмотрено в п. 2.7..

Моделирование функции уклона волатильности для заданного набора биржевых опциона на рынке FORTS будет представлено в п. 2.8..

Исходные внутренние волатильности биржевых опционов на рынке FORTS находятся с помощью VBA кода по процедуре Ньютона-Рафсона в п. 2.6.2.

2.5.3 Волатильность

Справедливая стоимость опциона определяется рядом факторов, включая волатильность основного актива V. Все факторы, кроме волатильности определяются с помощью самого рынка или указываются в контракте. Для нахождения точного значения волатильности необходимо оценить риски цены основного актива, так как само понятие волатильности означает резкое или непредвиденное изменение цены актива.

В настоящее время существует следующие понятия, означающие волатильность: истинная Actual volatility, историческая Historical volatility, будущая Future volatility и внутренняя Implied volatility. В дальнейшем разъясняется сущность внутренней волатильности, используемой при построении функции уклона волатильности (см. 2.6.2., 2.8., 4.2.2.):

Внутренняя волатильность, является попыткой оценить волатильность акции, исходя из модели Блэка-Шоулса, при условии, что акция и опцион активно торгуются на бирже [67]. Обычно формула Блэка-Шоулса используется для подсчета стоимости опционов, исходя из постоянной волатильности. Можно подсчитать обратным образом величину волатильности из формулы Блэка-Шоулса, при известной стоимости опциона, торгуемого на биржевом рынке опционов. Если подставить в формулу Блэка-Шоулса стоимость опциона Cm, торгуемого на биржевом рынке и другие известные нам параметры, такие как:

S - страйк биржевого опциона;

M - текущая цена основного актива;

R - безрисковая ставка процента;

T - время, оставшееся до экспирации опциона;

, (45)

Мы можем получить внутреннюю волатильность опциона. Полученное значение волатильности уравнивает рыночную стоимость опциона с теоретической стоимостью при тех же параметрах:

(46)

Одним из методов нахождения внутренней волатильности является метод Ньютона-Рафсона (см. п. 2.6.2.), который будет использоваться для нахождения внутренних волатильностей биржевых опционов и построения функции уклона волатильности на российском биржевом рынке опционов FORTS (см. п. 4.2.2.).

Проблема заключается в том, что некоторые предположения модели Блэка - Шоулса не применимы на практике. Существуют некоторые «дыры» в модели (по выражению самого Блэка). Так, например, экспериментально установлены следующие расхождения модели с реальным рынком:

· Распределение доходности актива не является логарифмически нормальным;

· Величина внутренней волатильности меняется в зависимости от времени;

· Величина внутренней волатильности меняется в зависимости от страйка (эффект уклона волатильности).

Поэтому для корректной оценки опционов с различными страйками необходимо использовать не постоянную фактическую, историческую, будущую волатильность, а внутреннюю волатильность, характеризующуюся уклоном волатильности для каждого страйка выпускаемого внебиржевого опциона или структурой волатильности для страйков и времени. Феномен уклона волатильности раскрывается в следующем пункте.

2.5.4 Феномен уклона волатильности

Уклон волатильности или эффект уклона волатильности являются следствием факта нелогорифмически нормального распределения доходности цен актива. Уклон волатильности является платой за упрощения в модели Блэка - Шоулса. Для корректной оценки опционов по модели Блэка-Шоулса необходимо скорректировать все распределения для каждого страйка опциона.

Для иллюстрации феномена уклона волатильности рассмотрим все торгуемые на 01.04.05 биржевые опционы колл и пут опционы на фьючерс РАО «ЕЭС» с датой экспирации 09.06.05. У всех колов и путов идеально должны быть различные страйки, но в реальности такое не всегда достижимо, так как рынок сам решает какие опционы колл и пут с какими страйками сегодня торгуются.

Так как известны множества рыночных котировок премий биржевых опционов колл и пут, а также исходные данные для оценки опционов: текущая рыночная цена фьючерса, безрисковая процентная ставка, множества страйков опционов колл и опционов пут, дивидендная ставка, то, используя формулу Блэка-Шоулса и биржевые котировки опционов можно найти внутренние волатильности для каждого биржевого опциона.

Интуитивно можно предположить, что внутренние волатильности будут одинаковы, но на практике это не так. Подробнее о процедуре нахождения внутренних волатильностей биржевых опционов методом Ньютона-Рафсона и моделировании самой функции уклона волатильности изложено в пунктах 3.8. и 4.2.2.

Рис. 2.1. Внутренние волатильности биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС» в зависимости от страйков на 01.04.05.

График внутренней волатильности, в зависимости от страйков опционов имеет изогнутый вид и больше похож на параболу. Такой вид кривых волатильности называют «улыбка волатильности». Данное явление объясняется тем, что внутренняя волатильность опционов в деньгах In-the-money и без денег Out-of-the-money больше внутренней волатильности опционов около денег At-the-money.

Большинство мировых финансовых рынков, где торгуются биржевые опционы, подвержены явлению «улыбки волатильности» или уклона волатильности. Данная кривая волатильности от страйков опционов может принимать различные формы, в том числе прямой, кривой линии, параболы, кубической функции и т.д.

В общем случае, существует общее понятие феномена уклона волатильности Volatility skew, его частные разновидности, подробно описанны у Коннолли (1997) [11]: улыбка волатильности Volatility smile, ухмылка волатильности Volatility smirk, перевернутая ухмылка волатильности Reverse volatility smirk и усмешка волатильности Volatility sneers. Но обычно все эти причудливые кривые являются лишь описательными названия семейства кривых волатильности.

Существует множество объяснений феномена уклона волатильности. Разные объяснения применяются к разным финансовым рынкам. В большинстве случаев, несколько факторов объясняют данное явление. Существует мнение, что оценка опционов по теории Блэка-Шоулса имеет слишком идеализированные предпосылки.

Предпосылка о нормальном логарифмическом распределение доходности цен основного актива часто не соответствует действительности. На большинстве финансовых рынков доходность актива не логарифмически нормально распределена, что делает опционы без денег или в деньгах более дорогими, чем при оценке формулой Блэка-Шоулса. Увеличение стоимости таких опционов относительно «несовершенных» предпосылок формулы Блэка-Шоулса создает уклон волатильности.

Другим объяснением феномена уклона волатильности является разное соотношение предложения и спроса опционов. На рынке акций уклон волатильности может отражать ожидания инвесторами рыночного краха или просто сильного изменения цены основного актива, которые заставляют маркет-мейкеров рынка опционов повышать котировочные премии опционов со страйками меньше текущего уровня цен.

Другой разновидностью феномена уклона волатильности, является изменение внутренней волатильности от срока экспирации. Данный феномен называют поверхностью волатильности Volatility surface, который обычно изображают в виде объемного трехмерного графика зависимости внутренней волатильности биржевых опционов от страйков и сроков экспирации опционов. Данная зависимость говорит о неких ожиданиях инвесторов относительно движения рынка во времени.

Если рассмотреть отдельный страйк, то мы получим кривую, описывающую внутреннюю волатильность, как функцию от времени экспирации для отдельного страйка. Эта зависимость называется структурой временной волатильности Volatility term structure.

Опционным трейдерам не интересна статическая поверхность волатильности, потому что они хотят знать, как уклон волатильности отреагирует на изменение времени и стоимости основного актива.

Динамика поверхности волатильности достаточна, сложна, но существует две простые модели, которые описывают поведение данной динамики. Обе предложены Дерманом (1999) [43] и называются моделями «липкого» страйка и «липкой» дельты Sticky strike/delta .

Если уклон волатильности соответствует модели «липкого» страйка, то внутренние волатильности ассоциируются с определенным страйком. Данная кривая уклона волатильности не сдвинет стоимость основного актива.

В случае модели «липкой» дельты, внутренние волатильности соответствуют дельтам биржевых опционов. На пример, если у опциона колл

со страйком S1 дельта d1 и внутренняя волатильность V1 , а у опциона колл со страйком S2 при изменении цены основного актива его дельта равняется первоначальной дельте первого опциона d1=d2, то и внутренние волатильности двух опционов тоже будут одинаковыми V1=V2.

Конечно же, обе модели являются упрощением и ни один финансовый рынок не ведет себя одинаково. Уклон волатильности серьезно усложняет задачу оценки и хеджирования опционов.

Предположим, трейдеру по опционам необходимо оценить дельту опциона. Тогда, если он будет действовать в соответствие с моделью «липкой» дельты, то это повлияет на подсчет дельты опциона, а изменения во внутренней волатильности будут совмещаться с изменениями в стоимости основного актива, что скажется на стоимости опциона.

Поэтому дельты опционов нужно корректировать, учитывая уклон волатильности.

Если трейдер динамически хеджирует опционную позицию, и не сумеет учесть фактор уклона волатильности в модели вычисления дельты, то полуженная величина хеджа не будет эффективной.

Уклон волатильности является достаточно серьезным вопросом для специалистов по структурированию, трейдинга и маркетингу деривативов всего мира. Для решения проблемы уклона волатильности необходимо адаптировать динамические модели оценки опционов с учетом всей структур поверхностей волатильности. Модели являются более сложными, чем модели «липкого» страйка и дельты.

К стандартным моделям уклона волатильности можно отнести:

· модель диффузии - скачка Мертона (1976) [66], добавляет фактор произвольных скачков цен к броуновскому движению цены основного актива в модели Блэка-Шоулса. Среди других факторов данный феномен отдаляет распределение цены актива от нормального распределения;

· стохастические модели волатильности Халла, Вайта (1988) [56] и Хестона (1993) [54], описывают поведение основного актива и его волатильности как стохастический процесс. Также как и в модели диффузии-скачка, это влияет на отдаление цены актива от нормального распределения. Модель Хестона является достаточно популярной моделью стохастической волатильности;

· модели локальной волатильности Дюпьира (1994) [45,46], Дермана (1994) и Кани (1994) [42], Рубинштейна (1994) [73], Андерсена и Бротертона-Ратклиффа (1997) [24] имеют несколько названий. Они названы моделями детерминистической функции волатильности или моделями встроенного дерева решений (встроенного биномиального дерева или моделями встроенного триномиального дерева в зависимости от типа дерева). Это предполагает то, что будущие волатильности будут определяться детерминистической функцией стоимости основного актива и времени. Эта функция определена текущим уклоном волатильности и может быть отражена в биномиальном или триномиальном дереве;

· модели смешанного распределения Бриго и Меркурио (2000) [34] рассматривают стоимость основного актива вместе со смешанными распределениями. Это влияет на отдаление от нормального распределения цен. Бриго и Меркурио используют смесь логарифмически нормальных распределений.

Другие модели являются гибридными, комбинируя черты, ранее описанных.

К примеру, модель диффузии - скачка стохастической волатильности, разработанной Бэйтсом (1996) [28]. Универсальные модели волатильности Дюпьира (1994,1996) [45,46], Бриттен-Джонса и Неубергера (2000) [35] комбинируют элементы модели локальной волатильности, диффузии - скачка и стохастической модели волатильности. Это очень сложные модели и их не всегда можно применить на практике.

2.5.5 Оценка опционов с учетом эффекта уклона волатильности

В случае наличия на биржевом рынке опционов уклона волатильности необходимо корректировать оценочные премии опционов с учетом эффекта уклона волатильности или функции уклона волатильности. Функцией волатильности будет смоделированная функция внутренней волатильности от страйка оцениваемых опционов. Возможные варианты функция уклона волатильности рассмотрены далее в качестве гипотетически возможных вариантов (согласно [11]).

Если функция уклона волатильности является условно параболой (улыбка волатильности) c минимальным значением внутренней волатильности при среднем страйке около текущей цены спот, то при оценке опционов со страйком значительно больше или меньше цены спот стоимость опционов придется корректировать в сторону увеличения относительно оценки опционов со средним страйком.

опционный продукт цена волатильность

Рис. 2.2. Улыбка волатильности (парабола)

Если функция уклона волатильности является условно убывающей кубической функцией (ухмылка волатильности) с точкой перегиба при среднем страйке около текущей цены спот, то при оценке опционов со страйком значительно больше среднего страйка их стоимость придется уменьшать с учетом меньшей волатильности относительно стоимости опционов со средним страйком. Аналогично, если страйк оцениваемых опционов значительно меньше среднего страйка, то их стоимость придется увеличивать с учетом большей волатильности относительно стоимости опционов со средним страйком.

Рис. 2.3. Ухмылка волатильности (убывающая кубическая функция)

Если функция уклона волатильности является условно возрастающей кубической функцией (перевернутая ухмылка волатильности) с точкой перегиба при среднем страйке около текущей цены спот, то при оценке премий опционов со страйком значительно больше среднего страйка их стоимость придется увеличить с учетом меньшей волатильности относительно стоимости опциона со средним страйком. Аналогично, если страйк оцениваемых опционов значительно меньше среднего страйка, то их стоимость придется уменьшать.

Рис. 2.4. Перевернутая ухмылка волатильности (возрастающая кубическая функция)

В табличном виде влияние эффекта уклона волатильности на оценку премий обычных опционов выглядит следующим образом:

Это лишь основные возможные варианты поведения уклона волатильности. В реальной ситуации функция уклона волатильности может иметь очень сложную структуру.

Использование феномена уклона волатильности и моделирование функции уклона волатильности на российском рынке производных инструментов для последующая оценка внебиржевых опционов для всего спектра возможных страйков опционов будет изложено в основной части диссертационного исследования (cм. пп. 3.6. и 3.9.).

2.5 Программирование на языке VBA для нахождения внутренней волатильности и оценки внебиржевых опционов

Одним из простейших примеров использования языка VBA является использование кодов для оценки внебиржевых опционов на различные основные активы. Зная исходные формулы и предпосылки моделей оценки опционов: Блэка-Шоулса, Биномиальной, Монте-Карло и других моделей, можно написать коды для каждой модели, отвечающей потребностям пользователя. Конечная опционная премия может быть найдена использованием обычной встроенной в EXCEL функции, путем введения исходных данных: цены спот, цены страйк, размера дивиденда, времени до экспирации, процентной ставки и волатильности.

Для многих стандартных моделей и процессов в области деривативов и структурных продуктов коды уже имеются, поэтому в данном диссертационном исследовании, в целях упрощения, применяются готовые коды для оценки европейских опционов по модели Блэка - Шоулса и нахождение внутренней волатильности опциона по методу Ньютона - Рафсона.

VBA коды для оценки опционов колл и пут взяты из источника [49]. Код для нахождения внутренней волатильности методом Ньютона - Рафсона заимствован из источника [44].

2.5.1 Оценка обычных европейских опционов колл и пут по модели Блэка-Шоулса на языке VBA в программном продукте EXCEL

Код для оценки опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» основан на модели Блэка-Шоулса для оценки обычных европейских опционов с учетом всех предпосылок модели, кроме логарифмически нормального распределения доходности цен фьючерса на РАО «ЕЭС», отвечающего за структуру волатильности цен фьючерсов. Волатильность каждого опциона находиться исходя из функции волатильности V(S) для каждого опциона и соответствующего страйка отдельно.

Встроенные функции кода для нахождения опционных премий обычных европейских опционов типа колл или пут на фьючерс РАО «ЕЭС» выглядят следующим образом (47,48) (см. Приложение 1):

- для опциона колл: BSCallValue (M,S,R,T,V) (47)

- для опциона пут: BSPutValue (M,S,R,T,V) (48)

Результат: Получение опционной премии обычных опционов типа колл или пут путем введения встроенных функций и следующих исходных данных:

M - текущая рыночная цена на фьючерс РАО «ЕЭС»;

S - страйк внебиржевого опциона на фьючерс РАО «ЕЭС»;

R - безрисковая ставка процента;

T - время жизни опциона, выраженное в долях от 1 года (количество дней жизни опциона/365 дней в году);

V - волатильность фьючерса на РАО «ЕЭС» или значение функции волатильности V(S) при определенном страйке опциона S.

2.5.2 Нахождение внутренней волатильности биржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» методом Ньютона-Рафсона в виде VBA кода в программном продукте EXCEL

Внутренним, стандартным отклонением или внутренней волатильностью опциона называют значение волатильности, при которой теоретическая стоимость, подсчитанная с помощью модели Блэка-Шоулса, равняется рыночному значению премии опциона, с такими же характеристиками. Внутренняя волатильность учитывает все факторы, способствующие диспаритету: ошибки ввода данных, эффект бид - аск спрэда и временное расхождения между спросом и предложением. Показывает будущее ожидание состояния рынка, отраженное в рыночной цене опционной премии.

Существует три основных метода определения внутренней волатильности опциона:

-метод деления пополам;

-метод Ньютона - Рафсона;

-метод секущих.

Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки. К примеру, метод деления пополам очень медленный при вычислениях, но у него простой код. Метод Ньютона-Рафсона быстрый, но при подсчетах используется первая производная опционной премии относительно волатильности или вега. Метод секущих более сложный, чем два предыдущий, но такой же быстрый как метод Ньютона и не требует использования веги.

Метод Ньютона - Рафсона или просто метод Ньютона является одним из наиболее известных числовых методов для решения различных математических уравнений.

В данном исследовании используется процедура Ньютона-Рафсона, в виде функции кода для нахождения внутренней волатильности обычных европейских опционов типа колл и пут, в программном пакете EXCEL. Данный код использует стандартную процедуру метода Ньютона - Рафсона для нахождения внутренних волатильностей биржевых опционов колл и пут (49) (см. Приложение 2) :

NewtonRaphsonCollectorVol (c или p, M, S, T, R, СM) (49)

Результат: Получение внутренней волатильности биржевого опциона колл или пут на фьючерс РАО «ЕЭС» по введенным в встроенную функцию исходным данным:

с - биржевой опцион типа колл;

p - биржевой опцион типа пут;

M - текущая рыночная цена фьючерса на РАО «ЕЭС»;

S - страйк биржевого опциона на фьючерс РАО «ЕЭС»;

T - время жизни опциона, выраженное в доле от 1 года (количество дней жизни опциона/365 дней в году);

R - безрисковая ставка процента;

СM - рыночная стоимость опциона на фьючерс РАО «ЕЭС» со страйком S.

2.7 Моделирование безрисковой процентной ставки биржевых опционов с помощью пут - колл паритета

Безрисковая ставка используется в различных финансовых расчетах и обозначает процентную ставку, которую можно всегда получить без риска потери вложенной суммы. Данное определение содержит массу возможных интерпретаций.

Под безрисковой ставкой будем понимать значение процентной ставки, найденной из пут - колл паритета, исходя из известных премий биржевых опционов колл и пут с одинаковыми страйками.

Используя обозначения и символы, применяемые в данной работе, запишем формулу колл - пут паритета в следующем виде (50):

, (50)

где:

i - количество совпавших пар биржевых опционов с одинаковыми страйками;

Pi - текущая рыночная стоимость опциона колл cо страйком Si;

Qi - текущая рыночная стоимость опциона пут cо страйком Si;

Si - одинаковый страйк биржевых опционов колл и пут на фьючерс РАО «ЕЭС»;

T - время жизни опциона выраженное в доле от 1 года (количество дней жизни опциона/365 дней в году);

M - текущая цена спот;

R - безрисковая ставка, используемая при дисконтировании страйка Si.

Зная результаты торгов биржевых опционов с одинаковыми страйком можно найти внутреннюю безрисковую процентную ставку для каждого страйка, удовлетворяющую требованиям пут - колл паритету.

В результате получим множество внутренних безрисковых процентных ставок R для каждого опциона колл и пут, с одинаковым страйком.

R = (R1, …, Ri) (51)

Рыночные котировки биржевых опционных премий могут испытывать различные колебания, поэтому не всегда выполняется пут-колл паритет и равенство процентных ставок для всех страйков. Это реалии рынка, а именно ожидания трейдеров банков, котирующих опционные контракты. Значение безрисковой процентной ставки не может быть различным для одного периода времени, значит целесообразно найти среднюю процентную ставку RAverage , которую можно было бы использовать для нахождения структуры уклона волатильности и последующей оценки внебиржевых опционов на фьючерсы РАО «ЕЭС»:

(52)

2.8 Моделирование уклона волатильности на данном наборе опционов

Существует множество моделей, интерпретирующих поведение волатильности в зависимости от страйка опционов. Среди самых популярных моделей можно отметить модель Мертона (диффузии - скачка), стохастическую модель волатильности Хестона, модель локальной волатильности Дюпьира .

При построении кривой уклона волатильности в зависимости от страйков опционов, торгуемых на рынке FORTS будет использован метод математической аппроксимации. Данный метод позволяет получить достаточно точную структуру уклона волатильности и использовать полученную функцию волатильности при выпуске внебиржевых европейских опционов со страйками, отличными от страйков биржевых опционов на рынке FORTS.

Волатильность каждого торгуемого опциона для опционов типа колл и пут находится по методу Ньютона-Рафсона, используя следующие предпосылки:

1. Каждому страйку из шести биржевых опционов колл на фьючерс РАО«ЕЭС» должна соответствовать внутренняя волатильность, определяемая по процедуре Ньютона-Рафсона (см. п.2.6.2.):

SC = (SC1, SC2, SC3, SC4, SC5, SC6), SC1 < … < SC6 , (53)

VC = (VC1, VC2, VC3,VC4, VC5, VC6), (54)

VC1 = NewtonRaphsonCollectorVol (c, M, S, T, R, P1), (55)

: : :

VC6 = NewtonRaphsonCollectorVol (c, M, S, T, R, P6). (56)

2. Аналогично, каждому страйку из шести биржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС» должны соответствовать внутренние волатильности, найденные также по процедуре Ньютона-Рафсона:

SP = (SP1, SP2, SP3, SP4, SP5, SP6), SP1 < … < SP6 (57)

VP = (VP1, VP2, VP3, VP4, VP5, VP6), (58)

VP1 = NewtonRaphsonCollectorVol (p, M, S, T, R, Q1), (59)

: : :

VP6 = NewtonRaphsonCollectorVol (p, M, S, T, R, Q6). (60)

Получается множество волатильностей V, состоящее из множеств внутренних волатильностей опционов колл VC и пут VP. Моделированием структуры уклона волатильности для заданного набора торгуемых опционов на рынке FORTS будет нахождение функции V(S), отражающей поведение внутренней волатильности торгуемых опционов на всем диапазоне страйков Sє((min(SC;SP);max(SC;SP)), выпускаемых внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС».

Решением задачи моделирования функции уклона волатильности будет использование математических методов аппроксимации и сглаживания данных по точкам для нахождения оптимального уравнения V(S), со степенью «n» и «R2» близким к 1. Данная процедура может быть проведена в программном продукте EXCEL, использую функцию «Формат линии тренда».

Функцию уклона волатильности следует аппроксимировать исходя из уменьшенных в 10000 раз страйков биржевых опционов, сохраняя без изменения значения соответствующие им внутренние волатильности биржевых опционов. Для нахождения корректных значений волатильности для различных страйков в найденное уравнение функции уклона волатильности следует подставлять также уменьшенные значения страйков. Подсчитанные значения волатильности для уменьшенных страйков будут верны и для обычных страйков. Данная процедура производиться для уменьшения порядка ошибки аппроксимации данных.

Возможные варианты степенных функций выглядят следующим образом:

1. Линейная функция внутренней волатильности (61) со степенью n = 1 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов:

V(S/104) = a • (S/104) +b (61)

Рис.2.5. Линейная функция уклона волатильности V(S) в зависимости от уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов S

2. Квадратичная функция внутренней волатильности (62) cо степенью n = 2 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов:

V(S/104) = a•(S/104)2+b•(S/104) +c (62)



Рис.2.6. Квадратичная функция уклона волатильности со степенью n=2 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов

3. Кубическая функция внутренней волатильности (63) степени n = 3 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов:

V(S/104) = a•(S/104)3+b•(S/104)2+ c•(S/104) +d (63)



Рис.2.7. Кубическая функция уклона волатильности со степенью n=3 для уменьшенных в 104 раз страйков биржевых опционов

Значительное увеличение степени многочлена существенно не улучшает «R2», поэтому выбор способа аппроксимации функции уклона волатильности осуществляется на основе баланса между ее сложностью (степень многочлена) и величиной «R2».

Конечную функцию уклона волатильности V(S) следует включить в VBA коды модели Блэка-Шоулса европейских опционов колл BSСallValue (M,S,R,T,V(S)) и европейских опционов пут BSPutValue (M,S,R,T,V(S)). Практически значения волатильностей для различных значений страйков выпускаемых внебиржевых опционов находятся с помощью встроенной функции ПРОСМОТР (S;V(S)) или в английской версии EXCEL VLOOKUP (S;V(S)), которая выбирает значение волатильности по конечной функции волатильности соответствующее страйку выпускаемого опциона.

2.9 Метод оптимизации опционных продуктов

В данном разделе будет рассмотрена задача оптимизации опционных продуктов с возможностью выпуска обычных внебиржевых опционов. В связи, с чем возникает новая задача выбора или оптимизации страйков выпускаемых обычных опционов. Именно в данном смысле далее будет рассмотрено оптимизация опционных продуктов.

Улучшение различных характеристик или оптимизация опционных продуктов на основе обычных опционов состоит в увеличении потенциальной доходности или оптимизации стоимости продуктов, как для клиентских опционных продуктов, так и для получения дополнительной прибыли самим банком. Данная задача может быть решена с помощью частичной/полной замены или добавления обычных внебиржевых опционов с такими же характеристиками, как обычные биржевые опционы, кроме страйков.

Cтрайки внебиржевых опционов определенны некоторым интервалом около стандартных страйков и получаются в результате решения задачи линейной оптимизации, как в случае нахождения оптимальных долей биржевых для построения опционных продуктов: «бычий» структурированный коллар, «пирамидальная» бабочка, структурированная бабочка покупка/продажа волатильности (см. Главу 3). Рассмотрим далее предпосылки построения опционных продуктов в случае оптимизации:

1. Банк может заключать сделки с обычными биржевыми опционами на фьючерс РАО «ЕЭС» на рынке FORTS и выпускать аналогичные обычные внебиржевые опционы, но со страйками отличающимися от страйков биржевых опционов;

2. Обычные биржевые и внебиржевые опционы имеют в качестве базового актива фьючерсы на акции РАО «ЕЭС»;

3. Трейдер по опционам может купить или продать 6-i обычных биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» с 6-i различными страйками (ценами экспирации опционов) и 6-j обычных биржевых опционов пут с 6-j различными страйками (ценами экспирации опционов). В целях оптимизации опционного продукта трейдер может выпустить i внебиржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» и j внебиржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС». Суммарное количество опционов типа колл или путов в любом опционном продукте должно быть ограничено и фиксировано 6-ю опционами одного типа;

4. Введем следующие обозначения для страйков биржевых и внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС». Cледует уточнить, что биржевые опционы заменяются на внебиржевых опционы со страйками отличающимися от биржевых на величину W, но порядок страйков не изменяется:

а) Страйки i выпускаемых внебиржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» обозначим множеством SOC:

SOC = (SOC(0) , … , SOC(i)), SOC(0) < … < SOC(i), i=0…6, (64)

SCi - W ? SOCi ? SCi + W, (65)

б) Страйки 6-i биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» остаются без изменений:

SC = (SC(0) , …, SC(6-i)), SC(0) < … < SC(6-i) , (66)

в) Аналогично, страйки j выпускаемых внебиржевых опционов пут обозначим SOP:

SOP = (SOP(0), … , SOP(j)), SOP(0) < … < SOP(j), j=0…6, (67)

SPj - W ? SOPj ? SPj + W, (68)

г) Страйки 6-j биржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» остаются без изменений:

SP = (SP(0), …,SP(6-j)), SP(0) < … < SP(6-j); (69)

5. Премии выпускаемых внебиржевых опционов колл и пут POC и QOC на фьючерс РАО «ЕЭС» в момент времени Tnow будут оцениваться по модели Блэка-Шоулса, исходя из предпосылки модели оценки внебиржевых опционов с помощью кода VBA в программном продукте EXCEL:

а) Премии i внебиржевых опционов колл на фьючерс РАО «ЕЭС» в виде встроенной функции BSCallValue (M, S, R, T,V):

POC = (POC (0), …, POC(i)), POC > 0, (70)

POC(0) = BSCallValue (M, SOC(0), R, T, V (SOC(0))), (71)

: : :

POC(i) = BSCallValue (M, SOC(i), R, T, V (SOC(i))), (72)

б) Премии j внебиржевых опционов пут на фьючерс РАО «ЕЭС» в виде встроенной функции BSPutValue (M, S, R, T, V):

QOP = (QOP(0), …, QOP(j)), QOP> 0, (73)

QOP(0) = BSPutValue (M, SOP(0), R, T, V (SOP(0))), (74)

: : :

QOP(j) = BSPutValue (M, SOP(j), R, T, V (SOP(j))), (75)

в) Котировочные величины премий 6-i биржевых опционов колл и 6-j биржевых опционов пут на фьючерс на акции РАО «ЕЭС» в момент времени Tnow остаются без изменений:

P = (P1, …, P6-i), (76)

Q = (Q1, …, Q6-j); (77)

6. Предполагается, что при составлении опционной продукта трейдер банка может купить или продать не больше E биржевых или внебиржевых опционов с одним страйком, где E-число (дробное или целое число)>0:

а) Количество купленных или проданных биржевых опционов коллов на фьючерс на акции РАО «ЕЭС» обозначим вектором:

X = (X0, …, X6-i), (78)

Суммарную выплату по позиции биржевых опционов колл в момент времени Texpiry можно выразить следующим образом:

У k=1..6-i ( Xk?max (M-SCk;0)) (79)

б) Количество купленных/проданных внебиржевых опционов коллов на фьючерс на акции РАО «ЕЭС» обозначим вектором:

XOC = (XOC(0), …, X OC(i)), (80)

Суммарную выплату по позиции внебиржевых опционов колл в момент времени Texpiry можно выразить следующим образом:

У k=1..i ( XOCk?max (M-SOCk; 0)), (81)

в) Количество купленных/проданных биржевых опционов путов вектором:

Y = (Y1, …, Y6-j), | Yi.| ? E, (82)

Суммарная выплата по позиции биржевых путов в момент Texpiry составит:

У k=1..6-j (Yk•max (SPk-M; 0)), (83)

г) Количество купленных/проданных внебиржевых опционов пут обозначим вектором:

YOP = (YOP(1), …, YOP(6-j)), | Yi.| ? E, (84)

Суммарная выплата по позиции внебиржевых путов в момент Texpiry составит:

У k=1..j (YOPk? max (SOPk-M; 0)), (85)

7. Фактор наличия BID-ASK-спрэда учитывается путем умножения конечной премии биржевого или внебиржевого опциона с учетом купленного или проданного количества опционов на 0,9 для цены BID и 1,1 для цены ASK;

8. Суммарную денежную выплату опционной продукта, составленного из 12 биржевых/внебиржевых опционов на фьючерс РАО «ЕЭС» в следующих соотношениях: 6-i биржевых опционов коллов и 6-j биржевых опционов пут c стандартными страйками, а также i внебиржевых опционов колл и j внебиржевых опционов путов с отличными от страйков биржевых опционов можно записать в виде следующей функции, зависящей от текущей цены основного актива, премий и долей биржевых и внебиржевых опционов в портфеле (176):

F(P,Q,X,Y,ME) = У k=0..6-i (Xk•(-(PBid(k) или PAsk(k))+max (ME-SCk;0))) + У m=0..6-j (Ym•(-(QBid(m) или QAsk(m))+max (SPm-ME;0)))+ У k=0.. i (XOCk• (-(POC Bid (k) или POC Ask (k)) +max (ME-SOCk; 0))) + У m=0.. j (YOPm? (-(Q OP Bid (m) или Q OP Ask (m)) +max (SOPm-ME; 0))). (86)

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НОВЫХ ОПЦИОННЫХ ПРОДУКТОВ НА ОСНОВЕ ОБЫЧНЫХ БИРЖЕВЫХ ОПЦИОНОВ

В зависимости от типа и сложности запросов клиентов-инвесторов банк может использовать данный инструментарий для построения семейства новых опционных продуктов на основе обычных биржевых опционов. Далее описываются запросы клиентов-инвесторов и принципы построения опционных продуктов, основанные на предпосылках исследования и инструментарии построения сложных опционных продуктов. Выбор инвестором определенного опционного продукта происходит исходя из задаваемых им самим параметрам (cм. раздел 2.2.).

3.1 «Бычий» структурированный коллар Колларом называют опционный продукт внешне очень похожий на «бычий» колл/пут спрэд, но составленный из портфеля продажи опционов колл и покупки опционов пут, с сохранением длинной позиции по основному активу, то есть - это синтетическая стратегия составленная с помощью нескольких типов опционов.

Запрос клиента-инвестора - получить опционный продукт, реализующий комбинацию запросов: «бычий» монотонный наклон + обычный прогноз + защита от падения цены основного актива + монетизация.

Инвестор ожидает умеренного роста цены основного актива до некоторой прогнозной цены ME к моменту Texpiry и ожидает получить максимальные денежные выплаты при цене основного актива равной или больше прогнозной цене ME.

Задача структурирования нового опционного продукта - максимизировать конечную денежную выплату при обычном прогнозе, полном ограничении максимальных потерь, монотонном «бычьем» наклоне на всем промежутке биржевых страйков и отрицательной стоимости.

Принципы построения продукта:

1. Инвестор ожидает умеренного роста цены фьючерса на РАО «ЕЭС» от текущего уровня MNow до уровня ME к моменту Texpiry. При этом ожидаемом уровне цен ME инвестор желает получить максимальную денежную выплату, которая должна быть положительной и определяется следующей формулой с учетом BID-ASK спрэда (исп. формулу (17)):

max F(P,Q,X,Y,ME) = У k=1..6 (Xk•(-(PBid(k) или PAsk(k))+max (ME-SCk;0)) +Yk•(-(QBid(k) или QAsk(k))+max (SPk-ME; 0))) > 0, (87)

2. Уровень максимальных потерь должен быть изначально ограничен отрицательной величиной L (исп. условие (22)):

F (P, Q, X, Y, M = min (SC1;SP1)) = L, (88)

3. Для ограничения максимальных потерь инвестора, при сильном падении цены актива, т.е. для промежутка значений цены [0;min (SC1;SP1)], должно выполняться условие (33), но при котором сумма всех долей путов портфеля должна быть равна нулю:

У k=1..6 Yk = 0, (89)

4. Горизонтальность выплат продукта на промежутке цены актива [max (SC6; SP6); +?] достигается следующим ограничением (исп. условие (36)):