Эконометрика и эконометрическое моделирование
Определение эконометрики и эконометрическое моделирование. Парная регрессия и корреляция. Модель множественной регрессии, оценка ее качества. Системы линейных одновременных уравнений. Факторный, кластерный и дискриминантный статистический анализ.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.05.2012 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЭКОНОМЕТРИКА
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на ПЭВМ
для студентов 3 курса,
обучающихся по специальностям
«Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит», «Экономика труда»,
Москва - 2004
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на ПЭВМ разработали:
o канд.экон.наук, профессор Орлова И.В.,
o докт. экон.наук, профессор Половников В.А.
o докт. физ.-мат наук, профессор Габескирия В.Я.,
o канд.экон.наук, доцент Гармаш А.Н.,
o канд.экон.наук, доцент Гусарова О.М.,
o докт. физ.-мат наук, профессор Михайлов В.Н.,
o докт.педагогич.наук, профессор Пилипенко А.И..
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на ПЭВМ обсуждены на заседании кафедры экономико-математических методов и моделей.
Зав. кафедрой профессор Половников В.А.
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на ПЭВМ одобрены на заседании Научно-методического совета ВЗФЭИ
Проректор по УМР председатель НМС профессор Дайитбегов Д.М.
ЭКОНОМЕТРИКА Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на ПЭВМ.
Для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет анализ и аудит», «Экономика труда»
Содержание
- Тема 1. Введение. Эконометрика и эконометрическое моделирование.
- Тема 2. Временные ряды
- Тема 3. Парная регрессия и корреляция
- 3.1 корреляционный анализ
- 3.2 Регрессионный анализ
- Тема 4. Множественная регрессия
- Тема 5. Системы линейных одновременных уравнений
- Тема 6. Многомерный статистический анализ
- Задания для выполнения контрольной работы по дисциплине
- Задания для выполнения аудиторной работы на ПЭВМ
- Приложения
- Литература
- Полезные ссылки на интернет - ресурсы
Тема 1. Введение. Эконометрика и эконометрическое моделирование.
Классификация эконометрических моделей. Основные этапы построения эконометрических моделей. Типы экономических данных, используемых в эконометрических исследованиях: пространственные данные и временные ряды.
Сегодня деятельность в любой области экономики (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Без глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. Изучение современной экономической литературы также предполагает хорошую эконометрическую подготовку.
Так что же такое эконометрика? Сформулируем следующее определение.
Эконометрика - это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов на базе
экономической теории,
экономической статистики,
математико-статистического инструментария (см. рис. 1.1).
Рис. 1.1. К определению науки «Эконометрика»
эконометрика (вместе с микроэкономикой и макроэкономикой) входит в число основных дисциплин экономического образования.
Прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она является связующим звеном между экономической теорией и практикой. Эконометрика дает методы экономических измерений, методы оценки параметров моделей микро- и макроэкономики. Важно, что эконометрические методы одновременно позволяют оценить ошибки измерений экономических величин и параметров моделей. Экономист, не владеющий этими методами, не может эффективно работать аналитиком. Менеджер, не понимающий значение этих методов, обречен на принятие ошибочных решений. Без эконометрических методов нельзя построить сколько-нибудь надежного прогноза, а значит под вопросом успех в банковском деле, финансах, бизнесе.
Существует мнение, что проблема оценки параметров экономической модели при современном развитии вычислительной техники решается легко - достаточно научиться пользоваться каким-нибудь пакетом статистических программ. Это мнение справедливо лишь в небольшой степени. Пакеты статистических программ решают лишь вычислительные проблемы, они не освобождают пользователя от необходимости знания эконометрики.
Основные задачи эконометрики -- построение количественно определенных экономико-математических моделей, разработка методов оценки их параметров по статистическим данным и анализ их свойств. Можно выделить три основных класса моделей, которые применяются для анализа и прогнозирования экономических систем [4, с. 13-15]
модели временных рядов.
регрессионные модели с одним уравнением.
системы одновременных уравнений.
При этом все переменные любой эконометрической модели, в зависимости от конечных прикладных целей ее использования, принято (целесообразно) делить на экзогенные, эндогенные и предопределенные.
Переменные, которые входят в эконометрическую модель, но рассматриваются как определенные независимо от моделируемого явления, называют экзогенными. Иными словами, экзогенные переменные заданы как бы «извне», автономно; в определенной степени это управляемые (планируемые) переменные. Их также называют независимыми переменными.
Если переменные определяются только явлением, для которого строится модель, то они называются эндогенными. Стало быть, значения этих переменных формируются в процессе и внутри функционирования анализируемой социально-экономической системы, причем в существенной мере под воздействием экзогенных переменных и, конечно, во взаимодействии друг с другом. В эконометрической модели они являются предметом объяснения, и в этом смысле их иногда называют зависимыми (объясняемыми) переменными.
Переменные, выступающие в системе в роли факторов - аргументов, или объясняющих переменных называют предопределенными. Очевидно, множество предопределенных переменных формируется из всех экзогенных переменных (которые могут быть «привязаны» к прошлым, текущему или будущим моментам времени) и так называемых лаговых эндогенных переменных, т. е. таких эндогенных переменных, значения которых входят в уравнения анализируемой эконометрической системы измеренными в прошлые (по отношению к текущему) моменты времени, а, следовательно, являются уже известными, заданными. Таким образом, можно сказать, что эконометрическая модель служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных, т.е. в зависимости от значений предопределенных переменных. Н
На первом (постановочном) этапе построения такой модели формулируются конечные цели моделирования, определяется набор участвующих в модели факторов и показателей, т.е. устанавливается, какие из переменных рассматриваются как эндогенные, а какие - как экзогенные и лаговые эндогенные. Так, пусть Y={y1, y2, …, yn} - множество эндогенных переменных, а X={X1, X2, …, Xm} (где Xi ={x1i,x2i, …, xni}, а индекс i = ) - множество экзогенных переменных.
На втором этапе (априорном) осуществляется предварительный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации, в частности, относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих.
Третий этап (параметризация) - это собственно моделирование, т. е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы, входящих в нее связей. Если соответствующая система уравнений разрешена относительно эндогенных переменных, то эконометрическая модель в общем случае записывается в виде Y= f(X), и проблема заключается в определении способов использования множества результатов наблюдений для уточнения коэффициентов функции f(X) Вообще говоря, система уравнений не обязательно должна быть разрешена аналитически. Модель может представлять собой множество операций, которые позволяют перейти от экзогенных к эндогенным переменным..
Четвертый этап (информационный) заключается в сборе необходимой статистической информации и предварительном анализе данных, т.е. регистрируются значения участвующих в модели факторов и показателей на различных временных или пространственных интервалах функционирования изучаемого явления.
Пятый этап (идентификация модели) посвящен статистическому анализу модели и в первую очередь статистической оценке неизвестных параметров модели. В зависимости от выбираемого критерия и численного метода оценки получаются разные результаты. Наибольшее распространение - из-за простоты реализации и надежности результатов - получил метод наименьших квадратов.
Шестой этап (верификация модели) предполагает сопоставление реальных и модельных данных, проверку адекватности модели, оценку точности модельных данных. Если модель адекватна и имеет приемлемую точность, то на ее основе проводится анализ моделируемой системы и строится прогноз - точечный и интервальный.
Последние три этапа (4-й, 5-й и 6-й) сопровождаются крайне трудоемкой процедурой калибровки модели. Она заключается в переборе большого числа различных вариантов «нормативные ограничения Нормативные ограничения - ограничения, определенные содержательным смыслом анализируемых связей. -- значения отдельных переменных» (что связано с многократными «вычислительными прогонами» модели) с целью получения совместной, непротиворечивой и идентифицируемой модели.
Замечание. Если математическую модель экономического явления или процесса сформулировать в общем, виде без выполнения четвертого и пятого этапов, то ее нельзя считать эконометрической! Суть собственно эконометрической модели заключается в том, что она описывает функционирование именно конкретной экономической системы, а не системы вообще. Значит, она предусматривает обязательную реализацию четвертого и пятого, а, следовательно, и шестого этапов моделирования.
Следует обратить внимание на типы данных Данные [data] - сведения о состоянии любого объекта, в том числе и экономического, представленные в формализованном виде и предназначенные для обработки (или уже обработанные). Данные не обязательно должны быть числовыми. Так статистические показатели работы предприятий и анкетные данные о человеке - это все данные., чаще всего используемых в эконометрике. (Дело в том, что они могут иметь различный вид, который иногда диктует выбор методов экономико-математического анализа (или хотя бы влияет на него)).
1. Кросс секционные - иначе, перекрестные - данные представляют ситуацию в группе переменных в каждый отдельный момент времени. Например, списки цен акций, процентных ставок или обменных курсов, публикуемые в деловых разделах газет, представляют собой кросс секционные (перекрестные) данные, потому что относятся к ценам или ставкам нескольких переменных (акций, валют и т.п.) в данный момент времени. Данные, связанные с ценой каждой из составляющих индекса акций FTSE 100 в конкретный момент времени, также являются кросс секционными.
2. Пространственные данные - иначе, пространственный срез - характеризуют ситуацию по конкретной переменной (или набору переменных), относящейся к пространственно разделенным сходным объектам в один и тот же момент времени. Таковы, например, данные по курсам покупки или продажи наличной валюты в конкретный день по разным обменным пунктам г. Москвы. Другим примером является, скажем, набор сведений (объем производства, количество работников, доход и др.) по разным фирмам в один и тот же момент времени.
3. Временные ряды отражают изменения (динамику) какой-либо переменой на промежутке времени. Например, данные о цене акции, обменном курсе валюты за каждый день (неделю или месяц) в течение ряда лет будут ежедневным (еженедельным или ежемесячным) временным рядом. В качестве иных примеров временных данных можно привлечь ежеквартальные данные по инфляции, данные по средней заработной плате, национальному доходу и денежной эмиссии за несколько последних лет или цены фьючерсных контрактов на поставку долларов США (на МТБ) и котировки ГКО (на ММВБ), скажем, за два последних года.
Тема 2. Временные ряды Эта тема изучается только студентами 2-го образования. Студенты 1-го образования изучают эту тему в рамках дисциплины ЭММ и ПМ.
Структура и особенности временных рядов экономических показателей. Требования, предъявляемые к информационной базе временных рядов. Методы обнаружения и устранения аномальных наблюдений во временных рядах. Методы выявления тенденций во временных рядах. Исследование и моделирование тренд сезонных, сезонных и периодических колебаний в функционировании финансовых рынков. Экстраполяционные методы и модели прогнозирования социально-экономических процессов. Классификация методов и моделей экономического прогнозирования. Критерии точности и адекватности экономико-математических моделей. Экстраполяция тенденций развития финансово-экономических показателей с использованием кривых роста. Точечные и интервальные прогнозы.
Тема 3. Парная регрессия и корреляция
экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов или процессов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обуславливать случайность данных, которые они определяют. Стохастическая (вероятностная) природа экономических данных обуславливает необходимость применения соответствующих статистических методов для их обработки и анализа.
Статистические распределения характеризуются наличием более или менее значительной вариации в величине признака у отдельных единиц совокупности. Естественно, возникает вопрос о том, какие же причины формируют уровень признака в данной совокупности и каков конкретный вклад каждой из них. Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции Основоположниками теории корреляции считаются английские биомет-рики Ф. Гальтон (1822-1911) и К.Пирсон (1857-1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает соотношение, соответствие. Представление о корреляции как об отношении взаимозависимости между случайными переменными величинами лежит в основе математико-статистической теории корреляции..
Изучение действительности показывает, что вариация каждого изучаемого признака находится в тесной связи и взаимодействии с вариацией других признаков, характеризующих исследуемую совокупность единиц. Вариация уровня производительности труда работников предприятий зависит от степени совершенства применяемого оборудования, технологии, организации производства, труда и управления и других самых различных факторов.
При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обусловливающих изменение других признаков. Признаки этой первой группы в дальнейшем будем называть признаками-факторами (факторными признаками); а признаки, которые являются результатом влияния этих факторов, будем называть результативными. Например, при изучении зависимости между производительностью труда рабочих и энерговооруженностью их труда уровень производительности труда является результативным признаком, а энерговооруженность труда рабочих - факторным признаком.
Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить, прежде всего, две категории зависимости: 1) функциональные и 2) корреляционные.
Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина начисленной заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов.
В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.
При сравнении функциональных и корреляционных зависимостей следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака. В отличие от жесткости функциональной связи корреляционные связи характеризуются множеством причин и следствий и устанавливаются лишь их тенденции.
3.1 Корреляционный анализ
Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними; обнаружение ранее неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между параметрами, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии.
Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.
Ковариация между двумя переменными рассчитывается следующим образом:
,
где - фактические значения случайных переменных x и y,. .
ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных, таких, например, как доходности двух ценных бумаг. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.
Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные ..
Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.
При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n -наблюдений; хik - i-ое наблюдение k-ой переменной. Основными средствами анализа данных являются парные коэффициенты корреляции, частные коэффициенты корреляции и множественные коэффициенты корреляции.
Коэффициент парной корреляции
Для двух переменных теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом:
.
где - дисперсии случайных переменных , а их ковариация.
Парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными и обладает следующими основными свойствами:
Коэффициент корреляции принимает значение в интервале (-1,+1), или |xy| < 1.
Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения, т.е.
(б1X+в; б2Y+в)= xy,
где б1, б2, - постоянные величины, причем б1>0, б2>0.
Случайные величины Х, Y, можно уменьшать (увеличивать) в б раз, а также вычитать или прибавлять к значениям одно и тоже число в - это не приведет к изменению коэффициента корреляции .
При = ±1 случайные величинысвязаны линейной зависимостью, т.е. .
При = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.
В практических расчетах коэффициент корреляции генеральной совокупности обычно не известен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка - выборочный коэффициент корреляции r, так как выборочная совокупность переменных случайна, то в отличие от параметра , r - случайная величина. Оценкой коэффициента корреляции является выборочный парный коэффициент корреляции:
= , (3.1)
где - оценки дисперсий величин .
Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t - критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия определяется по формуле:
(3.2)
Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы.
Если tнабл > tкр, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (то есть нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.
Если значение близко к нулю, связь между переменными слабая. Если случайные величины связаны положительной корреляцией, это означает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Если случайные величины связаны отрицательной корреляцией, это означает, что при возрастании одной случайной величины, другая имеет тенденцию в среднем убывать.
Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества m признаков n наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляции R.
(3.3)
Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим, в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:
1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных (m - 1) величин, включенных в анализ;
2. Определение тесноты связи между величинами при фиксировании или исключении влияния остальных k величин, при k<(m-2).
Эти задачи решаются с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции, соответственно.
Множественный коэффициент корреляции
Решение первой задачи осуществляется с помощью выборочного коэффициента множественной корреляции по формуле
, (3.4)
где - определитель корреляционной матрицы R (3.3);
- алгебраическое дополнение элемента rjj той же матрицы R.
Квадрат коэффициента множественной корреляции принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации, который показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Хj объясняет вариация остальных случайных величин X1 , X2 , . . . , Xm.Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные и не увеличится, если из имеющихся признаков производить исключение.
Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется путем сравнения расчетного значения критерия Фишера:
, (3.5)
с табличным Fтабл. Табличное значение критерия определяется заданным уровнем значимости и степенями свободы и . Коэффициент R2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство
.
Частный коэффициент корреляции
Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния одной или нескольких других случайных величин.
Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле:
` ,
где - алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы (3.3).
Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1.
Пример 3.1. Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции.
В табл. 3.1. представлена информация об объёмах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.
Требуется:
1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объёмы продаж» и «индекс потребительских расходов».
2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объёмы продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).
3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.
4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.
5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.
6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.
Таблица 3.1
|
Объем продаж, тыс. руб.-Y |
126 |
137 |
148 |
191 |
274 |
370 |
432 |
445 |
367 |
367 |
321 |
307 |
331 |
345 |
364 |
384 |
|
|
Затраты на рекламу - Х1 |
4 |
4,8 |
3,8 |
8,7 |
8,2 |
9,7 |
14,7 |
18,7 |
19,8 |
10,6 |
8,6 |
6,5 |
12,6 |
6,5 |
5,8 |
5,7 |
|
|
Индекс потребительских расходов, % - X2 |
100 |
98,4 |
101,2 |
103,5 |
104,1 |
107 |
107,4 |
108,5 |
108,3 |
109,2 |
110,1 |
110,7 |
110,3 |
111,8 |
112,3 |
112,9 |
Решение
1) Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение о том, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных x- индекс потребительских расходов и y- объёмы продаж.
В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис 3.1.
2) Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными x- индекс потребительских расходов и y- объёмы продаж приведены в таблице 3.2..
Средние значения случайных величин Х и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности и , рассчитаем по формулам, соответственно:
.
Дисперсия характеризуют степень разброса значений () вокруг своего среднего ( , соответственно)
Рис. 3.1. Диаграмма рассеяния (корреляционное поле).
Стандартные ошибки случайных величин Х и Y рассчитаем по формулам, соответственно:
Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле (3.1):
Таблица 3.2.
|
№ |
Y |
X |
||||||
|
1 |
126 |
100 |
-180,813 |
-7,231 |
1307,500 |
52,291 |
32693,160 |
|
|
2 |
137 |
98,4 |
-169,813 |
-8,831 |
1499,657 |
77,991 |
28836,285 |
|
|
3 |
148 |
101,2 |
-158,813 |
-6,031 |
957,838 |
36,376 |
25221,410 |
|
|
4 |
191 |
103,5 |
-115,813 |
-3,731 |
432,125 |
13,922 |
13412,535 |
|
|
5 |
274 |
104,1 |
-32,813 |
-3,131 |
102,744 |
9,805 |
1076,660 |
|
|
6 |
370 |
107 |
63,188 |
-0,231 |
-14,612 |
0,053 |
3992,660 |
|
|
7 |
432 |
107,4 |
125,188 |
0,169 |
21,125 |
0,028 |
15671,910 |
|
|
8 |
445 |
108,5 |
138,188 |
1,269 |
175,325 |
1,610 |
19095,785 |
|
|
9 |
367 |
108,3 |
60,188 |
1,069 |
64,325 |
1,142 |
3622,535 |
|
|
10 |
367 |
109,2 |
60,188 |
1,969 |
118,494 |
3,876 |
3622,535 |
|
|
11 |
321 |
110,1 |
14,188 |
2,869 |
40,700 |
8,230 |
201,285 |
|
|
12 |
307 |
110,7 |
0,188 |
3,469 |
0,650 |
12,032 |
0,035 |
|
|
13 |
331 |
110,3 |
24,188 |
3,069 |
74,225 |
9,417 |
585,035 |
|
|
14 |
345 |
111,8 |
38,188 |
4,569 |
174,469 |
20,873 |
1458,285 |
|
|
15 |
364 |
112,3 |
57,188 |
5,069 |
289,869 |
25,692 |
3270,410 |
|
|
16 |
384 |
112,9 |
77,188 |
5,669 |
437,557 |
32,135 |
5957,910 |
|
|
сумма |
4909 |
1715,7 |
0,000 |
0,000 |
5681,994 |
305,474 |
158718,438 |
|
|
среднее |
306,8125 |
107,23125 |
3) Оценим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем значение t - статистики по формуле
Табличное значение критерия Стьюдента равно: tтабл (б = 0,1; k = n - 2 = 14) =1,76 (см. Приложение 2). Сравнивая числовые значения критериев, видно, что tрасч > tтабл, т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.
Таким образом, индекс потребительских расходов оказывает весьма высокое влияние на объёмы продаж.
4) Матрица R коэффициентов парной корреляции, вычисленных по формуле (3.1) для трех факторов будет иметь вид:
|
Объем реализации |
Затраты на рекламу |
Индекс потребительских расходов |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
Объем реализации |
1 |
1 |
0,646 |
0,816 |
|
|
Затраты на рекламу |
2 |
0,646 |
1 |
0,273 |
|
|
Индекс потребительских расходов |
3 |
0,816 |
0,273 |
1 |
5) Вычисление множественного коэффициента корреляции y c x1 и x2.
- определитель корреляционной матрицы R равен 0,1304.
- алгебраическое дополнение 1-го диагонального элемента той же матрицы R
.
6) Вычисление коэффициентов частной корреляции.
,
где алгебраическое дополнение элемента матрицы R, а алгебраическое дополнение 2-го диагонального элемента :
.
Коэффициенты частной корреляции можно вычислить, используя коэффициенты парной корреляции:
.
3.2 Регрессионный анализ
Регрессионный анализ предназначен для исследования зависимости исследуемой переменной от различных факторов и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной модели.
В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции f (X1, X2, X3, … Xm), где X1, X2, X3, … Xm - независимые (объясняющие) переменные, или факторы. В качестве зависимой переменной может выступать практически любой показатель, характеризующий, например, деятельность предприятия или курс ценной бумаги. В зависимости от вида функции f (X1, X2, X3, … Xm) модели делятся на линейные и нелинейные. В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии).
Связь между переменной Y и m независимыми факторами можно охарактеризовать функцией регрессии Y= f (X1, X2, X3, … Xm), которая показывает, каково будет в среднем значение переменной yi, если переменные xi примут конкретные значения.
Данное обстоятельство позволяет использовать модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования экономических явлений.
Линейная парная регрессия
Под линейностью здесь имеется в виду, что переменная y предположительно находиться под влиянием переменной x в следующей зависимости: , (3.6)где - постоянная величина (или свободный член уравнения), - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий изменение переменной , при изменении значения на единицу. Если - переменные и положительно коррелированные, если 0 - отрицательно коррелированны; - независимые одинаково распределенные случайные величины - остаток с нулевым математическим ожиданием () и постоянной дисперсией (). Она отражает тот факт, что изменение будет неточно описываться изменением Х - присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели.
Оценка параметров регрессионного уравнения
Дня оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), который минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от модельных значений .
Согласно принципу метода наименьших квадратов, оценки и находятся путем минимизации суммы квадратов
по всем возможным значениям и при заданных (наблюдаемых) значениях. Задача сводится к известной математической задаче поиска точки минимума функции двух переменных. Точка минимума находится путем приравнивания нулю частных производных функции по переменным и . Это приводит к системе нормальных уравнений
решением которой и является пара , . Согласно правилам вычисления производных имеем
так что искомые значения , удовлетворяют соотношениям
Эту систему двух уравнений можно записать также в виде
Эта система является системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и может быть легко решена, например, методом подстановки. В результате получаем
(3.7)
Такое решение может существовать только при выполнении условия
что равносильно отличию от нуля определителя системы нормальных уравнений. Действительно, этот определитель равен
Последнее условие называется условием идентифицируемости модели наблюдений , и означает, что не все значения совпадают между собой. При нарушении этого условия все точки , лежат на одной вертикальной прямой
Оценки и называют оценками наименьших квадратов. Обратим еще раз внимание на полученное выражение для . Нетрудно видеть, что в это выражение входят уже знакомые нам суммы квадратов, участвовавшие ранее в определении выборочной дисперсии
и выборочной ковариации так что, в этих терминах,
= = =
= (3.8)
Матричная форма записи
В матричной форме модель парной регрессии имеет вид: (3.9)
где Y - вектор-столбец размерности наблюдаемых значений зависимой переменной;
Х - матрица размерности наблюдаемых значений факторных признаков. Дополнительный фактор х0 вводится для вычисления свободного члена;
- вектор-столбец размерности неизвестных, подлежащих оценке коэффициентов регрессии;
- вектор-столбец размерности ошибок наблюдений
.
.Решение системы нормальных уравнений в матричной форме имеет вид:
Пример 3.2.
Бюджетное обследование семи случайно выбранных семей дало следующие результаты (в тыс. $ ):
Табл. 3.2..
|
Наблюдение |
Накопления |
доход |
|
|
Y |
Х |
||
|
1 |
3 |
40 |
|
|
2 |
6 |
55 |
|
|
3 |
5 |
45 |
|
|
4 |
3.5 |
30 |
|
|
5 |
1.5 |
30 |
|
|
6 |
4.5 |
50 |
|
|
7 |
2 |
35 |
Требуется:
построить однофакторную модель регрессии
отобразить на графике исходные данные, результаты моделирования.
Решение
Для вычисления параметров модели следует воспользоваться формулами (3.7) и (3.8). Промежуточные расчеты приведены в таблице 3.3.
Табл. 3.3.
|
Наблюдение |
Накопления - Y |
Доход-X |
2 |
* |
yx |
X2 |
|||
|
1 |
3 |
40 |
-0.643 |
-0.714 |
0.510 |
0.459 |
120 |
1600 |
|
|
2 |
6 |
55 |
2.357 |
14.286 |
204.082 |
33.673 |
330 |
3025 |
|
|
3 |
5 |
45 |
1.357 |
4.286 |
18.367 |
5.816 |
225 |
2025 |
|
|
4 |
3.5 |
30 |
-0.143 |
-10.714 |
114.796 |
1.531 |
105 |
900 |
|
|
5 |
1.5 |
30 |
-2.143 |
-10.714 |
114.796 |
22.959 |
45 |
900 |
|
|
6 |
4.5 |
50 |
0.857 |
9.286 |
86.224 |
7.959 |
225 |
2500 |
|
|
7 |
2 |
35 |
-1.643 |
-5.714 |
32.653 |
9.388 |
70 |
1225 |
|
|
сумма |
25.5 |
285.00 |
0.000 |
0.000 |
571.429 |
81.786 |
1120 |
12175 |
|
|
среднее |
3.643 |
40.714 |
160 |
1739.286 |
,
= 3.643 - 0.143125* 40.714= -2.184.
Построена модель зависимости накопления от дохода:
, график, которой изображен на рис. 3.2.
Рисунок 3.2 График модели парной регрессии.
Качество модели регрессии связывают с адекватностью модели наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблюдаемым данным проводится на основе анализа остатков - .
После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение у, в каждом наблюдении на две составляющих - и ; (3.10)
Остаток представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от значения данной переменной, полученное расчетным путем: (). Если (), то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции ) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак полностью обусловлен влиянием фактора .
На практике, как правило, имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т. е. отклонения эмпирических данных от теоретических (). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества (адекватности) уравнения.
При анализе качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа [6], согласно которому общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения может быть разложена на две составляющие -- объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии: (3.11)
где - значения y, вычисленные по модели .
Разделив правую и левую часть (3.11) на
,
получим
.
Коэффициент детерминации определяется следующим образом:
(3.12.)
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.
Чем ближе к 1, тем выше качество модели.
Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции)
R R = = (3.13)
Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных.
При построении однофакторной модели он равен коэффициенту линейной корреляции .
Очевидно, что чем меньше влияние неучтенных факторов, тем лучше модель соответствует фактическим данным.Также для оценки точности регрессионных моделей целесообразно использовать среднюю относительную ошибку аппроксимации:
(3.14)
Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7 % свидетельствует о хорошем качестве модели.
После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров.
Оценить значимость уравнения регрессии - это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y
Оценка значимости уравнения регрессии производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная ей гипотеза о значимости уравнения -- гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.
Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение с 1= k и 2 = (n - k - 1) степенями свободы, где k - количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой. Для модели парной регрессии:
(3.15)
В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n- k -1), где k - количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины () называется стандартной ошибкой оценки.
(3.16)
Для модели парной регрессии
Анализ статистической значимости параметров модели парной регрессии
Значения , соответствующие данным при теоретических значениях и являются случайными. Случайными являются и рассчитанные по ним значения коэффициентов и .
Надежность получаемых оценок и зависит от дисперсии случайных отклонений (ошибок). По данным выборки эти отклонения и, соответственно, их дисперсия не оцениваются - в расчетах используются отклонения зависимой переменной от ее расчетных значений : . Так как ошибки (остатки) нормально распределены, то среднеквадратическое отклонение ошибок используется для измерения этой вариации. Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки (отклонения):
(3.17)
где - среднее значение независимой переменной х;
стандартная ошибка, вычисляемая по формуле (3.16);
.
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t-статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:
(3.18)
Затем расчетные значения сравниваются с табличными tтабл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости (0,1; 0,05)
Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).
Интервальная оценка параметров модели
Для значимого уравнения регрессии представляет интерес построение интервальных оценок для параметра
: (3.19)
свободного члена :
где tтабл определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы k = n - 2;
, - стандартные отклонения, соответственно, свободного члена и коэффициента модели (3.6);
n - число наблюдений.
Прогнозирование с применением уравнения регрессии
Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования возможных ожидаемых значений зависимой переменной.
Прогнозируемое значение переменной получается при подстановке в уравнение регрессии
(3.20)
ожидаемой величины фактора . Данный прогноз называется точечным. Значение независимой переменной не должно значительно отличаться от входящих в исследуемую выборку, по которой вычислено уравнение регрессии.
Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой надежностью.
доверительные интервалы, зависят от стандартной ошибки (3.16), удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза б. В частности, для прогноза (3.20) будущие значения с вероятностью (1 - б) попадут в интервал
.
Пример 3.3
Используя данные примера 3.1, оценить накопления семьи, имеющей доход 42 тыс. $ и отобразить на графике исходные данные, результаты моделирования и прогнозирования.
Решение
В примере 3.1 была построена модель зависимости накопления от дохода:
.
Для того, чтобы определить накопления семьи при доходе 42 тыс.$ необходимо подставить значение хпрогн в полученную модель.
yпрогноз = - 2.184+0.143*42= 3.827
Величину отклонения от линии регрессии вычисляют по формуле , используя данные таблицы 3.4. Величину находят по формуле
(3.16): = = 0.9112
Табл. 3.4.
|
Наблюдение |
Накопления Y |
Предсказанное Y |
Остатки |
2 |
|
|
1 |
3 |
3.541 |
-0.5406 |
0.2923 |
|
|
2 |
6 |
5.688 |
0.3125 |
0.0977 |
|
|
3 |
5 |
4.256 |
0.7438 |
0.5532 |
|
|
4 |
3.5 |
2.109 |
1.3906 |
1.9338 |
|
|
5 |
1.5 |
2.109 |
-0.6094 |
0.3713 |
|
|
6 |
4.5 |
4.972 |
-0.4719 |
0.2227 |
|
|
7 |
2 |
2.825 |
-0.8250 |
0.6806 |
|
|
Сумма |
25.5 |
25.500 |
0.0000 |
4.1516 |
Коэффициент Стьюдента для m=5 степеней свободы (m=n-2) и уровня значимости 0.1 равен 2.015. Тогда
U(x=42,n=7,=0.1) ==
===1.965
Таким образом, прогнозное значение =3.827 будет находиться между верхней границей, равной 3.827+1.965=5.792 и нижней границей, равной 3.827-1.965=1.862.
График исходных данных и результаты моделирования приведены на рисунке 3.5
Рисунок 3.5. График модели парной регрессии зависимости накопления от дохода.
Нелинейная регрессия
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.
Теоретические вопросы, связанные с построением моделей нелинейной регрессии следует изучить по учебнику «Эконометрика» под ред. И.И. Елисеевой стр.62-80.
Пример 3.4.
По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений ( Х, млн. руб. ).
|
Y |
64 |
56 |
52 |
48 |
50 |
46 |
38 |
|
|
X |
64 |
68 |
82 |
76 |
84 |
96 |
100 |
Требуется:
1.Для характеристики Y от Х построить следующие модели:
линейную (для сравнения с нелинейными),
степенную,
показательную,
гиперболическую.
2.Оценить каждую модель, определив:
индекс корреляции,
среднюю относительную ошибку,
коэффициент детерминации,
F-критерий Фишера.
3.Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4.Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89,573 млн. руб.
5.Результаты расчетов отобразить на графике.
Решение:
1. Построение линейной модели парной регрессии
Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:
;
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y обратная, достаточно сильная.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = a + b x
Таблица 3.5
|
t |
y |
x |
yx |
xx |
2 |
|||||||
|
1 |
64 |
64 |
4096 |
4096 |
13.43 |
180.36 |
-17.4 |
303.8 |
60.2 |
3.84 |
6.000 |
|
|
2 |
56 |
68 |
3808 |
4624 |
5.43 |
29.485 |
-13.4 |
180.36 |
58 |
-1.96 |
-3.500 |
|
|
3 |
52 |
82 |
4264 |
6724 |
1.43 |
2.0449 |
0.57 |
0.3249 |
50.3 |
1.74 |
3.346 |
|
|
4 |
48 |
76 |
3648 |
5776 |
-2.57 |
6.6049 |
-5.43 |
29.485 |
53.6 |
-5.56 |
-11.583 |
|
|
5 |
50 |
84 |
4200 |
7056 |
-0.57 |
0.3249 |
2.57 |
6.6049 |
49.2 |
0.84 |
1.680 |
|
|
6 |
46 |
96 |
4416 |
9216 |
-4.57 |
20.885 |
14.57 |
212.28 |
42.6 |
3.44 |
7.478 |
|
|
7 |
38 |
100 |
3800 |
10000 |
-12.6 |
158 |
18.57 |
344.84 |
40.4 |
-2.36 |
-6.211 |
|
|
итого |
354 |
570 |
28232 |
47492 |
0.01 |
397.71 |
1077.7 |
-0.02 |
39.798 |
|||
|
ср.знач |
50.57 |
81.43 |
4033.14 |
6784.57 |
5.685 |
|||||||
|
диспер |
56.8 |
154 |
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 3.5
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
y = 95,36 - 0,55 х
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.
Рассчитаем коэффициент детерминации:
R2 = r2yx = 0,822
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 82,2 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
F>FТАБЛ = 6,61 для = 0,05 ; к1=m=1, k2=n-m-1=5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F>FТАБЛ .
Определим среднюю относительную ошибку:
В среднем расчетные значения y для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,685 %.
2. Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели имеет вид:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg y = lg a + b lg x
|
Факт |
Lg(Y) |
Переменная |
Lg(x) |
||
|
Y(t) |
X(t) |
||||
|
1 |
64.0 |
1.806 |
64 |
1.806 |
|
|
2 |
56.0 |
1.748 |
68 |
1.833 |
|
|
3 |
52.0 |
1.716 |
82 |
1.914 |
|
|
4 |
48.0 |
1.681 |
76 |
1.881 |
|
|
5 |
50.0 |
1.699 |
84 |
1.924 |
|
|
6 |
46.0 |
1.663 |
96 |
1.982 |
|
|
7 |
38.0 |
1.580 |
100 |
2.000 |
|
|
28 |
354 |
11.893 |
570 |
13.340 |
|
|
Сред.знач. |
50.5714 |
1.699 |
81.429 |
1.906 |
Обозначим Y = lg y, X = lg x, A = lg a. Тогда уравнение примет вид:
Y = A + b X - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.6
Таблица 3.6
|
1 |
64 |
1,8062 |
64 |
1,8062 |
3,2623 |
3,2623 |
61.294 |
2.706 |
4.23 |
7.322 |
|
|
2 |
56 |
1,7482 |
68 |
1,8325 |
3,2036 |
3,3581 |
58.066 |
-2.066 |
3.69 |
4.270 |
|
|
3 |
52 |
1,7160 |
82 |
1,9138 |
3,2841 |
3,6627 |
49.133 |
2.867 |
5.51 |
8.220 |
|
|
4 |
48 |
1,6812 |
76 |
1,8808 |
3,1621 |
3,5375 |
52.580 |
-4.580 |
9.54 |
20.976 |
|
|
5 |
50 |
1,6990 |
84 |
1,9243 |
3,2693 |
3,7029 |
48.088 |
1.912 |
3.82 |
3.657 |
|
|
6 |
46 |
1,6628 |
96 |
1,9823 |
3,2960 |
3,9294 |
42.686 |
3.314 |
7.20 |
10.982 |
|
|
7 |
38 |
1,5798 |
100 |
2,0000 |
3,1596 |
4,0000 |
41.159 |
-3.159 |
8.31 |
9.980 |
|
|
итог |
354 |
11,8931 |
13,3399 |
22,6370 |
25,4528 |
0,51 |
42.32 |
65.407 |
Уравнение регрессии будет иметь вид :
Y=3.3991-0,8921 X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
Получим уравнение степенной модели регрессии:
Определим индекс корреляции:
Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.
Коэффициент детерминации: 0.836
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,6 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
F>FТАБЛ = 6,61 для = 0,05. к1=m=1, k2=n-m-1=5
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F>FТАБЛ.
Средняя относительная ошибка .
В среднем расчетные значения y для степенной модели отличаются от фактических значений на 6,04 %.
3. Построение показательной функции
Уравнение показательной кривой: y = a b x
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
lg y = lg a + x lg b
Обозначим Y = lg y, B = lg b, A = lg a.
Получим линейное уравнение регрессии:
Y = A + B x .
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.7.
Таблица 3.7.
|
t |
||||||||||||||
|
1 |
64 |
1,8062 |
64 |
115,60 |
4096 |
0,1072 |
0,0115 |
-17,43 |
303,76 |
60,6 |
11,464 |
3,3859 |
5,290 |
|
|
2 |
56 |
1,7482 |
68 |
118,88 |
4624 |
0,0492 |
0,0024 |
-13,43 |
180,33 |
58 |
3,9632 |
-1,991 |
3,555 |
|
|
3 |
52 |
1,7160 |
82 |
140,71 |
6724 |
0,0170 |
0,0003 |
0,57 |
0,33 |
49,7 |
5,4221 |
2,3285 |
4,478 |
|
|
4 |
48 |
1,6812 |
76 |
127,77 |
5776 |
-0,017 |
0,0003 |
-5,43 |
29,47 |
53,1 |
25,804 |
-5,08 |
10,583 |
|
|
5 |
50 |
1,6990 |
84 |
142,71 |
7056 |
0,0000 |
0,0000 |
2,57 |
6,61 |
48,6 |
2,0031 |
1,4153 |
2,831 |
|
|
6 |
46 |
1,6628 |
96 |
159,62 |
9216 |
-0,036 |
0,0013 |
14,57 |
212,33 |
42,5 |
11,933 |
3,4544 |
7,509 |
|
|
7 |
38 |
1,5798 |
100 |
157,98 |
10000 |
-0,119 |
0,0142 |
18,57 |
344,90 |
40,7 |
7,3132 |
-2,704 |
7,117 |
|
|
итог |
354 |
11,8931 |
570 |
963,28 |
4749 |
0,0300 |
1077,7 |
67,903 |
0,8093 |
41,363 |
||||
|
ср знч |
50,57 |
1,6990 |
81,4 |
137,61 |
6785 |
5,909 |
Уравнение будет иметь вид: Y=2,09-0,0048
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенциирование данного уравнения: .
Определим индекс корреляции
Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.
Индекс детерминации:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 82,8 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
F>FТАБЛ = 6,61 для = 0,05 ; к1=m=1, k2=n-m-1=5 .
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F>FТАБЛ .
Средняя относительная ошибка:
В среднем расчетные значения y для показательной функции отличаются от фактических на 5.909 %.
4. Построение гиперболической функции
Уравнение гиперболической функции : y = a + b / x .
Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1 / х. В результате получим линейное уравнение
y = a + b Х.
Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3.8
Таблица 3.8.
|
t |
||||||||||||
|
1 |
64 |
64 |
0,0156 |
1,0000 |
0,0002441 |
13,43 |
180,33 |
61,5 |
2,489 |
6,1954 |
3,889 |
|
|
2 |
56 |
68 |
0,0147 |
0,8235 |
0,0002163 |
5,43 |
29,47 |
58,2 |
-2,228 |
4,9637 |
3,978 |
|
|
3 |
52 |
82 |
0,0122 |
0,6341 |
0,0001487 |
1,43 |
2,04 |
49,3 |
2,740 |
7,5089 |
5,270 |
|
|
4 |
48 |
76 |
0,0132 |
0,6316 |
0,0001731 |
-2,57 |
6,61 |
52,7 |
-4,699 |
22,078 |
9,789 |
|
|
5 |
50 |
84 |
0,0119 |
0,5952 |
0,0001417 |
-0,57 |
0.32653 |
48,2 |
1,777 |
3,1591 |
3,555 |
|
|
6 |
46 |
96 |
0,0104 |
0,4792 |
0,0001085 |
-4,57 |
20,90 |
42,9 |
3,093 |
9,5648 |
6,723 |
|
|
7 |
38 |
100 |
0,0100 |
0,3800 |
0,0001000 |
-12,57 |
158,04 |
41,4 |
-3,419 |
11,69 |
8,997 |
|
|
итого |
354 |
0,0880 |
4,5437 |
0,0011325 |
397,71 |
354,2 |
-0,246 |
65,159 |
42,202 |
|||
|
ср знач |
50,57 |
0,0126 |
0,6491 |
0,0001618 |
6,029 |
Получим следующее уравнение гиперболической модели:
y=5,7 + 3571,9 / х
Определим индекс корреляции
Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.
Индекс детерминации:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,5 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
F-критерий Фишера:
F>FТАБЛ = 6,61 для = 0,05 ; к1=m=1, k2=n-m-1=5 .
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. F>FТАБЛ .
Средняя относительная ошибка
В среднем расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 6,029 %.
Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.
Подобные документы
Теоретические основы эконометрического анализа рождаемости в России. Эконометрика и эконометрическое моделирование. Парная регрессия и корреляция. Многомерный эконометрический анализ уровня рождаемости в России: с помощью множественной и парной регрессии.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 25.03.2014Моделирование экономических процессов с помощью однофакторной регрессии. Оценка параметров проекта методом наименьших квадратов. Расчет коэффициента линейной корреляции. Исследование множественной эконометрической линейной схемы на мультиколлинеарность.
курсовая работа [326,5 K], добавлен 19.01.2011Эконометрическое моделирование стоимости квартир в московской области. Матрица парных коэффициентов корреляции. Расчет параметров линейной парной регрессии. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
контрольная работа [298,2 K], добавлен 19.01.2011Задачи эконометрики, ее математический аппарат. Взаимосвязь между экономическими переменными, примеры оценки линейности и аддитивности. Основные понятия и проблемы эконометрического моделирования. Определение коэффициентов линейной парной регрессии.
контрольная работа [79,3 K], добавлен 28.07.2013Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. Параметры линейной парной регрессии. Оценка адекватности модели, осуществление прогноза.
контрольная работа [925,5 K], добавлен 07.09.2011Понятие о взаимосвязях в эконометрике. Сопоставление параллельных рядов. Корреляция альтернативных признаков. Оценка надежности параметров парной линейной регрессии и корреляции. Коэффициенты эластичности в парных моделях. Парная нелинейная корреляция.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 29.06.2015Основные этапы эконометрического исследования. Система совместных, одновременных уравнений. Понятие эконометрических уравнений. Система независимых уравнений. Пример модели авторегрессии. Система линейных одновременных эконометрических уравнений.
курсовая работа [41,2 K], добавлен 17.09.2009Методика расчета линейной регрессии и корреляции, оценка их значимости. Порядок построения нелинейных регрессионных моделей в MS Exсel. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
контрольная работа [3,6 M], добавлен 29.05.2010Оценка уравнений парной и множественной регрессии. Ковариация, корреляция, дисперсия. Определение доверительных интервалов для параметров. Статистические уравнения зависимостей. Расчет нормативных микроэкономических показателей хозяйственной деятельности.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 20.10.2014Построение модели множественной линейной регрессии по заданным параметрам. Оценка качества модели по коэффициентам детерминации и множественной корреляции. Определение значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
контрольная работа [914,4 K], добавлен 01.12.2013
