Свойства и практическое применение математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Моделирование

Модель - это материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал, так что его непосредственное: изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимают процесс построения, изучения и применения моделей. Оно является методом познания с помощью объектов-заместителей. Необходимость использования этого метода определяется тем, что многие объекты или проблемы непосредственно исследовать или совсем невозможно, когда объект недосягаем либо реально не существует (будущее состояние экономики), или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование - процесс исследования реальной системы, включающий:

· Построение модели,

· Изучение свойств модели,

· Перенос полученных сведений на моделируемую систему.

По отношению к модели исследователь является экспериментатором (эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью).

Функции моделирования - описание, объяснение и прогнозирование поведения реальной системы.

Типовые цели моделирования:

ь Поиск оптимальных или близких к оптимальным решений,

ь Оценка эффективности решений,

ь Определение свойств системы (чувствительности к изменению значений характеристик и др.)

ь Установление взаимосвязей между характеристиками системы, и др.

Важным является тот факт, что модель является целевым отображением оригинала (создается под поставленную задачу и должна отражать свойства объекта, интересующие исследователя с точки зрения решения этой задачи). Один и тот же объект-оригинал может иметь множество моделей в соответствии с различными целями исследования.

Таким образом, можно говорить, что модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

2. Классификация моделей

Классификацию моделей проводят по различным критериям.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Модель функциональная, если она представима в виде системы каких- либо функциональных соотношений.

Модель теоретико-множественная, если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры (лицами, коалициями).

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие.

Однако, не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Модель структурная, если она представима структурой данных или структурами данных и отношениями между ними.

Модель графовая, если она представима графом или графами и отношениями между ними.

Модель иерархическая (древовидная), если представима некоторой иерархической структурой (деревом).

Модель сетевая, если она представима некоторой сетевой структурой.

Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой.

Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Модель клеточно-автоматная, если она представляет систему с помощью клеточного автомата или системы клеточных автоматов.

Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии. Неделимый элемент евклидовой геометрии - точка, на основе ее строятся отрезки, прямые, плоскости и т.д.

Неделимый элемент клеточно-автоматного поля - клетка, на основе её строятся кластеры клеток и различные конфигурации клеточных структур. Представляется клеточный автомат равномерной сетью клеток ("ячеек") этого поля. Эволюция клеточного автомата разворачивается в дискретном пространстве - клеточном поле.

Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение.

В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.

3. Пути возникновения математической модели

Математическое моделирование - процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики реального объекта.

Математическая модель осуществляет представление некоторой системы или явления внешнего мира с помощью математических символов и зависимостей. Построение математической модели является основой изучения и проектирования сложных систем и объектов. Качество модели определяет правильность или ошибочность выводов, полученных на основе её анализа.

Математическая модель может возникнуть тремя путями:

ь В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.

ь В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой общей модели. Такие модели называются асимптотическими.

ь В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным.

Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

В настоящее время построение математических моделей распространено в различных областях знания и выработано немало принципов и подходов, имеющих общий характер. Процесс моделирования состоит из последовательности этапов, которые отличаются конкретными целями и средствами, и выполняются в определённой очерёдности. Эта очерёдность может изменяться из-за противоречивости требований, предъявляемых к модели, невозможности с самого начала предусмотреть все детали и устранить все неопределённости в модели, необходимости применения неформальных процедур.

4. Схема построения математических моделей

Первый этап построения модели начинается с изучения и анализа объекта, выявления его основных, существенных особенностей, необходимых для достижения целей моделирования, перечисления всех элементов, оказывающих влияние на конечный результат. Изучая каждый элемент, устанавливают его зависимость от выбора вариантов решения. Элементы, для которых такая зависимость отсутствует или пренебрегаемо мала, исключают из рассмотрения. Для каждого из оставшихся элементов выясняют является ли он постоянным или переменным. Для переменных элементов устанавливают те свойства объекта, которые оказывают влияние на его величину. Каждому элементу присваивают символическое имя. Связи между элементами описывают разнообразными аналитическими выражениями, графиками, уравнениями и т.д. После этого анализируются цели исследования. Они могут быть качественными и количественными. Качественные цели чаще всего носят психологический или социальный характер, их иногда называют неосязаемыми, так как очень трудно измерить степень достижения этих целей. Все цели должны быть непротиворечивыми и независимыми. Противоречивые цели необходимо исключить, а зависимые объединить. Объект схематизируется, идеализируется, все его несущественные свойства игнорируются. Результатом этого этапа может быть изобразительная или аналоговая модель.

Второй этап - постановка задачи. Процесс постановки задачи при моделировании идёт непрерывно, постановка задачи меняется и уточняется. При этом выясняется возможность постановки задачи, оценивается ориентировочная стоимость решения, определяются условия моделирования и предусматриваются меры для их выполнения, уточняются и формулируются задачи, решение которых необходимо для достижения целей моделирования, намечаются пути (стратегии) достижения целей и каждая стратегия анализируется. В результате выявляются те цели и стратегии, которые не могут быть использованы из-за ограниченности ресурсов (материальных и временных), нарушений обязательных ограничений (например, экологических) и т.д. Необходимо чётко фиксировать причину невозможности использования целей и стратегий, чтобы в будущем можно было пересмотреть эти причины и устранить возможные ошибки. После завершения постановки задачи необходимо знать:

1. цели моделирования,

2. условия необходимые для реализации модели,

3. альтернативные варианты моделирования и способы их сопоставления между собой,

4. "узкие места" моделирования и возможные способы их преодоления,

5. необходимые и имеющиеся ресурсы,

6. способ оценки эффективности решения.

Постановка задачи завершается определением критериев эффективности, которые должны позволять выбирать наиболее эффективные стратегии достижения целей.

Третий этап - создание математической модели - формулирование законов, связывающих основные объекты модели и описывающих динамику её функционирования, запись на математическом языке всех соотношений и зависимостей, присущих идеализированному объекту, в том числе, формулирование математических задач, к которым приводит математическая модель. Некоторые из этих задач для различных объектов оказываются одинаковыми, что позволяет их использовать при моделировании в виде стандартных процедур. Полученная модель должна быть непротиворечивой и корректной. Задача называется корректной, если решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных, т.е. решение устойчиво.

Четвёртый этап - выполнение экспериментов на модели, получение и анализ результатов моделирования. Большое значение на этом этапе имеет правильный выбор численных методов решения математических задач, организация вычислительного процесса и оценка достоверности и точности результатов. Основной задачей анализа результатов является оценка адекватности модели относительно целей моделирования. При этом возникает две ситуации. В первом случае считается, что модель полностью определена, все её параметры известны. Тогда по уклонениям результатов моделирования от теоретических следствий судят о качестве модели, её адекватности объекту. Если уклонения выходят за допустимые границы, то модель бракуется. Во втором случае, некоторые параметры, характеристики модели остаются не определёнными. Их значения находят в процессе моделирования так, чтобы результаты моделирования с необходимой точностью согласовывались с результатами наблюдений изучаемых объектов. Если ни при каком выборе значений характеристики этим требованиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений.

Пятый этап - анализ и модернизация модели в связи с полученными результатами моделирования, появлением новой информации об изучаемом объекте или изменением целей моделирования. Метод математического моделирования сводит исследование объектов и явлений к математическим задачам. Он позволяет проектировать сложные технические средства, работающие в оптимальных режимах, находит применение в экономике, системах автоматизированного проектирования и управления, определения состояния объектов и эволюции состояния. Он позволяет заменить натурный эксперимент - математическим.

5. Прикладные аспекты моделирования

Рассмотрим клеточно-автоматную модель загрязнения среды, диффузии загрязнителя в некоторой среде. 2D - клеточный автомат (на плоскости) для моделирования загрязнения среды может быть сгенерирован следующими правилами:

· плоскость разбивается на одинаковые клетки: каждая клетка может находиться в одном из двух состояний: состояние 1 - в ней есть диффундирующая частица загрязнителя, и состояние 0 - если ее нет;

· клеточное поле разбивается на блоки 2Ч2 двумя способами, которые будем называть четным и нечетным разбиениями (у чётного разбиения в кластере или блоке находится четное число точек или клеток поля, у нечетного блока - их нечетное число);

· на очередном шаге эволюции каждый блок четного разбиения поворачивается (по задаваемому правилу распространения загрязнения или генерируемому распределению случайных чисел) на заданный угол (направление поворота выбирается генератором случайных чисел);

· аналогичное правило определяется и для блоков нечетного разбиения;

· процесс продолжается до некоторого момента или до очищения среды.

Пусть единица времени - шаг клеточного автомата, единица длины - размер его клетки. Если перебрать всевозможные сочетания поворотов блоков четного и нечетного разбиения, то видим, что за один шаг частица может переместиться вдоль каждой из координатных осей на расстояние 0, 1 или 2 (без учета направления смещения) с вероятностями, соответственно, p₀=1/4, p₁=1/2, p₂=1/4. Вероятность попадания частицы в данную точку зависит лишь от ее положения в предыдущий момент времени, поэтому рассматриваем движение частицы вдоль оси х (y) как случайное. На рис. 1.4 - фрагменты работы программы клеточно-автоматной модели загрязнения клеточной экосреды (размеры клеток увеличены).

Рис. 1.4.

Окно справа - состояние клеточного поля. В верхней таблице показано исходное поле, слабо загрязненное, в нижней таблице показано - после 120 циклов загрязнения, в левом верхнем углу - "Микроскоп", увеличивающий кластер поля, в середине слева - график динамики загрязнения, внизу слева - индикаторы загрязнения.

Модель фрактальная, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов.

Если физический объект однородный (сплошной), т.е. в нем нет полостей, то можно считать, что плотность не зависит от размера. Например, при увеличении параметра объекта R до 2R масса объекта увеличится в R² раз, если объект- круг и в R³ раз, если объект - шар, т.е. существует связь массы и длины M(R) ~ Rⁿ . Здесь n - размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны этим соотношением, называется "компактным". Плотность его

Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R) ~ R^f(n), где f(n) < n, то такой объект называется фрактальным. Его плотность не будет одинаковой для всех значений R, и она масштабируется так:

Так как f(n) - n < 0, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера, а с(R) является количественной мерой разряженности объекта.

Пример. Пример фрактальной модели - множество Кантора. Рассмотрим отрезок [0;1]. Разделим его на 3 части и выбросим средний отрезок. Оставшиеся 2 промежутка опять разделим на три части и выкинем средние промежутки и т.д. Получим множество, называемое множеством Кантора. В пределе получаем несчетное множество изолированных точек (рис. 1.5)



Рис. 1.5. Множество Кантора для 3-х делений

Можно показать, что если n - размерность множества Кантора, то n=ln2/ln3?0,63, т.е. этот объект (фрактал) еще не состоит только из изолированных точек, хотя уже и не состоит из отрезка.

6. Основные свойства модели

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Например, математические описания (модели) динамики эпидемии инфекционной болезни, радиоактивного распада, усвоения второго иностранного языка, выпуска изделий производственного предприятия и т.д. могут считаться одинаковыми с точки зрения их описания, хотя сами процессы различны.

Границы между моделями различного вида весьма условны. Можно говорить о различных режимах использования моделей- имитационном, стохастическом и т.д.

Как правило модель включает в себя: объект О, субъект (не обязательный) А, задачу Z, ресурсы B, среду моделирования С.

Модель можно представить формально в виде: М = < O, Z, A, B, C>.

Основные свойства любой модели:

· целенаправленность - модель всегда отображает некоторую систему, т.е. имеет цель;

· конечность - модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

· упрощенность - модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

· приблизительность - действительность отображается моделью грубо или приблизительно;

· адекватность - модель должна успешно описывать моделируемую систему;

· наглядность, обозримость основных ее свойств и отношений;

· доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

· информативность - модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и должна давать возможность получить новую информацию;

· сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

· полнота - в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

· устойчивость - модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже она вначале является неустойчивой;

· целостность - модель реализует некоторую систему, т.е. целое;

· замкнутость - модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений;

· адаптивность - модель может быть приспособлена к различным входным параметрам, воздействиям окружения;

· управляемость - модель должна иметь хотя бы один параметр, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях;

· возможность развития моделей(предыдущего уровня).

Жизненный цикл моделируемой системы:

· сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предварительный модельный анализ;

· проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);

· построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;

· исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования;

· исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;

· оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);

· интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе;

· генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений;

· уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью модели и моделирования.

7. Математическое и компьютерное моделирование

Математическая модель описывается (представляется) математическими структурами, математическим аппаратом (числа, буквы, геометрические образы, отношения, алгебраические структуры и т.д.).

У математических моделей есть и дидактические аспекты - развитие модельного и математического стиля мышления, позволяющего вникать в структуру и внутреннюю логику моделируемой системы.

Отметим основные операции (процедуры) математического моделирования.

1. Линеаризация.

2. Идентификация.

3. Оценка адекватности (точности) модели.

4. Оценка чувствительности модели (чувствительности к изменениям входных параметров).

5. Вычислительный эксперимент по модели. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью определения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!). Это процедура часто отождествляется с компьютерным моделированием.

В базовой пятерке: "система (исследуемая среда) - модель (описание среды) - алгоритм (программа) - компьютер (компьютерная технология) - пользователь (выработка решения)" при компьютерном моделировании главную роль играют уже алгоритм (программа), компьютер и технология, точнее, инструментальные системы для компьютера, компьютерные технологии. Модель не эквивалентна программе, а моделирование не сводится к программированию. Специфические операции математического моделирования, например, идентификация, линеаризация не сводятся в ЭВМ к преобразованию в ней программ. Расширяется и область применения компьютера и компьютерных моделей.

Основные функции компьютера при моделировании систем:

1. исполнение роли вспомогательного средства для решения задач, доступных и для обычных вычислительных средств, алгоритмам, технологиям;

2. исполнение роли средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;

3. исполнение роли средства конструирования компьютерных обучающих и моделирующих сред типа: "обучаемый - компьютер - обучающий", "обучающий - компьютер - обучаемый", "обучающий - компьютер - группа обучаемых", "группа обучаемых - компьютер - обучающий", "компьютер - обучаемый - компьютер";

4. исполнение роли средства моделирования для получения новых знаний;

5. исполнение роли "обучения" новых моделей (самообучение модели).

Компьютерное моделирование - основа представления знаний в ЭВМ (построения различных баз знаний). Прогресс моделирования связан с разработкой систем компьютерного моделирования, которые поддерживает весь жизненный цикл модели, а прогресс в информационной технологии - с актуализацией опыта моделирования на компьютере, с созданием банков моделей, методов и программных систем, позволяющих собирать новые модели из моделей банка. Автономные подмодели модели обмениваются информацией друг с другом через единую информационную шину - банк моделей, через базу знаний по компьютерному моделированию. Особенность компьютерных систем моделирования - их высокая интеграция и интерактивность. Часто эти компьютерные среды функционируют в режиме реального времени.

Вычислительный эксперимент - разновидность компьютерного моделирования. Можно говорить сейчас и о специальных пакетах прикладных программ, текстовых, графических и табличных процессоров, визуальных и когнитивных средах (особенно, работающих в режиме реального времени), позволяющих осуществлять компьютерное моделирование.

Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент становятся новым инструментом, методом научного познания, новой технологией из-за возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических моделей систем (для которых достаточно хорошо известны или разработаны методы исследования, теория) к исследованию сложных и нелинейных математических моделей систем (анализ которых гораздо сложнее); грубо, но образно, говоря: "наши знания об окружающем мире - линейны и детерминированы, а процессы в окружающем мире - нелинейны и стохастичны". Информация (абстракция), реализуясь сообщениями реального мира, овеществляется в разных предметных процессах, а реализация на компьютере вызывает необходимость использования в компьютерах специальных формализованных описаний, представлений этих процессов.

8. Классификация видов моделирования



9. Модели прогноза. Оптимизационные модели

Модели прогнозирования.

Существует множество математических моделей, посредством которых решаются те, или иные задачи. Во всех сферах деятельности человека важным моментом является прогнозирование последующих событий. Сейчас существует более 100 методов и методик прогнозирования, Условно их можно разделить на фактографические и экспертные. Фактографические методы основаны на анализе информации об объекте, а экспертные - на суждениях экспертов, которые получены при проведении коллективных или индивидуальных опросов. Среди фактографических методов можно выделить следующие:

- Статистические методы.

- Методы аналогии.

К статистическим методам относятся аппроксимация, интерполяция, методы исследования временных рядов.

К методам аналогии относятся модели планирования эксперимента, а также математические, исторические и другие аналогии.

Среди моделей прогнозирования можно выделить следующие:

1 Модели аппроксимации.

Методы аппроксимации применимы к детерминированным и статистическим системам.

Аппроксимация - приближение.

Выбор аппроксимирующей функции связан с решением оптимизационной задачи. Для этого применяется критерий минимизации квадратичной ошибки

В аппроксимации для получения параметров модели используется МНК-критерий (метод наименьших квадратов). Лучшей считается та модель, для которой сумма квадратов отклонений опытных значений, от теоретических будет минимальной.

Для этого формируется целевая функция или критерий оптимизации.

2 Модели интерполяции.

В интерполяции, в отличие от аппроксимации, производится минимизация линейной ошибки.

Наиболее простой подход к получению интерполяционной модели был предложен Лагранжем.

Оба рассмотренных метода относятся к методам исследования детерминированных моделей.

Анализ временных рядов.

Временные ряды отражают тенденцию изменения параметров системы во времени, поэтому входным параметром х является момент времени.

Выходной параметр y называется уровнем ряда. В случае отсутствия ярко выраженных изменений в течение времени, общая тенденция сохраняется.

Во временных рядах проводится операция анализа и сглаживания тренда, который отражает влияние некоторых факторов. Для построения тренда применяется МНК-критерий.

Существуют моментальные и интервальные ряды. В моментальных рядах отражаются абсолютные величины, по состоянию на определенный момент времени, а в интервальных - относительные величины (показатель за год, месяц, и т.д.). Исследование данных при помощи рядов позволяет во многих случаях более четко представить детерминированную функцию. При этом рассчитываются базисные и цепные показатели (прирост, коэффициент роста, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, и др.). Под базисными показателями понимают, показатели, которые соотносятся к начальному уровню ряда. Цепные показатели относятся к предыдущему уровню.

Прогноз явлений по временным рядам состоит из двух этапов:

- Прогноз детерминированной компоненты.

- Прогноз случайной компоненты.

Обе проблемы связаны с анализом результатов парных экспериментов. В отличие от аппроксимации и интерполяции анализ временных рядов включает в себя методы оценки случайных компонент. Поэтому прогнозирование при помощи временных рядов является более точным.

Исследование рядов имеет большое значение и для технических, и для экономических систем.

Оптимизационная модель представляет собой модель математического программирования, состоящую из целевой функции и системы ограничений в форме уравнений или неравенств, и направлена на поиск наиболее эффективного (оптимального) управленческого решения при соблюдении установленных ограничений.

Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от искомых переменных. На макроуровне критерием оптимальности может являться максимум валового национального дохода, максимум среднедушевого денежного дохода. На микроуровне: максимум прибыли предприятия, минимум затрат и др.

Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных параметров. Стохастические (вероятностные) модели в отличие от детерминированных описывают случайные процессы, в которых результат всегда остаётся неопределённым. В настоящее время разработано большое количество программных пакетов, позволяющих решать сложные оптимизационные задачи на основе ЭВМ.

10. Кибернетические модели

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. Например, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того, чтобы испытывать настоящий самолет - это дешевле. При теоретическом исследовании атомного ядра физики представляют его в виде капли жидкости, имеющей поверхностное натяжение, вязкость и т.п. Управляемые объекты являются, как правило, очень сложными, поэтому процесс управления неотделим от процесса изучения этих объектов.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

При моделировании используется аналогия между объектом - оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими:

1) внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка);

2) структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов);

3) динамическая аналогия (по поведению системы) - маятник моделирует электрический колебательный контур;

4) кибернетические модели относятся ко второму и третьему типу. Для них свойственно то, что они реализуются с помощью ЭВМ. Смысл кибернетического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием, которое помещается в память ЭВМ вместе с программами, реализующими изменения показателей объекта, предусмотренные этим описанием.

С описанием производят машинные эксперименты: меняют те или иные показатели, т.е. изменяют состояние объекта и регистрируют его поведение в этих условиях. Часто поведение объекта имитируется во много раз быстрее, чем на самом деле, благодаря быстродействию ЭВМ. Кибернетическую модель часто называют имитационной моделью.

Формирование описания объекта (его системный анализ) является важнейшим звеном кибернетического моделирования. Вначале исследуемый объект разбивается на отдельные части и элементы, определяются их показатели, связи между ними и взаимодействия (энергетические и информационные). В результате объект оказывается представленным в виде системы. При этом очень важно учесть все, что имеет значение для той практической задачи, в которой возникла потребность в кибернетическом моделировании, и вместе с тем не переусложнить систему.

Следующим этапом является составление математических моделей эффективного функционирования объекта и его системной модели. Затем производится программирование описания и моделей его функционирования.



11. Имитационное моделирование

Имитационное моделирование - это метод исследования, заключающийся в имитации на ЭВМ с помощью комплекса программ процесса функционирования системы или отдельных ее частей и элементов. Сущность метода имитационного моделирования заключается в разработке таки х алгоритмов и программ, которые имитируют поведение системы, ее свойства и характеристики в необходимом для исследования системы составе, объеме и области изменения ее параметров.

Поэтому под процессом имитации на ЭВМ понимают:

1. конструирование модели;

2. испытание модели;

3. применение модели для изучения некоторого явления или проблемы.

При построении имитационной модели исследователя интересует прежде всего возможность вычисления некоторого функционала, заданного на множестве реализаций процесса функционирования изучаемой сложной системы и характеризующего поведения объекта имитации. Наиболее важным для исследователя функционалом является показатель эффективности системы. Имитируя различные реальные ситуации на имитационных моделях, исследователь получает возможность решения следующих задач:

1. оценка эффективности различных принципов управления системой;

2. сравнение вариантов структуры системы;

3. определение степени влияния изменений параметров системы и начальных условий имитации ее поведения на показатель эффективности системы.

Процесс имитационного исследования:



В отличие от математических моделей, представляющих собой аналитические зависимости, которые можно исследовать с помощью достаточно мощного математического аппарата, имитационные модели, как правило, позволяют проводить на них лишь одиночные испытания, аналогично однократному эксперименту на реальном объекте. Поэтому для более полного исследования и получения необходимых зависимостей между параметрами требуются многократные испытания модели, число и продолжительность которых во многом определяются возможностями используемой ЭВМ, а также свойствами самой модели.

Имитационная модель характеризуется наборами входных переменных, наблюдаемых или управляемых переменных, управляющих воздействий, возмущающих воздействий. Состояния системы в любой момент времени и начальные условия могут быть случайными величинами, заданными соответствующим распределением вероятностей.

Имитационное моделирование используют в основном для следующих применений:

1) при исследовании сложных внутренних и внешних взаимодействий динамических систем с целью их оптимизации. Для этого изучают на модели закономерности взаимосвязи переменных, вносят в модель изменения и наблюдают их влияние на поведение системы;

2) для прогнозирования поведения системы в будущем на основе моделирования развития самой системы и ее внешней среды;

3) в целях обучения персонала, которое может быть двух типов: индивидуальное обучение оператора, управляющего некоторым технологическим процессом или устройством, и обучение группы людей, осуществляющих коллективное управление сложным производственным или экономическим объектом.

4) для макетирования проектируемой системы и соответствующей части управляемого объекта с целью прикидочной проверки предполагаемых проектных решений. Это позволяет в наиболее наглядной и понятной заказчику форме продемонстрировать ему работу будущей системы, что способствует взаимопониманию и согласованию проектных решений. Кроме того, такая модель позволяет выявить и устранить возможные неувязки и ошибки на более ранней стадии проектирования, что на 2-3 порядка снижает стоимость их исправления.

12. Основы математического моделирования

Основные операции математического моделирования.

1. Линеаризация. Пусть дана математическая модель

М=М(X, Y, A),

где X - множество входов, Y - множество выходов, А - множество состояний системы. Схематически можно это изобразить так:

XAY.

Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а и

: XA, : AY



- линейные операторы, которые любые линейные комбинации ax + by преобразуют в линейные комбинации типа

a(x) + b(y),

то система (модель) называется линейной. Все другие системы (модели) - нелинейные. Они труднее поддаются исследованию, хотя и более актуальны. Нелинейные модели менее изучены, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным моделям.

2. Идентификация. Пусть модель системы в общем виде представлена следующим образом:

М = М(X, Y, A), A = {a_i}, a_i = (a_i1, a_i2, ..., a_ik)

a_i - вектор состояния объекта (системы). Если вектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации состоит в определении модели или ее параметров по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы.

Идентификация - это задача построения по результатам наблюдений математических моделей, адекватно описывающих поведение системы.

Пусть S={s₁, s₂, ..., s_n} - некоторая последовательность сообщений или данных, получаемых от источника информации о системе,

М={m₁, m₂, ..., m_z} - последовательность моделей, описывающих S, среди которых, возможно, содержится оптимальная (в каком-то смысле) модель, то идентификация модели М означает, что последовательность S позволяет различать две разные модели в М.

Цель идентификации - построение надежной, адекватной, эффективно функционирующей, гибкой модели на основе минимального объема информативной последовательности сообщений.

Наиболее часто используемыми на практике методами идентификации систем являются:

· метод наименьших квадратов,

· метод максимального правдоподобия,

· метод байесовских оценок,

· метод марковских цепных оценок,

· метод эвристик,

· экспертное оценивание и др.

3. Оценка адекватности (точности) модели.

Пример. Оценим адекватность (точность) модели , полученной в результате линеаризации. В качестве меры (критерия) адекватности рассмотрим привычную меру - абсолютное значение разности между точным значением и значением, полученным по модели. Если эта величина не велика и приемлема, то делается вывод о точности и адекватности модели.

4. Оценка чувствительности модели

Влияние изменений входного параметра на изменение выходного параметра.

5. Вычислительный эксперимент по модели

Вычислительный эксперимент по модели - это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью определения или прогноза состояний системы, реакции системы на различные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер и модель.

Отметим основные причины, тормозящие использование математического моделирования в новых условиях:

· традиционное описание модели системами математических уравнений, соотношений плохо структурированных и плохо формализуемых систем описываются с помощью экспертных данных, эвристических и имитационных процедур, интегрированных пакетов программ, графических образов и т.д.;

· существующие средства описания и представление моделей на ЭВМ не учитывают специфику моделирования, нет единого представления моделей, генерации новых моделей по банку моделей;

· недооценка возможностей компьютера, который может делать больше, чем простая реализация алгоритма, отсутствие доступа к опыту моделирования на ЭВМ.

При компьютерном моделировании главную роль играет алгоритм (программа), компьютер и технология, т.е. инструментальная система.

При имитационном моделировании главную роль играют технология и средства моделирования.

При работе с моделями нужно помнить. Модель не эквивалентна программе, а моделирование не сводится к программированию.

13. Примеры математических моделей

Математической моделью объекта называют его описание математическими средствами, позволяющее выводить суждение о некоторых свойствах объекта при помощи формальных процедур. Использование математического языка предопределяет необходимость все операции и преобразования в математических моделях осуществлять над математическими объектами: числами, векторами, множествами, матрицами, функциями и т. д. В наиболее общем виде математическая модель объекта представляется уравнением

F(X, Y)= const (1)

где X, Y - векторы управляемых и неуправляемых параметров модели.

Рассмотрим несколько простых примеров математических моделей реальных объектов.

Пример 1. Необходимо определить площадь поверхности письменного стола.

Это означает, реальный объект (письменный стол) заменяется абстрактной математической моделью прямоугольника. Прямоугольнику присваиваются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь.

Выбор модели прямоугольника для поверхности стола мы обычно делаем, полагаясь на свое зрительное восприятие. Однако, человеческий глаз как измерительный инструмент не отличается высокой точностью. Поэтому при более серьезном подходе к задаче, прежде чем воспользоваться моделью прямоугольника для определения площади, эту модель, т.е. объект исследования, нужно проверить на предмет описания его моделью прямоугольника. Для этого можно измерить противоположные стороны и обе диагонали прямоугольника. Если они попарно равны, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае от модели прямоугольника надо отказаться, и следует перейти к модели четырехугольника общего вида.

Пример 2.

Запись математической модели в виде формулы у(х) = нелинейная функция у зависит от одного фактора х. Здесь может быть множество вариантов нелинейных однофакторных математических моделей:

1. Парабола или ее часть или

2. Равносторонняя гипербола или ее часть

Пример 3. Математические модели определяются по экспериментальным или статистическим данным, обычно представляемым в виде таблиц, например

14. Задача о движении снаряда

Постановка задачи

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения (y), расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории, время движения (t) и максимальную высоту подъема снаряда (h).под углом

Будем считать, что движение снаряда определяется полем тяготения. Сопротивлением воздуха, притяжением других планет Солнечной системы, наличием деформаций ствола орудия можно пренебречь. Можно считать также, что поверхность Земли на расстоянии полета снаряда плоская, поле притяжения не изменяется, а снаряд не имеет геометрических размеров, но имеет вполне определенную массу.

Решение поставленной задачи

Движение тела, брошенного с некоторой начальной скоростью V_о под углом б к горизонту, представляет собой сложное движение: равномерное по горизонтальному направлению и одновременно происходящее под действием силы тяжести равноускоренное движение в вертикальном направлении.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t -- время, g = 10 м/с² -- ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда).

Пример.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y -- вертикально (рис. 1).

Рис. 1

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t -- время, g = 10 м/с² -- ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x - 90x², S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

15. Задача о баке с наименьшей площадью поверхности

Требуется найти высоту h₀ и радиус r₀жестяного бака объема V = 30 м³, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

1. Построение модели

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

, .

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель.

С математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r₀, при которых производная обращается в ноль: . Можно проверить, что вторая производная функции S(r)меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r_0., следовательно, в точке r₀ функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h₀ = 2r₀.Подставляя в выражение для r₀ и h₀ заданное значение V, получим искомый радиус и высоту.

3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. На изготовление цилиндрического бака пойдет меньше всего жести, если у него будет радиус и высота

16. Транспортная задача

Условие:

Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах a₁, a₂, ... a_m.

Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах b_1, b₂ ... b_n.

Известны C_ij , i=1,2,...m; j=1,2,...n -- стоимости перевозки единиц груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью, и суммарные затраты на перевозку всех грузов являются минимальными.

Исходные данные транспортной задачи записываются в виде таблицы:

Исходные данные задачи могут быть представлены в виде:

§ вектора А=(a₁,a₂,...,a_m) запасов поставщиков

§ вектора B=(b₁,b₂,...,b_n) запросов потребителей

§ матрицы стоимостей:

Математическая модель транспортной задачи

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x_ij , i=1,2,...,m j=1,2,...,n -- объемы перевозок от i-го поставщика каждому j-му потребителю.
Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок:

Так как произведение C_ij*X_ij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны:

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из m уравнений описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью и имеет вид:



Вторая группа из n уравнений выражает требование удовлетворить запросы всех n потребителей полностью и имеет вид:

Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок математическая модель выглядит следующим образом:

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарынм запросам потребителей, т.е.:

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а модель задачи закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а модель задачи -- открытой.

Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные задачи X=(x_ij), i=1,2,...,m; j=1,2,...,n, удовлетворяющие системе ограничений (цифра 2 на математической модели) , (3), условиям неотрицательности (4) и обеспечивающие минимум целевой функции (1)

17. Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) -- исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) -- количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N'(t) пропорциональна N(t), то есть N'(t)=-lN(t), l>0 -- константа радиоактивности данного вещества.