Збірник задач з фізики: механіка, електрика, електромагнетизм

Размещено на http://www.allbest.ru

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

С.Г. Авдєєв, Т.І. Бабюк, О.С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 1

(Механіка, електрика, електромагнетизм

Вінниця ВНТУ 2009

УДК 530.1(075.8)

Д18

Рецензенти:

І.О. Сівак , доктор технічних наук, професор

О.В. Осадчук, доктор технічних наук , професор

В.Г. Дзівсь, кандидат фізико-математичних наук, доцент

Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України

Авдєєв С.Г., Бабюк Т.І., Камінський О.С.

Д18 Збірник задач з фізики, ч. 1 (для студентів технічних спеціальностей вищих навчальних закладів) Навчальний посібник. - Вінниця: ВНТУ, 2009 .- 126 с.

Посібник охоплює розділи “Механіка, електрика і електромагнетизм”, які традиційно викладаються в одному триместрі. Кожен окремий розділ супроводжується короткими теоретичними викладками і прикладами розв'язування задач.

В першу чергу посібник призначений для для організації та проведення практичних занять з курсу загальної фізики студентами вищих технічних навчальних закладів. Велика кількість і різноманітність задач, які ввійшли до посібника, дозволяє широко організовувати самостійну та індивідуальну роботу серед студентів.

кінематика динаміка гідростатика електричний магнітний поле

УДК 530.1(075.8)

© С.Г.Авдєєв, Т.І. Бібюк, О.С.Камінський, 2009

КІНЕМАТИКА

Основні формули

1. Положення матеріальної точки у просторі задається радіусом-вектором :

де ,, - орти (одиничні вектори в напрямі координатних осей x,y,z);

x, y, z - координати точки.

Кінематичні рівняння руху в координатній формі мають вигляд

,

де t - час.

2. Середня швидкість

де ? - переміщення матеріальної точки за інтервал часу ?t .

Середня швидкість на шляху ?s:

де ?s - шлях, що пройшла точка за інтервал часу ?t . Миттєва швидкість



де - проекції швидкості х на осі координат.

Абсолютне значення швидкості

3. Прискорення

де a_x, a_y, a_z - проекції прискорення a на осі координат, або

Абсолютне значення прискорення

При криволінійному русі прискорення можна подати як суму нормальної і тангенціальної складових

,

де a_n і a_ф - відповідно нормальне і тангенціальне прискорення. Вони дорівнюють



Тоді можна записати, що

де R - радіус кривини у даній точці траєкторії.

4. Кінематичне рівняння рівномірного руху матеріальної точки вздовж осі x

де x₀ - початкова координата.

При рівномірному русі х = const, a = 0.

5. Кінематичне рівняння рівнозмінного руху (a = const) вздовж осі x

де х₀ - початкова швидкість.

Швидкість точки при рівнозмінному русі

6. При обертанні положення твердого тіла визначається кутом повороту радіуса-вектора . Кінематичне рівняння обертального руху має вигляд де ц - кут повороту (або кутове переміщення).

7. Середня кутова швидкість

де Дц - зміна кута повороту за час Дt.

Миттєва кутова швидкість

8. Кутове прискорення

9. Кінематичне рівняння рівномірного обертання

При рівномірному обертанні щ = const, = 0. Частота обертання

або

де N - число обертів, що здійснюється за час t;

Т - період обертання (час одного повного оберту).

10. Кінематичне рівняння рівнозмінного обертання ( = const)

Кутова швидкість тіла при рівнозмінному русі

11. Зв'язок між лінійними та кутовими величинами, що характеризують обертання матеріальної точки, задається такими співвідношеннями:

а) довжина дуги кола радіусом R визначається формулою (- центральний кут);

б) лінійна швидкість точки

або .

Прискорення точки:

а) тангенціальне

або

б) нормальне

або .

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі х має вигляд х = A + Bt + Ct³ , де A = 2 м; В = 1 м/с; С = - 0,5 м/с³. Знайти координату, швидкість і прискорення точки в момент часу 2с.

Дано:

x = A + Bt + Ct³

A = 2 м

В = 1 м/с

С = - 0,5 м/с³

t = 2 c

_____________

x - ? - ? a - ?

Розв'язання. Координату точки знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t:

x = ( 2+12 - 0,523) м = 0 .

Оскільки потрібно знайти швидкість і прискорення в певний момент часу (t = 2 c), то це означає, що потрібно визначити миттєві величини _x і а_х .

Миттєва швидкість є першою похідною від координати за часом

_x = = B + 3Ct² .

Прискорення точки знайдемо, взявши першу похідну від швидкості за часом,

a_x = = 6Ct .

Виконавши необхідні обчислення для моменту часу t = 2 c, одержимо

_x = ( 1 - 3 0,5 22) м/с = - 5 м/с ,

а_x = 6 ( - 0,5 ) 2 м/с² = - 6 м/с² .

Приклад 2. Диск радіусом 0,1 м, що перебував у стані спокою, почав обертатися з постійним кутовим прискорення 0,5 рад./с². Знайти тангенціальне, нормальне й повне прискорення точок на ободі диска через дві секунди після початку обертання.

Дано:

R = 0,1 м

₍₀₎ = 0

= 0,5 рад./с²

t = 2с

_______________

а - ? a_n - ? a = ?

Розв'язання. Тангенціальні й нормальні прискорення точок тіла, яке здійснює обертальний рух, виражаються формулами

a = R , ( 1)

a_n = ²R , ( 2)

де - кутова прискорення тіла;

- відповідні прискорення точок на ободі диска;

R - радіус диска.

В умові задачі задане кутове прискорення, яке визначається формулою

= . ( 3)

Отже, кутова швидкість точок через час t дорівнює

=₍₀₎ + t, ( 4)

причому за умовою задачі початкова кутова швидкість ₍₀₎ = 0.

Виходячи із співвідношень (2) і (4), одержуємо формулу для нормального прискорення

a_n = ²R = ²t²R.

У момент часу t = 2 с нормальне прискорення дорівнює

a_n = ²t²R = 0,5²2²0,1² = 0,1 м/с²,

тангенціальне прискорення

а = R = 0,50,1 = 0,05 м/с²,

повне прискорення

а =

ДИНАМІКА ПРЯМОЛІНІЙНОГО РУХУ

Основні формули

1. Рівняння руху матеріальної точки (другий закон Ньютона) у векторній формі має вигляд

або у випадку, коли m = const

,

де - геометрична сума сил, що діють на матеріальну точку;

m - маса ;

- прискорення;

- імпульс;

N - кількість сил, що діють на матеріальну точку.

У координатній (скалярній) формі

або

, , ,

де під знаком суми стоять проекції сил F_i на відповідні осі координат.

2. Сила пружності

,

де k - коефіцієнт пружності;

x - абсолютна деформація.

3. Сила гравітаційної взаємодії

,

де G - гравітаційна стала;

m₁ і m₂ -маси взаємодіючих тіл;

r - відстань між матеріальними точками, або тілами.

4. Сила тертя ковзання

,

де ѓ - коефіцієнт тертя;

N- сила нормального тиску.

5. Координати центра мас системи матеріальних точок

, , ,

де т_і - маса і-ї матеріальної точки;

х, у, z - координати цієї точки.

ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ. РОБОТА Й ЕНЕРГІЯ

Основні формули

1. Закон збереження імпульсу

або ,

де N - кількість матеріальних точок (тіл) системи.

2. Робота, яка виконується постійною силою:

або

де б - кут між напрямками векторів сили F та переміщення ?r.

3. Робота, яка виконується змінною силою:

де інтегрування ведеться вздовж траєкторії, що позначається через L.

4. Середня потужність за інтервал часу ?t

.

5. Миттєва потужність

або .

6. Кінетична енергія матеріальної точки (тіла, що рухається

поступально)

або .

7. Потенціальна енергія тіла і сила, що діє на тіло в даній точці поля, пов'язані співвідношенням

або ,

де i , j, k - орти (одиничні вектори в напрямі осей x, y, z).

Якщо поле сил має сферичну симетрію, одержимо такий зв'язок

.

8. Потенціальна енергія пружно-деформованого тіла

.

9. Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок (тіл) масами m₁ і m₂, що знаходяться на відстані r

.

10. Потенціальна енергія тіла, що міститься в однорідному полі сили тяжіння, , де h (h<<R) - висота тіла над нульовим рівнем (рівнем, потенціальна енергія на якому умовно дорівнює нулю); R - радіус Землі.

11. У замкненій системі, в якій діють тільки консервативні сили, виконується закон збереження енергії

.

12. Швидкість руху куль після абсолютно непружного удару

.

13. Швидкості руху куль після абсолютно пружного удару

,

,

де m₁ і m₂ - маси куль;

х₁ і х₂ - швидкості куль до взаємодії.

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Куля масою 9 г, швидкість якої 600 м/с, попадає в дерев'яну стінку й застрягає в ній. Знайти середню силу удару й імпульс, отриманий стінкою, якщо час зіткнення 10 мс.

Дано:

m = 9 г = 910^-3 кг

= 600 м/с

t = 10 мс = 1010^-3 с

___________________

<F > - ?

p_с -

Розв'язання. Відповідно до закону збереження імпульсу для довільної замкнутої системи тіл сумарний імпульс системи з часом не змінюється. Це означає, що

Куля до удару мала імпульс m. Оскільки удар непружний, то цей імпульс буде повністю переданий стінці

p_с = m,

де p_с - зміна імпульсу стінки;

m - зміна імпульсу кулі.

За другим законом Ньютона для середніх значень маємо

<F_c>t = p_c = m.

Звідки середня сила удару кулі <F_c> дорівнює

<F_c> = .

Проведемо необхідні розрахунки:

р_с = m = 910^-3600 = 5,4 кгм/с;

<F_c> = Н.

При цьому сила <F_c> спрямована вздовж вектора початкової швидкості кулі, яку вона мала перед ударом.

Приклад 2. У кузов візка з піском загальною масою 40 кг, що рухається горизонтально зі швидкістю 5 м/с, попадає камінь масою 10 кг і застрягає в піску. Знайти швидкість візка після зіткнення з каменем, якщо камінь перед попаданням у візок летів зі швидкістю 5 м/с під кутом 60⁰ до горизонту назустріч візку. Сили зовнішнього опору руху візка не враховувати.

Дано:

M = 40 кг

₁= 5 м/с

m = 10 кг

₂ = 5 м/с

= 60⁰

^{_______________}

u - ?

Розв'язання. Оскільки сили опору в задачі нехтуються, то для такого руху система є замкнутою й для цієї системи тіл виконується закон збереження імпульсу (точніше, закон збереження горизонтальної складової імпульсу).

Запишемо закон збереження імпульсу в напрямі руху візка

де M - маса візка з піском;

m - маса каменя;

- швидкість візка;

- горизонтальна складова швидкості каменя;

u - швидкість візка і каменя після непружної взаємодії.

Звідки одержуємо

ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА

Основні формули

1. Основне рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі

,

де - результуючий момент всіх діючих сил;

- вектор моменту імпульсу тіла.

Вектор моменту імпульсу тіла дорівнює

,

де r - радіус-вектор;

mх - імпульс тіла.

У випадку постійного моменту інерції , де - кутове прискорення; І - момент інерції тіла (міра інертності тіла при обертальному русі).

2. Момент імпульсу тіла, що обертається відносно осі

.

3. Момент сили F, що діє на тіло відносно осі обертання

,

де l - плече сили - найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії сили.

4. Момент інерції матеріальної точки відносно нерухомої осі обертання

,

де m - маса точки;

r - відстань від точки до осі обертання.

Момент інерції довільного твердого тіла

де r_i - відстань елемента маси ?m_i від осі обертання.

Це ж співвідношення в інтегральній формі (для тіл правильної геометричної форми)

.

Моменти інерції деяких найпростіших тіл

Тіло	Вісь, відносно якої визначається момент інерції	Формула для моменту інерції
Однорідний тонкий стрижень масою m і довжиною l	Проходить через центр тяжіння стрижня перпендикулярно до нього
	Проходить через кінець стрижня перпендикулярно до нього	І =
Тонке кільце, обруч, труба радіусом R і масою m, маховик радіусом R і масою m	Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи	І = mR2
Круглий однорідний диск (циліндр) радіусом R і масою m	Проходить через центр тяжіння перпендикулярно до площини основи	І=
Однорідна куля масою m і радіусом R	Проходить через центр кулі	І=

Якщо тіло однорідне, тобто його густина с однакова по всьому об'єму, то

і ,

де V - об'єм тіла.

Теорема Штейнера. Момент інерції твердого тіла або матеріальної точки відносно довільної осі обертання, але обов'язково паралельній до осі, що проходить через центр мас тіла, дорівнює

,

де І₀ - момент інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла;

a - відстань між паралельними осями;

m - маса тіла.

5. Закон збереження моменту імпульсу

.

Для двох взаємодіючих тіл закон збереження моменту імпульсу записується так:

,

де І₁, І₂ , ₁, ₂ - моменти інерції і кутові швидкості тіл до взаємодії; , , , - ті самі величини після взаємодії.

Закон збереження моменту імпульсу для одного тіла із змінним моментом інерції

де І₁ і І₂ - початковий і кінцевий моменти інерції;

і - початкова і кінцева кутові швидкості тіла.

6. Робота постійного моменту сили М, що діє на тіло, яке здійснює обертання

де - кут повороту тіла.

7. Миттєва потужність, яка розвивається при обертанні тіла,

.

8 Кінетична енергія тіла, яке здійснює обертальний рух

9. Кінетична енергія тіла, яке котиться без ковзання вздовж будь-якої площини

де- кінетична енергія поступального руху тіла;

- швидкість руху центра інерції тіла;

- кінетична енергія обертального руху тіла навколо осі, що проходить через центр інерції.

10. Зв'язок між роботою, яка виконується при обертанні тіла і зміною кінетичної енергії

.

11. Зв'язок між фізичними величинами і формулами, які характеризують поступальний і обертальний рух в найпростіших випадках, показаний в наступній таблиці:

Поступальний рух Обертальний рух
Основний закон динаміки
	=
	= І
Закони збереження
імпульсу	моменту імпульсу
Робота і потужність
A = Fs	A=M
Кінетична енергія

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Куля масою 1кг, рухаючись горизонтально, зіштовхується з нерухомою кулею масою 12 кг. Кулі абсолютно пружні, удар прямій, центральний. Яку частину своєї кінетичної енергії перша куля передала другій?

Дано:

m₁ = 1 кг

m₂ = 12 кг

₂ = 0

Удар пружний

____________

Е = - ?

Розв'язання. При абсолютно пружному центральному зіткненні виконуються закони збереження імпульсу й енергії. Тому з урахуванням того, що друга куля до зіткнення була нерухома, одержуємо два рівняння

m₁₁ = m₁ u₁ + m₂ u₂ ,

, ( 1)

де ₁ - швидкість першої кулі до удару;

u₁ й u₂ - швидкості першої й другої куль після удару.

При цьому із закону збереження імпульсу треба враховувати, що після удару перша й друга кулі рухаються уздовж прямої, по якій рухалася перша куля до удару.

Частка енергії, передана першою кулею другій, визначається співвідношенням

, ( 2)

де К_k1 - кінетична енергія першої кулі до удару;

К_k2 - кінетична енергія другої кулі після удару.

Розв'язавши систему (1), одержуємо

.

Підставивши u₂ у формулу (2) і скоротивши на ₁ й m₁, знаходимо

. ( 3)

Співвідношення (3) симетричне відносно мас куль m₁ і m₂, тому частка переданої енергії не зміниться, якщо маси куль поміняти місцями.

Підставляючи у вираз (3) числові значення m₁ і m₂ , одержимо

.

Приклад 2. З похилої площини висотою 1 м і довжиною 10 м сповзає тіло масою 1 кг (рис.1). Знайти:

1) кінетичну енергію тіла біля основи похилої площини;

2) швидкість тіла біля основи похилої площини. Коефіцієнт тертя на всьому шляху вважати постійним і рівним 0,05.

Дано:

h = 1 м

l = 10 м

m =1 кг

f = 0,05

_________

E_к - ? - ?

Рис.1

Роз'язання. Потенціальна енергія тіла при сповзанні з похилої площини переходить у кінетичну енергію й роботу проти сили тертя

mgh = . ( 1)

Але h = l sin, де - кут нахилу похилої площини.

F_тр.= f mg cos .

1) Кінетичну енергію тіла знайдемо з (1)

К_k=,

де sin = h / l = 0,1 й cos = 0,995.

Підставляючи чисельні значення, одержуємо К_k = 4,9 Дж.

2) Швидкість тіла одержимо з формули кінетичної енергії

= .

Приклад 3. При вертикальному підйомі вантажу масою 4 кг на висоту 9 м постійною силою була виконана робота 80Дж. З яким прискоренням піднімали вантаж?

Дано:

m = 4 кг

h = 2 м

A = 80 Дж

_________

a - ?

Розв'язання. Зовнішні сили виконують роботу, яка йде на збільшення потенціальної енергії вантажу й на надання йому прискорення

A = mgh + mah .

Звідси

a = .

Підставляючи чисельні значення, одержуємо

a = .

Приклад 4. Сталева пружина під дією сили 300 Н видовжується на 2 см. Яку потенціальну енергією буде мати ця пружина при її видовженні на 10 см?

Дано:

F₁ = 300 H

x₁ = 2 см = м

x₂ = 10 см = 10^-1 м

__________________

E_n - ?

Розв'язання. Потенціальна енергія розтягнутої пружини дорівнює

П_n = . ( 1)

При цьому коефіцієнт жорсткості пружини можна визначити із закону Гука

F = kx,

де F - величина зовнішньої сили. Звідси одержуємо

k = F/x = F₁ / x_1. ( 2)

Якщо вираз (2) підставити в (1), одержуємо

П_n = .

Підставляючи чисельні значення сили й деформацій, знаходимо

П_n = Дж.

Приклад 5. Стрижень довжиною 1,5 м і масою 10 кг може обертатися навколо нерухомої осі, яка проходить через верхній кінець стрижня (рис. 2). У нижній кінець стрижня вдаряє куля масою 10 г, що летить у горизонтальному напрямі зі швидкістю 500 м/с, і застрягає в ньому. На який кут відхилиться стрижень після удару?

Дано:

l = 1,5 м

M = 10 кг

m = 10 г = 10^.10^-3 кг

₀ = 500 м/с

_______________

- ?



Рис. 2

Розв'язання. Оскільки удар кулі в нижній кінець стрижня непружний, то після удару точки нижнього кінця стрижня і кулі будуть рухатися з однаковими швидкостями.

Розглянемо детальніше явища, які відбуваються при ударі. Спочатку куля, вдарившись об стрижень, за достатньо малий проміжок часу приводить його в рух з кутовою швидкістю і надає йому кінетичну енергію К

К = , ( 1)

де I - момент інерції стрижня відносно осі обертання.

Потім стрижень повертається на кут , причому центр мас піднімається на висоту h = .

У відхиленому положенні стрижень буде мати потенціальну енергію

П_п = . ( 2)

Потенціальна енергія стрижня зростає за рахунок зменшення його початкової кінетичної енергії, а тому за законом збереження енергії вони рівні. Прирівнявши праві частини рівності (1) і (2), одержимо

= .

Звідки

( 3)

Момент інерції стрижня відносно осі обертання, яка проходить через кінець стрижня, можна знайти за теоремою Штейнера

I = I₀ + M = Ml² + Ml² = Ml² .

Значення моменту інерції підставимо в (3), одержимо

cos = 1 - . ( 4)

Щоб з виразу (4) знайти , необхідно попередньо визначити значення . У момент удару на кулю й на стрижень діють сили тяжіння, лінії дії яких проходять через вісь обертання й спрямовані вертикально вниз. Моменти цих сил відносно осі обертання дорівнюють нулю. Тому при ударі кулі об стрижень буде справедливо використати закон збереження моменту імпульсу.

У початковий момент часу кутова швидкість стрижня ₀ = 0, тому його момент імпульсу L₀₁ = I₀ = 0. Куля вдаряється в кінець стрижня й в міру заглиблення в стрижень, надає йому кутового прискорення й приймає участь в обертанні стрижня навколо закріпленої осі. Момент імпульсу кулі перед початком удару

L₀₂ = m₀l ,

де l - відстань точки влучення кулі від осі обертання стрижня.

У кінцевий момент удару стрижень мав кутову швидкість , а куля - лінійну швидкість , рівну лінійній швидкості точок стрижня, які перебувають на відстані l від осі обертання. Оскільки = l , то кінцевий момент імпульс кулі дорівнює

L₂ = ml = ml².

Застосувавши закон збереження моменту імпульсу, можна записати

L₀₁ + L₀₂ = L₁ + L₂ або mv₀ l= I + ml²,

звідки

( 5)

Виконавши обчислення за формулою (5), а потім за формулою (4), знайдемо = 0,99 рад/c; cos = 0,95; = 18,19^o'.

Приклад 6. Диск діаметром 20 см і масою 2 кг обертається навколо осі, яка проходить через його центр. Кут повороту диска змінюється з часом за законом = А + Вt + Ct², де C = -2 рад./c². Визначити величину гальмівної сили, прикладеної до ободу диска.

Дано:

D = 20 см = 0,2 м

m = 2 кг

= А + Вt + Ct²

C = -2 рад./с²

^{____________________}

F_г - ?

Розв'язання. Плече гальмівної сили відоме. У цьому випадку воно дорівнює радіусу диска R. Тому гальмівну силу, прикладену до ободу, можна знайти зі співвідношення

F_г = M / R .

Гальмівний момент М може бути розрахований з основного рівняння динаміки обертального руху М = І, якщо будуть визначені кутове прискорення (у цьому випадку сповільнення) і момент інерції диска I.

Для розрахунку цих двох величин є всі необхідні дані:

= = 2 C; I = - момент інерції диска.

Таким чином результуюча формула має вигляд

F = = .

Провівши необхідні розрахунки, одержимо

F = -2(1/2) рад./c² 2 кг 0,2 м = - 0,4 Н.

Приклад 7. Вал у вигляді суцільного циліндра масою 10 кг насаджений на горизонтальну вісь. На вал намотаний шнур, до вільного кінця якого підвішена гиря масою 2 кг (рис.3). З яким прискоренням буде опускатися гиря, якщо її відпустити?

Дано:

m₁ = 10 кг

m₂ = 2 кг

__________

a - ?

Рис. 3

Розв'язання. Лінійне прискорення a гирі дорівнює тангенціальному прискоренню точок вала, які лежать на його циліндричній поверхні, і пов'язане з кутовим прискоренням вала співвідношенням

a = r , ( 1)

де r- радіус вала.

Кутове прискорення вала визначається з основного рівняння динаміки обертального руху тіла

= M / I, ( 2)

де M - обертальний момент, що діє на вал;

I - момент інерції вала.

Розглядаємо вал як однорідний циліндр (диск). Тоді його момент інерції відносно геометричної осі буде дорівнювати

I = m₁ r².

Обертальний момент M, який діє на вал, дорівнює добутку сили натягу шнура T на радіус вала

M = T r.

Силу натягу шнура знайдемо з наступних міркувань. На гирю діють дві сили: сила тяжіння m₂g , спрямована вниз, і сила T натягу шнура, спрямована вверх. Рівнодіюча цих сил викликає рівноприскорений рух гирі. За другим законом Ньютона

m₂ g - T = m₂ a,

звідки

T= m₂ (g - a).

Таким чином обертальний момент сил дорівнює

M = m₂ (g - a) r.

Підставивши у формулу (2) отримані значення M і I, знайдемо кутове прискорення вала

.

Для визначення лінійного прискорення гирі підставимо цей вираз у формулу (1), одержимо

,

звідки

ГІДРОСТАТИКА

Основні формули

1. Витрата рідини в трубці, через яку вона тече:

а) об'ємна витрата рідини Q_V = S;

б) масова витрата рідини Q_m = S,

де S - площа перерізу трубки;

- швидкість протікання рідини;

- густина рідини в трубці.

2 . Рівняння нерозривності струменя

3. Рівняння Бернуллі для ідеальної нестисливої рідини в

загальному випадку

де р₁ і р₂ - статичні тиски у двох умовно виділених перерізах трубки;

і - швидкості рідини в цих перерізах;

і - динамічні тиски рідини в цих самих перерізах;

h₁ і h₂ - їх висота над деяким рівнем, прийнятим умовно за нульовий;

gh₁ і gh₂ - гідростатичні тиски.

Якщо обидва перерізи розміщені на одній висоті, рівняння Бернуллі буде мати такий вигляд:

.

4. Швидкість витікання рідини з малого отвору у відкритій широкій посудині

,

де h - глибина, на якій міститься отвір відносно верхнього рівня рідини в посудині.

5. Формула Пуазейля. Об'єм рідини або газу, що протікає за час t через довгу трубку, дорівнює

,

де r - радіус трубки;

l - її довжина;

- різниця тисків на кінцях трубки;

- динамічна в'язкість (коефіцієнт внутрішнього тертя) рідини.

6. Число Рейнольдса для потоку рідини в довгих трубках

,

і для руху кульки в рідині

,

де <> - середня швидкість протікання рідини;

- швидкість кульки;

d - діаметр трубки або діаметр кульки.

Якщо Re<<Re_кр - течія рідини ламінарна; Re>>Re_кр - рух рідини переходить у турбулентний,

де Re_кр - критичне число Рейнольдса; (для руху кульки в рідині Re_кр = 0,5; для потоку рідини Re_кр = 2300).

7. Формула Стокса. Сила опору F, що діє з боку рідини на кульку, яка повільно рухається в ній, дорівнює

,

де r - радіус кульки;

х - швидкість руху кульки.

Формула Стокса справедлива для швидкостей, для яких Re<<1.

ЗАДАЧІ

1. Прямолінійний рух матеріальної точки описується рівнянням . Знайти екстремальне значення швидкості точки ₁ та момент часу t₁ від початку руху, коли ця швидкість стає екстремальною? У який момент часу t₂ швидкість ₂ = 0 ?

Відповідь: t₁ = 5,3 c; t₂=10,66 c.

2. Рівняння руху двох матеріальних точок вздовж прямої лінії, мають вигляд: , де B₁ = 12 м/с , і , де B₂ = 2 м/с, . У який момент часу швидкості цих точок будуть однаковими? Чому дорівнюють швидкості і прискорення точок у цей момент часу?

Відповідь: t = 1,1 c; =3,11 м/с; а₁ = -8 м/с²; =3,11 м/с; а₂=1 м/с².

3. Рівняння руху точки вздовж прямої лінії має вигляд: , де А = 6 м/с і . Визначити силу, яка діє на точку в момент часу t = 2 с. Маса точки m = 0,2 кг.

Відповідь: F=0,3 Н.

4. Визначити повне прискорення точки на ободі колеса радіусом 0,5 м, в момент часу t = 3 с. Рівняння обертання колеса: , де А = 2 рад/c, B = 0,2 рад/cі .

Відповідь: а = 27,44 м/с².

5. Точка рухається по колу радіусом 8 м. У деякий момент часу нормальне прискорення точки дорівнює 4 м/cІ , вектор повного прискорення утворює у цей момент із вектором нормального прискорення кут 60^o. Знайти швидкість і тангенціальне прискорення a_ф точки.

Відповідь: = 5,65 м/с; .

6. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд: , де А = 3 м/с, B = 0,06 м/cі . Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу t₁ = 0 і t₂ = 3с . Яке середнє значення швидкості за перші 3 с?

Відповідь: = 3м/с; а₁=0; а = 1,08 м/с²; .

7. Швидкість частинки, яка рухається прямолінійно, змінюється за законом , де А=12м/с і B=2м/cІ. Знайти: а) екстремальне значення швидкості частинки; б) координату х частинки для цього ж моменту часу, якщо в момент t = 0, х₀ = 0.

Відповідь: х_е = 18м/с; х = 36.

8. Рівняння руху матеріальної точки вздовж прямої має вигляд: , де А = 4 м, В = 2 м/с, С = - 5 м/cІ . Знайти момент часу, в який швидкість точки = 0. Чому дорівнює координата х і прискорення а точки в цей момент часу?

Відповідь: t = 0,2 c; x = 4,2 м; a = -10 м/с².

9. Частинка рухається по прямій за законом , де А = 3м, В = 2,5 м/с, С = 0,25 м/cі . Знайти середні значення швидкості і прискорення в інтервалі часу від t₁ = 1c до t₂ = 6c.

Відповідь: ; а_ср. = 5,25 м/с².

10. Частинка рухається прямолінійно з прискоренням а = 2В, де B = - 0,5 м/cІ . У момент часу t = 0 координата частинки x₀ = 0, швидкість ₀ = A, де А = 2 м/с. Знайти: а) швидкість частинки в кінці третьої секунди; б) координату частинки через 3 с після початку руху;

в) шлях, пройдений частинкою за цей час.

Відповідь: х = -1 м/с; х = 1,5 м; S = 1,5м.

11. Точка рухалася впродовж t₁=15c зі швидкістю х₁=5м/с, t₂=10c зі швидкістю х₂=8м/с і t₃ =6 с зі швидкістю х₃ =20м/c. Яка середня шляхова швидкість точки?

Відповідь: = 8,87 м/с.

12. Рівняння прямолінійного руху має вигляд x = At + Вt², де А = 4 м/с; В = -0,05м/с². Побудувати графіки залежності координати й шляху від часу для даного руху.

13. Камінь падає з висоти h = 1200 м. Який шлях s пройде камінь за останню секунду свого падіння?

Відповідь: s = 150 м.

14. Тіло сповзає з похилої площини, яка утворює кут 45^o з горизонтом. Пройшовши шлях 36,4 см, тіло набуває швидкості 2 м/с. Чому дорівнює коефіцієнт тертя тіла об площину.

Відповідь: м = 0,2.

15. Тіло сповзає з похилої площини, яка утворює кут 45^o з горизонтом. Залежність пройденого тілом шляху від часу задається рівнянням: . Знайти коефіцієнт тертя тіла об площину.

Відповідь: м = 0,51.

16. Похила площина довжиною 2м утворює кут 25^o з площиною горизонту. Тіло, рухаючись рівноприскорено, сповзає з цієї площини за час 2 с. Визначити коефіцієнт тертя тіла об площину.

Відповідь: м = 0,35.

17. Схил крижаної гори направлений під кутом 30^o до горизонту. Рухаючись по схилу знизу вверх, тіло в деякій точці має швидкість 10 м/с. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Яку швидкість буде мати це тіло після його повернення в ту ж точку.

Відповідь: х = 8,4 м/с.

18. У вагоні, що рухається горизонтально та прямолінійно з прискоренням a = 2 м/c², висить на шнурі вантаж масою m = 0,2 кг. Знайти силу натягу шнура і кут відхилення шнура від вертикалі.

Відповідь: F_н = 2,04 Н; ц = 11,3^о.

19. Під час руху автомобіля масою 10³ кг на нього діє сила тертя, яка дорівнює 0,1 його сили тяжіння. Яку силу тяги має розвивати двигун авто-мобіля, увипадках: а) рівномірного руху; б) руху з прискоренням а = 2,4 м/cІ?

Відповідь: F₁ = 1000 H; F₂ = 3400 H.

20. Тіло сповзає з похилої площини, кут нахилу якої б = 30^o. У деякій точці В швидкість тіла ₁ = 0,14 м/c, а в точці С, що знаходиться нижче точки В, швидкість тіла ₂ = 2,57 м/c . Коефіцієнт тертя тіла об площину м = 0,1. Скільки часу тіло рухається від точки В в точку С.

Відповідь: t = 0,59 c.

21. Диск обертається з кутовим прискоренням е = -2 рад/с². Скільки оборотів N виконає диск при зміні частоти обертання від n₁ = 240 хв^-1 до n₂ = 90 хв^-1? Визначити також час , протягом якого це відбудеться.

Відповідь: 7,85 с.

22. До пружинних терезів підвішений блок. Через блок перекинутий шнур, до кінців якого прив'язані тягарці масами m₁= 1,5 кг і m₂ = 3 кг. Які будуть покази терезів під час руху тягарців? Масою блоку й шнура знехтувати.

Відповідь: F = 39,2 Н.

23. Кулька масою т = 300 г ударяється об стіну й відскакує від неї. Визначити імпульс р₁, отриманий стіною, якщо в останній момент перед ударом кулька мала швидкість х_про = 10 м/с, спрямовану під кутом а = 30° до поверхні стіни. Удар вважати абсолютно пружним.

Відповідь: р₁ = 3 Н^.с.

24. Катер масою т = 2 т із двигуном потужністю N=50 кВт розвиває максимальну швидкість х_тах = 25 м/с. Визначити час t, впродовж якого катер після вимикання двигуна втратить половину своєї швидкості.

Відповідь: t = 25 с.

25. Снаряд масою т= 10кг, випущений із зенітної гармати вертикально вгору зі швидкістю х_о=800 м/с. Вважаючи силу опору повітря пропорційною швидкості, визначити час t підйому снаряда до найвищої точки. Коефіцієнт опору k = 0,25 кг/с.

Відповідь: t = 44,5 с.

26. З гелікоптера, що нерухомо висить на деякій висоті над поверхнею Землі, скинутий вантаж масою т= 100 кг. Вважаючи, що сила опору повітря змінюється пропорційно швидкості, визначити, через який проміжок часу t прискорення а вантажу буде дорівнювати половині прискорення вільного падіння. Коефіцієнт опору k= 10 кг/с.

Відповідь: t = 6,93 с.

27. Катер масою т = 400 кг починає рухатися по озеру. Сила тяги F двигуна катера дорівнює 0,2 кН. Вважаючи силу опору F_о пропорційною швидкості, визначити швидкість катера через t = 20 с послу початку його руху. Коефіцієнт опору k = 20 кг/с.

Відповідь: = 6,3 м/с.

28. Катер масою т = 2 т починає рухатися з місця й протягом часу ф= 10 с розвиває при русі по спокійній воді швидкість = 4 м/с. Визначити силу тяги F двигуна катера, вважаючи її постійною. Прийняти силу опору F_о руху пропорційною швидкості тіла. Коефіцієнт опору k = 100 кг/с.

Відповідь: F = 1,03 кН.

29. Парашутист, маса якого т =80 кг, здійснює затяжний стрибок. Вважаючи, що сила опору повітря пропорційна швидкості, визначити, через який проміжок часу t швидкість руху парашутиста буде дорівнювати 0,9 від швидкості усталеного руху. Коефіцієнт опору k = 10 кг/с. Початкова швидкість парашутиста дорівнює нулю.

Відповідь: t = 18,4 с.

30. З якої найменшої висоти h повинен почати їхати акробат на велосипеді (не працюючи ногами), щоб проїхати по доріжці, яка має форму «мертвої петлі» радіусом R = 4 м, і не відірватися від доріжки у верхній її точці? Тертям знехтувати.

Відповідь: h = 10 м.

31. Куля масою т = 10 г, яка летіла зі швидкістю = 600 м/с, потрапила в балістичний маятник (мал. 2.7) масою М = 5 кг і застрягла в ньому. На яку висоту h, відхилившись після удару, підніметься маятник?

Відповідь: h = 7,34 см.



32. У балістичний маятник масою М = 5 кг потрапила куля масою т = 10 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту h = 10 см.

Відповідь: = 701 м/с.

33. Бойок пальового молота масою т₁ = 500 кг падає з деякої висоти на палю, масою т₂ = 100 кг. Знайти к.к.д. з удару бойка, вважаючи удар непружним. Зміною потенціальної енергії палі при її заглибленні знехтувати.

Відповідь: з = 0,167.

34. Чому дорівнює імпульс сили, який отримує стінка при ударі об неї кульки масою 300 г, якщо кулька рухалася зі швидкістю 8 м/с під кутом 60^o до площини стінки. Удар об стінку вважати пружним.

Відповідь: .

35. Снаряд, який летить зі швидкістю 400 м/с, розривається на два осколки. Менший осколок, маса якого складає 40% від маси снаряда, полетів у протилежному напрямку зі швидкістю 150 м/с. Визначити величину і напрям вектора швидкості великого осколка.

Відповідь: х = 600 м/с.

36. М'яч масою 100 г вільно падає з висоти 1 м на сталеву плиту і після зіткнення, підстрибує на висоту 0,5 м. Який імпульс за величиною і напрямком одержує плита в цьому випадку?

Відповідь: = 0,756 Н^.м..

37. Ракета, маса якої разом із зарядом 250 г, злітає вертикально вгору і досягає висоти 150 м. Визначити швидкість витікання газів з ракети, вважаючи, що згоряння заряду відбувається миттєво. Маса заряду - 50 г.

Відповідь: х = 217 м/с.

38. Гармата, що стоїть на дуже гладкій горизонтальній поверхні, стріляє під кутом 30^o до горизонту. Маса снаряда 20 кг, а його початкова швидкість 200 м/с. Якої швидкості набуває гармата після пострілу, якщо її маса 500 кг.

Відповідь: х = 6,92 м/с.

39. У човні масою 240 кг стоїть людина масою 60 кг. Човен пливе зі швидкістю 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямі зі швидкістю 4 м/с (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини, якщо:

1) стрибок відбувається в напрямі руху човна;

2) стрибок відбувається в протилежному напряму до руху човна.

Відповідь: ₂ = 3,5 м/с.

40. Людина масою 60 кг, яка біжить зі швидкістю 8 км/год, наздоганяє візок масою 80 кг, що рухається зі швидкістю 2,9 км/год і застрибує на нього. З якою швидкістю буде рухатися візок разом з людиною? З якою швидкістю буде рухатися візок, якщо людина бігла йому назустріч?

Відповідь: = 1,41 м/с.

41. Снаряд масою 100 кг, що летить горизонтально вздовж залізничної колії зі швидкістю 500 м/с, попадає у вагон з піском масою 10⁴ кг і застрягає в ньому. Яку швидкість буде мати вагон, якщо він рухався зі швидкістю 36 км/год у напрямі, протилежному рухові снаряда.

Відповідь: = 14,85 м/с.

42. У скільки разів зменшиться швидкість атома гелію після пружної взаємодії з нерухомим атомом водню, маса якого в 4 рази менша маси атома гелію?

Відповідь:

43. Назустріч одна одній рухаються дві кулі масами m₁ і m₂ . Кінетична енергія другої кулі в 20 разів більша кінетичної енергії першої кулі. Між кулями відбувається абсолютно непружний удар. Яке має бути відношення мас цих куль m₁ / m₂, щоб після взаємодії вони рухалися в сторону руху першої кулі.

Відповідь: m₁ / m₂ > 20.

44. Частинка масою m₁ = 10^-24 г має кінетичну енергію T₁ = 9 нДж. У результаті пружного зіткнення з частинкою, яка перебуває в спокої масою т₂ = 4 • 10^{_ 24} г, її кінетична енергія дорівнює Т₂ = 5 нДж. Визначити кут, на який відхилиться частинка від свого початкового напрямку.

Відповідь: 144^о.

45. Знайти момент інерції тонкого однорідного кільця радіусом R = 20 см і масою т = 100 г відносно осі, яка лежить у площині кільця та проходить через його центр.

Відповідь: Ѕ^.mR².

46. Через нерухомий блок масою т = 0,2 кг перекинутий шнур, до кінців якого підвісили тягарці масами т₁ = 0,3 кг і т₂ = 0,5 кг. Визначити сили Т₁ і Т₂ натягу шнура з обох боків блоку під час руху тягарців, якщо маса у блоці рівномірно розподілена по ободу.

Відповідь: 3,53 Н; 3,92 Н.

47. Маховик обертається за законом, що виражається рівнянням , де А = 2 рад; В = 32 рад/с; С = - 4 рад/с². Знайти середню потужність <N>, яка розвивається діючими на маховик силами, при його обертанні до зупинки, якщо момент інерції маховика J = 100 кг• м².

Відповідь: 12,8 кВт.

48. Кінетична енергія Т обертання маховика дорівнює 1 кДж. Під дією постійного гальмівного моменту маховик почав обертатися рівносповільнено й, виконавши N = 80 обертів, зупинився. Визначити момент М сили гальмування.

Відповідь: 1,99 Н^.м.

49. На столі стоїть візок масою m₁ = 4 кг. До візка прив'язаний один кінець шнура, перекинутого через блок. З яким прискоренням а буде рухатися візок, якщо до іншого кінця шнура прив'язати гирю масою m₂ = 1 кг. Блок невагомий. Тертя в блоці відсутнє.

Відповідь: а =1,96 м/с².

50. Похила площина, що утворює кут a = 25° із горизонтом, має довжину l = 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зісковзнуло з цієї площини за час t =2 с. Знайти коефіцієнт тертя f тіла об площину.

Відповідь: f = 0,35.

51. Матеріальна точка масою m = 2 кг рухається під дією деякої сили F відповідно до рівняння х = A + Bt + Ct² + Dt³, де C = 1 м/с², D = - 0,2 м/с³. Знайти значення цієї сили в моменти часу t₁= 2с і t₂= 5с. У який момент часу сила дорівнює нулю?

Відповідь: F₁= -0,8 Н; F₂= -8 Н; F = 0 при t=1,67 с.

52. Парашутист масою 70 кг, здійснюючи затяжний стрибок, через 14 с досягає швидкості 60 м/с. Чому дорівнює робота по подоланню опору повітря, якщо рух парашутиста є рівноприскореним?

Відповідь: A_on =161,3 Дж.

53. Яку роботу слід виконати, щоб підняти вантаж масою 10 кг вздовж похилої площини з кутом нахилу 45^o на відстань 2 м, якщо час підйому 2с, а коефіцієнт тертя м = 0,1?

Відповідь: А = 175,54 Дж.

54. Пружина жорсткістю 500 Н/м стиснута силою F = 100 Н. Яку роботу зовнішньої сили слід виконати, що додатково стиснути цю пружину ще на 2 см?

Відповідь: А = 2,1 Дж.

55. Яку роботу слід виконати, щоб на шляху 10 м збільшити швидкість руху тіла масою 10 кг від 2 м/с до 6 м/с? Сила тертя постійна F=20Н.

Відповідь: А = 360 Дж.

56. Тіло масою 5 кг вдаряється об нерухоме тіло масою 2,5 кг, яке після удару починає рухатися з кінетичною енергією 5 Дж. Вважаючи удар центральним і пружним, визначити кінетичну енергію першого тіла до і після удару.

Відповідь: К₁= 5,625 Дж; К₂=0,625 Дж.

57. Дві кулі підвішені на рівнобіжних нитках однакової довжини так, що вони дотикаються. Маса першої кулі - 0,2 кг, маса другої - 100 г. Першу кулю відхиляють так, що її центр мас піднімається на висоту 4,5 см, і відпускають. На яку висоту піднімуться кулі після зіткнення, якщо удар непружний.

Відповідь: h₂ = 2,24 см.

58. Вантаж, який покладений на чашку терезів, стискає пружину на x₁ = 5 см. Знайти величину стиснення пружини для випадку, коли цей же вантаж падає на чашку терезів з висоти h = 10 см.

Відповідь: х₂ = 8,66 см.

59. Тіло масою m = 2 кг під дією постійної сили рухається прямолінійно, причому залежність координати х тіла від часу визначається рівністю x = B + Ct + DtІ, де В = 1 м, С = 2 м/c, D = 3 м/cІ . Знайти роботу, яку виконує ця сила в інтервалі часу від 0 до t = 3 с.

Відповідь: А= 204 Дж.

60. Тіло масою m = 2 кг рухається вгору по похилій площині, яка складає кут б = 30^o з горизонтом. Початкова швидкість тіла = 10 м/c, коефіцієнт тертя м = 0,1. Знайти: 1) шлях, який пройде це тіло до зупинки;

2) роботу сили тертя на цьому шляху.

Відповідь: s = 8,7 м; А_тр.= -14,75 Дж.

61. У балістичний маятник масою М = 4 кг попадає куля масою m = 10 г, яка летить горизонтально зі швидкістю = 400 м/с і застрягає в ньому. Знайти висоту, на яку підніметься маятник з кулею після удару.

Відповідь: h = 4,97 м.

62. Диск радіусом R = 40 см обертається навколо вертикальної осі. На краю диска лежить деяке тіло. Приймаючи коефіцієнт тертя f = 0,4, знайти частоту п обертання, при якій тіло зісковзне з диска.

Відповідь: п = 0,5 с^-1.

63. До шнура підвішена гиря. Гирю відвели від положення рівноваги так, що шнур набув горизонтального положення, і відпустили. Чому дорівнює сила Т натягу шнура в момент, коли гиря проходить положення рівноваги? Який кут ц з вертикаллю утворює шнур у момент, коли сила натягу шнура дорівнює силі тяжіння гирі?

Відповідь: Т = 3mg; ц = 70,50⁰.

64. Яку найбільшу швидкість х_mах може розвинути велосипедист, проїжджаючи заокруглення радіусом R = 50 м, якщо коефіцієнт тертя ковзання між шинами і асфальтом дорівнює 0,3? Який кут ц відхилення велосипеда від вертикалі, коли велосипедист рухається по заокругленню?

Відповідь: х_mах = 12.1м/с; ц =16,7⁰.

65. Вал обертається з частотою п = 2400 хв^-1. До вала перпендикулярно до його довжини прикріплений стрижень дуже малої маси, що має на кінцях два тягарці масою m = 1 кг кожний, які розміщені на відстані r = 0,2 м від осі вала. Знайти силу F, яка розтягує стрижень при обертанні вала.

Відповідь: F=12,7 кН.

66. На гладенькому столі лежить брусок масою m = 4 кг. До бруска прив'язані два шнури, перекинуті через нерухомі блоки, прикріплені до протилежних країв столу. До кінців шнурів підвішені гирі, маса яких m₁ =1 кг і m₂ = 2 кг. Знайти прискорення a, з яким рухається брусок, і силу T натягу кожного зі шнурів. Масою блоків і тертям в них знехтувати.

Відповідь: а = 1,4 м/с²; Т₁ = 11,2 Н; Т₂ = 16,8 Н.

67. Шайба, пущена по поверхні льоду з початковою швидкістю х₀ = 20 м/с, зупинилася через t = 40 с. Знайти коефіцієнт тертя f шайби об лід.

Відповідь: f = 0,051.

68. На горизонтальній поверхні розміщений брусок масою m₁ = 2 кг. Коефіцієнт тертя f₁ бруска об поверхню дорівнює 0,2. На бруску лежить інший брусок масою m₂ = 8 кг. Коефіцієнт тертя f₂ верхнього бруска об нижній дорівнює 0,3. До верхнього бруска прикладена сила F. Визначити: а) значення сили F₁, при якій почнеться спільне ковзання брусків по поверхні; б) значення сили F₂, при якій верхній брусок почне проковзувати відносно нижнього.

Відповідь: F₁ = 19,6 Н; F₂ = 39,2 Н.

69. Початкова швидкість х₀ кулі дорівнює 800 м/с. При русі в повітрі за час t = 0,8 с її швидкість зменшилася до х = 200 м/с. Маса m кулі дорівнює 10 г. Вважаючи силу опору повітря пропорційною квадрату швидкості, визначити коефіцієнт опору к. Дією сили тяжіння знехтувати.

Відповідь: к = 4,7.10^-5 кг/м.

70. Акробат на мотоциклі описує «мертву петлю» радіусом r = 4 м. З якою найменшою швидкістю х_min повинен проїжджати акробат верхню точку петлі, щоб не зірватися?

Відповідь: х_min = 6,26 м/с.

71. Тягарець, прив'язаний до нитки довжиною l = 1 м, описує коло у горизонтальній площині. Визначити період Т обертання, якщо нитка відхилена на кут ц = 60° від вертикалі.

Відповідь: Т = 2,47 с.

72. При насадці маховика на вісь центр тяжіння виявився на відстані r = 0,1 мм від осі обертання. У яких межах змінюється сила F тиску осі на підшипники, якщо частота обертання маховика п = 10с^-1? Маса m маховика дорівнює 100 кг.

Відповідь: F_max = 1,02 кH; F_min = 942 H.

73. Літак масою m = 2,5 т летить зі швидкістю х = 400 км/год. Він виконує у горизонтальній площині віраж (віраж - політ літака по дузі кола з деяким кутом нахилу). Радіус R траєкторії літака дорівнює 500 м. Знайти поперечний кут ц нахилу літака і піднімальну силу F крил під час польоту.

Відповідь: ц = 58,2⁰ ; F=66,2 кН.

74. Куля масою m₁ = 10 кг, що рухається зі швидкістю х₁ = 4 м/с, зіштовхується з кулею масою m₂ = 4 кг, швидкість х₂ якої дорівнює 12 м/с. Вважаючи удар прямим, непружним, знайти швидкість u куль після удару в двох випадках: а) менша куля наздоганяє більшу кулю, що рухається в тому самому напрямі; б) кулі рухаються назустріч одна одній.