Математическая модель геополитики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель геополитики

Плохотников Константин Эдуардович

доктор физико-математических наук

ведущий научный сотрудник, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, профессор, Финансовый университет при Правительстве РФ



Аннотация

Математическая модель геополитики условное название для нескольких моделей, которые естественным образом связаны и выступают в качестве сопровождения главной тематики -- геополитики. Вводится центральное понятие математической модели геополитики -- емкость среды обитания. Геополитика -- это климат, рельеф, особенности логистики глобальных товарных потоков, геополитическое противостояние в терминах “море - континент”, т.е. все то, что составляет материальный комплекс условий существования жителей Земли. Данный комплекс, в значительной степени, опосредует поведение народонаселения с политической точки зрения. Автор не придерживается позиции природного детерминизма, который выступает в форме геополитики, но пытается очертить рамки проявления геополитики в реальной политике. Во всех построенных в работе математических моделях производится переход к вычислительному эксперименту, результаты которого приводятся и обсуждаются. Базой вычислительного эксперимента выступают данные по климату, рельефу, народонаселению, а также ряд других компонентов, характерных для современных геоинформационных систем. Математика предложенных моделей, предполагает знание основ: численных методов, статистики, методов оптимизации и ряд других дисциплин. Произведена развертка плотности емкости среды обитания по государствам. Среди рекордсменов в убывающей последовательности ожидаемо оказались: Россия, США, Бразилия, Китай, Австралия и т.д. Определен и изучен показатель, имеющий смыл удельной емкости среды обитания в расчете на душу населения. Произведено ранжирование стран и территорий по этому показателю. Особое внимание обращено на соотношение данных показателей отдельных стран по отношению к РФ. Изучен вопрос о взаимоотношении плотности емкости среды обитания и рельефа. Строятся и сравниваются территории, где сосредоточено 50% народонаселения и 50% емкости среды обитания. Строятся поля градиента плотности емкости среды обитания. Производится классификация стран и территорий в терминах “высоко - невысоко” и “благоприятно - неблагоприятно”, т.е. в четырех категориях, учитывающих рельеф и плотность емкости среды обитания. Строятся карты территорий всех четырех типов. Вводится и подсчитывается индекс разнообразия отдельных территорий и государств. В рамках калькуляции глобального трафика построен специальный показатель под названием процентное соотношение “море - континент”. На основе данного показателя производится классификация точек (территорий) в геополитических терминах. Этот показатель позволил формализовать введение таких хорошо известных в геополитике понятий, как “Хартленд” и “Римленд”. Построены комбинированные глобальная и региональные карты, содержащие политическую и геополитическую разметки. Произведен анализ данных карт на предмет наличия так называемых геополитических “разломов”. О наличии разломов можно говорить в том случае, если некоторые геополитические линии проходят не по границе отдельного государства, а по его территории, глубоко в нее вклиниваясь. Приведено численное решение задачи оптимального с точки зрения минимума затрат на транспорт распределения точек, выступающих в качестве логистических узлов на поверхности Земли.

Ключевые слова: емкость среды обитания, плотность народонаселения, минимаксная транспортная доктрина, рельеф, корреляционный анализ, метод Монте-Карло, индекс разнообразия территорий, нарезка территорий, геополитическая классификация точек, нелинейная оптимизация

матрица расстояние транспортный плотность



Abstract

Mathematical model of geopolitics is a conditional name of several models, which are naturally connected with and serve as companions to the main theme - geopolitics. The author introduces the central notion of a mathematical model of geopolitics - capacity of a habitat. Geopolitics includes climate, terrain, peculiarities of logistics of global flows of commodities, and geopolitical confrontation in terms of “sea - continent”, i.e. all those things composing the material set of conditions of existence of the population of the world. This set to a significant extent mediates political behavior of people. The author doesn't adhere to the position of environmental determinism in the form of geopolitics, but tries to outline manifestations of geopolitics in the real politics. In all the demonstrated mathematical models, the author refers to a computational experiment, the results of which are presented and discussed in the text. The computational experiment is based on the data about climate, terrain, population and other components typical for modern geo-information systems. The mathematics of these models implies knowing the fundamentals: numerical methods, statistics, methods of optimization and some other disciplines. The author describes the density of habitat capacity in different countries. Par for the course, the top positions are taken by, in decreasing order, Russia, the USA, Brazil, China, Australia. The author defines and studies the index of specific capacity of habitat per capita, ranks countries and territories according to this index. Special attention is given to the correlation between these indexes in particular countries compared to Russia. The author studies the issue of interaction between the density of habitat capacity and terrain, compares territories concentrating 50% of the population and 50% of density of habitat capacity, and outlines the density gradient margins. The author classifies countries and territories in terms of “high - low” and “favourable - unfavourable”, i.e. in four categories taking account of terrain and density of habitat capacity. The paper contains the maps of territories of all four types. The author introduces and calculates the diversity index of particular territories and countries. Within the global traffic calculation, the author creates a specific index of percentage “sea - continent”. Based on this index, the author classifies points (territories) in geopolitical terms. This index helps formalize such well-known geopolitical notions as “Heartland” and “Rimland”. The author composes combined global and regional maps with political and geopolitical marking. These maps are analyzed for so-called geopolitical splits. Such splits are detected when some geopolitical lines don't coincide with the state border, but lay deeply across its territory. The author demonstrates the numerical solution of the problem of optimal distribution of points (in terms of minimal transportation expenses) serving as logistics hubs on the planet.

Keywords: cutting of territories, territories diversity index, Monte Carlo method, correlation analysis, terrain, minimax transport doctrine, density of population, capacity of habitat, geopolitical classification of points, non-linear optimization



Введение

В ряде работ автора [1 - 3] сформулирована “Нормативная модель глобальной истории”. В основе данной модели лежит представление глобальной политической целостности в виде набора атомарных субъединиц, названных геопатомами (ГЕОПолитические АТОМы). Представляется, что текущее политическое строение территорий проживания людей на Земле, в значительной степени, может быть объяснено путем объединения специально приготовленных более мелких территорий -- геопатомов. В связи с данной гипотезой возникает задача построения набора геопатомов, покрывающих всю территорию Земли.

Для адекватной нарезки территории Земли на отдельные геопатомы необходимо учесть климатические особенности территорий, а также рельеф. Кроме того, необходимо также учесть глобальный трафик, который заметно меняет конфигурацию расположения и форму геопатомов.

Для учета климатических особенностей проживания на тех или иных территориях будет сформулировано понятие “емкость среды обитания”. Будет построена подходящая функция плотности емкости среды обитания, которая включит в себя весь комплекс антропоморфных требований к среде обитания в части климата. Территории проживания людей будут классифицированы в терминах “(не)высоко - (не)благоприятно”, т.е. с учетом высоты над уровнем моря и климатических особенностей.

В части моделирования глобального трафика особенно остро проявится центральное геополитическое противостояние между “морем” и “континентом”, о чем предупреждали классики геополитики. Формулировка алгоритма и подсчет с его помощью глобальных транспортных потоков позволит уточнить и обобщить классификацию всех территорий в общепринятых геополитических категориях.



Емкость среды обитания

Построим математическую модель того, что называют по-разному в разных дисциплинах: емкость среды обитания, жизненное пространство и пр. Нас будет интересовать построение меры объема среды обитания путем учета различного рода наиболее важных природных составляющих, сопровождающих жизнь людей. К таким составляющим отнесем, прежде всего, среднегодовые значения температуры и осадков на поверхности Земли.

Пространственную развертку в модели свяжем с координатами широты,и долготы,поверхности Земли, считая, что,-- в радианах или,-- в градусах. Для подбора подходящей формулы связи плотности емкости среды обитания,с среднегодовой температуройи осадкамипривлечем реальные данные, имеющиеся для всей поверхности Земли.

Введем комфортные с точки зрения проживания людей значения температуры,и осадков,согласно средневзвешенной процедуре, выбирая в качестве веса плотность проживания людей на поверхности Земли,. В этом случае можно записать следующую общую формулу для подс--четаи:

, (1)

где,,-- соответствующие функции широты и долготы; интегрирование в (1) предполагается по всему глобусу без учета водной поверхности.

Выберем разрешение по пространству вградусов и рассмотрим конкретные данные для среднегодовых значений температуры, осадков и плотности населения. В этом случае данные предстанут в виде матриц размером, где 360 обозначает количество узлов равномерной сетки по широте, а 720 -- по долготе. Сетки по широте и долготе в радианах можно представить в виде: ;.

Загрузим данные по среднегодовым значениям температуры и осадков с сайта[4]. Выберем версию архива 2.02, которая датирована июлем 2001 года. Описание к данным архива приведено на сайте[5]. Данные по плотности населения Земли возьмем с сайта NASA Earth Observations[6]. Заменим интегрирование в (1) суммированием по нашей сетке, тогда

, (2)

где суммирование в (2) осуществляется по тем узлам сетки, которые не принадлежат водной поверхности.

По формуле (2) был проведен расчет с данными из архива 2.02 и данными NASA по плотности населения, оказалось, что;.

Были подсчитаны также средневзвешенные стандартные отклонения от комфортных значений, они оказались равнымиисоответственно для температуры и осадков. Столь заметные стандартные отклонения означают, что предполагаемая зависимость емкости средыrот отклонений от комфортных значений в форме степенных выражений типаидолжна иметь малые по сравнению с единицей значения степенейи.

После ввода комфортных значений температуры и осадков, выберем для дальнейшего анализа следующую формулу для описания плотности емкости среды обитания:

, (3)

где-- пока неопределенные константы.

В представлении (3) сосредоточен весь набор требований к функции. Функция, описывающая емкость среды,должна быть неотрицательной, зависеть от отклонений от комфортных значений, легко модифицируемой в случае учета дополнительного параметра, описывающего емкость среды.

Неопределенные параметры, входящие в (3) найдем путем минимизации суммы квадратов отклонений обратной функции емкости среды,от обратной функций плотности народонаселения,. Выяснилось, что именно в этом случае обеспечивается максимум корреляции величины обратной функции емкости среды и обратной величины плотности населения,. Величинаимеет ясный географический смысл -- это количество квадратных километров, приходящихся на одного человека в данном регионе, еслиизмеряется в количестве людей на квадратный километр.

С учетом (1) запишем функционал,Dминимум которого обеспечивает поиск параметровпри фиксированных значениях:

, (4)

где интегрирование предполагается по всей суше, без учета водной поверхности.

Учитывая (2), перепишем функционал (4) в конечно-разностном виде, исходя, как и выше, из разрешения в. В этом случае, с точностью до численного коэффициента, получим

, (5)

где;;-- количество узлов сетки на поверхности суши, а суммирование распространяется лишь на те узлы сетки, которые приходятся на сушу.

Для поиска минимума функционала в форме (5) решалась задача градиентного спуска

,, (6)

где-- некоторый условный аргумент, при этом

,

,

.

Система дифференциальных уравнений (6) может быть решена с помощью одного из стандартных решателей, например, пакета MATLAB. Решение проводилось вплоть до установления значений, т.е. когда можно отчетливо идентифицировать наличие пределов значенийпри.

В таблице №1 приведен перечень значений параметров, входящих в формулу (3) для емкости среды, полученный с учетом решения задач (2), (5), (6). Кроме того, в таблице №1 приведены соответствующие значения коэффициента корреляции, Corr, который устанавливает связь между наборамии,i= 1,…,360;j= 1,…,720. С учетом особенностей геометрии на сфере, корреляция подсчитывалась по формуле:



, (7)

Где .

Таблица №1. Перечень значений параметров, входящих в формулу емкости среды обитания

№№								Corr
1	18,5775	1200,2	0,7156	-0,0649	-0,0426	2	2	0,5758
2	18,5775	1200,2	1,0227	-0,2767	-0,2991	1	1	0,6329
3	18,5775	1200,2	1,6592	-0,6627	-0,6656	0,5	0,5	0,6581
4	18,5775	1200,2	6,2794	-3,2566	-2,7573	0,1	0,1	0,6590
5	18,5775	1200,2	3,4189	-1,6624	-1,4789	0,2	0,2	0,6611

Рис.1. Динамика зависимости модуля градиентаG(левый график) и значения функционалаD(правый график) от аргументаt

На рис.1 приведены типичные образцы зависимости модуля градиентаи значения функционала (5),Dот аргументаt. Графики рис.1 демонстрируют очевидную сходимость модуля градиентаGк нулю (левый график), а значение функционалаDк некоторому предельному, минимальному значению (правый график). Это означает, что набор параметровсходится к своим предельным значениям при. Остальные значения параметров выбирались согласно пункту №5 таблицы №1, когда имело место максимальное значение корреляции.

Отрицательные значения знаков параметровв таблице №1 отвечают нашим ожиданиям. Варьированию подвергались значения параметрови. Оказалось, что максимальное значение корреляции без учета более мелких вариаций находится в окрестности значений степенейи. Отметим, что если в формуле для емкости среды (3) не учитывать осадки (), коэффициент корреляции при значении параметров из пункта №5 таблицы №1 составит значение 0,6341. Полученное значение несколько меньше числа 0,6611, т.е. компонента осадков дает свой вклад. Наконец, в случае отсутствия температуры в формуле (3) () значение корреляции составило 0,5587, что заметно меньше значения 0,6611. Данные замечания означают, что совместное использование показателей температуры и осадков повышает корреляцию значений обратной функции емкости среды обитания и обратной функции плотности народонаселения. Таким образом, можно сделать вывод о том, что приблизительно две трети корреляции между обратной функцией емкости среды обитания, вычисляемой по формуле (3) и функцией обратной плотности народонаселения приходится на среду обитания в части температуры и осадков.

Сравним визуально карты обратной функции плотности емкости среды обитания и обратной функции плотности народонаселения. Искомые карты нарисуем с помощью линий уровня. На рис.2 приведен итог. На левой карте рис.2 приведены линии уровня обратной функции плотности емкости среды, рассчитанной по формуле (3) с параметрами из пункта №5 таблицы №1. Всего построено 12 линий уровня с равноотстоящими значениями, которые отображают диапазон изменения обратной емкости[0,0054;1,1268]. На правой карте рис.2 приведена обратная функция плотности народонаселения. Построено также 12 линий уровня с равноотстоящими значениями, которые отображают диапазон изменения обратной плотности народонаселения.

На рис.2 все более синим вплоть до фиолетового цветами обозначены места малых значений обратной функции плотности емкости среды и обратной функции народонаселения. Видна явная корреляция местоположений синих и фиолетовых мест на левой и правой картах рис.2. Отметим, что данные места отвечают наиболее комфортным для человека условиям проживания. Имеются и заметные расхождения на всех континентах. Справа от каждой из карт приведена палитра, устанавливающая связь с численным значением соответствующего показателя. Кроме того, на каждой из карт проведена береговая линия в виде красной линии.

Рис.2. Карты линий уровня функции обратной плотности емкости среды обитания (слева) и обратной функции плотности народонаселения (справа)

Перейдем от обратных значений плотности емкости среды и плотности народонаселения к прямым значениям. Сравним линейный коэффициент корреляции Пирсона и ранговые корреляции Кендалла и Спирмена для плотности емкости среды обитания и плотности народонаселения. Для этого преобразуем матрицыив векторы и найдем между этими векторами соответствующие коэффициенты корреляции. В таблице №2 приведен итог.

Таблица №2. Коэффициенты корреляции Пирсона, Кендалла и Спирмена между плотностью емкости среды обитания и плотностью народонаселения

Коэфф. корр.	Пирсона	Кендалла	Спирмена
Значение коэфф. корр.	0,1740	0,7582	0,9034

Из таблицы №2 видно сколь велики коэффициенты ранговой корреляции по сравнению с обычным линейным коэффициентом корреляции. Именно по этой причине в (7) рассматривался линейный коэффициент корреляции между обратными функциями плотности емкости среды обитания и плотности народонаселения. Для обратных величин линейный коэффициент корреляции оказался равным 0,6611, что значительно больше значения 0,1740. В итоге проведенных выше построений и вычислений выберем для функции емкости среды обитания людей функцию (3), которая отображает связь с такими характеристиками, как температура и осадки, а точнее с отклонениями температуры и осадков от соответствующих комфортных значений.

Развертка емкости среды обитания по государствам

Учитывая функциональное представление для емкости среды обитания (3), запишем формулу для подсчета глобальной емкости среды обитания:



. (8)

В начале найдем центр сосредоточения или центр рассеяния емкости среды обитания и сравним его с центром рассеяния народонаселения Земли. Перейдем к дискретному представлению всех интегральных показателей, исходя из сетки по широте и долготе размером. Подсчитаем центр рассеяния народонаселения согласно формулам:

,, (9)

где суммирование распространяется на те пары,;, которые принадлежат суше. Плотность народонаселениявыберем, подобной предыдущему разделу.

Аналогично формулам (9) определим выражения для подсчета центра рассеяния емкости среды обитания:

,, (10)

где,;-- плотность емкости среды обитания (3) со значениями параметров из пункта №5 таблицы №1.



Рис.3,а. Центры рассеяния народонаселения (Аравийский полуостров) и емкости среды обитания (Центральная Африка)

Рис.3,б. Границы 246-и государств и территорий мира

На рис.3,а приведен итог подсчета центров рассеяния народонаселения,и емкости среды обитания,. Оказалось, что центр рассеяния народонаселения имеет координаты (23,78 с.ш.; 51,85 в.д.) -- Аравийский полуостров, Саудовская Аравия, солончаки. Центр рассеяния емкости среды обитания имеет координаты (13,59 с.ш.; 19,03 в.д.) -- Центральная Африка, Центральный Чад, восточнее г. Нджамены.

Отметим, что в модели, как размерность, так и абсолютное значение емкости среды обитания не существенно. Важна лишь пространственная развертка, т.е. относительные значения емкости среды обитания либо отдельных регионов, либо значений плотности среды отдельных точек.

В качестве примера подсчета глобальной емкости среды обитания (8) рассмотрим политическую карту мира с границами отдельных государств и территорий и подсчитаем емкость среды обитания для каждого из государств и территорий. По данным ООН на 2008 г. отмечены границы 246-и государств и территорий, данные о которых представлены, например, на сайте[7]. На рис.3,б приведена графическая иллюстрация всех имеющихся на 2008 г. границ государств и территорий.

Определим область, занимаемую-м государством или территорией, символом. В этом случае глобальную емкость среды обитания (8) с учетом выбранной разметки поверхности Земли можно переписать в виде:

(11)

Для вычисления емкости среды обитания всех государств и территорий,заменим двойные интегралы в (11) на приближенные суммы, исходя из разрешения в половину градуса по широте и долготе. В этом случае второе уравнение в (11) можно переписать в виде:

, (12)

где,, а суммирование в (12) распространяется на те точки, которые входят в область.



Рис.4. Развертка государств и территорий по показателю емкости среды обитания

Был проведен вычислительный эксперимент по подсчету набора емкостей среды обитания государств и территорий (12), при этом матрицавычислялась по формуле (3) с параметрами из пункта №5 таблицы №1.

На рис.4 приведен итоговый график, на котором помечены некоторые страны и территории развернутые по показателю емкости среды обитания. В частности, первая пятерка по показателю емкости среды обитания в порядке убывания выглядит следующим образом: Россия, США, Бразилия, Китай, Австралия со значениями показателя 0,6027; 0,5818; 0,5261; 0,5061; 0,4968 соответственно.

Глобальная емкость среды обитаниясоставила величину 7,6438, при этом среднее значение -- 0,0311, а стандартное отклонение -- 0,0863.

Изучим распределение емкости среды обитания, приходящейся на одного человека. Введем подходящую переменную в следующем виде:

, (13)

где-- народонаселение-го государства или территории,. Переменная, введенная в (13), обозначает объем среды обитания, приходящейся на одного человека в пределах-го государства или территории или удельное значение объема среды обитания. В качестве конкретных значений народонаселения были выбраны данные за 2005 г., которые приведены там же, где и данные границ 246-и государств и территорий.

Рис.5. Развертка государств и территорий по показателю удельной емкости среды обитания

Проведенный расчет набора показателей,показал, что победителем является Гренландия. На рис.5 приведен график, подобный графику рис.4, где по оси ординат отложены некоторые значения набора удельных объемов среды,, нормированных на величину максимального удельного объема.

Рассмотрим отношение удельной емкости среды обитания России по отношению к ряду иных государств. В таблице №3 приведен некоторый характерный перечень отношений.



Таблица №3.Отношение удельного объема среды обитания РФ к удельным объемам ряда других стран

РФ/Финляндия	РФ/Великобритания	РФ/Франция	РФ/Германия
1,5416	17,6738	7,5665	16,6839
РФ/Польша	РФ/Украина	РФ/Турция	РФ/Казахстан
10,4924	6,8427	6,7931	0,5802
РФ/Китай	РФ/Япония	РФ/США
10,8619	23,3693	2,1576

Согласно таблице №3 наибольшие значения отношений удельного объема среды обитания РФ к удельным объемам иных стран приходится на три страны, традиционно входящие в историческую орбиту РФ, это Великобритания, Германия и Япония.

Построим карту, на которой стрелами укажем переходы от тех стран, у которых, с одной стороны, достаточно высокий потенциал емкости среды обитания (), с другой стороны, отношение удельной емкости среды обитания РФ к удельной емкости иной страны больше некоторого порогового значения (. Таким образом, учтем лишь те страны, емкость среды обитания которых превышает 2% от емкости самого крупного государства, т.е. РФ. В качестве порогового значения отношений удельной емкости среды обитания РФ и удельных емкостей иных стран выберем значение 7,5, т.е. достаточно высокое значение.



Рис.6. Стрелы аномальных значений отношения удельной емкости среды обитания РФ и удельных емкостей иных стран

На рис.6 приведена карта с искомыми стрелами. При выбранных пороговых значениях емкостей среды обитания и удельных емкостей отдельных государств, оказалось в наличии 13 стрел, которые противоставляют 13 стран с РФ. Часть стран, представленных на рис.6, фигурируют также и в таблице №3. Отметим, что все 13 стрел направлены к РФ.

Емкость среды обитания (плотность народонаселения) и рельеф

Используя соответствующие данные, разберемся с плотностью емкости среды обитания (плотностью народонаселения) в связи с рельефом поверхности Земли (данные по рельефу были взяты из раздела Mapping Toolbox пакета MATLAB). Данные по рельефу представим в координатах широта, долгота с разрешениемв виде матрицы,;. Определим набор средних высот в разных смыслах: среднюю высоту суши,; средневзвешенную высоту,, где в качестве весов выбирается плотность народонаселения; а также средневзвешенную высоту проживания 50% народонаселения,, когдаи, где-- некоторые неотрицательные константы. Перечисленные выше средние величины найдем согласно следующим формулам:

. (14)

Формула для подсчета величиныаналогична второй формуле из (14) при условии того, что суммирование распространяется по тем парам индексов, для которых верны неравенства:и. Пороговые значенияподбирались из тех соображений, чтобы доля народонаселения, проживающая в условияхиравнялась 50%. Итог расчетов средних величин и параметров приведен в таблице №4.

Таблица №4.Набор средних высот и подходящих значений параметров

804,9 м	442,9 м	61,3 м	187,5 м	2 чел/км2

Согласно таблице №4 средняя высота суши 804,9 метров. Средневзвешенная высота суши с учетом плотности народонаселения, грубо говоря, в два раза меньше, точнее, равна 442,9 м. Наконец, 50% народонаселения проживают в пределах высоты 187,5 м, при этом средневзвешенная высота расселения с учетом плотности народонаселения равняется 61,3 м. Последнее среднее значение характеризует известный факт, что половина народонаселения сосредоточена в окрестности береговой линии мирового океана.

На рис.7 приведены две карты расселения 50% народонаселения, сосредоточенных вблизи береговой кромки и при условии, что плотность народонаселения превышает выбранный порог. На карте рис.7,а приведена береговая линия (красного цвета) и области расселения народонаселения (тонированы синим цветом). На карте рис.7,б разными цветами выделены отдельные замкнутые полигоны, отвечающие условиям того, что проживание людей осуществляется на высотах не превышающих значениепри плотности народонаселения, превышающей значение. В данном расчете всего таких полигонов оказалось 932, при этом береговая кромка не нанесена, но она легко просматривается в позициях самих полигонов.

Рис.7,а. Карта расселения 50% народонаселения Земли (общий ракурс)

Рис.7,б. Карта расселения 50% народонаселения Земли (мультиполигональный ракурс)



Приведенные выше соображения о взаимосвязи рельефа и плотности расселения народонаселения Земли говорят об их сложной взаимосвязи. В частности, ввести комфортное значение высоты проживания, подобно комфортным значениям температуры и осадков не удается.

Решим задачу идентификации территорий, на которых сосредоточено 50% всей емкости среды обитания. Данные территории найдем из условия того, что высоты не превышают некоторое пороговое значение, а плотность емкости среды превышает некоторое пороговое значение. В качестве плотности емкости среды обитания возьмем функцию (3) с параметрами из пункта №5 таблицы №1. Определим средневзвешенную высоту, где в качестве весом выступает плотность емкости средыr, а также средневзвешенную среднюю по территориям,, где сосредоточено 50% всей емкости среды. Аналогично (14) запишем формулу для расчета средневзвешенной высоты:

, (15)

где суммирование в (15) распространяется по тем парам, для которых.

В таблице №5 приведен набор значений параметров, который выступает в виде решения, сформулированной выше задачи.

Таблица №5. Набор средневзвешенных высот и подходящих пороговых значений параметров с учетом плотности емкости среды

				U
714,5 м	312,1 м	820 м	1,82	7,7039

Параметры, приведенные в таблице №5 позволяют найти территории, на которых сосредоточено 50% емкости среды обитания. Это те территории, которые находятся в пределах высоты, причем значения плотности емкости среды обитания превышают значение.

На рис.8 построены карты, которые иллюстрируют позиционирование 741-й территории, подпадающих под указанные ограничения. На левой карте рис.8 искомые территории закрашены одним цветом, а на правой карте -- разными цветами.

Рис.8. Карта территорий, несущих 50% емкости среды обитания в разных тонировках: единая тонировка (левая карта) и тонировка территорий разными цветами (правая карта)

Отметим, что карты на рис.7 и рис.8 отличаются довольно существенно. Это можно объяснить следующим образом. Плотность населения Земли, которая была использована в качестве веса в формулах (19), менялась в диапазоне. Плотность емкости среды обитания, которая использовалась в качестве веса в формуле (20), менялась в диапазоне. Пара диапазонов отличаются друг от друга в 690 раз. Другими словами, народонаселение Земли за счет высокой плотности, т.е. путем сосредоточения в крупных городских агломерациях, “экономит” на пространстве. Кроме того были вычислены площади мест проживания 50% народонаселения,и площадь мест сосредоточения 50% емкости среды обитания,, представленных на рис.7, 8. Оказалось, что,, где-- радиус поверхности Земли. Таким образом, поверхность проживания 50% народонаселения в 4 с лишним раза меньше поверхности позиционирования 50% емкости среды обитания.

Карты на рис.8 можно проиллюстрировать с другой точки зрения, путем построения поля градиента плотности емкости среды обитания. Определим в сферической системе координат двухкомпонентный вектор-градиентплотности емкости среды обитания в виде:

. (16)

Плотность емкости среды обитания рассмотрим на сетке с разрешением в половину градуса. Для аппроксимации производных в (16) возьмем четырехточечный шаблон, тогда запишем

, (17)

где;и

, (18)

где;, при этом предполагается в (18) периодическое продолжение по индексуjс периодом 720.

На рис.9 в виде набора стрелок приведено поле градиента,плотности емкости среды, подсчитанного по формулам (16) -- (18) с плотностью емкости среды обитания (3) с параметрами из пункта №5 таблицы №1.

Рис.9. Поле градиента плотности емкости среды обитания

На рис.9 отчетливо в виде “бахромы” стрелок виден заметный рост плотности емкости среды обитания по мере приближения к береговой линии, что еще раз подтверждает известный факт о том, что половина народонаселения Земли проживает в окрестности побережья мирового океана.

Нарезка территорий в терминах (не)высоко - (не)благоприятно

Исследования, представленные в предыдущем разделе, позволяют осуществить классификацию, нарезку территорий в терминах “высоко - невысоко”, “благоприятно - неблагоприятно”. Терминология “высоко - невысоко” означает буквально следующее: местность проживания находится на высоте больше некоторого порогового значенияили, соответственно, меньше. Терминология “благоприятно - неблагоприятно” означает, что плотность емкости среды обитания превышает некоторое пороговое значениеили, соответственно, меньше.

По данным предыдущего раздела пороговые значенияибыли найдены из того, чтобы емкость среды обитания территорий охваченных этими условиями равнялась 50%. Согласно таблице №5,и.

Рассмотрим теперь условное пространство с координатами() и() и проведем две линиии, тогда любая местность обитания на Земле может быть отнесена к одному из четырех квадрантов на плоскости с координатамии. Под координатойбудем понимать плотность емкости среды обитания, а под координатой-- высоту расположения над уровнем моря. На рис.10 приведено позиционирование каждого из четырех квадрантов с примерным сохранением масштабов по координатам.

Рис.10. Позиционирование каждого из четырех квадрантов в пространстве с координатами,

Согласно рис.10 квадрантIопределяется парой условий:и; квадрантII--и; квадрантIII--и; квадрантIV--и. В терминах “высоко - благоприятно”: первый квадрант наиболее благоприятен для жизни, т.е. эти территории расположены не очень высоко, и они благоприятны климатически; второй квадрант соответствует территориям, которые расположены не очень высоко, но они неблагоприятны с климатической точки зрения; третий квадрант отвечает наиболее суровым территориям, расположенным высоко и которые неблагоприятны с точки зрения климата, наконец, территории четвертого квадранта, хотя и расположены высоко, благоприятны с точки зрения климата. На рис.10 приведена также специфическая для каждого типа территорий окраска, используемая при построении карты на рис.12.

На рис.11 приведены четыре карты территорий, соответствующих каждому из четырех квадратов рис.10. Территории в пределах отдельной категории окрашены на рис.11 случайными цветами. Исходные данные были взяты согласно расчетам предыдущего раздела. Итоги расчетов площадей территорий, объемов емкостей среды и количества территорий для каждого из квадрантов приведены в таблице №6.

Рис.11. Карты территории с параметрами плотности емкости среды обитания и высоты позиционирования согласно четырем квадрантам



Площади территорий в таблице №6 приведены в единицах, где-- радиус Земли. В частности, если в качестве единицы выбрать всю территорию первого квадранта, то отношение площадей всех четырех типов территорий составит 1: 0,59: 0,35: 0,30. Наконец, если в качестве единицы выбрать полную емкость среды обитания территорий первого квадранта, то отношение емкостей среды обитания всех четырех типов составит 1: 0,41: 0,21: 0,38.

Таблица №6.Набор площадей (), объемов емкостей среды обитания () и числа территорий () для каждого из квадрантов

Переменная	КвадрантI	КвадрантII	КвадрантIII	КвадрантIV	Сумма
	1,7909	1,0632	0,6276	0,5420	4,0237
	3,8525	1,5796	0,8095	1,4623	7,7039
	391	473	401	454	1719

На рис.12,а приведена единая карта для территорий всех четырех качеств, при этом территории первого квадранта окрашены в зеленый цвет, территории второго квадранта -- в синий, территории третьего квадранта -- в фиолетовый и, наконец, территории четвертого -- в желтый.

Рассмотрим более подробно карту, на которой изображена государственная граница РФ (на 2008 г.), а также территории, классифицируемые согласно рис.10. Результат приведен на рис.12,б. Из рис.12,б отчетливо видно, что практически вся территория РФ окрашена в синий цвет, т.к. она относится к категории “невысоко-неблагоприятно”. Небольшой фрагмент территорий первой категории “невысоко-благоприятно” (окрашены в зеленый цвет) расположен на западе страны.

Подсчитаем так называемый “индекс разнообразия территорий”,для всех стран и территорий, перечень которых рассмотрен ранее в разделе №3. Для этого определим понятие “индекс территории”,, который может принимать значения из набора (1; 0,41; 0,21; 0,38), введенного выше в связи со взаимной субординацией емкостей среды обитания четырех типов территорий. Определим индекс территории для каждой из точек сетки, тогда получим матрицу,;. В разделе №3 была рассмотрена база данных за 2008 г. 246 государств и территорий, для которых найдем индексы разнообразия территорий,.

Рис.12,а. Карта совместного позиционирование территорий всех четырех квадрантов

Рис.12,б. Карта территорий всех четырех качеств с разметкой государственной границы РФ (на 2008 г.)

Индекс разнообразия произвольной территории определим в виде дисперсии значений индекса территории, т.е.

, (19)

где-- операция нахождения дисперсии,-- область занимаемая на Земной сфере-м государством или территорией,.

Индекс разнообразия территорий (19) был подсчитан для всех 246 государств и территорий. На рис.13 приведен фрагмент итоговых данных для избранного набора государств. Если, для примера сравнить индексы разнообразия территорий США и РФ, то окажется это отношение равным4. Таким образом, территория РФ приблизительно в пять раз менее разнообразна территории США. Это означает, что управление территорией США как целостностью более затратное, чем аналогичное управление территорией РФ.

В итоге исследований, представленных в этом и предыдущем разделах, выяснилось следующее. Большинство народонаселения Земли стремится проживать на территориях, относимых к категории “невысоко - благоприятно” или, иначе, ближе к линии раздела “суша - океан”. Эта половина народонаселения наиболее мобильна в социальном плане, поскольку она ориентирована на океан, точнее, на океанский трафик. Другая, более консервативная часть населения, ориентирована на сушу и, соответственно, континентальный трафик. Эти соображения воспроизводят хорошо известное в геополитике (Х.Дж. Маккиндер, К. Хаусхоффер и ряд других авторов) противопоставление двух политических доктрин, условно названных “талассакратическая” и “теллурическая”, первая из которых ориентируется на приобретение политического могущества посредством океана, а вторая -- посредством континента.



Рис.13. Значения индекса разнообразия территорий избранного набора государств

В данном разделе представлена нарезка территорий суши в терминах “(не)высоко - (не)благоприятно” (рис.12). Данная нарезка может быть рассмотрена в качестве предпосылки или рамок объяснения имеющейся конфигурации границ государств. Понятно, что в итоговом объяснении конфигурации государственных границ всегда присутствует изрядная доля предысторий становления того или иного государства (территории) в едином контексте мировой политической системы. Нас же в данном разделе интересовала унификация и классификация территорий в терминах климатических данных и рельефа.

Рассмотрим в дальнейшем иной способ нарезки территорий, в котором решающую роль играет трафик. Этот способ районирования должен органически учесть обе геополитические особенности (талассакратическая и теллурическая) управления территориями.

В начале разработаем алгоритм случайного распределения набора точек на поверхности суши с учетом плотности емкости среды обитания. В дальнейшем определим трафик между точками, затраты на трафик и соответственно определим задачу минимизации затрат на трафик путем оптимального перемещения точек, выступающих в качестве логистических узлов между территориями. Оптимальное положение набора узлов коммуникации плюс береговая линия определит искомые территориальные субъединицы -- геопатомы.

Случайное распределение точек на поверхности Земли

Представим интеграл в (8) в виде суммы следующим образом. Определим в пределах среды обитания на поверхности Землиточек с координатами,. Будем полагать, что все точки локализованы в пределах суши. Пусть каждой точкесоответствует некоторая область. В результате высказанных соображений глобальную емкость среды обитания (8) можно переписать в виде:

. (20)

Используя метод Монте-Карло разыграем процедуру случайного нанесенияточек в пределах суши. Разыгрывать потребуется двумерную случайную величину, содержащую компоненты широты и долготы. Учитывая предыдущие разделы, рассмотрим сетку значений широт и долгот с разрешением. В этом случае двумерная случайная величинабудет принимать набор значений,;. Матрицу распределенияслучайной величинызапишем в виде:

, (21)

где;.

Если просуммировать матрицу (21) по строкам и столбцам, найдем ряды распределения по широте,и долготе,, т.е.

. (22)

Рис.14. Ряды распределения компонент широты (левый график) и долготы (правый график) случайного двумерного вектора z

Построим ряды распределений (22). Для этого подставим в (21) плотность емкости среды согласно формуле (3) с параметрами из пункта №5 таблицы №1. Результат приведен на рис.14.

Изучение левого графика на рис.14 подтверждает ожидания о том, что вероятность к полюсам должна понижаться при случайном разыгрывании компоненты широты случайного вектора. С учетом вида плотности емкости среды (3) понятно, что компоненты случайного векторане являются независимыми. По этой причине для разыгрывания каждой из компонент необходимо знать одну из двух условных матриц вероятностей вида:

, (23)



где;.

Рассмотрим процедуру разыгрывания каждой из компонент векторав отдельности. С учетом (22) случайные величиныипринимают значенияис вероятностямии, где;. Составим кумулятивные наборы вероятностей следующего вида:

. (24)

С учетом (24) разыгрывание любой из двух случайных дискретных величин,сводится к следующей процедуре. Для определенности выберем широту, для долготы процедура аналогична. Генерируем равномерно распределенное на отрезке[0;1]случайное число; находим номер интервала из набора,, …,, в который попадает случайное число. Обозначим полученный номер выражением, тогда разыгранное значение случайной величинысоставит.

Вернемся к разыгрыванию двумерной случайной величины. Пусть, например, разыграна широта и получено значение. Надо разыграть долготу при известной широте, т.е. необходимо воспользоваться условной вероятностьюиз (23), когда. Другими словами, задача сводится к разыгрыванию условной дискретной случайной величины, принимающей значенияс вероятностями, …,. Применим процедуру, аналогичную при разыгрывании широты, т.е. найдем соответствующие кумулятивные наборы, сгенерируем равномерно распределенное на отрезке[0;1]случайное числои определим номер интервала, в который попадает случайное число.

В итоге изложенного выше алгоритма, завершается процедура разыгрывания двумерной случайной величины, т.е. находится пара, генерация которых может быть продолжена без ограничений. В конкретных расчетах алгоритм был несколько иной. Пусть генерируетсяпар значений,. Для четных значенийразыгрывалась вначале широта, а затем с помощью условной вероятности разыгрывалась долгота и, наоборот, при нечетномразыгрывалась вначале долгота, а затем с помощью условной вероятности разыгрывалась широта.

На рис.15 приведен итог применения, изложенного выше алгоритма в виде одной из версий случайного нанесенияточек в пределах суши с учетом плотности емкости среды обитания.

Рис.15. Случайное распределениеточек с учетом плотности емкости среды обитания

Трафик между территориями

Учтем наличие корреспонденций или трафика между парой территорий с номерамии(). В предыдущем разделе был разработан алгоритм случайного распределенияточек на поверхности Земли с учетом плотности емкости среды обитания. С каждой из точек свяжем определенную территорию, которая будет обладать соответствующей емкостью среды обитания,. В качестве таких территорий возьмем многоугольники Вороного для конечного набора точек,на поверхности Земли. Наборточек можно истолковать в том числе и в качестве логистических узлов по транспортировке части емкости среды обитания между территориями.

На рис.16 приведен пример распределения методом Монте-Карлоточек на поверхности Земли с учетом процедуры (21) -- (24). Там же с учетом береговой линии и полюсов нанесены соответствующие многоугольники Вороного. При построении многоугольников Вороного в координатах “широта - долгота” имела место особенность, связанная с полюсами. Вводились дополнительно четыре “фиктивные” точки:,,,, где. В расчетах параметрвыбирался, равным 5. Далее находились многоугольники Вороного по расширенному набору точек,. В рамках данной процедуры гарантировано конечные многоугольники Вороного включали береговую линию, а неограниченные многоугольники были вынесены в фиктивную область.



Рис.16. Карта поверхности Земли со случайным набором точек в пределах суши и многоугольниками Вороного

В начале определим трафик, сопровождение которого беззатратно. Определим матрицу,, элементы которой характеризуют передачу доли-й емкости среды обитания в-ю емкость среды обитания в связи с трафиком. Матрица,выступает в качестве меры обмены емкостью среды обитания между набором точек,на поверхности Земли. Согласно определению следует, что

, (25)

где-- доля-й емкости среды обитания не подверженная трафику, т.е. это та доля, которая остается внутри-й территории. Набор емкостей среды обитания,выступает в качестве некоторого ресурса, который в контексте трафика считается универсальным и аддитивным.

Найдем количество емкости среды обитания,покинувшее вследствие трафика-ю территорию и соответствующее количество емкости среды обитания,прибывшее в-ю территорию, тогда

. (26)

Принимая во внимание (25), непосредственной проверкой можно установить, что имеет место баланс прихода и ухода емкости среды обитания,, т.е. вследствие беззатратного трафика сколько уходит столько и приходит.

Пусть теперь при перемещении части емкости среды обитания из пунктав пунктдоля ресурсавследствие трафика теряется, считаем при этом, что. Полагаем, что в пределах логистического пункта затраты отсутствуют, т.е.. Матрицуназовем матрицей затрат на транспорт. С учетом (26) составим функционал,всех транспортных затрат:

. (27)

Смысл транспортного функционала (27) прозрачен: при перемещении ресурса из пунктав пунктчасть его в количестверасходуется, аналогично при перемещении ресурса из пунктав пунктчасть ресурса в количестветакже расходуется. Транспортный функционал (27) можно несколько упростить, учитывая, что первая и вторая двойные суммы совпадают, это видно после переобозначения индексов, т.е.

.



В связи с формулойможно поставить оптимизационную задачу о минимизации затрат на корреспонденциипутем подходящего смещения точекв пределах суши. Понятно, что в качестве глобального минимума затрат на транспорт выступает нулевое значение, когда. В математическом виде задача минимизации сводится к поиску набора точек, который, быть может не единственен, при котором реализуется один из локальных минимумов издержек на трафик, т.е.

. (28)

Для дальнейшего продвижения в решении задачи оптимизации (28) необходимы дополнительные уточнения вида матриц. Привлечем к рассмотрению хорошо известную в теории транспортных потоков так называемую гравитационную модель[8,9], в которой вводится некоторое обобщенное “расстояние”() между-й и-й территориями. Отметим, что матрица расстояний,, вообще говоря, не является симметричной, т.е., тогда как по определению считается, что,. Отметим, что из условияне обязательно следует, что точкиисовпадают в физическом пространстве.

Выберем экспоненциальную зависимость коэффициентов матрицы,от расстояния, тогда можно записать следующее представление:

, (29)

где-- некоторый неотрицательный параметр. Непосредственной проверкой можно убедиться в выполнении для матрицы,в форме (29) условия (25).

Следуя экспоненциальной зависимости матрицы,от расстояния в (29), выберем следующее простейшее представление для матрицы затрат на транспорт:

, (30)

гдеи-- некоторые постоянные неотрицательные коэффициенты. Согласно (30) призатраты на транспорт отсутствуют, т.е.. Наконец, прии приследует, что, т.е. доля затрат на транспорт становится постоянной величиной, равной. Из последнего замечания следует, что.

Подставим (29), (30) в, тогда найдем следующее выражение для суммарных затрат на транспорт:

.

Для транспортных затрат в формехарактерны следующие свойства, проверяемые непосредственно. Во-первых, когда расстояние между точками становится нулевым, т.е., затраты на транспорт отсутствуют,. Во-вторых, когда расстояние между точками стремится к бесконечности, т.е., затраты на транспорт в силу выбранных зависимостей (29), (30) также стремятся к нулю,. Отметим, что расстояние, равное нулю, либо стремящееся к бесконечности между парой точек, не означает, что точки сливаются или расходятся на бесконечность.

Рассмотрим транспортные затраты в формекак функцию параметра, т.е.. В этом случае очевидно, что. Пусть теперь, тогда. Для последнего функционала транспортных затрат очевидно, что глобальный минимум, равный нулю, достигается только в том случае, когда расстояния между точками стремятся к бесконечности. Именно последний вариант функционала будет рассмотрен в дальнейшем с точки зрения вычислительного эксперимента. В этом случае точки не смогут собраться вместе, они будут отталкиваться и заполнят максимум среды обитания, т.к. “заперты” на поверхности земной сферы.

Условие предельного переходаназовем “минимаксной транспортной доктриной”, которая расшифровывается согласно формуле: минимум транспортных издержек при максимуме заполнения емкости среды обитания.

Подставимв (28), тогда в общем случае задача минимизации транспортных издержек перепишется в виде:

. (31)

Уточним задачу минимизации (31) в упрощенном виде, когда считается, что, т.е. имеет место минимаксная транспортная доктрина минимума транспортных издержек при максимуме заполнения емкости среды обитания, тогда

.

Для определения алгоритма подсчета матрицы расстояний,выскажем ряд физических соображений об энергетических затратах по перемещению одной условной единицы веса груза из пунктав пункт. Пусть определен маршрут перемещения груза в виде линии:. В качестве аргумента параметризации линии выступает длина линии,, изменяющаяся от нуля до своего максимального значения,, равного длине маршрута, при этом считается, что,и,.

Пусть в начале маршрут движения полностью расположен на поверхности суши. В этом случае энергетика затрат на перемещение одной условной единицы веса груза складывается из трех характерных вариантов движений: 1) вертикальное перемещение груза вверх в связи особенностями рельефа; 2) вертикальное опускание груза в связи с особенностями рельефа; 3) перемещение груза по наклонной поверхности. Первые два пункта вариантов движения описывают энергетические затраты по перемещению груза “вверх - вниз”. Последний пункт характеризуется, главным образом, энергетическими затратами на преодоление трения качения в рамках таких видов транспорта, как автомобильный и железнодорожный. Пусть-- рельеф поверхности суши, тогда для выбранного маршрута перемещения условной единицы массы груза можно записать функцию,.

С учетом высказанных физических соображений запишем формулу для подсчета расстояния по выбранной траектории между парой пунктови,:

, (32)

где,;,-- так называемая “единичная” функция. Неизвестные неотрицательные параметрыхарактеризуют вклад каждого из видов движений по перемещению одной условной единицы массы груза. Интегралы, входящие в (32) назовем транспортными интегралами.

Пусть теперь маршрут движения одной условной единицы массы груза лежит полностью в море, т.е. и пункты отправки, прибытия, и все прочие точки маршрута лежат на поверхности моря. В этом случае энергетические затраты по перемещению одной единицы веса условного груза морским транспортом связаны с преодолением вязкого трения. Для подсчета расстояния по выбранной траектории между парой пунктови,можно воспользоваться формулой (32). Считаем, что водный транспорт движется по горизонтальной поверхности, для которой можно считать, что. Учитывая последней интеграл в (32) и производя элементарное интегрирование, запишем соответствующий транспортный интеграл в виде: