Рис. 3.1 Равновесие в мгновенном, коротком и длительном периодах.

№ 2. На рынке установилось равновесие при спросе

Q^D = 20 - P и предложении Q^S = - 4 + 2P. Для пополнения бюджета государство обязало производителей платить 3 ден. ед. с каждой единицы проданной продукции. Определите: а) насколько изменились цена и объем продаж; б) насколько сокращение суммы излишков производителей и потребителей превышает сумму собранных налогов; в) долю налога, уплачиваемую потребителями; г) чистые потери общества от введения налога.

Решение

а) До введения налога 20 - P = - 4 + 2P P = 8;

Q = 12; после введения налога 20 - P = - 4 + 2 (P - 3)

P = 10; Q = 10. Следовательно, P = 2; Q = - 2;

б) собрано налогов 310 = 30. Сумма излишков до введения налога: (20 - 8) 12/2 + (8 - 2) 12/2 = 108; после

(20 - 10) 10/2 + (7 - 2) 10/2 = 75. Следовательно,

(108 - 75) - 30 = 3;

в) P/t = 2/3;

г) чистые потери общества: (10 - 7) • (12 - 10) •1/2 = 3.

Рис. 3.2 Последствия введения акциза

№ 3. Функция спроса на товар имеет вид: Q^D = 9 - P, а функция его предложения Q^S = - 3 + 3P.

1. Сколько единиц товара будет продано, если установить такую ставку налога на единицу товара, чтобы сумма собранного налога была максимальной?

2. Какова будет сумма налогов?

Решение

Пусть с каждой проданной пачки взимается t ден. ед. Тогда условие равновесия на рынке достигается при 9 - P = - 3 + 3 (P - t); P = 3 + 0,75t; Q = 6 - 0,75t. Сумма собранных налогов равна T = tQ = 6t - 0,75t². Она достигает максимума при 6 - 1,5t = 0 t = 4. Тогда P* = 6; Q* = 3, а сумма T = 43 = 12.

*№ 4. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех функцией полезности и одинаковым бюджетом - I=500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной функцией ; фирмы могут покупать любое количество труда по цене w = 4. Определите: а) цену и объем продаж блага А при Р_В = 10; б) объем рыночного спроса на благо В.

Решение

а) Выведем функцию спроса на благо А каждого покупателя из условия равновесия потребителя и бюджетного уравнения (см., например, решение задачи №4 темы 2):

и функцию предложения каждой фирмы из условия максимизации прибыли (см., например, решение задачи №4 темы 1): . Тогда

б) cпрос каждого покупателя при заданной цене 25 ед. Тогда рыночный спрос равен 5000 ед.

№ 5. Функция спроса на розы имеет вид , а функция их предложения , где t = 0, 1,.,6 (дни недели от понедельника до субботы).

1. Определить равновесную цену роз.

2. Какие цены на розы будут по дням недели, если в воскресенье на рынке была равновесная цена, а в понедельник спрос возрос таким образом, что при каждом значении цены покупали на 30 роз больше?

3. Какова равновесная цена после увеличения спроса?

Решение

1. Цену равновесия найдем из равенства , которое выполняется при P_t = P_t-1. В этом случае получим 0,5P - 10 = 200 - P P* = 140; Q* = 60.

2. Понедельник: = 230 - P₁, а = 60, отсюда P₁= 230 - 60 = 170. Вторник: = 0,5170 - 10 = 75; P₂= 230 - 75 = 155. Среда: = 0,5155 - 10 = 67,5; P₃= 230 - 67,5 = 162,5. Четверг: = 0,5162.5 - 10 = 71,3; P₄= 230 - 71,3 = 158,8. Пятница: = 0,5158,8 - 10 = 69,4; P₅ = 230 - 69,4 =160,6. Суббота: = 0,5160,6 - 10 = 70,3; P₆= 230 - 70,3 = 159,7.

3. Равновесная цена определяется из выражения

0,5P - 10 = 230 - P P^* = 160; Q^* = 70.

Дни недели	QSt-1 = QDt	Pt
Понедельник	QS0 = 60	P1 = 170
Вторник	QS1 = 75	P2 = 155
Среда	QS2 = 67,5	P3 = 162,5
Четверг	QS3 = 71,25	P4 = 158,75
Пятница	QS4 = 69,375	P5 = 160,625
суббота	QS5 = 70,3125	P6 = 159,6875

№ 6. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией Q^D =120 - 3P.

1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в отрасли работают 20 конкурирующих фирм с одинаковой у всех функцией общих затрат

TC = 10 + 8Q - 4Q² + Q³?

2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?

Решение

1. Выведем функцию предложения фирмы по цене из условия максимизации прибыли MC (Q) = P:

.

Когда в отрасли будет работать 20 фирм, тогда функция отраслевого предложения примет вид

.

При заданном спросе на рынке установится равновесие с ценой, обеспечивающей равенство

120 - 3P = P* = 16,7; Q* = 69,9.

2. В условиях совершенной конкуренции в длительном периоде отраслевое равновесие устанавливается при P = MC = AC_min. Определим, при каком значении Q средние затраты минимальны:

(AC) = 2Q - 4 - 10/Q² = 0 Q = 2,69.

При таком объеме выпуска:

AC = 2,69² - 42,69 + 8 + 10/2,69 = 8,2. Следовательно, в длинном периоде цена будет равна 8,2 ден. ед., а объем спроса составит 120 - 38,2 = 95,4 ед. Число фирм, удовлетворяющих при такой цене отраслевой спрос, определится из равенства

.

Рис.3.3 Равновесие фирмы и отрасли

№ 7. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции, равны либо ТС₁ = 4 + 6Q + Q², либо ТС₂ = 256 - 25Q + Q². Определите цену и объем продаж в длительном периоде при отраслевом спросе; а) Q^D = 12,5 - 0,25Р; б) Q^D = 35,5 - 0,5Р.

Решение

а) В длительном периоде P = min AC. Минимум AC₁ достигается при

,

то есть min AC₁ = 4/2 + 6 + 2 = 10. Минимум AC₂ достигается при

,

то есть min AC₂ = 256/16 - 25 + 16 = 7. Следовательно, при P = 10 объем спроса должен быть не меньше 2 единиц, а при P = 7 - не меньше 16 единиц. При заданном спросе по цене P = 7 спрашивают только 10,75 ед. Поэтому фирмы будут использовать технологию с затратами TC₁. Равновесие установится при P = 10; Q = 10;

б) теперь по цене P = 7 спрашивают 32 ед. Равновесие установится при P = 7; Q = 32.

Вопросы для обсуждения

1. Назовите основные черты рынка совершенной конкуренции.

2. При равенстве каких параметров рынка обеспечивается его равновесие? Что здесь первичного, а что вторичного?

3. В чем различие точек зрения Маршалла и Вальраса на механизм восстановления рыночного равновесия? когда между ними возникает противоречие и в чем его сущность?

4. Раскройте особенности равновесия рынка и фирмы в мгновенном коротком и длительном периодах.

5. Чем вызвано появление "паутинообразной" модели ценообразования и каковы принципы ее функционирования?

6. Чем отличается равновесие рынка и фирмы от их оптимума?

7. Почему фирмам, стремящимся к максимуму прибыли, следует учитывать не одно, а два условия: необходимое и достаточное? Как выглядят аналитические записи этих условий и что они собой представляют?

8. Может ли кривая рыночного предложения, полученная путем горизонтального сложения кривых предельных затрат функционирующих на этом рынке фирм, являться в тоже время кривой средних экономических затрат? Покажите это на условном примере.

9. В чем необходимость и каковы методы воздействия государства на рынок?

10. Принципы воздействия потоварного налога и дотации на рыночное равновесие и излишки потребителей и производителей.

Задачи

№ 1. На рынке совершенной конкуренции установилось равновесие при спросе Q^D = 200 - 2P и предложении Q^S = - 10 + 6P. В результате увеличения доходов потребителей они стали покупать на 40 ед. товара больше при каждой цене. Насколько возрастет: а) цена в мгновенном периоде; б) цена в коротком периоде; в) объем продаж в длительном периоде при неизменных ценах на факторы и технологии производства?

2. Рассчитайте коэффициенты эластичности спроса и предложения по цене: а) до увеличения доходов потребителей; б) после увеличения их доходов в коротком периоде.

№ 2. На рынке пива установилось равновесие при спросе Q^D = 200 - 5P и предложении Q^S = - 10 + 5P, а на рынке минеральной воды - при Q^D = 150 - 8P и предложении Q^S = - 4 + 2P. Государство обязало производителей пива платить 4 ден. ед. с каждой проданной бутылки, а производителям минеральной воды стало доплачивать 2 ден. ед. за каждую проданную бутылку. Определите чистые экономические потери общества в результате указанных фискальных мероприятий государства.

№ 3. Функция спроса на данный товар имеет вид: Q_D = 12 - P. Функция предложения: Q_S = - 3 + 4P. Введен налог на производителя в размере 2 ден. ед. за проданную единицу. Определить:

а) равновесные цену и объем продаж до введения налога;

б) излишки покупателей и продавцов до введения налога;

в) новые равновесные объем продаж и цену (после введения налога);

г) излишки покупателей и продавцов после введения налога;

д) сумму налоговых отчислений в бюджет;

е) чистые общественные потери;

ж) распределение налогового бремени между покупателями и продавцами.

№ 4. Функция спроса на данный товар имеет вид: Q_D = 12 - P. Функция предложения: Q_S = - 3 + 4P. Определить равновесную цену и объем продаж. Введен акциз на продавцов в размере 20% от объема продаж (выручки). Определите новые равновесные объем продаж и цену. Какую величину налогового сбора получит государство?

№ 5. Функция спроса на данный товар имеет вид:

Q_D = 5 - P. Функция предложения: Q_S = - 1 + P. Определить: а) равновесную цену и объем продаж,

б) излишки продавцов и покупателей.

Введен налог на покупателей в размере 3 ден. ед. на единицу. Определить:

в) равновесный объем, цену, излишки продавцов и покупателей, а также чистые потери общества.

№ 6. Имеются три функции спроса и соответствующие им функции предложения:

а) Q_D = 12 - P, Q_S = - 2 + P;

б) Q_D = 12 - 2P, Q_S = - 3 + P;

в) Q_D = 12 - 2P, Q_S = - 24 + 6P.

Государство вводит субсидию производителям в размере 3 ден. ед. за каждую штуку. В каком случае большую часть субсидии получат потребители? Почему?

№7. В какой ситуации большая часть налогового бремени ляжет на производителей?

а) Q_D = 5 - 2P, Q_S = P + 1;

б) Q_D = 5 - P, Q_S = 1 + P;

в) Q_D = 5 - P, Q_S = 1 + 2P.

№ 8. Функция спроса на данный товар имеет вид: Q_D = 8 - 2P. Функция предложения: Q_S = 4 + P. Определите ставку и размер потоварной субсидии, которую нужно выделить производителям, чтобы товар стал распространяться как "свободное благо". Какое количество товара будет при этом распространяться?

№ 9. Функция спроса на данный товар имеет вид: Q_D = 7 - 2P. Функция предложения: Q_S = P - 5. Определите равновесную цену и объем продаж. Рассчитайте размер потоварной дотации, необходимой для продвижения товара на рынок и достижения объема продаж в 3 единицы.

№ 10. Функция спроса на данный товар: Q_D = 7 - P, функция предложения данного товара: Q_S = - 5 + 2P.

Определить равновесную цену и равновесный объем продаж. Предположим, определена фиксированная цена на уровне: а) 5 ден. ед. за единицу; б) 3 ден. ед. за единицу. Проанализировать полученные результаты. В каком из указанных случаев объем потребления будет наибольшим?

№ 11. Функция спроса на товар имеет вид: Q_D = 5 - P, функция предложения товара имеет вид: Q_S = - 1 + 2P. Предположим, что установлена квота на производство данного товара в размере 2 тыс. единиц. Каковы будут последствия этого решения? Рассчитать излишки продавцов и покупателей до и после введения квоты.

№ 12. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P =20; Q = 150; e^D = - 2; e^S = 1,5. Определите: а) излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу продукции, максимизирующий сумму налогов.

№ 13. На рынке яиц установилось равновесие при P = 160 и Q = 40. При этом e^D= - 0,5, а e^S= 1. Какова будет цена яиц, если спрос на них возрастет на 10%, а их предложение - на 5% при предположении, что в пределах указанных изменений спроса и предложения их графики линейны?

№ 14. Функция спроса на товар Q^D = 9 - P, функция предложения товара Q^S = - 3 + 3P. При какой ставке налога на единицу товара общая сумма налога окажется максимальной?

№ 15. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P =20; Q = 80; e^D = - 2; e^S = 1,25. Определите: а) излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу продукции, максимизирующий сумму налогов; г) цену и объем продаж после введения такого акциза; д) чистые экономические потери общества от введения акциза.

*№ 16. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех функцией полезности вида и одинаковым бюджетом - I=500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной функцией ; фирмы могут покупать любое количество труда по цене w = 1. Определите: а) цену и объем продаж блага А при Р_В = 10; б) объем рыночного спроса на благо В.

*№ 17. Потребности в благе А ста покупателей с одинаковой у всех функцией полезности - и одинаковым бюджетом - I = 120 удовлетворяют 80 фирм с одинаковой у всех производственной функцией короткого периода ; фирмы могут купить любое количество труда по цене w = 4. Определите цену блага А.

№ 18. В двух соседних регионах выращивают и потребляют картофель при следующих функциях спроса и предложения:

Перевозка единицы картофеля из одного региона в другой обходится в 9 ден. ед.

1. Насколько больше выращивается картофеля, когда его перевозка разрешена, по сравнению с тем, когда она запрещена?

2. Какая цена транспортировки картофеля эквивалентна запрету на его перевозку?

№ 19. В регионе I функция спроса на некоторый товар имеет вид: Q_D1 = 50 - 0,5P₁, функция предложения: Q_S1 = - 10 + P₁, где Q_D1, Q_S1 - соответственно объем спроса и объем предложения в регионе I, P₁ - рыночная цена в регионе I (ден. ед. /кг). Для региона II функция спроса на тот же товар: Q_D2 = 120 - P₂, функция предложения: Q_S2 = - 20 + P₂.

а) Предположим, перевозки данного товара между двумя регионами запрещены.

Определить рыночные цены, объем продаж в каждом регионе. Определить избыток потребителей, избыток производителей для каждого региона, суммарный избыток для каждого региона, суммарный избыток для двух регионов.

б) Допустим, перевозки разрешены. Транспортные расходы ничтожны. Определить то же что в пункте а. Кроме того, определить объемы производства в каждом регионе, объем перевозок.

Кому выгодно снятие запрета на перевозки, кому оно не выгодно? Увеличивается ли общая выгода от снятия запрета или нет?

в) Перевозки разрешены. Транспортные расходы составляют 10 ден. ед. на 1 кг, перевозимый из одного региона в другой.

Определите то же, что и в пункте б.

г) Перевозки разрешены. Транспортные расходы ничтожны. Правительство региона I установило "экспортную" пошлину в размере 10 ден. ед. на 1 кг вывозимой продукции.

Определить то же, что в пункте в. Кроме того, определить суммарный избыток каждого региона, включая получаемую пошлину.

д) Что изменится, если пошлина устанавливается не правительством I региона, а правительством II региона ("импортная" пошлина в размере 10 ден. ед. на 1 кг ввозимой продукции)?

№ 20. Функция спроса на газ имеет вид: Q_r^D = 3,75P_н - 5P_г, где P_н, P_г - соответственно цены на нефть и газ, функция предложения газа равна: Q_г^S = 14 + 2P_г + 0,25P_н. При каких ценах на данные энергоносители спрос и предложение газа сбалансируются на уровне 20 единиц?

№ 21. Рыночный спрос отображается формулой , а рыночное предложение . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в 1-м периоде из-за повышения доходов покупателей объем спроса увеличился на 10 ед. при любой цене.

1. Определите цену и объем продаж в 3-м периоде в соответствии с паутинообразной моделью ценообразования.

2. Насколько возросла равновесная цена в результате увеличения спроса?

№22. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат от выпуска продукции представлена в таблице:

Выпуск продукции в единицу времени (Q), шт.	Общие затраты (ТС), ден. ед.
0	6
1	10
2	12
3	16
4	22
5	30

а) Если цена товара 7 ден. ед., какой объем производства следует выбрать?

б) Ниже какого уровня должна снизиться цена, чтобы остановилось производство?

№ 23. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат от выпуска продукции представлена в таблице:

Выпуск продукции в единицу времени (Q), шт.	Общие затраты (ТС), ден. ед.
0	16
1	24
2	34
3	46
4	60
5	76

а) Если цена товара 9 ден. ед., какой объем производства следует выбрать? б) Ниже какого уровня должна снизиться цена, чтобы прекратилось производство? Проанализируйте полученный результат.

№ 24. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат в коротком периоде представлена в таблице.

Выпуск продукции в единицу времени (Q), шт.	Общие затраты (ТС), ден. ед.
0	8
1	10
2	14
3	20
4	28
5	38

В отрасли занято 1000 одинаковых предприятий. Функция рыночного спроса представлена в таблице:

Цена (Р), ден. ед.	Объем спроса (Q), шт.
3	4000
5	2000
7	1600
9	1000

а) Какова равновесная цена?

б) Каков будет выпуск каждым предприятием?

в) В длительном периоде будут предприятия переходить в данную отрасль или уходить из нее?

№25. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат в коротком периоде представлена в таблице.

Выпуск продукции в единицу времени (Q), шт.	Общие затраты (ТС), ден. ед.
0	8
1	14
2	22
3	32
4	44
5	58

В отрасли занято 10000 одинаковых предприятий. Функция рыночного спроса представлена в таблице:

Цена (Р), ден. ед.	Объем спроса (Q), шт.
3	90000
5	80000
7	70000
9	65000
11	30000

а) Какова равновесная цена?

б) Каков будет выпуск каждым предприятием?

в) В длительном периоде будут предприятия переходить в данную отрасль или уходить из нее?

№ 26. Фирма находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат имеет вид: TC = 9Q³ + 200Q + 30. Определить:

а) Какой объем выберет фирма, если цена товара 308 ден. ед.

б) Прибыль фирмы.

Будут ли в данную отрасль стремиться войти новые фирмы в длительном периоде?

№ 27. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией Q^D = 270 - 5P.

1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в отрасли работают 31 конкурирующих фирм с одинаковой у всех функцией общих затрат TC = 48 + 10Q - 5Q² + Q³?

2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?

3. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано в длительном периоде?

№ 28. Отраслевой спрос отображается функцией Q^D = 40 - 2Р. Предложение товара поступает от конкурирующих между собой фирм с одинаковыми функциями затрат LTC = 6,25 + 5q + q^2. Определите суммарные излишки производителей в длительном периоде.

№ 29. Продукцию, продающуюся на рынке совершенной конкуренции, могут производить две группы фирм, различающиеся общими затратами:

ТС₁ = 256 - 25Q + Q²; ТС₂ = 16 + 2Q + Q². Какая цена установится на рынке в длинном периоде при отраслевом спросе Q^D = 22 - Р; Q^D = 87 - Р;

№ 30. На рынке товара А спрос и предложение отображаются линейными функциями. При цене 15 ден. ед. Q^S = 30, а Q^D = 50; когда цена повышается до 25 ден. ед., тогда Q^S = 50, а Q^D = 10. На сколько объем предложения будет превышать объем спроса, если цена будет в 1,5 раза выше равновесной.

№ 31. Рыночный спрос , а рыночное предложение . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в 1-м периоде из-за повышения доходов покупателей объем спроса увеличился на 40 ед. при любой цене.

Определите цены на рынке с 1-го по 5-й периоды включительно в соответствии с паутинообразной моделью ценообразования.

№ 32. Отраслевой спрос отображается функцией Q^D = 250 - 10Р. Отрасль функционирует в условиях совершенной конкуренции.

1. Какое количество фирм будет работать в этой отрасли в длительном периоде, если общие затраты на производство продукции равны LTC = 30Q - 10Q² + Q³?

2. Определите цену и объем продаж на рынке в длительном периоде.

№ 33. Рыночный спрос отображается функцией Q^D = 12,5 - 0,25Р. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции, равны либо ТС₁ = 4 + 6Q + Q², либо ТС₂ = 98 - 10Q + 0,5Q². Насколько возрастет объем продаж в длительном периоде, если в результате увеличения доходов потребителей они будут спрашивать на 16,5 ед. больше при каждой цене?

*№ 34. Какую сумму налогов получит государство при введении акциза на сахар в размере 2 руб за кг, если известно, что: а) сахар производят 120 конкурентных фирм; фирмы работают по технологии и могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w = 2, r = 18; б) покупают сахар 54 потребителя с одинаковыми функциями полезности и одинаковыми бюджетами I = 60?

*№ 35. На рынке подсолнечного масла имеется 50 бедных покупателей с бюджетом 80 ден. ед. у каждого, и 25 зажиточных покупателей, у каждого из которых бюджет равен 120 ден. ед. Предпочтения подсолнечного масла растительным жирам у всех покупателей одинаковые и характеризуются функцией полезности , где Q_m - количество масла в литрах; Q_g - количество жира в килограммах. Масло производится по технологии конкурентными фирмами, которые могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w=20, r = 5. Сколько растительного масла купит каждый бедный и каждый богатый покупатель, если цена растительного жира равна 10 ден. ед?

Тема 4. Ценообразование на рынке несовершенной конкуренции (монополия, монополистическая конкуренция, олигополия)

Типовые задачи с решениями

№ 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли, если функция общих затрат имеет вид: TC = 200 + 60Q + 1,5Q². Функция спроса на продукцию монополии: Q = 240 - 2P.

Почему Q не совпадает при нахождении максимум прибыли и максимум выручки фирмы?

Решение: условие максимизации прибыли монополии MC = MR. MC = TC' (Q) = 60 + 3Q; MR = TR' (Q) = (P•Q) ' = ( (120 - 0,5Q) Q) ' = (120Q - 0,5Q²) ' = 120 - Q. Тогда: 60 + 3Q = 120 - Q, следовательно максимизирующий прибыль монополии объем продаж Q = 15ед.; P = 120 - 0,5•15 = 112,5 ден. ед.

Условие максимизации выручки монополии: MR = 0. Тогда: 120 - Q = 0; Q = 120 ед. P = 60 ден. ед. р_max = TR - TC = 15•112,5 - (200 + 60•15 + 1,5•15²) = 250 ден. ед.

Несовпадение объема выпуска при максимизации прибыли и выручки легко объяснить геометрически: максимизация предполагает равенство тангенсов углов наклона касательных к соответствующим функциям. При максимизации прибыли - это касательные к функциям выручки и затрат, а при максимизации выручки - угол наклона касательной к функции выручки равен нулю.

№ 2. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, продавая 10 ед. продукции по цене 10 ден. ед. Функция общих затрат монополии TC = 4Q + 0,2Q². На сколько сократиться объем продаж, если с каждой проданной единицы продукции взимать налог в размере 4 ден. ед.?

Решение:

Используем формулу и так как при максимизации прибыли MC = MR, то MC = 4 + 0,4Q = 4 + 0,4•10 = 8 = MR. Тогда . Если линейный спрос описать как Q_D = a - bP, то используя формулу для расчета коэффициента эластичности спроса, получим: . Тогда получаем: 10 = а - 5•10, следовательно а = 60. Функция спроса имеет вид: Q_D = 60 - 5P.

Предельные затраты монополии после включения в них налога примут вид: MC = 8 + 0,4Q. Тогда оптимум монополии в условиях налога будет иметь вид:

№3. Монополия, максимизирующая прибыль, производит продукцию при неизменных средних затратах и продает ее на рынке с линейным спросом. На сколько единиц изменится выпуск монополии, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.?

Решение:

Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит предельные затраты - тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат - параллельна оси Q.

Увеличение объема спроса при каждой цене на 30 ед. означает, что график функции спроса сдвигается по оси Q на 30 ед. без изменения наклона. Следовательно, график предельного дохода MR сдвинется по оси Q на 15 ед. также без изменения наклона.

Точка Курно (MR = MC) сдвинется по графику MC на 15 ед., а следовательно и её координата по оси Q, определяющая выпуск монополии, тоже сдвинется на 15 ед.

Ответ: Q=15.

№4. Рыночный спрос, отображаемый функцией Q^D = 180 - 3P, удовлетворяет монополия, которая производит продукцию с неизменными средними затратами. Стремясь к достижению максимума прибыли, монополия установила цену Р = 40.

а) Определите объем продаж и цену, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.

б) Определите прибыль монополии при указанном изменении спроса.

Решение:

Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит предельные затраты - тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат - параллельна оси Q.

При функции спроса Q₁^D = 180 - 3P и цене Р₁ = 40 объем продаж монополии составляет Q_м1 = 180 - 340 = 60 ед. Функция предельного дохода при этом выглядит как MR₁ = 60 - 2Q/3. Предельный доход MR₁ = 60 - 2*60/3 = 20. Следовательно, предельные затраты монополии MC = 20 = Const.

Увеличение спроса на 30 ед. при каждой цене означает изменение функции спроса до вида Q₂^D = 210 - 3P. Функция предельного дохода примет при этом вид MR₂ = 70 - 2Q/3. Из условия максимизации прибыли MR = MC следует 70 - 2Q/3 = 20, отсюда выпуск монополии составит Q_м2 = 75 ед. Цена при этом в соответствии с новой функцией спроса будет P₂ = 70 - 75/3 = 45.

Для нахождения прибыли необходимо выразить функцию общих затрат монополии. Поскольку AC = MC = 20, то общие затраты монополии выглядят TC = AC*Q = 20Q. Следовательно, прибыль монополии будет П = 45*75 - 20*75 = 1875 д. е.

Ответ: а) Q=75, P=45; б) П=1875.

№6. Максимизирующая прибыль монополия с функцией затрат TC = 40 + 10Q + 0,25Q² может продавать свою продукцию на отечественном рынке, спрос на котором отображается функцией q₁^D = 60 - P₁, и на мировом рынке по цене P₂ = 30.

Определите объем продаж на обоих рынках, цену на отечественном рынке и прибыль монополии.

Решение:

Объемы продаж монополии на обоих рынках определяются из условия максимизации прибыли при сегментации рынка: MR₁ (q₁) = MR₂ (q₂) = MC (Q), где Q = q₁ + q_2. Предельный доход с отечественного рынка MR₁ = 60 - 2 q_1. Цена на мировом рынке является для монополии внешне заданной, поэтому MR₂ = P₂ = 30. Предельные затраты монополии выглядят MC = 10 + 0,5Q. Отсюда находим q₁ = 15 и Q = 40, следовательно объем продаж на мировом рынке q₂ = 25. Цена на отечественном рынке будет P₁ = 60 - 15 = 45. Прибыль монополии находится как разница между суммой выручки с обоих рынков и общими затратами монополии: П = (45*15 + 30*25) - (40 + 10*40 + 0,25*40²) = 585 д. е. Ответ: q₁=15, q₂=25, P₁=45, П=585.

№7. Спрос на товар отображается линейной функцией, а технология его производства - функцией Q=АLK^1-. На рынке этого товара совершенная конкуренция сменилась монополией, максимизирующей прибыль. В результате цена товара повысилась на 2 ден. ед., а объем продаж сократился на 100 ед. Насколько ден. ед. сократились излишки потребителей?

Решение:

Для данной производственной функции коэффициенты эластичности выпуска по труду и по капиталу _L = , _K = 1 - . Сумма этих коэффициентов _L + _K = 1 означает, что данной технологии присуща постоянная отдача от масштаба, а следовательно - долгосрочные средние затраты постоянны.

Постоянные средние затраты означают, что функция общих затрат при данной технологии линейна, а значит предельные затраты - тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат - параллельна оси Q.

Функция отраслевого предложения при совершенной конкуренции совпадает с функцией предельных затрат при монополизации отрасли.

Изменение излишков покупателей определяется графически как площадь трапеции, представляющей собой разность между излишками покупателей при совершенной конкуренции и при монополии.

Ответ: R_пок=300

№8. При линейном рыночном спросе монополия достигает максимума прибыли с предельными затратами MC = 20 и эластичностью спроса по цене e^D = - 3. Для полного удовлетворения потребностей в товаре, производимом монополией, требуется 60 ед. Определите объем продаж, цену на рынке монополии и излишки покупателей продукции монополии.

Решение:

Общий вид линейной функции спроса Q^D = a - bP. Параметр “a” определяет максимальный объем спроса для данной функции (при P = 0). Следовательно, по условию, a = 60. Тогда из соотношения a = Q* (1 - e^D) можно найти объем продаж на рынке: Q = 60/ (1 + 3) = 15.

Для монополии предельный доход и цена связаны соотношением MR = P (1 + 1/ e^D), кроме того при максимизации прибыли MR = MC. Следовательно, цена на рынке будет P = 20/ (1 - 1/3) = 30.

Зная объем продаж, цену и эластичность, можно найти параметр “b” в функции спроса: b = - e^D*Q/P = 3*15/30 = 1,5. Следовательно, функция спроса имеет вид Q^D = 60 - 1,5P. Излишки покупателя находятся графически.

Ответ: Q=15, P=30, R_пок=75

№ 9*. В отрасли работают 10 фирм с одинаковыми функциями затрат TC_i = 4 + 2q_i + 0,5. Отраслевой спрос задан функцией: Q^D = 52 - 2P. Собственник одной из фирм предложил своим конкурентам передать ему все предприятия, обещая за это выплачивать им регулярный доход, в 2 раза превышающий получаемую ими прибыль.

1. Насколько возрастет прибыль инициатора монополизации отрасли, если его предложение будет принято?

2. Насколько сократятся излишки потребителей?

Решение

1. Определим функцию предложения отдельной фирмы

2 + q_i = P = - 2 + P.

Тогда совместное предложение 10 фирм:

.

В отрасли установится равновесие при:

20 +10Р = 52 - 2Р P =6; Q = 40; q_i =4; = 64 - 4 - 24 - 0,516 = 4.

Когда все фирмы будут принадлежать одному продавцу, цена определится из равенства MR = MC. При выведении функции затрат монополии нужно учитывать, что Q = 10q_i., тогда q_i. = 0,1Q. Поэтому ТС_мон = 10ЧТС_i = 40 + 2 q _i+ 5q_i² = . Тогда МС_мон = 2 + 0,1Q. Исходя из условия оптимума монополии МС = МR получаем: 26 - Q = 2+0,1Q, тогда Q = 21,81; P = 26 - 0,5•21,81 = 15,1; TR = 329,33; ТС = 40 +2•21,81+ 0,05•475,67 = 107,4.

Прибыль монополиста:

= TR - TC = 329,33 - 107,4 = 221,9

После выплат каждому из бывших конкурентов по 8 ден. ед. у монополиста останется (221,9 - 72) = 149,9, то есть его прибыль возрастет в 149,9/4 = 37,5 раза.

2. Излишки потребителей в результате монополизации отрасли сократились с 400 до 119 ден. ед.

№ 10. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 ден. ед. Функция общих затрат монополии

TC = 100 + 4Q + 0,25Q².

1. Насколько возрастет цена, если с каждой единицы товара будет взиматься налог в размере 7 ден. ед.?

2. Насколько изменится прибыль монополии до уплаты акциза?

3. Какова сумма получаемого налога?

4. Насколько сократятся излишки потребителей?

5. Насколько возрастет объем продаж, если при наличии указанного налога потребители при каждой цене будут спрашивать на 7 ед. товара больше?

Решение

1. Определим значение e^D и выведем функцию отраслевого спроса:

Поскольку в исходных условиях MC = 4 + 0,5Q, то после введения акциза MC = 11 + 0,5Q; максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5Q = 39 - 3Q

Q* = 8; P* = 27, то есть цена возросла на 3 ден. ед.

2. В исходных условиях = 2410 - 100 - 40 - 25 = 75. После введения акциза = 278 - 100 - 32 - 16 = 68. Таким образом, прибыль уменьшилась на 7 ден. ед.

3. Сумма налога: (87) = 56 ден. ед.

4. Теперь отраслевой спрос , а MR = 49,5 - 3Q. Максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5Q = 49,5 - 3Q Q* = 11; P* = 33, то есть объем продаж возрос на 3 ед.

№ 11. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах рынка с различной эластичностью спроса: =160 - P_1; = 160 - 2P₂. Ее функция общих затрат TC = 10 + 12Q + 0,5Q².

1. При каких ценах на каждом из сегментов рынка монополия получит максимум прибыли?

2*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов в случае запрета ценовой дискриминации?

3*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов при запрете ценовой дискриминации, если бы ее затраты были в 2 раза меньше?

Решение

1. Условие максимизации прибыли при осуществлении ценовой дискриминации третьей степени следующее:

Оптимальные цены на сегментах рынка

P₁ = 160 - 45,6 = 114,4; P₂ = 80 - 0,511,2 = 74,4.

2. Для определения условий достижения максимума прибыли при запрете ценовой дискриминации выведем функцию суммарного спроса:

Соответственно,

В этом случае линия MC = 12 + Q пересекает MR в интервале 0 < Q 80; выпуск и цена определяются из равенства 160 - 2Q = 12 + Q Q^* = 148/3; P^* = 332/3. Таким образом, в случае запрещения ценовой дискриминации на втором сегменте рынка продукция продаваться не будет.

3. Теперь кривая предельных затрат MC = 6 + 0,5Q пересекает ломаную MR два раза:

160 - 2Q = 6 + 0,5Q Q^* = 61,6; P^* = 98,4; = 98,461,6 - 5 - 661,6 - 0,561,6² = 3789,56;

320/3 - 2Q/3 = 6 + 0,5Q Q^* = 86,3; P^* = 77,9; = 77,986,3 - 5 - 686,3 - 0,586,3² = 2476,13.

Следовательно, на втором сегменте рынка продукция опять продаваться не будет.

Рис. 4.1 Ценовая дискриминация третьей степени

№ 12*. Спрос на продукцию отображается функцией Q^D = 140 - 4P. Общие затраты на ее производство типичной фирмы: TC = 100 + 10Q + Q². Продукция продается на рынке совершенной конкуренции в длительном периоде. Во сколько раз должны снизиться переменные затраты, чтобы при переходе от совершенной конкуренции к монополии цена не изменилась?

Решение

В длительном периоде при совершенной конкуренции цена установится на уровне минимума средних затрат. Поскольку:

, то.

Значит, каждая фирма-конкурент будет выпускать 10 единиц продукции, АС = Р = 30. При такой цене объем рыночного спроса равен 20 ед. Монополия, максимизирующая прибыль, выберет сочетание Р = 30; Q = 20, если при этом предельная выручка равна предельным затратам. Поскольку MR = 35 - 0,520 = 25, то производная от переменных затрат тоже должна быть равна 25: (10 + 220) /x = 25 x = 2; следовательно, переменные затраты должны быть в 2 раза ниже, то есть общие затраты TC = 100 + 5Q + 0,5Q²

№ 13. В данный момент спрос на продукцию монополистического конкурента отображается функцией , а общие затраты - .

Изменение числа конкурентов в отрасли смещает кривую спроса на продукцию фирмы без изменения ее наклона. Насколько сократится выпуск данной фирмы в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим моментом?

Решение

Цена в исходных условиях выводится из равенства MR = MC: 220 - 8Q = 40 + Q Q = 20; P = 140.

В длительном периоде линия отраслевого спроса станет касательной к кривой средних затрат (АС = Р) и сохранится равенство MR = MC. Из системы этих двух равенств определяются запретительная цена длительного периода (обозначим ее x) и выпуск:

Следовательно, выпуск фирмы сократится вдвое.

Рис. 4.2 Монополистический конкурент в коротком и длительном периодах

№14. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC = 80 + 5Q в состоянии длительного равновесия продает свой товар по цене 13 ден. ед. Определите эластичность спроса по цене и излишки покупателей данного товара, если функция спроса линейна.

Решение:

Для монополистического конкурента в длительном периоде должны выполняться два условия: MR = MC (1) и P = AC (2).

Из первого условия и соотношения MR = P (1 + 1/ e^D) получаем 5 = 13 (1 + 1/ e^D). Отсюда находим эластичность спроса e^D = - 1,625.

Из второго условия получаем 13 = 80/Q + 5, откуда получаем объем продаж на рынке Q = 10.

Если функция спроса линейна Q^D = a - bP, то параметры “a” и “b” находятся из соотношений: a = Q* (1 - e^D) = 10 (1 + 1,625) = 26,25; b = - e^D*Q/P = 1,625*10/13. Восстановив функцию спроса, излишки покупателя находятся графически.

Ответ: e^D = - 1,625; R_пок=40.

№ 15. Отраслевой спрос задан функцией P = 50 - 0,25Q; в отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы I и II со следующими функциями затрат: TC_I = 10 + 0,15q²_I и TC_II = 25 + 10q_II. Какая установится цена в соответствии с: а) моделью Курно; б) моделью Штакельберга; в) картельным соглашением?

Решение

а) Выведем уравнение реакции для фирмы I. Ее прибыль _I = 50q_I - 0,25q²_I - 0,25q_Iq_II - 10 - 0,15q²_I достигает максимума при 50 - 0,8q_I - 0,25q_II = 0. Поэтому уравнение реакции фирмы I имеет следующий вид:

q_I = 62,5 - 0,3125 q_II.

Прибыль фирмы II _II = 50q_II - 0,25q²_II - 0,25q_Iq_II - 25 - 10q_II и достигает максимума при 40 - 0,25q_I - 0,5q_II = 0. Отсюда выводится ее уравнение реакции: q_II = 80 - 0,5 q_I.

Если фирмы ведут себя как равноправные конкуренты, то равновесные значения цены и объемов предложения определятся из следующей системы уравнений:

В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно будут:

_I = 24,544,44 - 10 - 0,1544,44² = 780,4;

_II = 24,557,78 - 25 - 1057,78 = 809,9;

б) пусть фирма I выступает в роли лидера, а фирма II - последователя. Тогда прибыль фирмы I с учетом уравнения реакции фирмы II будет:

_I = 50q_I - 0,25q²_I - 0,25q_I (80 - 0,5q_I) - 10 - 0,15q²_I = 30q_I - 0,275q²_I - 10.

Она достигает максимума при 30 - 0,55q_I = 0. Отсюда

q_I = 54,54; q_II = 80 - 0,554,54 = 52,7;

P = 50 - 0,25 (54,54 + 52,7) = 23,2;

_I = 23,254,54 - 10 - 0,1554,54² = 809;

_II = 23,252,7 - 25 - 527 = 529.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы II ее прибыль снизилась, а фирмы I - возросла.

В случае лидерства фирмы II ее прибыль

_II = 50q_II - 0,25q²_II - 0,25q_II (62,5 - 0,3125q_II) - 25 - 10q_II = 24,4q_II - 0,17q²_II - 25

становится максимальной при 24,4 - 0,34q_II = 0 q_II = 70,9. Тогда

q_I = 62,5 - 0,312570,9 = 40,3;

P = 50 - 0,25 (40,3 + 70,9) = 22,2;

_I = 22,240,3 - 10 - 0,1540,3² = 641;

_II = 22,270,9 - 25 - 709 = 840;

в) прибыль картеля определяется по формуле:

_к = (50 - 0,25q_I - 0,25q_II) (q_I + q_II) - 10 - 0,15q²_I - 25 - 10q_II =

= 50q_I - 0,4q²_I - 0,5q_Iq_II + 40q_II - 0,25q²_II - 35.