О выборе опционного базиса при использовании CC-VaR на финансовых рынках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А.А. ДОРОДНИЦЫНА РАН

СООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

О выборе опционного базиса при использовании CC-VaR на финансовых рынках

Г.А. Агасандян

МОСКВА 2011

Аннотация

В работе проводится сравнительный анализ проблемы выбора базиса в задачах построения оптимального по континуальному критерию VaR портфеля на дискретных по страйкам рынках опционов. Показывается, что наиболее адекватным задаче является базис из нормированных простейших баттерфляев, а также сводящиеся к нему линейным преобразованием базисы из иных элементарных инструментов опционного рынка. В алгоритме построения портфеля предлагается для упорядочения сценариев использовать их суррогатные вероятности и соответствующие им теоретические цены базисных баттерфляев, служащие аналогом реально формируемых на рынке цен, а назначение вероятностей сценариев производить в соответствии с подлинными, а не суррогатными вероятностями.

Ключевые слова: базовый актив, функция рисковых предпочтений инвестора, континуальный критерий VaR, базис, прогнозная плотность, ценовая плотность, функция относительных доходов, процедура Неймана-Пирсона, оптимальный портфель, опционы.

Континуальный критерий VaR (CC-VaR), введенный в работах автора [1-3], требует, чтобы строящийся из имеющихся на рынке инструментов портфель инвестора порождал случайный доход q, удовлетворяющий неравенствам P{q ()} 1- для всех [0,1] (P{M} - вероятность множества M с точки зрения инвестора). Неотрицательная, монотонно возрастающая и непрерывная функция () задается инвестором и определяет его рисковые предпочтения. Типичным примером может служить функция () = , [0,1], >0; чем больше параметр , тем более инвестор готов рисковать ради увеличения средней доходности.

Исходной для применения CC-VaR является модель теоретического однопериодного рынка, в основе которого лежит некоторый базовый актив (например, акция). Таковым является, в частности, теоретический однопериодный рынок опционов, вообще говоря, с континуальным множеством страйков. В [4] приводятся основные схемы применения критерия и построения оптимального портфеля. В применении к реальному рынку результаты могут рассматриваться как аппроксимация.

В работах [5,6] автора проводится адаптация CC-VaR к дискретным сценарным и опционным рынкам и предлагается дискретная версия алгоритма построения оптимального портфеля. В работе [7] предлагается расширенная версия дискретного алгоритма для случая, когда в качестве базисных инструментов выбираются произвольные инструменты, торгуемые на рынке и называемые в отличие от базисных баттерфляев элементарными.

В настоящей работе проводится сравнительный анализ проблемы выбора базиса в дискретной задаче построения оптимального портфеля с учетом погрешностей, присущих дискретизации.

Сценарный рынок как дискретный аналог -рынка

В основе теоретического однопериодного рынка лежит базовый актив, цена которого в начале периода известна, а в его конце - случайна с плотностью p(x), xX = [a, b), составляющей прогноз инвестора. На рынке торгуются -инструменты D(s) с платежной функцией, равной -функции относительно s. Это значит, что инструмент D(s) дает нулевой доход, если x s, и бесконечный, если x = s, а интеграл от такой функции на X равен единице. Далее платежная функция произвольного инструмента I обозначается р(x; I) и, стало быть, р(x; D(s)) = (x-s). Такой рынок называем -рынком.

Цена инструмента |D(s)| = c(s), sX, задается рынком (обозначение |I| применяется для рыночной цены инструмента I), и предполагается, что интеграл от нее по множеству X равен единице. В таком случае функция c(s), sX, приобретает свойства плотности и ее можно интерпретировать как плотность вероятности, порождаемую рынком, и называть ценовой плотностью.

В свою очередь, плотность p(x), xX, можно рассматривать как справедливую с точки зрения инвестора (его прогноза) цену

д-инструмента и записывать ||D(x)|| = p(x) (всюду далее для справедливой цены инструмента I используется обозначение ||I||). Плотности p(x) и c(x) определяют меры P{} и C{} соответственно.

Простейшей схемой дискретизации континуального д-рынка, равно как и континуального рынка опционов, служит сценарный рынок. Сценарии Si X определяются равномерным разбиением множества X на n интервалов, при этом Si = [xi-1, xi), i I = {1,…,n}, xi = a + h i, h = (b - a)/n, i I0 = I {0}. Равномерность разбиения естественна в приложении к опционному рынку, рассматриваемому далее. Параметр h означает длину сценария. При последующем рассмотрении дискретного опционного рынка особую роль играют центры сценариев si, iI. Они становятся страйками возможных опционов колл и пут. Имеет место

si = (xi-1 + xi)/2 = h (i - 1/2) + a, iI. (1)

Расстояние между соседними страйками равно h. Полагаем еще s0 = a, sn+1 = b, но эти параметры страйками не являются.

На сценарном рынке базисными инструментами служат дискретные аналоги инструментов D(s) - инструменты Di = H[Si], iI, - "индикаторы" соответствующих множеств, при этом р(x; H[Si]) = чi(x), где чi(x) - характеристическая функция множества Si, равная единице при xSi и нулю при xSi. Стоимости этих инструментов задает рынок, но их можно получать и из ценовой плотности. Они образуют неотрицательный вектор cS ? {cS,i, iI}, где

, iI. (2)

(Индекс S подчеркивает сценарное происхождение вектора и пригодится нам в дальнейшем.) Этому вектору противостоит сценарный прогнозный вероятностный вектор pS ? {pS, i, iI},

, iI. (3)

Очевидно, pS, i = E чi(x), iI, E - символ математического ожидания; т.е. вероятность сценария Si равна среднему доходу от инструмента Di и одновременно его справедливой ценой.

Сценарная дискретизация может служить средством получения аппроксимации к "идеальным" решениям для теоретического континуального рынка, но также и быть вынужденной, порожденной естественными ограничениями, принятыми на рынках. Так, реальный рынок опционов "навязывает" нам вариант дискретизации модели, обусловленный конечным множеством торгуемых страйков.

Построение оптимального портфеля для сценарного рынка основывается на сравнении полученных векторов pS и cS. Для этого используется рассмотренная в [5] адаптация к дискретному сценарному рынку алгоритма построения оптимального портфеля инвестора на теоретическом -рынке для CC-VaR, предложенный автором

в [1-3]. При этом упорядочение сценариев производится лишь посредством векторов pS и cS (т.е. упорядоченность в пределах сценария игнорируется в соответствии с предположением C' из [5]).

Алгоритм построения оптимального портфеля

Алгоритм использует процедуру Неймана-Пирсона (см., например, [8]) и представляет собой проецирование континуального алгоритма построения оптимального по CC-VaR портфеля. Как отмечалось в [5], такое проецирование не гарантирует оптимальности, но ее нарушение происходит редко и эффект от него незначителен. В связи с этим результирующий дискретный портфель также будем называть оптимальным.

Мы представляем алгоритм в варианте работы [7], в котором за основу берется не обязательно сценарный базис, образованный сценарными инструментами, а какой-либо иной, состоящий из некоторых их комбинаций, которые мы называли в [7] элементарными инструментами. Переход от такого базиса к сценарному осуществляет матрица Y. Случай с исходным сценарным базисом выделяется условием Y = I, где I - единичная матрица. Кратко опишем алгоритм.

Обозначения (всюду принимается i,jI, I ? {1,…,n}):

s ? {si} - вектор элементарных инструментов;

m ? {mi}, mi = |si| - рыночная стоимость i-го инструмента;

Y ? {yij}, yij = si(j) - доход от i-го инструмента на j-м сценарии, при этом для определенности принимается, что сценарный доход рассчитывается, например, для центра сценария;

w ? iI wi si ? (w, s) - портфель элементарных ценных бумаг;

w(j) = i wi si(j) = i wi yij - доход от портфеля на j-м сценарии;

ы ? {ыi, iI}, вектор сценарных базисных инструментов, для которых ыi(j) = ij; ы = Z s, или ыi = jI zij sj, где Z = [zij] - матрица весов в портфелях; возможны постановки задачи сразу с матрицей Z, притом не обязательно квадратной, и без Y;

ыi(j) = kI zik sk(j) = kI zik ykj = дij, т.е. Z = Y-1;

c = Z m, ci = |ыi| = jI zij mj - цена i-го базисного инструмента;

iI ыi - единичный безрисковый инструмент;

p ? {pi} - прогнозный вектор вероятностей сценариев.

Дискретный алгоритм:

с ? {сi}, сi = pi/ci, - относительный доход для i-го сценария;

? {i}, оi - номер сценария с i-м по величине отношением сi;

О ? {оij}, оij = {1, j = оi; 0, j ? оi}, - матрица упорядочения;

d = О p - переупорядоченный (в порядке о) вектор p;

Ф ? {tij}, tij = {1, i j; 0, i > j}, - треугольная суммирующая матрица;

е = Ф d - кумулятивный вектор вероятностей;

b = (е) - вектор назначаемых портфельных весов (возможны и иные назначения, см. [5]).

Оптимальный портфель:

g = (g, ы) = (w, s), g = b О, w = g Z = b О Z;

A = |g| = (w, m) - стоимость портфеля (инвестиционная сумма);

R = (g, p) - средний доход от портфеля;

r = R/A - средний относительный доход от портфеля.

Опционный аналог сценарного рынка

Другой, в большей степени отвечающей картине реального рынка моделью дискретизации континуального д-рынка, как и континуального рынка опционов, служит идеальный дискретный по страйкам опционный рынок. Под идеальным опционным рынком понимаем такой, на котором цены продавца совпадают с ценами покупателя, а комиссионные равны нулю. При этом прогноз и рыночные цены заданы в форме плотностей p(x) и c(x) соответственно на общем для них множестве X.

Основные конструкции

Алгоритм предыдущего раздела применим и к рынку опционов. Для распространения всех структурных элементов сценарного рынка на опционный с конечным числом страйков следует провести соответствие между базисными инструментами обоих рынков. Как отмечалось в работах [5,6], наиболее естественным способом выглядит замена сценарного базиса базисом из нормированных простейших баттерфляев. Такая замена базисных инструментов вынужденная, поскольку на дискретном по страйкам опционном рынке инструменты типа Di, как правило, отсутствуют и их можно реализовать лишь приближенно. Такой базис назовем каноническим.

Разумеется, подобная замена базисных инструментов может порождать, вообще говоря, дополнительные условия того, что оптимальный на теоретическом д-рынке портфель не будет оптимальным на рынке опционов. Эти эффекты тем сильнее, чем больше различаются цены базисных баттерфляев и соответствующих им сценарных инструментов. Понятно, что чем меньше кривизна функции плотности, тем меньше таких эффектов. Кроме того, очевидно, что с ростом числа сценариев они также пропадают. Подчеркнем, что, конструируя оптимальные портфели на сценарном и дискретном опционном рынках, мы их рассматриваем лишь как заслуживающее внимания приближение к подлинно оптимальному портфелю.

При равномерной решетке страйков рассматривается сценарный рынок с равномерным разбиением множества X на сценарии. В этом случае сценарии Si, iI, привязываются к страйкам, притом так, что страйки становятся их центрами. Каждый сценарный базисный инструмент Di, i = 2,...,n, (за исключением крайних сценариев S1 и Sn) следует заменить соответствующим простейшим нормированным баттерфляем, образованных тремя соседними страйками (см., например, [5,9]). Для простоты записи полагаем Ci ? C(si), iI. Тогда

экономический опционный базисный баттерфляй

Bi = (Ci - 1 - 2Ci + Ci + 1)/h. (4)

Вместо коллов можно использовать путы, допустимы и смешанные представления. Инструменты Di для крайних страйков с i = 1, n заменяются соответственно нормированными простейшими спрэдами

B1 = M + (C2 - C1)/h, (5)

Bn = (Cn - 1 - Cn)/h. (6)

Оба последних базисных инструмента являются усеченными баттерфляями, и мы их также называем базисными баттерфляями. В соотношении (5) M означает единичный маржевый инструмент, при этом р(x; M) = р(x; U) ? 1. Базис В = {Bi, iI} назовем каноническим.

Для каждого iI интегралы от платежных функций для сценарных и опционных базисных инструментов совпадают, так как основание треугольника, образующего платежную функцию баттерфляя, превышает длину сценария (и расстояние между ближайшими страйками) h в 2 раза. Кроме того, iI Di = iI Bi = U.

Вектор цен базисных баттерфляев обозначим cB. Очевидно, точного равенства его с вектором cS, введенного для сценарного рынка, ожидать не следует.

На реальном рынке вектор cB получается из цен торгуемых на рынке опционов. В нашей теоретической модели можно действовать аналогично, находя сначала компоненты этого вектора, предварительно определив стоимости всех котируемых на рынке опционов, а из них и цены базисных баттерфляев. Однако проще получать эти цены интегрированием плотности c(x) с подходящими весовыми функциями, равными платежным функциям рi(x) ? р(x; Bi), iI. Оба способа предлагаются ниже.

Опционный портфель, получаемый заменой базисных инструментов Di инструментами Bi с сохранением их весов в портфеле, также будем называть оптимальным, он служит опционным аналогом оптимального сценарного портфеля.

Вычисление рыночных и справедливых цен опционов

Наша ближайшая цель - определить (рыночные) цены опционов колл и пут для заданной правилом (1) страйков, а также их справедливые цены. В первом случае для этого используется ценовая плотность c(x), а во втором - прогнозная плотность p(x), xX. При этом применяются известные формулы для цен опционов.

В первом случае для коллов и путов имеем соответственно

, (7)

. (8)

На дискретном по страйкам рынке нас будут интересовать такие цены лишь для торгуемых на рынке страйков. Введем векторы

uC ? {|Ci|, iI}, uP ? {|Pi|, iI}. (9)

Они определяют рыночные цены всех коллов и путов. По ним можно рассчитывать цены любых допустимых на рынке опционных комбинаций. В частности, с учетом формул для базисных баттерфляев (4)-(6) имеем cB ? {cB, i, iI}, где

, i = 2, …, n-1, (10)

, (11)

. (12)

Другой способ расчета этих цен связан непосредственно с платежными функциями рi(x), iI, базисных баттерфляев. Несложно удостовериться в том, что имеют место соотношения

,

,

.

Кроме того,

.

Используя эти соотношения, вместо (10)-(12) получаем

, i = 2, …, n-1,

,

.

Аналогичные формулы можно выписать, используя вместо коллов путы, а также те и другие в едином представлении. На идеальном рынке в соответствии с теоремами паритета опционов все они должны давать одинаковые результаты.

Эти цены базисных баттерфляев Bi являются опционным аналогом для цен сценарных базисных инструментов Di. Их можно использовать в алгоритме, сравнивая с прогнозными вероятностями, векторы которых мы далее рассматриваем в двух версиях:

вектора pS, определяемого формулами (3), и вектора pB, задаваемого аналогично cB, но с использованием не рыночных, а справедливых цен. Имеем (x, s X)

. (13)

Отсюда определяются векторы справедливых цен коллов и путов соответственно

vC ? {||Ci||, iI}, vP ? {||Pi||, iI}. (14)

Вектор pB теперь определяется по формулам, аналогичным (10)-(12), с заменой uC > vC, uP > vP. Имеем pB ? {pB, i, iI}, где

, i = 2, …, n-1, (15)

, (16)

. (17)

Другой способ вычисления этих цен также связан непосредственно с платежными функциями рi(x), iI, именно .

Имеем , i = 2, …, n-1,

,

.

Таким образом, компонентами вектора pB служат средние доходы по базисным инструментам - баттерфляям Bi, iI. При этом они уже не являются вероятностями сценариев в чистом виде, а лишь их некоторыми приближениями. Их будем называть (прогнозными) суррогатными вероятностями для базисных баттерфляев.

По аналогии со сценарным рынком, эти вероятности можно интерпретировать и как справедливые с точки зрения инвестора цены баттерфляев Bi, iI, соответствующие его прогнозу.

Возможные варианты алгоритма построения оптимального портфеля

Алгоритм построения оптимального портфеля в соответствии с процедурой Неймана-Пирсона требует покомпонентного сравнения векторов p и c путем упорядочения компонент вектора относительных доходов с ? p / c. Разумеется, здесь в исследовательских целях можно рассматривать все четыре возможных варианта сочетаний прогнозного и ценового векторов: {pS, cS}, {pB, cS}, {pS, cB}, {pB, cB}. Варианты задачи с такими парами обозначаются соответственно #SS, #BS, #SB, #BB. Кроме них далее рассматривается и разновидность последнего варианта, обозначаемая #BsB.

Оба первых варианта с cS обычно на реальных опционных рынках не реализуемы. Но в любом случае вариант #SS является результатом простого проецирования исходной теоретической континуальной модели на сценарный рынок и интересен как приближение дискретно-опционного рынка в целях последующего сравнения с иными вариантами. Что касается варианта #BS, то он сразу представляется неестественным и потому далее не рассматривается.

Изначально представляется, что упорядочение сценариев по величине относительного дохода лучше осуществлять именно использованием однотипных сравнительных характеристик прогноза и рынка, т.е. соотнося либо pS с cS, либо pB с cB. Но в случаях, когда нужно применять методологию CC-VaR к дискретно-опционным рынкам, на которых заданы цены опционов для конкретных страйков, логичнее пользоваться вторым способом, поскольку плотность c(x) является фактически лишь теоретической абстракцией.

Имеет смысл в вариантах с pB назначение весов проводить также с помощью вектора pS. Именно поэтому при анализе рассматривается и смешанный вариант #BsB, в котором, как и в варианте #BB, упорядочение сценариев (баттерфляев), проводится по величине отношений pB, i/cB, i, iI, но назначение портфельных весов в алгоритме проводится посредством вектора pS. В дальнейшем эти построения будут проиллюстрированы на примерах.

Ниже приводятся основные этапы и обозначения дискретной проекции общего алгоритма для CC-VaR, нацеленного на построение оптимального по этому критерию портфеля.

В этом случае стандартный дискретный алгоритм можно было бы модифицировать следующим образом. Мы здесь выписываем только те операции алгоритма из разд. 1, в которых допускаются изменения. В нем под парой {p, c} без индексов понимается любая из трех возможных пар векторов, и алгоритм может работать с любой из них.

Модифицированные операции алгоритма.

с ? (сi, iI), сi ? pi/ci, - относительный доход для i-го сценария (здесь фигурирует именно любая вариантная пара векторов {p, c}!);

d = О pS = pS[о] - переупорядоченный (в порядке о) вектор pS (здесь фигурирует именно pS, а не произвольный вектор p!);

A = (g, cB) = (b, cB[о]) - стоимость портфеля;

R = (g, pS) = (b, pS[о]), R = (g, pB) = (b, pB[о]) - средний доход. ?

Здесь оба предлагаемых выражения для среднего дохода портфеля R носят условный (приближенный) характер. Первое выражение дает точное значение для сценарного рынка, но для опционного рынка оба выражения - приближенны. Те же соображения можно отнести и к среднему относительному доходу r.

В данной работе мы ограничиваемся расчетами только упомянутых характеристик инвестиции. При желании определение ее прочих характеристик, таких как функция распределения доходов и относительных доходов, их математическое ожидание и дисперсия, можно проводить в соответствии с методологией работы [5].

Построение оптимального портфеля при базисах, отличных от канонического

Здесь изучается ситуация, когда базис Е ? {Ei, iI} образован элементарными инструментами, не все из которых являются нормированными простейшими баттерфляями. Базис может включать как произвольные опционы, торгуемые на рынке, так и любые их линейные комбинации. Допустим и единичный (безрисковый) актив U. Базис содержит n инструментов.

Матрица Y ? {yij, i,jI} образуется по правилу: yij - доход, получаемый от инструмента Ei при реализации сценария Sj, при этом доход для определенности вычисляется при цене базового актива sj (хотя, вообще говоря, допустим и иной выбор).

Если оказывается, что Det[Y] = 0, требуется пересмотр базиса. В связи с этим представляется разумным подход, согласно которому изначально претендентами на членство в базисе выбираются более n инструментов, а затем из них составляется набор ровно из n инструментов, обеспечивающий неравенство Det[Y] ? 0.

В соответствии с алгоритмом разд. 1 набор E трансформируется в набор (единичных) базисных инструментов Ц ? {Fi, iI}, элемент которого Fi при цене базового актива si порождает единичный доход. Эту трансформацию осуществляет преобразование Y-1: Ц = Y-1 E.

Важно то, что эти базисные инструменты не обязательно совпадают с базисными баттерфляями. И потому результирующий портфель может отличаться от оптимального для задачи с теми же данными, но с каноническим базисом В = {Bi, iI}. Правда, эту несогласованность можно отнести к издержкам дискретизации. Ее масштабы иллюстрируются далее на примерах.

Тем не менее в таких случаях в силу специфики платежных функций коллов и путов, как правило, сохраняется равенство ?iI Fi = U.

Обозначим через mi ? |Ei| рыночную цену элементарного инструмента Ei, iI; в совокупности они образуют вектор m ? {mi, iI}. Все эти цены находим, используя полученные по формулам (9) цены всех коллов и путов, торгуемых на рынке, т.е. векторы uC и uP. При этом используется аддитивное свойство ценообразования, принятое для рассматриваемого нами теоретического рынка, т.е. цена любого инструмента E ? гU + ?iI (бйCй + вйPй) определяется правилом |E| = г + ?iI (бi|Ci| + вi|Pi|).

Наконец, вектор m трансформируется в вектор цен единичных базисных инструментов cE = Y-1 m, cE,i ? |Fi|, iI.

Аналогично находится вектор pE ? {pE,i, iI} справедливых цен единичных базисных инструментов. Обозначим через li ? ||Ei||, iI, справедливую цену элементарного инструмента Ei; в совокупности они образуют вектор l ? {li, iI}. По формулам (14) находятся векторы vC и vP цен всех коллов и путов, торгуемых на рынке, а затем и все цены li, iI. В конечном счете, вектор l трансформируется в вектор pE справедливых цен единичных базисных инструментов по правилу pE = Y-1 l, pE,i ? ||Fi||, iI.

Появление векторов pE и cE требует от нас модификации вариантов алгоритма построения оптимального портфеля. Эти векторы дают иные возможные сочетания вероятностного и ценового векторов - {pS, cE}, {pE, cS}, {pE, cE}. Варианты задачи с такими выбранными для сравнения парами обозначаются соответственно #SE, #ES, #EE. Как и ранее, кроме них далее рассматривается и разновидность последнего варианта, обозначаемая #EsE. И вновь ввиду изначальной неестественности вариант #ES далее не рассматривается.

Особенности проблемы выбора базиса для опционного рынка прослеживаются далее на примерах построения оптимального опционного портфеля инвестора.

Сравнительный анализ базисов: пример 1

Для удобства формирования данных задачи построения оптимального портфеля во всех последующих примерах полагаем a = -1, b = 1, т.е. X = [-1, 1) (все результаты легко переносятся на любой другой конечный полуинтервал, и отрицательные цены не должны смущать читателя). Примем еще, что на рынке торгуют всеми коллами и путами с n = 10 страйками.

Пример 1. Пусть

p(x) ? 17/30 - x2/5, c(x) ? 13/24 + x/15 - x2/8, xX. (17)

Сначала в качестве основы для последующих сравнений рассмотрим сценарный рынок. Используя формулы (2) и (3), находим

pS = {0.0808, 0.0936, 0.1032, 0.1096, 0.1128, 0.1128, 0.1096, 0.1032, 0.0936, 0.0808}; (18)

cS = {0.076, 0.0866667, 0.0953333, 0.102, 0.106667, 0.109333, 0.11, 0.108667, 0.105333, 0.1}.

Применение алгоритма в чисто сценарном варианте, т.е.

при p = pS, c = cS, дает решение:

о = {10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 4, 2, 3};

g = {0.481081, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.375524, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.363512, R = 0.386373, y = 0.0628904;

G = ? iI giDi. (19)

Обратимся теперь к рынку опционов и рассмотрим сначала базис из баттерфляев, а затем базис из элементарных инструментов, являющихся собственно коллами (с добавлением единичного инструмента U).

Базис из простейших нормированных баттерфляев

Пример 1.1. Рассматривается опционный рынок, для которого плотности p(x) и c(x) задаются соотношениями (18), а базис является каноническим, В ? {Bi, iI}. Для определенности используем коллы (с тем же успехом можно применять путы - результат на идеальном рынке будет тот же).

Инструменты Bi, iI, задаются формулами (4)-(6). Поэтому

В = {U - (C1 - C2)/h, (C1 - 2C2 + C3)/h, (C2 - 2C3 + C4)/h, (C3 -2C4 + C5)/h, (C4 - 2C5 + C6)/h, (C5 - 2C6 + C7)/h, (C6 - 2C7 + C8)/h, (C7 -2C8 + C9)/h, (C8 - 2C9 + C10)/h, (C9 - C10)/h}. (20)

В рамках общей задачи отмечаем, что в данном примере элементарными инструментами являются простейшие нормированные баттерфляи. Поэтому при построении оптимального портфеля используется алгоритм в версии Y = I. Сначала рассматривается

Вариант #SS. В данном варианте принимается p = pS, c = cS. Строго говоря, его нельзя считать реальным, поскольку опционный рынок обычно цен cS не формирует. Но в целях сравнения его можно рассматривать как приближение, если интерпретировать компоненты вектора как аппроксимацию цен базисных баттерфляев для рынка опционов. Результат применения алгоритма тот же, что и для сценарного рынка, т.е.

о = {10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 4, 2, 3};

g = {0.481081, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.375524, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.363512, R = 0.386373, y = 0.0628904.

Однако оптимальный портфель строится иначе. Он получается из портфеля (20) в результате замены инструментов Di инструментами Bi соответственно, iI, а последние выразить через коллы. В результате после приведения подобных членов получаем

GSS = 0.481081 U + 1.61585 С1 - 0.637098 С2 - 2.7531 С3 + 0.426317 С4 + 0.720413 С5 + 0.127238 С6 + 0.13607 С7 + 0.131078 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10.

Перейдем к другим вариантам. Для их реализации нам потребуются векторы cB и pB.. Для вычисления вектора cB сначала определяются теоретические стоимости коллов и путов по формулам (7), (8). (Формулы для путов в данном примере мы не используем, но в последующих примерах они нам пригодятся.) Имеем (x,sX)

,

.

Используем их для вычисления векторов uC и uP. По формулам (9) получаем соответственно

uC = {0.946246, 0.761535, 0.594141, 0.445796, 0.317835, 0.211191, 0.126396, 0.0635851, 0.0224906, 0.00244618}, (21)

uP = {0.00180174, 0.0170906, 0.0496962, 0.101352, 0.173391, 0.266746, 0.381952, 0.519141, 0.678046, 0.858002}. (22)

Для вычисления вектора pB по формулам (13) вычисляются справедливые цены тех же коллов и путов. Имеем

,

.

С помощью формул (14) аналогично находим векторы

vC = {0.901898, 0.718165, 0.553125, 0.408698, 0.286165, 0.186165, 0.108698, 0.053125, 0.018165, 0.00189833}, (23)

vP = {0.00189833, 0.018165, 0.053125, 0.108698, 0.186165, 0.286165, 0.408698, 0.553125, 0.718165, 0.901898}. (24)

Теперь вектор cB цен базисных баттерфляев получаем из вектора стоимостей коллов uC по формулам (10)-(12). В результате получаем

cB = {0.0764444, 0.0865833, 0.09525, 0.101917, 0.106583, 0.10925, 0.109917, 0.108583, 0.10525, 0.100222};

Аналогично вектор pB получаются из вектора vC по формулам (15)-(17):

pB = {0.0813333, 0.0934667, 0.103067, 0.109467, 0.112667, 0.112667, 0.109467, 0.103067, 0.0934667, 0.0813333}. (25)

Полученные векторы pB и cB позволяют рассмотреть остальные варианты.

Вариант #SB. Вариант состоит в использовании пары векторов {pS, cB}.

Упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pS/cB. Единственное исключение допускается при вычислении среднего портфельного дохода по формуле R = (b, pB[о]). Это связано с тем, что таким образом можно избежать дополнительных ошибок дискретизации, так как именно величина pB,i, а не pS,i, дает верное значение среднего дохода по баттерфляю Bi, iI.

Вычисления согласно такому алгоритму дают:

о = {10, 9, 8, 7, 6, 1, 5, 4, 2, 3};

g = {0.337329, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.481081, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.363711, R = 0.38639, y = 0.0623542;

GSB = 0.337329 U + 2.33461 С1 - 1.35586 С2 - 2.7531 С3 + 0.954102 С4 - 0.335158 С5 + 0.655024 С6 + 0.13607 С7 + 0.131078 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10. (26)

Очевидно, GSB ? GSS, что обусловлено различием в упорядоченностях (хотя правило назначения вероятностей едино).

Вариант #BB. Вариант использует пару векторов {pB, cB}. В частности, упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pB/cB. И даже назначение вероятностей производится в алгоритме по формуле d = pB[о], хотя, как мы уже видели, несмотря на близость векторов pB и pS, непосредственное отношение к вероятностям имеет именно второй из них, в то время как первый отвечает за средние доходы от базисных баттерфляев.

Вычисления дают:

о = {10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 4, 2, 3};

g = {0.481636, 0.804489, 1.0, 0.645559, 0.37536, 0.25, 0.150027, 0.0772099, 0.030555, 0.00661511};

A = 0.36359, R = 0.386332, y = 0.0625486;

GBB = 0.481636 U + 1.61427 С1 - 0.636714 С2 - 2.74976 С3 + 0.421215 С4 + 0.724189 С5 + 0.126938 С6 + 0.135778 С7 + 0.130812 С8 + 0.113575 С9 + 0.1197 С10. (27)

Курсивом и жирным шрифтами отмечены веса компонент портфеля, подверженные изменению при переходе к иному базису, о чем пойдет речь далее в разд. 3.2.

Вариант #BsB. Вариант состоит в использовании пары векторов {pB, cB}. В частности, упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pB/cB. Единственное исключение допускается при назначении вероятностей, которое производится в алгоритме по формуле d = pS[о], что, как мы уже говорили, имеет более непосредственное отношение к вероятностям.

Вычисления согласно такому алгоритму дают:

о = {10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 4, 2, 3};

g = {0.481081, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.375524, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.36345, R = 0.386189, y = 0.062566;

GBsB = 0.481081 U + 1.61585 С1 - 0.637098 С2 - 2.7531 С3 + 0.426317 С4 + 0.720413 С5 + 0.127238 С6 + 0.13607 С7 + 0.131078 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10. (28)

Отметим, что наиболее логичным представляется вариант с построением портфеля GBsB. Это связано с тремя обстоятельствами:

? в отличие от варианта #SB упорядочение проводится по однотипным векторам (pB и cB);

? в отличие от варианта #BB вероятности назначаются в соответствии с подлинными (pS), а не суррогатными вероятностями сценариев;

? в отличие от варианта #SS используются теоретические цены (cB), которым соответствуют реально формируемые на рынке цены.

Эту качественную оценку можно формально записать соотношением предпочтения #BsB (#BB, #SB, #SS), интерпретируя знак словом "лучше".

Общее графическое сравнение результатов проводится далее после изучения иного способа выбора базиса.

Базис из коллов

Пример 1.2. Рассматривается рынок, для которого плотности p(x) и c(x) также задаются соотношениями (18), но базис выбирается иным, не сводимым к базису из простейших нормированных баттерфляев.

Сделаем попытку "бесхитростного" (чисто формального) использования базиса из элементарных инструментов, в качестве которых возьмем обыкновенные коллы в количестве n - по одному для каждого страйка (с тем же успехом можно было бы применять путы - результат был бы тот же). Обозначим этот набор через Е' ? {Ci, iI}. Для него матрица Y' = {yij, i,jI} вводится правилом

yij = {max[0, sj-si] = h(j-i), j ? i; 0, j < i}, i,jI.

Очевидно, последняя строка в этой матрице нулевая, и потому Det[Y'] = 0. В таком виде набор Е' нас устроить не может, и необходимы изменения. Поменяем Cn на единичный инструмент U. Новый набор обозначим

Е = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, U}, (29)

а новую матрицу - Y. Ее последняя строка теперь определяется правилом: ynj = 1, jI. Имеем

,

при этом уже Det[Y] ? 0, а обратная к ней матрица

.

Невырожденность матрицы Y позволяет использовать новый базис Е из коллов в качестве основы при построении оптимального портфеля. Важно отметить, что в отличие от случая с базисом В из баттерфляев примера 1.1 предыдущего раздела при этом не будет участвовать колл С10.

Поскольку Y ? I, при построении оптимального портфеля необходимо использовать полную (расширенную) версию алгоритма. Рассмотрим нормированный базис Ц ? {Fi, iI}, который получается из базиса Е линейным преобразованием и который обладает тем свойством, что доходы инструмента Fi при цене x, равной j-му страйку, равен единице, если j = i, и - нулю, если j ? i. Тогда в соответствии с алгоритмом

Ц = Y-1 Е, (30)

и потому

Ц = {U - 5С1 + 5С2, 5С1 - 10С2 + 5С3, 5С2 - 10С3 + 5С4,

5С3 - 10С4 + 5С5, 5С4 - 10С5 + 5С6, 5С5 - 10С6 + 5С7, 5С6 -10С7 + 5С8, 5С7 -10С8 + 5С9, 5С8 - 10С9, 5С9}.

Сравним полученный базис Ц с базисом из нормированных баттерфляев В. Легко обнаруживается, что

Fi = Bi, i =1,2,…,8, (31)

F9 = 5 С8 - 10 С9 ? B9 = 5 С8 - 10 С9 + 5 С10, (32)

F10 = 5 С9 ? B10 = 5 С9 - 5 С10. (33)

Тем не менее при этом выполняются соотношения

F9 + F10 = B9 + B10 = 5С8 - 5С9.

Поэтому оказывается справедливым также равенство

?iI Fi = ?iI Bi = U.

Графики платежных функций инструментов F9, F10 и их суммы F9 + F10 изображены на рис. 1. Бросается в глаза, что при переходе к новому базису сумма этих базисных инструментов не претерпевает изменений, но каждый инструмент в отдельности сильно отличается от прежнего. Платежная функция первого из них и вовсе может принимать отрицательные значения. Хотя, как и должно быть, в точках, совпадающих со страйками, значения платежных функций F9 и F10 совпадают со значениями платежных функций B9 и B10 соответственно.



Рис. 1. Графики платежных функций инструментов F9 = 5 С8 -10 С9, F10 = 5 С9 и их суммы

Численные значения векторов m = |Е| и l = ||Е|| (имеются в виду покомпонентные равенства) получаются из представления (30) подстановкой в них необходимых компонент векторов uC из (22) и vC из (24). В результате имеем

m = |Е| = {0.946246, 0.761535, 0.594141, 0.445796, 0.317835, 0.211191, 0.126396, 0.0635851, 0.0224906, 1} (34)

l = ||Е|| = {0.901898, 0.718165, 0.553125, 0.408698, 0.286165, 0.186165, 0.108698, 0.053125, 0.018165, 1} (35)

Теперь векторы cE и pE соответственно рыночных и справедливых цен базисных инструментов из набора Ц получаем из

формул (35) и (36) для коллов. При этом в соответствии с равенством (31) и свойством аддитивности ценообразования

cE = |Ц| = Y-1 |Е|, pE = ||Ц|| = Y-1 ||Е||.

и, кроме того, учитываются формулы (32)-(34). Имеем

|F1| = 1 - 5(|C1|-|C2|)/h, (36)

|Fi| = (|Ci-1|-2|Ci|+|Ci+1|)/h, i = 2,..., 8, (37)

|F9| = (|С8| - 10 |С9|)/h, |F10| = |С9|/h. (38)

В этих равенствах рыночные цены коллов являются компонентами вектора uC. В результате получаем

cE = {0.0764444, 0.0865833, 0.09525, 0.101917, 0.106583, 0.10925, 0.109917, 0.108583, 0.0930191, 0.112453}.

Для вычисления вектора pE используем вектор vC справедливых цен коллов для всех торгуемых страйков. При этом применяются аналогичные (37)-(39) соотношения

||F1|| = 1 - 5(||C1||-||C2||)/h,

||Fi|| = (||Ci-1||-2||Ci||+||Ci+1||)/h, i = 2,..., 8,

||F9|| = (||С8|| - 10 ||С9||)/h, F10 = ||С9||/h.

В результате получаем

pE = {0.0813333, 0.0934667, 0.103067, 0.109467, 0.112667, 0.112667, 0.109467, 0.103067, 0.083975, 0.090825}. (39)

Полученные векторы pE и cE по аналогии со случаем базиса из нормированных баттерфляев позволяют рассмотреть несколько вариантов оптимальных портфелей.

Вариант #SE. Вариант состоит в использовании пары векторов {pS, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pS/cE. В алгоритме в качестве векторов p и c всюду используются именно векторы pS и cB, за исключением того, что средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pE[о]). Вычисления согласно такому алгоритму дают:

о = {10, 8, 7, 9, 6, 1, 5, 4, 2, 3};

g = {0.337329, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.481081, 0.25, 0.086201, 0.033856, 0.149924, 0.00652864};

A = 0.36284, R = 0.38477, y = 0.0604414;

GSE = w E = g Y-1 E = 0.337329 U + 2.33461 С1 - 1.35586 С2 - 2.7531 С3 + 0.954102 С4 - 0.335158 С5 + 0.33641 С6 + 0.55727 С7 + 0.842064 С8 - 1.29732 С9 + 0 С10.

Вариант #EE. Вариант состоит в использовании пары векторов {pE, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pE/cE. В алгоритме в качестве векторов p и c соответственно используются векторы pE и cE. Это относится и к назначению вероятностей по формуле d = pB[о]. Вычисления согласно такому алгоритму дают:

о = {10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 4, 2, 3};

gEE = {0.481636, 0.804489, 1.0, 0.645559, 0.37536, 0.25, 0.150027, 0.0772099, 0.030555, 0.00824918};

A = 0.363481, R = 0.386253, y = 0.0626506;

GEE = w E = g Y-1 E = 0.481636 U + 1.61427 С1 - 0.636714 С2 - 2.74976 С3 + 0.421215 С4 + 0.724189 С5 + 0.126938 С6 + 0.135778 С7 + 0.130812 С8 + 0.121745 С9 + 0 С10. (40)

Вариант #EsE. Вариант состоит в использовании пары векторов {pE, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pE/cE. В алгоритме в качестве векторов p и c используются векторы pE и cE, за исключением того, что назначение вероятностей проводится по формуле d = pS[о]. Вычисления согласно такому алгоритму дают:

о = {10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 4, 2, 3};

gEsE = {0.481081, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.375524, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.363157, R = 0.386373, y = 0.0639282;

GEsE = w E = g Y-1 E = 0.481081 U + 1.61585 С1 - 0.637098 С2 - 2.7531 С3 + 0.426317 С4 + 0.720413 С5 + 0.127238 С6 + 0.13607 С7 + 0.131078 С8 + 0.113798 С9 + 0 С10. ? (41)

Курсивом в результатах помечены отличия в компонентах, возникающие при переходе от В к E. Также для подчеркивания отличия результатов от примера 1.1 специально сохранена запись компоненты портфеля с коллом С10, но теперь она имеет нулевой вес.

Очевидно, gEsE ? gBsB, но при этом gEE ? gBB, так как gEE,n > gBB,n. (хотя gEE,i = gBB,i, i = 1, …, n-1). Поэтому оказывается, что р(x; GEsE) ? р(x; GBsB) лишь при x > sn, а р(x; GEsE) ? р(x; GBsB) лишь при x > sn-1.

Как и в пример 1.1, представляется, что из трех рассмотренных вариантов в наибольшей степени условиям адекватного построения оптимального портфеля отвечает именно портфель GEsE. И связано это с теми же обстоятельствами. Качественную оценку можно формально записать соотношением предпочтения #EsE (#EE, #SE, #SS).

Окончательное сравнение результатов для примера 1 проведем после графического анализа.

Графики и анализ результатов для примера 1

Здесь приводится ряд сравнительных графиков платежных функций оптимальных портфелей в разных вариантах, дающих более наглядное представление об их свойствах. Для придания графикам более зрелищный и различимый вид некоторые из них изображаются с незначительным сдвигом по оси ординат.



Рис. 2. Графики функций р(x; GBB) + 0.015 (непрерывная линия), р(x; GSB) - 0.015 (прерывистая линия)

Заметные на рис. 2 различия в графиках для портфелей GBB и GSB обусловлены различием в упорядоченностях по страйкам, возникающим вследствие различий в векторах cB и cS. График для портфеля GBsB при изображении в принятом на данном рисунке масштабе практически не отличим от графика для GBB и потому здесь не приводится (см. рис. 5 ниже). Также не представлен на рисунке график для портфеля GSS, поскольку р(x; GSS) = р(x; GBsB).

На рис. 3 приводятся аналогичные графики для базиса E. На нем также заметны различия в графиках для портфелей GEE и GSE, обусловленные различием в упорядоченностях по страйкам, возникающим вследствие различий в векторах cE и cS. Здесь также график для портфеля GEsE при изображении в принятом на данном рисунке масштабе практически не отличим от графика для GEE и потому здесь не приводится (см. рис. 5 ниже).



Рис. 3. Графики функций р(x; GEE) + 0.015 (непрерывная линия), р(x; GSE) - 0.015 (прерывистая линия)

На рис. 4 в увеличенном масштабе приводятся графики платежных функций для разностей однотипных портфелей, но полученных для разных базисов, что позволяет оценить степень различия обоих портфелей в двух родственных вариантах. Очевидно, что между вариантами #BsB и #EsE различия незначительны, причем проявляются они лишь в зоне двух наибольших страйков, но более значимы между вариантами #SB и #SE.

Функция р(x; GBB - GEE) в используемом на этом графике масштабе должна почти сливаться с р(x; GBsB - GEsE) и потому на нем не изображается (см. еще рис. 6).

На рис. 5 в еще более увеличенном масштабе приводятся графики для разностей платежных функций родственных портфелей для каждого из двух базисов. В ином аспекте различия между этими четырьмя платежными функциями представлены на рис. 6 и 7.



Рис. 4. Графики функций р(x; GBsB - GEsE) (непрерывная линия), р(x; GSB - GSE) + 0.002 (прерывистая линия)

Рис. 5. Графики функций р(x; GBB - GBsB) (непрерывная линия) и р(x; GEE - GEsE) + 0.00005 (прерывистая линия)

Рис. 6. Графики функций р(x; GBsB - GEsE) + 0.0001 (непрерывная линия) и р(x; GBB - GEE) - 0.0001 (прерывистая линия)



Рис. 7. График функции р(x; GBsB - GEsE) - р(x; GBB - GEE)

Из рис. 5 видно, что различия между вариантами #BB и #BsB весьма незначительны, но более значимы между вариантами #EE и #EsE, причем проявляются они в зоне двух наибольших страйков.

Графики на рис. 6 и 7 становятся очевидными, если провести фактические вычитания в выражениях для платежных функций, заданных соотношениями (28), (29), (41), (42). Имеем

GBsB - GEsE = 0.113798 С9 + 0.119434 С10 - 0.113798 С9 = = 0.119434 С10;

GBB - GEE = 0.113575 С9 + 0.1197 С10 - 0.121745 С9 =

= -0.00818 С9 + 0.1197 С10;

GBsB -GEsE -GBB +GEE = 0.119434 С10 + 0.00818 С9 - 0.1197 С10 = = 0.008180 С9 - 0.000266 С10 ? 0.008180 С9.

Комментарий.

В качественном отношении результаты условно можно записать соотношениями:

(р(x; GBB) ? р(x; GBsB) = р(x; GSS)) ? р(x; GSB) (различие не превосходит 0.0006);

(р(x; GEE) ? р(x; GEsE)) ? р(x; GSE) (различие не превосходит 0.0025).

При этом приближенные равенства следует объяснять взаимной близостью векторов pB, pE и pS, а неравенства - разными упорядоченностями по страйкам.

Пример 2: большее расхождение рыночных и справедливых цен

Рассматривается теперь пример 2, повторяющий все условия предыдущего примера 1 с единственным отличием. Произведем лишь замену ценовой плотности. Пусть на этот раз

p(x) = 17/30 - x2/5, c(x) = 13/24 + x/30 - x2/8, xX.

Как и в разд. 3, рассмотрим две задачи - с базисом из простейших нормированных баттерфляев и базисом из девяти коллов, дополненным единичным инструментом. Все рассуждения и построения предыдущего примера сохраняются, и мы не будем подробно их повторять, ограничившись лишь результатами.

Варианты оптимальных портфелей

В данном случае векторы pS, vC, vP, pB, l, pE, определяемые прогнозной плотностью, по сравнению с примером 1 не меняются и задаются соответственно формулами (19), (24), (25), (26), (36), (40); неизменной остается и матрица Y. Но векторы, определяемые ценовой плотностью, подлежат пересчету. На этот раз имеем

cS = {0.082, 0.0913333, 0.0986667, 0.104, 0.107333, 0.108667, 0.108, 0.105333, 0.100667, 0.094};

uC = {0.901898, 0.718165, 0.553125, 0.408698, 0.286165, 0.186165, 0.108698, 0.053125, 0.018165, 0.00189833};

uP = {0.00189833, 0.018165, 0.053125, 0.108698, 0.186165, 0.286165, 0.408698, 0.553125, 0.718165, 0.901898};

cB = {0.0823889, 0.09125, 0.0985833, 0.103917, 0.10725, 0.108583, 0.107917, 0.10525, 0.100583, 0.0942778};

m = {0.924185, 0.740663, 0.575391, 0.429835, 0.305063, 0.201741, 0.120135, 0.0601128, 0.0211406, 1};

cE = m Y-1 = {0.0823889, 0.09125, 0.0985833, 0.103917, 0.10725, 0.108583, 0.107917, 0.10525, 0.089158, 0.105703}. (42)

Вариант #SS.

о = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0.128451, 0.315395, 0.604662, 1.0, 0.792812, 0.454815, 0.219024, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.372965, R = 0.387965, y = 0.0402203;

GSS = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 - 3.01263 С4 - 0.654045 С5 + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10.

Варианты с базисом В

Вариант #SB.

о = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0.128451, 0.315395, 0.604662, 1.0, 0.792812, 0.454815, 0.219024, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.372725, R = 0.387572, y = 0.0398317;

GSB = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 - 3.01263 С4 - 0.654045 С5 + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10.

Вариант #BB.

о = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4}

g = {0.129025, 0.315994, 0.605077, 1.0, 0.79305, 0.455355, 0.219648, 0.0772099, 0.030555, 0.00661511};

A = 0.373057, R = 0.387908, y = 0.0398086;

GBB = 0.129025 U + 0.934846 С1 + 0.510567 С2 + 0.529204 С3 - 3.00937 С4 - 0.653721 С5 + 0.50994 С6 + 0.46634 С7 + 0.478919 С8 + 0.113575 С9 + 0.1197 С10. ? (42)

Вариант #BsB.

о = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0.128451, 0.315395, 0.604662, 1.0, 0.792812, 0.454815, 0.219024, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.372725, R = 0.387572, y = 0.0398317;

GBsB = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 - 3.01263 С4 - 0.654045 С5 + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0.119434 С10. (43)

Варианты с базисом Е

Вариант #SE.

о = {10,8,1,7,2,6,3,9,5,4}

g = {0.070119, 0.219024, 0.467856, 1.0, 0.792812, 0.337329, 0.140175, 0.033856, 0.604662, 0.00652864};

A = 0.370751, R = 0.381394, y = 0.028707;

GSE = w E = g Y-1 E = 0.070119 U + 0.744525 С1 + 0.499635 С2 + 1.41656 С3 - 3.69666 С4 - 1.24148 С5 + 1.29165 С6 + 0.45417 С7 + 3.38563 С8 - 5.84469 С9.

Вариант #EE.

о = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4}

g = {0.129025, 0.315994, 0.605077, 1.0, 0.79305, 0.455355, 0.219648, 0.0772099, 0.030555, 0.00824918};

A = 0.372957, R = 0.387829, y = 0.0398782;

GEE = w E = g Y-1 E = 0.129025 U + 0.934846 С1 + 0.510567 С2 + 0.529204 С3 - 3.00937 С4 - 0.653721 С5 + 0.50994 С6 + 0.46634 С7 + 0.478919 С8 + 0.121745 С9. (44)

Вариант #EsE.

о = {10,9,8,1,7,2,6,3,5,4};

g = {0.128451, 0.315395, 0.604662, 1.0, 0.792812, 0.454815, 0.219024, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864};

A = 0.372452, R = 0.387345, y = 0.0399849;

GEsE = w E = g Y-1 E = 0.128451 U + 0.93472 С1 + 0.511616 С2 + 0.530355 С3 - 3.01263 С4 - 0.654045 С5 + + 0.511027 С6 + 0.469146 С7 + 0.476579 С8 + 0.113798 С9 + 0. C10. (45)

В отличие от примера 1 на этот раз р(x; GSB) = р(x; GSS), и это обусловлено исключительно совпадением упорядоченностей. Также и р(x; GBsB) = р(x; GSS), что объясняется не только совпадением упорядоченностей, но еще и единым для всех трех вариантов правилом назначения вероятностей. Правило назначения вероятностей иное для варианта #BsB и потому, как и следовало ожидать, оказывается, что р(x; GBB) ? р(x; GBsB), но все же можно признать, что р(x; GBB) ? р(x; GBsB).

Как и в примере 1, качественную оценку вариантов можно формально записать соотношением предпочтения #EsE (#EE, #SE, #SS).

Графики и анализ результатов для примера 2

Здесь для примера 2 приводятся графики, аналогичные графикам на рис. 2-7. Различий в графиках для портфелей GBB и GSB в принятом на рис. 8 масштабе практически не заметно, что обусловлено совпадением упорядоченностей по страйкам (см. рис. 11 ниже). График для портфеля GSB одновременно служит графиком для GBsB, так как в данном примере р(x; GBsB) = р(x; GSB).

На рис. 9 приводятся аналогичные графики для базиса E. На нем различия в графиках для портфелей GEE и GSE уже весьма значимы; они обусловлены различием в упорядоченностях по страйкам, возникающим вследствие несовпадения векторов cE и cS. График для портфеля GEsE при изображении в принятом на данном рисунке масштабе должен практически сливаться с графиком для GEE (см. рис. 11 ниже).



Рис. 8. Графики функций р(x; GBB) (непрерывная линия), р(x; GSB) - 0.02 (прерывистая линия)

Рис. 9. Графики функций р(x; GEE) (непрерывная линия) и р(x; GSE) - 0.02 (прерывистая линия)

Рис. 10. Графики функций р(x; GBsB - GEsE) (непрерывная линия), р(x; GSB - GSE) + 0.002 (прерывистая линия)

На рис. 10 в увеличенном масштабе приводятся графики для разностей платежных функций однотипных портфелей для разных базисов, демонстрирующие наличие расхождений.

Рис. 11. Графики функций р(x; GBB - GBsB) (непрерывная линия) и р(x; GEE - GEsE) + 0.00005 (прерывистая линия).

Они позволяют оценить степень различия обоих портфелей в двух родственных вариантах. Очевидно, что между вариантами #BsB и #EsE различия незначительны, причем проявляются они лишь в зоне двух наибольших страйков, но более значимы между вариантами #SB и #SE.

Функция р(x; GBB - GEE) должна на этом графике почти сливаться с р(x; GBsB - GEsE) и потому на нем не изображается (см. рис. 12 ниже).

Для примера 2 аналоги графиков на рис. 6 и 7 можно не строить. Специфика выбора базиса E такова, что изменения по сравнению с базисом В затрагивают лишь последние два базисных инструмента и, кроме того, в обоих случаях о1 = 10, о2 = 9. В то же время изменения в данных коснулись лишь ценовых характеристик и не изменили назначения вероятностей. Вследствие этого функции р(x; GBsB - GEsE) и р(x; GBB - GEE) и их разность в рассматриваемом случае одинаковы для обоих примеров. Поэтому и их графики для примера 2 в точности совпадают с соответствующими графиками для примера 1 (на рис. 6 и 7). В этом можно удостовериться, если провести фактические вычитания в выражениях для платежных функций, заданных соотношениями (43)-(46).

Итак, результаты примеров 1 и 2 схожи, если не считать двух особенностей. Во-первых, в отличие от примера 1 в примере 2 платежные функции р(x; GBsB) и р(x; GSS) совпадают, что следует объяснять игрой случая, управляющего упорядоченностями. Во-вторых, в примере 2 в зоне ответственности крайне правых страйков (при x > sn-1) отклонение р(x; GSE) от р(x; GEE) существенно больше, что связано с изменением ценовой плотности. Общим является то, что в обоих примерах значительные искажения в платежных функциях портфелей оказываются возможными, и происходит это вследствие использования базисов из элементарных инструментов, не сводящихся к каноническому. В остальном выводы из результатов примера 2 делаются аналогичные.

Примеры сведения базиса к каноническому

В данном разделе приводятся два примера базисов, сводящихся к каноническому.

Базис из пут- и колл-спрэдов

Здесь рассматривается пример 3 с использованием данных из примера 1, но применяться они будут к иному базису из элементарных инструментов. Введем более сложный базис, состоящий исключительно из спрэдов, в котором прослеживается целенаправленная избыточность исходного инструментария. В наборе участвуют

путы Pi, i ? 6, и коллы Ci, i ? 5, (всего 12 инструментов), их которых строятся пять пут-спрэдов Si = Pi+1 - Pi, i ? 5, и пять колл-

спрэдов Si = Ci-1 - Ci, i ? 6. Эти инструменты должны играть роль элементарных инструментов в базисе Е. Имеем

Е = {S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, S9, S10} = {P2 - P1, P3 - P2,

P4 -P3, P5 - P4, P6 - P5, C5 - C6, C6 - C7, C7 - C8, C8 - C9, C9 - C10}.