Моделирование и идентификация объектов управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

0МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Атырауский институт нефти и газа

Факультет Экономики и информационных систем

Кафедра «Информационные системы »

Учебно-методический комплекс дисциплины студента

Дисциплина «Моделирование и идентификация объектов управления»

для специальности

050702 - «Автоматизация и управление»

Атырау -2007

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Атырауский институт нефти и газа

Лист согласования

Утвержден на заседании Методического совета АИНиГ

Протокол №_от «___»__________________2007г.

Председатель Метод совета АИНиГ

первый проректор, проректор по УМР Джумамухамбетов Н.Г.

Согласовано:

Заведующий УМД: Исмагулова А.И.

Рассмотрено на заседании Методического бюро экономического факультета

«___»__________________2007г.

Председатель метод бюро факультета _________ доцент Жанбирова Б.А.

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры «Информационные системы»

«__»_ _______2007г.

Зав кафедрой: _____________ к.ф.-м.н. Мухамбетжанов А.Т.

Разработали: _______________ Шабдиров Д.Н.

_______________ Жанбирова Г.А.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Глоссарий

2. Конспект лекционных занятий

Лекция 1. Основные понятия о моделях и методах их построения.

Лекция 2. Физические и математические модели

Лекция 3. Математические модели объектов идентификации

Лекция 4. Принципы составления математических моделей динамики

Лекция 5. Преобразование уравнений. Методы линеаризации нелинейных уравнений

Лекция 6. Аналитические методы определения характеристик

Лекция 7. Виды упрощений математических моделей.

Лекция 8. Постановка задачи идентификации..

Лекция 9. Критерий идентификации. Функционал невязки

Лекция 10. Общие задачи статистической идентификации

Лекция 11. Прямые методы определения динамических характеристик объектов

Лекция 12. Параметрическая идентификация объектов

Лекция 13. Методы статистической идентификации.

Лекция 14. Методы непараметрической идентификации

Лекция 15. Идентификация нелинейных динамических объектов.

3. Практические занятия

4. СРСП

5. СРС

6. Экзаменационные вопросы

7. Список рекомендуемой литературы

1. ГЛОССАРИЙ

Объект, модель, адекватность модели, идентификация, аналогия, гипотеза, структурная и параметрическая идентификация, активная и пассивная идентификация, критерий идентификации, функционал невязки, уравнение Винера-Хопфа.

2. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ

ЛЕКЦИЯ 1. Основные понятия о моделях и методах их построения

Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом. Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

При построении математической модели реальное явление упрощается, схематизируется и полученная схема описывается в зависимости от сложности явлений с помощью того или иного математического аппарата.

От правильности учета в модели характерных черт рассматриваемого процесса зависят успех исследования и ценность полученных результатов моделирования.

В модели должны быть учтены все наиболее существенные факторы, влияющие на процесс, и вместе с тем она не должна быть загромождена множеством мелких, второстепенных факторов, учет которых только усложнит математический анализ и сделает исследование либо чрезмерно громоздким, либо вообще нереализуемым.

Метод математического моделирования применяют при изучении свойств процессов, для которых имеется достаточно точное математическое описание. В зависимости от степени полноты математического описания можно выделить два предельных случая: а) известны полная система уравнений, описывающая все основные стороны моделируемого процесса, и все числовые значения параметров этих уравнений; б) полное математическое описание процесса отсутствует. Этот второй случай типичен для решения кибернетических задач, в которых приходится иметь дело с управлением процессами при наличии неполной информации об объекте и действующих на него возмущениях. При отсутствии достаточной информации об исследуемых явлениях их изучение начинается с построения простейших моделей, но без нарушения основной специфики исследуемого процесса.

Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Обобщенно моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом- моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса. Стадии познания, на которых происходит такая замена, а также формы соответствия модели и оригинала могут быть различными:

1) моделирование как познавательный процесс, содержащий переработку информации, поступающей из внешней среды, о происходящих в ней явлениях, в результате чего в сознании появляются образы, соответствующие объектам;

2) моделирование, заключающееся в построении некоторой системы-модели, связанной определенными соотношениями подобия с системой-оригиналом, причем в этом случае отображение одной системы в другую является средством выявления зависимостей между двумя системами, отраженными в соотношениях подобия, а не результатом непосредственного изучения поступающей информации.

Следует отметить, что с точки зрения философии моделирование- эффективное средство познания природы. Процесс моделирования предполагает наличие объекта исследования; исследователя, перед которым поставлена конкретная задача; модели, создаваемой для получения информации об объекте и необходимой для решения поставленной задачи. Причем по отношению к модели исследователь является, по сути дела, экспериментатором, только в данном случае эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью.

Надо иметь в виду, что любой эксперимент может иметь существенное значение в конкретной области науки только при специальной его обработке т обобщении. Единичный эксперимент никогда не может быть решающим для подтверждения гипотезы, проверки теории. Поэтому инженеры должны быть знакомы с элементами современной методологии теории познания и, в частности, не должны забывать основного положения материалистической философии, что именно экспериментальное исследование, опыт, практика являются критерием истины.

Моделирование начинается с формирования предмета исследований -системы понятий, отражающей существенные для моделирования характеристики объекта. Эта задача является достаточно сложной, что подтверждается различной интерпретацией в научно-технической литературе таких фундаментальных понятий, как система, модель, моделирование. Подобная неоднозначность не говорит об ошибочности одних и правильности других терминов, а отражает зависимость предмета исследований (моделирования) как от рассматриваемого объекта, так от целей исследователя. Отличительной особенностью моделирования сложных систем является его многофункциональность и многообразие способ использования; оно становится неотъемлемой частью всего жизненного цикла системы. Объясняется это в первую очередь технологичностью моделей, реализованных на базе средств вычислительной техники: достаточно высокой скоростью получения результатов моделирования и их сравнительно невысокой себестоимостью.

Принципы системного подхода в моделировании систем

В настоящее время при анализе и синтезе сложных (больших) систем получил развитие системный подход, который отличается от классического (или) индивидуального подхода. Последний рассматривает систему путем перехода от частного к общему и синтезирует (конструирует) систему путем слияния ее компонент, разрабатываемых раздельно. В отличие от этого системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды.

Объект моделирования

Специалисты по проектированию и эксплуатации сложных систем имеют дело с системами управления различных уровней, обладающими общим свойством-стремлением достичь некоторой цели. Эту особенность учтем в следующих определениях системы. Система S-целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой природы. Внешняя среда E-множество существующих вне системы элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздействием.

В зависимости от цели исследования могут рассматриваться разные соотношения между самим объектом S и внешней средой E. Таким образом, в зависимости от уровня, на котором находится наблюдатель, объект исследования может выделяться по-разному и могут иметь место различные взаимодействия этого объекта с внешней средой.

С развитием науки и техники сам объект непрерывно усложняется, и уже сейчас говорят об объекте исследования как о некоторой сложной системе, которая состоит из различных компонент, взаимосвязанных друг с другом. Поэтому, рассматривая системный подход как основу для построения больших систем и как базу создания методики их анализа и синтеза, прежде всего необходимо определить само понятие системного подхода.

Системный подход-это элемент учения об общих законах развития природы и одно из выражений диалектического учения. Можно привести разные определения системного подхода, но наиболее правильно то, которое позволяет оценить познавательную сущность этого подхода при таком методе исследования систем, как моделирование. Поэтому весьма важны выделение самой системы S и внешней среды E из объективно существующей реальности и описание системы исходя из общесистемных позиций.

При системном подходе к моделированию систем необходимо прежде всего четко определить цель моделирования. Поскольку невозможно полностью смоделировать реально функционирующую систему (систему-оригинал, или первую систему), создается модель (система-модель, или вторая система) под поставленную проблему. Таким образом, применительно к вопросам моделирования цель возникает из требуемых задач моделирования, что позволяет подойти к выбору критерия и оценить, какие элементы войдут в создаваемую модель M. Поэтому необходимо иметь критерий отбора отдельных элементов в создаваемую модель.

Подходы к исследованию систем

Важным для системного подхода является определение структуры системы-совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие. Структура системы может изучаться извне с точки зрения состава отдельных подсистем и отношений между ними, а также изнутри, когда анализируются отдельные свойства, позволяющие системе достигать заданной цели, т.е. когда изучаются функции системы. В соответствии с этим наметился ряд подходов к исследованию структуры системы с ее свойствами, к которым следует прежде всего отнести структурный и функциональный.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы S и связи между ними. Совокупность элементов и связей между ними позволяет судить о структуре системы. Последняя в зависимости от цели исследования может быть описана на разных уровнях рассмотрения. Наиболее общее описание структуры - это топологическое описание, позволяющее определить в самых общих понятиях составные части системы и хорошо формализуемое на базе теории графов.

Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваются отдельные функции, т.е. алгоритмы поведения системы, и реализуется функциональный подход, оценивающий функции, которые выполняет система, причем под функцией понимается свойство, приводящее к достижению цели. Поскольку функция отображает свойство, а свойство отображает взаимодействие S системы с внешней средой E, то свойства могут быть выражены в виде либо некоторых характеристик элементов Si(j) и подсистем Si системы, либо системы S в целом.

При наличии некоторого эталона сравнения можно ввести количественные и качественные характеристики систем. Для количественной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данной характеристикой и эталоном. Качественные характеристики системы находятся, например, с помощью метода экспертных оценок.

Проявление функций системы во времени S (t), т.е. функционирование системы, означает переход системы из одного состояния в другое, т.е. движение в пространстве состояний Z. При эксплуатации системы S весьма важно качество ее функционирования, определяемое показателем эффективности и являющееся значением критерия оценки эффективности. Существуют различные подходы к выбору критериев оценки эффективности. Система S может оцениваться либо совокупностью частных критериев, либо некоторым общим интегральным критерием.

Следует отметить, что создаваемая модель M с точки зрения системного подхода также является системой, т.е. S?= S? (M), и может рассматриваться по отношению к внешней среде E. Наиболее просты по представлению модели, в которых сохраняется прямая аналогия явления. Применяют также модели, в которых нет прямой аналогии, а сохраняются лишь законы и общие закономерности поведения элементов системы S. Правильное понимание взаимосвязей как внутри самой модели M, так и взаимодействия ее с внешней средой E в значительной степени определяется тем, на каком уровне находится наблюдатель.

Простой подход к изучению взаимосвязей между отдельными частями модели предусматривает рассмотрение их как отражение связей между отдельными подсистемами объекта. Такой классический подход может быть использован при создании достаточно простых моделей. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные стороны процесса моделирования. По отдельной совокупности исходных данных Д ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель M.

Таким образом, разработка модели M на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свой собственные задачи и изолирована от других частей модели. Поэтому классический подход может быть использован для реализации сравнительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта. Для модели сложного объекта такая разобщенность решаемых задач недопустима, так как приводит к значительным затратам ресурсов при реализации модели на базе конкретных программно-технических средств. Можно отметить две отличительные стороны классического подхода: наблюдается движение от частного к общему, создаваемая модель (система) требует образуется путем суммирования отдельных ее компонент и не учитывается возникновение системного эффекта.

С усложнением объектов моделирования возникла необходимость наблюдения их с более высокого уровня. В этом случае наблюдатель (разработчик) рассматривает данную систему S как некоторую подсистему какой-то метасистемы, т.е. системы более высокого ранга, и вынужден перейти на позиции нового системного подхода, который позволит ему построить не только исследуемую систему, решающую совокупность задач. но и создавать систему, являющуюся составной частью метасистемы. Например, если ставится задача проектирования АСУ предприятием, то с позиции системного подхода нельзя забывать о том, что эта система является составной частью АСУ объединением.

Системный подход получил применение в системотехнике в связи с необходимостью исследования реальных систем, когда оказалась недостаточность, а иногда ошибочность принятия каких-либо частных решений. На возникновение системного подхода повлияли увеличивающееся количество исходных данных при разработке, необходимость учета сложных стохастических связей в системе и воздействий внешней среды E. Все это заставило исследователей изучать сложный объект не изолированно, а во взаимодействии с внешней средой, а также в совокупности с другими системами некоторой метасистемы.

Системный подход позволяет решить проблему построения сложной системы с учетом всех факторов и возможностей, пропорциональных их значимости, на всех этапах исследования системы S и построения модели M. Системный подход означает, что каждая система S является интегрированным целым даже тогда, когда она состоит из отдельных разобщенных подсистем. Таким образом, в основе системного подхода лежит рассмотрение системы как интегрированного целого, причем это рассмотрение при разработке начинается с главного-формулировки цели функционирования. На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху, либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования к модели Т системы S. На базе этих требований формируются ориентировочно некоторые подсистемы П, элементы Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза - выбор В составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.

При моделировании необходимо обеспечить максимальную эффективность модели системы. Эффективность обычно определяется как некоторая разность между какими-то показателями ценности результатов, полученных в итоге эксплуатации модели, и теми затратами, которые были вложены в ее разработку и создание.

Стадии разработки моделей

На базе системного подхода может быть предложена и некоторая последовательность разработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования: макропроектирование и микропроектирование.

На стадии м а к р о п р о е к т и р о в а н и я на основе данных о реальной системе S и внешней среде E строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения модели системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S. Построив модель системы и модель внешней среды, на основе критерия эффективности функционирования системы в процессе моделирования выбирают оптимальную стратегию управления, что позволяет реализовать возможности модели по воспроизведению отдельных сторон функционирования реальной системы S.

Стадия м и к р о п р о е к т и р о в а н и я в значительной степени зависит от конкретного тира выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание информационного, технического и программного обеспечений системы моделирования. На этой стадии можно установить основные характеристики созданной модели, оценить время работы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества соответствия модели процессу функционирования системы S.

Независимо от типа используемой модели М при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного подхода:1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям модели; 2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и других характеристик; 3)правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моделирования; 4) целостность отдельных обособленных стадий построения модели.

Модель М должна отвечать заданной цели ее создания, поэтому отдельные части должны компоноваться взаимно, исходя из единой системной задачи. Цель может быть сформулирована качественно, тогда она будет обладать большей содержательностью и длительное время может отображать объективные возможности данной системы моделирования. При количественной формулировке цели возникает целевая функция, которая точно отображает наиболее существенные факторы, влияющие на достижение цели.

Построение модели относится к числу системных задач, при решении которых синтезируют решения на базе огромного числа исходных данных, на основе предложений больших коллективов специалистов. Использование системного подхода в этих условиях позволяет не только построить модель реального объекта, но и на базе этой модели выбрать необходимое количество управляющей информации в реальной системе, оценить показатели ее функционирования и тем самым на базе моделирования найти наиболее эффективный вариант построения и выгодный режим функционирования реальной системы S.

Контрольные вопросы:

1. Каковы принципы системного подхода в моделировании систем?

2. Понятие объекта моделирования;

3. Какие еще существуют подходы к исследованию систем ?

4. Перечислите стадии разработки моделей.

ЛЕКЦИЯ 2. Физические и математические модели

Под математическим моделированием понимают изучение свойств объекта на математической модели. Его целью является определение оптимальных условий протекания процесса, управление им на основе математической модели и перенос результатов на объект.

Основным понятием метода математического моделирования является понятие математической модели. Математической моделью называется приближенное описание какого-либо явления или процесса внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Математическое моделирование включает три взаимосвязанных этапа: 1) составление математического описания изучаемого объекта; 2) выбор метода решения системы уравнений математического описания и реализация его в форме моделирующей программы; 3) установление соответствия ( адекватности) модели объекту.

На этапе составления математического описания предварительно выделяют основные явления и элементы в объекте и затем устанавливают связи между ними. Далее, для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение, отражающее его функционирование. Кроме того, в математическое описание включают уравнения связи между различными выделенными явлениями. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Этап выбора метода решения и разработки моделирующей программы подразумевает выбор наиболее эффективного метода решения из имеющихся ( под эффективностью имеются в виду быстрота получения и точность решения) и реализацию его сначала в форме алгоритма решения, а затем - в форме программы, пригодной для расчета на ЭВМ.

Построенная на основе физических представлений модель должна верно качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса, т.е. она должна быть адекватна моделируемому процессу. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерений на объекте в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях.

Этап установления адекватности модели является заключительным в последовательности этапов, выполняемых при ее разработке.

Исторически первым сложился аналитический подход к исследованию систем, когда ЭВМ использовалась в качестве вычислителя по аналитическим зависимостям. Анализ характеристик процессов функционирования больших систем с помощью только аналитических методов исследования наталкивается обычно на значительные трудности, приводящие к необходимости существенного упрощения моделей либо на этапе их построения, либо в процессе работы с моделью, что может привести к получению недостоверных результатов.

Поэтому в настоящее время наряду с построением аналитических моделей большое внимание уделяется задачам оценки характеристик больших систем на основе имитационных моделей, реализованных на современных ЭВМ с высоким быстродействием и большим объемом оперативной памяти. Причем перспективность имитационного моделирования как метода исследования характеристик процесса функционирования больших систем возрастает с повышением быстродействия и оперативной памяти ЭВМ, с развитием математического обеспечения, совершенствованием банков данных и периферийных устройств для организации диалоговых систем моделирования. Это в свою очередь, способствует появлению новых «чисто машинных» методов решения задач исследования больших систем на основе организации имитационных экспериментов с их моделями. Причем ориентация на автоматизированные рабочие места на базе персональных ЭВМ для реализации экспериментов с имитационными моделями больших систем позволяет проводить не только анализ их характеристик, но и решать задачи структурного, алгоритмического и параметрического синтеза таких систем при заданных критериях оценки эффективности и ограничениях.

Достигнутые успехи в использовании средств вычислительной техники для целей моделирования часто создаются иллюзию, что применение современной ЭВМ гарантирует возможность исследования системы любой сложности. При этом игнорируется тот факт, что в основу любой модели положено трудоемкое по затратам времени и материальных ресурсов предварительное изучение явлений, имеющих место в объекте-оригинале. И от того, насколько детально изучены реальные явления, насколько правильно проведена их формализация и алгоритмизация, зависит в конечном итоге успех моделирования конкретного объекта.

Математическое моделирование. Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы S математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование - наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы S являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации и целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т.е. появился метод статистического моделирования. Таким образом, методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (М о н т е- Ка р л о)-численный метод решения аналитической задачи.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем S, включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему, с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

При решении задач машинного синтеза систем на основе их имитационных моделей помимо разработки моделирующих алгоритмов для анализа фиксированной системы необходимо также разработать алгоритмы поиска оптимального варианта системы. Далее в методологии машинного моделирования будем различать два основных раздела: статику и динамику, -основным содержанием которых являются соответственно вопросы анализа и синтеза систем, заданных моделирующими алгоритмами.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

Контрольные вопросы:

1. Что представляет собой математическое моделирование?

2. Виды математического моделирования.

3. Особенности различных видов математического моделирования.

ЛЕКЦИЯ 3. Математические модели объектов идентификации

М а т е м а т и ч е с к о е обеспечение имитационной системы включает в себя совокупность математических соотношений, описывающих поведение реального объекта, совокупность алгоритмов, обеспечивающих как подготовку, так и работу с моделью. Сюда могут быть отнесены алгоритмы ввода исходных данных, имитации, вывода, обработки.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят честный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратурного оформления все многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса исходя из временнбго и пространствен-ного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные) ; процессы,в ходе ко-торых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без простран-ственного изменения параметров. Так как математические модели являют-ся отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно: 1) модели, неизменные во времени, -- статические мо-де/іи; 2) модели, переменные во времени, -- динамические модели; 3) мо-дели, неизменные в пространстве, -- модели с сосредоточенными параме-рами; 4) модели, изменяющиеся в пространстве, -- модели с распределенными параметрами. Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Модели с сосредоточенными параметрами. Для данного класса моде-лей характерно постоянство переменных в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, оиисываемого данным классом моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием потока. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова.

Модели с распределенными параметрами. Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве, или если указанные изменения происходят только в пространстве, то модели описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Их математическое описание включает обычно дифференцдальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные случас стационарных процессов с одной пространственной пе-ременной. Примером нроцесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с болыним отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис. 1.3).

Статические модели. Статические модели отражают работу объекта в стационарных условиях, т.е. когда параметры процесса не меняются во времени. Соответственно математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравне-ний либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределен-ными параметрами. Примером объекта, описываемого статической мо-делью, служит апнарат гюлного смешения объемом V в установившемся режимс работы, в который непрерывно подаются реагеиты Л и Вв количестве ьА, юв (иА + ив -- и) и отводится продукт реакции Р.

Динамические модели. Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную по времени. Часто динамическую модель объекта строят в видс передаточных функций, связывающих входные и выходные переменныс (ирсдсгавлсние динамических моделей в виде передаточных функций особснно удобно для целей управления объектом). Примером динамической модели можст елужить модель рассмотренного выше аппара-та полного смешения, но работающего в неустановившемся режиме.

Математическая модель является системой уравнений математического описания, отражающей сущность протекающих в объекте явлений, для которой определен алгоритм решения, реализованный в форме модели-рующей программы. Согласно этому определению математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее аспектов: смыслового, аналитического и вычислительного.

Смысловой аспект представляет собой физическое описание природы моделируемого объекта.

Аналитический аспект является математическим описанием процесса в виде некоторой системы уравнений, отражающей протекающие в объекте явления и функциональные связи между ними.

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания,. реализованные как модели-рующая программа на одном из языков программирования.

Представление математической модели процесса в виде совокупности подсистем (блоков) позволяет представить общее математическое описание как совокупность математических описаний отдельных блоков.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирования процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) - блоке "гидро-динамика". Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень цетализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. Что касается состава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно большая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использо-вании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под математическим моделированием ?

2. Классификация математических моделей

3. Линейные и нелинейные модели

4. Статические и динамические модели.

5. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами

ЛЕКЦИЯ 4. Принципы составления математических моделей динамики

Анализ технологических процессов показывает, что выходная переменная имеет сложную зависимость от параметров и времени. При этом детерминированные факторы определяют величину и характер изменения математического ожидания выходной переменной, тогда как неуправляемые и неконтролируемые факторы- величину и характер случайных отклонений выходной переменной от величины математического ожидания.

Построение любой математической модели начинают с физического, описания объекта моделирования. При этом выделяют "элементарные" процессы, протекающие в объекте моделирования, которые подлежат отра-жению в модели, и формулируют основные допущения, иринимаемые при их описании. В свою очередь, перечень учитываемых "элементарных" про-цессов определяет совокупность явлений, описывающих объект, которые включают в математическую модель. В цанном случае под "элементарным" процессом понимается физико-химический процесс, относящийся к опре-деленному классу явлений, например массообмен, теплопередача и т.д. Здесь следует отметить, что название "элементарные" процессы отнюдь не означает, что данные процессы являются простейшими и оиисываются не-сложными уравнениями. Так, массообмен является предметом целой тео-рии, до настоящего времеки еще далекой до полного завершения. Это название означает лишь, что такие процессы являются составляюшими много более сложного всего химико-технологического процесса.

Обычно при математическом моделировании объектов химической технологии принимаются во внимание следуюшие "элементарные" про-цессы: 1) движение потоков фаз; 2) массообмен между фазами; 3) тепло-передача; 4) изменение агрегатного состояния (испарение, конденсация, растворение и т.д.); 5) химические превращения.

Полнота математического описания "элементарных" проиессов в модели зависит от их роли во всем химико-технологическом процессе, степени изученности, глубины взаимосвязи "элементарных" процессов в объекте и желаемой точности всего описатгая. Взаймосвязь "элементар-ных" процессов может быть чрезвычайно сложной. Поэтому на практике часто делают различные допущения относительно характера связей, что позволяет избежать необходимости введения в модель недостаточно изу-ченных зависимостей и, следовательно, излишнего усложнения описания.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирова-ния процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) - блоке "гидро-динамика". Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень детализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соотяетствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнешй математической модели процесса з целом. Что касается сос-тава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно боль-шая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока цолжно включать уравнения, параметрами которых являются только физи-ко-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использо-вании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.

Поведение потоков в реалных аппаратах настолько сложно, что в настоящее время дать строгое математическое опжание их в большинстве случаев не прсдставляется возможным. В то же время изв&п?о.что струк-тура потоков оказыьает сущеілвенное влияние на эффекхивность химико-технологических процессов, поэтому ее леобходимо учитывать при моце = лировании процессов. При этом математические модели структуры пото-ков являются ос?овой, на которой строится математическое описзние химико-технологического процесса. Как уже отмечалось, точное описание реальных потоков (например, с помощью уравнения Навье--Стокса) при-водит к чрезвычайно трудным для решения задачам. Поэтому разработан-ные к настоящему времени модели структуры потоков в аппаратах яв-ляются достаточно простыми и носят полуэмпирический характер, Тем не менее уже они позволяют получать модели, достаточно точно отражающие реальный физический процесс (модели, адекватные объекту).

При проведениихимико-технологических процессов часто важно знать степень полноты их завершения, что, в свою очередь, зависит от распреде-ления по времени пребывания частиц потока в аппарате, поскольку некото-рые доли потока могут задерживаться в аппарате, а другие, наоборот, про-скакивать, что непосредственно связано с временем контакта и диффузией.

Распределение времени пребывания частиц потока в аппарате (РВП) имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распреде-лением.

Наиболее существенными источниками неравномерности распределе-ния элементов потока во времени пребывания в промышленных аппаратах являются: 1) неравномерность профиля скоростей системы; 2) турбулизация потоков; 3) наличие застойных областей в потоке; 4) каналообразование, байпасные и перекрестные токи в системе; 5) температурные градиенты движущихся сред; 6) тепло- и массообмен между фазами и т.п.

Может оказаться, что истинное время пребывания в аппарате частиц потока недостаточно для осуществления процесса диффузии, а от этого зависит эффективностъ всего диффузионного процесса в целом. Поэтому важным является учет реальной структуры потоков фаз в аппарате (а, сле-довательно, по времени пребывания) с помощью модельных представлений о внутренней структуре потоков.

Для процессов массопередачи описание структуры потоков имеет еще и тот смысл, что позволяет установить перемещение и распределение веществ в этих потоках. Поэтому все гидродинамические модели потоков записываются преимущественно в виде уравнений, определяющих изме-нение концентрации всщества в потоке.

Далее будут рассмотрены экспериментальные методы исследования структуры потоков в реальных аппаратах, наиболее распространенные математические модели структуры потоков и методы определения пара-метров моделей

Контрольные вопросы

1. Математические модели динамики

2. Динамика материальных потоков

3. Динамика массообменных процессов

4. Динамика теплообмена

ЛЕКЦИЯ 5. Преобразование уравнений

Решение систем линейных уравнений- задача, к решению которой хорошо приспособлены аналоговые вычислительные машины.

Нелинейность резко усложняет решение, и, как правило, в этом случае требуется использование численных методов.

Часто применяется метод линеаризации нелинейных уравнений. Для линеаризации нелинейной функции необходимо ее разложить в ряд Тейлора или Маклорена.

Производная функции определяется разностным отношением:

.

Если существует предел и не зависит от того, как стремится к нулю, то функция является аналитической. Следовательно в окрестности некоторой точки а можно ее разложить в ряд Тейлора:

Если а=0 , то получаем ряд Маклорена:

Учитывая, что последующие слагаемые выше второго достаточно малые величины, можно заменить функцию линейной частью разложения.

1. Преобразование дифференциальных уравнений к операторному

Результаты моделирования динамических процессов часто сводится к решению дифференциальных уравнений. Если применить к дифференциальным уравнениям операционные исчисления, то облегчается решение дифференциальных уравнений.

К операторным методам относится метод преобразования Лапласа:

.

Обратное преобразование имеет вид:



F(p)=L[f(t)] - называется изображением функции f(t), называемой оригиналом.

Основные свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность

L[f1(t)+f2(t)]=L[f1(t)]+L[f2(t)]=F1(p)+F2(p)

L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(p)

2. Свойство подобия

L[f(at)]=1/a F(p/a)

3. Правило дифференцирования

L[df/dt]=pF(p)-f0

L[d2f/dt2]=pF(p)-(pf0+f1)

4. Правило интегрирования

L[?f(t)dt]= F(p)/p +(f-1)/p

L[ ?? f(t) (dt)2 ]= F(p)/p2 + (f-1)/p2 +(f-2)/p

5. Теорема о предельном значении

lim f(t) = lim p F(p)

t>0 p>0

6. Теорема о начальном значении

lim f(t) = lim F(p)

t>0 p>?

7. Теорема о запаздывания

L [ f(t-?) ] =e-?p F(p)

8. Теорема о сдвиге

L [ e ± ? t f(t) ]= F(p ±?)

9. Теорема о свертке

Если F1(p)= L[ f1 (t) ] и F2(p)= L[ f2 (t) ] , то

F1 (p) F2 (p)= L [ ? f1 (t- ?) f2 (?) dt ]

Контрольные вопросы

1. Линеаризация уравнений

2. Оригинал и изображение

3. Свойства преобразования Лапласа

ЛЕКЦИЯ 6. Аналитические методы определения характеристик объектов

Можно выделить следующие подходы к разработке математических моделей технологических объектов: теоретический (аналитический), экспериментально-статистический, методы построения нечетких моделей и комбинированные методы. Дадим пояснения к этим методам.

Аналитическими методами составления математического описания технологических объектов обычно называют способы вывода уравнений статики и динамики на основе теоретического анализа физических и химических процессов, происходящих в исследуемом объекте, а также на основе заданных конструктивных параметров аппаратуры и характеристик перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, а также кинетические закономерности процессов переноса массы и теплоты, химических превращений.

Для составления математических моделей на основе теоретического подхода не требуется проведения экспериментов на объекте, поэтому такие методы пригодны для нахождения статических и динамических характеристик вновь проектируемых объектов, процессы которых достаточно хорошо изучены. К недостаткам таких методов составления моделей можно отнести сложность получения и решения системы уравнений при достаточно полном описании объекта.

Детерминированные модели процессов нефтепереработки разрабатываются на основе теоретических представлений о структуре описываемой системы и закономерностях функционирования её отдельных подсистем, т.е. на основе теоретических методов. Располагая даже самыми обширными экспериментальными данными о системе, нельзя описать её работу средствами детерминированной модели, если эти сведения не обобщены и не приведена их формализация, т.е. представлены в виде замкнутой системы математических зависимостей, отображающих с той или иной достоверностью механизм исследуемых процессов. В таком случае следует воспользоваться имеющимися экспериментальными данными для построения статистической модели системы.

Этапы разработки детерминированной модели представлены на рис. 4.

Несмотря на существенные различия в содержании конкретных задач моделирования разнообразных процессов нефтепереработки, построение модели включает определенную последовательность взаимосвязанных этапов, реализация которых позволяет успешно преодолевать возникающие трудности.