Фракталы, скейлинг и дробные операторы в радиотехнике и электронике: современное состояние и развитие

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

Фракталы, скейлинг и дробные операторы в радиотехнике и электронике: современное состояние и развитие

А.А. Потапов



Аннотация

Кратко систематизированы основные результаты теоретических и экспериментальных исследований, проводимых автором и коллективом под его руководством в Институте радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, начиная с 80-х гг. XX в., которые привели к становлению и развитию нового фундаментального научного направления "Фрактальная радиофизика и фрактальная радиоэлектроника: Проектирование фрактальных радиосистем". Показано, что фракталы, дробные операторы и скейлинг являются важным инструментом исследования, хорошо приспособленным и к запросам практики, и к абстрактным конструкциям современной математики.

Ключевые слова: фракталы, дробные операторы, обработка изображений, антенны, наноструктуры.



При изучении наук примеры не менее поучительны, чем правила.

И. Ньютон

Научная красота - это обретение неочевидной истины.

Ф. Хатчесон

Введение

Стационарные режимы и периодические движения долгое время считались единственно возможными состояниями. Однако открытия второй половины XX века кардинально изменили наше представление о характере динамических процессов. В настоящее время явно ощущается недостаточность традиционных физических моделей. Другими словами, полное описание процессов современной обработки сигналов и полей невозможно с помощью формул классической математики, полученных на основе представления сигналов в пространстве целочисленной меры и гладких функций.

Сегодня совершенно очевидно, что применение в радиофизике, радиотехнике, радиолокации, электронике и в современных информационных технологиях идей масштабной инвариантности - “скейлинга” и разделов современного функционального анализа, которые связаны с теорией множеств, теорией дробной размерности, общей топологией, геометрической теорией меры и теорией динамических систем, открывают большие потенциальные возможности и новые перспективы в обработке многомерных сигналов и в родственных научных и технических областях. В конце двадцатого века в связи с созданием Б. Мандельбротом общей концепции фракталов [1] возникла мысль о применении их в области радиофизики и радиолокации.

Начиная с 80-х гг. XX в., в работах автора и научного коллектива под его руководством активно и последовательно ищутся новые радиофизические подходы, так или иначе связанные с применением теории фракталов, детерминированного хаоса, скейлинговых эффектов и дробных операторов. Наличие в уравнениях дробной производной современными исследователями интерпретируется как отражение особого свойства процесса/системы - память или немарковость (эредитарность).

Одна из целей работы - представить кратко историю и логику развития пионерских работ в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН (Москва) - по фракталам и КГТУ (КАИ) им. А.Н. Туполева (Казань) - по дробным операторам, чтобы расставить все по своим местам и исключить неоднократное “изобретение велосипеда”. По сути дела, речь идет о новом фундаментальном направлении в радиофизике и радиоэлектронике - применение теории фракталов, теории детерминированного хаоса, теории дробной меры и скейлинговых инвариантов в задачах повышения информативности радиосистем и устройств различного назначения.

Исходя из теории фракталов и дробных операторов, автор поставил задачу найти возможные формы их применения в радиофизике, радиоэлектронике, теории управления и т.д. За 30 - летний период работы автора в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН (с 3.09.1979 г.) удалось разработать ряд “нелинейных” глав фрактальной радиофизики и фрактальной радиоэлектроники [2 - 16]. Одновременно, эти результаты открывают новые выходы этих направлений в классическую радиофизику, современную нелинейную физику колебаний и волн, а также в радиоэлектронику и показывают перспективы современных теоретических и практических применений. Обобщение результатов, изложенных в авторских работах, позволяют охватить и возникающие новые проблемы [17 - 31].

В своем изложении автор придерживается разумного компромисса между строгим и интуитивным изложениями материала. Основное внимание было уделено принципам, а не деталям, которые подробно рассмотрены в [2 - 13, 16]. Для понимания достаточно владеть основными понятиями общей теории множеств, теории размерности и теории дробных операторов. Для тех, кто не имеет соответствующей математической подготовки, изложение, вероятно, будет не слишком понятным.

Цель работы - достаточно подробное, но и вместе с тем, и компактное, изложение на избранных примерах «фрактальной техники вычислений» и «фрактального языка» для множества современных физических и прикладных задач с дальнейшим выходом на проектирование фрактальных радиосистем различного назначения (что уже с 2008 г. делается автором с коллегами из Казани). Данная работа базируется исключительно на исследованиях автора, его учеников и коллег.



1. Эволюция фрактального подхода к решению радиофизических и радиотехнических задач (1979 - 2009 гг.)

Основные принципы данного направления разрабатываются автором в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, как отмечено выше, начиная с 80-х гг. XX в., и вначале касались вопросов фильтрации сверхслабых радиосигналов и изображений при существенно негауссовских помехах [8, 14 - 16]. В наших работах (в отличие от зарубежных) с самого начала была заложена идея фрактальной цифровой обработки малоконтрастных изображений, в том числе и фракталов на фрактальном фоне.

Затем стало абсолютно ясным, что такой «фрактальный» подход пригоден и для других задач. На рис. 1 схематически показаны основные направления исследований в ИРЭ РАН и приведены сведения о начале развертывания соответствующих работ. Условно в этих исследованиях можно проследить три этапа [2 - 14, 16, 17].

На первом этапе акцент был сделан на экспериментальной проверке фрактальности различных природных и искусственных образований, что позволило применить к ним понятия дробной размерности и масштабной инвариантности, и начать разработки методов фрактальной фильтрации объектов в различных интенсивных негауссовских помехах и шумах.

Второй этап был целиком посвящен усовершенствованию созданных оригинальных алгоритмов фрактальной цифровой обработки сигналов и изображений (аэрофотосъемка (АФС) и радиолокационные изображения - РЛИ), фрактальным методам обнаружения, распознавания, повышения контрастности, т.е. фрактальной обобщенной фильтрации.

Третий этап характеризуется переходом к проектированию фрактальной элементной базы и некоторых фрактальных узлов, а в перспективе фрактальных радиосистем в целом.

Фракталы относятся к множествам с крайне нерегулярной разветвленной или изрезанной структурой. Разработанная автором классификация фракталов была в декабре 2005 г. в США одобрена Б. Мандельбротом[4] и приведена на рис. 2, где описаны их свойства при условии, что D0 - топологическая размерность пространства, в котором рассматривается фрактал с дробной размерностью D.

Рис. 1. Развитие новых методов исследований в радиофизике и радиотехнике.	Рис. 2. Классификация и морфология фрактальных множеств, разработанная автором.

Большое значение приобретает глубокая аналогия между современными задачами радиофизики и радиоэлектроники и современной флуктуационной теорией фазовых переходов и критических явлений. Как известно, в основе современной ренормгрупповой теории фазовых переходов лежит подход, базирующийся на гипотезе скейлинга, или масштабной инвариантности. Аналогичный подход удалось разработать автору для решения радиофизических и радиотехнических задач.

2. Краткий исторический обзор по теории дробного интегродифференцирования

Дробный математический анализ имеет давнюю историю и чрезвычайно богатое содержание. Прежде чем перейти к рассмотрению современных идей, рассмотрим эскизно развитие теории дробных операторов. Их физико-химическое моделирование рассмотрено далее. Вопрос, поднятый Лейбницем о дробной производной, является постоянной темой в последние более чем 300 лет. Современное состояние дробного исчисления характеризуется большим потоком публикаций, созданием журналов и ежегодным проведением международных конференций (см. например, [13, 30]).

Интерес к дробному математическому анализу возник почти одновременно с появлением классического анализа (Г. Лейбниц в письмах к Г. Лопиталю в 1695 г. при рассмотрении дифференциалов и производных порядка Ѕ высказал пророческие слова: “…Из этого парадокса со временем будут выведены полезные следствия”). Вероятно, самое раннее более или менее систематическое исследование этого вопроса относится к XIX в. и принадлежит Н. Абелю (1823), Ж. Лиувиллю (1832), Б. Риману (1847 г.) и Х. Хольмгрену (1864 г.), хотя ранее вклад внесли Л. Эйлер (1730 г.) и Ж. Лагранж (1772 г.).

Именно в своем цикле работ Ж. Лиувилль (1832 - 1835 гг.), применяя разложение функций в степенные ряды, определял “q”-ю производную путем почленного дифференцирования. Он же, в частности, дал первые практические приложения созданной им теории к решению задач математической физики. Затем Б. Риман (1847 г.) предложил иное решение на основе определенного интеграла, пригодное к степенным рядам с нецелыми показателями. Данная работа, выполненная Б. Риманом в студенческие годы, была опубликована лишь в 1876 г. (спустя 10 лет после его смерти). Конструкции Лиувилля и Римана являются основными формами дробного интегрирования. Развивая идею Лиувилля, А. Грюнвальд (1867 г.) ввел понятие дробной производной как предела разностных отношений.

Параллельно с теоретическими начинаниями разрабатывались приложения дробного анализа к решению различных задач. Одним из первых таких приложений явилось открытие Н. Абеля (1823 г.), показавшего, что решение задачи о таутохроне может быть получено путем интегрального преобразования, которое записывается как производная полуцелого порядка. Существует историческое заблуждение, что Абель решил задачу только при значении индекса, равном Ѕ. На самом деле, Абель рассмотрел решение в общем случае, и его работы сыграли огромную роль в развитии идей дробного интегродифференцирования. Заслугой Хольмгрена является рассмотрение дробного дифференцирования как операции, обратной интегрированию, и приложение данных понятий к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следует особо отметить цикл работ чл.-корр. Петербургской Академии наук (1884 г.) А.В. Летникова (1837 - 1888 г.г.) [13], который за время своей 20-летней научной деятельности разработал полную теорию дифференцирования с произвольным показателем (в настоящее время его работы преданы почти полному забвению). Работы А.В. Летникова остались почти неизвестными за рубежом. В рассматриваемый период в России за работами А.В. Летникова последовали работы Н.Я. Сонина и П.А. Некрасова. С именами этих русских ученых также связано распространение формулы Коши для аналитических функций в комплексной плоскости на нецелые значения индекса интегродифференцирования.

Признавая важность работ упомянутых выше ученых, необходимо, однако отметить, что дробное исчисление стало строгой математической теорией, только начиная с работ А.В. Летникова.

В конце XIX в. вышла содержательная работа Ж. Адамара (1892 г.), в которой на основе разложения в ряд Тейлора было рассмотрено дробное дифференцирование аналитической в круге функции по радиусу, которое носит название подхода Адамара.

В первой половине XX в. заметный вклад, как в теорию, так и в практику дробного анализа внесли Г. Харди, Г. Вейль, М. Рисс, П. Монтель, А. Маршо, Д. Литтлвуд, Я. Тамаркин, Э. Пост, С.Л. Соболев, А. Зигмунд, Б. Надь, А. Эрдейи, Х. Кобер, Ж. Коссар, и ряд других ученых. В 1915 г. Г. Харди и М. Рисс использовали дробное интегрирование для суммирования расходящихся рядов. В 1917 г. Г. Вейль определил дробное интегрирование для периодических функций в виде свертки с некоторой специальной функцией. Аналог неравенства С.Н. Бернштейна для дробных производных алгебраических многочленов на конечном отрезке дал в 1918 г. П. Монтель. В работе А. Маршо (1927 г.) была введена новая форма дробного дифференцирования, которая применима в случае функций с “плохим” поведением на бесконечности. Были введены в обиход дробные производные Маршо. В работах М. Рисса (1936, 1938, 1949 г.г.) были получены операторы типа потенциала (потенциалы Рисса), позволившие определить дробное интегрирование функций многих переменных. Для некоторых интегральных операторов и интегральных уравнений очень полезными оказались дробные интегралы Эрдейи и Кобера (1940 г.) и т.д.

Специально для радиофизиков и радиоинженеров отметим тот факт, что операционное исчисление, разработанное О. Хевисайдом (1892, 1893, 1920 гг.), оказалось важным этапом в применении обобщенных производных. Именно О. Хевисайд (1920 г.) применил дробное дифференцирование в теории линий передач. После этого другие теоретики признали преимущества такого подхода и стали развивать его в соответствии с принятыми математическими концепциями (Н. Винер, Дж. Карсон (1926 г.)). Обширная хронологическая библиография по дробному анализу приведена в [13].

Автор привел имена выдающихся ученых, внесших большой вклад на основных этапах развития дробного исчисления. Дальнейшее рассмотрение его развития не входит в нашу задачу и может составить тему для специальной книги, аналогичной [13]. Аппарат дробных производных и интегралов используется в физике, механике, химии, гидрологии, теории гравитации и др. Приложения данного математического аппарата слишком многочисленны, чтобы все их перечислять. Настало время применить его к задачам фрактальной радиофизики и фрактальной радиолокации [2, 3, 13].

3. Текстурная и фрактальная обработка изображений и фрактальное обнаружение сверхслабых сигналов в интенсивных негауссовских помехах и шумах

В монографиях [2 - 4, 8 - 13] вся математическая и физическая теория фракталов приведена автором в достаточно стройную логическую систему.



Многолетние натурные эксперименты проводились автором совместно с ЦКБ «Алмаз» и другими ведущими промышленными организациями. При этом была поставлена и решена задача расчета текстурных признаков с учетом дрейфа сигнатур при изменении времени года. Были также оптимизированы оценки влияния размера окон на точность определения текстурных признаков для изображений различных типов земных покровов. Продолжительное время работы автора в области исследования РЛИ земных покровов на ММВ с использованием текстурной информации фактически были единственными в России и не потеряли актуальность, по отзывам специалистов, и в настоящее время [16].

Анализ полученных данных позволил доказать очень важную особенность: одномерные области существования текстурных признаков РЛИ в диапазоне ММВ (множество R) почти полностью вкладываются в соответствующие области признаков АФС (множество А): RА. Таким образом, области признаков РЛИ как бы сжимаются по сравнению с областями признаков АФС. Это происходит, из-за сглаживания в РЛИ тонкой структуры текстур исследуемых покровов, характерной для АФС. Следовательно, со значительной степенью достоверности множество R можно прогнозировать по множеству A.

На основе полученных результатов нами были впервые предложены и реализованы следующие нетрадиционные и достаточно эффективные методы обнаружения сигналов при малых отношениях сигнал/фон : дисперсионный метод, метод обнаружения с помощью линейно моделированных эталонов и метод с прямым использованием ансамбля текстурных признаков [14 - 16].

Анализ полученных экспериментально обширных баз данных (более чем 30 категорий земных покровов [14 - 16] в совокупности с визуальным исследованием степени сложности изолиний амплитуд рассеянного излучения, зафиксированного на АФС и РЛИ, и привел автора к идеям введения ансамблей принципиально новых признаков, основанных на скейлинговых показателях и характеристиках дробной размерности, т.е. к фрактальным сигнатурам.

4. Отказ от гауссовских статистик в экспериментах. Тонкая структура отраженных импульсных сигналов и новый класс признаков

фрактальный скейлинг изображение сигнал помеха

Как хорошо известно, на ранних и более поздних этапах экспериментальных работ по рассеянию электромагнитных волн исследователи столкнулись с вопросами применимости гауссовских моделей. Вскоре начались многочисленные искусственные попытки создания моделей рассеяния с целью повышения хвостов вероятностных распределений амплитуд отраженных сигналов.

Продолжительное и плодотворное участие автора в многомасштабных экспериментальных работах (1979 - 1990 гг.) совместно с ведущими организациями СССР, привели его к необходимости принципиального отказа от гауссовских статистик в случае достаточно высокого разрешения радиолокаторов (см. рис. 3). Все исследования проводились автором на длинах волн л = 2,2 и 8,6 мм (активное излучение) и л = 3,5 мм (пассивное излучение) [14, 15]. Именно в физических экспериментах на длине волны 2,2 мм автором была показана в 1979 - 1980 гг. неприменимость гауссовских статистик для почти всего диапазона углов падения электромагнитного излучения.

Экспериментальные исследования периода 1979-1990 гг. позволили автору помимо решения традиционных задач рассеяния установить общие закономерности формирования тонкой структуры модулированного сигнала в диапазоне ММВ и предложить принципиально новый класс признаков, основанных на тонкой структуре модулированных сигналов, рассеянных статистически неровной поверхностью [14]. К характеристикам тонкой структуры отраженных радиолокационных сигналов автор предложил отнести: внутриимпульсные флуктуации, их статистику, корреляционные и спектральные зависимости и среднее уширение импульса, определяемое величиной, обратной полосе когерентности .

На первом этапе проводили дискретизацию увеличенных огибающих отраженных импульсов на необходимое число отчетов. Полученные данные являлись исходным материалом для определения усредненных огибающих импульсных сигналов, отраженных различными земными покровами. На втором этапе обработки были рассмотрены репрезентативные выборки внутриимпульсных амплитудных флуктуации, полученные путем вычитания дискретов средних импульсов из отсчетов мгновенных огибающих. Ввиду того, что рассматриваемые реализации огибающих относятся к периодически нестационарным случайным процессам, необходимо было провести исследования на стационарность внутриимпульсных амплитудных флуктуации. Контроль стационарности проводился методами непараметрической статистики.

Стационарность процессов оценивалась с помощью рангового критерия Вилкоксона. Асимптотическая эффективность этого критерия по сравнению с критерием Стьюдента равна 3/р. Кроме того, данный критерий применим к выборкам малого объема. Выяснилось, что для всех типов земных покровов соблюдается стационарность внутриимпульсных и внутрипериодных флуктуации по среднему и по форме распределения с доверительной вероятностью Рд =0,95. Показано, что функции распределения внутриимпульсных амплитудных флуктуаций р(n) отраженных импульсов в диапазоне ММВ для исследуемых типов земных покровов принадлежат преимущественно одному классу распределений (но не гауссовскому и с увеличенными хвостами!).

Таким образом, многолетние радиофизические эксперименты, в которых активно участвовал автор, дают весьма убедительные доводы в пользу негауссовских статистик. Также более 15 лет назад (см. ниже) автором было показано, что негауссовские функции распределения с тяжелыми хвостами (степенные/устойчивые) естественно возникают (!) при фрактальной обработке одномерных и многомерных сигналов в радиочастотном и оптическом диапазонах с учетом скейлинговых соотношений.

5. Фрактальные сигнатуры и их применение в обработке сигналов

Впервые предложенные и разрабатываемые автором с учениками (к.ф.-м.н. В.А. Герман и др.) цифровые фрактальные методы позволяют частично преодолевать априорную неопределенность в радиолокационных задачах с помощью информации о геометрии (топологии) выборки - одномерной или многомерной [2 - 4, 8 - 11, 13, 16]. При этом большое значение приобретают топологические особенности индивидуальной выборки, а не усредненные реализации, имеющие зачастую совершенно другой характер. Весьма плодотворным оказалось введение автором в практику измерений понятий фрактальных сигнатур и фрактальных кепстров. Всегда в методах фрактальной обработки необходим учет скейлинговых эффектов реальных радиосигналов и электромагнитных полей.

Введение дробной меры и скейлинговых инвариантов вызывает необходимость работы преимущественно со степенными распределениями. Их называют еще фрактальными распределениями, распределениями с «тяжелыми хвостами» или паретианами. Распределения с «тяжелыми хвостами» входят в класс устойчивых распределений. Данные распределения являются следствием обратных связей, усиливающих события. Отметим, что для распределений с «тяжелыми хвостами» выборочные средние неустойчивы и малоинформативны из-за неприменимости закона больших чисел. Степенные законы распределения представляют собой одну из отличительных черт сложности. Простые системы обычно имеют экспоненциальное и гауссовское распределения. Природа степенных законов распределения связана с сильной взаимозависимостью событий (эффект не «домино», а «цепной реакции»). Отметим, что устойчивый паретиан является отличительной чертой многих сложных открытых систем, обменивающихся с окружающей средой веществом, энергией и информацией с перераспределением энтропии.

Кратко рассмотрим избранные примеры по экспериментальным вероятностным распределениям мгновенной фрактальной размерности радиофизических процессов. На рис. 4а приведен общий вид распределений фрактальных размерностей D.

Фрактальная цифровая обработка реализаций двумерных сигналов в шумах показала (см. рис. 4б), что при отношении сигнал/шум = +10 дБ мы точно измеряем статистику сигнала. С уменьшением значения в сторону отрицательных значений (например, = -3 дБ) происходит смещение максимума (моды) итогового фрактального распределения в сторону значений фрактальной размерности шума или помехи. При этом всегда (!) в окрестности значения фрактальной размерности D полезной составляющей присутствует «тяжелый хвост» фрактального распределения (паретиана), достигающий стабильной величины, порядка 10 - 20 % (рис. 4в - сверхмалые отношения сигнал/помеха).

(а) (б)
(в)

Рис. 4. Общий вид (а) распределений D для фрактальных сцен;примеры (б) с дБ (1), =10 дБ (2), =3 дБ (3), = - 3дБ (4); распределения D для сцен с гауссовскими помехами (в): 1 и 3 - сцена А, 2 и 4 - сцена Б,

1 и 2 - = - 10 дБ, 3 и 4 - = - 20 дБ.

Предложенные фрактальные методы существенно дополняют текстурные и позволяет более надежно производить операцию кластеризации. Интересно отметить, что после цифровой фрактальной обработки изображений поверхности, кроме устойчивого разделения по типам земных покровов, отмечаются невидимые (скрытые) до этой обработки особенности (как, например, данные кластеризации дистанционного зондирования различных земных покровов [2 - 4, 8]. Это позволяет говорить о применении созданных методов фрактального распознавания для идентификации участков изображения, «невидимых» при классических методах кластеризации по полю яркостей.

Экспериментально также доказана возможность эффективной кластеризации однородных протяженных связных областей с помощью фрактальной фильтрации. В качестве примера на рис. 5 приведены результаты фрактального анализа рентгеновских томограмм, предоставленных из Института прикладной физики НАН Беларуси [4, 8].

(а) (б)
Рис. 5. Фрактальная фильтрация томограмм нижней (а) и верхней (б) частей головы.

Фрактальной обработке подвергались изображения нижней части головы человека, включающие большое число контрастных деталей, и изображения верхней части головы с малоконтрастным изображением срезов мозга. Исходное томографическое изображение показано слева на рис. 5. Реконструкции томограмм проводились при различных значениях выделенной по паретиану фрактальной размерности D, а именно D(1), D(2)D(1) и D(3)D(2)D(1). Отчетливо видны разнообразные кластеры, незаметные ранее на исходном снимке.

Возможности применения фрактального анализа в медицинской диагностике кожных заболеваний иллюстрируется данными рис. 6, полученными в 2007 г. На рис. 6 приведены результаты фрактальной цифровой обработки фотографий пациенток с диагнозом “жирная себорея”, на фоне которой развивается угревая сыпь. В результате обработки серии снимков было отмечено, что оценка фрактальной размерности (по измеренным фрактальным сигнатурам) имеет индивидуальный характер для каждого пациента, независимо от участка изображения, по которому производился анализ. В настоящий момент широко развиваются с рядом организаций фрактальная обработка медицинских изображений.

На рис. 7а представлено изображение самолета F 117, подвергнутое затем зашумлению аддитивным гауссовым шумом (рис. 7б). В данном случае, отношение сигнал/шум = -3 дБ. Видно, что вся полезная информация скрыта шумовым фоном. Результаты фрактальной непараметрической фильтрации такого изображения приведены на рис. 7в,г. Выбор оптимального режима фильтрации контуров или объектов производится оператором по автоматически построенному пространственному распределению мгновенных фрактальных размерностей сцены, которое отображается на экране компьютера справа.

Созданные в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН при непосредственным участием и под руководством автора эффективные методы измерения фрактальных характеристик (фрактальных сигнатур) и обработки изображений могут широко использоваться и уже частично применяются в различных физико-технических, астрономических, биологических, медицинских, томогафических и т.п. исследованиях. В частности, с помощью синтезированных фрактальных алгоритмов удается выделить номера автомобилей, оптические изображения которых получены в условиях очень сильных помех (пыль, дым, туман).

(а)	(б)	(в)
(г)	(д)	(е)

Рис. 6. Фото пациентки (а), фрактальный портрет (б), фрактальная сигнатура (в), сечения поля фрактальных размерностей (г - е).

(а)	(б)
(в)	(г)
Рис. 7. Цифровая фрактальная обработка изображения (а) самолетa F 117: (б) - изображение самолета F 117 в гауссовских шумах при .= - 3 дБ, (в) - пример фрактальной непараметрической фильтрации изображения самолета при текущем значении , (г) пример фрактальной непараметрической фильтрации изображения самолета при текущем значении .

6. Основы методов построения фрактальных сигналов и

фрактальные методы передачи информации

Выделение темы синтеза разнообразных фрактальных сигналов и методов фрактальной модуляции в отдельную часть имеет важное методологическое значение. Дело в том, что нарастающий в последнее десятилетие интерес к применению теории фракталов в радиофизике и радиоэлектронике вызывает в последние годы появление ряда статей и докладов, авторы которых не учитывают или не знают (? !) прежние работы автора, выполненные им в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН еще более двух десятилетий назад.

Кратко остановимся на этом историческом аспекте. Первое упоминание о создании и работе макета (ЦКБ «Алмаз» и ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН) радиолокационной станции (РЛС) в диапазоне ММВ со сложным квазинепрерывным стохастическим сигналом на длине волны 8,6 мм сверхбольшой базы и стохастическим квадратичным детектированием было опубликовано нами еще в 1988 г. (ссылки в [2,3, 14]). Для уменьшения времени обзора применялся параллельный анализ 20 элементов дистанции с помощью многоканальной цифровой обработки. В РЛС были предусмотрены квадратурные каналы. Работа комплекса на одну приемно-передающую антенну на ММВ была обусловлена оригинальным применением в трактах приема и передачи фазируемых и тактируемых параметрических делителей частоты илипараметронов в данном диапазоне волн [14]. Тактовая частота составляла величину 10 МГц.

При выделении сигнала ММВ, рассеянного разнообразными земными покровами, нами уже в 1988 г. проводились операции выделения участков частотного и временного скейлинга, которые и предполагают наличие фрактальных свойств принятой выборки. Затем был всесторонне исследован двухчастотный режим работы приема-передатчика для реализации фрактальной обработки на двух частотных интервалах. Второй действующий комплекс макета РЛС использовал метод двухчастотного зондирования на ММВ с разносом частот около 850 МГц. База сложного фазоманипулированного сигнала (ФМ) при этом была увеличена до значения [2, 3, 14].

В развитие данного направления тогда же проводились работы по проектированию принципиально нового в то время радиофизического комплекса [2, 3, 14] с применением несинусоидальных волн на основе теории секвентного анализа. В этом случае энергия сложных сигналов будет распределена в полосе частот до десятков гигагерц. Кроме того, сложные несинусоидальные сигналы позволяют добиваться эффектов, недостижимых при использовании традиционных синусоидальных несущих. В секвентном анализе применяют частотно-независимые антенны: биконические, плоские спиральные и логарифмически-периодические антенны. В настоящее время, к таким антеннам, бесспорно, добавлен широкий класс фрактальных антенн разных конфигураций и фрактальных антенных решеток. Автор совместно с представителями ЦКБ «Алмаз», по сути, в начале 90-х гг. XX в. и предпринимал первые попытки разработки и проектирования [2 - 4, 14] таких необычных (для того времени) фрактальных антенных структур (конкретно, был изготовлен действующий макет фрактальной щелевой решетки в диапазоне ММВ). При совмещении указанного радиолокационного комплекса с радиометром был реализован пассивно-активный метод зондирования с использованием квазинепрерывного шумоподобного ФМ сигнала в качестве сигнала подсветки [14]. При этом, в частности, решались задачи обнаружения слабоотражающих биологических объектов (стаи птиц в воздухе, человек на фоне сильных помех от земных покровов, подвижные объекты и т.д.).

Разрабатываемые автором фрактальные методы объединены им под общим названием фрактальных методов передачи информации. Декларируемый здесь подход позволяет перейти к конкретным структурным схемам фрактальных модуляторов и фрактальных демодуляторов сигналов. Рассмотрим кратко принципы фрактальной модуляции, когда любые модулируемые параметры высокочастотного сигнала формируют по фрактальному закону с заданным скейлингом. Можно использовать классические фрактальные функции и множества (канторово и т.п.) на основе i - ой и k - рекурсии. Применяя фрактальные законы изменения параметров гармонического колебания и электромагнитной волны, получаем фрактальные: амплитудную (ФАМ), частотную (ФЧМ), фазовую (ФФМ) и поляризационную (ФПМ) виды модуляции. Также осуществляется двойная модуляция с поднесущей. Для дискретных систем передачи информации можно реализовать фрактальные: амплитудно-импульсную (ФАИМ), широтно-импульсную (ФШИМ), частотно-импульсную (ФЧИМ), фазо-импульсную (ФФИМ), импульсно-кодовую (ФИКМ) виды модуляции. Для радиоканалов вторая ступень модуляции может быть и традиционной (АМ, ЧМ, ФМ, поляризационная).

Аналогично автором был введен новый класс фрактальных шумоподобных сигналов - когда в качестве переносчика информации используется случайный процесс с распределением мгновенных амплитуд по закону «устойчивого паретиана», т.е. мы применяем фрактальное распределение с тяжелыми хвостами. Существует возможность синтеза фрактальных шумоподобных составных сигналов. Можно так же использовать известное стохастическое кодирование информации, в котором необходимо выделить участки скейлинга. В этом случае мы просто синтезировали новый тип фрактальных простых или шумоподобных сигналов. Автором также предложены новые классы сигналов, основанные на текущей оценке показателя Херста Н, названные им «Н - сигналы» [4, 11]. Показатель Херста в зависимости от своего значения относительно величины характеризует или персистентность () или антиперсистентность (0 <) текущей выборки. В первом случае, когда , мы наблюдаем процесс, сохраняющий тенденцию роста или уменьшения мгновенных амплитуд в выборке, т.е. процесс с памятью. Во втором случае, когда 0 <, рост амплитуд огибающей сигнала в “прошлом” означает уменьшение в “будущем”, и наоборот, т.е. процесс, более подверженный переменам, который часто обозначают как “возврат к среднему”. Необходимое значение параметра Н или его функциональную временную/частотную зависимость необходимо предварительно «вкладывать» в зондирующий радиолокационный сигнал. При этом затрудняется обнаружение такого сигнала и измерение его параметров с целью создания преднамеренных помех. Очень интересным и чрезвычайно перспективным является применение операторов дробного интегродифференцирования в синтезе новых классов простых и сложных сигналов. Насколько известно автору, эти факты никогда не рассматривались в литературе.

Совершенно ясно, что оценка текущего значения параметра Н легко может быть введена сегодня в теорию и практику классической обработки радиолокационной информации на фоне помех, не требуя существенных изменений схем действующих радиосистем. Представляет также интерес вывести правила использования дополнительной информации о параметре Н выборки из соображений оптимальности. При этом учет значений показателя Херста Н повлияет на структуры оптимального или согласованного фильтров.

Из всего сказанного следует несомненный авторский приоритет с 80 гг. XX в. по основам методов построения фрактальных сигналов и фрактальных методов передачи информации.

7. Фрактальная электродинамика и фрактальные “интеллектуальные” материалы

Анализ и синтез фрактальных антенн

Антенные устройства и частотно-избирательные поверхности (ЧИП) являются неотъемлемой частью радиосистемы. Опыт анализа и синтеза фрактальных антенн доказывает их широкополосность и многодиапазонность [2 - 4, 9, 10, 13]. Поэтому такие фрактальные антенны чрезвычайно эффективны при разработке многочастотных радиолокационных и телекоммуникационных систем. На основе алгоритмов численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений нами был проведен анализ электродинамических свойств разнообразных фрактальных антенн (монополи и диполи с применением классической кривой Серпинского и дерева Кейли различного порядка итераций) [2 - 4, 9, 10, 13]. Анализ проведен для фрактальных антенн с изменяющимся углом раствора (рис. 8).



(а) (б)
(в)
(г)
Рис. 8. Импеданс фрактальных антенн - монополей при = 450 (а); = 600 (б); = 900 (в) и фрактального диполя Серпинского при = 600 (г).

Были вычислены входные импедансы фрактальных антенн в диапазоне частот 0,1 - 10,0 ГГц и определены все резонансные частоты исследуемых фрактальных антенн (или фрактальных ЧИП). Впервые проводился расчет структуры электромагнитных полей в ближней зоне рассматриваемых фрактальных антенн.

Работа фрактальных антенн достигнута через геометрию проводников, а не через накопление отдельных компонентов или элементов (как в классических антеннах), что, в последнем случае, увеличивает сложность и потенциальные точки отказа. Фрактальные антенны также позволяют создать многополосные варианты, уменьшенный размер, и оптимальную или «шикарную» технологию антенн. Несомненным достоинством фрактальных антенн (монополей и диполей) является тот факт, что они могут иметь меньшие резонансные частоты по сравнению с классическими (или евклидовыми) антеннами тех же размеров. Врожденные широкополосные качества фрактальных антенн идеальны для интеллектуальных приложений и защиты информации.

В отличие от традиционных методов, когда синтезируются гладкие диаграммы направленности антенны, в основе теории фрактального синтеза заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на произвольных масштабах. Это дает возможность создавать новые режимы во фрактальной электродинамике [2, 3, 13], а также получать принципиально новые свойства. В частности, размещение фрактальных элементов на корпусе объекта может существенно исказить сигнатуру или радиолокационный портрет данного объекта [(а)].

Области применения фрактальных антенн: современные телекоммуникации, шумовая радиолокация, нелинейная радиолокация, системы поиска, локализации и трассировки мобильных объектов, пеленгация в сложных городских условиях, определение местоположения несанкционированных источников радиоизлучения при борьбе с террористами, оперативная связь в войсках, маркеры на различных предметах, космическая связь, современный физический эксперимент и т.п. Число зарубежных исследований по разработке различных конструкций фрактальных антенн в настоящее время стремительно растет (см. гл. 11 «Фрактальные антенны и методы их проектирования» монографии [3]).

Автором с учениками (Е.Н. Матвеев, В.А. Потапов и др.) предложено большое количество видов фрактальных антенн, а также рассчитаны их параметры. Их краткое обсуждение по данным [3, 9, 13, 32 - 39] приведено ниже в пп. 7.2 и 7.3, а также в п. 7.6.

Фрактальные антенны на основе дерева Кейли

Фрактальная антенна представляет собой ряд отрезков проводников разной длины. С каждой новой итерацией к антенне наращиваются отрезки определенной длины, так что для каждой нечетной итерации длина остается прежней, а с каждой четной итерацией - длина уменьшается в 2 раза (рис. 9). Распределение тока в антенне «Дерево Кейли» 6-го порядка приведено на рис. 10. Распределение токов по апертуре фрактальной антенны (рис. 10) наглядно демонстрирует, как с каждой следующей резонансной частотой в формировании параметров антенны начинают играть роль новые участки апертуры. фрактальный антенна изображение сигнал помеха

Компьютерное моделирование было проведено в диапазоне частот 1 - 6 ГГц. Получены зависимость импеданса (рис. 11) и КСВ от частоты, а также сечения диаграммы направленности антенны.

Фрактальные кольцевые монополи

Исследование фрактальных кольцевых структур, впервые предложенных авторами, проводилось средствами САПР Antsoft HFSS, в которой благодаря удобному интерфейсу проектирования легко можно создать кольцевые структуры, учитывая свойства симметрии и подобия.

1. В качестве базового элемента фрактальной антенной структуры первой итерации А1 было взято кольцо радиуса 11 мм, толщиной 0,4 мм по оси 0х и 0,2 мм по радиусу. Алгоритм построения структуры фрактальной апертуры, представленной на рис. 12, выглядит следующим образом.

Рис. 9. Построение “Дерева Кейли” 6го порядка.	Рис.10. Распределение токов по фрактальной антенне “Дерево Кейли” на частоте 3,1 ГГц в линейном масштабе.

Рис. 11. Зависимость импеданса антенны “Дерево Кейли” от частоты.

Рис.12. Модель монопольной антенны А1.

Внутри базового элемента нулевой итерации размещены 7 колец с радиусом в три раза меньше исходного элемента. Остальные параметры (ширина и толщина кольца базового элемента) оставлены без изменений. Центры 6 маленьких окружностей расположены на расстоянии R*2/3, в вершинах шестиугольника. Центр 7-й окружности совпадает с центром основной антенны. Назовем это построение первым циклом итерации алгоритма построения, а антенну кратко обозначим аббревиатурой А1.

Запитана антенна от коаксиального провода радиуса 0,25 мм, выполненного из идеально-проводящего материала. Апертура антенны расположена на высоте 0,7 мм от идеально проводящей плоскости, играющей роль земли, и приведена на рис. 12. Зависимость коэффициента отражения от частоты для представленной антенны показана на рис. 13. Частотная зависимость коэффициента отражения антенны показана на рис. 14.

	Рис.13. Частотная зависимость коэффициента отражения фрактальной апертуры А1.
Рис. 14. Частотная зависимость импеданса Z для монопольной антенны А1.

Результаты моделирования диаграммы направленности (ДН) антенны на некоторых частотах представлены на рис. 15. Достаточно хорошие результаты расчета КСВ (меньше 2), представленные на рис.16, также говорят о наличии повторяемости электродинамических параметров антенны А1 на разных частотах.

Рис. 15,а	Рис. 15,б
	Рис. 16. Зависимость КСВ антенны А1 от частоты.
Рис. 15,в Рис. 15. ДН антенны на сетке частот.

Ширина полос пропускания фрактальной монопольной антенны А1 представлена в табл. 1. Из полученных результатов видно, что выбранная структура антенны действительно проявляет широкополосные и диапазонные свойства. Во второй колонке табл. 1 отображено процентное соотношение диапазона излучения антенны, в пределах которого значение ее КСВ менее 2, к частоте излучения.

Полоса пропускания на резонансных частотах антенны А1.

Таблица 1.

Частота, ГГц	, %
3,90	100
7,5	66
11,1	72

2. Для построения кольцевого монополя второй итерации А2 использовался тот же алгоритм, что и для модели А1 - рис. 17.

В радиус каждой окружности вставлено шесть окружностей втрое меньшего радиуса, центры которых расположены в вершинах шестиугольника на расстоянии R*2/3 от первоначального радиуса. Седьмая окружность расположена в центре базовой окружности. Таким образом, полученная модель предложенной фрактальной антенны выглядит как на рис. 17. Запитка антенны выполнена так же, как и в предыдущих случаях, коаксиальной линией диаметра 0,5 мм. Толщина антенны, 0,4 мм, ширина колец 0,2 мм. Радиус внешней окружности R= 11 мм, R1 = R / 3, R2 = R / 9.
	Рис. 17. Схема монопольной антенны А2.

Результаты компьютерного моделирования коэффициента отражения представлены на рис. 18 и позволяют сделать вывод, что в обеих итерациях антенны прослеживается повторяемость полос пропускания антенны через равные промежутки частот.

Рис. 18. Зависимость коэффициента отражения фрактальной антенны А2 от частоты.

Исхода из рассчитанных значений коэффициента отражения и значений импеданса можно сделать предварительный вывод о том, что антенна должна обладать хорошими пропускающими свойствами на частотах вблизи 4,0 ГГц, 7,6 ГГц и 10,6 ГГц, а также 12,4 ГГц. График зависимости импеданса от частоты представлен на рис. 19.

Рис.19. Зависимость импеданса антенны А2 от частоты в диапазоне 0,1 - 20 ГГц.

Как видно из графика зависимости импеданса, анализируемая антенна А2 имеет резонансы на частотах 2,9ГГц (4,1); 7,1 ГГц (7,7). Для этих частоты были смоделированы диаграммы направленности, которые представлены на рис. 20.

(а)	(б)
(в)	(г)
Рис. 20. Диаграмма направленности фрактальной антенны А2 на частотах: а) 2,9 ГГц; б) 4,1 ГГц; в) 7,1 ГГц; г) 7,7 ГГц.

Зависимость КСВ антенны А2 от частоты представлена на рис. 21.

Рис. 21. Зависимость КСВ от частоты для фрактальной антенны А2.

Значения КСВ для выбранных выше частот приведены в табл. 2. В средней колонке табл. 2 показано соотношение предыдущей и текущей частоты излучения. В последней колонке показано значение КСВ антенны на резонансной частоте. Как видно, частоты находятся достаточно близко друг к другу (соотношение fn/fn-1 < 2); а значения КСВ менее 2 позволяют сделать вывод о хорошей согласованности структуры антенны А2.

Кроме того, в табл. 3 представлено соотношение диапазона излучающих частот к резонансной частоте. Как видно из результатов на некоторых частотах этот диапазон соответствует значениям более 50%. На основании этого можно предположить наличие широкополосных свойств фрактальной антенны на основе предложенных кольцевых структур.

Зависимость значений КСВ от частоты для антенны А2.

Таблица 2.

Частота, ГГц	fn/fn-1	КСВ
2,9	-	2,05
4,1	1,41	1,15
7,1	1,73	1,24
7,7	1,08	1,09

Ширина полосы пропускания на резонансных частотах антенны А2.

Таблица 3.

Частота, ГГц	, %
4,1	87
7,7	52

Отметим, что в зарубежной литературе встречаются различные виды кольцевых структур, алгоритмической основой которых также является внедрение в базовую структуру окружностей с меньшим радиусом. Отличием в нашем случае является способ упаковки элементов каждой итерации и соотношение размеров предыдущей и последующей итерации в виде 1 к 3.

Уникальной особенностью фрактальных антенн является теоретически бесконечное уплотнение ограниченной области пространства геометрий антенны, и как результат - дополнительные резонансные частоты в диапазоне длин волн, часто значительно превышающих геометрические размеры фрактальной структуры. На сегодняшний день не существует строгой электродинамической теории, объясняющей и предсказывающей достаточно уникальные свойства структур, построенных на основе фрактальных множеств. Но все попытки использовать геометрические фракталы в реальных задачах радиофизики подразумевают под собой ограничение числа итераций построения фрактала, что, по сути, означает использование предфрактала. Под предфракталом следует понимать структуру с конечным порядком итерации или множество, имеющее свойство самоподобия в конечных масштабах (см. рис. 2).

Метод дробного интегро-дифференцирования в классической электродинамике

В [13, 31] представлен один из первых способов введения дробного интегро-дифференцирования в основные уравнения электродинамики материальных сред[1]. Как хорошо известно, центральное место в современном дробном исчислении занимают интегро-дифференциальные операторы Римана-Лиувилля и Капуто [2, 3, 13]. Оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля порядка с началом в точке s удобно представить в следующем виде:

, (1)

где - гамма-функция Эйлера.

Оператор Капуто (регуляризованная дробная производная) определяется с помощью равенства

. (2)

Связь между операторами Римана-Лиувилля и Капуто дается соотношением

(3)

Если выполняется равенство , то операторы Римана-Лиувилля и Капуто тождественны . При целочисленном значении параметра эти операторы также совпадают между собой и совпадают с обычными производными целого порядка.

В [13, 31] получена система уравнений Максвелла в дробных производных:

, , (4)

, . (5)

Векторный потенциал вводится стандартно

. (6)

Подставляя (6) в первое уравнение (4), получим

. (7)

Так как ротор от градиента любой скалярной функции равен нулю, то в (7) выражение в скобках равно градиенту этой функции. Стало быть

, (8)

где - скалярный потенциал.

Несложно убедиться, что выражению (8) отвечают следующие соотношения калибровочной инвариантности

, , (9)

где f - произвольная скалярная функция.

После подстановки (6) и (8) в уравнения (5) находим

, (10)

. (11)

Далее, не ограничивая общности, примем калибровку

. (12)

С использованием (12) из (10) и (11) получаются следующие уравнения для векторного и скалярного потенциалов:

, (13)

, (14)



где - скорость света в вакууме.

Уравнения (13) и (14) представляют собой уравнения с изменяющимся типом: при - гиперболический тип; при - параболический тип. Такие уравнения в литературе называют диффузионно-волновыми уравнениями. Их решение можно получить методом функции Грина. В отсутствие зарядов и токов из (13) и (14) получаются однородные уравнения с частной производной дробного порядка. В отличие от классического случая - решения Даламбера, решениями этих уравнений уже не могут быть произвольные функции. С физической точки зрения это означает, что протекающая по определенным правилам пространственно-временная эволюция заряженных частиц будет накладывать ограничения на характер порождаемого электромагнитного поля.

Проанализируем свойства свободного электромагнитного поля в диэлектрике с постоянными и , исходя из диффузионно-волнового уравнения. Для этого запишем одномерное уравнение дробного порядка

, (15)

где под функцией понимается A или . Уравнение (15) - линейное, и его частное решение представимо в виде

, (16)

где z(t) - неизвестная функция, - комплексная амплитуда, k - компонента волнового вектора в направлении x. Подставляя (16) в (15), получаем уравнение

, (17)

где - безразмерная частота. Решение уравнения (10.128) ищется обычным способом в виде степенного ряда [27, 155]. Частным решением уравнения (17) является функция:

, , (18)

где - функция Миттага-Леффлера.

Из (16) и (18) находим

. (19)

На рис. 22 в качестве примера показаны графики функции . Если в (19) параметр находится в интервале от 1/2 до 1, то по переменной t будем иметь периодическую функцию с частотой (рис. 22,а). Если параметр находится в интервале от 0 до 1/2, то функция становиться монотонно убывающей (рис. 22,б). Параметры и ответственны за скорость убывания.

(а)	(б)
Рис. 22. Графики функции Миттага-Леффлера при различных значениях параметра : а) - диапазон = Ѕ …1; б) - диапазон = 0 …Ѕ.

Для наглядной интерпретации решения (19) выделим из него предельные случаи. При (гиперболический случай), пользуясь тем что

, (20)

для решения уравнения (15) запишем

. (21)

Решение вида (21) определяет плоскую монохроматическую волну, являющуюся периодической функцией обеих переменных x и t.

При (параболический случай) имеем

, (22)

. (23)

Решение (23) является периодическим лишь по переменной x. Его также можно понимать как плоскую волну, но с убывающей со временем амплитудой. При этом время, за которое амплитуда поля уменьшается в е раз, будет равно

, (24)

где .

Таким образом, в нашем случае дробное интегродифференцирование и, соответственно, феноменологический параметр , учитывают влияние фрактальных свойств движения зарядов в диссипативной среде на создаваемое электромагнитное поле. При уменьшении происходит затухание электромагнитных волн, причем при медленном диффузионном блуждании () затухание имеет степенную асимптотику , свойственную для многих фрактальных систем [2, 3, 13].

Отметим, что попытка записать волновые уравнения для электромагнитных полей через дробные производные предпринималась и ранее. Однако предположение о принадлежности функций и к классу Липшица-Гельдера не дает оснований для замены простых производных на дробные производные Римана-Лиувилля в исходных уравнениях Максвелла. Остальные детали и следствия подробно изложены в работах [13, 31].

Фрактальные радиопоглощающие материалы и покрытия.

Фрактальные фотонные и магнонные кристаллы

Современные и перспективные радиопоглощающие покрытия и материалы должны обеспечивать поглощение широкого спектра электромагнитного излучения при произвольных углах зондирования и поляризации падающего излучения. С этой точки зрения наиболее перспективный путь - применение фрактальных искусственных композитов и метаматериалов, которые можно отнести к «интеллектуальным» или «умным» [2 - 4, 9 - 11, 13, 25, 27]. Помимо прямого назначения, они могут иметь разнообразное функциональное назначение.

Расчет коэффициентов отражения и пропускания таких материалов можно производить по методикам, изложенным в монографиях [2, 3]. Затем решается обратная задача, т.е. определяются эффективные диэлектрические и магнитные проницаемости фрактальной многослойной среды, которые могут быть и тензорами в случае анизотропных материалов. При этом необходимо использовать многократное обращение к прямой задаче.

Применение рекурсивного процесса позволяет, в принципе, создавать самоподобную иерархическую структуру, вплоть до отдельных проводящих дорожек в микросхеме и в наноструктурах. При этом необходимо учитывать и научиться рассчитывать взаимное и коллективное влияние всех электромагнитных полей со всеми компонентами микросхемы: проводящие дорожки, полупроводник, диэлектрик и т.д.