О выборе опционного базиса при использовании CC-VaR на финансовых рынках

Суть базиса в том, что крайние два спрэда (P2 - P1 и C9 - C10) обеспечивают адекватное отображение хвостов прогнозного распределения вероятностей, остальные - кумулятивных вероятностей для двух начинающихся от краев вложенных совокупностей сценариев.

Матрица Y = [yij] для этого базиса образуется по очевидному правилу: yij = h, если i ? 5 и j ? i или если i ? 6 и j ? i, в противном случае yij = 0. Имеем

,

Поскольку Det[Y] ? 0, базис Е является допустимым и его можно использовать для построения оптимального портфеля. Определяя базис Ц по формуле (31), получаем

Ц = Y-1 E = {- (P1 - P2)/h, (P1 - 2P2 + P3)/h, (P2 - 2P3 + P4)/h, (P3 - 2P4 + P5)/h, (P4 - 2P5 + P6)/h, (C5 - 2C6 + C7)/h, (C6 - 2C7 + C8)/h, (C7 - 2C8 + C9)/h, (C8 - 2C9 + C10)/h, (C9 - C10)/h}.

В базисе Ц первые пять инструментов образованы путами, а вторые - коллами, и определение стоимости первых следовало бы проводить по формулам (23), (25), а вторых - (22), (24). Однако из теорем паритета следует, что в представлении для Ц коллы и путы взаимозаменяемы. Поэтому базис Ц эквивалентен канониче-

скому (21), и мы фактически имеем дело с разновидностью задачи для примера 1.1, во всяком случае, для нашего идеального рынка. Поэтому и результаты применения алгоритма можно заимствовать из того же примера. Нам понадобится лишь учесть специфику данного примера в окончательном представлении портфеля.

Итак, рассмотрим три варианта с базисом Е.

Вариант #SE. Вариант состоит в использовании пары

векторов {pS, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pS/cE, но средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pE[о]). При этом pS заимствуется из

примера 1, а cE = cB, где cB, заимствуется из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #SB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0.337329, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.481081, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса В:

GSE = ? iI giBi.

Теперь приводим его к желаемому виду

G3,SE = w E = g Y-1 E = -2.33461 S1 - 0.978749 S2 + 1.77435 S3 + 0.820246 S4 + 2.4054 S5 + 1.25 S6 - 0.500381 S7 - 0.36431 S8 - 0.233232 S9 - 0.119434 S10.

После подстановки выражений спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,SE = 2.33461 P1 - 1.35586 P2 - 2.7531 P3 + 0.954102 P4 - 1.58516 P5 + 2.4054 P6 + 1.25 C5 -1.75038 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10.

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (27) совпадают: р(x; G3,SE) = р(x; G1,SB) (числовой индекс обозначения портфеля указывает номер примера).

Вариант #EE. Вариант использует пару векторов {pE, cE}, т.е. упорядочение сценариев проводится по отношению с = pE/cE, и средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pУ[о]). При этом pE = pB, cE = cB, где pB и cB, заимствуются из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #BB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0.481636, 0.804489, 1.0, 0.645559, 0.37536, 0.25, 0.150027, 0.0772099, 0.030555, 0.00661511}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса В. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EE = w E = g Y-1 E = -1.61427 S1 - 0.977553 S2 + 1.77221 S3 + 1.35099 S4 + 1.8768 S5 + 1.25 S6 - 0.499864 S7 - 0.364086 S8 - 0.233274 S9 - 0.1197 S10.

После подстановки выражений спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,EE = 1.61427 P1 - 0.636714 P2 - 2.74976 P3 + 0.421215 P4 - 0.525811 P5 + 1.8768 P6 + 1.25 C5 - 1.74986 C6 + 0.135778 C7 + 0.130812 C8 + 0.113575 C9 + 0.1197 C10.

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (28) совпадают: р(x; G3,EE) = р(x; G1,BB).

Вариант #EsE. Вариант состоит в использовании пары векторов {pE, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pE/cE. В алгоритме в качестве векторов p и c используются векторы pE и cE, за исключением того, что назначение вероятностей проводится по формуле d = pS[о]. Вычисления согласно такому алгоритму дают:

g = {0.481081, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.375524, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса В. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EsE = w E = g Y-1 E = -1.61585 S1 - 0.978749 S2 + 1.77435 S3 + 1.34803 S4 + 1.87762 S5 + 1.25 S6 - 0.500381 S7 - 0.36431 S8 - 0.233232 S9 - 0.119434 S10.

После подстановки выражений спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,SE = 1.61585 P1 - 0.637098 P2 - 2.7531 P3 + 0.426317 P4 - 0.529587 P5 + 1.87762 P6 + 1.25 C5 -1.75038 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10.

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (29) совпадают: р(x; G3,EsE) = р(x; G1,BsB).

Базис из пут- и колл-спрэдов с парой баттерфляев

Здесь рассматривается пример 4 с использованием данных из примера 1, но применяться они будут к иному базису из элементарных инструментов. Введем более сложный базис, состоящий исключительно из спрэдов, в котором прослеживается целенаправленная избыточность исходного инструментария.

В наборе снова участвуют путы Pi, i ? 6, и коллы Ci, i ? 5, (всего 12 инструментов). Из них строятся четыре путспрэда Si = Pi+1 - Pi, i ? 4, четыре колл-спрэда Si = Ci-1 - Ci, i ? 7, а также два смешанных баттерфляя E5 = 2hU + P3 - P5 - C5 + C7

и E6 = 2hU + P4 -- P6 - C6 + C8. Все эти десять инструментов играют роль элементарных инструментов, составляющих базис Е. Итак,

Е = {S1, S2, S3, S4, E5, E6, S7, S8, S9, S10} = {P2 - P1, P3 - P2,

P4 - P3, P5 - P4, 2hU + P3 - P5 - C5 + C7, 2hU + P4 --P6 - C6 + C8,

C6 - C7, C7 - C8, C8 - C9, C9 - C10}.

Матрица Y = [yij] для этого базиса образуется по правилу: yij = h, если i ? 4, j ? i, или если i ? 7, j ? i, или если j = i ± 1, i=5,6; yij = 2h, если j = i, i = 5,6; в противном случае yij = 0. Имеем

,

.

Поскольку Det[Y] ? 0, базис Е является допустимым, и его можно использовать для построения оптимального портфеля.

В структуре базиса вновь выдержана основная идея: крайние два спрэда (P2 - P1 и C9 - C10) должны обеспечить адекватное отображение хвостов прогнозного распределения вероятностей, остальные определенным образом отражают кумулятивные вероятностные свойства покрывающих все множество X совокупностей сценариев.

Определение базиса Ц проводится по формуле (31). Имеем

Ц = Y-1 E = {-(P1 - P2)/h, (P1 - 2P2 + P3)/h, (P2 - 2P3 + P4)/h, (P3 - 2P4 + P5)/h, (2U/3 - 2C5/3 + 2C6/3 + P4 - 4P5/3 + P6/3)/h, (2U/3 + + C5/3 - 4C6/3 + C7 + 2P5/3 - 2P6/3)/h, (C6 - 2C7 + C8)/h, (C7 - 2C8 + + C9)/h, (C8 - 2C9 + C10)/h, (C9 - C10)/h}.

Очевидно, что первые четыре и последние четыре элемента этого набора является нормированными простейшими баттерфляями, т.е.

Цi = Bi, iI, i ? 5,6.

Менее очевидно, что таким же свойством обладают и остальные элементы, но это именно так. Действительно, из теоремы паритета пут-колл следует, что

Pi - Ci = ihU, iI.

Поэтому, производя в 5-м и 6-м элементах набора Ц соответственно замены Ci > Pi - ihU, i = 5,6, и Pi > Ci + ihU, i = 5,6, получаем

Ц5 = (2U/3 - 2C5/3 + 2C6/3 + P4 - 4P5/3 + P6/3)/h = (P4 - 2P5 + + P6)/h = B5,

Ц6 = (2U/3 + C5/3 - 4C6/3 + C7 + 2P5/3 - 2P6/3)/h = (C5 - 2C6 + + C7)/h = B6.

Таким образом,

Ц = В,

и мы фактически вновь имеем дело с задачей для примера 1.1. Поэтому и результаты применения алгоритма в его различных версиях можно заимствовать из того же примера. Затем от нас потребуется лишь дать окончательное представления портфеля в терминах нашего исходного базиса.

Итак, рассмотрим три варианта с базисом Е.

Вариант #SE. Вариант состоит в использовании пары

векторов {pS, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pS/cE, но средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pE[о]). При этом pS заимствуется из примера 1, а cE = cB, где cB, заимствуется из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #SB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0.337329, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.481081, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса В:

GSE = ? iI giBi.

Теперь приводим его к желаемому виду

G3,SE = w E = g Y-1 E = -2.33461 S1 - 0.978749 S2 + 2.96129 S3 + 2.03871 S4 + 1.18694 E5 + 0.0315317 E6 - 0.718087 S7 - 0.332779 S8 - 0.233232 S9 - 0.119434 S10.

После подстановки выражений спрэдов и баттерфляев через коллы или путы получаем окончательное представление портфеля через коллы и путы:

G3,SE = 0.487387 U + 2.33461 P1 - 1.35586 P2 - 2.7531 P3 + 0.954102 P4 + 0.851778 P5 - 0.0315317 P6 - 1.18694 C5 + 0.686556 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10.

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (27) совпадают: р(x; G3,SE) = р(x; G1,SB) (числовой индекс в обозначении портфеля указывает номер примера).

Вариант #EE. Вариант использует пару векторов {pE, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отноше-

нию с = pE/cE, и средний портфельный доход вычисляется по формуле R = (b, pУ[о]). При этом pE = pB, cE = cB, где pB и cB, заимствуются из примера 1.1. Иными словами, все результаты по данному варианту совпадают с вариантом #BB. для примера 1.1. Поэтому

g = {0.481636, 0.804489, 1.0, 0.645559, 0.37536, 0.25, 0.150027, 0.0772099, 0.030555, 0.00661511}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса В. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EE = w E = g Y-1 E = -1.61427 S1 - 0.977553 S2 + 2.60674 S3 + 2.39326 S4 + 0.834535 E5 + 0.207733 E6 + 0.542403 S7 - 0.156354 S8 - 0.233274 S9 - 0.1197 S10.

После подстановки выражений для спрэдов и баттерфляев через коллы или путы получаем окончательное представление

G3,EE = 0.416907 U + 1.61427 P1 - 0.636714 P2 - 2.74976 P3 + 0.421215 P4 + 1.55872 P5 - 0.207733 P6 - 0.834535 C5 + 0.33467 C6 + 0.135778 C7 + 0.130812 C8 + 0.113575 C9 + 0.1197 C10.

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (28) совпадают: р(x; G3,EE) = р(x; G1,BB).

Вариант #EsE. Вариант состоит в использовании пары векторов {pE, cE}, т.е. упорядочение сценариев (страйков) проводится по отношению с = pE/cE. В алгоритме в качестве векторов p и c используются векторы pE и cE, за исключением того, что назначение вероятностей проводится по формуле d = pS[о]. Вычисления согласно такому алгоритму дают:

g = {0.481081, 0.80425, 1.0, 0.64513, 0.375524, 0.25, 0.149924, 0.0770618, 0.0304154, 0.00652864}.

Этот вектор дает оптимальный портфель в терминах базиса В. Далее приводим его к желаемому виду в терминах спрэдов:

G3,EsE = w E = g Y-1 E = -1.61585 S1 - 0.978749 S2 + 2.60943 S3 + 2.39057 S4 + 0.835079 E5 + 0.20746 E6 + 0.542159 S7 - 0.15685 S8 - 0.233232 S9 - 0.119434 S10.

После подстановки выражений для спрэдов через коллы или путы получаем окончательное представление

G3,SE = 0.417016 U + 1.61585 P1 - 0.637098 P2 - 2.7531 P3 + 0.426317 P4 + 1.55549 P5 - 0.20746 P6 - 0.835079 C5 + 0.334699 C6 + 0.13607 C7 + 0.131078 C8 + 0.113798 C9 + 0.119434 C10.

В соответствии с предыдущим рассуждением заключаем, что платежные функции этого портфеля и портфеля (29) совпадают: р(x; G3,EsE) = р(x; G1,BsB).

Заключение

В соответствии с примером 1.1 представляется, что в наибольшей степени условиям адекватного построения оптимального портфеля отвечает именно портфель GBsB. Это связано с тремя обстоятельствами:

? в отличие от варианта #SB упорядочение проводится по однотипным векторам (pB и cB);

? в отличие от варианта #BB вероятности назначаются в соответствии с подлинными, а не суррогатными вероятностями сценариев (pS);

? в отличие от варианта #SS используются теоретические цены (cB), которым соответствуют реально формируемые на рынке цены.

Эту качественную оценку можно формально записать посредством отношения предпочтения

#BsB (#BB, #SB, #SS),

интерпретируя знак словом "лучше".

Сказанное о примере 1.1 в равной мере можно отнести и к примеру 1.2 с заменой базиса В базисом E. В данном случае имеем отношения предпочтения

#EsE (#EE, #SE, #SS).

Наконец, представляется, что и в целом В E.

Рассмотрение примера 2 не меняет картины, но говорит лишь о том, что искажение картины для разных вариантов при переходе от базиса В к базису E могут быть весьма значительны.

Примеры 3 и 4 демонстрируют преимущества изначального задания избыточного набора коллов и путов при построении базиса из элементарных инструментов, сводимого линейным преобразованием к базису В.

Они иллюстрируют, насколько расширяются возможности получения адекватного решения в задачах, если не ограничиваться базисами из простейших баттерфляев, а включать в базис и иные (элементарные) инструменты рынка опционов, таковыми не являющиеся. Однако при этом необходимо проявлять аккуратность. Как показывают примеры 1.2 и 2.2, прямые "бесхитростные" пути, которые основывались на использования базиса из минимально возможного числа коллов, здесь могут не приводить к цели. Напротив, применение изначально избыточного набора коллов и путов при построении базиса, как в примерах 3 и 4, позволяло сводить задачу линейным преобразованием к задаче с базисом В, рассмотренной в примерах 1.1 и 2.1.

Литература

1. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допустимых потерь (VaR). М.: ВЦ РАН, 2009. 33 с.

2. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов //Экономика и математические методы, 2005. Т. 41, №4. С. 88-98.

3. Agasandian G.A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market // International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). Pp. 1859-1864.

4. Агасандян Г.А. Основные теоретические схемы применения континуального критерия VaR. М.: ВЦ РАН, 2009. 33 с.

5. Агасандян Г.А. Об адаптации континуального критерия VaR к дискретным рынкам. М.: ВЦ РАН, 2009. 42 с.

6. Агасандян Г.А. Рандомизация портфеля опционов при использовании континуального критерия VaR. М.: ВЦ РАН, 2010. 42 с.

7. Агасандян Г.А. Многоступенчатый критерий VaR на произвольном однопериодном рынке. М.: ВЦ РАН, 2005. 46 с.

8. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 948 с.

9. Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование. 3-е изд. М.: Издательский дом "ЕВРО", 2003. 1225 с.

Размещено на Allbest.ru