Эконометрика и эконометрическое моделирование

Определение эконометрики и эконометрическое моделирование. Парная регрессия и корреляция. Модель множественной регрессии, оценка ее качества. Системы линейных одновременных уравнений. Факторный, кластерный и дискриминантный статистический анализ.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид методичка
Язык русский
Дата добавления 31.05.2012
Размер файла 1,1 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Таблица 3.9.

Параметры

Модель

Коэффициент детерминации R2

F-критерий Фишера

Индекс корреляции yx (ryx)

Средняя относительная ошибка Еотн

1.Линейная

0,822

23,09

0,907

5,685

2.Степенная

0,828

24,06

0,910

6,054

3.Показательная

0,828

24,06

0,910

5,909

4.Гиперболическая

0,835

25,30

0,914

6,029

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F - критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2 имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Расчет прогнозного значения результативного показателя:

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению гиперболической модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений :

yПР = 5,7 + 3571,9/ ХПР = 5,7 + 3571,9/ 89,573 = 45,542 (млн. руб.)

Построение парной нелинейной регрессии можно осуществить при помощи программы “Олимп:СтатЭксперт”. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

Инициализировать программу, указать включение макросов, щелкнуть ОК.

Ввести исходные данные - результативный признак (y) и факторный признак (x).

В конец строки для “у” дописать 0, в конец строки для “х” - планируемое (заданное в условии) значение этого фактора (объема капиталовложений).

Выделить этот блок данных.

В меню СтатЭкс выбрать функцию Регрессия;

Установить шаблон данных: указать ориентацию таблицы либо по строкам, либо по столбцам, в зависимости от того, как был осуществлен ввод данных, и наличие наименований таблицы, наблюдений. Щелкнуть Установить.

В окне Регрессионный анализ в список выбранных переменных добавить два показателя, соответствующие значениям “y” и “x”;

Осуществить выбор зависимой переменной, для этого щелкнуть Выбор и выбрать показатель, соответствующий значениям “y”. Установить.

Установить вид регрессии - Парная. Вычислить.

В окне формирования набора моделей в списке доступных переменных выбрать гиперболическую модель y = a + b / x.Выход.

После выполнения этой последовательности действий программа осуществит расчет параметров гиперболической модели, прогнозных значений и построение графиков. Отчет по вычислениям представлен в следующем виде:

Таблица функций парной регрессии

Функция

Критерий

Эластичность

Y(X)=+5.664+3571.928/X

13.030

0.8856

Выбрана функция Y(X)=+5.664+3571.928/X

Таблица остатков

номер

Факт

Расчет

Ошибка

абс.

Ошибка

относит.

Фактор

X

1

64.000

61.476

2.524

3.944

64.000

2

56.000

58.193

-2.193

-3.916

68.000

3

52.000

49.225

2.775

5.337

82.000

4

48.000

52.663

-4.663

-9.716

76.000

5

50.000

48.187

1.813

3.625

84.000

6

46.000

42.872

3.128

6.800

96.000

7

38.000

41.384

-3.384

-8.904

100.000

Характеристики остатков

Характеристика

Значение

Среднее значение

0.000

Дисперсия

9.307

Приведенная дисперсия

13.030

Средний модуль остатков

2.926

Относительная ошибка

6.035

Критерий Дарбина-Уотсона

2.891

Критерий адекватности

34.776

Критерий точности

54.475

Критерий качества

49.550

Уравнение значимо с вероятностью 0.95

На основании данных расчетов получено уравнение гиперболической модели:

Y(X)=+5.664+3571,928/X .

Аналогичные результаты были получены при осуществлении расчетов в Excel.

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике.

Рисунок 3.6. Прогноз по лучшей модели.

Тема 4. множественная регрессия

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Y i = 0 + 1x i 1 +2x i 2 +…+ m x i m + i , (4.1.)

коэффициент регрессии j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную xj увеличить на единицу измерения, т. е. j является нормативным коэффициентом. Обычно предполагается, что случайная величина i имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным нулю и с дисперсией .

Анализ уравнения (4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (4.2.):

Y = X + , (4.2.)

Y - это вектор зависимой переменной размерности п 1, представляющий собой п наблюдений значений уi, Х-- матрица п наблюдений независимых переменных X1, X 2, X 3 , … X m, размерность матрицы Х равна п (т+1); -- подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (т+1) 1; -- вектор случайных отклонений (возмущений) размерности п 1. Таким образом,

эконометрика моделирование регрессия корреляция

Y = , X = , =

Уравнение (4.1) содержит значения неизвестных параметров 0,1,2,… ,m . Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид

Y =Ха + е=+е, (4.3)

где а -- вектор оценок параметров; е -- вектор «оцененных» отклонений регрессии, остатки регрессии е = Y - Ха; --оценка значений Y, равная Ха.

Оценка параметров модели множественной регрессии с помощью метода наименьших квадратов.

Формулу для вычисления параметров регрессионного уравнения приведем без вывода

a = (Xт X )-1 X т Y (4.4).

Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т. е., решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда. Линейная или близкая к ней связь между факторами называется мультиколлинеарностью и приводит к линейной зависимости нормальных уравнений, что делает вычисление параметров либо невозможным, либо затрудняет содержательную интерпретацию параметров модели. Мультиколлинеарность может возникать в силу разных причин. Например, несколько независимых переменных могут иметь общий временной тренд, относительно которого они совершают малые колебания. В частности, так может случиться, когда значения одной независимой переменной являются лагированными значениями другой. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными больше 0.8. Чтобы избавиться от мультиколлинеарности, в модель включают лишь один из линейно связанных между собой факторов, причем тот, который в большей степени связан с зависимой переменной.

В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

ryxi > rxixk , ryxk > rxixk , rxixk < 0.8

Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.

Оценка качества модели регрессии.

Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям:

1) проверка качества всего уравнения регрессии;

2) проверка значимости всего уравнения регрессии;

3) проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;

4) проверка выполнения предпосылок МНК.

Для оценки качества модели множественной регрессии вычисляют коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R и коэффициент детерминации R2 (см. формулы 3.12 и 3.13). Чем ближе к 1 значение этих характеристик, тем выше качество модели.

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных. Скорректированный R2, или , рассчитывается так:

, (4.5)

где n -- число наблюдений;

k -- число независимых переменных.

Проверка значимости модели регрессии

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый по формуле:

(4.6)

Если расчетное значение с 1= к и 2 = (n - k - 1) степенями свободы, где k - количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

Анализ статистической значимости параметров модели

значимость отдельных коэффициентов регрессии проверяется по t-статистике путем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

taj = / Saj , (4.7.)

где Saj -- это стандартное (среднеквадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии aj. Величина Saj представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной оценки дисперсии и j -го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений.

Saj = , (4.8)

где bjj - диагональный элемент матрицы (ХТ Х)-1.

Если расчетное значение t-критерия с (n - k - 1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели, при этом оставшиеся в модели параметры должны быть пересчитаны.

Проверка выполнения предпосылок МНК.

Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа, остатки должны вести себя как независимые (в действительности, почти независимые) одинаково распределенные случайные величины. В классических методах регрессионного анализа предполагается также нормальный закон распределения остатков.

Исследование остатков полезно начинать с изучения их графика. 0н может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при подборе простой линейной зависимости между Y и X график остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент.

График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения -- выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как их присутствие может грубо искажать значения оценок. Устранение эффектов выбросов может проводиться либо с помощью удаления этих точек из анализируемых данных, (эта процедура называется цензурированием), либо с помощью применения методов оценивания параметров, устойчивых к подобным грубым отклонениям.

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина - Уотсона.

Корреляционная зависимость между текущими уровнями некоторой переменной и уровнями этой же переменной, сдвинутыми на несколько шагов, называется автокорреляцией.

Автокорреляция случайной составляющей нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях проверяют с помощью критерия Дарбина - Уотсона. Численное значение коэффициента равно

(4.9)

Значение dw статистики близко к величине 2(1 - r(1)), где r(1) - выборочная автокорреляционная функция остатков первого порядка. Таким образом, значение статистики Дарбина - Уотсона распределено в интервале от 0 до 4. Соответственно, идеальное значение статистики - 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения критерия соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие значения - отрицательной. Статистика учитывает только автокорреляцию первого порядка. Оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости = 0,05 даны в специальных таблицах (см. Приложение 2, табл. П-3). При сравнении расчетного значения dw статистики (3.3.9) с табличным могут возникнуть такие ситуации: d2 < dw < 2 - ряд остатков не коррелирован; dw < d1 - остатки содержат автокорреляцию; d1 < dw < d2 - область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед сравнением с табличными значениями dw критерий следует преобразовать по формуле dw?=4 - dw.

Установив наличие автокорреляции остатков, переходят к улучшению модели. Если же ситуация оказалась неопределенной (d1 < dw < d2 ), то применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции

. (4.10)

Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции r(1) сопоставляется с табличным (критическим) значением для 5%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, а если фактическое значение больше табличного - делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Обнаружение гетероскедастичности

Для обнаружения гетероскедастичности обычно используют три теста, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда - Квандта и тест Глейзера [Доугерти].

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Голдфельда -- Квандта.

Данный тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. При этом делается предположение, что, случайная составляющая распределена нормально.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда - Квандта необходимо выполнить следующие шаги.

1. Упорядочение п наблюдений по мере возрастания переменной х.

2. Разделение совокупности на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

3. Определение остаточной суммы квадратов для первой регрессии и второй регрессии .

4. Вычисление отношений (или ). В числителе должна быть большая сумма квадратов.

Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы k1=n1-m и k2=n-n1-m, (m- число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

Если , то гетероскедастичность имеет место.Чем больше величина F превышает табличное значение F -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Оценка влияния отдельных факторов на зависимую переменную на основе модели (коэффициенты эластичности, - коэффициенты).

Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий при интерпретации применяются средние частные коэффициенты эластичности Э(j) и бета-коэффициенты (j), которые рассчитываются соответственно по формулам:

(4.11.) (4.12.)

где Sxj -- среднеквадратическое отклонение фактора j

где

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора j на один процент. Однако он не учитывает степень колеблемости факторов.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения Sy изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Хj на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Указанные коэффициенты позволяют упорядочить факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта - коэффициентов (j):

где -- коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1,...,m) и зависимой переменной.

Использование многофакторных моделей для анализа и прогнозирования развития экономических систем.

Одна из важнейших целей моделирования заключается в прогнозировании поведения исследуемого объекта. Обычно термин «прогнозирование» используется в тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем. Для регрессионных моделей он имеет, однако, более широкое значение. Как уже отмечалось, данные могут не иметь временной структуры, но и в этих случаях вполне может возникнуть задача оценки значения зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле -- как построение оценки зависимой переменной -- и следует понимать прогнозирование в эконометрике.

При использовании построенной модели для прогнозирования делается предположение о сохранении в период прогнозирования существовавших ранее взаимосвязей переменных.

Построение точечных и интервальных прогнозов на основе регрессионной модели. Какие факторы влияют на ширину доверительного интервала?

Для того чтобы определить область возможных значений результативного показателя, при рассчитанных значениях факторов следует учитывать два возможных источника ошибок: рассеивание наблюдений относительно линии регрессии и ошибки, обусловленные математическим аппаратом построения самой линии регрессии. Ошибки первого рода измеряются с помощью характеристик точности, в частности, величиной Sy. Ошибки второго рода обусловлены фиксацией численного значения коэффициентов регрессии, в то время как они в действительности являются случайными, нормально распределенными.

Для линейной модели регрессии доверительный интервал рассчитывается следующим образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее U):.

(4.13)

где

Пример 4.1.

Задача состоит в построении модели для предсказания объема реализации одного из продуктов фирмы.

Объем реализации - это зависимая переменная Y(млн. руб.) В качестве независимых, объясняющих переменных выбраны: время - X1, расходы на рекламу X 2 (тыс. руб.), цена товара X3 (руб.), средняя цена товара у конкурентов X4 (руб.), индекс потребительских расходов X5 (%).

Требуется:

Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

Рассчитать параметры модели.

Для оценки качества всего уравнения регрессии определить:

линейный коэффициент множественной корреляции,

коэффициент детерминации,

Осуществить оценку значимости уравнения регрессии.

Оценить с помощью t - критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Оценить влияние факторов на зависимую переменную по модели

Построить точечный и интервальный прогноз результирующего показателя на два шага вперед

1 Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.

Статистические данные по всем переменным приведены в таблице 4.1. В этом примере n = 16, m = 5.

Таблица 4.1

Y

Х1

X2

X3

X4

X5

Объем реализации

Время

Реклама

Цена

Цена конкурента

Индекс потребительских расходов

126

1

4

15

17

100

137

2

4,8

14,8

17,3

98,4

148

3

3,8

15,2

16,8

101,2

191

4

8,7

15,5

16,2

103,5

274

5

8,2

15,5

16

104,1

370

6

9,7

16

18

107

432

7

14,7

18,1

20,2

107,4

445

8

18,7

13

15,8

108,5

367

9

19,8

15,8

18,2

108,3

367

10

10,6

16,9

16,8

109,2

321

11

8,6

16,3

17

110,1

307

12

6,5

16,1

18,3

110,7

331

13

12,6

15,4

16,4

110,3

345

14

6,5

15,7

16,2

111,8

364

15

5,8

16

17,7

112,3

384

16

5,7

15,1

16,2

112,9

Использование инструмента Корреляция (Анализ данных в EXCEL).

Для проведения корреляционного анализа выполните следующие действия:

Данные для корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек.

Выберите команду СервисАнализ данных.

В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Корреляция, а затем щелкните на кнопке ОК.

В диалоговом окне Корреляця в поле Входной интервал необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.

Выберите параметры вывода. В данном примере Новый рабочий лист.

ОК.

Таблица 4.2. Результат корреляционного анализа.

Объем реализации

Время

Реклама

Цена

Цена конкурента

Индекс потребительских расходов

Столбец 1

Столбец 2

Столбец 3

Столбец 4

Столбец 5

Столбец 6

Объем реализации

1

Время

0.678

1

Реклама

0.646

0106

1

Цена

0.233

0 .174

-0.003

1

Цена конкурента

0.226

-0.051

0.204

0.698

1

Индекс потребительских расходов

0.816

0.960

0.273

0.235

0.03

1

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. объем реализации имеет тесную связь с индексом потребительских расходов (ryx5= 0.816), с расходами на рекламу (ryx2 = 0.646) и со временем (ryx1 = 0.678). Однако факторы Х2 и Х5 тесно связаны между собой (rх 1x5 = 0.96), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели Х5 - индекс потребительских расходов. В этом примере n = 16, m = 5, после исключения незначимых факторов n = 16, k =2.

Выбор вида модели и оценка ее параметров

Оценка параметров регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов по формуле , используя данные Для вычисления а0 добавлен столбец Х0., приведенные в таблице 4.3

Таблица 4.3

Y

X0

X1

X2

Объем реализации

Реклама

Индекс потребительских расходов

126

1

4

100

137

1

4,8

98,4

148

1

3,8

101,2

191

1

8,7

103,5

274

1

8,2

104,1

370

1

9,7

107

432

1

14,7

107,4

445

1

18,7

108,5

367

1

19,8

108,3

367

1

10,6

109,2

321

1

8,6

110,1

307

1

6,5

110,7

331

1

12,6

110,3

345

1

6,5

111,8

364

1

5,8

112,3

384

1

5,7

112,9

(Xт X ) =

(Xт X )-1 =

a = (Xт X )-1 X т Y = =

Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде: y = -1471.314 + 9.568х1 + 15.754х2

Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.

Применение инструмента Регрессия (Анализ данных в EXCEL).

Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:

Выберите команду СервисАнализ данных.

В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК

В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введите адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных (Рисунок 4.1.).

Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.

Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга

В поле Остатки поставьте необходимые флажки.

ОК.

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 4.4 -4.7. Рассмотрим содержание этих таблиц.

Таблица 4.4.

Регрессионная статистика

Множественный R

0.927

R-квадрат

0.859

Нормированный R-квадрат

0.837

Стандартная ошибка

41.473

Наблюдения

16.000

Рисунок 4.1. Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных.

Таблица 4.5

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Регрессия

2

136358.334

68179.167

39.639

Остаток

13

22360.104

1720.008

Итого

15

158718.438

Таблица 4.6

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

Y-пересечение

-1471.314

259.766

-5.664

Реклама

9.568

2.266

4.223

Индекс потребительских расходов

15.753

2.467

6.386

Таблица 4.7

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Предсказанное

Остатки

1

142,25

-16,25

2

124,70

12,30

3

159,24

-11,24

4

242,35

-51,35

5

247,02

26,98

6

307,06

62,94

7

361,20

70,80

8

416,80

28,20

9

424,18

-57,18

10

350,32

16,68

11

345,37

-24,37

12

334,72

-27,72

13

386,79

-55,79

14

352,05

-7,05

15

353,23

10,77

16

361,73

22,27

Пояснения к таблице 4.4.

Регрессионная статистика

Наименование в отчете EXCEL

Принятые наименования

Формула

1

Множественный R

Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции

2

R-квадрат

Коэффициент детерминации, R2

3

Нормированный R-квадрат

Скорректированный R2

4

Стандартная ошибка

Стандартная ошибка оценки

5

Наблюдения

Количество наблюдений, n

n

Пояснения к таблице 4.5.

Df - число степеней свободы

SS - сумма квадратов

MS

F - критерий Фишера

Регрессия

k =2

/k

Остаток

n-k-1 = 13

Итого

n-1 = 15

Пояснения к таблице 4.6.

Во втором столбце таблицы 4.6. содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, a2. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде: y = -1471.314 + 9.568х1 + 15.754х2

3. Оценка качества всего уравнения регрессии

В таблице 4.7 приведены вычисленные (предсказанные) по модели значения зависимой переменной Y и значения остаточной компоненты .

Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в таблице Регрессионная статистика.

Коэффициент детерминации:

= 1- 22360.104/158718.44 = 136358.3/158718.44 = 0.859

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 86% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Коэффициент множественной корреляции R:

= 0.927.

Он показывает тесноту связи зависимой переменной Y с двумя включенными в модель объясняющими факторами.

4. Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице 4.6 протокола EXCEL.

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 при = k =2 и =n - k -1= 16 - 2 - 1=13 составляет 3.81. Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР (Рис. 4.3)

Рисунок 4.3. Определение табличного значения F-критерия.

Поскольку F>F, уравнение регрессии следует признать адекватным.

4. Оценить с помощью t - критерия Стъюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии a0, а, а оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

Значения t-критерия вычислим по формулам:

taj=aj/Saj

Saj = ,

где bjj - диагональный элемент матрицы (ХТ Х)-1.

(Xт X )-1 = b11 =39.2314

b22 = 0.00299

b33 = 0.00354

ta0 = -1471.314 /259.766 = -1471.314 / 41.473 = - 5.664

ta1 = 9.5684/2.2659 = 9.5684 / 41.473 =4.223

ta2 = 15.7529/2.4669 = 15.7529/ 41.473=6.3858

Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а, а приведены в четвертом столбце таблицы 4.7 протокола EXCEL. Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (Рис. 4.4)

Рисунок 4.4. Определение табличного значения t-критерия Стьюдента.

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (16-2-1=13) составляет 2,16. Так как |t|>t, то коэффициенты a1, аи существенны (значимы).

.

Рисунок 4.2. График остатков.

5. Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную по модели (для каждого коэффициента регрессии вычислить коэффициент эластичности, -коэффициент.

Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности (Э) и бета-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:

9.5689.294/306.813=0.2898

15.7529107.231/306.813=5.506

9.5684.913/102.865=0.457

15.75294.5128/102.865=0.691

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении затрат на рекламу в нашем примере на 4.91 тыс. руб. объем реализации увеличится на 47 тыс. руб. (0.457*102.865).

6. Определить точечные и интервальные прогнозные оценки объема реализации на два квартала вперед (t0,7 = 1,12)

Исходные данные представлены временными рядами, поэтому прогнозные значения , и , можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов.

Для фактора Х1 Затраты на рекламу выбрана модель

Х1 = 12.83-11.616t +4.319t2 -0.552t3+0.020t4-0.0006t5,

по которой получен прогноз на 2 месяца вперед Внимание!!! Полиномы таких высоких порядков редко используются при прогнозировании экономических показателей. . График модели временного ряда Затраты на рекламу приведен на Рисунке 4.5.

Упреждение

Прогноз

1

5.75

2

4.85

Рисунок 4.5. Прогноз показателя Затраты на рекламу.

Для временного ряда Индекс потребительских расходов в качестве аппроксимирующей функции выбран полином второй степени (парабола), по которой построен прогноз на 2 шага вперед. На рисунке 4.6. приведен результат построения тренда для временного ряда Индекс потребительских расходов.

Х2 = 97.008+1.739t - 0.0488t2.

Рисунок 4.6. Прогноз показателя Индекс потребительских расходов.

Упреждение

Прогноз

1

112.468

2

112.488

Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели

Y = -1471.438 + 9.568X1 + 15.754X2

подставим в нее найденные прогнозные значения факторов X1 и X2.

Yt=17 = -1471.438 + 9.568*5.75 + 15.754*112.468=355.399

Yt=18 = -1471.438 + 9.568*4.85 + 15.754*112.488=344.179

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза: (n+l)+ U(l),

Нижняя граница прогноза: (n+ l) - U(l).

u(l) = Se tкр = Se tкр

S = 41.473tкр = 1,77 (Значение tкр получено с помощью функции СТЬЮДРАСПРОБР(0.1;13) для выбранной вероятности 90% с числом степеней свободы равным 13. )

На первый шаг:

l =1

ХпрТ = (1; 5.75; 112.468)

(Xт X )-1 =

u(1) = 81,45

На второй шаг:

l=2

ХпрТ = (1; 4.85; 112.488)

u(2) = 82б47

Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в табл. 4.8.

Табл. 4.8.

Таблица прогнозов (p = 90%)

Упреждение

Прогноз

Нижняя граница

Верхняя граница

1

355,399

273,94

436,85

2

344,179

261,71

426,65

Тема 5. Системы линейных одновременных уравнений

Экономические показатели, часто оказываются взаимозависимы. Структура связей между такими показателями (переменными) может быть описана с помощью системы одновременных (структурных) уравнений. В этих уравнениях присутствуют переменных следующих типов:

-эндогенные, зависимые переменные y, определяемые внутри системы;

-экзогенные, независимые переменные x, значения которых задаются извне, они являются управляемыми, планируемыми;

-предопределенные переменные, включающие в себя как экзогенные переменные за текущий период времени, так и лаговые переменные (т.е. экзогенные и эндогенные переменные за предыдущие периоды времени).

Выделяют следующие виды эконометрических систем.

Системы независимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная yi (i=1,…,n) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных xj (j=1,…,m):

y1 = a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + 1y2 = a21 x1 + a22 x2 + …+a2m xm + 2 (5.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yn = an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + n

Каждое уравнение этой системы можно рассматривать самостоятельно как уравнение регрессии. В него может быть введен свободный член и коэффициенты регрессии могут быть найдены методом наименьших квадратов (МНК).

Системы рекурсивных уравнений, в которых зависимые переменные yi (i=1,…,n) представлены как функции независимых переменных xj (j=1,…,m) и определенных ранее зависимых переменныхy1 , y2 ,…, yi-1:

y1 = a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + 1y2 = b21 y1 + a21 x1 + a22 x2 + …+a2m xm + 2 (5.2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yn = bn1 y1 + bn2 y2 +,…,+bnn-1 yn-1 +an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + n

Параметры каждого уравнения системы определяются отдельно, в последовательном порядке, начиная с первого уравнения, методом наименьших квадратов.

Системы взаимозависимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная yi (i=2,…,n) представлена как функция остальных зависимых переменных yk (k i) и независимых (предопределенных) переменных xj (j=1,…,m):

y1= b12 y2 + b13 y3 + … + b1n yn +a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + 1

y2= b21 y1 + b23 y3 + … + b2n yn +a21 x1 + a22 x2 + …+a2m xm + 2 (5.3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn= bn1 y1 + bn2 y2 + … + bnn-1 yn-1 +an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + n

Эта система наиболее распространенная, она получила также название системы совместных, одновременных уравнений. Ее так же называют структурной формой модели (СФМ).

Отдельные коэффициенты при переменных СФМ могут быть равны нулю, что означает отсутствие в уравнении этих переменных. Например, модель динамики цены и заработной платы может быть описана СФМ вида

y1= b12 y2 +a11 x1 + 1

y2= b21 y1 + a22 x2 +a23 x3 + 2 (5.4)

где y1 - темп изменения заработной платы;y2 - темп изменения цен;x1 - процент безработных;x2 - темп изменения постоянного капитала;x3 - темп изменения цен на импорт сырья.

Данная система из двух уравнений содержит две зависимые, эндогенные (y1 , y2) и три независимые, экзогенные (x1,x2,x3) переменные. В первом уравнении отсутствуют переменные x2 и x3 . Это значит, что коэффициенты a12 = 0 и a13= 0.

В СФМ для нахождения параметров модели bij и aij (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ).

y1 = 11 x1 + 12 x2 + …+1m xmy2 = 21 x1 + 22 x2 + …+2m xm (5.5)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yn = n1 x1 + n2 x2 + …+nm xm

Параметры приведенной формой модели ij могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели bij и aij. Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации.

Структурные формы модели могут быть

идентифицируемые;

неидентифицируемые;

сверхиндетифицируемые.

Для того, чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H уравнение неидентифицируемо;

если D+1 = H уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H уравнение сверхидентифицируемо;

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Поясним это на примере следующей структурной модели.

y1= b12 y2 + b13 y3 + a11 x1 + a12 x2

y2= b21 y1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 (5.6)

y3= b31 y1 + b32 y2 +a31 x1 + a32 x2

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенных переменных: y1 ,y2 и y3 (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4 (см. таблицу 5.1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных x3 и x4 взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны a23 и a24 соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 5.1 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x3 и x4.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

x3

x4

2

a23

a24

3

0

0

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x1 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y3 и x1 , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 5.2).

Таблица 5.2 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных y3 и x1.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

y3

x1

1

b13

a11

3

-1

a31

В третьем уравнении при переменной y3 коэффициент равен -1, так как эта переменная стоит в левой части уравнения. Действительно, третье уравнение можно записать в виде 0= b31 y1 + b32 y2 -1 y3 +a31 x1 + a32 x2 и тогда равенство b33 = -1 становится очевидным.

В общем случае СФМ может быть представлена в виде матрицы коэффициентов при переменных. В этом случае третье уравнение может быть задано вектором (b31 , b32 , -1, a31 , a32 , 0 , 0) , а вся система одновременных уравнений (5.6) будет представлена матрицей

(5.7)

В примерах и задачах для контрольных работ мы будем представлять СФМ в виде такой матрицы коэффициентов при переменных модели. Определитель представленной в таблице 5.2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: y1 ,y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х3 и x4 , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 5.3). Согласно таблице, определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 5.3 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x3 и x4.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

x3

x4

1

0

0

2

a23

a24

В эконометрических моделях иногда используются балансовые тождества переменных (например, вида y3= y1 + y2 + x1 ). Коэффициенты при переменных при этом не требуют оценок и уравнение не надо исследовать на идентификацию, но в проверке на идентификацию всей системы эти уравнения участвуют. Присутствующие иногда в моделях свободные и остаточные члены (а01 , а02 , а03 ,…1 , 2 , 3 ,…) не влияют на решение вопроса об идентификации.

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. С этими методами можно ознакомиться в рекомендованной литературе [1,2]. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) , который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим этот метод на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

y1= b12 y2 + a11 x1 + 1 (5.8)

y2= b21 y1 + a22 x2 + 2

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 5.4

Таблица 5.4. Фактические данные для построения модели

n

у1

у2

х1

х2

1

33,0

37,1

3

11

2

45,9

49,3

7

16

3

42,2

41,6

7

9

4

51,4

45,9

10

9

5

49,0

37,4

10

1

6

49,3

52,3

8

16

Сумма

270,8

263,6

45

62

Средн.знач.

45,133

43,930

7,500

10,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

y1= d11 x1 + d12 x2 + u1 y2= d21 x1 + d22 x2 + u2

u1 и u1 - случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней y=y-ycp и x=x-xcp (ycp и xcp -средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 5.4 сведены в таблицу 5.5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов dik. Переменные, означающие отклонение от средних значений изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов d1k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

У y1 x1= d11 У x12 + d12 У x1 x2

У y1 x2= d11 У x1 x2 + d12 У x22

Таблица 5.5 Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n

у1

у2

х1

х2

у11

х12

х12

у12

у21

у22

х22

1

-12,133

-6,784

-4,500

0,667

54,599

20,250

-3,002

-8,093

30,528

-4,525

0,445

2

0,767

5,329

-0,500

5,667

-0,383

0,250

-2,834

4,347

-2,664

30,198

32,115

3

-2,933

-2,308

-0,500

-1,333

1,467

0,250

0,667

3,910

1,154

3,077

1,777

4

6,267

1,969

2,500

-1,333

15,668

6,250

-3,333

-8,354

4,922

-2,625

1,777

5

3,867

-6,541

2,500

-9,333

9,667

6,250

-23,333

-36,091

-16,353

61,048

87,105

6

4,167

8,337

0,500

5,667

2,084

0,250

2,834

23,614

4,168

47,244

32,115

Сумма

0,002

0,001

0,000

0,002

83,102

33,500

-29,001

-20,667

21,755

134,417

155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим83,102= 33,5 d11 - 29,001d12

-20,667= -29,001d11 + 155,334d12

Решение этих уравнений дает значения d11 = 2,822 и d12 = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

y1= 2,822 x1 + 0,394 x2 + u1

Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

У y2 x1= d21 У x12 + d22 У x1 x2

У y2 x2= d21 У x1 x2 + d22 У x22

Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим21,755 = 33,5 d21 - 29,001d22 134,417= -29,001d21 + 155,334d22

Решение этих уравнений дает значения d21 =1,668 и d22 =1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

y2= 1,668 x1 + 1,177 x2 + u2

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем x2 из второго уравнения приведенной формы моделиx2 = (y2 - 1,668 x1 ) / 1,177

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

y1= 2,822 x1 + 0,394 (y2 - 1,668 x1 ) / 1,177 = = 2,822 x1 + 0,335 y2 - 0,558 x1 = 0,335 y2 + 2,264 x1

Таким образом, b12 = 0,335; a11 = 2,264.

Найдем x1 из первого уравнения приведенной формы моделиx1 = (y1 - 0,394 x2 ) / 2,822

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

y2= 1,177 x2 + 1,668 (y1 - 0,394 x2 ) / 2,822 = = 1,177 x2 + 0,591 y1 - 0,233 x2 = 0,591 y1 + 0,944 x2

Таким образом, b21 = 0,591; a22 = 0,944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений

А01= y1,cp - b12 y2,cp - a11 x1,cp =

45,133 - 0,335 * 43,93 -2,264* 7,5 = 13,436

А02= y2,cp - b21 y1,cp - a22 x2,cp =

43,93 - 0,591* 45,133 - 0,944 * 10,333= 7,502

Окончательный вид структурной модели

y1= a01+ b12 y2 + a11 x1 + 1= 13,436 + 0,335 y2 + 2,264 x1 + 1

y2= a02+ b21 y1 + a22 x2 + 2= 7,502 + 0,591 y1 + 0,944 x2 + 2


Подобные документы

  • Теоретические основы эконометрического анализа рождаемости в России. Эконометрика и эконометрическое моделирование. Парная регрессия и корреляция. Многомерный эконометрический анализ уровня рождаемости в России: с помощью множественной и парной регрессии.

    курсовая работа [1,5 M], добавлен 25.03.2014

  • Моделирование экономических процессов с помощью однофакторной регрессии. Оценка параметров проекта методом наименьших квадратов. Расчет коэффициента линейной корреляции. Исследование множественной эконометрической линейной схемы на мультиколлинеарность.

    курсовая работа [326,5 K], добавлен 19.01.2011

  • Эконометрическое моделирование стоимости квартир в московской области. Матрица парных коэффициентов корреляции. Расчет параметров линейной парной регрессии. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

    контрольная работа [298,2 K], добавлен 19.01.2011

  • Задачи эконометрики, ее математический аппарат. Взаимосвязь между экономическими переменными, примеры оценки линейности и аддитивности. Основные понятия и проблемы эконометрического моделирования. Определение коэффициентов линейной парной регрессии.

    контрольная работа [79,3 K], добавлен 28.07.2013

  • Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. Параметры линейной парной регрессии. Оценка адекватности модели, осуществление прогноза.

    контрольная работа [925,5 K], добавлен 07.09.2011

  • Понятие о взаимосвязях в эконометрике. Сопоставление параллельных рядов. Корреляция альтернативных признаков. Оценка надежности параметров парной линейной регрессии и корреляции. Коэффициенты эластичности в парных моделях. Парная нелинейная корреляция.

    курсовая работа [1,9 M], добавлен 29.06.2015

  • Основные этапы эконометрического исследования. Система совместных, одновременных уравнений. Понятие эконометрических уравнений. Система независимых уравнений. Пример модели авторегрессии. Система линейных одновременных эконометрических уравнений.

    курсовая работа [41,2 K], добавлен 17.09.2009

  • Методика расчета линейной регрессии и корреляции, оценка их значимости. Порядок построения нелинейных регрессионных моделей в MS Exсel. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

    контрольная работа [3,6 M], добавлен 29.05.2010

  • Оценка уравнений парной и множественной регрессии. Ковариация, корреляция, дисперсия. Определение доверительных интервалов для параметров. Статистические уравнения зависимостей. Расчет нормативных микроэкономических показателей хозяйственной деятельности.

    дипломная работа [1,9 M], добавлен 20.10.2014

  • Построение модели множественной линейной регрессии по заданным параметрам. Оценка качества модели по коэффициентам детерминации и множественной корреляции. Определение значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

    контрольная работа [914,4 K], добавлен 01.12.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.