Фракталы, скейлинг и дробные операторы в радиотехнике и электронике: современное состояние и развитие

Фрактальные фотонные и магнонные кристаллы обладают целым рядом преимуществ перед своими классическими аналогами и являются принципиально новыми средами для передачи информации. Традиционные материалы с фотонными запрещенными зонами (ФЗЗ) используют брэгговское рассеяние, чтобы создать запрещенные зоны. Естественным следствием брэгговского механизма рассеяния является то, что толщина и поперечные размеры фотонных кристаллов должны составлять несколько длин волн.

Частотно-избирательные поверхности (ЧИП) селективно отражает электромагнитную волну заданной частоты. Они функционируют по принципу собственного резонанса ряда взаимодействующих металлических элементов, расположенных периодически. Системы ФЗЗ и ЧИП работают обычно в одном единственном частотном диапазоне с подходящей длиной волны, затухающей в объеме периодически расположенных базовых функциональный блоков.

Применение планарных проводящих фракталов дает возможность создавать сложные отражающие и пропускающие зоны в широком диапазоне частот. В этом случае фрактальная структура может быть сверхволновой. При конструировании фрактальных фотонных и магнонных кристаллов удобны детерминированные геометрические фракталы, которые имеют легко прогнозируемые характеристики и могут быть достаточно просто сгенерированы. Именно они и применяются чаще всего во фрактальных антеннах и аналогичных устройствах. Анализ результатов численного моделирования [3, 9 - 11, 13] показал, что электромагнитная волна возбуждает токи в металлических проводниках фрактала, амплитуда которых достигает максимума в диапазоне сильно отражающих частот. Фаза тока по отношению к фазе падающей волны всякий раз испытывает прыжок на величину р, когда рабочая частота переходит через точки, определяемые максимальными коэффициентами отражения, указывая на резонансное поведение.

Фрактал N-го порядка должен теоретически иметь N собственных резонансов. Каждый резонанс определяется током возбуждения в проводящих линиях определенного порядка итераций, который течет по направлению к структурам более высокого порядка. Всегда желательно, чтобы коэффициент отражения/прохождения фрактальной структуры можно было регулировать с помощью внешней «ручки управления». Каждый сегмент линии в фрактале соединен друг с другом. Вторичным источником может быть внешний электрический ток, который подводится к центру линии первого уровня с определенной фазой. Модулирование коэффициента пропускания определяется разностью фаз (или временной задержкой принимаемого сигнала относительно основного падающего пучка) между падающей волной и подпитывающим током.

В этом случае мы можем говорить о моделировании интеллектуальных покрытий с целенаправленным управлением их характеристиками рассеяния или полем прошедшей волны в широкой полосе частот. При наложении двух идентичных фрактальных образцов, когда один повернут на 900 относительно другого, можно получить инвариантную относительно вращения структуру. Таким образом, такая «активная» фрактальная структура может моделировать полное отражение, не зависящее от угла падения и типа поляризации, что обычно является характерной особенностью 3D фотонных кристаллов.

Следует отметить, что размеры традиционного 3D фотонного кристалла должны составлять, по крайней мере, несколько длин волн, прежде чем он сможет полностью проявлять свои ФЗЗ свойства. Таким образом, для волны с частотой 1 ГГц толщина структуры должны быть порядка 1 метра. С другой стороны, плоские фрактальные структуры таковы, что их полоса пропускания f/f0, определяемая закона подобия, (f/f0 полоса запрещенной зоны/середина запрещенной зоны и f/f0 ~ 5% для одной фрактальной пластины) может быть значительно увеличена с помощью наложения друг на друга одинаковых фракталов. Увеличение толщины фрактальных пластин приводит к возрастанию крутизны границ полос пропускания. Полосы ослабления также могут быть увеличены с помощью более широких металлических проводников фрактальных пластин.

Эмпирическая формула для резонансных длин волн фрактальной структуры N-го порядка имеет вид:

, (25)

где = (+1)/2, - параметры, определяемые из эксперимента, - максимальная длина линии i-й итерации.

Прямым следствие уравнения (25) является то, что резонансные длины волн могут быть намного больше, чем размеры образца. Это происходит потому, что низкочастотный резонанс определяется самой длинной металлической линией во фрактале, а такая линия просто намного длиннее, чем линейные размеры самого фрактала. Это придает фракталу его “сверхволновые” свойства, т.е. фрактальная пластина может эффективно отражать электромагнитные волны с длинами, намного большими, чем поперечные размеры. Сверхволновые свойства означают, что фрактальная пластина может действовать как компактный отражатель. Для таких микро- и нанотехнологий автором с учениками разработаны алгоритмы и программы, позволяющие рассчитывать различные конфигурации фрактальных структур рассматриваемых кристаллов.

Для управляемых интеллектуальных покрытий также можно использовать принцип реконфигурируемых фрактальных антенных решеток с электронной коммутацией подрешеток, подробно изложенный в монографиях [2, 3]. Многополосный режим функционирования, перекрытие обширного спектрального диапазона и полосы пропускания, соответствующие длинам волн, которые значительно больше размеров образцов, делают фрактальные пластины чрезвычайно интересной и полезной в практических приложениях частотно-избирательной средой.

Фрактальные частотно - избирательные поверхности и объемы

На основе исходных предпосылок из пп. 7.1 - 7.3 и 7.5 - 7.6 данной статьи рассмотрим приоритетные в России результаты по моделированию фрактальных частотно - избирательных структур. Приведенные далее результаты опираются на работы [38, 39]; расчеты выполнены совместно с аспирантом Е.Н. Матвеевым.

Были исследованы электродинамические свойства некоторых типов фрактальных частотно-избирательных поверхностей на основе «Дерева Кейли» (рис. 9) в САПР Antsoft HFSS. Для моделирования двух пластин с выбранной фрактальной геометрией “Дерево Кейли” 6-го порядка, мы развернули их относительно друг друга на 90є, как показано на рис. 23. Расстояние между пластинами составляло 3 мм. Фрактальная структура облучалась плоской волной с вектором E, параллельным оси 0Х.

Распределения поля до и после исследуемой фрактальной поверхности на частоте 1 ГГц представлены на рис. 24.

Рис. 24. Распределение поля в плоскости z0y на частоте 1 ГГц.

Распределение токов по поверхности двух фрактальных структур показывает наличие токов в элементах наибольшей длины (рис. 25)

Рис. 25. Распределение тока по поверхности фрактальных структур на частоте 1ГГц.

В результате расчетов коэффициента пропускания и отражения были получены частотные характеристики, представленные на рис. 26.

(а)
(б)
Рис. 26. Зависимость коэффициента пропускания (а) и коэффициента отражения (б) двухслойной фрактальной структуры “Дерево Кейли” 6-го порядка от частоты.

По сравнению с классическими частотно-избирательными структурами, где присутствует в основном один диапазон пропускания и отражения электромагнитных волн, в двухслойной фрактальной пластине на основе “Дерева Кейли” 6-го порядка мы наблюдаем наличие нескольких самоподобных окон пропускания и отражения [2 - 4, 9, 10, 13, 25, 27, 39]. Данные окна, аналогично фрактальной пластине, обладают свойством самоподобия или скейлинга. Каждый элементарный участок “Дерева Кейли” вносит свой вклад в общую картину распространения и отражения электромагнитных волн.

Таким образом, данные численных экспериментов позволяют сделать вывод о многодиапазонности частотно-селективных поверхностей, синтезированных на основе фрактальных множеств. Кроме того, такие фрактальные структуры можно использовать как радиолокационные экраны, искажающие радиопортреты исследуемых объектов [2 - 4].

8. Скейлинг шероховатого слоя и фрактальные сигнатуры в задачах оценки микрорельефа обработанных поверхностей

В связи с интенсивным развитием методов обработки методов обработки концентрированными потоками энергии - КПЭ (лазерной, плазменной, электроэрозионной), а также нанотехнологий (химическая сборка, золь - гель процессы, парофазное осаждение металлов, атомно-слоевая эпитаксия), возникают значительные трудности в описании и оценке шероховатости профильным методом [40]. В этих случаях форма элементов шероховатости, их распределение на площади обработки сильно отличается (рис. 27) от традиционного представления о них, сформированного в рамках процесса обработки резанием, как о периодическом чередовании «выступов» и «впадин», описываемых в рамках Евклидовой геометрии.

Название	Элементы рельефа	Название	Элементы рельефа
Грибообразный		Лунки
Т - образный		Глобулы
Пики		Висперы (глобульно - висперный)
Сплэты		Гребни
Ботироидальные		Муар

Рис. 27. Виды элементов рельефа микроповерхностей.

Следовательно, проблемы формирования качества поверхности, и в частности, такой важнейшей его характеристики как шероховатость, приобретают в настоящее время особую актуальность в связи с созданием новых технологий обработки материалов. Эти проблемы отчетливо проявляются в области нанотехнологий, для которых топология шероховатостей рассматривается не как вторичная характеристика, являющаяся “откликом” структуры поверхностного слоя на воздействие того или иного физического процесса (как в обработке резанием, например), а как свойство самой структуры, тем более, что размеры таких слоев сопоставимы с длиной свободного пробега в них электронов.

Автором с учениками было доказано [2, 3, 9, 10, 40] существование на уровне микрорельефа таких обработанных поверхностей фрактальных кластеров с распределением неровностей по степенным законам с тяжелыми хвостами (в качестве примера - рис. 28).

(а)	(б)
(в)

Рис. 28. Фрактальный анализ поверхности образца: а) 2D - изображение образца, обработанного алмазным точением с последующим оксидированием; б) фрактальная сигнатура образца; в) поле и гистограмма локальных фрактальных размерностей (обратить внимание на тяжелый хвост распределения (!)).

Наличие фрактальности в таких различных средах можно контролировать, в частности, по изменению скин-эффекта и импеданса. Именно пространственная/временная эволюция тока позволяет электромагнитному полю «прощупать» фрактальные характеристики (фрактальные сигнатуры) исследуемой физической среды. Скейлинговые модели шероховатого слоя поверхности твердого тела можно представить в виде эквивалентных электрических схем, имеющих вид, например, канторовой пыли и т.д. [2 - 4, 9 - 11, 13, 25].

Таким образом, автор в 2008 г. предложил для широкого обсуждения еще одну новую концепцию, а именно, “Скейлинг шероховатого фрактального слоя и нанотехнологии”.

9. Фрактальные импедансы и моделирование дробных операторов. Первый фрактальный конденсатор

На практике довольно часто, как отмечено выше, сумма случайных величин сходится не к гауссовским, а к устойчивым или «Леви - Парето» распределениям с тяжелыми хвостами. У таких распределений функция распределений является «широкой». Это приводит к тому, что некоторые моменты такого распределения формально будут бесконечными. Моделирование распределенных по Леви - Парето случайных величин приводит к процессам аномальной диффузии, описываемой дробными производными по пространственным и/или временным переменным [2, 3, 13]. По сути дела, уравнения с дробными производными учитывают эффекты памяти и нелокальности и описывают немарковские процессы с памятью.

Физическое моделирование дробных интегральных и дифференциальных операторов позволяет на основе микро- и нанотехнологий создавать радиоэлементы на пассивных элементах, моделирующие фрактальные импедансы с частотным скейлингом

, (26)

где - угловая частота, А? = const; - порядок операции дробного интегро-дифференцирования, которую можно реализовать, используя данный фрактальный импеданс вместо емкости в схеме классического интегратора или дифференциатора; 0 < < 1; - модуль или амплитудно-частотная характеристика; ? фазочастотная характеристика, представляющая собой постоянную величину при фиксированном показателе степени .

Еще до выдвижения концепции фрактальных радиосистем, автору представлялось заманчивой идеей первым смоделировать фрактальный импеданс в виде “фрактального конденсатора”.

Для этого нами была создана модель импеданса в виде бесконечной цепной (непрерывной) дроби. В случае конечной стадии построения эквивалентной электрической схемы для RC - цепочек, когда используем n-ую подходящую дробь к данной непрерывной дроби, можно регулировать диапазоны частот, в которых будет наблюдаться степенная зависимость импеданса вида . В этом случае мы впервые реализуем на практике в аналоговом и цифровом виде нелинейный «фрактальный конденсатор» [2, 26], чем был чрезвычайно заинтересован Б. Мандельброт.

Элементы, реализующие зависимость вида (26), в литературе еще называют “элементы с постоянной фазой”, “фрактансы” или “фракторы”. В работах автора впервые введено (и получило полное признание у специалистов) для таких элементов (в том числе и фрактальных ЧИП, и миниатюрных фрактальных антенн) обобщенное название “фрактальные элементы” или “фрактальные импедансы”, которое более точно отражает их физический смысл [2 - 4, 9 - 11, 13, 16, 19, 22, 25 - 27, 38, 39][2].

К данному направлению следует также отнести целый массив задач моделирования микроэлектронных фрактальных импедансов для фрактальных радиоэлементов низкочастотных и высокочастотных диапазонов длин волн, которые проводятся автором в Казани.

Физически операторы дробного интегрирования играют роль своеобразных «фильтров», выделяющих только те составляющие, которые локализованы на фрактальных (дробных) множествах исследуемого процесса. Отметим, что в последнее время в научном мире интенсивно обсуждаются фрактальные объекты и процессы, имеющие отрицательные и комплексные дробные степени [9 - 11, 13, 19, 23, 24, 26].



10. Основные методы конструирования фрактальных импедансов и их

перспективные области применения

Большие возможности при конструировании фрактальных импедансов в микроминиатюрном исполнении предоставляют RC-элементы с распределенными параметрами (RC-ЭРП). Их методы создания и основные области применения рассмотрены в [11, 13, 26]. Перспективы применения RC-ЭРП необходимо в первую очередь связывать с теми свойствами и возможностями, которые нельзя получить на основе RC-элементов с сосредоточенными параметрами (RC-ЭСП). Возможно их применение и в том случае, когда решения на основе традиционной элементной базы по своим эксплуатационным характеристикам (занимаемой площади, надежности, возможности регулировки и др.) существенно уступают решениям, полученным при использовании RC-ЭРП.

Естественно, что невозможно рассмотреть все области применения RC-ЭРП для создания радиоэлектронных устройств, в научных исследованиях, в системах контроля и др. Проведем сравнительный анализ преимуществ замены RC-ЭСП на RC-ЭРП лишь в тех научно-технических областях, где, на наш взгляд, необходимость такой замены достаточно очевидна и может дать наибольший эффект.

1. Анализ отечественной и зарубежной литературы показывает, что число работ, посвященных применению дифференциальных уравнений дробного порядка для описания разнообразных процессов и объектов лавинообразно растет во времени. Увеличивается и число работ, посвященных разработке аналоговых устройств дробного интегродифференцирования (ДИД), при помощи которых в режиме реального времени можно выполнять интегрирование дифференциальных уравнений дробного порядка, производить обработку сигналов, создавать системы управления объектами и процессами фрактальной природы и т.п. Более подробно - см. [11, 26].

Интеграторы и дифференциаторы дробного порядка можно построить по таким же схемам, как и традиционные интеграторы и дифференциаторы целого порядка на операционных усилителях (ОУ), но конденсатор в них заменяют двухполюсником с фрактальным импедансом и частотным скейлингом, удовлетворяющим уравнению (26). Как известно, передаточные функции таких интеграторов и дифференциаторов представляют собой отношения импеданса элемента с постоянной фазой (ЭПФ) к величине сопротивления R резистора с сосредоточенными параметрами, включаемого на входе интегратора или в цепи обратной связи ОУ дифференциатора.

Тогда с учетом (26) для них можно записать следующие выражения:

, (27)

. (28)

Для случая, когда = 1, уравнение (27) соответствует передаточной функции интегратора целого порядка, а уравнение (28) - дифференциатора целого порядка. Для = 0 схемы превращаются в масштабирующие усилители. При 0 < < 1 выражения (27) и (28) будут представлять передаточные функции интегратора и дифференциатора дробного порядка соответственно.

В отличие от традиционного подхода, при котором ЭПФ представляет цепь на ЭСП, более эффективно задачу реализации ЭПФ произвольного порядка можно решить с помощью разработанных методов анализа и синтеза RC-ЭРП [11, 26]. Постоянство фазо-частотной характеристики (ФЧХ) входного сопротивления, отличного от 45? (? = Ѕ) в широком диапазоне частот можно получить, синтезируя определенные законы изменения ширины или удельных параметров слоев одномерно неоднородных (ОН) RC-ЭРП. Эту же задачу можно решить формированием RC-ЭРП из нескольких одномерно однородных (ОО) R1-C1-R-C2-R2 ЭРП, дальнейшим синтезированием ЭПФ с заданным значением и изменений схем включения и параметров их слоев.

ЭПФ можно получить и на основе фрактальных двумерно однородных (ДО) RC-ЭРП с топологией резистивного слоя или контактных площадок в виде одного из регулярных геометрических фракталов (стержни Кантора, ковер Серпинского, снежинка Коха и т.д.).

2. Имеющийся опыт формирования моделей фрактальных процессов и объектов, описываемых дифференциальными уравнениями дробного порядка, на основе цепей из RC-ЭСП свидетельствует о том, что структура модели (виды и количество элементов, схема соединения и т.п.) должна однозначно отражать скрытые от наблюдателя физические закономерности, происходящие в исследуемом объекте. В результате, в отличие от синтеза ЭПФ, синтез аналоговых моделей на RC-ЭРП должен проводиться с учетом предполагаемых физических механизмов образования материалов (композитов, пластмасс, цементов и т.п.) или особенностей конструкции исследуемого объекта и характера протекающих в нем электрохимических процессов (электролитических конденсаторов, аккумуляторов, элементов интегральных микросхем и т.п.) [11, 26].

Преимущества моделей фрактальных процессов и объектов на основе RC-ЭРП, на наш взгляд, заключаются в следующем. Во-первых, RC-ЭРП представляет среду с распределенными параметрами, которая в большей степени отражает характер реальных физических объектов и процессов. Во-вторых, многослойные RC-ЭРП, например, можно использовать для моделирования процессов в слоистых средах (поглощающие и маскирующие покрытия, многослойные покрытия на поверхностях деталей, многослойные структуры биологических тканей, многослойные элементы интегральных схем и т.п.). В третьих, в отличие от моделей на RC-ЭСП, в которых для моделирования используется только два типа элементов (R и C), в многослойных RC-ЭРП появляется возможность использовать гораздо большее число различных элементов с распределенными параметрами [11, 26].

Использование для моделирования сложных фрактальных объектов многослойного “виртуального обобщенного” LRCG-ЭРП, анализ и синтез которого можно выполнять с помощью предлагаемого метода конечных распределенных элементов [11, 26], позволяет создать универсальную среду моделирования, пригодную для идентификации параметров достаточно сложных динамических систем дробного порядка.

3. Описание фрактальных процессов и объектов дифференциальными уравнениями дробного порядка привело к появлению контроллеров, адекватно реагирующих на реакции этих систем. В многочисленных работах в этом направлении можно найти теоретические и экспериментальные доказательства того, что применение регуляторов дробного порядка для управления динамическими процессами дробного порядка гораздо эффективнее, чем применение регуляторов целого порядка [11, 13, 26].

Примером практической реализации этого подхода в построении систем управления является реализация идеи ПИД (PI?D?) - регулятора дробного порядка (здесь обозначение образуется первыми буквами названий блоков, входящих в регулятор: П (P) ? пропорциональный; И (I) - интегрирующий; Д (D) - дифференцирующий, - порядок интегратора, - порядок дифференциатора) в виде так называемого CRONE-контроллера (Commande Robuste d'Ordre Non Entrier controller).

Однако аппаратная реализация таких PI?D?-регуляторов ориентирована на цифровые технологии. Очевидно, что для регулирования медленных процессов такой подход вполне оправдан. Но если скорости протекания процессов достаточно велики или процессы связаны с обработкой сигналов с частотами в сотни мегагерц, то недорогие аналоговые ПИД-регуляторы дробного порядка могут быть хорошей альтернативой дорогим высокоскоростным сигнальным процессорам.

Общим недостатком рассмотренных устройств является невозможность установления порядка ДИД в соответствии с требованиями к системе управления. Такая возможность появляется, если в качестве фрактального элемента использовать параметрические RC-ЭРП, удельное сопротивление материала резистивного слоя которого чувствительно к управляющему полю [11, 26].

4. Как известно, решение дифференциальных уравнений в режиме реального времени наиболее быстро осуществляют аналоговые вычислительные машины (АВМ). Однако, для решения ряда задач, связанных с управлением быстродвижущимися объектами, оптимизацией и моделированием систем управления, созданием комплексных тренажеров и др., возможности отдельно взятых АВМ и ЦВМ оказываются уже недостаточными. Поэтому наблюдается интерес к созданию гибридных вычислительных машин (ГВМ).

Введение в состав операционных блоков аналоговой части ГВМ интеграторов и дифференциаторов произвольного дробного порядка на основе RC-ЭРП, а также блоков аналогового вычисления специальных функций на их основе, позволило бы повысить быстродействие, обеспечить гибкость в выборе методов решения и конкурентоспособность на рынке специализированных ЭВМ.

5. Большинство процессов, протекающих в технических и природных системах, являются пространственно-временными скалярными или векторными полями самой различной природы. Измерение и контроль состояния таких систем играют основную роль в информационном обеспечении процессов управления техническими системами и сложными процессами современных производств.

Выбирая электрофизические и физико-химические параметры измерительной среды, можно добиться ее избирательной чувствительности к тем или иным измеряемым полям. Так, применяя в качестве компонентов, входящих в измерительную среду, термо-, фото-, тензо-, магниторезистивные, полупроводниковые и другие материалы, можно формировать прямую или косвенную чувствительность среды к теплофизическим, гидро- и газодинамическим, световым, силовым, электромагнитным и другим полям самой различной физической природы.

6. Перечень задач, которые можно решать, используя возможности RC-ЭРП, не ограничивается рассмотренными выше. Например, при анализе шумов полупроводниковых приборов с целью прогнозирования их надежности выполняется дробное дифференцирование при помощи лестничной RC-цепи, которую, очевидно, можно заменить на RC-ЭРП. Существует аппаратная реализация восстановления истинного сигнала на входе датчика путем дробного дифференцирования выходного сигнала, где дифференциатор строится на основе двухполюсных фрактальных RC-ЭРП. Рассматривается также возможность повышения эффективности криптографической защиты информации за счет использования устройств или алгоритмов, реализующих фрактальные функции.

Область применения дробного исчисления, а, следовательно, поле возможного применения RC-ЭРП все время расширяется [2 - 4, 9 - 11, 13, 25 - 27, 30]: сейсмический анализ, динамика двигательных нейронов глазодвигательных систем, упругое демпфирование, 1/f шумы, генераторы гармонических колебаний дробного порядка, дистанционное зондирование, новые фрактальные частотно-избирательные среды передачи информации и т.д.

11. Динамические фрактальные модели распространения и рассеяния волн случайно-неоднородными средами

Динамические системы и волновые процессы

Радиолокационный сигнал, рассеянный земными покровами, обычно моделируется как случайный шумовой процесс. Однако прогресс в теории динамических систем (ДС) позволяет рассмотреть более детально эту проблему с других позиций. Под ДС подразумевают объект или процесс, для которого однозначно определено состояние или совокупность некоторых величин в заданный момент времени и задан детерминированный оператор эволюции. Притягивающее множество в фазовом пространстве ДС, характеризующееся режимом установившихся непериодических колебаний, называется странным аттрактором. Странный аттрактор имеет дробную фрактальную размерность D.

Теория случайных процессов опирается на эмпирический метод, позволяющий справиться с недостаточной информацией о физических источниках, ответственных за создание изучаемого явления, но эта теория ничего не говорит о причинах случайности. В соответствии с теорией ДС достаточно очень малого числа степеней свободы для создания детерминированного хаоса. Идея применения таких моделей для описания радиолокационного отклика очень привлекательна и способствует более глубокому пониманию природы рассматриваемого явления [2 - 4, 9 - 11, 13].

Ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты. Сейчас можно уверенно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры D как параметра. Более того, учет фрактальности, по нашим расчетам, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ - диапазоне. Этот факт всегда интерпретировался практиками (и продолжает интерпретироваться) как, в основном, результат чисто инструментальных погрешностей (!).

В последнее время возрос также интерес к исследованию рассеяния волн неровными поверхностями, имеющими негауссовскую статистику. Часто приводятся доводы, что пространственный коэффициент корреляции рассеивающей поверхности не может быть экспоненциальным из-за недифференцируемости соответствующего стохастического процесса. Иногда в этом случае применяют регуляризирующую функцию в окрестности нуля. Более глубокое физическое обоснование применимости недифференцируемых функций для описания процессов рассеяния волн появилось лишь при внесении теории фракталов, теории дробной меры, операторов дробного интегродифференцирования и скейлинговых соотношений в данные задачи.

Отметим, что гауссовская модель является параболической вблизи угла падения , в то время как экспоненциальная модель - линейной. Фрактальная поверхность предполагает наличие неровностей всех масштабов относительно длины рассеиваемой волны. Особенности рассеяния волн фрактальной поверхностью обусловлены ее недифференцируемостью. Поэтому фрактальный фронт волны, являясь недифференцируемым, не имеет нормали. Тем самым исключаются понятия «лучевая траектория» и «эффекты геометрической оптики». Однако хорды, соединяющие значения характерных высот неровностей на определенных расстояниях по горизонтали, все-таки имеют конечный среднеквадратичный наклон. В этом случае вводят «топотезу» фрактальной хаотической поверхности; она равна длине, на которой наклоны поверхности близки к единичным [2, 3].

Фрактальные флуктуации миллиметровых волн в тропосфере

При проведении автором совместно с представителями ЦКБ “Алмаз” натурных экспериментов были исследована и фрактальность флуктуаций сверхширокополосных и простых сигналов на ММВ и СМВ в турбулентной тропосфере (в начале 80-х гг. XX в. это было экзотикой) при стробировании дистанции по дальности [14, 23, 24]. Средняя скорость ветра при проведении натурных экспериментов равнялась 30,5 м/c. Простейшая обработка показала, что в летнее время (температура воздуха 200 - 250) на приземной трассе протяженностью около 150 м на высоте 10 м и длине волны излучения =8,6 мм для амплитудных флуктуаций фрактальная размерность D1,63.

В этом случае параметр Херста (коразмерность) равен H0,37. В случае радиолокационного зондирования фрактальная размерность повышалась до D1,72 (H0,28). При моросящем дожде фрактальная размерность амплитудных флуктуаций уменьшалась до значений порядка D1,59 (H0,41). Величина среднеквадратичного отклонения во всех случаях не превышала значения 0,02. В экспериментах никогда не наблюдалась процессы с D = 1,5. Таким образом, в процессе наших натурных экспериментов наблюдались исключительно антиперсистентные процессы. Необходимо отметить, что метод Херста - это исключительно устойчивый метод [1 - 4, 9 - 11, 13]. В его основе нет изначального предположения о гауссовских распределениях. Для одномерного сигнала фрактальная размерность , характеризующая его структурные свойства, при условии связана следующим соотношением с показателем Херста H = D - 1. Значение H = 0,5 соответствует классическому броуновскому движению, являющимся марковским процессом.

В моделях случайного каскада, позволяющих демонстрировать перемежаемость и получать скейлинговые законы, при использовании преобразований Лежандра, часто возникают отрицательные фрактальные размерности. В рамках процедуры ренормализации по Крамеру, это просто означает, что коразмерность H больше трех, и вероятность встретить соответствующий скейлинг стремится к нулю быстрее, чем [24]. Отрицательную фрактальную размерность D можно понимать как параметр, управляющий скоростью разрежения последовательности множеств, сходящихся к пустому множеству.

Странные аттракторы и фракталы в моделях рассеяния волн

растительным покровом

Автором с учениками было доказано экспериментально наличие странного аттрактора, управляющего радиолокационным рассеянием ММВ от растительности, гипотеза о чем была высказана нами еще в 1997 г. В качестве исходных экспериментальных данных используются результаты из [14], полученные на волне 2,2 мм при круговой поляризации излучения весной 1980 г. Исследуемая поверхность имела следующие биометрические характеристики: травяной покров с двумя характерными высотами 0,4 и 1,0 м; густота растительности около 500 стеблей/м2; среднее сечение стебля 0,04 см2, удельная биомасса 700 г/м2, степень покрытия поверхности примерно 20%.

При реконструкции данного аттрактора по упорядоченным измерениям одной переменной необходимо построить пространство вложения размерности , чтобы описать все возможные топологические особенности аттрактора. Величина определяет число дифференциальных уравнений 1-го порядка, необходимых для описания физического поведения исследуемой ДС. Здесь - операция выделения целой части D, а D - истинная фрактальная размерность аттрактора.

Корреляционный интеграл C(r) является нормированным на числом пар точек, расстояние между которыми меньше r, где r - размер ячейки разбиения фазового пространства. Наклон линейного участка в логарифмических координатах определяет искомое значение размерности D странного аттрактора.

На рис. 29 показаны экспериментальные зависимости C(r) от r для гауссовского шума и радиолокационных отражений от растительности без шума при угле падения волны 500. Одновременно на тех же диаграммах показаны вычисленные фрактальные размерности D в зависимости от значения размерности вложения m. Наиболее точную оценку D получаем при изломе зависимости D(m). Непосредственно для процесса отражения радиоволн растительностью размерность вложения m = 7. Когда уровень шума превосходит уровень полезного сигнала, процесс насыщения прекращается.

Значение фрактальной размерности странного аттрактора по данным рис. 29 равно 2,8. Корреляционный интеграл C(r) можно также использовать как средство разделения детерминированного хаоса и внешнего белого шума. Для гауссовского шума (рис. 29) нет тенденции к насыщению. Поэтому ему соответствует аттрактор бесконечной размерности. Это различие широко используется при обработке временных реализаций неизвестной природы. Основным ограничением в экспериментах при идентификации хаоса на фоне аддитивного шума является отношение сигнал/шум. Минимальное отношение сигнал/шум оказалось равным 10 дБ. Дальнейшее увеличение интенсивности шума вызывает расползание аттрактора.

В итоге были получены следующие значения: ; ; бит/c; 1,7 с при времени корреляции интенсивности отраженного сигнала 210 мс и скорости ветра 3 м/с. Следовательно, если текущие условия измеряются с точностью до 1 бита, то вся предсказательная мощность во времени потеряется примерно за 1,7 с. При этом интервал предсказания интенсивности радиолокационного сигнала превышает время корреляции примерно в 8 раз (!).

Полученные результаты показывают, что для корректного описания процесса рассеяния радиоволн требуется не более 5 независимых переменных. На рис. 30 приведены зависимости D (фрактальные сигнатуры - слева) и корреляционных интегралов (справа) исследуемых экспериментально радиолокационных процессов рассеяния ММВ с = 2,2 мм березовым (1) и еловым (2 и 3) участками леса с 2,6.

Рис. 30. Зависимости D - слева и C(r) - справа для рассеяния ММВ лесом D2,6 (1 - березы, 2 и 3 - ель).	Рис. 31. Показатель Херста H для флуктуаций ММВ, отраженных еловым участком леса.

Расчеты показателя Херста (рис. 31) говорят, что в двух случаях из трех процесс рассеяния ММВ лесными массивами соответствует персистентному процессу c H > 0,5, т.е. процессу с памятью. Значения Н и их вариации важны при синтезе адаптивных фрактальных обнаружителей радиосигналов.

Предложенная автором динамическая фрактальная модель рассеяния электромагнитных волн земными покровами принципиально отличается от существующих классических моделей. Она имеет конечное число степеней свободы, описывает процессы негауссовского рассеяния, впервые вводит в рассмотрение интервал предсказания интенсивности принятого радиолокационного сигнала и его фрактальные характеристики (сигнатуры).

Рассеяние волн стохастической фрактальной поверхностью

В этой части исследований автором и аспирантом А.В. Лактюнькиным была применена частотно - ограниченная функция Вейерштрасса [1 - 4, 6 - 11, 13, 21], на которую налагается, естественно, меньше ограничений, чем на класс недифференцируемых функций. Данная модификация функции Вейерштрасса обладает как свойством самоподобия, так и все-таки конечным числом производных в пространственном диапазоне. Это позволяет выполнить аналитические и численные расчеты. Модифицированная двумерная диапазонно-ограниченная функция Вейерштрасса записывается в виде:

, (29)

Здесь - константа, обеспечивающая единичную нормировку; - параметр пространственно-частотного масштабирования; 2 < D < 3; K - основное пространственное волновое число; N и M - число гармоник; - произвольная фаза, распределенная равномерно в интервале [-р, р]. Функция (29) анизотропная в двух направлениях, если M и N не очень велики. Поверхность на ее основе имеет достаточно много масштабов, а шероховатость может изменяться в зависимости от рассматриваемого масштаба. Усредненный коэффициент пространственной автокорреляции двумерной фрактальной поверхности равен

, (30)

где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Таким образом, из соотношений (29) и (30) мы можем установить связь между усредненным интервалом корреляции и фрактальной размерностью D, а также значением q. На рис. 32 показаны зависимости от значений q и D соответственно [21].

(а)	(б)
Рис. 32. Интервал корреляции как функция D: q = 1,01; q = 1,5; q = 1,8; q = 2; q = 2,5; q = 2,7 (а) и как функция q: D = 2,01; D = 2,2; D = 2,3; D = 2,5; D = 2,67; D = 2,8; D = 2,99 (б).

С увеличением D величина уменьшается более быстро для тех же самых изменений q. Из данных рис. 32 видно, что величина монотонно спадает с возрастанием значения D. Величина неровностей фрактальной поверхности в основном управляется фрактальным параметром D.

Характерные примеры из обширной базы данных трехмерных индикатрис рассеяния и их сечений, рассчитанные в начале 2006 г. для длин волн мм, мм и см при разных значениях фрактальной размерности D и изменяющейся геометрии рассеяния, показаны на рис. 33, где - угол падения [21].

(а) (б) (в)

Рис. 33. Фрактальная поверхность и индикатриса рассеяния g(и2, и3) при и1 = 10°:

а - фрактальная поверхность D = 2,2; N = M = 20; q = 2,7; б - g(и2, и3) для л = 2,2 мм;

в - g(и2, и3) для л = 8,6 мм.

На основе функции Вейерштрасса для одномерной фрактальной рассеивающей поверхности были также рассчитаны зависимости модуля поля рассеяния от фрактальной размерности поверхности D и от угла падения (рис. 34 и рис. 35 соответственно). Чем больше фрактальная размерность, тем выше абсолютное значение поля рассеяния. Данное явление можно объяснить увеличивающимся вкладом вторичного рассеяния на мелких неровностях по сравнению с менее шероховатой поверхностью. При изменении угла падения поле рассеяния меняется спонтанно, что объясняется хаотической структурой рассеивающей поверхности.

Рис. 34. Зависимость модуля поля рассеяния от фрактальной размерности для падающей длины волны 2,2 мм.	Рис. 35. Зависимость модуля поля рассеяния от угла падения.

Дальнейшие исследования рассеяния волн на фракталах будут продолжены нами в рамках расчета частотных функций когерентности и полосы когерентности Дfk в виде:

=, (31)

в случае фрактального радиолокационного канала зондирования [2, 3, 9, 10, 13 - 15, 41]. Для этого автором в [14, 41] были ранее введены и рассчитаны обобщенные корреляторы полей обратного рассеяния .

Эффекты частотной корреляции модулированных волн, рассеянных шероховатой поверхностью, особенно важны при оценках ширины спектра зондирующих сложных сигналов, разноса частот в многочастотных радиосистемах и полосы частот в случае передачи широкополосных сигналов, частотного усреднения интенсивности волнового поля, искажений формы зондирующих сигналов, высоты полета летательного аппарата и океанографических характеристик, фазы волны (так называемая, фазовая проблема) и т.п. Частотная полоса когерентности , определяющая меру коррелированности волн на двух различных частотах в любой момент времени. Величина, обратная , представляет собой уширение импульса, обусловленное рассеяние на протяженной шероховатой поверхности. Концепция полосы когерентности лежит в основе правильности выбора ширины спектра зондирующих простых или сложных сигналов или разноса частот в многочастотных системах радиолокационного зондирования и в каналах связи с рассеянием.

Фрактальные характеристики радиотеплового излучения атмосферы

Миллиметровые волны активно взаимодействуют с газами земной атмосферы, особенно с кислородом и водяным паром, а также с гидрометеорными образованиями, к которым относятся дожди, облака, снегопады и т.п. В результате этого взаимодействия ММВ сильно поглощаются и рассеиваются в тропосфере. Ниже впервые рассмотрены фрактальные характеристики реального процесса радиотеплового излучения на длине волны 8,2 мм[3]. Интенсивность радиотеплового излучения тропосферы, характеризуемая как радиояркостная температура , измерялась радиометрическим методом на длине волны = 8,2 мм.

На основе экспериментальных данных были восстановлены фазовые портреты для каждой полученной серии и построены автокорреляционные функции исследуемых серий. Эмпирические распределения вероятностей значений радиотеплой температуры, построенные на различных сериях (№№ 1 … 5) экспериментальных данных, слабо различаются между собой.

Анализ статистических характеристик радиотеплового излучения производился с помощью диаграммы Пирсона (рис. 36). Оказалось, что статистические характеристики серий № 1 и № 2 группируются в области законов распределений, близких к гауссовскому, с другой стороны, серии №№ 3 - 5 находятся в области степенных законов с тяжелыми хвостами. Таким образом, данный факт говорит о целесообразности использования именно фрактальной обработки [2 - 4]. Далее измерялись фрактальная размерность D и показатель Херста H - табл. 4.

Фрактальная обработка позволила установить, что в трех случаях (серии №№ 1 - 4) наблюдался антиперсистентный процесс; еще в одном случае наблюдался процесс, близкий к классическому броуновскому движению, являющимся марковским процессом (серия № 5).



Рис. 36. Диаграмма Пирсона для серий радиотепловых измерений: серия 1 - чистая тропосфера, 2 - кучево - дождевая облачность, 3 - слоисто - кучевые облака.

Фрактальные характеристики радиотеплового излучения.

Таблица 4.

Номер серии	Фрактальная размерность	Показатель Херста H
1	1,7746	0,2254
2	1,6509	0,3491
3	1,7172	0,2828
4	1,5190	0,4810
5	1,4943	0,5057

Таким образом, мы впервые ввели в научный обиход фрактальные характеристики радиотеплового излучения тропосферы в диапазоне ММВ. Дальнейшие исследования проводятся с целью определения фрактальных характеристик стохастического флуктуационного процесса, выделенного после удаления тренда из экспериментальных зависимостей. Этот метод предложен ранее автором при анализе эволюции отраженных импульсов ММВ, которые разделялись на две части: с гауссовской и негауссовской статистикой [14].



12. Авторская концепция фрактальных радиоэлементов и

фрактальных радиосистем

Фрактальный непараметрический обнаружитель радиолокационных сигналов

Создание первого эталонного словаря фрактальных признаков классов целей и постоянное усовершенствование алгоритмического обеспечения явились основными этапами при разработке в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН первого в мире фрактального непараметрического обнаружителя радиосигналов (ФНОРС) в виде спецпроцессора - рис. 37 [3, 4, 8 - 11, 13, 16, 22, 25, 27] - (автор и к.ф.-м.н. В.А. Герман).

В схеме на рис. 37 приняты следующие обозначения: УВЧ - усилитель высокой частоты; СМ - смеситель; Г - гетеродин; ПФ - полосовой фильтр; УПЧ - усилитель промежуточной частоты; КД - квадратурный детектор (перенос спектра на нулевую частоту); Re, Im - действительная и мнимая квадратуры; АЦП - аналого - цифровой преобразователь; ЦП - центральный процессор; ОЗУ - оперативное запоминающее устройство; УВВ - устройство ввода/вывода (монитор, клавиатура, манипулятор «мышь», принтер, сетевой адаптер); НЖМД - устройство накопления на жестких магнитных дисках; ОС - операционная система; ПО - программное обеспечение.

Рис. 37. Структурная схема фрактального непараметрического обнаружителя радиолокационных сигналов (ФНОРС)

В НЖМД ФНОРС хранятся следующее программное обеспечение (ПО): а) «ПО 1» - вычисление мгновенных значений фрактальной размерности ; б) «ПО 2» - вычисление полной сигнатуры , обрабатываемого массива данных; в) «ПО 3» - вычисление в реальном времени реализаций наблюдаемых данных в разных временных масштабах, прореживание, интерполяция (сгущение); г) «ПО 4» отбор данных по значениям их дробной меры; д) «ПО 5» - восстановление полезного сигнала из входной смеси с помощью многомасштабного фрактального анализа.

В соответствии с решаемыми задачами, ПО ФНОРС может быть в дальнейшем расширено. Подробное описание работы ФНОРС, результаты фрактальной обработки реальных радиосигналов и характеристики обнаружения подробно рассмотрены в [3, 4, 8 - 11, 13, 16, 22, 25, 27].

Наноструктуры и фракталы

На основе нанофазных материалов также можно создать [3, 4, 8 - 11, 13, 16, 22, 25, 27, 42, 43] планарные и объемные микро- и наноструктуры, моделирующие рассмотренные выше «фрактальные» радиоэлементы и радиоустройства микроэлектроники, т.е. речь идет о построении элементной базы нового поколения на основе фрактальных эффектов и свойств (см. рис. 1). В частности, элементарное обобщение канторова множества на физическом уровне позволяет перейти к так называемым канторовым блокам в планарной технологии молекулярных наноструктур.

Для рассматриваемых задач автором предложены и используются в настоящее время следующие основные пути: a)-миниатюрные фрактальные антенны, b)-фрактальные структуры в фотонных и магнонных кристаллах, с)-физическое моделирование фрактальных импедансов и дробных операторов, d)-перколяционный синтез наноструктурированных композитов и т.п.

Теория перколяции - теория, описывающая возникновение бесконечных связных структур или кластеров, состоящих из отдельных элементов. Представляя среду в виде решетки, можно сформулировать два типа задач. Можно выборочно случайным образом красить (открывать) узлы решетки, считая долю окрашенных узлов основным независимым параметром и полагая два окрашенных узла принадлежащими одному кластеру, если их можно соединить непрерывной цепочкой соседних окрашенных узлов. Такие вопросы, как среднее число узлов в кластере, распределение кластеров по размерам, появление бесконечного кластера и доля входящих в него окрашенных узлов, составляют содержание задачи узлов.

Можно также выборочно красить (открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей. Тогда те же самые вопросы о среднем числе узлов в кластере и т.д. составляют содержание задачи связей. Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является моделью изолятора. Когда они все открыты и по проводящим связям через открытые узлы протекает ток, то решетка моделирует металл. При каком-то критическом значении произойдет перколяционный переход, являющийся геометрическим аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности перехода. Вдали от перехода достаточно аппроксимации эффективной среды. Перколяционный переход аналогичен фазовому переходу второго рода.

Применение рекурсивного процесса в принципе позволяет создавать самоподобную иерархическую структуру (см.выше п.7.5). При этом необходим учет взаимного и коллективного влияния электромагнитных полей с компонентами устройств.

В настоящее время заметное внимание специалистов уделяется моделированию фрактальных объектов комплексной динамики различными диссипативными системами. Наиболее естественный путь моделирования - это использование сценария Фейгенбаума перехода к хаосу через удвоение периода. В контексте нашей работы, множества Жюлиа, Фату и Мандельброта (рис. 38) - интересные объекты для физической разработки новых форм и видов фрактальных антенн и других фрактальных наноструктур и метаматериалов на их основе [3, 4, 8 - 11, 13, 16, 22, 25, 27, 42, 43]. Здесь можно говорить и о “модных” в настоящее время “фрактальных лабиринтах”. Такие фрактальные конструкции выполнимы при существующем уровне развития нанотехнологий.

(а)
(б)
Рис. 38. Множество Мандельброта zn+1 = + C: а) как его впервые представил Б. Мандельброт в черно-белом цвете; б) цветовое.

Методы фрактального анализа наноструктурированных

композитных материалов

В современной науке и технике одним из важнейших направлений является создание наноструктурированных материалов, исследование их свойств и разработка на их основе новых технологий, устройств и электронных приборов. Материалы со специальными физико-механическими и химическими свойствами, технология их изготовления и обработки являются основой создания новой наукоемкой продукции. Ценность разработкам и исследованиям в области новых материалов придает тот факт, что некоторые из разработанных технологий являются так называемыми прорывными, генеративными, то есть, порождающими принципиально новые научно-технические направления, либо дающими основу для техники новых поколений. Изложение данного п. 12.3 ведется по работам [25, 42, 44 - 46].

С помощью таких материалов можно создавать объемные среды и планарные наноструктуры с уникальными физическими характеристиками. Эти структуры могут быть объемными, планарными (пленочными), а также могут состоять из наночастиц и отдельных молекул, распределённых в структурах и матрицах различных типов, обладать уникальными характеристиками, связанными с пониженной физической размерностью объектов: нульмерной, одномерной, двумерной, а также иметь дробную размерность, связанную с фрактальными свойствами наноструктур.

Наноструктурированные материалы представляют собой вещества с внутренней структурой, имеющей характерные размеры нанометрового масштаба. Структурированные композитные нанофазные материалы имеют специфические особенности и свойства, отличные от веществ, находящихся в обычных фазах, например, могут иметь другие механические и электрофизические характеристики в различных частотных диапазонах в том числе в микроволновом и оптическом диапазонах. Основой наномасштабной структуры могут быть как наночастицы различной природы, так и молекулярные кластеры, обладающие типичной для молекул абсолютной идентичностью свойств. Разработка наноструктурированных материалов связана с технологией формирования наночастиц.

В рамках феноменологического подхода наночастицы рассматриваются как специфические псевдомолекулы, отличающиеся от истинных молекулярных соединений непостоянством состава. Таким образом, наночастицы представляют собой новый объект, занимающий место между молекулярными кластерными соединениями, с одной стороны, и традиционными ультрадисперсными порошковыми материалами, с другой.

Металлическая наночастица - это находящийся в среде из легких атомов объект сфероидальной формы, состоящий из 10 - 103 атомов, имеющий диаметр 1 - 10 нм и соотношение между количествами поверхностных частиц и частиц в объеме, равное и более единицы (Nпов > Nоб ? 1). Многочисленные методы получения наночастиц можно сгруппировать вокруг двух основных путей их образования- из атомов металлов в результате нуклеации или из компактного металла путем диспергирования.

Для наночастиц доля поверхностных атомов Nпов соизмерима (или даже больше) с числом атомов в объеме частицы Nоб. Простое выражение дает долю поверхностных атомов от общего числа атомов п в сферической частице: S = 4/n1/3. Энергия взаимодействия наночастиц такова, что они способны эффективно взаимодействовать с любыми химическими соединениями, включая инертные газы. Глубина взаимодействия со средой определяется двумя основными факторами: размером частиц (соответственно долей поверхностной энергии в общей энергии частицы) и природой металла.

Объединение наночастиц в объеме и на плоскости довольно сильно различается: трехмерная диффузия приводит к образованию компактных объемных вторичных частиц, в то время как на плоской поверхности объединение наночастиц носит ярко выраженный фрактальный характер с образованием дендритных структур различной размерности. Движущей силой агломерации наночастиц является стремление минимизировать поверхностную энергию. Как правило, имеются “кинетические” препятствия слиянию наночастиц в компактный материал. Обычно таким препятствием является тончайший моноатомный слой из легких атомов, и сближение взаимодействующих наночастиц заканчивается на равновесном расстоянии 3,5 - 4 Е. В результате образуются так называемые вторичные частицы, являющиеся той или иной формой объединения наночастиц. Вторичные частицы могут достигать значительных размеров. При этом многие свойства индивидуальных наночастиц сохраняются.