122

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Волновые процессы в активных средах, насыщенных жидкостью

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

01.04.06 - акустика

Клочков Борис Николаевич

Нижний Новгород - 2008

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Потапов А.И.

(ННГТУ им.Р.Е. Алексеева, Н. Новгород)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Дерендяев Н.В.

(ННГУ им.Н.И. Лобачевского, Н. Новгород)

доктор физико-математических наук Абрашкин А.А.

(ИПФ РАН, Н. Новгород)

доктор технических наук Дьяченко А.И.

(ИОФ РАН им.А.М. Прохорова, Москва)

Ведущая организация: Институт прикладной механики РАН, Москва

Защита состоится _________2009_г. в _____часов на заседании диссертационного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им.Р.Е. Алексеева (ННГТУ) по адресу: 603950 г.Н. Новгород, ул. Минина, дом 24, корп.1, ауд. _______.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ННГТУ.

Автореферат разослан _____________2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф. - м. н.

Катаева Л.Ю.

Общая характеристика работы

Работа посвящена исследованию волновых и автоволновых процессов в водонасыщенных активных биологических тканях, мышце, сосудах.

Актуальность темы. исследование волновых и механохимических свойств сложных реагирующих сред, биотканей с учетом кровоснабжения в зависимости от внешних и внутренних условий, обладающих упрочнением или размягчением при вибромеханическом воздействии актуально. Теоретическое и экспериментальное исследование биотканей поверхностными волнами позволяет получить новые знания о физических свойствах тканей: о слоистой структуре, о распределении по поверхности и по глубине линейных и нелинейных акустоупругих параметров, о неоднородности, о механохимических процессах, о кровоснабжении, о лимфообращении.

В ходе исследований биотканей все большее внимание уделяется не только линейным и нелинейным эффектам на объемных волнах, но и эффектам на сдвиговых и поверхностных волнах, как наиболее чувствительных к структурным и функциональным изменениям состояния тканей (например, расслабленное, напряженное, при различном уровне кровоснабжения) и в ряде случаев более удобных с точки зрения возбуждения и приема. Не полно исследованы волновые процессы в биотканях с учетом механохимических реакций. В данной области недостаточно надежных методов и приборов детального исследования биоткани с учетом ее физико-физиологического состояния. Недостаточно полно разработаны математические модели и их решения отдельных элементов системы кровообращения, лимфосистемы и др., не описаны связи между ними, не рассмотрены процессы самоорганизации в системе кровообращения. В связи с проблемой влияния вибраций важны исследования естественных и вынужденных колебаний в тканях живого организма и их взаимосвязи, движения сосудов внутри нее, распространения возбуждаемых внешним источником низкочастотных волн по поверхностным и внутренним мягким тканям, виброакустических эффектов при сокращении мышц.

К настоящему времени получила большое развитие ультразвуковая диагностическая техника, а также более низкочастотные методы, при помощи которых можно измерять параметры биотканей в различных состояниях, включая мышцы и мышечные органы. Появились тонкие методы изучения системы циркуляции крови на микроуровне. При этом возрастает необходимость и важность теоретического описания колебательных и автоволновых процессов, протекающих в живых тканях, для углубленного понимания физических механизмов, лежащих в основе этих процессов, и возможности управления ими, а также для получения связи механохимических параметров с измеряемыми величинами. Необходимость определения линейных и нелинейных параметров слоистых биотканей является стимулом для изучения распространения и искажения упругих волн на их границах. Необходимо исследовать возможность создания томографического анализа акустомеханических свойств и слоистой структуры биоткани при помощи волн на поверхности. Это представляет собой как самостоятельный научный интерес, так и возможность оценки свойств динамического состояния ткани.

Представляют существенный интерес теоретические и экспериментальные линейные и нелинейные исследования виброакустических и автоволновых свойств слоистых биотканей, в частности, исследования низкочастотных ближних упругих волновых полей, возбуждаемых силовым вибрационным источником на поверхности, для определения характерного диапазона частот, влияния слоисто-структурных (например, толщины слоя) и вязкоупругих параметров на скорость распространения упругих волн на поверхности, их декремент затухания и другие характеристики в зависимости от частоты и с учетом пространственного распределения волнового поля. Данные параметры могут служить объективной диагностике состояния ткани. Существен случай сильно отличающихся по жесткости слоев (костного и мягкого мышечного), что важно для моделирования различных сочетаний слоев в живом организме и возможности диагностики состояния слоя через другой слой с помощью поверхностных волн.

Кроме этого для диагностики важно понимание, как изменяются эмиссионные спектры излучения под влиянием различных биохимических и физических процессов. Источниками виброакустической эмиссии могут служить целые органы, клетки, интерполимерные комплексы, отдельные макромолекулы. со времени открытия системы кровообращения физические представления и методы всегда использовались для исследования и описания ее работы (уравнения гидродинамики и механики деформируемого твердого тела, акустические подходы, теория колебаний и др.) При этом, несмотря на разнообразие процессов, существенными являются нелинейные динамические явления в них. Представляют большой интерес исследования самоорганизационных и автоволновых процессов кровоснабжения с учетом авторегуляции кровотока и активных, механохимических эффектов.

Целью работы является изучение волновых процессов в активных средах, насыщенных жидкостью:

Построение и исследование моделей элементов сосудистой системы кровообращения и лимфообращения. рассмотрение автоволновых движений в активных микрососудах, учитывающих различные механизмы локальной регуляции кровотока и эффекты транспорта биологических жидкостей. Исследование изгиба кровеносного сосуда с потоком крови.

Создание нелинейных распределенных моделей с учетом фильтрации и их исследование аналитическими и численными методами, описывающих нелинейную динамику и механизмы неоднородного пространственного распределения кровоснабжения мягких биотканей.

Проведение исследований линейных акустомеханических характеристик и параметров распространения низкочастотных упругих поверхностных волн на слоистых биотканях, возбуждаемых внешним источником. Изучение ближнего поля поверхностного виброисточника. Исследование взаимодействия электрической волны возбуждения мышцы и механической волны ее сокращения.

Исследование нелинейных динамических эффектов на поверхности активной биоткани и в ее объеме для различных функциональных ее состояний с учетом структуры, уровня кровоснабжения, мышечного сокращения, вибровоздействия.

Разработка математических моделей и исследование характерных автоволновых режимов спонтанных сокращений в мышечных клетках с учетом активного взаимодействия белковых структур.

Методы исследования. Исследование волновых процессов в биотканях проведено на основе сочетания теоретических и экспериментальных методов и подходов. При этом важными являются методы механики сплошных сред, механики гетерогенных сред, термодинамики неравновесных процессов, автоволновых процессов и методы измерения на живом объекте. Использовался метод поверхностных волн для исследования биотканей, а также спектральный и корреляционный анализы. По сравнению с известными данный метод исследования обладает следующими преимуществами: благодаря своей низкочастотности он чувствителен к глубоко залегающим слоям ткани, позволяет регистрировать нелинейные характеристики ткани сдвиговой природы и измерять влияние различных факторов и воздействий на состояние ткани. для расчета ближних упругих полей на поверхности ткани и в ее глубине использован метод интегральных представлений. Применялись методы построения математических моделей течения биологических жидкостей по сосудистой системе с учетом авторегуляции, моделей автоволнового типа на микроуровне с проявлением активности, моделей кровоснабжения ткани с учетом фильтрации. Использованы континуальные представления о биотканях и представления о сосудистой сети как транспортной системе с активной фильтрацией. Применялись технические средства, пакеты программ по расчету акустических и автоволновых процессов, аналитические и численные методы, вычислительные алгоритмы. При численных решениях нелинейных уравнений автоволнового типа и численных расчетах сложных интегральных представлений использовался графический метод вывода решения в виде двумерного и трехмерного простого или яркостного рисунка. Для экспериментальных исследований использовались комплексы виброзадающей, виброизмерительной и виброанализирующей аппаратуры фирмы Bruel & Kjer (Дания), Robotron (Германия), контактные акселерометрические и бесконтактные ультразвуковые измерители естественных и вынужденных вибраций поверхности.

Научная новизна. Построены и исследованы математические модели отдельных звеньев сосудистой системы с учетом различного типа механизмов механохимической регуляции, кровотока, изгиба и гравитации. получены локальные и нелокальные изменения формы просвета сосуда.

Построена новая математическая нелинейная модель неоднородного распределения кровоснабжения ткани, используя приближение двухфазной среды. При помощи аналитического и численного исследования модели получены диссипативные структуры (сложные пятна), определяющие распределение объемного содержания крови при различных условиях.

Впервые исследованы волны на поверхности биоткани в различных состояниях с учетом слоистой структуры и нелинейности в непрерывном и импульсном режимах. Показано, что для их моделирования часто встречающиеся типы ткани живого организма допустимо представлять вязкоупругим водоподобным слоем, жестко связанным с твердым упругим слоем. Показано существенное влияние толщины мягкого слоя на различные рассчитанные характеристики распространяющихся упругих волн на ткани в зависимости от частоты. На основе разработанной модели активной биоткани найдено аналитическое выражение для нелинейного акустического параметра.

Измерены параметры нелинейных эффектов - уровни гармоник силы и ускорения при действии гармонического источника на поверхность ткани в ее различных состояниях. Показано, что изменение состояния сопровождается изменением уровней гармоник, причем наибольший уровень нелинейности ткани связан с ее расслабленным состоянием. При мышечном напряжении уровень гармоник существенно падает, ткань "автолинеаризуется". обнаружен параметрический эффект возникновения субгармоник, как проявление виброрефлекса при вибровоздействии.

Впервые исследовано взаимодействие электрической волны возбуждения мышцы и акустической волны ее деформации, как следствие зависимости параметров распространения электрического сигнала от деформации волокна. Получены дисперсионные характеристики электромеханических волн при различных значениях параметров связи. Зарегистрирован активный ответ в виде медленной псевдоволны при ударе.

Предложена новая нелинейная модель с протяженными дискретно распределенными источниками, описывающая спонтанные распределенные микросокращения мышечной клетки и изменения концентрации ионов кальция внутри нее. Аналитически и численно получены характерные режимы автоволновой активности: простой (волновой) и сложный с постепенной расфазировкой колебаний отдельных участков клетки, первоначально однородно возбужденной.

волновой процесс активная среда жидкость

Научное и практическое значение работы. Полученные результаты важны для развития фундаментальных научных исследований биотканей и оценки свойств динамического состояния ткани как сложной реагирующей среды. Разработанные подходы и полученные результаты могут быть использованы для углубленного и детального построения теоретических моделей физиологически и патологически функционирующих биотканей, для анализа многочисленных экспериментов на мышцах и других мягких тканях, кровеносных и лимфатических сосудах, сердце и др. Установление закономерностей распространения акустических волн в биотканях, в частности в мышечной ткани, естественных и вынужденных вибраций в живом организме и их взаимосвязи, а также нелинейных движений в микрососудах является стимулом для постановки новых экспериментов.

Полученные результаты работы могут быть использованы при разработке методов прогнозирования акустомеханической активности физиологических систем, для решения задач объективной виброакустической диагностики состояния биотканей, в качестве базовых при проведении исследований структуры и функции живой ткани, а также разнообразных взаимодействий внешних вибраций с реакцией живой ткани. В частности, по характеристикам поперечной и продольной компонент ближнего волнового поля (обратная задача) на различных типах слоистой ткани можно определить структурные (например, толщину слоя), вязкоупругие, нелинейные параметры мягких и твердых слоев, оценить тонус ткани, наличие отеков, перенапряжений, дистрофий и другие особенности при нервно-мышечной патологии, в травматологии, в профилактической и спортивной медицине. Результаты можно использовать для создания линейных и нелинейных томографических методов исследования биоткани при помощи акустических волн на ее поверхности. Большое значение имеет возможность оценки периферического сопротивления сосудистой системы по пульсовой волне при действии сосудорасширяющих препаратов и гравитационных воздействиях с использованием построенных математических моделей, включающих эффекты авторегуляции кровотока и др. Получен патент на изобретение.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных научных форумах: 7-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991), Всесоюзных семинарах Биомеханика - 91, 93 (Ленинград), Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989), 6-ом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, 1989), International symposium "Mechanisms of Acoustical Bioeffects" (Pushchino, USSR, 1990), Всесоюзной конференции "Проблемы экологии и мягкие оболочки" (Севастополь, 1990), 2-nd East european conference on biomedical engineering (Praga, 1991), ICB seminars "Biomechanics" (Warsaw, 1992, 1996), 5-ой научная сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 1994), 2-ой Международной научной школе-семинаре "Динамические и стохастические волновые явления" (Н. Новгород, 1994), 1-ой 4-ой Всероссийской конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1992, 1994, 1996, 1998), 2 and 3 World Congress of Biomechanics (The Netherlands, Amsterdam, 1994; Japan, Sapporo, 1998), XV-th Congress of the International Society of Biomechanics (Finland, 1995), Международной школе по нелинейным явлениям "Нелинейные волны. Синхронизация и структуры" (Н. Новгород, 1995), VIII сессия Российского акустического общества (Н. Новгород, 1998), Российская конференция по биомеханике (Пермь, 1999), II Съезд биофизиков России (Москва, 1999), 4-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000), XI сессия Российского акустического общества (Москва, 2001), 5-th International Conference on Vibration Problems (Moscow, 2001), 16-th International Symposium on Nonlinear Acoustics (Moscow, 2002), а также заслушивались на семинарах Института механики МГУ, Института прикладной физики РАН, Нижегородского филиала Института машиноведения РАН.

Публикации. содержание диссертации опубликовано в 45-ти работах, в том числе в 19-ти статьях в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Все приведенные в диссертации материалы получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии. Работы, опубликованные в соавторстве, выполнены на паритетных началах. Часть результатов получена совместно с исполнителями научных тем под руководством автора диссертации. В части работ автору принадлежат постановки задач, выбор направлений и методов исследований. Все представленные результаты получены лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и содержит двести пятьдесят пять страниц машинописного текста, уравнений, формул, рисунков, таблиц.

Работы, составившие основу диссертации, выполнялись в соответствии с планом основных научных работ ИПФ РАН, а также при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 93-02-15946а, 94-02-06075а, 97-02-18612а), Международного научного фонда, Федеральных целевых программ “Интеграция”, Минобразования РФ (грант КЦФЕ № 97-8.1-79), Минпромнауки и технологий РФ (проект по госконтракту № 40.020.1.1.1168).

Краткое содержание работы

Введение дает краткую характеристику рассматриваемого в работе исследования волновых процессов в биотканях и особенностей течения биожидкости в сосудистой системе.

В главе 1 исследованы волновые процессы в пассивных и активных сосудах с потоком биожидкости.

В 1.1 исследованы волновые процессы в крупных сосудах и эффекты скорости кровотока. В экспериментах на моделирующих кровеносные сосуды мягких упругих трубках, через которые прокачивалась жидкость, при превышении скоростью потока некоторого критического значения наблюдались осцилляции трубки. Фактически целью предыдущих работ являлся линейный анализ модели трубки. Существуют единичные работы, посвященные анализу нелинейной стадии развития неустойчивости, ведущей к флаттеру, в частности, учет члена третьей степени геометрической нелинейности приводит к ограничению роста радиуса и выходу амплитуды его колебаний на постоянное значение (Педли, 1983; Вольмир, 1979; Катц и др., 1971; Carpenter etc., 1986; Grotberg etc., 1984; Волобуев, 1995).

В качестве уравнений движения стенки трубки выберем уравнения тонкостенной оболочки. Материал стенки считаем несжимаемым. Пренебрегаем продольными и угловыми смещениями элемента оболочки по сравнению с радиальными. Линеаризованное уравнение движения элемента стенки с учетом неосесимметричных деформаций имеет вид:

.

Здесь - время; - продольная, - азимутальная координаты; - модуль упругости материала стенки; - продольное, - окружное постоянные натяжения; - толщина стенки; - текущий, - недеформированный радиусы; - текущее, - постоянное во времени внутренние давления; - плотность материала стенки; - затухание в нем.

Выражение для разности следует из анализа гидродинамических уравнений с использованием граничного условия непроницаемости на внутренней поверхности стенка - несжимаемая жидкость:

,

- плотность жидкости; ее постоянная составляющая скорости; - линейный фактор вязких потерь Дарси, Ф - геометрический коэффициент.

получим дисперсионное уравнение для малых отклонений от состояния , связывающее безразмерные частоту , волновое число и номер азимутальной моды n: = (,n). безразмерные параметры и функция есть ( - модифицированные функции Бесселя):

, , , , , ,

, , .

вызванная потоком неустойчивость имеет место в некотором диапазоне волновых чисел при > U, где критическая скорость потока равна для случая (без диссипации). Величина монотонно растет с ростом безразмерного продольного натяжения , модуля Юнга и номера угловой моды. При имеем , . представлены дисперсионные кривые: . Если затухание в материале стенки существенно превышает затухание, связанное с вязкостью жидкости, т.е. , то область неустойчивости для нижней ветви расширяется. граница неустойчивой области при соответствует условию , т.е. при достижении скоростью потока критического значения комплексная частота обращается в ноль (статический режим). При небольшом превышении скорости потока над порогом образуется медленная бегущая волна.

В случае, когда затухания в материале стенки и в жидкости близки, т.е. , дисперсионная зависимость близка к бездиссипативному случаю. При этом критические скорость потока и волновое число определяются теми же выражениями, что и для , , реализуется режим флаттера.

Сделаем некоторые оценки для крупных кровеносных сосудов. В нормальных условиях скорость крови даже в самых крупных артериях не превышает 1 м/с, что меньше критической скорости. Однако при некоторых патологиях средняя скорость течения в них может достигать 4-10 м/с, что уже превышает при малых . Максимальная скорость крови в крупных венах составляет 0,1-0,4 м/с, что близко для вен при малых даже в норме. Критическая скорость в артериях может, кроме того, достигаться при заболеваниях, связанных с уменьшением модуля Юнга материала стенки сосуда. Критическое волновое число для артерий соответствует характерной длине возмущения , для вен - . Можно оценить, что . Характерная частота колебаний при равна: для артерий , для вен , что соответствует измеряемым значениям. Проведенные оценки показывают возможность возникновения неустойчивости в виде квазистатического режима и флаттера.

Рассмотрим нелинейную стадию развития неустойчивости. В качестве простейшей модели будем учитывать комбинацию квадратичной и кубичной физической нелинейности как следствие зависимости модуля упругости материала стенки сосуда от окружной деформации. Подобная зависимость характерна для стенок кровеносных сосудов и дыхательных путей. Исследуем для простоты осесимметричный случай при . Предполагая, что превышение потоком критической скорости мало, воспользуемся методом медленно меняющихся амплитуд. Для простоты рассматриваются только эффекты самовоздействия, т.е. пренебрегается взаимодействием осесимметричной моды с более высокими модами, которые становятся неустойчивыми при больших по сравнению с осесимметричной модой скоростях. Переходя в систему координат, движущуюся с групповой скоростью, и предполагая, что характерный пространственный масштаб медленной амплитуды удовлетворяет условию , получим укороченное уравнение с малым параметром нелинейности . В случае решение будет зависеть от как от параметра, в результате происходит локальное схлопывание или расширение трубки. В случае уравнение имеет устойчивое однородное решение и устойчивое решение в виде стационарной перепадной волны. Таким образом, возможны нелинейные режимы колебаний сосуда в зависимости от коэффициентов перед нелинейными членами: локальные схлопывание или расширение, а также распределенные колебания ограниченной амплитуды. при этом, поскольку инкремент , то будет мягкое возбуждение колебаний при превышении скоростью порога.

Проведены численные расчеты изменения формы сосуда на основе исходного неукороченного нелинейного уравнения с учетом рассмотренной выше физической, а также геометрической нелинейностей, включающей члены второй и третьей степени, и с учетом неосесимметричных деформаций (зависимость от азимутальной координаты ). Скорость потока превышала критическую, при которой становилась неустойчивой изгибная мода (), поэтому режимы, полученные при численном исследовании, являются неосесимметричными. Наблюдались четыре различных режима изменения формы сосуда: локальные изгиб, расширение, схлопывание и колебания ограниченной амплитуды. Изгиб образуется из малого неосесимметричного начального условия, амплитуда его растет, и, вместе с тем, он сносится вниз по течению. Получена форма сосуда в случае неосесимметричного расширения, которое развивается из малого осесимметричного возмущения, расположенного в начальный момент в точке .

Форма сосуда в случае неосесимметричного локального схлопывания приведена на рис.1.1-1 в безразмерном виде (; ; ; ; нелинейности: ; ). Из численного расчета следует, что скорость сноса растущего возмущения в случае изгиба, расширения и схлопывания равна , что близко групповой скорости (для артерий). Изгиб, расширение и схлопывание соответствуют случаю . Для случая автоколебания в виде гофрировки расползаются по всей длине сосуда, оставаясь ограниченными по амплитуде.

Рис.1.1-1. Форма сосуда в случае неосесимметричного схлопывания

В 1.2 исследованы активные волновые процессы в схлопывающихся сосудах. Существуют различные по регуляции сосуды с активным напряжением гладкомышечных слоев и волокон в стенке, зависящим от внутрисосудистого давления p, радиуса сосуда R, касательного напряжения на стенке . характерные квазистатические кривые соответствуют сосудам S-типа (= (p)) и N-типа (= (R)) в переменных (p, R), немонотонными и имеющими падающие участки, а также -типа (= ()) в переменных (R, ), монотонной без падающего участка. гладкая мышца входит в состав не только артериальных сосудов. в лимфатических сосудах скорость распространения зоны перепада просвета составляла 4-5 мм/с, наблюдались спонтанные сокращения частотой 3-4 мин^-1, имеются указания на статическую N-характеристику (Ohhashi, Azuma etc., 1980). N-кривые возможны у вен и лимфососудов радиусом 100-2000 мкм. математическое описание N-, S-, - сосудов предложено в работах Регирера, Руткевича, 1975; Регирера, Шадриной, 2002.

Математическая модель состоит из уравнений для стенки и жидкости. Гидродинамическая часть модели сводится к закону Пуазейля с учетом силы тяжести (типичные числа Рейнольдса меньше единицы и течение считается чисто вязким). Материал стенки сосуда - вязкоупругий с нелинейно активными гладкомышечными волокнами, напряжение которых зависит от деформации. Стенка и жидкость несжимаемы, задача осесимметричная:

,

.

Здесь p (x,t) - текущее внутрисосудистое, а p_e - заданное вне сосуда давления; R (x,t) - текущий внутренний, а R₀ - недеформированный радиусы; h - толщина стенки; - модуль сдвига, а _l - динамический коэффициент вязкости материала стенки, - характерное время ее релаксации по напряжению; - динамическая вязкость жидкости, а - ее плотность, g - ускорение свободного падения, - угол между направлением силы тяжести и продольной осью x сосуда, t - время. Слагаемое R_xx учитывает сдвиговые деформации. Член /R аппроксимируется полиномом 3-ей степени P₃ (R).

Линеаризуем систему уравнений относительно состояния равновесия R=R_ст, p=p_ст=p_e+P_0, где P₀ - равновесное трансмуральное давление. Подставляя (p-p_ст, R-R_ст) ~ exp (it-ikx), получим комплексное дисперсионное уравнение в безразмерном виде: =O () +iI (), связывающее частоту =/₀ (₀=1/) с волновым числом =kR₀ и описывающее колебательные процессы. при этом параметры (пассивные: вязкие, упругий и структурный; активный; гравитационный) равны =16₀/P₀, m_l=_l0h/ (P₀R₀), m=h/ (P₀R₀), =R_ст/R₀; Q (R_ст) = (R₀h/P₀) (dP₃/dR); G=4gR₀cos/P₀. представлено семейство кривых неустойчивой ветви O_- (), I_- () в зависимости от параметров Q и (остальные равны =0.001, G=0.01, m=0.1, m_l=0.1): 1 - Q=-0.2, =1.9; 2 - Q=-0.5, =2; 3 - Q=-0.8, =2.2 если Q+4m<0 за счет достаточно сильной активности, стационарный радиус лежит на падающем участке статической характеристики, то всегда существует длинноволновый инкремент неустойчивости. Если параметр активности увеличивается, то область инкремента может расширяться. изменение параметра силы тяжести G не изменяет область неустойчивости по .

Существуют сосуды с реакцией на кровоток. В этом случае давление внутри сосуда может быть постоянным. Данный тип регуляции характерен для мышечных артерий диаметром 0,1-1,5 мм. В модели активное напряжение зависит от сдвигового напряжения на стенке сосуда: = (). Анализ показывает, что наличие такого рода регуляции может приводить к стабилизации, устойчивости малых возмущений. При увеличении модуля |q| безразмерного параметра активного сдвигового напряжения q= (h/2R₀) (/) (q<0) величина длинноволнового инкремента уменьшается.

Рассмотрим нелинейный режим неустойчивости. Введем безразмерные переменные , а также параметры кубического полинома (i=1,2,3,4). Сделаем оценки параметров задачи: ~10³ кг/м³, R₀~10^-3 м, ~ (4-5) 10^-3 кг/ (мс), _l/~~0.1-0.5 с. для вен P₀~210³ Н/м², модуль упругости E=3~410⁴ Н/м², h/R₀~0.02-0.04, тогда имеем ~410^-4 (коэффициент перед ), G~210^-2cos, m~m_l~0.1-0.3. для лимфатических сосудов P₀~10³ Н/м², E~ (0.4-2) 10⁴ Н/м², h/R₀~0.1, тогда ~10^-3, G~410^-2cos, m~m_l~0.1-0.7. Решение задачи на отрезке будем искать в виде ряда по степеням малого параметра :

справедлив аналогичный ряд для и граничные условия в виде:

; ; ,

где ₁<₂<₃ - действительные корни нелинейной характеристики при ; ₁, ₃ - устойчивые, ₂ - неустойчивый стационарные радиусы.

Положим G=0. Ограничимся первыми членами в разложении, пренебрегаем релаксационными процессами, которые существенны на временах , ищем установившееся решение на . Подставляя ряды в уравнения, интегрируя, удовлетворяя граничным условиям, имеем и три устойчивых решения: r ⁽⁰⁾ =₁, r ⁽⁰⁾ =₃, неоднородное в виде стационарной волны с автомодельной переменной. Аналитическое выражение для скорости распространения a и формы перепада радиуса r с пространственным масштабом l активной перистальтической автоволны сжатия или расширения сосуда на интервале имеет вид:

,

, .

Если длина сосуда много больше характерной ширины фронта l, то в нем может осуществляться режим, близкий к стацволне. Для оценки скорости a и ширины l волны воспользуемся модельной кубичной характеристикой , для которой при имеем значения ₁=1.25, ₂=3.75, ₃=5 (R₀=0.4 мм, P₀=10 см. водн. ст., ₀=10 c^-1). Для m=0.2, m_l=0.1 получим |l|~0.7, |a|~0.5, что соответствует оценке скорости 2 мм/с и ширине волны 0.3 мм. если L~1 см, то условие выполняется. Данные стацволны перепадного типа экспериментально наблюдались на лимфатических сосудах с близкими a и l. Оценка перепада давления П0,02 см. водн. ст. на ширине l полученной квазиударной автоволны мала: П<<p₀, т.к. в лимфососуде p₀ 0,1-30 см. водн. ст.

Подсчитаем производительность g_н такого активного перистальтического насоса. Расход жидкости через сосуд, вызванный распространяющейся волной сжатия сосуда, вычисляется при помощи интегрирования осредненного по сечению уравнения неразрывности. оценка характерной величины , причем объем сосуда равен 0,1-0,5 мл. Т.о. автоволна может осуществлять значительную прокачку.

Проведены численные расчеты формы сосуда на основе полных уравнений. Использовались характеристика и параметры: =0.001, G=0, m=0.2, m_l=0.1, . Начальные условия задавались в виде: , , а граничные равны: , . для согласования с граничным условием начальное условие для радиуса задавалось сглаженным на концах. Результаты приведены на рис.1.2-1 в переменных . графики получены на временах t: 0.05 с; 0.1 с; 3 с. На t~~0.1c решение выходит на режим, близкий к стацволне со скоростью ~2 мм/с. По достижении фронтом границы x=L отражения волны не происходило. Увеличение m_l или уменьшение m увеличивает время выхода на режим стацволны и уменьшает ее скорость.

Учтем силу тяжести. В 1-м случае ее направление совпадало с направлением движения волны (G=0.02, =0.001, m=0.2, m_l=0.1, ). Начальное и граничные условия для радиуса те же, что и прежде, а для давления имели вид: , , . скорость волны уменьшалась в три раза и составляла ~0.7 мм/с. Во 2-ом случае направление силы тяжести противоположно движению волны, G=-0.02, параметры те же. Начальное и граничные условия для радиуса не менялись, для давления равны: , , . Тогда волна распространялась со скоростью ~2 мм/с. В обоих случаях также не возникало отраженной волны. В отличие от S-сосуда отражение не происходит и при других граничных условиях, например, при фиксированных значениях радиуса на концах.

Рис.1.2-1. Распространение перепадной автоволны просвета в N-сосуде (слева направо)

В 1.3 исследованы автоволновые процессы в мелких сосудах и эффекты автопрокачки биожидкости. Активность гладких мышц стенки мелких артериальных сосудов считается причиной вазомоций (колебаний просвета), структур, авторегуляции, автотечения через сосуд. приведено значение скорости распространения расширения сосуда, равное 10 см/с - восходящая волна вазодилатации. Она наблюдалась и в артериолах со скоростью 0,2-0,4 мм/с. Зарегистрировано увеличение скорости спонтанных сокращений с частотой: от 0,5 мм/с при 0,5 мин^-1 и до 1,2 мм/с при 12 мин^-1, причем средний диаметр сосуда возрастает от 4 до 100 мкм (Hilton, 1959; Duling, Berne, 1970; Burrows, Johnson, 1983; Colantuoni, Bertuglia, 1984; регуляция кровообращения, 1986).

Существует немного работ, где рассматриваются математические модели сосудов с мышечной стенкой. распределенная модель, описывающая колебания кровотока и радиуса активного сосуда, представлена в статьях Регирера, Руткевича, 1975. Справедливы уравнения движения несжимаемой жидкости с вязкостью в вязкоупругой активной трубке радиусом R (x,t) и средним по сечению давлением p (x,t), х - продольная координата, t - время

, ,

где (p,R) =0 - статистическая S-образная характеристика, имеющая падающий участок на плоскости p, R (в частности, можно положить, что (p,R) =R+₁p+₂p²+₃p³+₀, причем , ₁, ₂, ₃, ₀ - упругие постоянные); =const - мгновенный упругий коэффициент. Численные расчеты для S-сосуда приведены в статьях Скобелевой, 1980, 1985; Беляева, Скобелевой, 1988 и получены сложные колебательные режимы.

заданы граничные условия для сосуда конечной длины L в общем виде

p₊-p (0,t) =z₊g (0,t), p (L,t) - p_-=z_-g (L,t),

p₊,p _- концевые давления, z₊, z _- гидравлические сопротивления, g - расход.

рассмотрим поведение малых отклонений от стационарного состояния p₀=p₀ (x), R₀=R₀ (x), определяемого при /t=0. Перейдем к переменным p=p-p₀, R=R-R₀ и учитываем нелинейности до 3-й степени включительно. Пусть p_0,R₀ лежит на падающем участке кривой (p_0,R₀) =0. Для получения решения уравнений в области неустойчивости вблизи границы бифуркации воспользуемся следующей процедурой теории бифуркации Хопфа. Перейдем к безразмерному времени =t, где - частота колебаний. ищем 2-периодическое по решение в виде рядов по малому параметру , определяемому величиной отклонения от границы бифуркации

u=u₁+²u₂/2+³u₃/6+…, =₁+²₂/2+³₃/6+…,

-=₁+²₂/2+³₃/6+…, g=g₀+g₁+²g₂/2+³g₃/6+…,

причем _* - частота на границе бифуркации, .

Подставляя ряды в уравнения и приравнивая выражения при одинаковых степенях , получим уравнения для различных приближений u_i. параметры , _i, _i находятся из специальных условий совместности. в 1-м приближении имеем линейные однородные уравнения. Поскольку u₁ действительно, то представим u₁=Z+, где черта сверху - комплексное сопряжение. Считая Z=Z₀exp [i (-kx)], Z₀=const, имеем дисперсионные уравнения: . Используя граничные условия при z₊=z_-=0, получим кубическое уравнение для нахождения собственного значения =i_*: kL=n (n=1,2,…). На границе бифуркации по критерию Рауса-Гурвица справедливо ():

, (при ),

где , , ; , , > 0.

Система устойчива, если . Отсюда следует, что бифуркационным параметром можно выбрать R₀-R_0*, -_*, -_*, -_*, L-L_* или их комбинацию; R_0*, _*, _*, _*, L_* удовлетворяют условию на границе бифуркации. При переходе из устойчивого состояния в неустойчивое первой возникает бифуркация для n=1. В этом случае решение уравнений первого приближения имеет вид

,

, .

Во втором и последующих приближениях получаем неоднородные линейные уравнения, для разрешимости которых необходимо и достаточно выполнение условий совместности - ортогональности правых частей уравнений решению сопряженной задачи. коэффициенты при нечетных степенях в рядах ₁=₃=…=0, ₁=₃=…=0. Параметры ₂ и ₂ определяются из уравнений третьего приближения. Принимая =-_*, при достаточно большой кубической нелинейности ₃ получим ₂=9_*3a²/2>0 и приближенно с точностью до членов четвертого порядка имеем выражение для квадрата амплитуды распределенных автоколебаний в случае u₀=0:

(a) ²=4 (-_*) / (9_*3), >0.

Рис.1.3-1. Автоволны в S-cосуде: (a) локальное расширение, (б) - сжатие; и автоструктуры

увеличение вязкости жидкости приводит к неустойчивости. Формально это аналогично волнам отрицательной энергии. получим поправку к частоте =_*- (-_*) _*/ (2_*), _* ~ 0,05-2 Гц. При дальнейшем увеличении решение выходит на режим квазистационарных локализованных автоволн сжатия и расширения сосуда, а по давлению - перепадных (рис.1.3-1). расход локализован в пределах автоволны, эффект автоподкачки небольшой. При устойчивости возможны стоячие диссипативные структуры просвета.

Если система устойчива, то авторегуляция расхода через сосуд заключается в его квазипостоянстве при изменении перфузии за счет падающего участка на статической кривой. При неустойчивости возникает прокачивающий эффект G₂, т.е. дополнительный к g₀ вклад в расход g за период автоколебаний (нелинейный транспорт жидкости в сосуде). При этом, поскольку в g₁ входят лишь линейные члены, то усреднение за период <g₁>=0. Первый отличный от нуля вклад связан с g₂: . для вычисления G₂=<> воспользуемся граничными условиями для p₂ с учетом z₊=z_-=0 и усредненными по периоду уравнениями второго приближения для u₂:

, .

при 2₂R₀>1 имеется прокачивающий эффект (необходимое условие ₂>0), а при 2₂R₀<1 - запирающий. если u₀=0, отсутствуют стационарные поток и градиент радиуса, то какого-либо насосного эффекта нет.

Для общих граничных условий z 0, p 0 исследуем возможность бесклапанного насосного эффекта при u₀=dR₀/dx=0. имеем трансцендентность

, .

Переходя на комплексную плоскость и пользуясь принципом аргумента, показано, что число нулей f (k) совпадает с числом действительных нулей. Следовательно, это уравнение имеет лишь действительные корни:

.

выражение для частоты довольно универсально - оно не зависит от u₀ (при малых u₀²) и от z (при u₀=0). Поскольку между R₁ и p₁/x при u₀=0 сдвиг по фазе равен 90, то <R₁p₁/x>=0 и получаем G₂=0 при любых z_, никакого насоса нет.

Описанные явления могут быть использованы для оценки механических параметров сосуда и кровотока, в качестве тестирования уровня функционирования сосудистой периферии и других полых органов цилиндрического типа с течением биожидкости, например, мочеточника.

В главе 2 исследована самоорганизация кровоснабжения ткани.

Развиты теоретические подходы к моделированию кровоснабжения биотканей в работах Регирера, 1980; Регирера, Шадриной и др., 1986; Антонца В. и М. и др., 1981, 1992; Федотова, Мархасина, 1990.

В 2.1 построена континуальная модель пространственно неоднородного распределения кровозаполнения тканей. Справедливы уравнения неразрывности обеих фаз (кровь и активный упругий тканевой каркас) и их движения. Учитывается фильтрационный закон Дарси. Предполагается, что фазы и среда в целом несжимаемы, плотности фаз равны. межфазный переток отсутствует. пренебрежем инерционными слагаемыми, процессы достаточно медленные. Имеется сильно разветвленная сеть кровеносных микрососудов с мышечными волокнами разного калибра, переплетенных так, что в среднем по малому объему среды скорость фазы крови близка скорости твердой фазы, хотя вдоль любого сосуда скорость тока крови существенно отлична от скорости окружающей ткани. изотропное активное напряжение ткани связано с гладкомышечными клетками стенки сосудов и со скелетной нервно-мышечной управляемой системой. возможны разные случаи нелинейной активной функции в зависимости от: деформации каркаса , давления жидкости p, сдвигового напряжения и др.

Рассмотрим случай = (). В результате получим нелинейное уравнение относительно пористости (объемного содержания крови ~). рассмотрим одномерный случай

; ,

где фоновое состояние () предполагается ненапряженным, - вязкость жидкости, k - эффективная проницаемость ткани по отношению к крови; , - коэффициенты Ламе упругости твердой фазы, - параметр активности. При этом можно принять аппроксимацию финитной колоколообразной зависимости () кусочно-параболической или кусочно-линейной функциями.

Рассмотрим линейную задачу, которая сводится к уравнению диффузионного типа. Характерное решение имеет вид . Для граничной задачи, моделирующей распространение волны от монохроматического источника, - действительно, получим . При этом в зависимости от знака и величины коэффициент D может быть как положительным, так и отрицательным. Последний случай (D<0) имеет место, если уровень активности среды достаточно высок и рабочая точка находится на падающем участке кривой (). Если D>0, то имеем затухающую волну. при D<0 величина ₂= (1+i) [/ (2|D|)] ^0,5, и по мере распространения волна объемного содержания жидкой фазы будет нарастать с пространственным инкрементом [/ (2|D|)] ^0,5. Для задачи с начальными условиями - действительно, =D²i, при D<0 имеем экспоненциальное нарастание во времени начального распределения с инкрементом |D|².

Проведем анализ уравнения в нелинейной задаче. Можно показать прямым интегрированием его по всей оси x от - до +, что справедливы инварианты по времени t для достаточно общих финитных зависимостей (x,t) и (): =C₀=const (площадь под кривой (x) сохраняется в любой момент времени), =C₁=const (центр тяжести (x) сохраняется, несмещение кривой). однако, =C₂const (отклонение от центра тяжести не сохраняется). Моменты более высокого порядка, вообще, отличны от константы. В стационарных условиях (/t=0) после однократного интегрирования уравнения в классе финитных функций (x) (_x|=0) имеем: D () _x=0. Тогда в установившемся распределении _x=0 (=const) кроме может быть точек, определяемых D () =0.

Ограничимся некоторыми соображениями о характере решения нелинейного уравнения в случае, когда нелинейная функция () представима в виде кусочно-линейной аппроксимации. задача свелась к уравнению диффузионного типа, причем D = - D= - D₁<0 при 0<<_* и D>0 при >_*, <0. На интервале 0<<_* это уравнение может решаться с помощью интеграла Фурье-Стильтьеса: , где () - пространственный спектр (x,0). Если начальные условия (t=0) заданы в виде синусоидального распределения (на всей оси x): (x,0) =_aexp (-ix), _a<_*, то в любой момент времени (t>0) получим (x,t) =_aexp (D₁²t) exp (-ix). время достижения _* равно t_*= (ln (_*/_a)) / (D₁²). Резкие "пятна" как бы вырастают антидиффузионно из начальных условий (режимы с обострением).

Справедлив и случай = (p). получим основное нелинейное уравнение относительно давления жидкости p в виде

,

где функция _p=/p<0, если нет эффекта Бейлисса и _p>0, если он есть (имеется падающий участок на статической кривой давление-деформация).