Математические основы психологии

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный педагогический университет имени И. Н. Ульянова»

Кафедра психологии

Учебное пособие

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПСИХОЛОГИИ

Г. А. Стрюкова

Ульяновск 2013



УДК 15.073 Печатается по решению редакционно-издательского

ББК 88 совета ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный

С 87 педагогический университет имени И. Н. Ульянова»

Рецензенты:

Коноплёва И. В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики ФГБОУ ВПО УлГУ;

Гурылёва Л. В. - кандидат психологических наук, доцент кафедры психологии ФГБОУ ВПО «УлГПУ им. И. Н. Ульянова»

ISBN 978-5-86045-535-1

С 87 Стрюкова Г. А. Математические основы психологии: Учебное пособие. - Ульяновск: УлГПУ, 2013. 92 с.

В учебном пособии рассматриваются основные методы статистической обработки эмпирических и экспериментальных данных, включая непараметрические и параметрические критерии оценки различий, согласия распределений, корреляционный анализ. Приведены необходимые теоретические сведения и формулы для решения типовых задач, наиболее часто встречающихся в экспериментальных психологических исследованиях. На конкретных примерах рассмотрены алгоритмы решения типовых задач. В качестве приложения к учебному пособию приведены справочные таблицы для определения критических значений основных статистических критериев, задания для самостоятельного решения.

Учебное пособие предназначено для студентов психологических специальностей. Пособие также может быть использовано студентами других специальностей педагогического вуза в качестве справочника при написании выпускных квалификационных и курсовых работ.

УДК 15.073

ББК 88

© Стрюкова Г. А.

© ФГБОУ ВПО

«УлГПУ им. И. Н. Ульянова»

Содержание

Введение

1. Понятие измерения в психологии. Измерительные шкалы

1.1 Понятие измерения

1.2 Измерительные шкалы

1.3 Номинативная шкала (номинальная, шкала наименований)

1.4 Порядковая (ранговая, ординарная) шкала

1.5 Шкала интервалов (интервальная шкала)

1.6 Шкала отношений (шкала равных отношений)

1.7 Правила ранжирования

2. Выборка. Формы учёта результатов измерений

2.1 Выборка и её репрезентативность

2.2 Формы учёта результатов измерений

3. Числовые характеристики распределений. Нормальное распределение

3.1 Мода и медиана. Среднее арифметическое

3.2 Разброс выборки, дисперсия, стандартное отклонение

3.3 Число степеней свободы

3.4 Понятие нормального распределения

4. Общие принципы проверки статистических гипотез

4.1 Проверка статистических гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы

4.2 Понятие уровня статистической значимости

4.3 Этапы принятия статистического решения

5. Статистические критерии различий. Непараметрические критерии для связных выборок

5.1 Понятие о критериях различий. Параметрические и непараметрические критерии

5.2 Непараметрические критерии для связных выборок

5.3 Критерий знаков G

5.4 Парный критерий Т - Вилкоксона

6. Непараметрические критерии для несвязных выборок

6.1 Критерии для несвязных выборок

6.2 U-критерий Манна - Уитни

6.3 Критерий Q Розенбаума («критерий хвостов»)

7. Критерии согласия распределений

7.1 Понятие о критериях согласия

7.2 Критерий хи-квадрат

7.3 Критерий Фишера - ц

8. Корреляционный анализ. Коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена

8.1 Понятие корреляционной связи

8.2 Коэффициенты корреляции

8.3 Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена

8.4 Коэффициент линейной корреляции Пирсона

9. Параметрические критерии различий

9.1 Понятие о параметрических критериях

9.2 T-критерий Стьюдента

Рекомендуемая литература



Введение

Перед человеком, вставшим на путь психологического или педагогического исследования, рано или поздно возникает проблема обоснования его результатов. Любое исследование подразумевает применение валидных методик, назначение которых - выявлять проявление (количественное или качественное) какого-либо признака у испытуемых, то есть что-либо измерять или устанавливать наличие (отсутствие). Таким образом, молодой учёный оказывается обладателем целого ряда (нескольких рядов) численных значений и имеет возможность стать также и математиком.

Простейшие математические процедуры, известные из курса элементарной (школьной) математики, как то: подсчёт общего числа испытуемых в какой-либо группе, вычисление процентного содержания, то есть так называемая описательная статистика, безусловно необходимы, но далеко не достаточны для научного исследования. Даже если были получены очень хорошие результаты, например: до эксперимента в группе у 35% испытуемых проявлялся какой-либо признак (высокий уровень тревожности и т.д.), а после эксперимента - всего лишь у 5%. Предъявление результатов эксперимента на данном уровне (описательной статистики) не может служить доказательством эффективности экспериментального воздействия.

Наряду с описательной статистикой должны быть использованы статистические методы более высокого уровня - подсчёт различных критериев или коэффициентов. Каждый из них предназначен для «своей» области. Для одного и того же случая могут оказаться применимыми не один, а целый ряд методов. Какие это методы и как их использовать, каковы области их применения - на эти вопросы даны ответы в данном пособии.

Пособие содержит описание лишь некоторых статистических методов, на наш взгляд, наиболее адекватных научному исследованию на начальных этапах - на уровне курсовой работы по психологии или выпускной квалификационной работы по психологии и педагогике. В ходе описания каждого метода математической статистики сохраняется логика изложения: приводится описание и назначение метода, условия и алгоритм его применения. В завершении рассматривается пример с подробным решением, доказательством психологической гипотезы данным методом математической статистики. В пособие включён раздел «Задания для самостоятельного решения», предназначенный для использования на практических и семинарских занятиях по предмету «Математические основы психологии».

Материал пособия отобран из основных признанных и современных учебников и учебных пособий по дисциплине. В наибольшей степени это относится к учебнику «Математическая статистика для психологов» О. Ю. Ермолаева и работе «Методы математической обработки в психологии» Е. В. Сидоренко. Это очень разные книги: и написаны различным языком, и ориентированы на очень разные сферы. На наш взгляд, если вы хотите расширить свои знания по математическим методам (рассмотреть не один, а несколько примеров, познакомиться с другими методами на уровне нашего пособия) - используйте учебник О. Ю. Ермолаева. Если же ваша задача - пойти «вглубь»: узнать о смысле метода, представить его графическую интерпретацию, познакомиться с другими обозначениями величин - вам необходим учебник Е. В. Сидоренко. Последний содержит, кроме этого, и интересные, нестандартные психологические задачи, взятые «из жизни».

Обе указанные работы содержат справочные таблицы так называемых критических значений, без которых невозможно обойтись при работе с математическими методами в психологических и педагогических исследованиях. Часть данного справочного материала, необходимого для работы с отобранными нами в качестве основных методами, приводится и в нашем пособии в разделе «Таблицы критических значений».

Знакомство с методами математической статистики предваряют три первых темы данного пособия, в которых определяется понятийный аппарат дисциплины, отрабатываются основные навыки, необходимые для использования методов.

В конце пособия представлены темы для рефератов по дисциплине «Математические основы психологии» и список рекомендуемой литературы.



1. Понятие измерения в психологии. Измерительные шкалы

1.1 Понятие измерения

Измерение - это процедура, с помощью которой измеряемый объект сравнивается с некоторым эталоном, в результате чего получается численное выражение в определённом масштабе или шкале.

Единица измерения - условный эталон для осуществления тех или иных измерительных процедур.

В естественных науках и технике существуют стандартные единицы измерения (градус, метр, ампер и т.д.). Психологические переменные (за единичными исключениями) не имеют собственных измерительных единиц. В психологии измерение осуществляется с помощью кодирования.

Кодирование - это такая операция, с помощью которой экспериментальным данным придаётся форма числового сообщения (кода).

Научно-исследовательскую работу психолога, проводящего эксперимент, можно представить по следующей схеме:

ИССЛЕДОВАТЕЛЬ (психолог)

предмет исследования (психические свойства, процессы, функции, …)

испытуемый (группа испытуемых)

эксперимент (измерение)

данные эксперимента (числовые коды)

статистическая обработка данных эксперимента

результат статистической обработки (числовые коды)

выводы (печатный текст: отчёт, диплом, статья и т.д.)

ПОЛУЧАТЕЛЬ НАУЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ (руководитель курсовой, дипломной или кандидатской работы, заказчик, читатель статьи и т.д.)



1.2 Измерительные шкалы

Значение психологического признака определяется с помощью специальных измерительных шкал. Согласно С. Стивенсу (1951), существует 4 типа измерительных шкал (способов измерения):

1) номинативная, номинальная или шкала наименований;

2) порядковая, ординарная или ранговая шкала;

3) интервальная или шкала равных интервалов;

4) шкала равных отношений, или шкала отношений.

Все находящиеся в одной строке наименования являются синонимами и используются на равных основаниях. Применение процедуры измерения возможно только 4-мя перечисленными способами. Причём каждая шкала имеет собственную, отличную от других, форму кода, систему фиксации статистического материала, соответствующие статистические методы обработки.

Измерения, осуществляемые с помощью первых двух шкал, считаются качественными, а осуществляемые с помощью двух последних шкал, количественными.

Самое главное, о чём должен помнить психолог при выборе способа измерения, это то, что он должен соответствовать поставленной задаче.

1.3 Номинативная шкала (номинальная, шкала наименований)

Особенность шкалы - при измерении осуществляется классификация или распределение объектов (например, особенностей личности) на непересекающиеся классы, группы; не подразумевается каких-либо количественных операций или сравнения (нельзя сказать, что какой-то признак больше или лучше).

Примеры: разбиение людей по четырём типам темперамента (сангвиник, холерик, флегматик, меланхолик); нумерация игроков спортивной команды; выбор варианта ответа на вопрос закрытой анкеты (а, б, в, г, д) и т.д.

Частный случай номинативной шкалы (самый простой): дихотомическая шкала. Измеряемые признаки кодируются двумя символами: цифрами (0 или 1), буквами (А или Б), любыми двумя отличающимися друг от друга символами («репка» и «вишенка»). В этой шкале все объекты разбиваются на 2 непересекающихся множества по признаку: проявился ли данный признак или нет (Да или Нет).

Примеры: мальчик или девочка; ребёнок из полной или из неполной семьи; экстраверт или интроверт и т.д.

Во всех этих случаях можно только подсчитать количество индивидов, обладающих тем или иным признаком, т.е. можно подсчитать частоту встречаемости признака. Единица измерения - количество наблюдений (испытуемых, свойств, реакций и т.п.). Общее число наблюдений принимается за 100%, и тогда становится возможным вычисление процентного соотношения (например, мальчиков и девочек в классе).

Количество групп разбиения может быть больше, чем 2. В этом случае также можно подсчитать процентный состав. Кроме того, можно найти группу с наибольшей частотой измеренного признака. Эта группа носит название моды.

К результатам измерений, полученным в номинативной шкале, возможно применение лишь небольшого числа статистических методов:

1) критерий Макнамары;

2) критерий хи-квадрат (2);

3) угловое преобразование Фишера «»;

4) коэффициент корреляции «».

1.4 Порядковая (ранговая, ординарная) шкала

Особенность шкалы - вся совокупность измеренных признаков расчленяется на такие множества, которые связаны между собой отношением сравнения («больше - меньше», «выше - ниже», «сильнее - слабее» и т.д.).

Примеры: школьные оценки от 1 до 5; судейские оценки во время конкурсов и соревнований; значимость ценностей для индивида и т.д.

В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше 3-х классов, чтобы можно было расставить измеренные признаки по порядку. От классов просто перейти к цифрам, если считать, что низший класс получает ранг (код или цифру) 1, средний - 2, высший - 3 (или наоборот). Числа в ранговых шкалах обозначают лишь порядок следования признаков, а операции с числами в этой шкале - это операции с рангами.

В ранговой шкале применяется множество разнообразных статистических методов. Наиболее часто применяются:

1) коэффициенты корреляции Спирмена и Кэндалла;

2) разнообразные критерии различия.

1.5 Шкала интервалов (интервальная шкала)

Особенность шкалы - каждое из возможных значений измеренных величин отстоит от ближайшего на равном расстоянии; нет естественной точки отсчёта (нуль условен и не указывает на отсутствие измеряемого свойства).

Главное понятие шкалы - интервал (доля или часть измеряемого свойства между двумя соседними позициями на шкале). Размер интервала - величина фиксированная и постоянная на всех участках шкалы. Для измерения посредством данной шкалы устанавливают специальные единицы измерения; в психологии это стены и стенайны.

В интервальной шкале может считаться проведённым исследование по строго стандартизированной тестовой методике.

Пример: стандартизированные тесты интеллекта, где условная единица измерения IQ эквивалентна как при низких, так и при высоких значениях интеллекта.

К экспериментальным данным, полученным в данной шкале, применимо достаточно большое число статистических методов.

1.6 Шкала отношений (шкала равных отношений)

Особенность шкалы - наличие твёрдо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака.

Шкала отношений близка к интервальной шкале. Она наиболее информативная, допускает любые математические операции и использование разнообразных статистических методов. В этой шкале производятся точные и сверхточные измерения в физике, химии, математике, микробиологии и т.д., а также в близких к психологии науках: психофизика, психофизиология, психогенетика.

1.7 Правила ранжирования

Особенности ранжирования числовых характеристик:

1) Наименьшему числовому значению приписывается ранг 1.

2) Наибольшему числовому значению приписывается ранг, равный количеству ранжируемых величин.

3) В случае если несколько исходных значений оказываются равными, то им приписывается ранг, равный средней величине тех рангов, которые эти величины получили бы, если они стояли по порядку друг за другом и не были бы равны.

4) Общая сумма реальных рангов должна совпадать с расчётной, определяемой по формуле:

Сумма рангов =

5) Не рекомендуется ранжировать более чем 20 величин (признаков, качеств, свойств и т.п.), поскольку в этом случае ранжирование оказывается малоустойчивым.

6) При необходимости ранжирования достаточно большого количества объектов их следует объединить по какому-либо признаку в достаточно однородные классы (группы), а затем уже ранжировать полученные классы (группы).

Пример 1.1. У 11-ти испытуемых получены показатели невербального интеллекта, которые представлены в таблице. Проранжируйте эти показатели. Сделайте проверку правильности ранжирования.

Решение: Необходимо заполнить третий столбец таблицы. Числа в скобках - вспомогательные записи в случае равных значений. В нашем случае - это значение 117. Оно встречается дважды (восьмым и девятым по порядку). Следовательно, ранг этого значения равен среднему арифметическому чисел 8 и 9, т.е. 8,5.

№ испытуемых п/п	Показатели интеллекта	Ранги
1	113	6
2	107	4
3	123	11
4	122	10
5	117	(8) 8,5
6	117	(9) 8,5
7	105	3
8	108	5
9	114	7
10	102	1
11	104	2

Проверка:

1) Сумма рангов: 6+4+11+10+8,5+8,5+3+5+7+1+2=66

2) По формуле: = =116 = 66

3) Сравниваем результаты: 66 = 66, следовательно, ранжирование проведено верно.

Вопросы для обсуждения

1. Что называется измерением, единицей измерения? Чем отличается измерение в психологии от измерения в естественных науках и технике?

2. Что такое кодирование? На каких этапах научного исследования психолог работает с числовыми кодами?

3. Какие типы измерительных шкал существуют? Каковы принципиальные различия между типами шкал?

4. Каковы особенности, примеры и частные случаи номинативной шкалы? Каковы другие названия данной шкалы? Какие статистические методы применимы к данной шкале?

5. Ранговая шкала: её особенности, примеры. Другие названия ранговой шкалы. Статистические методы, применимые в ранговой шкале.

6. Что такое ранжирование? Каковы правила ранжирования?

7. Как осуществить проверку правильности ранжирования?

8. Каковы рекомендации по ранжированию большого количества величин?

9. Шкала интервалов: особенности, примеры. Интервал и его размер. Применимость статистических методов к шкале интервалов.

10. Шкала отношений и её отличие от шкалы интервалов. Применимость шкалы отношений в психологии.

11. Вы измеряете согласие девятиклассников на продолжение обучения в профильном классе школы. Школьник может дать ответ «Да» или «Нет». В какой шкале осуществляется данное измерение?

12. Проводится измерение веса и роста младших школьников. В какой шкале осуществляется измерение?

13. Вы определяете быстроту реакции военных лётчиков. Для этого фиксируется время ответа испытуемого на световой сигнал. В какой шкале проводится данное измерение?

14. Какие измерения вы можете провести в своей группе, чтобы они были проведены:

а) в шкале наименований;

б) в ординарной шкале;

в) в интервальной шкале;

г) в шкале равных отношений?

15. Какие психологические методики позволяют осуществлять измерение в шкале интервалов?



2. Выборка. Формы учёта результатов измерений

2.1 Выборка и её репрезентативность

Генеральная совокупность - всеобъемлющая группа объектов какой-либо природы.

Примеры: женщины; первоклассники; спортсмены; люди, побывавшие в космосе и т.д.

Теоретически считается, что объём генеральной совокупности не ограничен. Практически - всегда ограничен и может быть различным.

Полное (сплошное) исследование - психологическое исследование, в ходе которого подвергаются изучению все представители генеральной совокупности.

Позволяет получить исчерпывающую информацию, но чаще всего нереально. Обычно проводится частичное (выборочное) исследование.

Частичное (выборочное) исследование - психологическое исследование, в ходе которого подвергаются изучению только некоторые представители генеральной совокупности (выборка).

Выборка - любая подгруппа элементов (испытуемых, респондентов), выделенная из генеральной совокупности для проведения исследования.

Респондент - испытуемый, отдельный индивид из выборки, с которым работает психолог.

Объём выборки - число респондентов в выборке. Обозначается буквой n (или N). Различают малую выборку (до 30 респондентов), среднюю (от 30 до 100), большую (свыше 100 респондентов).

Репрезентативная (представительная) выборка - такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности представлены приблизительно в той же пропорции и с той же частотой, с которой данный признак выступает в данной генеральной совокупности. (Это меньшая по размеру, но точная модель генеральной совокупности).

Виды соотношений выборок

1) Независимые (несвязные) выборки. Если процедура эксперимента и полученные результаты одной выборки не оказывают влияния на особенности протекания процедуры и результаты другой выборки.

2) Зависимые (связные) выборки. Если процедура эксперимента и полученные результаты одной выборки оказывают влияние на другую выборку. Одна и та же выборка, на которой дважды проводилось психологическое обследование (пусть даже разных психологических качеств, особенностей), является зависимой (связной).

2.2 Формы учёта результатов измерений

Первичный экспериментальный материал нуждается в обработке. Она начинается с упорядочения и систематизации собранных данных, группировки. Она может осуществляться в виде статистических таблиц или статистических рядов.

1) Статистические таблицы. Бывают простыми и сложными.

а) Простые таблицы. Применяются при альтернативной группировке, когда одна группа противопоставляется другой. Рекомендуется использовать при измерении в номинативной или ранговой шкале.

Пример 2.1. Результаты обследования мануальной асимметрии у 110 учащихся 3-6-х классов могут быть представлены в виде простой таблицы:

Классы	Праворукие	Леворукие	Сумма
3	23	2	25
4	20	4	24
5	22	9	31
6	22	8	30
Сумма	87	23	110

Измерение проведено в дихотомической шкале. Противопоставляются группы праворуких и леворуких учащихся по их количеству в каждой параллели. Наличие строки и столбца «Сумма» позволяет наглядно представить общее число детей: по признаку мануальной асимметрии (87 праворуких и 23 леворуких); в параллели; общее число респондентов (объём выборки - 110). На основании данной таблицы можно сделать определённые выводы, в частности, что среди учеников обследуемых классов больше праворуких, нежели леворуких.

б) Сложные таблицы - многопольные. Используются при выяснении причинно-следственных отношений между варьирующими признаками.

Пример 2.2. Представлены данные, иллюстрирующие положительную зависимость между уровнем готовности к школьному обучению и уровнем адаптации первоклассников к школе.

Таблица является девятипольной (3 · 3так как рассматривается два параметра (готовность к школьному обучению и адаптация к школе) трёх уровней (высокий, средний и низкий). В результате таблица содержит три строки и три столбца. Кроме этого добавляются результирующие строка и столбец «Всего».

Уровень готовности к школьному обучению	Уровень адаптации к школе	Всего
	Высокий	Средний	Низкий
Высокий	10	2	1	13
Средний	7	23	4	34
Низкий	-	2	5	7
Всего	17	27	10	54

Таблица позволяет выявить тенденцию, заключающуюся в том, что первоклассники, подготовленные к школьному обучению, как правило, лучше адаптируются к школе.

Таким образом, правильно составленные таблицы - большое подспорье в экспериментальной работе. Кроме таблиц (простых и сложных) группировка экспериментальных данных может осуществляться в виде статистических рядов.

2) Статистические ряды. Чаще всего используются вариационные ранжированные статистические ряды. Это двойной ряд чисел, в котором первая строка - значения признака (варианты, xi), расположенные в порядке возрастания, а вторая строка - частоты вариант (сколько раз каждая варианта встречается в выборке, fi). Сумма частот должна быть равна объёму выборки: Уfi = n.

Статистический ряд может содержать третью строку - относительные частоты вариант ni, которые определяются как отношение частоты к объёму выборки: ni = . Сумма относительных частот должна равняться 1. Относительные частоты могут быть представлены в процентах: ni = 100%.

Пример 2.3. Психолог провёл тестирование интеллекта по тесту Векслера у 25 школьников, и сырые баллы по второму субтесту оказались следующими: 6; 9; 5; 7; 10; 8; 9; 10; 8; 11; 9; 12; 9; 8; 10; 11; 9; 10; 8; 10; 7; 9; 10; 9; 11. Записать данные в виде статистического ряда.

Решение: n = 25. Статистический ряд имеет вид:

Варианта xi	5	6	7	8	9	10	11	12	У
Частота варианты fi	1	1	2	4	7	6	3	1	25
Относительная частота варианты ni (или %)	0,04 (4%)	0,04 (4%)	0,08 (8%)	0,16 (16%)	0,28 (28%)	0,24 (24%)	0,12 (12%)	0,04 (4%)	1 (100 %)



3. Числовые характеристики распределений. Нормальное распределение

3.1 Мода и медиана. Среднее арифметическое

Для экспериментальных данных, полученных по выборке, можно вычислить ряд числовых мер. Это мода, медиана, среднее арифметическое, разброс выборки, дисперсия, стандартное отклонение.

Мода - такое числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Обозначается иногда как (или Мо).

Пример 3.1. Определить моду в ряду значений: (2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10).

Решение: модой является число 9, т.к. 9 встречается чаще других значений. =9.

Правила нахождения моды

1) Если все значения в выборке встречаются одинаковое число раз, говорят, что выборочный ряд не имеет моды.

2) Когда 2 соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих значений.

Пример 3.2. Имеется ряд значений: (1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6). Частоты смежных значений 2 и 5 совпадают и равны 3. Эта частота больше, чем частота других значений 1 и 6. Следовательно, модой этого ряда будет величина

= 3,5.

3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные значения, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. В этом случае выборку называют бимодальной. Могут существовать и мультимодальные ряды.

Медиана - это значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам. Обозначается как (или Md).

Пример 3.3. Найти медиану выборки: 9, 3, 5, 8, 4, 11, 13.

Решение: Сначала упорядочим выборку по величинам входящих в неё значений: (3, 4, 5, 8, 9, 11, 13). В выборке 7 элементов, следовательно, четвёртый по порядку элемент (8) будет средним (до него - 3 элемента и после него 3 элемента). Таким образом, медианой будет четвёртый элемент: =8.

Пример 3.4. Найти медиану выборки: 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Решение: Упорядочим выборку: (1, 4, 9, 11, 13, 20). Поскольку имеется чётное число элементов, то существует две «середины» - 9 и 11. В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений:

= = 10.

Среднее арифметическое ряда из n числовых значений Х1, Х2, … Хn обозначается (икс с чертой) и вычисляется как:

= = (УХi)

В том случае, если отдельные значения выборки повторяются, среднюю арифметическую вычисляют по формуле:

= (У xi fi),

где fi - частоты повторяющихся значений.

в таком случае называют взвешенной средней.

Средние величины характеризуют выборку одним (средним) числом. Их преимущество состоит в способности уравновешивать все индивидуальные отклонения, в результате чего проявляется то наиболее устойчивое и типичное, что характеризует качественное своеобразие варьирующего объекта, отличает данную выборку от другой. Однако, среднее как статистический показатель не лишено недостатков. Поэтому в статистике, кроме средней величины, используются и другие характеристики «типичных значений» - мода и медиана.

3.2 Разброс выборки, дисперсия, стандартное отклонение

Кроме величин, характеризующих типичные значения выборки (мода, медиана, средние значения), существуют числовые характеристики выборочного ряда, позволяющие определить степень варьирования (изменения) измеряемого признака. Это разброс выборки, дисперсия и стандартное отклонение.

Разброс (размах) выборки - это разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда:

R = Xmax - Xmin

Чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Однако бывает, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, а характер варьирования рядов различен. Данный факт подтверждается такими числовыми характеристиками как дисперсия и стандартное отклонение.

Дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от её среднего значения.

D =



где n - объём выборки,

Дисперсия обозначается символами D (по генеральной совокупности) или (по выборке).

Стандартное отклонение - величина, равная квадратному корню из дисперсии: у = .

Стандартное отклонение по выборке часто обозначается Sx. Другое название стандартного отклонения: среднее квадратическое отклонение. При расчёте стандартного отклонения по выборке делается поправка, поскольку выборка не совпадает с генеральной совокупностью. В результате среднее квадратическое отклонение рассчитывается по следующей формуле:

?

Смысл средней величины и среднего квадратического отклонения можно пояснить на примере, взятом из области физиологии.

Пример 3.5. У девушек (10 чел.) и юношей (10 чел.) определяли массу тела. Данные (в кг) представлены в виде таблицы.

№ п/п	Масса тела у девушек	Масса тела у юношей	№ п/п	Масса тела у девушек	Масса тела у юношей
1	58	65	6	52	67
2	53	68	7	49	66
3	56	60	8	54	72
4	55	64	9	56	74
5	57	71	10	50	63

Какова в среднем масса тела у девушек? Какова в среднем масса тела у юношей?

Решение:

1) Вычислим средние арифметические величины по группе девушек (Х) и группе юношей (У).

= (58+53+56+55+57+52+49+54+56+50) = 0,1 540 = 54 кг

= (65+68+60+64+71+67+66+72+63+74) = 0,1 670 = 67 кг

Сопоставление средних величин говорит о том, что юноши на 13 кг тяжелее девушек.

2) Определим степени варьирования отклонений от средних величин по выборке девушек и выборке юношей. Для этого вычислим средние квадратические отклонения по выборкам по формуле:

?

Соответствующие расчёты произведём в таблице.

Группа девушек	Группа юношей
(х -		(у -
58-54=+4	16	65-67=-2	4
53-54=-1	1	68-67=+1	1
56-54=+2	4	60-67=-7	49
55-54=+1	1	64-67=-3	9
57-54=+3	9	71-67=+4	16
52-54=-2	4	67-67=0	0
49-54=-5	25	66-67=-1	1
54-54=0	0	72-67=+5	25
56-54=+2	4	63-67=-4	16
50-54=-4	16	74-67=+7	49
Итого	80	Итого	170

Из расчётов мы получили:

= 80; = 170.



Следовательно,

= = = 2,98; = = = 4,3

Таким образом, мы получили данные о том, что масса тела у девушек в среднем равна 54 кг, а у юношей - 67

Это говорит о том, что масса тела у юношей в среднем больше массы тела у девушек на 13 кг и варьируется в большей степени.

3.3 Число степеней свободы

Число степеней свободы () - это число свободно варьирующих единиц в составе выборки. Оно равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован. К числу таких условий относятся объём выборки (n), средние и дисперсии.

Число степеней свободы у выборочного ряда определяется:

= n - 1, где n - общее число элементов ряда (выборки).

При наличии не одного, а нескольких ограничений свободы вариации, число степеней свободы определяется по формуле:

н = n - k, где k - число ограничений свободы вариации.

Для таблицы экспериментальных данных число степеней свободы определяется следующим образом:

н = (c - 1) (n - 1), где c - число столбцов, а n - число строк таблицы (число испытуемых).

Для ряда статистических методов подсчёт числа степеней свободы оказывается необходимым и рассчитывается по-своему.



3.4 Понятие нормального распределения

В статистике под рядом распределения понимают распределение частот по вариантам. Распределением признака называется закономерность встречаемости разных его значений.

Особое место в статистике занимает нормальное распределение. График нормального распределения представляет собой колоколообразную кривую. Форма и положение графика определяется только двумя параметрами: средней (µ) и стандартным отклонением (у).

Для нормального распределения характерно совпадение величин средней арифметической, моды и медианы. Равенство этих показателей указывает на нормальность данного распределения.

Ещё одна особенность нормального распределения: чем больше величина признака отклоняется от среднего значения, тем меньше будет частота встречаемости (вероятность) этого признака в распределении. «Нормальным» распределение названо потому, что оно наиболее часто встречалось в естественнонаучных исследованиях и казалось «нормой» распределения случайных величин.

В психологии нормальное распределение используется при разработке и применении тестов интеллекта и способностей. Для показателей интеллекта IQ нормальное распределение имеет µ = 100, а у = 16 для большинства возрастных групп.

Однако, для других психологических категорий (личностная и мотивационная сфера) применение нормального распределения оказывается дискуссионным.

При нормальном распределении экспериментальных данных применяются особые методы статистической обработки.

Кроме нормального существуют и другие распределения. При обработке экспериментальных данных целесообразно проводить оценку характера распределения. Это поможет решить вопрос о возможности применения того или иного статистического метода.

1. Мода и правила её нахождения. Какая выборка называется мономодальной, бимодальной, полимодальной?

2. Что можно назвать модой признака «оценка за экзамен в последнюю сессию» в вашей группе?

3. Медиана и правила её нахождения.

3. Среднее арифметическое, взвешенная средняя. Преимущества и недостатки средних значений при характеристике выборки.

4. Разброс выборки. Связь между размахом выборки и силой варьирования признака.

5. Дисперсия и стандартное отклонение. Их смысл и правила вычисления.

6. Число степеней свободы и правила его вычисления.

7. Распределение признака. Ряд распределения.

8. Нормальное распределение, его особенности. Распространённость нормального распределения в психологии.



4. Общие принципы проверки статистических гипотез

4.1 Проверка статистических гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы

Обобщение закономерностей, полученных на выборке, распространение их на всю генеральную совокупность проводится с помощью математической статистики.

Полученные в результате эксперимента (на какой-либо выборке) данные служат основанием для формулировки некоего предположения о свойствах генеральной совокупности. Подобное предположение получило название статистической гипотезы.

Статистическая гипотеза - это научная гипотеза, допускающая статистическую проверку.

Математическая статистика - это научная дисциплина, задачей которой является научно обоснованная проверка статистических гипотез.

При проверке статистических гипотез используются 2 понятия: нулевая гипотеза (Н0) и альтернативная гипотеза (Н1).

Н0 - это гипотеза о сходстве (свидетельствует об отсутствии различий).

Н1 - это гипотеза о различии (свидетельствует о наличии различий).

Если экспериментальные данные противоречат гипотезе Н0, говорят, что она отклоняется. Если не противоречат, говорят, что гипотеза Н0 не отклоняется (принимается).

Пример 4.1. Психолог провёл выборочное тестирование показателей интеллекта у группы подростков из полных и неполных семей. В результате обработки экспериментальных данных установлено, что у подростков из неполных семей показатели интеллекта в среднем ниже, чем у их ровесников из полных семей. На основе полученных результатов психолог может сделать вывод (принять статистическое решение) о том, что неполная семья ведёт к снижению интеллекта у подростков. Сформулировать статистические гипотезы Н0 и Н1.

Решение: Н0: уровень интеллекта подростков не зависит от типа семьи (между группами подростков из разных типов семей нет различия по признаку уровня интеллектуального развития). Н1: уровень интеллекта подростков зависит от типа семьи (между группами подростков из разных семей существует различие по уровню интеллектуального развития).

Статистическое решение всегда вероятностно и неизбежно связано с риском принять ложное решение. При этом возможны ошибки двух родов:

Результат проверки гипотезы Н0	Возможные состояния проверяемой гипотезы
	Верна гипотеза Н0	Верна гипотеза Н1
Гипотеза Н0 отклоняется	Ошибка 1 рода	Правильное решение
Гипотеза Н0 не отклоняется	Правильное решение	Ошибка 2 рода

В большинстве случаев единственный путь минимизации ошибок заключается в увеличении объёма выборки.

4.2 Понятие уровня статистической значимости

Уровень значимости - вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы. (Это вероятность ошибки первого рода при принятии решения).

Для обозначения этой вероятности употребляют либо латинскую букву Р, либо греческую букву б. В прикладных науках, использующих статистику, считается, что низшим уровнем статистической значимости является уровень Р = 0,05, достаточным - уровень Р = 0,01 и высшим - уровень Р = 0,001.

Р = 0,05 означает, что допускается 5 ошибок в выборке из 100 элементов (1 ошибка из 20 элементов). Считается, что больше ошибиться мы не можем, не имеем права.

Для каждого статистического метода существуют соответствующие таблицы (их можно найти в приложениях к любому учебнику по статистике), по которым определяются так называемые критические значения Чкр1 (для Р?0,05) и Чкр2 (для Р?0,01). Эти числа можно расположить на оси значимости (обычной числовой прямой). Эти 2 числа разбивают ось значимости на 3 участка, зоны: зона незначимости (левая зона), зона неопределённости (средняя зона), зона значимости (правая зона).

На основании полученных экспериментальных данных психолог подсчитывает по выбранному методу эмпирическое значение (эмпирическую статистику): Чэмп. Полученное число Чэмп должно обязательно попасть в одну из трёх зон на оси значимости. В зависимости от того, что это за зона, делают соответствующий вывод.

1) Пусть Чэмп попало в зону незначимости. В этом случае принимается гипотеза Н0 об отсутствии различий.

2) Пусть Чэмп попало в зону значимости. В этом случае принимается гипотеза Н1 о наличии различий, а гипотеза Н0 отклоняется.

3) Пусть Чэмп попало в зону неопределённости. В этом случае возникает дилемма: какую из гипотез отклонить. Обычно её разрешают следующим образом: принимают на 5%-ом уровне гипотезу Н1, а гипотезу Н0 отклоняют.

Направление оси значимости зависит от того, какое из критических значений больше. Если Чкр1> Чкр2, то ось направлена влево. В противном случае она имеет правое направление.

Пример 4.2. Критические значения критерия хи-квадрат (2) равны: 2кр =11,070 (для Р?0,05) и 2кр =15,086 (для Р?0,01). Эмпирическое значение 2эмп = 4,2. Построить ось значимости и сделать вывод.

Решение: Ось значимости имеет направление вправо. Эмпирическое значение 2эмп = 4,2 попадает в зону незначимости. Следовательно, гипотеза о различии Н1 отклоняется и принимается гипотеза о сходстве Н0.

Пример 4.3. Для критерия Макнамары Мкр=0,025 (для Р?0,05) и Мкр=0,005 (для Р?0,01). Мэмп= 0,011. Построить ось значимости и сделать вывод.

Решение: Ось значимости имеет направление влево. Эмпирическое значение Мэмп= 0,011 попадает в зону неопределённости. Следовательно, гипотеза о различии Н1 принимается на 5% уровне значимости. На этом же уровне отклоняется гипотеза о сходстве Н0.

В дальнейшем направление оси значимости специально не будет оговариваться, но будет учитываться при её построении.

4.3 Этапы принятия статистического решения

Принятие статистического решения разбивается на этапы или шаги.

1. Формулировка нулевой и альтернативной гипотез.

2. Определение объёма выборки N.

3. Выбор соответствующего уровня значимости или вероятности отклонения нулевой гипотезы. (Это может быть величина меньшая или равная 0,05. В зависимости от важности исследования можно выбрать уровень значимости в 0,01 или даже в 0,001).

4. Выбор статистического метода, который зависит от типа решаемой психологической задачи.

5. Вычисление соответствующего эмпирического значения по экспериментальным данным, согласно выбранному статистическому методу.

6. Нахождение по таблице для выбранного статистического метода критических значений, соответствующих уровню значимости для Р = 0,05 и для Р = 0,01.

7. Построение оси значимости и нанесение на неё табличных критических значений и эмпирического значения Чэмп.

8. Формулировка принятия решения (выбор соответствующей гипотезы Н0 или Н1).

В данном пособии предлагаются следующие методы математической статистики: критерии различий, критерии согласия распределений и многофункциональный критерий, коэффициенты корреляции. Ими не исчерпывается всё многообразие статистических методов, применимых для психологических исследований. Но данные методы являются основными и вполне достаточными для проведения исследований на уровне курсовой или выпускной квалификационной работ. При желании можно дополнительно познакомиться с другими методами, используя указанную в данном пособии литературу.



5. Статистические критерии различий. Непараметрические критерии для связных выборок

5.1 Понятие о критериях различий. Параметрические и непараметрические критерии

Критерии различий - большой набор статистических способов. Эти критерии позволяют оценить степень статистической достоверности различий между разнообразными показателями, измеренными согласно плану проведения психологического исследования.

Существует достаточно большое количество критериев различий. Каждый из них имеет свою специфику, отличаясь друг от друга по различным основаниям:

1) Тип измерительной шкалы.

2) Максимальный объём выборки, количество выборок.

3) Качество выборок: связные (зависимые) или несвязные (независимые).

4) Мощность критерия. Это способность критерия выявлять различия или отклонять нулевую гипотезу, если она неверна. Есть менее мощные критерии и более мощные (выявляют различия, которые не смогли установить менее мощные). Как правило, менее мощные более просты в употреблении.

5) Параметрические и непараметрические критерии. Параметрический - если он основан на конкретном типе распределения генеральной совокупности (как правило, нормальном) или использует параметры этой совокупности (средние, дисперсии и т.д.). Непараметрический - не базируется на предположении о типе распределения генеральной совокупности. Непараметрические критерии более универсальны.

Рекомендации к выбору критерия различий

* Определить связность (несвязность) выборки.

* Определить однородность (неоднородность) выборки.

* Оценить объём выборки, выбрать критерий по данному признаку.

* Начать работу с наименее трудоёмкого критерия.

* Если использованный критерий не выявил различий, применить более мощный, но одновременно более трудоёмкий критерий.

* Если в распоряжении психолога имеется несколько критериев, то следует выбирать тот, который наиболее полно использует информацию, содержащуюся в экспериментальных данных.

* При малом объёме выборки следует увеличивать величину уровня значимости (не менее 1%), т.к. небольшая выборка и низкий уровень значимости приводят к увеличению вероятности принятия ошибочных решений.

5.2 Непараметрические критерии для связных выборок

1. Критерий знаков G. Предназначен для установления того, как изменяются значения признака при повторном измерении связной выборки: в сторону увеличения или уменьшения.

2. Парный критерий Т - Вилкоксона. Этот критерий является более мощным, чем критерий знаков G. Применяется для оценки различий экспериментальных данных, полученных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Позволяет выявить не только направленность изменений, но и их выраженность (насколько сдвиг показателей в каком-то одном направлении является более интенсивным, чем в другом).

3. Критерий Фридмана. Этот критерий можно рассматривать как распространение критерия Т - Вилкоксона на три и большее количество измерений связной выборки испытуемых. Позволяет установить уровень статистической достоверности различий сразу в нескольких измерениях (от 3 до 100), но не даёт возможности выявить направление изменений.

4. Критерий Пейджа (L критерий тенденций Пейджа). Можно рассматривать как эквивалент критерия Фридмана для сопоставления показателей, измеренных в 3 и более условиях на одной и той же выборке испытуемых. Однако этот критерий не только позволяет выявить различия, но и указывает на направление в изменении величин признака. Применение этого достаточно мощного критерия ограничено объёмом выборки - число испытуемых не может быть больше 12 и числом измерений признака - оно не может быть больше 6.

5. Критерий Макнамары. Предназначен для работы с данными, полученными в самой простой из номинальных - дихотомической шкале.

В данном пособии рассматриваются алгоритмы применения критерия знаков G и парного критерия Т - Вилкоксона. Критические значения данных критериев определяются по соответствующим справочным таблицам, приведённым в разделе «Таблицы критических значений».

5.3 Критерий знаков G

Назначение и описание критерия

Критерий знаков G предназначен для установления общего направления сдвига исследуемого признака. Он позволяет установить, в какую сторону в выборке в целом изменяются значения признака при переходе от первого измерения ко второму: изменяются ли показатели в сторону улучшения, повышения или усиления или, наоборот, в сторону ухудшения, понижения или ослабления.

При подсчёте данного критерия используется понятие «сдвиг». Сдвиг - это величина разности между значениями признака одного и того же участника «после» и «до» какого-либо воздействия (но не наоборот!). Сдвиг может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Смысл критерия состоит в анализе соотношения положительных и отрицательных сдвигов. При этом вводятся два обозначения:

- сумма сдвигов, получившаяся наибольшей (типичный сдвиг) - n, Gкр. Находится по Таблице 1;

- сумма сдвигов, получившаяся наименьшей (нетипичный сдвиг) - Gэмп.

Гипотезы при использовании критерия знаков G формулируются следующим образом:

H0: Преобладание типичного направления сдвига является случайным.

H1: Преобладание типичного направления сдвига не является случайным.

Условия применения критерия знаков G

1) Измерение может быть проведено в шкале порядка, интервалов и отношений.

2) Выборка должна быть однородной и связной.

3) Число элементов в сравниваемых выборках должно быть равным.

4) G критерий знаков может применяться при величине типичного сдвига от 5 до 300.

5) При равенстве типичных и нетипичных сдвигов критерий знаков неприменим, следует использовать другие критерии.

Алгоритм подсчёта критерия знаков G

1) Подсчитать количество нулевых сдвигов и исключить их из рассмотрения. (В результате n уменьшится на количество нулевых сдвигов).

2) Определить преобладающее направление сдвигов. Считать сдвиги в преобладающем направлении «типичными».

3) Определить количество «нетипичных» сдвигов. Считать это число эмпирическим значением Gэмп.

4) По Таблице 1 определить критические значения G для данного n.

5) Построив ось значимости, определить зону попадания Gэмп.

6) Сделать выводы о достоверности сдвига в типичную сторону. (Подтвердить какую-либо из статистических гипотез).

Пример 5.1. Психолог проводит групповой тренинг. Его задача - выяснить, будет ли эффективен данный конкретный вариант тренинга для снижения уровня тревожности участников?

Решение: Для решения этой задачи психолог с помощью теста Тейлора дважды выявляет уровень тревожности у 14 участников до и после проведения тренинга. Результаты измерения приведены в таблице. На основании результатов подсчитывается критерий знаков G.

№ испытуемых п/п	Уровень тревожности «до» тренинга	Уровень тревожности «после» тренинга	Сдвиг
1	30	34	+
2	39	39	0
3	35	26	-
4	34	33	-
5	40	34	-
6	35	40	+
7	22	25	+
8	22	23	+
9	32	33	+
10	23	24	+
11	16	15	-
12	34	27	-
13	33	35	+
14	34	37	+

Формулировка гипотез:

H0: Сдвиг в сторону увеличения тревожности после тренинга является случайным.

H1: Сдвиг в сторону увеличения тревожности после тренинга является не случайным.

Подсчёт критерия знаков G:

1) Общее число (сумма) нулевых сдвигов = 1.

2) Общее число (сумма) положительных сдвигов = 8 (типичные сдвиги). n =8

3) Общее число (сумма) отрицательных сдвигов = 5 (нетипичные сдвиги). Gэмп = 5.

4) Нужный участок Таблицы 1:

5) Ось значимости:

6) Gэмп = 5 попало в зону незначимости. Это означает, что полученный в эксперименте общий положительный сдвиг в сторону увеличения уровня тревожности испытуемых после проведения тренинга статистически недостоверен. Иначе говоря, данный способ воздействия не привёл к существенным изменениям в уровне тревожности испытуемых.