Свойства и практическое применение математического моделирования

Статистическое моделирование тесно сопряжено с имитационным моделированием, в ходе которого модель объекта нередко «погружается в вероятностную (статистическую) среду», в которой проигрываются различные ситуации и режимы функционирования модели/объекта. Имитационные модели могут реализовываться и в детерминированных средах.

Имитационная модель- это формальное (т.е. выполненное на некотором формальном языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия, отдельных ее элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи, присущие системе, и обеспечивающие проведение статистических экспериментов.

Остановимся более подробно на понятии статистический эксперимент.

В его основе лежит метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Суть его состоит в том, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер.

Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (т.е. выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде соответствующих численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы).

Теоретической основой метода статистических испытаний являются предельные теоремы теории вероятностей (теорема Чебышева, теорема Пуассона, теорема Бернулли). Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний.

Важно отметить, что метод статистических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерминированных систем.

Еще одной важной особенностью данного метода является то, что его реализация практически невозможна без использования компьютера.

Поскольку основой имитационного моделирования является метод статистических испытаний, то наибольший эффект от его применения достигается при исследовании сложных систем, на функционирование которых существенное влияние оказывают случайные факторы.

Стохастическим программированием называют метод решения оптимизационных задач, в которых целевая функция недоступна для вычисления в чистом виде, а может быть оценена или вычислена с погрешностью, например из эмпирических наблюдений или экспериментов. Стохастическое программирование может применяться для решения задач оценки параметров стохастических объектов, управления, динамической идентификации, однако, в отличие от прямых методов решения этих задач, стохастическое программирование не требует хранения всей накопленной информации об объекте, а предлагает способ адаптивной коррекции оценки по данным следующего наблюдения. Рассматриваются такие методы как Робинса-Монро, Киффера-Вольфовица, конечно-сходящиеся алгоритмы, методы случайного поиска. Кроме того, рассматриваются нейросетевые и генетические алгоритмы, как частные случаи алгоритмов стохастического программирования для решения специфических задач.



34. Моделирование случайных величин

Метод статистического (имитационного) моделирования (или метод Монте-Карло) - это способ исследования поведения вероятностных систем в условиях, когда не известен в полной мере внутренний механизм взаимодействия в этих системах. Метод заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса.

Одно такое воспроизведение функционирования системы называют реализацией или испытанием. После каждого испытания регистрируют характеристики системы. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных результатов.

Решение любой задачи методом статистического моделирования состоит в следующем:

· в разработке и построении структурной схемы процесса, выявлении основных взаимосвязей;

· в формальном описании процесса;

· в моделировании случайных явлений (величин, событий, функций), сопровождающих функционирование исследуемой системы;

· в моделировании (с использованием данных, полученных на предыдущем этапе) функционирования системы - воспроизведение процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и формальным описанием;

· в накоплении результатов моделирования, их статистической обработке, анализе и обобщении.

В отличие от других математических моделей, дававших устойчивое во времени результаты, результаты, полученные при статистическом моделировании неустойчивы, и соответствующих статистических проверок. Это обусловлено возможным появлением экспериментальных ошибок.

Чаще всего процесс моделирования сводится к имитации изучаемого процесса на ЭВМ. В частности, моделирование случайных событий и случайных функций при функционировании системы производится с помощью машинных генераторов случайных величин.

Для моделирования случайной величины (числа) необходимо знать ее закон распределения. Наиболее общим способом получения последовательности случайных чисел, распределенных по произвольному закону, является способ, в основе которого лежит их формирование из исходной последовательности случайных чисел, распределенных в интервале [0, 1] по равномерному закону.

Равномерно распределенные в интервале [0, 1] последовательности случайных чисел можно получить тремя способами:

· с помощью таблиц случайных чисел (способ используется при имитационном моделировании «вручную»);

· использовать генераторы случайных чисел;

· использовать метод псевдослучайных чисел.

В основе работы генераторов случайных чисел находится процесс преобразования случайного физического процесса (например, изменения напряжения электросети, питающей ЭВМ) в набор случайных чисел. Недостатки данного подхода: трудно проверить качество (случайность) вырабатываемых чисел; сгенерированный набор чисел уникален и более не воспроизводим (что исключает возможность повторной проверки испытания).

Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения сводится к расчету последовательности чисел по специальным формулам, имитирующим случайные процессы. Однако надо помнить, что получаемые числа не в полной мере являются случайными. К достоинствам данного подхода относятся:

· высокая скорость получения больших наборов чисел при приемлемом их "качестве";

· легкость воспроизведения испытаний;

· простота процедур получения наборов чисел.

Исходя из перечисленных достоинств, данный подход нашел наибольшее распространение в имитационном моделировании.

Если процедура получения равномерно распределенных чисел ж в интервале [0, 1] определена, то для получения чисел с другими распределениями имеются формулы пересчета. Для наиболее распространенных законов распределения формулы пересчета представлены в таблице 6.1.

Таблица 6.1

Закон распределения	Формула пересчета
Экспоненциальный	xi= -(1 /л)•ln ж i
Вейбулла	xi= -b•(ln ж i)(1 / a)
Гамма-распределение (з - целые числа)	з xi = -(1 /л)•?ln(1 -ж j) j = 1
Нормальное (з - целые числа)	з xi=Xср+у•(? ж i- 6) i = 1

Примечания к таблице 6.1:

· xi -случайное число, "имеющее" необходимое теоретическое распределение;

· ж i -равномерно распределенное в интервале [0, 1] случайное число, ранее полученное каким либо способом;

· л,a,b,Xср,у -параметры соответствующих теоретических законов распределения;

· з (для случаев гамма и нормального распределений)-задаваемые пользователем целые числа.

35. Моделирование реализаций случайных процессов

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайную функцию времени называют случайным процессом. Случайную функцию координат точки пространства называют случайным полем. Конкретный вид, принимаемый случайным процессом в результате опыта, называется реализацией (траекторией) случайного процесса. Все полученные реализации случайного процесса составляют ансамбль реализаций. Значения реализаций в конкретные моменты времени (временные сечения) называются мгновенными значениями случайного процесса.

Введем следующие обозначения: Х(t) - случайный процесс; x_i(t) - i-ая реализация процесса X(t); x_i(t_j) - мгновенное значение процесса Х(t), соответствующее i-ой реализации в j-ый момент времени. Совокупность мгновенных значений, соответствующих значениям различных реализаций в один и тот же момент времени t_j, назовем j-ой последовательностью процесса Х(t) и обозначим х(t_j). Стационарным называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Эргодическим называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

Случайный процесс называется нормальным (или гауссовским) процессом, если одномерные и двумерные законы распределения любых его сечений нормальны. Исчерпывающими характеристиками нормального случайного процесса является его математическое ожидание и корреляционная функция. У стационарного нормального случайного процесса МОЖ постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайного процесса ( =t₂-t₁). Для стационарного случайного процесса при достаточно большом отклонение ординаты случайного процесса Х(t₂) от ее математического ожидания m_x в момент времени t₂ становится практически независимым от значения этого отклонения в момент времени t₁. В этом случае корреляционная функция К(t), дающая значение момента связи между Х(t₂) и Х(t₁), при будет стремится к нулю.

Поэтому К( ) может или монотонно убывать, как это изображено на рис.2.2, или иметь вид, представленный на рис.2.3. Функция вида (рис.2.2.), как правило, аппроксимируется выражениями:

, ,

а функция вида (рис.2.3.) - выражениями:

,

Рис.2.2. Рис.2.3.

Устойчивость стационарного случайного процесса во времени позволяет заменить аргумент - время - некоторой вспомогательной переменной, которая во многих приложениях имеет размерность частоты.

Задача моделирования стационарного нормального случайного процесса (СНСП) может быть сформулирована как задача нахождения алгоритма, позволяющего получить на ЭВМ дискретные реализации этого процесса. Процесс X(t) заменяется с заданной точностью соответствующим процессом X(nDt) с дискретным временем t_n= nDt (Dt- шаг дискретизации процесса, n- целочисленный аргумент). В результате случайному процессу x(t) будут поставлены в соответствие случайные последовательности:

x_k[n]=x_k(nDt),

где k - номер реализации.

Очевидно, что произвольный член случайной последовательности x(nDt) можно рассматривать как случайную функцию его номера, т.е. целочисленного аргумента n и, таким образом, исключить из рассмотрения Dt, что и учтено при записи (2.46). Кроме того, чтобы отличить целочисленный аргумент от непрерывноизменяющегося, его заключают в квадратные скобки.

Часто случайные последовательности называют дискретным случайным процессом или временным рядом.

Сведение случайного процесса к случайной последовательности по сути означает его замену многомерным вектором. Поэтому рассмотренный метод моделирования случайных векторов, вообще говоря, пригоден для моделирования случайных процессов, заданных на конечном интервале времени. Однако для стационарных нормальных случайных процессов существуют более эффективные методы построения моделирующих алгоритмов. Рассмотрим два способа, получившие наибольшее применение на практике.

36. Оценки вероятностных характеристик реализации случайных процессов. Определение статистических оценок числовых вероятностных характеристик случайных величин

Функция называется случайной, если в результате эксперимента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.



Пусть имеется k реализаций случайного процесса X(t), и пусть измерения этого процесса производятся в моменты времени t₁, t₂, t₃, … t_n, тогда оценка математического ожидания случайного процесса X(t) выражается формулой.

Оценка дисперсии случайного процесса X(t):

Оценка среднеквадратического отклонения случайного процесса X(t) равна:

.

Оценка корреляционной функции случайного процесса X(t) в общем случае определяется выражением:

. (6.107)



Оценка нормированной корреляционной функции случайного процесса X(t) определяется выражением:

(6.108)

Оценки числовых вероятностных характеристик случайных величин.

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D; оба парамеира неизвестны. Над величиной Х произведено n независимых опытов, давших результаты X₁, X₂, . . . , X_n.

В качестве оценки для математического ожидания естественно взять статистическое среднее m*:

Можно доказать, что эта оценка является состоятельной и несмещенной. Если величина Х распределена по нормальному закону, дисперсия будет минимально возможной, т. е. оценка является эффективной. Для других законов распределения это может быть и не так.

Если в качестве оценки дисперсии взять статистическую дисперсию D*

,

то при проверке окажется, что эта оценка состоятельная, но не является несмещенной. Ее математическое ожидание:



Пользуясь оценкой D* вместо дисперсии D, мы будем совершать некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину D* на n/(n-1).

Оценка

называется «исправленной» статистической дисперсией. Эта оценка состоятельная и несмещенная, но эффективной она не является. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есить при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.

37. Вычислительный эксперимент, его определение и основные этапы

Вычислительным экспериментом называется методология и технология исследований, основанные на применении прикладной математики и ЭВМ как технической базы при использовании математических моделей (ММ). Вычислительный эксперимент основывается на создании ММ изучаемых объектов, которые формируются с помощью некоторой особой математической структуры, способной отражать свойства объекта, проявляемые им в различных экспериментальных условиях, и включает в себя следующие этапы.



1. Для исследуемого объекта строится модель, обычно сначала физическая, фиксирующая разделение всех действующих в рассматриваемом явлении факторов на главные и второстепенные, которые на данном этапе исследования отбрасываются; одновременно формулируются допущения и условия применимости модели, границы, в которых будут справедливы полученные результаты; модель записывается в математических, терминах, как правило, в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений; создание ММ проводится специалистами, хорошо знающими данную область естествознания или техники, а также математиками, представляющими себе возможности решения математической задачи.

2. Разрабатывается метод решения сформулированной математической задачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраических формул, по которым должны вестись вычисления и условия, показывающие последовательность применения этих формул; набор этих формул и условий носит название вычислительного алгоритма. Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, так как решения поставленных задач часто зависят от многочисленных входных параметров. Тем не менее, каждый конкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится при фиксированных значениях всех параметров. Между тем в результате такого эксперимента часто ставится задача определения оптимального набора параметров. Поэтому при создании оптимальной установки приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значением некоторых параметров. В связи с этим при организации вычислительного эксперимента можно использовать эффективные численные методы.

3. Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ. Программирование решений определяется теперь не только искусством и опытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своими принципиальными подходами.

4. Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторой цифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать. Точность информации определяется при вычислительном эксперименте достоверностью модели, положенной в основу эксперимента, правильностью алгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапе могут возникнуть необходимость уточнения ММ (усложнения или, наоборот, упрощения), предложения по созданию упрощенных инженерных способов решения и формул, дающих возможности получить необходимую информацию более простым способом.

38. Компьютерные системы моделирования

Компьютерное моделирование, от постановки задачи до получения результатов, проходит следующие этапы:

1. Постановка задачи:

· Формулировка задачи.

· Определение цели и приоритетов моделирования.

· Сбор информации о системе, объекте моделирования.

· Описание данных (их структуры, диапазона, источника и т.д.).

2. Предмодельный анализ:

· Анализ существующих аналогов и подсистем.

· Анализ технических средств моделирования:

· ЭВМ,

· периферии.

· Анализ программного обеспечения:

· языков программирования,

· пакетов прикладных программ,

· инструментальных сред.

· Анализ математического обеспечения: моделей, методов, алгоритмов.

3. Анализ задачи (модели):

· Разработка структур данных.

· Разработка входных и выходных спецификаций, форм представления

данных.

· Проектирование структуры и состава модели (подмоделей).

4. Исследование модели:

· Выбор методов исследования подмоделей.

· Выбор, адаптация или разработка алгоритмов.

· Сборка модели в целом из подмоделей.

· Идентификация модели, если в этом есть необходимость.

· Формулировка используемых критериев адекватности, устойчивости и

чувствительности модели.

5. Программирование (проектирование программы):

· Выбор метода тестирования и тестов (контрольных примеров).

· Кодирование на языке программирования (написание команд).

· Комментирование программы.

6. Тестирование и отладка:

· Синтаксическая отладка.

· Семантическая отладка (отладка логической структуры).

· Тестовые расчеты, анализ результатов тестирования.

· Оптимизация программы.

7. Оценка моделирования:

· Оценка средств моделирования.

· Оценка адекватности моделирования.

· Оценка чувствительности модели.

· Оценка устойчивости модели.

· Документирование.

· Описание задачи, целей.

· Описание модели, метода, алгоритма.

· Описание среды реализации.

· Описание возможностей и ограничений.

· Описание входных и выходных форматов, спецификаций.

· Описание тестирования.

· Создание инструкций для пользователя.

8. Сопровождение:

· Анализ применения, периодичности использования, количества

пользователей, типа использования (диалоговый, автономный и др.),

анализ отказов во время использования модели.

· Обслуживание модели, алгоритма, программы и их эксплуатация.

· Расширение возможностей: включение новых функций или изменение

режимов моделирования, в том числе и под модифицированную среду.

· Нахождение, исправление скрытых ошибок в программе, если таковые найдутся.

9. Использование модели.



39. Эволюционное моделирование и генетические алгоритмы

При эволюционном моделировании процесс моделирования сложной социально- экономической системы сводится к созданию модели его эволюции или к поиску допустимых состояний системы, к процедуре (алгоритму) отслеживания множества допустимых состояний (траекторий). При этом актуализируются такие атрибуты биологической эволюционной динамики как, например:

1. сообщество (корпорация, корпоративные объекты, субъекты, окружение);

2. видовое разнообразие и распределение в экологической нише (типы распределения ресурсов, структура связей в данной корпорации);

3. экологическая ниша (сфера влияния и функционирования, эволюции на рынке, в бизнесе);

4. рождаемость и смертность (производство и разрушение);

5. изменчивость (экономической обстановки, ресурсов);

6. конкурентные взаимоотношения (рыночные отношения);

7. память (способность к циклам воспроизводства);

8. естественный отбор (штрафные и поощрительные меры);

9. наследственность (производственные циклы и их предыстория);

10. регуляция (инвестиции);

11. самоорганизация и стремление системы в процессе эволюции максимизировать контакт с окружением в целях самоорганизации, возврата на траекторию устойчивого развития и другие. При исследовании эволюции системы необходима ее декомпозиция на подсистемы с целью обеспечения:

1. эффективного взаимодействия с окружением;

2. оптимального обмена определяющими материальными, энергетическими, информационными, организационными ресурсами с подсистемами;

3. эволюционируемости системы в условиях динамической смены и переупорядочивания целей, структурной активности и сложности системы;

4. управляемости системы, идентификации управляющей подсистемы и эффективных связей с подсистемами системы, обратной связи.

Принцип эволюционного моделирования предполагает необходимость и эффективность использования методов и технологии искусственного интеллекта, в частности, экспертных систем.

Адекватным средством реализации процедур эволюционного моделирования являются генетические алгоритмы.

Генетический алгоритм - это алгоритм, основанный на имитации генетических процедур развития популяции в соответствии с принципами эволюционной динамики, приведенными выше. Часто используется для решения задач оптимизации (многокритериальной), поиска, управления. Данные алгоритмы адаптивны, развивают решения, развиваются сами. Особенность этих алгоритмов - их успешное использование при решении NP-сложных проблем (проблем, для которых невозможно построить алгоритм с полиномиально возрастающей алгоритмической сложностью).

Генетические алгоритмы включают в себя:

1. генерацию начальной популяции (набора допустимых решений задачи);

2. определение критерия достижения «хорошего» решения;

3. определение критерия останова;

4. процедуры селекции, скрещивания, мутации;

5. процедуру обновления популяции.

40. Основные атрибуты эволюционного моделирования

Потребность в прогнозе и адекватной оценке последствий осуществляемых человеком мероприятий (особенно негативных) приводит к необходимости моделирования динамики изменения основных параметров системы, динамики взаимодействия открытой системы с ее окружением (ресурсы, потенциал, условия, технологии и т.д.), с которым осуществляется обмен ресурсами в условиях враждебных, конкурентных, кооперативных или же безразличных взаимоотношений.

Здесь необходимы системный подход, эффективные методы и критерии оценки адекватности моделей, которые направлены не только на максимизацию критериев типа "прибыль", "рентабельность", но и на оптимизацию отношений с окружающей средой.

Для долгосрочного прогноза необходимо выделить и изучить достаточно полную и информативную систему параметров исследуемой системы и ее окружения, разработать методику введения мер информативности и близости состояний системы. Важно отметить, что при этом некоторые критерии и меры могут часто конфликтовать друг с другом.

Многие такие социально-экономические системы можно описывать с единых позиций, средствами и методами единой теории - эволюционной.

При эволюционном моделировании процесс моделирования сложной социально - экономической системы сводится к созданию модели его эволюции или к поиску допустимых состояний системы, к процедуре (алгоритму) отслеживания множества допустимых состояний (траекторий).

При этом актуализируются такие атрибуты биологической эволюционной динамики, как например:

1. Сообщество (корпорация, корпоративные объекты, субъекты, окружение).

2. Видовое разнообразие и распределение в экологической нише (типы распределения ресурсов, структура связей в данной корпорации).

3. Экологическая ниша (сфера влияния и функционирования, эволюции на рынке, в бизнесе).

4. Рождаемость и смертность (производство и разрушение).

5. Изменчивость (экономической обстановки, ресурсов).

6. Конкурентные взаимоотношения (рыночные отношения).

7. Память (способность к циклам воспроизводства).

8. Естественный отбор (штрафные и поощрительные меры).

9. Наследственность (производственные циклы и их предыстория).

10. Регуляция (инвестиции).

11. Самоорганизация и стремление системы в процессе эволюции максимизировать контакт с окружением в целях самоорганизации, возврата на траекторию устойчивого развития и др.

41. Основные направления исследования эволюции систем

При исследовании эволюции системы необходима ее декомпозиция на подсистемы с целью обеспечения:

· эффективного взаимодействия с окружением;

· оптимального обмена определяющими материальными, энергетическими, информационными, организационными ресурсами с подсистемами;

· эволюции системы в условиях динамической смены и переупорядочивания целей, структурной активности и сложности системы;

· управляемости системы, идентификации управляющей подсистемы и эффективных связей с подсистемами, обратной связи.

Пусть имеется некоторая система S с N подсистемами. Для каждой i - й подсистемы определим вектор x⁽ⁱ⁾ = (x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,…,x_ni⁽ⁱ⁾) основных параметров, без которых нельзя описать и изучить функционирование подсистемы в соответствии с целями и доступными ресурсами системы. Введем в рассмотрение функцию s⁽ⁱ⁾ = s(x⁽ⁱ⁾), которую назовем функцией активности или просто активностью этой подсистемы. Например, в бизнес-процессах это понятие близко к понятию деловой активности.

Для всей системы определены вектор состояния системы x и активность системы s(x), а также понятие общего потенциала системы.

Например, потенциал активности может быть определен с помощью интеграла от активности на задаваемом временном промежутке моделирования.

Эти функции отражают интенсивность процессов, как в подсистемах, так и в системе в целом.

Важными для задач моделирования являются три значения

s⁽ⁱ⁾_max, s⁽ⁱ⁾_min, s⁽ⁱ⁾_opt

- максимальные, минимальные и оптимальные значения активности i - й подсистемы, а также аналогичные значения для всей системы (s_max, s_min, s_opt).

Функции должны отражать эволюцию системы, в частности, удовлетворять условиям:

1. Периодичности (цикличности), например:

( 0 < T < ?, t: ⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t) = ⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t + T),

⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t) = ⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t + T)).

2. Затуханию при снижении активности, например:

(s(x) 0 i = 1, 2, ..., n) => ( ⁽ⁱ⁾ 0, ⁽ⁱ⁾ 0).

3. Стационарности: выбор или определение функции ⁽ⁱ⁾, ⁽ⁱ⁾ осуществляется таким образом, чтобы система имела точки равновесного состояния, а s⁽ⁱ⁾_opt, s_opt достигались бы в стационарных точках x⁽ⁱ⁾_opt, x_opt для малых промежутков времени. В больших промежутках времени система может вести себя хаотично, самопроизвольно порождая регулярные, упорядоченные, циклические взаимодействия (детерминированный хаос).

Обратимся к социально - экономической среде, которая может возобновлять с коэффициентом возобновления. Этот коэффициент зависит, в общем случае, от мощности среды (ресурсоемкости и ресурсообеспеченности). Однако, каким бы хорошим ни было состояние ресурсов в начальный момент, они неизменно будут истощаться, если потенциал системы меньше 1.

При эволюционном моделировании социально - экономических систем полезно использовать и классические математические модели и неклассические, в частности, учитывающие пространственную структуру системы, структуру и иерархию подсистем (графы, структуры данных и др.), опыт и интуицию (эвристические, экспертные процедуры).

Принцип эволюционного моделирования предполагает необходимость и эффективность использования методов и технологии искусственного интеллекта, в частности, экспертных систем.

Адекватным средством реализации процедур эволюционного моделирования являются генетические алгоритмы.

42. Генетические алгоритмы

Пусть дана некоторая сложная функция (целевая функция), зависящая от нескольких переменных, и требуется найти такие значения переменных, при которых значение функции максимально. Задачи такого рода называются задачами оптимизации и встречаются на практике очень часто.

Генетические алгоритмы - это очень популярные в настоящее время способы решения задач оптимизации. В их основе лежит использование эволюционных принципов для поиска оптимального решения.

Вообразим искусственный мир, населенный множеством существ (особей), причем каждая особь - это некоторое решение задачи. Будем считать особь более приспособленной, чем лучше соответствующее решение (чем больше значение целевой функции оно дает). Тогда задача максимизации целевой функции сводится к поиску более приспособленной особи. Конечно, мы не можем поселить в наш виртуальный мир все особи сразу, так как их очень много. Вместо этого будем рассматривать множество поколений, которые сменяют друг друга. Теперь, если мы сумеем задействовать естественный отбор и генетическое наследование, тогда полученная среда будет подчиняться законам эволюции. Целью этой искусственной эволюции будет создание наилучших решений. Очевидно, эволюция - бесконечный процесс, в ходе которого приспособленность особей постепенно повышается. Принудительно остановив этот процесс через длительное время после его начала и выбрав наиболее приспособленную особь в текущем поколении, получим не абсолютно точный, но близкий к оптимальному ответ. Такова идея генетического алгоритма. Перейдем теперь к точным определениям и опишем работу генетического алгоритма детальней.

Для того чтобы говорить о генетическом наследовании, нужно наделить наши особи хромосомами. В генетическом алгоритме хромосома - это некоторый числовой вектор, который отвечает подбираемому параметру, а набор хромосом данной особи определяет решение задачи. Какие именно векторы следует рассматривать в конкретной задаче, решает сам пользователь. Каждая из позиций вектора хромосомы называется геном.

Простой генетический алгоритм случайным образом генерирует начальную популяцию. Работа генетического алгоритма представляет итерационный процесс, который продолжается до тех пор, пока не выполнится заданное число поколений или любой другой критерий остановки. В каждом поколении генетического алгоритма реализуется отбор пропорционально приспособленности, одноточечный кроссинговер и мутация. Сначала, пропорциональный отбор назначает каждой структуре вероятность Ps(и) равную отношению ее приспособленности к суммарной приспособленности популяции:

Потом происходит отбор (с замещением) всех n особей для дальнейшей генетической обработки, соответственно величине Ps(і).

При таком отборе члены популяции с высокой приспособленностью с большей вероятностью будут выбираться чаще, чем особи с низкой приспособленностью. После отбора, n избранных особей случайным образом разбиваются на n/2 пары. Для каждой пары с вероятностью Ps может применяться кроссинговер. Соответственно, с вероятностью 1-Ps кроссинговер не происходит и неизмененные особи переходят на стадию мутации. Если кроссинговер происходит, полученные потомки заменяют родителей и переходят к мутации.

Определим теперь понятия, отвечающие мутации и кроссинговеру в генетическом алгоритме.

Мутация - это преобразование хромосомы, которое случайно изменяет одну или несколько ее позиций (генов). Наиболее распространенный вид мутаций - случайное изменение только одного из генов хромосомы.

Кроссинговер (кроссовер или скрещивание) - это операция, при которой из двух хромосом порождается одна или несколько новых хромосом. Одноточечный кросинговер работает следующим образом. Сначала, случайным образом выбирается одна из l-1 точек разрыва. (Точка разрыва - участок между соседними битами в строке.) Обе родительские структуры в этой точке разрываются на два сегмента. Потом, соответствующие сегменты разных родителей склеиваются и выходят два генотипа потомков.

После того как заканчивается стадия кроссинговера, выполняются операторы мутации. В строке, к которой применяется мутация, каждый бит с вероятностью Pm изменяется на противоположный. Популяция, полученная после мутации записывает поверх старой и цикл одного поколения завершается. Следующие поколения обрабатываются подобным образом: отбор, кроссинговер и мутация.



области применения ГА:

· Экстремальные задачи (нахождение точек минимума и минимума);

· Задачи о кратчайшем пути;

· Задачи компоновки;

· Составление расписаний;

· Аппроксимация функций;

· Отбор(фильтрация) входных данных;

· Настройка искусственной нейронной сети;

· Моделирование искусственной жизни (Artificial life systems) - подробнее об этом здесь;

· Биоинформатика (свертывание белков и РНК);

· Игровые стратегии;

· Нелинейная фильтрация;

· Развивающиеся агенты/машины (Evolvable agents/machines);



43. Основы принятия решений и ситуационного моделирования

Принятие решения - это выбор одного из множества рассматриваемых допустимых вариантов. Обычно их число конечно, а каждый вариант выбора определяет некоторый результат (экономический эффект, прибыль, выигрыш, полезность, надежность и т.д.), допускающий количественную оценку. Такой результат обычно называется полезностью решения. Таким образом, ищется вариант с наибольшим значением полезности решения. Возможен и подход с минимизацией противоположной оценки.

Классические модели принятия решений, как правило, являются оптимизационными, ставящими цель максимизировать выгоду и на основе этих моделей получить практическую прибыль. Классификация задач принятия решений проводится по следующим признакам: степень определенности информации; использование эксперимента для получения информации; количество лиц, принимающих решения; содержание решений; направленность решений.

В зависимости от критерия эффективности, стратегий и факторов управления выбирается тот или иной метод (алгоритм) оптимизации. Основными методами оптимизации в управлении являются:

1. методы линейного и динамического программирования (принятия решения об оптимальном распределении ресурсов);

2. методы теории массового обслуживания (принятие решения в системе со случайным характером поступления и обслуживания заявок на ресурсы);

3. методы имитационного моделирования (принятие решения путем проигрывания различных ситуаций, анализа откликов системы на различные наборы задаваемых ресурсов);

4. методы теории игр (принятие решений с помощью определения стратегии в тех или иных состязательных задачах);

5. методы теории расписаний (принятие решений с помощью разработки календарных расписаний выполнения работ и использования ресурсов);

6. методы сетевого планирования и управления (принятие решений с помощью оценки и перераспределения ресурсов при выполнении проектов, изображаемых сетевыми графиками);

7. методы многокритериальной (векторной) оптимизации (принятие решений при условии существования многих критериев оптимальности решения) и другие методы.

Общая процедура принятия решений может состоять из следующих этапов:

1. анализ проблемы и среды (цели принятия решения, их приоритеты, глубина и ограничения рассмотрения, элементы, связи, ресурсы среды, критерии оценки);

2. постановка задачи (определение спецификаций задачи, альтернатив и критериев выбора решения);

3. выбор (адаптация, разработка) метода решения задачи;

4. выбор (адаптация, разработка) метода оценки решения;

5. решение задачи (математическая и компьютерная обработка данных, имитационные и экспертные оценки, уточнение и модификация, если это необходимо);

6. анализ и интерпретация результатов.

При выборе pационального pешения необходимо принимать во внимание внешнюю сpеду и побочные явления, динамическую изменчивость критериев оценок решения, необходимость ранжирования аспектов и приоритетов решения, их неполноту и разнородность (а иногда и конфликтность).

Ситуационный анализ - это комплексные технологии подготовки, принятия и реализации управленческих решений, в основе которых - анализ отдельно взятой управленческой ситуации. Это анализ текущего состояния системы по системно увязанным направлениям ее деятельности. Ситуационный анализ рассматривается как экспресс-анализ деятельности системы в ее отношениях с внешней средой и как инструментарий для обоснования изменений в управлении ею.

Ситуация - это сочетание внутренних и внешних факторов, обстоятельств, условий, активных и пассивных действующих сил, требующее принятия соответствующих стратегических и важных тактических решений, определяющих деятельность организации, а также обеспечивающих предупреждение кризисных явлений. Предполагается, что ситуация развивается в соответствии с определенными закономерностями под действием некоторых механизмов и событий, происходящих вне организации.

Ситуация - совокупность обстоятельств (условий), возникающих под влиянием внутренних и внешних воздействий, которые нарушают заданное функционирование системы, требуют перевода ее в новое состояние.

Управленческие ситуации могут быть простыми и сложными, хорошо просматриваемыми и с трудом поддающимися анализу.

Классификация ситуаций:

- по масштабу действий: общесистемные; возникающие в подсистемах; возникающие в элементах системы;

- по причинам возникновения: сохранения функционирования объекта; появление новой цели; искусственно создаваемые трудности (например, конкурентами); случайные обстоятельства;

- по содержанию: производственные; экономические; психологические; организационные; социальные;

- по оценке субъекта управления: удовлетворительные; неудовлетворительные; проблемные;

- по степени структуризации: хорошо структурированные; трудно поддающиеся анализу;

- по степени сложности: простые; сложные;

- по временному признаку: кратковременные; долгосрочные.

Ситуационный анализ идет от конкретных ситуаций, проблем, возникающих в реальной деятельности, по которым должно быть принято управленческое решение. При этом разрешение конкретных ситуаций должно быть увязано с общими целями организации. Только органичное соединение стратегического управления и ситуационного анализа приводит к наиболее значительным результатам при управлении.

44. Основы принятия решений

Принятие решения и деятельность человека в социальной, экономической, политической, идеологической, военной сферах тесно связаны. В них крайне нежелательны ошибки, которые могут привести к пагубным последствиям. Но из-за ограниченных информационных возможностей человека ошибки всегда возможны. Поэтому есть настоятельная необходимость применения научного подхода к обоснованию и принятию решений.

Принятие решений, наряду с прогнозированием, планированием и др. является функцией управления. Все функции управления направлены, так или иначе, на формирование или реализацию решений. При прогнозировании и планировании принимаются решения, связанные с выбором методов и средств, организацией работы, оценкой достоверности информации, выбором наиболее достоверного варианта прогноза и наилучшего варианта плана.

Функция принятия решений является с методологической и технологической точек зрения более общей, чем другие функции управления.

Для лица, принимающего решение (ЛПР), принятие решений является основной задачей, которую он обязан исполнять в процессе управления. Поэтому знание методов, технологий и средств решений этой задачи является необходимым элементом квалификации руководителя, базой для дальнейшего управления.

Конечным результатом любой задачи принятия решений становится решение, конструктивное предписание к действию.

Решение является одним из видов мыслительной деятельности и имеет следующие признаки:

· имеется выбор из множества возможностей;

· выбор ориентирован на сознательное достижение целей;

· выбор основан на сформировавшейся установке к действию.

Решение тем эффективнее, чем больше степень достижения целей и меньше стоимость затрат.

Принятие решения - это выбор одного из множества рассматриваемых допустимых вариантов. Обычно их число конечно, а каждый вариант выбора определяет некоторый результат (экономический эффект, прибыль, выигрыш, полезность, надежность и т.д.), допускающий количественную оценку.

Такой результат обычно называется полезностью решения. Таким образом, ищется вариант с наибольшим значением полезности решения. Возможен и подход с минимизацией противоположной оценки, например, отрицательной величины полезности.

Например, если решения альтернативные, то можно последствия каждого из них характеризовать:

· суммой его наибольшего и наименьшего результатов,

· максимумом из возможных таких сумм,

· максимумом из максимумов по всем вариантам (оптимистическая позиция выбора),

· максимумом из среднего арифметического (нейтральная позиция выбора),

· максимумом из минимума (пессимистическая позиция) и др.

Классические модели принятия решений, как правило, являются оптимизационными, ставящими цель максимизировать выгоду и на основе этих моделей получить практическую прибыль.

Классификация задач принятия решений проводится по различным признакам. Наиболее существенными являются:

· степень определенности информации;

· использование эксперимента для получения информации;

· количество лиц, принимающих решения;

· содержание решений;

· направленность решений.

На процесс принятия решения часто воздействуют различные случайные (стохастические) параметры, усложняющие процедуру. Недостаток информации об их распределении приводит к необходимости принятия гипотез об области их изменения и о характере их распределения.

Проблемы принятия решений с недетерминированными параметрами называют проблемами принятия решений в условиях недостатка информации.

Чем меньше информации у исследователей, тем больше может оказаться различие между ожидаемыми и действительными результатами принимаемых решений в целом.

Мера влияния информации (параметров) на результат решения называется релевантностью.

Особо важно в социально-экономической сфере принятие решения при наличии рисков (неплатежей, не возвратов кредитов, ухудшения условий жизни и т.д.).

45. Ситуационное моделирование

Ситуационное моделирование - это один из подходов к моделированию. Помимо ситуационного моделирования также существуют имитационное моделирование,экспертное моделирование.

Процесс моделирования можно разделить на две составные части: проектирование системы (modeling) и симулирование модели (simulate). Результатом проектирования является модель, представленная на соответствующем языке описания (представления) знаний, основным элементом которого является понятие ситуации.

Необходимость использования ситуационного подхода для моделирования и управления определяется следующими свойствами сложных систем:

1. Уникальность. Каждый объект обладает такой структурой и функционирует так, что система управления им должна строиться с учетом всех его качеств и к нему нельзя применить какую-либо стандартную типовую процедуру управления.

2. Отсутствие формализуемой цели существования. Не для всех объектов можно четко сформулировать цель их существования.

3. Отсутствие оптимальности. Следствием первых пунктов является неправомочность постановки классической задачи оптимизации. Из-за отсутствия цели существования (в рамках теории управления) для рассматриваемых объектов нельзя построить объективный критерий управления. Критерий управления становится субъективным, целиком зависящим от лица, принимающего решение (ЛПР).

4. Динамичность. С течением времени структура и функционирование объектов изменяется.

5. Неполнота описания. Как правило, коллектив экспертов, знающих объект управления, не в состоянии сразу сформировать такую информацию, которой бы заведомо хватило для создания системы управления объектом.

6. Значительное количество субъектов. Во многих объектах управления люди являются элементами их структуры. Их индивидуальное поведение практически невозможно учесть при создании системы управления, и требуются специальные приемы для нейтрализации их воздействия на функционирование объекта управления.

7. Большая размерность. Сложная система, характеризуется большой размерностью, что не позволяет осуществлять ее имитационное моделирование за короткие сроки.

8. Неформализованная информация. Часто для принятия решения необходимо учитывать плохо формализуемые понятия.

Методы ситуационного моделирования

Для описания ситуаций используются семиотические (ситуационные) языки и модели, среди которых можно выделить следующие основные подходы:

· дискретные ситуационные сети (ДСС);

· RX -коды;

· логика предикатов;

· универсальный семантический код.

Ситуационная сеть представляет собой сложную семантическую сеть. Каждая ситуация описывается ориентированным графом (сетью), а для представления вложенности ("ситуации ситуаций") используются гиперграфы, т.е. некоторый фрагмент семантической сети, определяющий ситуацию, может рассматриваться как одна вершина сети. На заре ситуационного управления понятие гиперграфа не использовалось, вместо этого каждый автор вводил заменяющие обозначения.

RX-коды представляют собой язык бинарных отношений и имеют в качестве ядерной конструкции запись следующего вида: x₁=x₂r₂x₃, где x_i - объект или ситуация; r_i - отношение.

Универсальный семантический код использует в качестве ядерной конструкции тройку SAO, которая соответствует субъекту S, совершающему действие A над объектом O.

Для реализации в ЭВМ семиотических языков используют языки представления знаний. Наиболее близким подходом к описанию семиотических конструкций является семантическая сеть. Однако сети очень медлительны при использовании операций поиска, поэтому конструкции часто представляют с помощью логики предикатов, фреймов и продукций.

Нельзя не отметить, что методы представления знаний в ситуационных системах и экспертных системах аналогичны. Еще больше они сблизились после активного внедрения нечеткой логики в технологии ЭС. При ситуационном моделировании активно используются имитационные модели, следовательно, ситуационный язык должен включать некоторые средства, присущие языкам моделирования: системное время, очереди событий, организацию квазипараллельных процессов и т.д..

Для ситуационного моделирования (имитации) можно использовать два метода:

· задание исходных данных и расчет возникающих ситуаций;

· моделирование взаимосвязей ситуаций.

Метод аналогичен структурному подходу в системах имитационного моделирования. В роли вершин сети выступают ситуации. Если применить сети Петри, то вершинами (позициями) будут ситуации, а переходами -- события.

Особо можно выделить методы визуализации ситуаций. Они направлены на решение задач оптимального отображения информации на мониторах (сценарные методы, метод абстрактной карты) и декомпозиции изображений по срезам ситуационной модели.

46. Достоинства и недостатки имитационного моделирования систем

Основным достоинством имитационного моделирования является то, что этим методом можно решать более сложные задачи. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать случайные воздействия и другие факторы, которые создают трудности при аналитическом исследований.

Применение имитационных моделей дает множество преимуществ по сравнению с выполнением экспериментов над реальной системой и использованием других методов.

Стоимость. Допустим, компания уволила часть сотрудников, что в дальнейшем привело к снижению качества обслуживания и потери части клиентов. Принять обоснованное решение помогла бы имитационная модель, затраты на применение которой состоят лишь из цены программного обеспечения и стоимости консалтинговых услуг.

Время. В реальности оценить эффективность, например, новой сети распространения продукции или измененной структуры склада можно лишь через месяцы или даже годы. Имитационная модель позволяет определить оптимальность таких изменений за считанные минуты, необходимые для проведения эксперимента.

Повторяемость. Современная жизнь требует от организаций быстрой реакции на изменение ситуации на рынке. Например, прогноз объемов спроса продукции должен быть составлен в срок, и его изменения критичны. С помощью имитационной модели можно провести неограниченное количество экспериментов с разными параметрами, чтобы определить наилучший вариант.

Точность. Традиционные расчетные математические методы требуют применения высокой степени абстракции и не учитывают важные детали. Имитационное моделирование позволяет описать структуру системы и её процессы в естественном виде, не прибегая к использованию формул и строгих математических зависимостей.

Наглядность. Имитационная модель обладает возможностями визуализации процесса работы системы во времени, схематичного задания её структуры и выдачи результатов в графическом виде. Это позволяет наглядно представить полученное решение и донести заложенные в него идеи до клиента и коллег.

Универсальность. Имитационное моделирование позволяет решать задачи из любых областей: производства, логистики, финансов, здравоохранения и многих других. В каждом случае модель имитирует, воспроизводит, реальную жизнь и позволяет проводить широкий набор экспериментов без влияния на реальные объекты.

Однако имитационное моделирование наряду с достоинствами имеет и недостатки :

1. Исследования с помощью этого метода обходятся дорого (компьютер + программист + программное обеспечение);

2. Велика возможность ложной информации.

3. Зачастую исследователи обращаются к имитационному моделированию, не представляя тех трудностей , с которыми они встретятся и совершают при этом ряд ошибок методологического характера.