Свойства и практическое применение математического моделирования

В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e-^lt. Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда

Например, для радона l = 2,084·10-⁶, и следовательно, T = 3,15 сут.

18. Задача о коммивояжере

Задача коммивояжера может быть сформулирована как задача на графе в следующей постановке: построить граф G(Х, А), вершины которого соответствуют городам в зоне коммивояжера, а дуги отображают коммуникации, соединяющие пары городов. Пусть длина а(х, у)?0 каждой дуги (х, у) є А равна расстоянию, стоимости или времени. Контур, включающий каждую вершину графа G хотя бы один раз, называется маршрутом коммивояжера. Контур, включающий каждую вершину графа G ровно один раз, называется гамильтоновым. Общей задачей коммивояжера называется задача поиска маршрута наименьшей общей длины.
Задачей коммивояжера называется задача поиска гамильтонова контура наименьшей общей длины. Контур коммивояжера, имеющий наименьшую длину, называется оптимальным маршрутом коммивояжера и является оптимальным решением общей задачи коммивояжера. Гамильтонов контур наименьшей длины называется оптимальным гамильтоновым контуром и является оптимальным решением задачи коммивояжера.

Оптимальный маршрут коммивояжера не обязательно является гамильтоновым контуром.

Поскольку коммивояжер в каждом из городов встает перед выбором следующего города из тех, что он ещё не посетил, существует маршрутов для асимметричной и маршрутов для симметричной задачи коммивояжера. Таким образом, размер пространства поиска зависит экспоненциально от количества городов.

Различные варианты задачи коммивояжера (метрическая, симметричная и асимметричная) NP-эквивалентны. Согласно распространенной, но недоказанной гипотезе о неравенстве классов сложности P и NP, не существует детерминированной машины Тьюринга, способной находить решения экземпляров задачи за полиномиальное время в зависимости от количества городов.

Также известно, что при условии не существует алгоритма, который для некоторого полинома вычислял бы такие решения задачи коммивояжера, которые отличались бы от оптимального максимум на коэффициент .

Однако, существуют алгоритмы поиска приближенных решений для метрической задачи за полиномиальное время и нахождения маршрута максимум вдвое длиннее оптимального. До сих пор не известен ни один алгоритм с полиномиальным временем, который бы гарантировал точность, лучшую чем 1,5 от оптимальной. По предположению , существует (неизвестная) константа , такая, что ни один алгоритм с полиномиальным временем не может гарантировать точность . Как было показано Арора, для евклидовой задачи коммивояжёра существует схема поиска приблизительных решений задачи (PTAS).

В замкнутом варианте задачи коммивояжёра требуется посетить все вершины графа, после чего вернуться в исходную вершину. Незамкнутый вариант отличается от замкнутого тем, что в нём не требуется возвращаться в стартовую вершину.

Незамкнутый вариант задачи сводится к замкнутому путём замены весов дуг, входящихв стартовую вершину, на число 0. Оптимальный замкнутый маршрут коммивояжёра в таком графе соответствует оптимальному незамкнутому маршруту в исходном графе.

Методы решения

Простейшие

· полный перебор

· случайный перебор

· жадные алгоритмы

· метод ближайшего соседа

· метод включения ближайшего города

· метод самого дешёвого включения

· метод минимального остовного дерева

· метод имитации отжига

На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ и метод генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиной колонии.



19. Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из патомов углерода и п + 2 атомов водорода (п = 1, 2, …), связанных между собой так, как показано на рисунке для п = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений: у_э(3) = -42⁰, у_э(4) = 0⁰, у_э(5) = 28⁰, у_э(6) = 69⁰.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом п для этих соединений.

1. Построение модели. Предположим, что эта зависимость имеет вид , где а и b - константы, подлежащие определению. Для нахожденияа и b подставим в эту формулу последовательно п = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем: -42 » 3а + b, 0 » 4а + b, 28 » 5а + b, 69 » 6а +b.

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Для определения наилучших а и bсуществует много различных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через а из этих уравнений: b» -42 - 3a, b» - 4a, b» 28 - 5a, b» 69 - 6a. Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть, положим b» 16 - 4,5a. Подставим в исходим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя а, получим для а следующие значения: а » 37, а » 28, а » 28, а » 36. Возьмем в качестве искомого а среднее значение этих чисел, то есть положим а » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид: .

4. Проверка адекватности модели. Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле: у_р(3) = -37⁰, у_р(4) = -3⁰, у_р(5) = 31⁰, у_р(6) = 65⁰. Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5⁰. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с п = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение п = 7: у_р(7) = 99⁰. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения у_э(7) = 98⁰.

20. Задача об определении надежности электрической цепи

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей -- математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A₁, ..., A_k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A₁, ..., A_k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A₁)+...+P(A_k)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A_i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A_i) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A)*P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

Рассмотрим теперь следующую задачу. Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P₁ = 0,1, P₂ = 0,15, P₃ = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A_i -- событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A₁A₂A₃ -- событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A₁A₂A₃) = P(A₁)*P(A₂)*P(A₃) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A₁A₂A₃) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

21. Примеры жёстких и мягких моделей

Примером жесткой модели является таблица умножения. Про стейший пример мягкой модели - принцип «чем дальше в лес, тем больше дров».

Гармонический осциллятор -- пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Свойства гармонического осциллятора качественно изменяются малыми возмущениями. Например, если добавить в правую часть малое слагаемое (трение) ( -- некоторый малый параметр), то получим экспоненциально затухающие колебания, если изменить знак добавочного слагаемого то трение превратится в накачку и амплитуда колебаний будет экспоненциально возрастать.

Для решения вопроса о применимости жёсткой модели необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Нужно исследовать мягкие модели, получающиеся малым возмущением жёсткой. Для гармонического осциллятора они могут задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь -- некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения. Явный вид функции нас в данный момент не интересует.

Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор -- пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

В простейшей модели борьбы двух противников (модели Ланкастера)-- состояние системы описывается точкой (x,y) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки, x и y -- это численности противостоящих армий. Модель имеет вид

Здесь a -- мощность оружия армии x, а b -- армии y. Попросту говоря, предполагается, что каждый солдат армии x убивает за единицу времени a солдат армии y (и, соответственно, каждый солдат армии y убивает b солдат армии x). Точка над буквой здесь и далее означает производную по времени t, то есть скорость изменения обозначенной буквой величины.

Это -- жесткая модель, которая допускает точное решение

, axdx=bydy, ax²-by²=const.

Эволюция численностей армий x и y происходит вдоль гиперболы, заданной этим уравнением (рис. 1). По какой именно гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.



Рис. 1. Жесткая модель войны

Ясно, однако, что модель сильно идеализирована и было бы опасно прямо применять ее к реальной ситуации. Возникает вопрос -- как изменится вывод, если модель будет несколько иной. Например, коэффициенты a и b могут быть не строго постоянными, а могут, скажем, зависеть от x и от y. И точный вид этой зависимости нам может быть неизвестен.

В этом случае речь идет о системе

которая уже не решается явно.

Однако в математике разработаны методы, позволяющие сделать выводы общего характера, и не зная точно явного вида функций a и b. В этой ситуации принято говорить о мягкой модели -- модели, поддающейся изменениям (за счет выбора функций a и b, о мягкой модели).

Общий вывод в данном случае есть утверждение о структурной устойчивости исходной модели: изменение функций a и b изменит описывающие ход военных действий кривые на плоскости (x, y) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их прямой), но это изменение не затрагивает основного качественного вывода.

Вывод этот состоял в том, что положения "x выигрывает" и "y выигрывает" разделены нейтральной линией "обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время".

Математики говорят, что топологический тип системы на плоскости (x,y) не меняется при изменении функций a и b: оно приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис. 2).

Рис. 2. Мягкая модель войны

Мы можем сделать вывод о качественной применимости простейшей модели войны для приближенного описания событий в целом классе моделей, причем для этого даже не нужно знать точного вида жесткой модели: выводы справедливы для мягкой модели. На самом деле простейшая модель дает даже полезное количественное предсказание: наклон разделяющей нейтральной прямой в нуле определяется формулой , где a и b -- значения коэффициентов в нуле.

жесткую модель всегда надлежит исследовать на структурную устойчивость полученных при ее изучении результатов по отношению к малым изменениям модели (делающим ее мягкой).

22. Модель Мальтуса

Наиболее важный вклад, внесенный Т. Р. Мальтусом в экономическую науку, состоит в разработке им “теории народонаселения”, в которой предпринята попытка связать между собой экономические и демографические факторы. Следует заметить, что в мальтусовой постановке этого вопроса указанная взаимосвязь оказывается двусторонней: как экономические процессы влияют на изменение численности населения, так и демографические факторы оказывает воздействие на развитие экономики. Конечно, попытки установить подобного рода зависимость предпринимались и ранее, но именно работы Мальтуса заложили основу для дальнейшего развития демографического направления в экономической науке.

Согласно модели, предложенной Мальтусом, скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции, то есть описывается дифференциальным уравнением:

,

где -- некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция . Если рождаемость превосходит смертность (), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. В действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста:

,

где -- «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению , причем такое поведение структурно устойчиво.

Т. Мальтус утверждал, что численность населения возрастает в геометрической прогрессии, в то время как пищевые ресурсы, необходимые для пропитания этого населения, -- в арифметической. Таким образом, рано или поздно линия роста населения пересечётся с прямой роста пищевых ресурсов. Когда численность населения достигнет этой точки, затормозить его рост могут только войны, нищета, болезни и пороки.

23. Система хищник-жертва

Иногда простая математическая модель хорошо описывает сложную биологическую систему. Примером этого служат долговременные отношения между видами хищника и жертвы в какой-либо экосистеме. Математические расчеты роста популяции отдельно взятого вида показывают, что пределы плотности популяции можно описать простыми уравнениями, которые на выходе дают характерную S-образную кривую. Это -- кривая численности популяции, которая растет экспоненциально, пока она небольшая, а затем выравнивается, когда она достигает пределов возможности экосистемы поддерживать ее. Простое продолжение этой концепции позволяет нам понять экосистему, в которой взаимодействуют два вида -- хищник и жертва.

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики и лисы. Пусть число кроликов х, число лис у. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Вольтерра -- Лотки:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора (системы, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы, пропорциональной смещению), это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра-Лотки не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

С точки зрения колебаний модель Вольтерра-Лотки является консервативной системой, обладающей первым интегралом движения. Эта система не является грубой, поскольку малейшие изменения правой части уравнений приводят к качественным ее изменениям динамического поведения. Однако, возможно «слегка» модифицировать правую часть уравнений таким образом, что система станет автоколебательной. Наличие устойчивого предельного цикла, свойственного грубым динамическим системам, способствует значительному расширению области применимости модели.

Групповой образ жизни хищников и их жертв радикально меняет поведение модели, придает ей повышенную устойчивость.



24. Модели Лотки -- Вольтера

Модель Лотки-Вольтерра -- модель взаимодействия двух видов типа «хищник -- жертва», названная в честь её авторов, которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга. Математическая модель относится к типу чёрный ящик.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник -- жертва», «паразит -- хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами. В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

,

,

где -- количество жертв, -- количество хищников, -- время, -- коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение задачи

Нахождение стационарной позиции системы

Найдем стационарную точку, вокруг которой происходят колебания. Для стационарной позиции изменениепопуляции равно нулю. Следовательно:

Из чего следует, что:

Задание отклонения системе

Теперь на надо ввести в нашу систему колебания и . Из-за малой величины квадратами,кубами и т.д. можно пренебречь. Теперь популяция и будет равняться:

Далее расписываем предыдущее уравнение:

Похожий ответ получаем относительно хищников:

После чего дифференцируем одно уравнение и подставляем в него другое:

-- является уравнением гармонического осциллятора с периодом

Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник - жертва.

Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления.

25. Прямая и обратная задачи математического моделирования

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача -- провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Прямые задачи отвечают на вопрос, что будет, если при заданных условиях мы выберем какое-то решение из множества допустимых решений. В частности, чему будет равен, при выбранном решении критерий эффективности.

Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение).

Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать решение из множества допустимых решений, чтобы критерий эффективности обращался в максимум или минимум.

Если число допустимых вариантов решения невелико, то можно вычислить критерий эффектности для каждого из них, сравнить между собой полученные значения и непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов. Такой способ нахождения оптимального решения называется "простым перебором". Когда число допустимых вариантов решения велико, то поиск оптимального решения простым перебором затруднителен, а зачастую практически невозможен. В этих случаях применяются методы "направленного" перебора, обладающие той особенностью, что оптимальное решение находится рядом последовательных попыток или приближений, из которых каждое последующие приближает нас к искомому оптимальному.

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

26. Математическое моделирование сложных систем

Будем считать, что элемент s есть некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли, например, самолет для моделирования полета - не элемент, а для моделирования работы аэропорта - элемент.

Связь l между элементами есть процесс их взаимодействия, важный для целей исследования. Система S - совокупность элементов со связями и целью функционирования F.

Сложная система - это система, состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями. Большая система - это система, состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными связями.

В общем виде систему математически можно представить в виде: S={{s},{l}, F}

Автоматизированная система S_A есть сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: технических средств Sт и действий человека S_H: S_A ={{ Sт },{ S_H }, { S_O }, {l}, F}

здесь S_O - остальные элементы системы.

Структура системы есть разбиение (декомпозиция) системы на элементы или группы элементов с указанием связей между ними, неизменными во время функционирования системы.

Практически все системы рассматриваются функционирующими во времени, поэтому определим их динамические характеристики.

Состояние - это множество характеристик элементов системы, изменяющихся во времени и важных для целей ее функционирования.

Процесс (динамика) - это множество значений состояний системы, изменяющихся во времени. Цель функционирования есть задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением.

Задачи исследования систем:

1. Анализ - изучение свойств функционирования системы.

2. Синтез - выбор структуры и параметров по заданным свойствам системы.

Пусть T = [t0, t1] есть временной интервал моделирования системы S (интервал модельного времени).

Построение модели начинается с определения параметров и переменных, определяющих процесс функционирования системы.

Параметры системы - это характеристики системы, остающиеся постоянными на всем интервале T.

Переменные бывают зависимые и независимые.

Независимые переменные есть, как правило, входные воздействия (в том числе управляющие)

ими могут быть также воздействия внешней среды.

Последовательность изменения x(t) при называется фазовой траекторией системы , где X - пространство состояний или фазовое пространство.

Последовательность изменения y(t) называется выходной траекторией системы. Зависимые переменные есть выходные характеристики (сигналы)

Общая схема математической модели (ММ) функционирования системы может быть представлена в виде:

Множество переменных вместе с законами функционирования

x(t)=…,

y(t)=…

называется математической моделью системы.

Если t непрерывно, то модель называется непрерывной, иначе - дискретной. Если модель не содержит случайных элементов, то она называется детерминированной, в противном случае - вероятностной. Если математическое описание модели слишком сложное и частично или полностью неопределенно, то в этом случае используются агрегативные модели. Сущность агрегативной модели заключается в разбиении системы на конечное число взаимосвязанных частей (подсистем), каждая из которых допускает стандартное математическое описание. Эти подсистемы называются агрегатами.

27. Математические подходы к изучению мозговой деятельности

Использование математических методов при анализе процессов отражательной деятельности мозга стало возможным благодаря некоторым допущениям, сформулированным Маккаллоком и Питтсом. В их основе - абстрагирование от свойств естественного нейрона, от характера обмена веществ и т.д. - нейрон рассматривается с чисто функциональной стороны. Существующие модели, имитирующие деятельность мозга (Ферли, Кларка, Неймана, Комбертсона, Уолтера, Джоржа, Шеннона, Аттли, Берля и др.) отвлечены от качественной специфики естественных нейронов. Однако с точки зрения изучения функциональной стороны деятельности мозга это оказывается несущественным.

В литературе существует ряд подходов к изучению мозговой деятельности:

Ё теория автоматического регулирования (живые системы рассматриваются в качестве своеобразного идеального объекта);

Ё информационный (пришел на смену энергетическому подходу).

Его основные принципы:

a) выделение информационных связей внутри системы;

b) выделение сигнала из шума;

c) вероятностный характер.

Успехи, полученные при изучении деятельности мозга в информационном аспекте на основе моделирования, по мнению Н.М.Амосова, создали иллюзию, что проблема закономерностей функционирования мозга может быть решена лишь с помощью этого метода. Однако по его же мнению, любая модель связана с упрощением, в частности:

Ё не все функции и специфические свойства учитываются;

Ё отвлечение от социального, нейродинамического характера.

Таким образом, делается вывод о критическом отношении к данному методу (нельзя переоценивать его возможности, но вместе с тем, необходимо его широкое применение в данной области с учетом разумных ограничений).

28. Моделирование мыслительной деятельности человека (формальный нейрон)

Использование ЭВМ в моделировании деятельности мозга позволяет отражать процессы в их динамике, но у этого метода в данном приложении есть свои сильные и слабые стороны. Наряду с общими чертами, присущими мозгу и моделирующему его работу устройству, такими, как:

· материальность

· закономерный характер всех процессов

· общность некоторых форм движения материи

· отражение

· принадлежность к классу самоорганизующихся динамических систем, в которых заложены:

а) принцип обратной связи

б) структурно-функциональная аналогия

в) способность накапливать информацию

есть существенные отличия, такие как:

-Моделирующему устройству присущи лишь низшие формы движения - физическое, химическое, а мозгу, кроме того - социальное, биологическое;

-Процесс отражения в мозге человека проявляется в субъективно-сознательном восприятии внешних воздействий. Мышление возникает в результате взаимодействия субъекта познания с объектом в условиях социальной среды;

-В языке человека и машины. Язык человека носит понятийный характер.

-Свойства предметов и явлений обобщаются с помощью языка. Моделирующее устройство имеет дело с электрическими импульсами, которые соотнесены человеком с буквами, числами. Таким образом, машина «говорит» не на понятийном языке, а на системе правил, которая по своему характеру является формальной, не имеющей предметного содержания.

Использование математических методов при анализе процессов отражательной деятельности мозга стало возможным благодаря некоторым допущениям, сформулированным Мак-Каллоком и Питтсом. В их основе - абстрагирование от свойств естественного нейрона, от характера обмена веществ и так далее - нейрон рассматривается с чисто функциональной стороны.

Согласно определению Мак-Каллока и Питтса формальный нейрон-это элемент, обладающий следующими свойствами:

· Он работает по принципу «все или ничего»;

· Он может находиться в одном из двух устойчивых состояний;

· Для возбуждения нейрона необходимо возбудить некоторое количество сигналов, не зависящих от предыдущего состояния нейрона;

· Имеет место задержка прохождения сигналов в синапсах в течение некоторого времени ;

· Имеются два вида входов: возбуждающие и тормозящие;

· Порог возбуждения предполагается неизменным;

· Возбуждение любого тормозящего синапса предотвращает возбуждение нейрона, независимо от числа возбужденных сигналов.

Искусственный нейрон, смоделированный Мак-Каллоком и Питтсом, имитирует в первом приближении свойства биологического нейрона. На вход искусственного нейрона поступает некоторое множество сигналов, каждый из которых является выходом другого нейрона. Каждый вход умножается на соответствующий вес, аналогичный синаптической силе, и все произведения суммируются, определяя уровень активации возбуждения нейрона. Схема представления искусственного нейрона приведена на рисунке 2.

Существующие модели, имитирующие деятельность мозга (Ферли, Кларка, Неймана, Комбертсона, Уолтера, Джоржа, Шеннона, Аттли, Берля и других) отвлечены от качественной специфики естественных нейронов. Однако с точки зрения изучения функциональной стороны деятельности мозга это оказывается несущественным.

Существует ряд подходов к изучению мозговой деятельности:

-теория автоматического регулирования (живые системы рассматриваются в качестве своеобразного идеального объекта)

-информационный (пришел на смену энергетическому подходу)

Его основные принципы:

а) выделение информационных связей внутри системы

б) выделение сигнала из шума

в) вероятностный характер

29. Экспертные системы

Систему искусственного интеллекта, построенную на основе глубоких специальных знаний о некоторой предметной области (полученных от экспертов-специалистов этой области), называют экспертной системой. Существуют экспертные системы по военному делу, геологии, инженерному делу, информатике, космической технике, математике, медицине, метеорологии, промышленности, сельскому хозяйству, управлению, физике, химии, электронике, юриспруденции и т.д.

Особенности экспертных систем:

* компетентность - в конкретной предметной области экспертная система должна достигать того же уровня, что и специалисты-люди; при этом она должна пользоваться теми же эвристическими приемами, также глубоко и широко отражать предметную область;

* символьные рассуждения - знания, на которых основана экспертная система, представляют в символьном виде понятия реального мира, рассуждения также происходят в виде преобразовании символьных наборов;

* глубина - экспертиза должна решать серьезные, нетривиальные задачи, отличающиеся сложностью знаний, которые экспертная система использует, или обилием информации; это не позволяет использовать полный перебор вариантов как метод решения задачи и заставляет прибегать к эвристическим, творческим, неформальным методам;

* самосознание - экспертная система должна включать в себя механизм объяснения того, каким образом она приходит к решению задачи.

Экспертные системы создаются для решения разного рода проблем, но они имеют схожую структуру (рис. 8); основные типы их деятельности можно сгруппировать в категории, приведенные в табл. 2.

Рис. 8. Схема обобщенной экспертной системы

Экспертные системы, выполняющие интерпретацию, как правило, используют информацию от датчиков для описания ситуации. Интерпретирующие системы имеют дело не с четкими символьными представлениями проблемной ситуации, а непосредственно с реальными данными. Они сталкиваются с затруднениями, которых нет у систем других типов, потому что им приходится обрабатывать информацию “зашумленную”, недостаточную, неполную, ненадежную или ошибочную. Им необходимы специальные методы регистрации характеристик непрерывных потоков данных, сигналов или изображений и методы их символьного представления.

Таблица 2. Типичные категории способов применения экспертных систем

Категория	Решаемая проблема
Интерпретация	Описание ситуации по информации, поступающей от датчиков
Прогноз	Определение вероятных последствий заданных ситуаций
Диагностика	Выявление причин неправильного функционирования системы по наблюдениям
Проектирование	Построение конфигурации объектов при заданных ограничениях
Планирование	Определение последовательности действий
Наблюдение	Сравнение результатов наблюдений с ожидаемыми результатами
Отладка	Составление рецептов исправления неправильного функционирования системы
Ремонт	Выполнение последовательности предписанных исправлений
Обучение	Диагностика и исправление поведения обучаемого
Управление	Управление поведением системы как целого

Экспертные системы, осуществляющие прогноз, определяют вероятные последствия заданных ситуаций. Системы прогнозирования иногда используют имитационное моделирование, т.е. программы, которые отражают причинно-следственные взаимосвязи в реальном мире, чтобы сгенерировать ситуации или сценарии, которые могут возникнуть при тех или иных входных данных. Возможные ситуации вместе со знаниями о процессах, порождающих эти ситуации, образуют предпосылки для прогноза

Экспертные системы, выполняющие диагностирование, часто являются консультантами, которые не только ставят диагноз, но и помогают в отладке. Они могут взаимодействовать с пользователем, чтобы оказать помощь при поиске неисправностей, а затем предложить порядок действий по их устранению.

Экспертные системы, выполняющие проектирование, разрабатывают конфигурации объектов с учетом набора ограничений, присущих проблеме.

Экспертные системы, занятые планированием, проектируют действия; они определяют полную последовательность действий, прежде чем начнется их выполнение.

Экспертные системы, выполняющие наблюдение, сравнивают действительное поведение с ожидаемым поведением системы. Наблюдающие экспертные системы сравнивают наблюдаемое поведение с набором допустимых ситуаций нормального поведения. Наблюдающие экспертные системы по самой своей природе должны работать в режиме реального времени и осуществлять зависящую как от времени, так и от контекста интерпретацию поведения наблюдаемого объекта.

Экспертные системы, выполняющие обучение, подвергают диагностике, “отладке” и исправлению (коррекции) поведение обучаемого. Системы диагностируют и указывают обучающемуся его ошибки, анализируя модель и строя планы исправлений указанных ошибок. Они исправляют поведение обучающихся, выполняя эти планы с помощью непосредственных указаний обучающимся.

Экспертные системы, осуществляющие управление, адаптивно руководят поведением системы в целом. Управляющие экспертные системы должны включать наблюдающие компоненты, чтобы отслеживать поведение объекта на протяжении времени, но они могут нуждаться и в других компонентах для выполнения любых или всех из уже рассмотренных типов задач: интерпретации, прогнозировании, диагностики, проектировании, планировании, отладки, ремонта и обучения. Типичная комбинация задач состоит из наблюдения, диагностики, отладки, планирования и прогноза.

30. Проблемы экспертных систем, искусственного интеллекта и нейросетей

Экспертными системами принято называть те или иные программные средства, выполняющие те или иные аналитические функции. В зависимости от уровня и способа решения задач они делятся на следующие группы:

· Экспертные системы, основанные на правилах. Основная их отличительная черта состоит в том, что решения, вырабатываемые данными системами, производятся на основе жестких правил - ранее установленных знаний в предметной области. Эти оценки и модели встроены в систему и правильность решений, вырабатываемых системой, находится в прямой зависимости от адекватности этих оценок или моделей.

· Экспертные системы, основанные на принципах. Данные экспертные системы появились в результате стремления преодолеть недостатки экспертных систем, основанных на жестких моделях. Основным недостатком теоретических моделей является то, что во-первых входные данные в них должны быть определены посредством детерминирования количественных характеристик, с другой стороны в таких моделях все выводы делаются на основе жестких правил типа «если верно А, то верно Б». Адекватность таких моделей зависит от адекватности данного правила для данной предметной области. Можно сказать, что экспертные системы, основанные на правилах, базируются на формальной логике с законом исключения третьего. Нечеткая логика представляет собой область математики, применение которой позволяет сводить описание сложных предметных областей к набору основных принципов, способных управлять всей предметной областью в некоторых заданных рамках. Нечеткое правило, которое должно пониматься как принцип, а не закон.

· Экспертные системы, основанные на примерах. Рассмотренные выше экспертные системы можно в целом охарактеризовать как дедуктивные, то есть частные выводы в них делаются на основе общих закономерностей, выраженных в виде четких или нечетких правил. Экспертные системы, основанные на примерах, характеризуются как индуктивные, то есть общие заключения делаются только на основе большого количества частных примерах. К таким системам можно отнести нейросетевые пакеты, о которых речь пойдет ниже. Заметим, что нейросеть предназначена главным образом для того, чтобы на основе анализа большого объема информации, представленной в виде набора частных случаев, выявить общие закономерности которые в свою очередь впоследствии применяются к новым аналогичным ситуациям.

· Экспертные системы, основанные на имитационном моделировании. Данные экспертные системы позволяют при исследовании функционирования сложных систем составить модель на основе имеющихся данных и экспертных оценок и затем на основе свойств данной модели протестировать процесс функционирования данной системы, вводя в модель те или иные данные с целью получения оптимальных выходных характеристик.

Особое место среди экспертных систем занимают системы искусственного интеллекта. Проблема искусственного интеллекта занимает очень большое место в практике сознания и использования вычислительной техники. С ней связано много вопросов и чисто гносеологического характера. В узком смысле под искусственным интеллектом понимаются технические средства и логика программирования, принципиально упрощающая все процедуры общения с ЭВМ.

Далее будем понимать термин «искусственный интеллект» только в узком смысле, связывая его с технологией обработки и использования информации.

Нейросетевые технологии - одна из разновидностей систем искусственного интеллекта. Понятия нейронная сеть, нейроматематика, нейроимитатор все шире входят в нашу жизнь, становятся привычным и эффективным инструментом для решения многих научно-технических задач. Основой нейронной сети (НС) являются искусственные нейроны, описанные в предыдущем пункте. Тем НС - совокупность нейронов, определенных образом соединенных друг с другом и внешней средой. Используя НС, можно реализовывать различные логические функции, связывающие между собой все входные и выходные переменные, определенные в логическом базисе {0,1}. Эти логические функции могут быть монотонными и немонотонными, линейно разделимыми и неразделимыми, то есть иметь достаточно сложный вид.

В основу искусственных нейронных сетей положены следующие черты живых нейронных сетей, позволяющие им хорошо справляться с нерегулярными задачами:

-простой обрабатывающий элемент - нейрон;

-большое количество нейронов, участвующих в обработке информации;

-связь каждого нейрона с большим количеством других нейронов;

-изменяющиеся по весу связи между нейронами;

-массивная параллельность обработки информации.

Нейросетевые технологии хорошо зарекомендовали себя в решении всевозможных задач прогнозирования. Они способны решать задачи опираясь на неполную, искаженную, зашумленную и внутренне противоречивую информацию.



31. Использование математического моделирования в исследования экономических систем

моделирование имитационный экспертный

Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

Почему можно говорить об эффективности применения методов математического моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем:

-изменчивость (динамичность);

-противоречивость поведения;

-тенденция к ухудшению характеристик;

-подверженность воздействию окружающей среды;

-предопределяют выбор метода их исследования.

За последние 30-40 лет методы моделирования экономики разрабатывались очень интенсивно. Они строились для теоретических целей экономического анализа и для практических целей планирования, управления и прогноза. Содержательно модели экономики объединяют такие основные процессы: производство, планирование, управление, финансы и так далее. Однако в соответствующих моделях всегда упор делается на какой-нибудь один процесс (например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в упрощенном виде.

Рассмотрим подробнее применение имитационного моделирования экономических систем, процессов.

В основе этого метода - теория вычислительных систем, математическая статистика, теория вероятностей. Все имитационные модели построены по типу «черного ящика», то есть сама система (ее элементы, структура) представлены в виде «черного ящика». Есть какой-то вход в него, который описывается экзогенными или внешними переменными, которые возникают вне системы, под воздействием внешних причин, и выход описываемый эндогенными или выходными переменными, который характеризует результат действия системы.

В имитационном исследовании большое значение имеет этап оценки модели, который включает в себя следующие шаги:

Верификация модели (модель ведет себя так, как это было задумано исследователем).

Оценка адекватности (проверка соответствия модели реальной системе).

Проблемный анализ (формирование статистически значимых выводов на основе данных, полученных в результате экспериментов с моделью).

Большой интерес в имитационном моделировании представляет метод системной динамики. - разработанный одним из крупнейших специалистов в области теории управления, профессором в школе управления Альфреда П. Слоуна в Массачусетском технологическом институте, Джеймсом Форрестером. Его первая книга в этой области «Кибернетика предприятия» вызвала огромный интерес мировой науки к методу системной динамики в имитационном моделировании.

Начало глобальному моделированию положил другой труд Дж. Форрестера - «Мировая динамика». Здесь он рассматривает мир как единое целое, как единую систему различных взаимодействующих процессов: демографических, промышленных, процессов исчерпания прирoдных ресурсов и загрязнения окружающей среды, процесса производства прoдуктов питания. Расчеты показали, что при сохранении развития общества, точнее сегодняшних тенденций его развития, неизбежен серьезный кризис во взаимодействии человека и окружающей среды. Этот кризис объясняется противоречием между ограниченностью земных ресурсов, конечностью пригодных для сельскохозяйственной обработки площадей и все растущими темпами потребления увеличивающегося населения. Рост населения, промышленного и сельскохозяйственного производства приводит к кризису: быстрому загрязнению окружающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства и повышению смертности. На основании анализа этих результатов делается вывод о необходимости стабилизации промышленного роста и материального потребления.

Исследования Дж.Форрестера, Р.Шеннона, Дж.Шрайбера и многих других ученых в области имитационного моделирования позволяет сделать вывод о перспективности использования этого метода в области экономики.

32. Имитация случайных величин и процессов

Базовый датчик

Моделирование случайных элементов в системах является одной из самых базовых задач математического моделирования.

Любая случайная величина или процесс X может моделироваться следующим образом:

Базовый датчик выдает независимые равномерно распределенные случайные величины:

1. Непрерывные в (0,1).

2. Дискретные в .

Типы базовых датчиков:

1. физические (любой физический шум), они практически не используются, т.к. характеристики нестабильны и реализацию повторить нельзя;

2. псевдослучайные датчики строятся на основе детерминированного алгоритма, но полученные результаты неотличимы от случайных.

Псевдослучайные базовые датчики строятся по модели при заданном .

Требования к базовым датчикам:

1. Отрезок апериодичности.

2. Равномерность.

3. Некоррелированность.

33. Моделирование вероятностных систем

Статистические и теоретико-вероятностные методы составляют методологическую основу одноименного вида моделирования. На этом уровне формализации модели речь о вскрытии закона, обеспечивающего устранение неопределенности при принятии решения, пока еще не идет, но существует некоторый массив наблюдений за данной системой или ее аналогом, позволяющих сделать некие выводы относительно прошлого/текущего/будущего состояния системы, основываясь на гипотезе об инвариантности (неизменности) ее поведения.

Статистическая или теоретико-вероятностная модель (стохастическая модель) -- это модель, в которой обеспечивается учет влияния случайных факторов в процессе функционирования системы, основанная на применении статистической или теоретико-вероятностной методологии по отношению к повторяющимся феноменам. Данная модель оперирует количественными критериями при оценке повторяющихся явлений и позволяет учитывать их нелинейность, динамику, случайные возмущения за счет выдвижения на основе анализа результатов наблюдений гипотез о характере распределения некоторых случайных величин, сказывающихся на поведении системы.

По существу, теоретико-вероятностные и статистические модели отличаются уровнем неопределенности знаний о моделируемой системе, существующей на момент синтеза модели. В случае, когда представления о системе носят, скорее, теоретический характер и основываются исключительно на гипотезах о характере системы и возмущающих воздействий, не подкрепленных результатами наблюдений, теоретико-вероятностная модель является единственно возможной.

Когда же на этапе синтеза модели уже существуют данные, полученные опытным путем, появляется возможность подкрепления гипотез за счет их статистической обработки. Это становится очевидным, если рассмотреть соотношение между методами математической статистики и теории вероятностей.

Математическая статистика-- это наука, изучающая методы вскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов или событий, на основании их выборочного обследования (либо большим массивам данных, полученных в результате наблюдения за одним и тем же объектом на протяжении достаточно протяженного интервала времени).

Теория вероятностей изучает количественные закономерности, которым следуют случайные явления, если эти явления определяются событиями известной вероятности. Соответственно, математическая статистика является связующим звеном между теорией вероятностей и явлениями реального мира, поскольку позволяет сформулировать оценки вероятности тех или иных событий на основе анализа статистических данных.

Можно утверждать, что статистические модели представляют собой особый вид математических моделей, использующих в качестве исходных данных не только актуальные данные о текущем состоянии объекта, но и данные, характеризующие состояние либо других объектов данного класса, либо этого объекта, но в иной момент времени.