Математические основы психологии

Полученный результат может быть переформулирован также в терминах нулевой и альтернативной гипотез: поскольку преобладание типичного положительного направления сдвига в данном эксперименте является случайным, то должна быть принята гипотеза Н0 об отсутствии различий, или о наличии сходства.

Т.о. согласно критерию знаков, применённый психологом способ тренинга неудовлетворителен, поскольку не даёт статистически достоверных изменений в состоянии участников тренинга.

5.4 Парный критерий Т - Вилкоксона

Назначение и описание критерия

Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью можно определить, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом.

Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядка, и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне.

Суть метода состоит в том, что сопоставляется выраженность сдвигов в том или ином направлениях по абсолютной величине. Для этого сначала ранжируются все абсолютные величины сдвигов, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных величин сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

Гипотезы при использовании парного критерия Т - Вилкоксона формулируются следующим образом:

H0: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

H1: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Условия применения парного критерия Т - Вилкоксона

1) Измерение может быть проведено во всех шкалах, кроме номинальной.

2) Выборка должна быть связной.

3) Число элементов в сравниваемых выборках должно быть равным.

4) Критерий может применяться при численности выборки от 5 до 50.

Алгоритм подсчёта критерия Т-Вилкоксона

1) Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.

2) Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах («после» - «до»). Определить, что будет считаться «типичным» сдвигом и сформулировать соответствующие гипотезы.

3) Перевести разности в абсолютные величины и записать их отдельным столбцом.

4) Проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг. Проверить совпадение полученной суммы рангов с расчётной.

5) Отметить какими-либо значками ранги, соответствующие сдвигам в «нетипичном» направлении. Подсчитать сумму этих рангов по формуле:

Тэмп = ,

где Rr - ранговые значения с более редким знаком.

6) Определить критические значения Т для данного n по Таблице 2.

7) Построить ось значимости, определить зону попадания Тэмп.

8) Сделать выводы.

Пример 5.2. Психолог проводит с младшими школьниками коррекционную работу по формированию навыков внимания, используя для оценки результатов корректурную пробу. Задача состоит в том, чтобы определить, будет ли уменьшаться количество ошибок внимания у младших школьников после специальных коррекционных упражнений?

Решение: Для решения задачи психолог у 19 детей определяет количество ошибок при выполнении корректурной пробы до и после коррекционных упражнений. В таблице приведены соответствующие экспериментальные данные и дополнительные столбцы, необходимые для работы по парному критерию Т - Вилкоксона.

№ испытуемых п/п	До	После	Сдвиг (значение разности с учётом знака)	Абсолютные величины разностей	Ранги абсолютных величин разностей	Символ нетипичного сдвига
1	24	22	-2	2	10,5
2	12	12	0	0	2
3	42	41	-1	1	6,5
4	30	31	+1	1	6,5	*
5	40	32	-8	8	15
6	55	44	-11	11	16
7	50	50	0	0	2
8	52	32	-20	20	18
9	50	32	-18	18	17
10	22	21	-1	1	6,5
11	33	34	+1	1	6,5	*
12	78	56	-22	22	19
13	79	78	-1	1	6,5
14	25	23	-2	2	10,5
15	28	22	-6	6	13,5
16	16	12	-4	4	12
17	17	16	-1	1	6,5
18	12	18	+6	6	13,5	*
19	25	25	0	0	2
Сумма	-	-	-	-	190	Тэмп=26,5

Формулировка гипотез:

H0: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

H1: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Гипотезы могут быть также сформулированы следующим образом:

Н0: сдвиг в сторону уменьшения количества ошибок после коррекционной работы является случайным.

Н1: сдвиг в сторону уменьшения количества ошибок после коррекционной работы не является случайным.

Подсчёт критерия Т - Вилкоксона:

1) Заполняется таблица экспериментальных данных (1, 2, 3 столбцы).

2) В четвёртый столбец таблицы вносят величины сдвигов с учётом знака. Их вычисляют путём вычитания из чисел третьего столбца соответствующих чисел второго столбца.

3) В пятом столбце каждому значению сдвига ставят его соответствующую абсолютную величину.

4) В шестом столбце ранжируют абсолютные величины сдвигов, представленных в пятом столбце. Подсчитывают сумму рангов (в нашем примере она = 190). Подсчитывают сумму рангов по формуле: N(N+1)\2 = 19·20/2 = 190. Убеждаемся в правильности ранжирования (190=190, ранжирование проведено правильно).

5) Символом (*) отмечают все имеющиеся в таблице нетипичные сдвиги. В нашем случае - это три положительных сдвига. Суммируют ранги нетипичных сдвигов. Это и будет искомая величина Тэмп.

Тэмп= 6,5+13,5+6,5 = 26,5

6) По Таблице 2 определяют критические значения Ткр для n=19. Нужная строка таблицы:

7) Строим ось значимости. Полученная величина Тэмп = 26,5 попадает в зону значимости.

8) Можно утверждать, следовательно, что зафиксированные в эксперименте изменения неслучайны и значимы на 1% уровне. Таким образом, применение коррекционных упражнений способствует повышению точности выполнения корректурной пробы.

Поскольку преобладание типичного отрицательного направления сдвига в данном конкретном эксперименте не является случайным, то должна быть принята гипотеза Н1 о наличии различий, а гипотеза Н0 отклонена.



6. Непараметрические критерии для несвязных выборок

6.1 Критерии для несвязных выборок

Несвязные или независимые выборки образуются, когда в эксперименте для сравнения берутся данные двух или более выборок, причём эти выборки могут браться из одной или разных генеральных совокупностей. Таким образом, для несвязных выборок характерно, что в них обязательно входят разные испытуемые.

Для оценки достоверности различий между несвязными выборками используют ряд непараметрических критериев:

1. Критерий U Вилкоксона - Манна - Уитни. (U-критерий Манна - Уитни). Применяется для оценки различий выраженности признака в двух независимых выборках. При этом выборки могут различаться по числу входящих в них испытуемых. Особенно удобен, когда число испытуемых невелико (в обеих выборках не превышает 20), хотя таблицы критических значений рассчитаны до 60 испытуемых.

2. Критерий Q Розенбаума («критерий хвостов»). Проще и менее мощный, чем U-критерий. Основан на сравнении двух упорядоченных, но не обязательно равных по численности рядов наблюдений.

3. H-критерий Крускала-Уоллиса. Применяется для оценки различий выраженности признака между тремя, четырмя и более выборками (в них может быть различное число испытуемых). Позволяет выявить изменение признака, но не указывает направление этого изменения.

4. S-критерий тенденций Джонкира. Выявляет тенденции изменения признака при сопоставлении от 3-х до 6 выборок. Количество элементов в каждой выборке должно быть одинаковым.

В данном пособии рассматриваются алгоритмы U-критерия Манна - Уитни и критерия Q Розенбаума («критерий хвостов»). Критические значения данных критериев определяются по соответствующим справочным таблицам, приведённым в разделе «Таблицы критических значений».

6.2 U-критерий Манна - Уитни

Назначение и описание критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками и является более мощным, чем критерий Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Первым рядом (выборкой, группой) называют тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а вторым рядом - тот, где они предположительно ниже.

Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше Uэмп, тем более вероятно, что различия достоверны.

Формулировка статистических гипотез:

Н0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

Н1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Условия применения U-критерия Манна - Уитни

1) Измерение должно быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2) Выборки должны быть несвязными.

3) Нижняя граница применимости критерия n1?3 и n2?3 или n1=2 и n2?5.

4) Верхняя граница применимости критерия: n1 и n2?60.

(В данном пособии таблица критических значений рассчитана на n1 и n2?40).

Алгоритм подсчёта U-критерия Манна - Уитни

1) Расположить исходные данные в виде таблицы в 4 столбца и n1+n2 строк. В первом столбце расположить по возрастающей данные первой группы. Во втором - второй группы. И первый, и второй столбцы имеют пропуски чисел, обозначенные символом «-».

2) В третьем и четвёртом столбцах расставляются ранги так, как будто бы оба столбца образуют собой один упорядоченный ряд чисел. По каждому столбцу в отдельности подсчитывается сумма рангов.

3) Проводится проверка правильности ранжирования:

а) подсчитывается общая сумма рангов;

б) рассчитывается сумма рангов по формуле: N(N+1)\ 2, где N=n1+n2.

Расчётные суммы должны совпасть.

4) Находится большая по величине сумма рангов и обозначается как Rmax.

5) Вычисляется по формуле

Uэмп= (n1·n2) + nx(nx+1)\2 - Rmax,

где n1 - объём первой выборки,

n2 - объём второй выборки,

Rmax - наибольшая по величине сумма рангов,

nx - количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов.

6) По Таблице 3 находятся критические значения, соответствующие величинам n1 и n2.

7) Строится ось значимости, наносятся критические и эмпирическое значения критерия. Определяется зона попадания Uэмп .

8) Делается вывод.

Пример 6.1. Две неравные по численности группы испытуемых (8 и 9 испытуемых) решали техническую задачу. Показателем служило время решения. Испытуемые меньшей по численности группы получали дополнительную мотивацию в виде денежного вознаграждения. Психолога интересует вопрос - влияет ли вознаграждение на успешность решения задачи?

Результаты времени решения в секундах:

- в группе с дополнительной мотивацией: 41, 38, 44, 6, 25, 25, 30, 41.

- в группе без дополнительной мотивации: 46, 8, 50, 45, 32, 41, 41, 30, 55.

Решение: Для ответа на вопрос задачи применим критерий U Вилкоксона - Манна - Уитни.

Формулировка гипотез:

Н0: Время решения задачи в группе с дополнительной мотивацией не ниже, чем в группе без дополнительной мотивации.

Н1: Время решения задачи в группе с дополнительной мотивацией ниже, чем в группе без дополнительной мотивации.

Алгоритм подсчёта критерия U:

1) Расположим исходные данные в виде таблицы в 4 столбца и 19 строк (8+9+1+1). В первом столбце расположены по возрастающей данные первой группы. Во втором - второй группы. Пропуски чисел обозначим символом -.

Группа с доп. мотивацией X (n1=8)	Группа без доп. мотивации Y (n2=9)	Ранги X R(x)	Ранги Y R(y)
6	-	1	-
-	8	-	2
25	-	(3) 3,5	-
25	-	(4) 3,5	-
30	-	(5) 5,5	-
-	30	-	(6) 5,5
-	32	-	7
38	-	8	-
41	-	(9) 10,5	-
-	41	-	(10) 10,5
-	41	-	(11) 10,5
41	-	(12) 10,5	-
44	-	13	-
-	45	-	14
-	46	-	15
-	50	-	16
-	55	-	17
Суммы рангов		55,5	97,5

2) В 3-м и 4-м столбцах расставляем ранги. По каждому столбцу в отдельности подсчитывается сумма рангов (55,5 и 97,5).

3) Проверка правильности ранжирования:

а) подсчитывается общая сумма рангов: 55,5+97,5=153.

б) рассчитывается сумма рангов по формуле:

N(N+1)\ 2=17·18\ 2=153, N=n1+n2.

Расчётные суммы совпали, следовательно, ранжирование проведено верно.

4) Находится большая по величине сумма рангов и обозначается как Rmax. В нашем случае она равна 97,5.

5) Вычисляется по формуле Uэмп= (n1n2) + nx(nx+1)\2 - Rmax,

где n1 - объём первой выборки,

n2 - объём второй выборки,

Rmax - наибольшая по величине сумма рангов,

nx - количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов.

В нашем случае

Uэмп= (89) + (910)/2 - 97,5 = 19,5

6) По Таблице 3 приложения для n1=8 и n2=9 находим критические значения:

Uкр = 18 (для Р?0,05) и Uкр = 11 (для Р?0,01)

7) Строим ось значимости, наносим критические и эмпирическое значения критерия. В нашем случае Uэмп = 19,5 попало в зону незначимости.

8) Делаем вывод. Принимается гипотеза H0 о сходстве, а гипотеза H1 о наличии различий отклоняется. Психолог может утверждать, что дополнительная мотивация не приводит к статистически значимому увеличению эффективности решения технической задачи.

6.3 Критерий Q Розенбаума («критерий хвостов»)

Назначение и описание критерия

Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых. Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между двумя выборками. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это ещё не значит, что их действительно нет.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q - критерия просто невозможны. Метод Розенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

Условия применения Q-критерия Розенбаума

1) Измерение может быть проведено в шкале порядка, интервалов и отношений.

2) Выборки должны быть независимыми.

3) В каждой из выборок должно быть не меньше 11 испытуемых.

4) Приведённая в данном пособии таблица ограничивает верхний предел выборки 26 испытуемыми. При числе наблюдений n1 и n2?26 можно пользоваться следующими величинами Qкр = 8 (для Р?0,05) и Qкр = 10 (для Р?0,01).

5) Принципиальным условием, дающим возможность применять критерий, является наличие «хвостов». В ином случае критерий оказывается неприменимым.

Алгоритм подсчёта Q-критерия Розенбаума рассмотрим при решении следующей задачи.

Пример 6.2. Используя тест Векслера, психолог определил показатели интеллекта у двух групп учащихся из городской и сельской школы. Его интересует вопрос - будут ли обнаружены статистически значимые различия в показателях интеллекта, если в городской выборке 11 детей, а в сельской 12? Полученные показатели:

- в городской выборке: 96, 104, 120, 120, 126, 134, 130, 120, 120, 104, 100;

- в сельской выборке: 120, 110, 102, 96, 84, 82, 76, 82, 88, 100, 104, 118.

Решение: Решить задачу с помощью критерия Q Розенбаума («критерия хвостов»).

Формулировка гипотез:

Н0: Уровень интеллекта в выборке городских детей не выше, чем в выборке сельских детей.

Н1: Уровень интеллекта в выборке городских детей выше, чем в выборке сельских детей.

Алгоритм подсчёта критерия Q:

1) Расположим числа в порядке возрастания слева направо и одно измерение под другим (верхний ряд - городская школа, нижний - сельская)

Т |96,100,104,104,120,120,120,120| 126, 130,134

76, 82, 82, 84, 88, |96, 100, 102, 104. 110, 118, 120| S

Т - левый «хвост», S - правый «хвост»

В этом случае S = 3, T = 5,

2) Подсчитываем Qэмп = S + T = 3 + 5 = 8.

3) Критические значения критерия находим по Таблице 4 для n1 = 11 и n2 = 12:

Qкр1 = 6 (Р ? 0,05) и Qкр2 = 9 (Р ? 0,01).

4) Строим ось значимости. Qэмп = 8 попало в зону неопределённости.

5) Вывод. На 5% уровне принимается гипотеза H1 о наличии различий. Можно считать достоверным (на 5% уровне), что уровень интеллекта в выборке учащихся городских школ выше, чем в выборке учащихся сельских школ.

1. Назовите основные непараметрические критерии для несвязных выборок. Каковы области их применения?

2. Каково назначение U-критерия Манна - Уитни? Каков смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?

3. Каковы условия применения U-критерия Манна - Уитни?

4. Каков алгоритм подсчёта U-критерия Манна - Уитни?

5. Каково назначение критерия Q Розенбаума? Каков смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?

6. Каковы условия применения критерия Q Розенбаума?

7. Каков алгоритм подсчёта критерия Q Розенбаума?

8. Провести сопоставительный анализ критерия Q Розенбаума и U-критерия Манна - Уитни.



7. Критерии согласия распределений

7.1 Понятие о критериях согласия

Критерии согласия распределений - статистические методы, имеющие наиболее широкий спектр решаемых задач по сравнению с критериями различий. Они являются наиболее мощными и, соответственно, более сложными при расчетах. психология измерительный выборка корреляция

Задачи, решаемые с помощью критериев согласия

1) Расчёт согласия эмпирического и предполагаемого теоретического.

Н0 - отсутствие различий между теоретическим и эмпирическим распределениями.

2) Расчёт однородности двух независимых экспериментальных выборок. Н0 - отсутствие различий между двумя эмпирическими (экспериментальными) распределениями.

В этом случае критерий согласия выступает в роли критерия различий, как параметрического, так и непараметрического.

3) Сравнение показателей внутри одной выборки по двум или более показателям. Н0 - сравниваемые признаки не влияют друг на друга.

В этом случае критерий согласия выступает в роли коэффициента корреляции.

Критерии согласия распределений

1. Критерий хи-квадрат (2). Измерение может быть проведено в любой шкале. Выборки должны быть случайными и независимыми. Желательно, чтобы объём выборки был не менее 20 (повышается точность критерия). Таблица критических значений критерия хи-квадрат рассчитана для числа степеней свободы н, которое каждый раз вычисляется по определённым правилам.

2. Критерий Колмогорова-Смирнова. Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений. Выборки - случайные и независимые. Желательно, чтобы суммарный объём двух выборок был не менее 50. Эмпирические данные должны допускать возможность упорядочения по возрастанию или убыванию какого-либо признака (отражать какое-то его однонаправленное изменение).

3. Многофункциональный критерий Фишера - ц (Угловое преобразование Фишера). Измерение - в любой шкале. Характеристики выборок - любые. Нижние границы двух выборок должны содержать не меньше 5 элементов (наблюдений) в каждой.

7.2 Критерий хи-квадрат

Назначение и описание критерия

Критерий построен так, что при полном совпадении распределений величина 2эмп = 0, и чем больше расхождение между сопоставляемыми распределениями, тем больше величина эмпирического значения хи-квадрат.

Основная расчётная формула критерия хи-квадрат выглядит так:

2эмп = ,

где fэ- эмпирическая частота,

fm - теоретическая частота,

k - количество разрядов признака.

Расчётная формула критерия хи-квадрат для сравнения двух эмпирических распределений в зависимости от вида представленных данных может иметь вид:

2эмп =

где N и M - соответственно числа элементов в первой и во второй выборке. Эти числа могут совпадать, а могут быть и различными.

Для расчётов в конкретных случаях используются различные модификации основной формулы, что позволяет облегчить процесс вычисления.

Для критерия хи-квадрат оценка уровней значимости определяется по Таблице 5 по числу степеней свободы , которое в большинстве случаев вычисляется по формуле: = k-1, где k каждый раз определяется по выборочным данным и представляет собой число элементов в выборке. Если при расчёте критерия используется таблица экспериментальных данных, то величина рассчитывается следующим образом:

= (k-1)·(c-1),

где k- число строк, а c - число столбцов таблицы.

Условия применения критерия хи-квадрат

1) Объём выборки должен быть достаточно большим: n? 20. При n< 20 критерий 2 даёт весьма приближённые значения. Точность критерия повышается при больших n.

2) Измерение может быть проведено в любой шкале.

3) Выборки должны быть случайными и независимыми.

4) Теоретическая частота для каждого выборочного интервала не должна быть меньше 5.

5) Сумма наблюдений по всем интервалам должна быть равна общему количеству наблюдений.

6) Таблица критических значений критерия 2 рассчитана для числа степеней свободы , которое каждый раз рассчитывается по определённым правилам.

Решение задач

1. Сравнение двух экспериментальных распределений.

Исходные данные двух эмпирических распределений для сравнения между собой могут быть представлены разными способами. Наиболее простой из этих способов - так называемая «четырёхпольная таблица». Она используется в том случае, когда в первой выборке имеются два значения (числа) и во второй выборке также 2 значения (числа). Критерий позволяет также сравнивать между собой 3, 4 и больше число эмпирических величин.

Пример 7.1. Одинаков ли уровень подготовленности учащихся в двух школах, если в первой школе из 100 человек поступили в вуз 82 человека, а во второй школе из 87 человек поступили в вуз 44?

Решение: Условия задачи можно представить в виде четырёхпольной таблицы (Таблица 1), в которой ячейки обозначаются как А, В, С и Д.

Таблица 1.

	1 школа	2 школа
Число поступивших в вуз	А 82	В 44
Число не поступивших в вуз	С 18	Д 43
Сумма	100	87

Формулировка гипотез:

Н0: Уровень подготовки учащихся в двух школах не является различным.

Н1: Уровень подготовки учащихся в двух школах является различным.

Алгоритм подсчёта критерия 2 :

1) Имеется 4 эмпирические частоты. Необходимо для каждой из них найти соответствующие «теоретические» частоты. Они вычисляются различными способами в зависимости от типа задачи. В нашем случае: подсчитывается величина Р (доля признака, или частота признака). В нашем случае признак - то, что выпускники не поступили в вуз.

Р = = 0,33

2) Величина Р позволяет рассчитать «теоретические» частоты для третьей строчки таблицы. Они показывают, сколько учащихся из 1 и 2 школ не должны были поступить в вуз:

fm1 = 0,33 . 100 = 33; fm2 = 0,33 . 87 = 28,71

fm3 = 100 - 33 = 67; fm4 = 87 - 28,71 = 58,29

3) Составим новую таблицу с «теоретическими» частотами (Таблица 2):

Таблица 2.

	1 школа	2 школа
Число учащихся, которые должны были бы поступить в вуз	А fm3 = 67	В fm4 = 58,29
Число учащихся, которые не должны были бы поступить в вуз	С fm1 = 33	Д fm2 = 28,71
Сумма	100	87

4) Подсчитывается величина критерия хи-квадрат эмпирическая подсчитывается по основной формуле. Для этого из величин, представленных в ячейках Таблицы 1, вычитаются соответствующие величины, представленные в ячейках Таблицы 2.

2эмп = = 20,79

5) Подсчитаем число степеней свободы:

= (k-1)(c-1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1, так как в таблице 2 строки и 2 столбца.

6) По Таблице 5 находим :

2кр1 = 3,841 (Р? 0,05); 2кр 2 = 6,635 (Р? 0,01).

7) Строим ось значимости. 2эмп попадает в зону значимости.

8) Вывод. Следует принять гипотезу о наличии различий между двумя эмпирическими распределениями. Таким образом, уровень подготовки учащихся в двух школах оказался различным. На основании эмпирических данных теперь можно утверждать, что уровень подготовленности учащихся в первой школе существенно выше, чем во второй.

2.Сравнение двух экспериментальных выборок.

Пример 7.2. В двух школах района выяснялась успешность знания алгебры учащимися десятых классов. Для этого в обеих школах были случайным образом отобраны 50 учащихся и с ними проведены контрольные работы. Проверялось предположение о том, что существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Решение: Результаты контрольных работ представлены в таблице.

Школы	Оценки	Суммы
	2	3	4	5
Школа 1	О11 = 3	О12= 19	О13 = 18	О14 = 10	50
Школа 2	О22 = 9	О22 = 24	О23 = 12	О24 = 5	50
Суммы	О11+О21=12	О12+О22=43	О13+О23=30	О14+О24=15	100

Формулировка гипотез:

Н0: Существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Н1: Существенная разница в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах существует.

Алгоритм подсчёта критерия 2 :

1) Заполняется восьмипольная таблица.

2) Подсчёт эмпирического значения проводится по формуле:

2эмп =

2эмп = = 6,45

3) Число степеней свободы: = (4 - 1)·(2 - 1) = 3

4) По Таблице 5 находятся критические значения:

2кр 1 = 7,815 (Р? 0,05); 2кр 2 = 11,345 (Р? 0,01).

5) Строится ось значимости. 2эмп попадает в зону незначимости.

6) Вывод: принимается гипотеза Н0 о сходстве. Уровни знаний учащимися алгебры в двух разных школах статистически значимо не отличаются.

7.3 Критерий Фишера - ц

Назначение и описание критерия

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол , а меньшей доле - меньший угол, но соотношения здесь не линейные:

= 2·arcsin , где Р - процентная доля, выраженная в долях единицы.

Формулировка гипотез:

Н0: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

Н1: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

Условия применения критерия Фишера -

1) Ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равной нулю. В противном случае результат может оказаться неоправданно завышенным.

2) Верхний предел в критерии отсутствует - выборки могут быть сколь угодно большими.

3) Нижний предел - 2 наблюдения в одной из выборок. Однако должны соблюдаться следующие соотношения в численности двух выборок:

а) если в одной из выборок всего 2 наблюдения, то во второй должно быть не менее 30;

б) если в одной всего 3 наблюдения, то во второй должно быть не меньше 7;

в) если в одной всего 4 наблюдения, то во второй - не менее 5;

г) при n1, n2 ? 5 возможны любые сопоставления.

Других ограничений у критерия нет.

Алгоритм подсчёта критерия Фишера -

1) Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого «есть эффект» и тех, у кого «нет эффекта».

2) Подсчитать количества испытуемых, у которых «есть эффект» в первой и во второй группах.

3) Определить процентные доли испытуемых, у которых «есть эффект», путём отнесения их количества к общему числу испытуемых в данной группе (выборке).

4) Проверить, не равняется ли одна из сопоставляемых процентных долей нулю. Если это так, попробовать изменить это, сдвинув точку разделения групп в ту или иную сторону. Если это невозможно, отказаться от данного критерия и использовать критерий 2.

5) Определить по Таблице 6 величины углов для каждой из сопоставленных процентных долей.

6) Подсчитать эмпирическое значение по формуле:

эмп = (1 - 2) ·

где 1 - угол, соответствующий большей процентной доле;

2 - угол, соответствующий меньшей процентной доле;

n1 - количество наблюдений в выборке 1;

n2 - количество наблюдений в выборке 2.

7) Сопоставить полученное значение эмп с критическими значениями, которые постоянны:

кр = 1,64 (Р? 0,05); кр = 2,31 (Р? 0,01),

построив ось значимости.

8) Сформулировать выводы.

Пример 7.3. Психолог провёл эксперимент, в котором выяснилось, что из 23 учащихся математической спецшколы 15 справились с заданием, а из 28 обычной школы с тем же заданием справились 11 человек. Можно ли считать, что различия в успешности решения заданий учащимися спецшколы и обычной школы достоверны?

Решение: с помощью критерия Фишера ц.

Формулировка гипотез:

Н0: Различий в успешности решения заданий учащимися спецшколы и обычной школы нет.

Н1: Различия в успешности решения заданий учащимися спецшколы и обычной школы существуют.

Алгоритм подсчёта критерия :

1) Критерием для разделения групп является успешность в выполнении задания.

2) Показатели успешности выполнения заданий необходимо перевести в проценты:

·100% = 65,2% для спецшколы;

·100% = 39,3% для обычной школы.

3) По Таблице 6 находим величины ц1 и ц2, соответствующие процентным долям в каждой группе.

Для 65,2% ц1=1,880, а для 39,3% ц2 = 1,355.

4) Подсчитываем эмпирическое значение цэмп по формуле:



эмп = (1 - 2) ·

где n1 - количество наблюдений в выборке 1;

n2 - количество наблюдений в выборке 2.

В нашем случае цэмп = (1,880 - 1,355) = 1,86

5) Критические значения имеют фиксированную величину и составляют:

кр = 1,64 (Р? 0,05); кр = 2,31 (Р? 0,01).

6) Строим ось значимости. цэмп попало в зону неопределённости.

7) Вывод. На 5% уровне значимости можно говорить о различии между успешностью в решении заданий учениками сравниваемых школ, а на уровне в 1% этого утверждать нельзя. На основании сравнения процентных долей можно утверждать, что учащиеся спецшколы успешнее справились с заданием, чем учащиеся обычной школы.



8. Корреляционный анализ. Коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена

8.1 Понятие корреляционной связи

Психолога нередко интересует, как связаны между собой две или несколько переменных (тревожность и академические успехи учащихся, стаж работы и размер заработной платы и т.д.).

В математике для описания связей между переменными величинами используется понятие функции: Y = F (X), которая ставит в соответствие значениям независимой переменной (аргументу) X значения зависимой переменной Y. Подобные однозначные (функциональные) связи встречаются далеко не всегда. Связи между психологическими признаками имеют не функциональный, а статистический характер, когда одному значению аргумента соответствует не единственное значение зависимой переменной, а целый спектр, распределяющийся в вариационный ряд. Такого рода зависимость между переменными величинами носит название корреляционной, или корреляции. Точнее будет говорить о корреляционной связи, а не зависимости.

Корреляционная связь - это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого. Существуют различные виды корреляционной связи: линейная и нелинейная; положительная и отрицательная.

Она линейная, если с увеличением (убыванием) одной переменной X вторая переменная Y также либо растёт, либо убывает. Корреляция будет положительной, если с увеличением X переменная Y в среднем также увеличивается. Корреляция отрицательная, если с увеличением X переменная Y в среднем имеет тенденцию к уменьшению.

Возможна ситуация, когда между переменными невозможно установить какую-либо зависимость. В этом случае говорят, что корреляция отсутствует.

Термин «корреляция» введён в науку английским естествоиспытателем Френсисом Гальтоном в 1886 г., а формулу для подсчёта коэффициента корреляции разработал его ученик Карл Пирсон.

8.2 Коэффициенты корреляции

Переменные X и Y могут быть измерены в разных шкалах. Именно это определяет выбор соответствующего коэффициента корреляции.

Тип шкалы	Мера связи
Переменная X	Переменная Y
Интервальная или отношений (нормальное распределение)	Интервальная или отношений (нормальное распределение)	Коэффициент Пирсона rxy (линейной корреляции)
Ранговая, интервальная или отношений	Ранговая, интервальная или отношений	Коэффициент Спирмена сxy (ранговой корреляции)
Ранговая	Ранговая	Коэффициент «ф» Кендалла
Дихотомическая	Дихотомическая	Коэффициент «ц» Пирсона
Дихотомическая	Ранговая	Рангово-бисериальный коэффициент Rxy
Дихотомическая	Интервальная или отношений (нормальное распределение)	Бисериальный коэффициент Rxy
Интервальная	Ранговая	Не разработан

Величина любого коэффициента корреляции лежит в отрезке от -1 до +1. Если получается иначе, следовательно, в расчётах произошла ошибка.

Если коэффициент корреляции по модулю близок к 1, это свидетельствует о высоком уровне связи между переменными. Если близок к 0, связь отсутствует. Если коэффициент положителен, то между переменными существует положительная корреляционная связь. Если коэффициент отрицателен, корреляционная связь отрицательна.

Используются две системы классификации корреляционных связей по их силе: общая и частная.

Общая классификация корреляционных связей

1) сильная, или тесная корреляционная связь (при r>0,70);

2) средняя (при 0,50<r<0,69);

3) умеренная (при 0,30<r<0,49);

4) слабая (при 0,20<r<0,29);

5) очень слабая (при r<0,19).

Частная классификация корреляционных связей

1) высокая значимая корреляция (при r, соответствующем уровню статистической значимости p?0,01);

2) значимая корреляция (при r, соответствующем уровню статистической значимости p?0,05);

3) тенденция достоверной связи (при r, соответствующем уровню статистической значимости p?0,10);

4) незначимая корреляция (при r, не достигающем уровня статистической значимости).

Существуют методы расчёта уровня статистической значимости коэффициентов корреляции. Для коэффициентов rxy Пирсона и сxy Спирмена существуют таблицы критических значений (Таблица 7 и Таблица 8). Именно эти коэффициенты рассматриваются в данном пособии.

8.3 Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена

Назначение и описание метода

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.

Для подсчёта ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений (X и Y), которые могут быть проранжированы. Такими рядами могут быть:

1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;

2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например, личностные профили по 16-факторному опроснику Кеттела, иерархии ценностей по методике Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и т.д.);

3) две групповые иерархии признаков;

4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков. Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.

Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена вычисляется по формуле:

xy = 1 -

где n - количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых),

D - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого,

Формулировка статистических гипотез:

Н0: Корреляция между переменными (иерархиями) X и Y не отличается от нуля.

Н1: Корреляция между переменными (иерархиями) X и Y достоверно отличается от нуля.

Условия применения коэффициента ранговой корреляции Спирмена

1. Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой (ранговой) шкале, но могут быть измерены также в шкале интервалов и отношений. В последнем случае необходимо проранжировать показатели и перейти к порядковой шкале.

2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

4. Таблицы для определения критических значений коэффициента корреляции Спирмена (Таблица 8) рассчитаны на n от 5 до 40. Нахождение критических значений осуществляется при k = n.

Алгоритм подсчёта коэффициента ранговой корреляции Спирмена сxy

1) Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в сопоставлении как переменные X и Y.

2) Проранжировать значения переменной X, начисляя ранг 1 наименьшему значению. Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.

3) Проранжировать значения переменной Y в соответствии с теми же правилами. Занести ранги во второй столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.

4) Подсчитать разности D между рангами X и Y по каждой строке таблицы и занести в третий столбец таблицы.

5) Возвести каждую разность в квадрат: D2. Эти значения занести в четвёртый столбец таблицы. Подсчитать сумму квадратов ).

6) Рассчитать коэффициент ранговой корреляции сxy по формуле

xy = 1 -

7) Определить критические значения коэффициента ранговой корреляции по Таблице 8.

8) Построить ось значимости. Определить зону попадания xy.

9) Сформулировать выводы.

Пример 8.1. 20 школьникам были розданы тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач?

Решение: Введём переменные: X - среднее время решения наглядно-образных, Y - среднее время решения вербальных тестов. Ответ на вопрос получим с помощью критерия ранговой корреляции Спирмена. Исходные данные представлены в виде таблицы (1, 2 и 3 столбцы).

№ испытуемых п/п	X Среднее время решения наглядно-образных заданий	Y Среднее время решения вербальных заданий	RX	RY	D	D2
1	19	17	1	6	-5	25
2	32	7	5,5	1	4,5	20,25
3	33	17	7,5	6	1,5	2,25
4	44	28	17	13,5	3,5	12,25
5	28	27	3	12	-9	81
6	35	31	9	15	-6	36
7	39	20	11,5	8	3,5	12,25
8	39	17	11,5	6	5,5	30,25
9	44	35	17	16	1	1
10	44	43	17	17,5	-0,5	0,25
11	24	10	2	2	0	0
12	37	28	10	13,5	-3,5	12,25
13	29	13	4	3	1	1
14	40	43	13	17,5	-4,5	20,25
15	42	45	14,5	19,5	-5	25
16	32	24	5,5	9	-3,5	12,25
17	48	45	20	19,5	0,5	0,25
18	42	26	14,5	10,5	4	16
19	33	16	7,5	4	3,5	12,25
20	47	26	19	10,5	8,5	72,25
Сумма			210	210		392



Формулировка гипотез:

Н0: Корреляция между средним временем решения наглядно-образных и вербальных заданий не отличается от нуля.

Н1: Корреляция между средним временем решения наглядно-образных и вербальных заданий достоверно отличается от нуля.

Алгоритм подсчёта коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

1) Переменная X - среднее время решения наглядно-образных заданий. Её значения вносятся во второй столбец таблицы. Переменная Y - среднее время решения наглядно-образных заданий. Значения вносятся в третий столбец таблицы.

2) Ранжируем значения переменной X. Ранги RX вносятся в четвёртый столбец таблицы. Находим сумму рангов (210). Проверяем правильность ранжирования:

N(N+1)\ 2 = 20·21\ 2 = 210.

Ранжирование проведено верно, так как суммы рангов совпали.

3) Ранжируем значения переменной Y. Ранги RY вносятся в пятый столбец таблицы. Находим сумму рангов (210). Ранжирование проведено верно, так как суммы рангов совпали.

4) Подсчитываем разности D между рангами X и Y по каждой строке таблицы и заносим в шестой столбец таблицы.

5) Возводим каждую разность в квадрат: D2. Эти значения заносим в седьмой столбец таблицы. Подсчитываем сумму квадратов ) = 392.

6) Рассчитываем коэффициент ранговой корреляции сxy по формуле

xy = 1 - = 1 - = 1 - 0,295 = 0,705

7) Определяем критические значения коэффициента ранговой корреляции для n = 20 по Таблице 8:

кр = 0,45 (Р?0,05); кр = 0,57 (Р?0,01).

8) Построим ось значимости. xy попало в зону значимости.

9) Формулируем выводы. Гипотеза Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1: корреляция между средним временем решения наглядно-образных и вербальных заданий достоверно отличается от нуля. Между временем решения этих задач существует высокая значимая положительная корреляция. Полученная прямо пропорциональная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных задач и наоборот.

Пример 8.2. Психолога интересует вопрос: в какой степени совпадают оценки супругов к личностным качествам, имеющим определяющее значение для семейного благополучия.

Решение: Супругов просят проранжировать 7 личностных черт. Данные представлены в таблице. Для решения задачи используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Качества личности	Муж (ранги)	Жена (ранги)	D	?
Ответственность	7	1	6	36
Общительность	1	5	-4	16
Сдержанность	3	7	-4	16
Выносливость	2	6	-4	16
Жизнерадостность	5	4	1	1
Терпеливость	4	3	1	1
Решительность	6	2	4	16
Сумма	28	28		102

Формулировка гипотез:

Н0: Корреляция между оценками супругов личностных качеств, имеющих определяющее значение для семейного благополучия, не отличается от нуля.

Н1: Корреляция между оценками супругов личностных качеств, имеющих определяющее значение для семейного благополучия, достоверно отличается от нуля.

Алгоритм подсчёта коэффициента ранговой корреляции Спирмена:

1) Заполнить таблицу, включая все столбцы и строки.

2) Рассчитать эмпирическое значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

xy = 1 - =1 - = - 0,82

3) Найти критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена по Таблице 8 для n = 7.

кр = 0,78 (Р?0,05); кр = 0,94 (Р?0,01).

4) Построим ось значимости. xy попало в зону неопределённости.

5) Формулируем вывод. Гипотеза Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1: корреляция между оценками супругов к личностным качествам, имеющим определяющее значение для семейного благополучия, достоверно отличается от нуля. Между оценками существует значимая отрицательная корреляция, что свидетельствует о достаточной степени рассогласованности (антагонизма) мнений супругов по данному вопросу.

8.4 Коэффициент линейной корреляции Пирсона

Назначение и описание критерия

Коэффициент линейной корреляции Пирсона решает те же задачи, что и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Однако данный коэффициент рассчитан на шкалу интервалов или отношений, а не на шкалу порядка. Кроме этого, предполагается, что переменные X и Y должны быть распределены нормально.

При вычислении коэффициента не используется ранжирование, поэтому его расчёт является более простым, чем коэффициента ранговой корреляции.

В общем виде формула для подсчёта коэффициента корреляции Пирсона выглядит так:

rxy = ,

где и - средние значения переменных X и Y. Может быть также использована модификация этой формулы:

rxy = ,

которая не предполагает подсчёт средних значений переменных.

Критические значения коэффициента корреляции Пирсона (Таблица 7) рассчитываются для величины k = n - 2 при 5? k ?1000. Считается, что при достаточно большом n (если n>40) распределение переменной должно быть близким к нормальному. Поэтому в этом случае можно вычислять коэффициент Пирсона rxy, а не коэффициент ранговой корреляции Спирмена xy, таблица критических значений которого (Таблица 8) предполагает n? 40.

Условия применения коэффициента линейной корреляции Пирсона

1) Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.

2) Распределения переменных X и Y должны быть близки к нормальному.

3) Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть одинаковым.

4) Таблицы уровней значимости для коэффициента корреляции (Таблица 7) рассчитаны от n = 7 до n = 1000. Оценка уровня значимости осуществляется при числе степеней свободы k = n - 2.

Сравнение коэффициентов корреляции можно провести, решив одну и ту же задачу различными способами. В Примере 8.1. задача решена с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Пример 8.3. - это решение той же самой задачи с помощью коэффициента линейной корреляции Пирсона.

Пример 8.3. 20 школьникам были розданы тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач?

Решение: Введём переменные: X - среднее время решения наглядно-образных, Y - среднее время решения вербальных тестов. Данные переменные измерены в шкале отношений. (Переменные распределены нормально. Этот факт нуждается в дополнительной проверке, которая здесь опускается). Ответ на вопрос получим с помощью критерия линейной корреляции Пирсона. Исходные данные представлены в виде таблицы.

№ испытуемых п/п	X Среднее время решения наглядно-образных заданий	Y Среднее время решения вербальных заданий	X	X2	Y2
1	19	17	323	361	289
2	32	7	224	1024	49
3	33	17	561	1089	289
4	44	28	1232	1936	784
5	28	27	756	784	729
6	35	31	1085	1225	961
7	39	20	780	1521	400
8	39	17	663	1521	289
9	44	35	1540	1936	1225
10	44	43	1892	1936	1849
11	24	10	240	576	100
12	37	28	1036	1369	784
13	29	13	377	841	169
14	40	43	1720	1600	1849
15	42	45	1890	1764	2025
16	32	24	768	1024	576
17	48	45	2160	2304	2025
18	42	26	1092	1764	676
19	33	16	528	1089	256
20	47	26	1222	2209	676
Сумма	731	518	20.089	27.873	16.000

Формулировка гипотез:

Н0: Корреляция между средним временем решения наглядно-образных и вербальных заданий не отличается от нуля.

Н1: Корреляция между средним временем решения наглядно-образных и вербальных заданий достоверно отличается от нуля.

Алгоритм подсчёта коэффициента корреляции Пирсона:

1) Заполняем все столбцы таблицы, рассчитать суммы.

2) Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции по формуле:

rxy = = = 0,669

3) Находим критические значения коэффициента корреляции по Таблице 7. Число степеней свободы: k = n - 2 = 20 - 2 = 18.

rкр = 0,44 (Р?0,05); rкр = 0,56 (Р?0,01).

4) Строим ось значимости. rxy попадает в зону значимости.

5) Вывод. Отвергается Н0 и принимается Н1. Связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач статистически значима на 1% уровне и положительна. Полученная прямо пропорциональная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных задач и наоборот.

Таким образом, подтвердился результат решения данной задачи методом ранговой корреляции Спирмена.



9. Параметрические критерии различий

9.1 Понятие о параметрических критериях

Критерии носят название «параметрические», потому что в формулу их расчёта включаются такие параметры выборки, как среднее, дисперсия и др. Таким образом, необходимо, чтобы распределение выборочных значений было близко к нормальному.

Как правило, в психологических исследованиях чаще всего применяются два параметрических критерия.

1. t-критерий Стьюдента. Направлен на оценку различий величин средних и двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причём выборки могут быть не равными по величине.

2. F-критерий Фишера. Позволяет сравнивать величины выборочных дисперсий двух рядов наблюдений. Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону. Измерение может быть произведено в шкале интервалов или отношений.

В данном пособии рассматривается t-критерий Стьюдента применительно к случаям связных и несвязных выборок. Критические значения (для уровней значимости 0,05, 0,01 и 0,001) критерия приведены в Таблице 9 раздела «Таблицы критических значений». Критические значения зависят от числа степеней свободы k, рассчитываемого по определённому правилу.