Математическая модель геополитики

, (33)

где-- некоторый неотрицательный параметр, учитывающий усредненные особенности вязкого трения в водной среде совокупного водного транспорта.

Отметим, что произвольный маршрут между пунктом отправления и назначения можно разбить на этапы движения только по суше или только по морю. Применяя к каждому этапу либо формулу (32), либо формулу (33) и складывая полученные значения, найдем итоговое расстояние между парой пунктов. Расстояния, подсчитанные по формулам (32), (33), не являются расстояниями в обычном смысле слова. Они скорее выступают в качестве эффективных расстояний, которые всегда можно измерить, подсчитав среднюю энергию по перемещению одной условной единицы массы груза из пункта отправки в пункт назначения.

Исходя из физических соображений, оценим по порядку величины параметры. При подъеме груза по наклонной плоскости работа в части подъема выражается формулой:, гдеm-- масс груза, а-- ускорение свободного падения. Найдем удельную работу на единицу веса груза путем деления на, она равна, т.е..

Несколько иная ситуация складывается при движении груза по наклонной плоскости в случае спуска. Не совсем понятно сколько в среднем энергии обычному наземному транспорту (автомобильному и железнодорожному) требуется при спуске. Самый простой случай, считать, что требуется столько же энергии, сколько и при подъеме, тогда найдем.

Для оценки третьего параметра необходимо учесть формулу для определения трения качения. Пусть-- трение качения, а-- радиус колеса, тогда можно записать следующую формулу для работы по преодолению силы качения:. Отметим, что трение качения резины по асфальту для автотранспорта,и трение качения стали по стали для железнодорожного транспорта,можно считать равными по порядку величины, т.е.. Считаем, что средний радиус колеса совокупного автомобиля и вагона железнодорожного транспорта порядка 0,5 м. В этом случае удельная работа по перемещению единицы веса груза составит.

Подставляяи, найдем.

Перейдем к оценке численного коэффициента. Для этого рассчитаем силу сопротивлениядля типичного контейнеровоза[10]с габаритами: длина,= 157 м; ширина,= 25,4 м; осадка,= 9,22 м, водоизмещение,= 22800 т; расчетная скорость,= 19 узлов = 9,77 м/сек. Для подсчета силы трения сопротивления принято использовать формулу, где-- сложный агрегированный коэффициент сопротивления трения,-- плотность морской воды,-- смоченная поверхность корпуса корабля. Поделим силу сопротивления на вес судна, равный,-- средняя плотность массы корабля с грузом,-- объем судна, приближенно его водоизмещение,-- ускорение свободного падения. В итоге можно записать следующую оценку для искомого коэффициента:. Считаем, что,. Величину смоченной поверхности вычислим по формуле Мурагина. В итоге надем. Отметим, что в рамках нашего анализа по порядку величины удельные энергетические затраты на перемещение единицы массы груза с помощью наземного и водного транспортов совпадают.

В задаче оптимизациинабор емкостей среды обитания отдельных регионовсчитался фиксированным. Однако это не отвечает процедуре нарезки территорий с помощью многоугольников Вороного. Действительно, по мере оптимизации расположения точек, их положения будут меняться, что приведет к изменению расположения соответствующих многоугольников Вороного. По этой причине внеобходимо иметь в виду набор,i= 1,…,N, полученный в связи с текущим набором точеки тем, что, где-- емкость среды обитания в пределах суши,-- емкость среды обитания многоугольника Вороного. В итоге задачу оптимизацииследует переписать в виде:

, (34)

. (35)

Для решения задачи оптимизации (34), (35) будем применять метод простой итерации, выбирая набор,i= 1,…,Nв (34) с предыдущей итерации. Поиск минимума в (34) позволяет найти набор точекна следущей итерации, по которым определяем новый набор,и так далее. Пусть-- номер итерации,, тогда задача (34), (35) может быть переписана в виде:

,

.

Задача оптимизации,решается итеративно до тех пор, пока последовательностине сойдутся для каждого, при этом считается, что наборопределяет начальное расположение точек, а набор,соответствующий перечень емкостей среды обитания многоугольников Вороного.

Методика расчета матрицы расстояний

Для подсчета обобщенного расстояния (32), (33) между произвольной парой точек на поверхности Земли,построим в начале траекторию малого фрагмента полной окружности Земли, проходящей через заданную пару точек. Считаем, что полная окружность лежит в плоскости, проходящей через центр Земли. Другими словами, построим линию:, где-- параметр, описывающим длину фрагмента окружности. Считаем, что,и, где-- длина дуги фрагмента полной окружности Земли. Определим два единичных по длине вектора, которые указывают на пару выбранных точек,, тогда

. (36)

Пусть векторединичной длины указывает на произвольную точку полной окружности, проходящей через выбранную пару точек. Понятно, что векторлежит в плоскости, образованной векторами. Учитывая (36), после несложных преобразований, найдем

, (37)

где-- угол между парой векторов. Согласно (37) очевидно, чтои.

Учитывая (37), а также считая, что, найдем параметрическую запись полной окружности в координатах “широта - долгота”:

, (38)

.

Отметим, что формулаверна, когда. В двух других случаях: 1); 2)к выражению в (38ў) необходимо добавить и вычестьpсоответственно.

При проведении линии между парой точек согласно формулам (38),необходимо также найти ее пересечение с береговой линией для выделения тех частей траектории, которые лежат отдельно на суше и на море. Для изображения траекторий (38),необходимо различать два случай: 1); 2). В первом случае нулевой меридиан поместим в центр карты, т.е. в центре будет располагаться Атлантический океан. Во втором случае после сдвига долготыпостроим карту с центром по линии смены дат, т.е. с центром в Тихом океане.

Рис.17. Набор малых фрагментов полных окружностей, соединяющих пары точек

На рис.17 приведен пример позиционирования десяти точек на поверхности суши. Точки выбраны случайно согласно алгоритму раздела №6, т.е. с учетом плотности емкости среды обитания. Точки пронумерованы и изображены на каждой из двух карт. На рис.17 с учетом сферической геометрии построены также вселиний, соединяющих каждую пару точек. Кроме того, линии размечены в части их прохождения по суше (сплошная линия), и по морю (пунктирная линия). Согласно рис.17 некоторая часть бинарных линий позиционирована на правой карте с центром в Тихом океане.

Согласно формуле (32) для подсчета эффективного расстояния по перемещению одной условной единицы массы груза на поверхности Земли важно знать производную рельефапо маршруту, который опишем некоторой траекторией. Пусть, например, между парой точек,проложен маршрут такой, что, где-- параметр, описывающий пройденный путь от начальной точки. В этом случае очевидно, что.

В качестве маршрута между парой точек на поверхности Земной сферы выберем меньший фрагмент полной окружности, проходящей через пару точек. Подходящая траектория представлена в виде формул (38),. Осталось найти производные. После несложных выкладок получим:

, (39)

.

Опишем большой фрагмент полной окружности, проходящей через некоторую пару точек на поверхности Земли. С учетом описания малого фрагмента полной окружности (37), (38),, параметризацию большого фрагмента целесообразно произвести в два этапа: 1) для значений параметра длины дугииз диапазона, где; 2) для значений параметра длины дугииз диапазона. Уголнайдем из условия того, что долготасовпадает с меридианом смены дат, т.е.. Из решения последнего уравнения найдем, когдаи, когда, при этом

.



Рис.18. Разметка полной окружности на три фрагмента

На рис.18 приведен пример полной окружности, проходящей через пару случайно выбранных точек на поверхности Земли. Окружность поделена на три дуги: 1) малый фрагмент полной окружности помечен маркерами в виде звезд; 2) большой фрагмент полной окружности, параметризованный отрезком дугииз диапазона, где, помечен пентаграммами; 3) большой фрагмент полной окружности, параметризованный отрезком дугииз диапазонаи помечен гексаграммами. Каждая из дуг отмечена соответствующим углом. Стрелка, отделяющая пентаграммы и гексаграммы, обозначает линию смены дат. После объединения второго и третьего фрагментов дуг получим большой фрагмент полной окружности.

Введем матрицу расстояний между всеми парами точек.

Определим подобные матрицы расстояний, найденные для малых и большихфрагментов дуг соответствующих полных окружностей.

Учитывая решение задачи минимизации затрат на трафик, положим, что искомая матрица расстоянийявляется поэлементным минимумом пары матриц расстоянийи, т.е.

.

Проведем вычислительный эксперимент по оценке среднего значения транспортных интегралов в формулах (32), (33). Для подсчета транспортных интегралов нам необходимы частные производныеи, которые вычислим с помощью конечных разностей в форме (17), (18) с разрешением рельефа; а также обыкновенные производныеи, которые найдем согласно (39),. В остальном фрагмент полной окружности, соединяющий пару точек, делился на части, проходящие отдельно по суше и по морю. Для каждой части строилась конечно-разностная сетка с числом точек, равной величине, где-- функция целой части числа, а парыиобозначают начало и конец (в градусах), рассматриваемой части. В дальнейшем в ряде случаев в целях экономии вычислительных ресурсов параметр 0,25 заменялся на 0,125. В итоге для каждой пары точек из общего числавычислим транспортные интегралы и найдем средние значения из каждого набора.



Таблица №7.Усредненные значения транспортных интегралов

В таблице №7 приведен итог вычислительного эксперимента в формате, когда случайно согласно алгоритму раздела №6 выбиралосьточек и вычислялась матрица. Черта сверху во второй строке таблице №7 обозначает операцию усреднения. С учетом оценок из предыдущего разделаследует, что каждое слагаемое в (32), (33) с точки зрения средних значений вносит сравнимый вклад.

В итоге остановимся на выборе значений параметров.

Согласно определению в (32), (33) и таблице №7 интегралы берутся по маршруту, соединяющему пару точек на поверхности Земли. Поскольку все маршруты располагаются на одном из фрагментов полных окружностей, транспортные интегралы можно приближенно считать пропорциональными длине дуги. С этой точки зрения в среднем можно полагать, что матрица расстоянийсовпадает с матрицей расстояний, найденной для малых фрагментов полных окружностей, т.е. считаем в дальнейшем, что.

Алгоритм минимизации транспортных издержек

Вернемся к задаче оптимизации транспортных издержек в формес учетом: 1) особенностей геометрии “суша - море” и 2) вычислительной трудоемкости подсчета функционала транспортных издержеки, в особенности, его частных производных по. Пусть на предыдущем шаге итерационной процедуры по формулам (35ў) подсчитаны объемы емкостей среды обитания, что позволяет определить функционал транспортных издержекв рамках текущей итерации.

Для поиска минимума функциирассмотрим несколько модифицированную схему градиентного спуска. Запишем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

, (40)

где-- некоторый вспомогательный аргумент,,;;,-- так называемая “знаковая” функция, а наборы неотрицательных коэффициентовиопределим ниже.

Заменим обыкновенные производные в (40) на конечные разности, тогда

, (41)

где-- конечные приращения функций, а-- конечное приращение аргумента.

С учетом (41) запишем алгоритм перехода от текущих значений функцийпри значении аргументак новым значениям функцийпри значении аргумента, а именно

,

где. Если после пересчета согласно алгоритмуодна или несколько точек выходят за пределы суши, уменьшаем соответствующие коэффициенты из наборовитак, чтобы точки вернулись в пределы суши. В случае, если береговая линия не мешает движению точек, соответствующие значения коэффициентов полагаются равными единице.

Значение параметрав (41),выбиралось из набора шаговвида:

, (42)

где,-- некоторые константы, а-- натуральные значения. Конкретные значения параметровивыбирались при проведении численных расчетов.

С учетом (41ў), (42) подсчитаем новые положения точекпо формулам:

, (43)

с шагами, а также значения функционала транспортных издержек:

. (44)

Пусть в наборе (44) при просмотре слева направо находится номер, при котором транспортные издержки становятся меньше тех, которые имели место на предыдущем шаге схемы градиентного спуска, т.е.

. (45)

В случае выполнения неравенства (45) при некоторомсчитается, что шаг градиентного спуска завершен и новые положения точек считаются равными:

. (46)

Если неравенство (45) не выполняется при всех значениях, то считается, что данный шаг процедуры градиентного спуска также завершен и новые положения точек выбираются равными:

.

Для замыкания алгоритма минимизации (40) --необходимо уточнить процедуру подсчета номерав наборе (42). Обозначим числос предыдущего шага процедуры--символом, тогда номерв наборе (42) подсчитаем по формуле:и,.

Согласно алгоритму (40) --необходимо иметь частные производные функции транспортных издержекпо координатам точек. Поскольку сделать это аналитически затруднительно, имеет смысл рассмотреть конечные разности. Введем некоторые приращения аргументови запишем следующие выражения:

, (47)

где. При этом, как и выше, будем считать, чтоNточек с координатаминаходятся в пределах суши. Если это не так варьируем приращения. С учетом (47) положим, что



. (48)

Выполняем процедуру градиентного спуска (40) -- (48) до тех пор, пока интегральные издержки на трафик понижаются. Если дальнейшее понижение трафика не удается, считаем согласно формуле, что найдены новые положения Nточек. Пересчитываем по новым значениям Nточек объемы емкостей среды обитаниясоответствующих многоугольников Вороного. Переходим к следующему шагу, т.е. к оптимизационной процедуре (40) -- (48).

Невозможность дальнейшего понижения трафика означает, что шаг градиентного спускастановится минимальным и равным, а доля вариации затрат на трафик за один шаг градиентного спуска периодически меняет знак так, что интегральные затраты на трафик колеблются возле некоторого постоянного значения.

В процедуре градиентного спуска (40) -- (48) с целью понижения вариабельности при конечно-разностном подсчете производных транспортных издержек (47), (48), было проведено сглаживание рельефа с помощью процедуры скользящих средних. Усреднение проводилось по ближайшим соседям в области квадратной формы в координатах “широта - долгота” с числом точек, при этом исходная матрица рельефа имела разрешениеи была представлена в форме матрицы размером.

Для исходной оценки параметра, входящего в формулы, (34),, будем исходить из приближенной оценки доли транспортных затрат в мировом ВВП в диапазоне от 4% до 15% в зависимости от развитости транспортной инфраструктуры. В расчетах будем полагать эту долю, равной приблизительно 10%.

Параметроценим, исходя из формулы, полагая, что затраты на трафик составляют некоторую долюот всей емкости среды обитания, т.е.

. (49)

Считая заданными: константу, набор, матрицуи долюрешим уравнение (50) и найдем коэффициент, который должен обеспечить на финальной стадии процесса минимизации,долю трафика от всей емкости среды обитания в окрестности 10%.

Рис.19,а. Зависимость затрат на транспорт от параметра

Рис.19,б. Многоугольники Вороного для начального распределения cточек

На рис.19,а согласно (49) построен типичный пример графика функциипри. Пентаграммой на графике отмечено значение параметра, которое получено путем решения уравнения (49) при. Матрица расстоянийбыла подсчитана по случайному набору точек, полученному согласно алгоритму раздела №6. На рис.19,б приведены позиции случайного начального распределение точек (обозначены центрами маркеров в виде окружностей o) на поверхности Земли, а также соответствующие многоугольники Вороного.

На рис.20,а,б приведена динамика зависимости транспортных затрат от номера шага градиентного спуска согласно процедуре (40) -- (48) с параметрами:,,для двух наборов точек числом 36 и 72 соответственно.

Рис.20,а. Динамика зависимости транспортных затрат от номера шага градиентного спуска дляточек

Рис.20,б. Динамика зависимости транспортных затрат от номера шага градиентного спускаточек



Для 36 точек в целом было осуществлено 26 шагов процедуры (40) -- (48), затраты на трафик при этом уменьшились на 5,7% по сравнению с исходным значением. Окружностями на рис.20,а,б обозначены значения транспортных затрат после каждого шага процедуры градиентного спуска. Итоговая доля затрат на трафик для 36 точек по отношению ко всей емкости среды обитания составила 10,4%. В течение всего расчета один раз пересчитывался набор емкостей среды обитания. На рис.20,а,б места пересчета обозначены стрелками. На завершающей стадии расчетов на рис.20,а,б виден выход значений трафика на некоторое плато.

На рис.21 приведен итог расчета положенийточек после применения процедуры оптимизации затрат на транспорт (40) -- (48) и одного пересчета набора емкостей среды обитания, ассоциированных с каждой из точек. Первоначально точки выбирались случайно согласно алгоритму (21) -- (24), они помечены центрами маркеров в виде синих окружностей (o) на рис.19,б и на рис.21. После применения процедуры оптимизации,, (40) -- (48) положение точек помечено маркерами в виде пентаграмм. Максимумы смещений составилиипо широте и долготе соответственно.

На карте рис.21 маркерами в виде крестиковпомечены крупнейшие города (координаты городов взяты из базы данных, содержащейся в Matlab Mapping Toolbox) на Земле в количестве 318. Отмечены названия 7-и городов, координаты которых были наиболее близки к итоговым позициямточек. С учетом (38),в качестве критерия отбора городов выбиралось условие того, что угловое расстояниемежду парой точек,было меньше одного градуса, т.е., где-- координаты одного из городов из набора, а-- одна из позиций, обозначенных маркерами в виде пентаграмм.



Рис.21. Итог оптимизации затрат на транспорт дляточек, вначале случайно позиционированных на поверхности Земли

Рис.22. Итог оптимизации затрат на транспорт дляточек, вначале случайно позиционированных на поверхности Земли

Дальнейшая апробация алгоритма оптимизации транспортных затрат,(40) -- (48) была проведена после удвоения числа точек, т.е. при. На рис.20,б приведена динамика зависимости транспортных затрат от номера шага градиентного спуска. Всего было проведено 88 шагов градиентного спуска (40) -- (48) и четыре пересчета набора емкостей среды обитания по формуле. Иные параметры процедуры составили следующие значения:;;;;;. После проведения процедуры оптимизации затраты на трафик уменьшились на 24,6%, доля трафика по отношению ко всей емкости среды обитания составила 8,3%.

На рис.22 приведен итог оптимального позиционированияточек. Начальные позиции точек обозначены маркерами в виде голубых окружностей (o), центры положения которых выбраны случайно согласно алгоритму (21) -- (24). Финальные, оптимальные положения точек обозначены маркерами в виде пентаграмм. Максимальная вариабельность позиций точек по широте и долготе не превысила значенийисоответственно. Отмечены названия 10-и городов, координаты которых были в пределах одного углового градуса к итоговым позициямточек. На карте рис.22 стрелками соединены начальные и конечные после процедуры оптимизации позиции точек, угловое расстояние между которыми превысило значение.

Сравнивая рис.21 и рис.22 можно отметить следующее. Оптимальные положения точек (маркеры в виде пентаграмм) стремятся заполнить всю емкость среды обитания, т.е. стремятся распределиться по возможности равномерно на поверхности Земли с учетом неравномерной плотности емкости среды обитания. Таким образом, расчеты оптимального позиционирования точек, приведенные на рис.21,22, подтверждают реализацию минимаксной транспортной доктрины.

Геополитическая классификация точек и территорий

Перейдем к задаче идентификации позиционирования набора точек в пределах суши в терминах морского или континентального типов. Для этого определим процентное соотношение “моря - континент” в глобальном трафике, SeaContinent. Учитывая формулы для транспортных интегралов (32), (33), запишем следующее соотношение:

, (50)

гдеи-- суммарные части расстояний, проходящих по морю и суше для пары точек с номерамии.

Процентное соотношение (50) нормировано следующим образом. Пусть суммы расстояний, проходящих по морю равны нулю, т.е., тогда процентное соотношение равно 100%, т.е.. В этом случае можно говорить о чисто морском типе трафика. С точки зрения затрат на транспорт условие равенства нулю части обобщенного расстояния означает, что затраты на транспорт на этом участке отсутствуют.

В случае, когда суммы расстояний, проходящих по суше равны нулю, т.е., процентное соотношение равно нулю, т.е.. В данном случае имеем дело с чисто континентальным типом трафика. Аналогично процентному соотношению (50), нормированному на морской тип трафика, можно ввести процентное соотношение,

,

нормированное на континентальный тип трафика.

Процентные соотношения (50),можно изменять двумя способами. Во-первых, варьируя параметры, которые характеризуют транспортные интегралы (32), (33). Во-вторых, путем вариации позиций точек в связи с процедурой оптимизации затрат на трафик. Оптимизационная процедура трафика была рассмотрена в предыдущем разделе.

Перепишем процентное соотношение (50) с явным выделением параметров. Для этого введем обозначения для четырех транспортных интегралов,, входящих в (32), (33), т.е.

,,,. (51)

Представим процентное соотношение (50) с учетом транспортных интегралов (51), тогда

, (52)

где, а---й транспортный интеграл между парой точеки.

В таблице №8 приведены результаты подсчета процентного соотношения (50) для числа точекисоответственно. В десяти вычислительных экспериментах позиции точек были сгенерированы случайно согласно процедуре раздела №6.

Таблица №8.Результаты подсчета процентного соотношения “море - континент” для случайно позиционированных точек, когда,,,

	№1	№2	№3	№4	№5
	89,9%	85,0%	63,0%	69,9%	73,9%
	69,8%	68,7%	68,2%	69,0%	68,0%

Из анализа значений процентного соотношения по таблице №8 вытекают следующие выводы. Во-первых, при выбранных значениях параметровимеем дело преимущественно с морским типом трафика (). Это не удивительно, т.к. поверхность Земли, как известно, подразделяется на сушу и море в отношении 29,2% и 70,8% соответственно. Во-вторых, уже при числе точек, превышающих, вариабельность процентного соотношения резко снижается. Это означает, что, если не принимать в расчет специально подобранную геометрию позиционирования точек, то процентное соотношение можно значительно изменить только за счет вариации параметров.

В дополнение к таблице №8 рассмотрим случай, когда. В качестве набора точек рассмотрим, упомянутую в предыдущем разделе базу данных по 318-и крупнейшим городам Земли. После подсчета для них процентного соотношения (50) с параметрами,,,оказалось, что оно равно 73,17%. Полученное значение несколько выше современной оценки доли морского транспорта в глобальном трафике, равной 2/3. Изменим параметртак, чтобы обеспечить процентное соотношение равным 2/3 или 66,67%. Для этого выразим из уравнения (52) параметрчерез три другие параметра, тогда

. (53)

После подстановки в (53) для выбранных значенийточек-городов, а также найденных с помощью вычислительного эксперимента величин:;;;, получим

.



Подставляя в,,, найдем модифицированное значение параметра, которое обеспечивает процентное соотношение, равным 66,67% (до процедуры минимизации транспортных затрат).

По аналогии с (50) сконструируем процентное соотношение для каждой точки из некоторого набора. Учитывая, что матрицыи,вообще говоря не являются симметричными, составим следующее процентное соотношение:

, (54)

где. Процентное соотношение (54) позволяет оценить соотношение “море - континент” применительно к каждой точке из заданного набора.

С учетом определения в (54) классифицируем 318 точек - городов в терминах предпочтений “море - континент”. После оценки в (53),глобального процентного соотношения, равного 66,67%, стало понятно, что это значение выступает в качестве разделителя предпочтений в связке “море - континент”. Другими словами, если для некоторой-ой точки, то данное обстоятельство истолкуем в том смысле, что-я точка ориентирована на море. И, наоборот, если некоторая-я точка такова, что, то это будет означать, что-я точка ориентирована на континент. Слово “ориентация” истолкуем в смысле геополитического противостояния, т.е. “море” стремится к власти над “континентом” и, наоборот, “континент” стремится овладеть “морем”.

Отметим следующее важное обстоятельство в вопросе противостояния моря и континента. Если некоторая-я точка ориентирована на море, то это означает, что она укоренена в континенте или, иначе, позиционирована континентально. И, наоборот, если-я точка ориентирована на континент, то это означает, что она укоренена в море или, иначе, имеет морское позиционирование. Таким образом, каждая точка (соответствующая территория) имеет два атрибута: 1) ориентацию и 2) позиционирование. С точки зрения геополитики оба атрибута применительно к каждой точке имеют противоположные наименования в терминах “море - континент”. Это означает, что если имеет место морская ориентация, то позиционирование -- континентальное и, наоборот. Атрибут “ориентация” характеризуется процентным соотношением; атрибут “позиционирование” -- процентным соотношением. Эти вербальные формулы следует понимать в метафорическом смысле, т.к. все точки, имеющие как морской, так и континентальный тип ориентации, базируются на суше.

Рис.23. Классификация 318-точек - городов в терминах ориентации на море (синий цвет) и континент (коричневый цвет) соответственно

На рис.23 приведен итог вычислительного эксперимента по подсчету процентных соотношений (54) для каждой из 318-и точек - городов. При вычислении транспортных интегралов выбирались следующие значения параметров:,,,. На рис.23 приведена карта-классификация 318-и точек - городов в терминах их ориентации, либо на море, либо на континент. Точки - города помечены маркерами в виде пентаграмм, окруженных подходящими многоугольниками Вороного. Города и регионы, ориентированные на море помечены синим цветом; города и регионы, помеченные коричневым цветом, ориентированы на континент.

Согласно карте рис.23 существует огромное скопление регионов, помеченный синим цветом, которые ориентированы на море. Данное скопление назовем “Континент”, он состоит из Европы, Азии, Северной и Экваториальной Африк, а также из небольшого фрагмента в Северной Америке. Континент окружен множеством разбросанных территорий, которые состоят из почти всей Северной Америки, Южной Америки, Южной Африки, Австралии, Новой Зеландии и Океании. К этой же группе необходимо также отнести и Антарктиду. Все эти регионы ориентированы на континент, т.е. они имеют морское позиционирование. В этой связи назовем всю совокупность территорий, имеющих морское позиционирование “Морем”.

На рис.24,а,б приведены отдельные фрагменты карты рис.23, на которых выделены два особых случая смешения территорий с противоположной ориентацией. На рис.24,а приведена Северная Америка, в которой все территории ориентированы на Континент кроме шести. К этим шести относятся территории, ассоциированные с такими городами, как Анкоридж (69,1%), Ванкувер (67,8%), Сиэтл (67,5%), Портленд (67,1%), Эдмонтон (69,3%) и Денвер (67,9%). На рис.24,б приведена Европа и Северная Африка, в которой все территории ориентированы на море кроме четырех. К этим четырем относятся территории, ассоциированные с такими городами, как Дублин (64,8%), Глазго (64,8%), Эдинбург (64,6%) и Триполи (66,66%). Значение процентного соотношения 66,66% для Триполи незначительно меньше порогового значения 66,67%, т.е. территория, ассоциированная с Триполи, является пограничной между двумя противоположными ориентациями.

Рис.24,а. Смешение территорий противоположной ориентации в Северной Америке

Рис.24,б. Смешение территорий противоположной ориентации в Англии и Северной Африке

Отметим, что все, перечисленные выше, ориентации (на море, на континент) территорий следует трактовать с точки зрения геополитики. Вердикт о той или иной ориентации города (территории) получен путем вычисления процентного соотношения (54), которое сравнивалось с глобальным процентным соотношением, равным 66,67%.

Сравним суммарную емкость среды обитания территорий, ориентированных на море,, с суммарной емкостью среды обитания территорий, ориентированных на континент,. Указанные величины подсчитаем по формулам:

,, (55)

где-- емкости среды обитания каждого из 318-и многоугольников Вороного, внешний вид которых приведен на рис.23,24. В суммах (55) учитывались лишь те слагаемые, процентные соотношения которых удовлетворяли соответствующим неравенствам.

После подсчета величин (55) оказалось, что,, где-- глобальная емкость среды обитания. Таким образом, потенциал геополитического противостояния между территориями, ориентированными на море и континент находятся в пропорции 51,73% к 48,27%, т.е. приблизительно поровну.

Построим аналоги скоплений территорий под называнием “Хартленд” и “Римленд”. Эти понятия характерны для классической геополитики, они введены в первой половине ХХ века Х.Дж. Маккиндером и Н. Спикменом соответственно. Определим также место, где проходит пресловутая географическая “ось” истории.

Согласно рис.23 континентально позиционированные территории (соответствующие многоугольники Вороного) определяются из условия того, что индивидуальное процентное соотношение больше 66,67%. Пусть таких территорий. Найдем среди этих территорий среднее значение процентного соотношения,по следующей формуле:

. (56)

Наличие среднего процентного соотношения, вычисленного согласно (56), позволяет разделить территории на две категории, у которых индивидуальные процентные соотношения находятся в двух диапазонах:и. Территории, попадающие в первый диапазон, отнесем к Римленду, а во второй диапазон -- к Хартленду.

В качестве кандидатов на географическое место “оси” истории с помощью средневзвешенного среднего определим две точки. В качестве весов будут выступать соответствующие значения емкостей среды обитания каждой из территорий.

Первая точка выступает в качестве центра “тяжести” для всех территорий, ориентированных на море или континентально позиционированных. Позициюэтой точки найдем согласно формулам:

,. (57)

Вторая точка выступает в качестве центра тяжести для всех территорий, относимых к Хартленду. Позициюэтой точки найдем согласно формулам:

,. (58)

Рис.25. Позиционирование Хартленда, Римленда и пары географических “осей” истории



В рамках изложенных выше модельных соображений, построим карту с Римлендом, Хартлендом и парой точек (57), (58), претендентов на географическую “ось” истории. На рис.25 приведен итог. Черным цветом выделены территории, относимые к Харленду, красным цветом выделены территории, относимые к Римленду.

Оказалось, что разделителем территорий на Римленд и Хартленд выступает значение процентного соотношения, равного 73,7%, т.к.. При этом в Харленд попало 83 территории, а в Римленд -- 119, итого. В терминах емкости среды обитания доли Хартленда и Римленда в Континенте составили 47,52% и 52,48% соответственно.

Наконец были вычислены и нанесены на карту (два маркера в виде ромбов) две точки обозначающие географические “оси” истории. Более крупный ромб обозначает точку с координатами,, которые соответствуют гор. Кербела в Ираке. Менее крупный ромб обозначает точку с координатами,, которые соответствуют безымянной позиции в Синьцзян-Уйгурском автономном районе Китая.

В силу важности с точки зрения геополитики понятий “Хартленд” и “Римленд”, определим внутри Хартленд и Римленд подразделение на две группы регионов относительно соответствующих средних значений процентных соотношений. Другими словами, разделим Харленд на Хартленд 1 и Хартленд 2 и, аналогично, Римленд на Римленд 1 и Римленд 2.

На рис.26 приведена карта, на которой построено искомое подразделение на два Хартленда, причем Хартленд 1 имеет более высокое значение процентного соотношения, чем Хартленд 2. На карте границы территорий, относимых к категории Хартленд 1 окрашены в черный цвет, границы территорий, относимых к категории Хартленд 2 окрашены в темно-красный цвет.



Рис.26. Подразделение Хартленда на Хартленд 1 и Хартленд 2

Изучение карты рис.26 приводит к неожиданным для классической геополитики выводам. Внутри Континента имеется компактное ядро, названное Хартленд 1, которое окружено поясом, названным Хартленд 2. К Хартленду 1 можно отнести Центральную Азию, Тибет, большую часть Китая, часть РФ.

Рис.27. Подразделение Римленда на Римленд 1 и Римленд 2

На рис.27 приведена карта, на которой построено искомое подразделение на два Римленда, причем Римленд 1 имеет более высокое значение процентного соотношения, чем Римленд 2. На карте границы территорий, относимых к категории Римленд 1 окрашены в красный цвет, границы территорий, относимых к категории Римленд 2 окрашены в пурпурный (magenta) цвет.

Изучение карты рис.27 говорит о сильной неодносвязности, как Римленд 1, так и Римленд 2. В Римленд 1 можно обнаружить два крупных, компактных скопления, это Центральная Европа и Центральная Африка.

Осталось более подробно изучить внутреннюю структуру территорий, ориентированных на континент, т.е. позиционированных, как морские. Для этих территорий индивидуальное процентное соотношение меньше или равно 66,67%. Поделим эти территории на два класса относительно соответствующего среднего значения процентных соотношений. Назовем эти два класса территорий “Римленд 3” и “Римленд 4”. При этом процентные соотношения территорий Римленда 3 больше процентных соотношений Римленда 4.

На рис.28 приведена карта, на которой построено искомое подразделение на два класса: Римленд 3 и Римленд 4. На карте границы территорий, относимых к категории Римленд 3 окрашены в красный цвет, границы территорий, относимых к категории Римленд 4 окрашены в пурпурный (magenta) цвет.

Обращает на себя внимание на карте рис.28 отнесение США, большей части Канады, средней части Южной Америки, а также Южной Африки к Римленду 3. Наконец, центральная Америка, юг Южной Америки, Австралия и большая часть Антарктики входят в Римленд 4.



Рис.28. Позиционирование территорий, относимых к классам Римленд 3 и Римленд 4

Найдем пару территорий из нашего перечня, которые отвечают максимальному и минимальному значениям процентного соотношения. На рис.29 приведен результат. На рис.29,а приведен город Ланьчжоу (Lanzhou) и соответствующая территория, которые имеют максимальное значение процентного соотношения, равного 82,84%. На рис.29,б приведен город Окленд (Auckland) и соответствующая территория, которые имеют минимальное процентное соотношение, равное 39,15%. Данные города и территории из выбранного перечня максимально удалены друг от друга в геополитическом смысле слова, при этом гор. Ланьчжоу находится в Хартленд 1, а гор. Окленд -- в Римленд 4.



Рис.29,а. Позиционирование точки и территории, имеющей максимальное значение процентного соотношения

Рис.29,б. Позиционирование точки и территории, имеющей минимальное значение процентного соотношения

Соберем вместе нашу классификацию точек и территорий в терминах геополитики. Итог представлен в виде таблицы №9.

В таблице №9 собрана номенклатура 6 классов точек и территорий, названных в терминах геополитики. Приведены интервалы значений процентного соотношения точек (территорий), который характеризуют тот или иной класс. В последней строке таблицы №9 приведены емкости среды обитания каждого из классов, а также сумма всех частных емкостей, равная глобальной емкости среды обитания.



Таблица №9.Итоговая геополитическая классификация точек и территорий

Номенклатура классов	Море	Континент
		Римленд	Хартленд
	Римленд 4	Римленд 3	Римленд 2	Римленд 1	Хартленд 2	Хартленд 1
SeaContinent, %
	1,5865	2,1010	0,9404	1,1339	0,9538	0,9244

С учетом таблицы №9 построим карту, на которой проведем геополитические линии, отделяющие Хартленд 1, Хартленд 2, Римленд 1, Римленд 2, Римленд 3, Римленд 4. Другими словами, построим карту представляющую геополитическое строение поверхности Земли согласно данной модели. Итог приведен на рис.30.

Совместим карту геополитического строения Земли, приведенную на рис.30, с текущей политической картой мира. Это позволит построить перечень государств, через территорию которых проходят те или иные геополитических линии. Эти линии можно будет трактовать в качестве “разломов” с учетом всей текущей и, быть может, прошлой истории отдельного государства данного перечня. Поскольку на одной карте совместить все эти линии крайне затруднительно рассмотрим некоторые фрагменты глобальной карты.



Рис.30. Геополитическое строение поверхности земли

Построим отдельно Хартленд плюс государственные границы ассоциированных стран. На рис.31 приведен итог. После изучения данной карты можно заключить следующее. Россия практически полностью входит в Хартленд, точнее в Хартленд 2, есть лишь небольшие пересечения с Римлендом 1. Китай практически полностью входит в Хартленд 1. Через Украину с севера на юг проходит линия, разделяющая Римленд 1 и Хартленд 2. С учетом текущих и прошлых событий на Украине можно сделать заключение, что линия, разделяющая Римленд 1 и Хартленд 2 является линией геополитического разлома. Любопытно что эта же линия пересекает и Турцию, причем в Римленде 1 оказывается где-то треть территории Турции, а в Хартленде 2 -- две трети. Эта же линия частью проходит по территории Сирии. Оказывается, что Оман относится к Хартленду 2. Та же линия разлома проходит по территории Тайланда, рассекая ее практически пополам. Оказывается, что Тайвань относится к Римленду 1. С Корейским полуостровом особенно любопытно, по нему проходят две линии: первая линия отделяет Хартленд 1 от Хартленда 2, вторая линия отделяет Хартленд 2 от Римленд 1. Отметим, что первая линия довольно близка линии разделяющей две Кореи. Наконец, что довольно любопытно, Япония практически пополам делиться линией, разделяющей Римленд 1 и Римленд 2. Данная линия не рассматривается в качестве линии геополитического разлома.

Рис.31. Хартленд плюс государственные границы ассоциированных стран

Совместим политическую карту Европы и геополитические линии, определенные на рис.30. На рис.32 приведена искомая карта.

Визуальный осмотр карты рис.32 показывает, что внутри Европы есть ядро, именуемое Римленд 1, окруженное территориями, именуемыми Римленд 2. Линия, отделяющая Римленд 1 и Римленд 2 наиболее заметно пересекает территории Франции, Германии, Польши и Финляндии. Наконец, Англия практически поровну делится между Римлендом 2 и Римлендом 3.



Рис.32. Политическая карта Европы плюс геополитическая разметка

Продолжим в принятой выше терминологии изучение вопроса о наличии (отсутствии) геополитических разломов. Обратим внимание на Африку. Соберем вместе политическую карту Африки и проведем геополитические линии, перечень которых приведен на рис.30. На рис.33 приведена итоговая карта для Африки.

Рис.33. Политическая карта Африки плюс геополитическая разметка

Общий осмотр карты рис.33 говорит о том, что государственные границы отдельных стран на африканском континенте и геополитические линии заметно не согласованы. Более подробное изучение карты показывает следующее. Сомали делится практически пополам линий отделяющей Римленд 1 и Римленд 2. С учетом прошлых и текущих внутри сомалийских обстоятельств можно считать линию, отделяющую Римленд 1 и Римленд 2 в качестве геополитического разлома. Демократическая республика Конго, Алжир, Ливийская Арабская Джамахирия объединяют территории из трех геополитических классов: Римленд 1, Римленд 2 и Римленд 3. Через Габон, Конго, Кот-д Ивуар, Гвинею, Мавританию, Египет проходит линия, отделяющая Римленд 1 и Римленд 2, а через Анголу -- Римленд 2 и Римленд 3.

В связи с анализом расположения геополитических линий на Северной и Южной Америках (рис.30) отметим, что оснований считать их геополитическими разломами пока нет. Если что-то негативное в геополитическом смысле слова и произойдет так это, по всей видимости, будет иметь отношение к линии, разделяющей Римленд 2 и Римленд 3 на северо-западе Северной Америки. Остальные геополитические линии не являются разломами в том числе и потому, что соседние территории имеют единое морское позиционирование.

Итоги оптимизации транспортных затрат

Перейдем к завершающей задаче минимизации транспортных затрат для числа точек, равного. В качестве начальных значений 318-и точек выберем положения крупнейших городов из имеющейся базы данных. Изучим вопрос о геометрии оптимального позиционирования точек в пределах суши в контексте дихотомии “море - континент”. В этой связи решим три задачи оптимального позиционирования точек:

1) чисто морской тип транспортировки грузов, когда затраты на перевозку грузов морем равны нулю,;

2) чисто континентальный тип транспортировки грузов, когда затраты на перевозку грузов по суше равны нулю,;

3) смешанный тип транспортировки грузов, когда затраты на перевозку грузов по морю и по суше сравнимы, например, следуя (52) -- (53ў), будем считать, что.

Отметим, что, с точки зрения здравого смысла, первая и вторая задачи невозможны в реальности, поскольку затраты на транспорт минимизируются, но всегда остаются ненулевыми для любого вида транспорта. Однако решение этих задач важно для осознания решения третьей задачи в терминах дихотомии “море - континент”. Согласно (52) условие обнуления затрат на транспорт морем сводится к условию, аналогично обнуление затрат на транспорт по суше сводится к условиям:.

Чтобы представить в общих чертах решения первой и второй задач, необходимо принять во внимание, введенную ранее минимаксную транспортную доктрину. Пусть транспортные затраты морем равны нулю, в этом случае необходимо представить географическую карту мира без океанов, т.е. остается только суша, в рамках которой согласно минимаксной транспортной доктрине точки максимально удаляются друг от друга с учетом неоднородности распределения плотности емкости среды обитания. Если транспортные затраты по суше равны нулю, необходимо представить географическую карту мира без континентов, тогда для позиционирования точек остается только береговая линия, по которой они равномерно распределяются с учетом неоднородности плотности емкости среды обитания. Таким образом, морской тип транспортных коммуникаций способствует продвижению точек внутрь континентов и, наоборот, континентальный тип транспортных коммуникаций продвигает точки ближе к береговой линии. Представленные выводы в краткой метафорической форме можно свести к формуле взаимопроникновения моря и суши: “мореконтинент”.

Решим первую задачу, когда считается, что затраты на перевозку грузов морем равны нулю, т.е.. На рис.34 приведен итог оптимизации 318-и точек в первой задаче. В качестве параметров процедуры оптимизации, рассмотренной в разделе №9, выбирались следующие значения:;;;;;,,,,. Первоначально позиции точек совпадали с позициями 318-и городов. Для достижения оптимума в рамках данной процедуры потребовалось 30 шагов и один пересчет емкостей среды обитания каждой из точек.

Рис.34. Итог оптимизации затрат на транспорт дляточек с процентным соотношением

На рис.34 центрами маркеров в виде синих окружностей (o) отвечены исходные позиции точек. Центры маркеров в виде пентаграмм обозначают позиции точек после минимизации транспортных затрат. В итоге процедуры оптимизации суммарные затраты на транспорт уменьшились на 39,6% и составили 6,6% от суммарной емкости среды обитания. На рис.34 названиями городов отмечены пентаграммы в количестве 13, позиции которых находились в пределахуглового расстояния от одного из городов исходного перечня. Стрелками обозначены переходы от исходных позиций к оптимальным, когда угловое расстояние превышало значение.

Изучение оптимальных позиций точек на рис.34 недвусмысленно демонстрирует передвижение точек внутрь континентов, что соответствует действию минимаксной транспортной доктрины.

Перейдем к решению второй задачи, когда считается, что затраты на перевозку грузов по суше равны нулю, т.е.. На рис.35 приведен итог оптимизации 318-и точек во второй задаче. В качестве параметров процедуры оптимизации выбирались следующие значения:;;;;;,,,,. Первоначально позиции точек совпадали с позициями 318-и городов. Для достижения оптимума в рамках данной процедуры потребовалось 40 шагов и три пересчета емкостей среды обитания каждой из точек.

На рис.35 центрами маркеров в виде синих окружностей (o) отвечены исходные позиции точек. Центры маркеров в виде пентаграмм обозначают позиции точек после минимизации транспортных затрат. В итоге процедуры оптимизации суммарные затраты на транспорт уменьшились на 9,4% и составили 16,8% от суммарной емкости среды обитания. На рис.35 названиями городов отмечены пентаграммы в количестве 57, позиции которых находились в пределахуглового расстояния от одного из городов исходного перечня.



Рис.35. Итог оптимизации затрат на транспорт дляточек с процентным соотношением

Изучение оптимальных позиций точек на рис.35 демонстрирует очевидное передвижение точек ближе к береговой линии в соответствие с действием минимаксной транспортной доктрины для данного случая. К сожалению, имеющиеся вычислительные ресурсы не позволили использовать алгоритм оптимизации предыдущего раздела при более продвинутых значениях параметров (), что обеспечило бы передвижение всех точек к береговой линии.

В контексте описания в общих чертах решений первой и второй задач становится понятным смысл решения третьей задачи, которая имеет непосредственное отношение к реальности. В случае ненулевых затрат на транспорт, как по морю, так и по суше, вид распределения точек похож на нечто среднее между морским и континентальным типами позиционирования точек первых двух задач. В качестве примера рассмотрим промежуточный тип, когда процентное соотношение выбирается равным, а транспортные параметры согласно (52) ----,,,.

На рис.36 приведен итог оптимизации затрат на транспорт дляточек, исходное расположение которых совпадало с положением крупнейших городов из имеющейся базы данных. В качестве параметров процедуры оптимизации, рассмотренной в разделе №9, выбирались следующие значения:;;;;;. Для достижения оптимума в рамках данной процедуры потребовалось 27 шагов и два пересчета емкостей среды обитания каждой из точек. На рис.36 центрами маркеров в виде синих окружностей (o) отвечены исходные позиции точек. Центры маркеров в виде пентаграмм обозначают позиции точек после минимизации транспортных затрат. В итоге процедуры оптимизации суммарные затраты на транспорт уменьшились на 7,8% и составили 10,1% от суммарной емкости среды обитания. На рис.36 названиями городов отмечены пентаграммы в количестве 31, позиции которых находились в пределахуглового расстояния от одного из городов исходного перечня.

Рис.36. Итог оптимизации затрат на транспорт дляточек с процентным соотношением



В результате решения трех упомянутых выше задач оптимального транспортного позиционирования набора точек можно сформулировать следующую общую задачу. Подобрать функционал транспортных издержек, так чтобы оптимальные позиции некоторого набора точек относительно этого функционала соответствовали реальным позициям городов, выступающих в качестве логистических центров. Имеющие у автора на текущий момент времени вычислительные ресурсы недостаточны для решения данной задачи.



Заключение

В работе построена математическая модель геополитики. В основу модели положено центральное понятие, названное “емкостью среды обитания”. Данное понятие определено и исчислено. Построена функция плотности емкости среды обитания, зависящая от распределения среднегодовой температуры и осадков на поверхности Земли. Установлена высокая корреляционная связь плотности емкости среды обитания и плотности народонаселения Земли.

Произведена развертка плотности емкости среды обитания по государствам. Среди рекордсменов в убывающей последовательности ожидаемо оказались: Россия, США, Бразилия, Китай, Австралия и т.д. Определен и изучен показатель, имеющий смыл удельной емкости среды обитания в расчете на душу населения. Произведено ранжирование стран и территорий по этому показателю. Особое внимание обращено на соотношение данных показателей отдельных стран по отношению к РФ.

Изучен вопрос о взаимоотношении плотности емкости среды обитания и рельефа. Строятся и сравниваются территории, где сосредоточено 50% народонаселения и 50% емкости среды обитания. Строятся поля градиента плотности емкости среды обитания.

Производится классификация стран и территорий в терминах “высоко невысоко” и “благоприятно - неблагоприятно”, т.е. в четырех категориях, учитывающих рельеф и плотность емкости среды обитания. Строятся карты территорий всех четырех типов. Вводится и подсчитывается индекс разнообразия отдельных территорий и государств.

Разработан алгоритм по случайному нанесению точек на поверхность суши с учетом плотности емкости среды обитания. Данный алгоритм необходим для разработки решения задачи оптимального позиционирования точек с точки зрения минимизации транспортных затрат между ними.

Формулируется математическая модель транспортных потоков между отдельными точками, выступающими в виде логистических узлов. За основу берется известная гравитационная модель и экспоненциальный тип зависимости от обобщенных расстояний между точками. Вводится минимаксная транспортная доктрина, обеспечивающая при оптимизации позиций точек минимум транспортных издержек при максимуме заполнения среды обитания с учетом неоднородного распределения плотности емкости среды обитания.

Подробно изложена методика подсчета обобщенных расстояний между точками с учетом различия участков, проходящих по суше и по морю. Данные расстояния оцениваются в терминах удельных энергетических затрат по перемещению единицы веса условного груза.

Строится и тестируется алгоритм минимизации транспортных потоков для произвольного набора точек. Данный алгоритм выступает в форме некоторой модификации процедуры градиентного спуска с учетом береговой линии и неодносвязности области определения позиций точек функционала транспортных издержек.

В рамках калькуляции глобального трафика построен специальный показатель под названием процентное соотношение “море - континент”. На основе данного показателя производится классификация точек (территорий) в геополитических терминах. Этот показатель позволил формализовать введение таких хорошо известных в геополитике понятий, как Хартленд и Римленд.

Осуществлено подразделение Хартленда на Хартленд 1 и Хартленд 2. Оказалось, что ядро Харленда именуемое Хартленд 1 состоит из Центральной Азии, Тибета, большей части Китая и части РФ. Если Хартленд и Римленд в геополитике принято относить к “Континенту”, то все остальное относят к “Морю”. Оказалось, что емкости сред обитания территорий, позиционированных в Море и в Континенте приблизительно одинаковы. Территории, позиционированные в Море, были разделены на две группы относительно среднего значения и названы Римленд 3 и Римленд 4. Выявлены города (Окленд и Ланьчжоу) из рассматриваемого перечня, состоящего из 318 городов, имеющие минимальное и максимальное значение процентного соотношения. Проведена полная классификация всех имеющихся точек - городов и соответствующих территорий из принятого перечня в терминах геополитики.