Напряженное состояние

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Сложное напряженное состояние. Напряжения и деформации

1.1 Виды напряженного состояния

Взаимодействие между частями элемента конструкции можно охарактеризовать величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента. Эти величины зависят от направления сечения, проведенного через данную точку

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке.

Если через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной площадки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю, то в этой точке имеется пространственное (трехосное) напряженное состояние. Если в одной (и только в одной) площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела, касательные и нормальные напряжения равны нулю, то в этой точке имеется плоское (двухосное) напряженное состояние. Если касательные и нормальные напряжения равны нулю в двух площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, то в этой точке имеется линейное (одноосное) напряженное состояние; в таком случае касательные и нормальные напряжения равны нулю и во всех площадках, проходящих через линию пересечения указанных двух площадок.

Плоское и линейное напряженные состояния являются частными случаями пространственного напряженного состояния.

Величины напряжений в разных площадках, проходящих через данную точку тела, находятся между собой в определенных зависимостях. Эти зависимости _ устанавливаются в настоящей главе. Они используются при решении многих задач сопротивления материалов -- в первую очередь при расчетах на прочность в случаях сложного сопротивления.

1.2 Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении или сжатии (линейное напряжённое состояние)

В предыдущих параграфах, проверяя прочность растянутого или сжатого стержней, мы определяли напряжения только по сечению, перпендикулярному к его оси. Но правильно оценить опасность, угрожающую прочности стержня, можно, лишь зная полностью его напряженное состояние, а это требует уменья вычислять напряжения не только по сечению, перпендикулярному к оси, а по любому.

Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмём призматический стержень, растянутый силами Р (рис. 3.1). Разделим его на две части: I и II сечением тп, составляющим угол б с поперечным сечением тk, перпендикулярным к оси. 'Тот же угол составляют между собой и нормали к этим сечениям.

За положительное направление отсчётов этого угла возьмём направление против часовой стрелки. Нормаль ОА, направленную наружу по отношению к отсечённой части стержня, будем называть внешней нормалью к сечению тп. Площадь сечения тk обозначим F0_, площадь же сечения тп обозначим Fб.

Для нахождения напряженяй, передающихся через намеченное сечение от верхней (I) части на нижнюю (II), отбросим мысленно верхнюю часть и заменим действие её на нижнюю напряжениями р_б. Для равновесия нижней части напряжения р_б должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. В данном случае напряжения уже не перпендикулярны к той площадке, по которой они действуют. Величина их тоже будет иной, чем для площадки тk.

Рис. 3.1

Делая предположение, как и ранее для поперечного сечения, что напряжения р_б равномерно распределены по площади проведённого разреза, найдём:

pб=P/Fб.

Но так как Fб=F/cosб, то pб=Pcosб/F0=у0cosб,

где _у0=PF0 - нормальное напряжение по площадке тk, перпендикулярной к растягивающей силе.

При изменении угла б меняется и величина полных напряжений р_б, действующих по проведённой площадке, и угол наклона их (90°- б) к этой площадке.

Для того чтобы при любом угле наклона б иметь дело всегда с одними и теми же видами напряжений, разложим напряжения р_б на две составляющие: в плоскости тп и перпендикулярно к ней (рис.3.2). Таким образом, напряжение р_б, действующее в точке А площадки тп, мы заменяем двумя взаимно перпендикулярными напряжениями: нормальным напряжением _уб и касательным напряжением _фб. Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изменения угла б между нормалью к площадке и направлением растягивающей силы. Из рис. 3.2 имеем:

_{уб=рбcosб=у0cos2б,} (3.1)

_{фа=рбsinб=у0sinбcosб=1/2у0sin2б} (3.2)

Рис 3.2

Установим следующие условия относительно знаков напряжений _уб и _фб. Растягивающие напряжения _уб, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными; нормальные напряжения обратного направления -- сжимающие -- будем принимать со знаком минус.

Касательные напряжения будем считать положительными, если их направление таково, что внешняя нормаль для совмещения с ними должна повернуться по часовой стрелке. Обратное направление _фб будем считать отрицательиым. Можно руководствоваться и таким правилом знаков: если касательное напряжение _ф даёт момент по часовой стрелке относительно центра рассматриваемого элемента, то оно считается положительным; против часовой стрелки -- отрицательным.

На рис. 3 показаны принятые условия относительно знаков б, у и ??. При любом угле наклона площадки б мы всегда будем иметь дело лишь с двумя видами напряжений, действующих в каждой точке проведённого разреза: с нормальным и касательным напряжениями. Эти два вида напряжений соответствуют двум видам деформаций, которые испытывает материал стержня.

Рис 3.3

Выделим (рис.3.4) из растянутого стержня двумя наклонными параллельными сечениями 1-1 и 2-2 тонкий слой материала: этот слой на рис.3.4 заштрихован. На обе плоскости, ограничивающие этот слой, будут действовать и нормальные и касательные напряжения _уб и _фб. Как видно из чертежа, нормальные напряжения соответствуют растяжению выделенного слоя; напряжения же _фб соответствуют стремлению сечений 1-1 и 2-2 сдвинуться параллельно одно другому.

Рис 3.4

Значит, наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации (удлинение или укорочение) и деформации сдвига.

Этому соответствуют и два вида разрушения материала: путём отрыва и путём сдвига.

Для того чтобы убедиться в достаточном сопротивлении материала стержня разрушению, необходимо установить наибольшие значения величин _уб и _фб, в зависимости от положения площадки тп.

Из формул (3.1) и (3.2) следует, что у_б достигает своего наибольшего значения, когда cos2б будет равен единице и угол б = 0. Максимум же _фб получится при sin2б=1, т. е. при 2б = 90° и б = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны:

maxуб=у0=PF0; maxфб=у02. 3.3

Таким образом: наибольшие нормальные напряжения действуют в данном случае по площадкам, перпендикулярным к оси стержня; наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45° с направлением оси стержня, и равны половине наибольших нормальных напряжений.

1.3 Понятие о главных напряжениях. Виды напряжённого состояния материала

На практике, возможны случаи, когда под действием внешних сил элемент материала подвергается растяжению или сжатию по двум и трём направлениям, т. е. находится в условиях сложного напряжённого состояния.

При простом растяжении возможны напряжения двух видов -- нормальные у и касательные ??. Площадки, по которым нет касательных напряжений, называются главными; нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями.

В каждой точке напряжённого тела можно выделить элементарный кубик, гранями которого служат главные площадки. Материал кубика растягивается или сжимается тремя взаимно перпендикулярными главными напряжениями, передающимися через эти грани (рис.3.5).

Рис 3.5

В случае простого растяжения одна главная площадка в каждой точке перпендикулярна к оси стержня (б = 0°), а две другие параллельны этой оси (б = 90°). Так как по первой главной площадке нормальное напряжение не равно нулю (уб?0), а по двум другим оно обращается в нуль, то при простом растяжении и сжатии в каждой точке стержня из трёх главных напряжений только одно не равно нулю; оно направлено параллельно растягивающей силе и оси стержня. Такое напряжённое состояние материала называется линейным. Выделенный из стержня элемент растягивается лишь в одном направлении.

На практике встречаются случаи, когда элемент материала, в виде кубика, подвергается растяжению или сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям или по всем трём (рис.3.5). Такой случай работы материала, когда два главных напряжения не равны нулю, называется плоским напряжённым состоянием.

Если же все три главных напряжения не равны нулю в рассматриваемой точке, то налицо самый общий случай распределения напряжений в материале -- объёмное напряжённое состояние; элементарный кубик будет подвергаться растяжению или сжатию по всем трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Главные напряжения условимся в дальнейшем обозначать буквами у1, у2,у3. Нумерацию главных напряжений установим таким образом, чтобы у1 обозначало наибольшее по алгебраической величине, а у3 - наименьшее напряжение. Сжимающие напряжения условимся, как и прежде, считать отрицательными; поэтому, если, например, главные напряжения будут иметь значения + 1000 кг/см2, -- 600 кг/см2,+ 400 кг/см2, то нумерация должна быть такой:

у1 = + 1000 кг/см2,у2 = + 400 кг/см2,у3 = --600 кг/см2; условие у1> у2>у3 будет выполнено. Таким образом, мы различаем три вида напряженного состояния:

1) объёмное напряжённое состояние -- когда все три главных напряжения не равны нулю (например, случай растяжения или сжатия по трем взаимно перпендикулярным направлениям);

2) плоское напряжённое состояние -- когда одно главное напряжение равно нулю (случай растяжения или сжатия по двум направлениям);

3) линейное напряжённое состояние -- когда два главных напряжения равны нулю (случай растяжения или сжатия в одном направлении).

Мы рассмотрели распределение напряжений при линейном напряженном состоянии; ниже будут приведены примеры плоского и объемного напряжённых состояний и изучено распределение напряжений по различным площадкам в этих случаях.

Примером объемного напряженного состояния может служить работа материала при передаче давления в шариковом подшипнике от шарика на обойму или при передаче давления от колес подвижного состава на рельсы.

Так как соприкасание поверхностей головки рельса и бандажа представляет собой соприкасание двух цилиндров разных радиусов с образующими, расположенными накрест, то эти две поверхности должны касаться друг друга в точке.

Нормальные напряжения, возникающие в точке соприкасания при передаче давления от одного тела на другое, называются контактными напряжениями. При передаче нагрузки материал рельса и бандажа у этой точки деформируется, и передача давления происходит по площадке соприкасания, имеющей эллиптическую форму. Величина этой площадки зависит от величины передаваемого давления и соотношения радиусов соприкасающихся поверхностей. Если мы в центре площадки давления вырежем из материала рельса маленький кубик (например, с ребром 1 мм), грани которого параллельны и перпендикулярны к оси рельса (рис. 6), то на грани этого кубика будут действовать лишь нормальные сжимающие напряжения). Таким образом (рис.3.7), в данном случае мы имеем дело с тремя взаимно перпендикулярными площадками, по которым действуют главные напряжения у', у'' и у'''.

Появление боковых напряжений у'' и у''' объясняется тем, что под действием напряжений у', перпендикулярных к площадке давления, материал выделенного нами кубика стремится раздаться в стороны и вызывает реакции у'' и у''' со стороны окружающего кубик материала рельса.

Подсчёты величин этих напряжений показывают, что они достигают в действительности весьма больших величин. Так, при соприкасании бегунка паровоза серии Л с рельсом мы получаем такие величины для напряжения у', у'', у''': у'= 110 кг/мм2, у''= 90кг/мм2, у'''= кг/мм2.

Правило нумерации главных напряжений в рассмотренном примере даёт: у1=у'''=-80кг/мм2, у2=у''=-90кг/мм2, у3=у'=-110кг/мм2.

Рис. 3.6

Рис. 3.7

В данном случае мы сразу нашли такой кубик, по граням которого действуют только нормальные напряжения, т. е. сразу получили и величины главных напряжений и положение тех площадок, по которым они действуют. В общем случае по граням вырезанного кубика будут действовать и нормальные и касательные напряжения. Однако и тогда можно, меняя направление плоскостей, ограничивающих элементарный кубик, подыскать три взаимно перпендикулярные площадки, по которым действуют лишь нормальные, т. е. главные напряжения. Это самый общий случай распределения напряжений в материале -- объёмное напряжённое состояние; все три главные напряжения не равны нулю.

1.4 Напряжения при плоском напряжённом состоянии

Для проверки прочности материала при плоском и объемном напряжённом состояниях необходимо найти наибольшие значения нормальных и касательных напряжений.

Рис 3.8

Начнём с плоского напряженного состояния. Представим себе прямоугольный параллелепипед, на боковые грани которого действуют главные напряжения у1 и у2 (рис.3.8). Оба эти напряжения будем считать растягивающими. По фасадным граням элемента никаких напряжений нет; следовательно, третье главное напряжение равно нулю. Если одно из напряжений у1,у2 или оба будут сжимающими, то в дальнейшие формулы придётся вводить значение соответствующего напряжения со знаком минус и менять нумерацию главных напряжений в соответствии с предыдущим параграфом. Так, если одно из главных напряжений будет растягивающим, а другое сжимающим, то первое придется называть у1, а второе у3; если оба напряжения будут сжимающими, то меньшее по абсолютной величине придется назвать у2, а большее у3.

Поставим задачу отыскания наибольших нормальных и касательных напряжений по сечениям, перпендикулярным к фасадным граням.

Проведём такое сечение, нормаль к которому составит с направлением I угол б1, (рис.3.8). С направлением II та же нормаль составит угол б2. По этому сечению будут действовать и нормальные уб и касательные фб напряжения, зависящие и от у1 и от у2. Величину их мы получим, рассматривая действие у1 и у2 отдельно и складывая результаты. Та доля нормальных напряжений, которую вызывают у1, выразится по формуле (3.1) так: у1cos2б1; другая же часть напряжений уб, вызванная у2, выразится по той же формуле в виде у2cos2б2. Полное нормальное напряжение уб равно

уб=у1cos2б1+у2cos2б2=у1cos2б1+у2cos2(б1+90°) или

уб=у1cos2б1+у1sin2б1 (3.5)

Таким же рассуждением при помощи формулы (3.2) находим величину касательных напряжений фб по проведённой площадке:

фб=12у1sin2б1+у2sin2б2=12у1sin2б1+у2sin2(б1+90°)

или

фб= у1-у22sin2б1 (3.6)

В этих формулах б1 -- угол, отсчитанный против часовой стрелки от направления оси I (напряжения у1) до нормали к рассматриваемому сечению. Знаки для уб и фб, а также для углов б1 и б2 будем принимать по правилу, установленному выше, в предыдущем параграфе.

В дальнейшем в формулах для уб и фб угол б1 будем обозначать через б, отсчитывая этот угол всегда от направления наибольшего (алгебраически) главного напряжения против часовой стрелки.

Пользуясь формулами (3.5) и (3.6) для напряжений по площадке a-a (рис.3.9), легко находим напряжения по площадке b-b, ей перпендикулярной, имеющей нормаль nв составляющую с направлением наибольшего главного напряжения угол в=б+90^°:

ув = у1cos2в+у2sin2в=у1cos2б+90°+у2sin2б+90°,ув =у1sin2б+у2cos2б; (3.5`)

фв=у1-у22sin2в=у1-у22sin2б+180°,фв=-у1-у22sin2б (3.6`)

Рис 3.9

Из полученных формул выясняются свойства напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам. Для нормальных напряжений имеем:

уб=у1cos2б+у2sin2б,

ув=у1sin2б+у2cos2б.

Складывая, получим:

уб+ув=у1+у2=const, (3.7)

т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна сумме главных напряжений.

Для касательных напряжений, сопоставляя формулы (1.6) и (1.6'), получим:

фв=-фб. (3.8)

Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку. Это свойство обычно называют «законом парности касательных напряжений», причём оно имеет место во всех случаях, когда имеются касательные напряжения.

Из формул (3.5) и (3.6) видно, что величины нормальных и касательных напряжений по любой площадке зависят от угла наклона этой площадки.

Чтобы найти наибольшее значение нормального напряжения, исследуем выражение (3.5) на maximum. Взяв производную и приравняв ее нулю, получим:

dубdб=-2у1cosбsinsб+2у2cosбsinsб=0

Или

dубdб=-(у1-у2)sin2б=0 (3.9)

Сопоставляя полученное выражение (3.9) с формулой (3.6), видим, что условие максимума для уб совпадает с условием равенства нулю касательных напряжений по соответствующим площадкам. Из этого же выражения следует, что уб=у1cos2б+у2sin2б получит наибольшее значение при б=0є. Так как у1> у2, то:

maxуб=у1(при б=0),

minуб=у2 при б=90°,

т.е наибольшее и наименьшее нормальные напряжения в данной точке- это главные напряжения у1 и у2, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам, свободным от касательных напряжений.

Наибольшее значение касательных напряжений, как это видно из формулы (3.6), будет:

max фб=у1-у22 при sin2б=1, т.е. при б=45°. (1.10)

Следовательно, наибольшие касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют по площадкам, наклоненным к главным площадкам на угол 45° и перпендикулярным к плоскости чертежа. По площадкам, параллельным у2, наибольшее касательное напряжение будет:

maxф=у12. 1.10'

1.5 Графическое определение напряжений (круг Мора)

Вычисление уб и фб по формулам (1.5) и (1.6) может быть заменено графическим построением (рис. 10).

Рис. 3.10

Возьмем систему прямоугольных координат с осями у и ??. Положительную ось у направим вправо. Отложим на оси у отрезки ОА и 0В, изображающие в определенном масштабе числовые величины напряжений у1и у2 (ось у удобно располагать параллельно наибольшему главному напряжению у1).

На рис.3.10 оба эти напряжения приняты растягивающими и отложены на оси у в положительном направлении. Если бы одно или оба эти напряжения были сжимающими, мы отложили бы их в противоположном направлении. Построим на отрезке АВ, как на диаметре, круг с центром С, который назовём кругом напряжений. Тогда для нахождения нормального уб и касательного напряжения фб по площадке, нормаль к которой составляет с наибольшим главным напряжением у1 угол б, надо построить при точке С центральный угол 2б, откладывая его положительные значения от оси у против часовой стрелки. Точка D круга напряжений будет соответствовать выбранной площадке; её координаты ОК и D К соответственно равны уб и фб.Это легко доказать. Из чертежа находим радиус круга напряжений:

CD=AC=BC=AB2=OA-OB2=у1 -у2 2;

из прямоугольного треугольника КDС имеем:

DK=CDsin2б=у1-у22sin2б=фб.

Далее:

OK=OB+BC+CK=у2+у1 -у2 2+у1 -у2 2cos2б=у2+у1 -у2 21+cos2б=у2+у1 -у2 22cos2б=у2+у1cos2б+у2sin2б=уб.

Таким образом, координаты точек окружности определяют напряжения. Величины уб измеряются отрезками по оси у. Положительные уб отложены в положительном направлении оси у. Величины фб измеряются отрезками, параллельными оси ??. Положительные фб направлены вверх, так как при принятых нами условиях значениям а от 0 до 90° соответствуют положительные величины фб; это же видно и из формулы

фб=у1-у22sin2б,

в которой за у1 выбрано наибольшее из главных напряжений.

Определив построением круга напряжения уб и фб, изобразим их на чертеже выделенного элемента, учитывая знаки этих напряжений (рис.3.10). Напомним, что мы условились отсчитывать угол б, определяющий положение внешней нормали к рассматриваемой площадке, всегда от линии действия наибольшего (алгебраически) главного напряжения. Совместим поэтому линию действия наибольшего главного напряжения у1 с осью у на круге; тогда линия ВD, наклоненная к оси у под углом б, будет параллельна нормали к рассматриваемой площадке, а значит, параллельна уб; линия ВМ будет параллельна фб.

Как видно из рис. 10, наибольшее значение касательных напряжений равно отрезку СD₀, т. е. радиусу круга напряжений

maxфб=у1 -у2; 2

соответствующий угол 2б равен 90° и угол б = 45°. В круге напряжений величина max фб изображается ординатой СD_0, абсциссой для которой служит ОС=у1+у22, т. е. на той площадке, где фб = фmax, нормальное напряжение является средним.

Точно так же из рис.3.10 видно, что наибольшее нормальное напряжение изображается отрезком ОА и равно у1 а наименьшее -- отрезком ОВ и равно у2. Отсюда следует, что величины нормальных напряжений по любой из рассматриваемых площадок с углом б заключаются между значениями главных напряжений у1и у2.

Так, зная главные напряжения для плоского напряжённого состояния, мы можем с помощью круга напряжений всесторонне изучить напряженное состояние материала в точке.

Пример. Графически найдём напряжения уб и фб для площадки с углом б=-30°; главные напряжения равны у3 = -700 кг/см2 и у1 = +300 кг/см2. Построение дано на рис.3.11:

уб=+50 кг/см2; фб=-430 кг/см2.

Рис. 3.11

Пользуясь кругом напряжений, можно найти по известным главным напряжениям у1и у2 напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам а -- а и b -- b, нормали к которым (рис.3.12) составляют углы б и в с направлением наибольшего главного напряжения у1.

В круге напряжений (рис.3.12) при точке С построим угол 2б. Точка Dб будет соответствовать площадке а -- а, а отрезки DбKб и ОKб представят собой напряжения фб и уб по этой площадке.

Для нахождения напряжений по площадке b -- b надо построить угол 2в, т. е. прибавить 180° к углу 2б. Для этого надо лишь продолжить радиус СDб; точка Dв соответствует площадке b -- b.

Напряжения фв и ув представляются отрезками DвKв и ОKв. Из чертежа ясно, что фв= -фб, а

уб+ув=у1+у2=const.

Рис. 3.12

Напряжения, действующие по граням элемента, вырезанного плоскостями а и плоскостями b, показаны на рис.3.12 справа и на рис.3.13.

Совмещая на круге напряжений линию действия наибольшего (алгебраически) главного напряжения у1 с осью у (рис.3.12), получаем, что линия BDб, соединяющая левую крайнюю точку круга с точкой Dб, параллельна напряжению уб; линия BDв - напряжению ув; стрелки поставлены в соответствии с полученными знаками напряжений. На рис. 3.14 изображено построение для случая, когда оба главных напряжения сжимающие.

Рис. 3.13

Рис. 3.14

1.6 Нахождение наибольших напряжений для объёмного напряжённого состояния

Для случая объёмного напряжённого состояния напряжения по любой площадке можно представить также графически.

Пусть мы имеем выделенный из тела элемент кубической формы, на грани которого действуют три главных напряжения: у1, у2, у3 (рис. 3.15). Поставим задачу нахождения нормального и касательного напряжений по любой площадке, пересекающей выделенный кубик.

Сначала будем искать эти напряжения по площадкам, параллельным одному из главных напряжений, например у1. На рис.3.15, а эта площадка заштрихована.

Как мы видели выше, главное напряжение, параллельное проведенной площадке, не вызывает по ней ни нормальных, ни касательных напряжений. Поэтому напряжения по рассматриваемым площадкам будут зависеть лишь от у2 и у3-- для них мы будем иметь дело с плоским напряженным состоянием. Тогда этим площадкам будут соответствовать точки круга напряжений, построенного на главных напряжениях у2 и у3 (рис. 3.15, б).

Рис. 3.15

Точно так же напряжения по площадкам, направленным параллелью у2, будут изображаться коордипатами точек круга, построепиого на напряжениях у1 и у3; для площадок, параллельных у3 -- на напряжениях у1 и у3.

Таким образом, координаты точек трёх кругов напряжения (рис.3.15, б) изображают нормальные и касательные напряжения по сечениям кубика, параллельным одному из главных напряжений.

Что же касается площадок, пересекающих все три оси главных напряжений, то в теории упругости показано, что для них на напряжения у и ?? изображаются координатами точек D заштрихованной на рис.3.15, б площади.

Значения этих напряжений могут быть вычислены по формулам:

уб=у1cos2б1+у2cos2б2+у3cos2б3, (3.15)

фб=у12cos2б1+у22cos2б2+у32cos2б3-уб. (3. 16)

Здесь б1, б2 и б3 -- углы, составленные нормально к площадке с направлениями соответствующих главных напряжений у1,у2 и у3.

Из рис.3.15 ясно, что в случае объёмного напряжённого состояния наибольшее и наименьшее нормальные напряжения равны соответственно наибольшему и наименьшему главным напряжениям.

Наибольшее касательное напряжение равно радиусу наибольшего круга, следователю, полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений. Оно действует по площадкам, наклоненным под углом 45° к направлению этих главных напряжений, причём нормальные напряжения на таких площадках равны полусумме наибольшего и наименьшего главных напряжений (у1 > у2 > у3).

Таким образом, в общем случае напряжённого состояния материала, когда в рассматриваемой точке все три главных напряжения не равны нулю, получаем:

max уб=у1; max уб=у3; max фб=у1-у22; (3.17)

По площадкам, параллельным одному из главных напряжений и наклонённым к двум другим на угол 45°, касательные напряжения будут: max ф формуле (3.17), далее

у1,2=у1-у22; ф2,3=у2-у32 (3.17')

Вычисление деформаций при плоском и объёмном напряжённом состояниях.

При проверках прочности элемента (рис.3.15), на грани которого действуют напряжения у1,у2 и у3 нам придётся столкнуться с вопросом о величинах соответствующих деформаций. Называя ребро, параллельное главному напряжению у1 первым, а рёбра, параллельные главным напряжениям у2 и у3 вторым и третьим, определим относительные продольные деформации элемента в направлении этих рёбер, отдельно рассматривая влияние каждого из напряжений и складывая результаты.

Под действием напряжений у1 элемент в направлении первого ребра получит относительное удлинение, равное е1'=у1E.

В то же время по отношению к напряжениям у2 и у3 первое ребро является поперечным размером, а потому под действием напряжений у2 и отдельно у3 элемент в направлении первого ребра испытывает относительные ускорения, равные:

е1''=-му2E; е1'''=-му3E.

Полная относительная деформация элемента в направлении первого ребра выразится суммой

е1=е1'+е1''+е1'''=у1E=-му2E=-му3E.

Если у1=у2=у3=у, то

и=(1-2м)E3у.

Величину E3(1-2м) называют модулем объёмной деформации и обозначают буквой К. Тогда, вводя это обозначение находим:

и=е1+е2+е3=у1+у2+у33К.

Мы видим, что изменение объема зависит лишь от суммы главных напряжений, а не от их соотношения. Поэтому кубик получит одно и то же изменение объема, будут ли по его граням действовать различные по величине главные напряжения у1,у2 и у3 или одинаковые напряжения:

уn=у1+у2+у33;

В последнем случае все ребра кубика получат одинаковую деформацию:

еn=е1+е2+е33=у1+у2+у33К*3=уn3К.

1.8 Понятие о теориях прочности

Рассмотрим, как производить проверку прочности в тех случаях, когда два или все три главных напряжения у1,у2 и у3 не равны нулю. В этом случае наступление опасного состояния материала может быть вызвано, вообще говоря, различными числовыми значениями главных напряжений у1,у2, у3 в зависимости от величины отношения их друг к другу. Каждой комбинации этих отношений будут соответствовать определённые опасные величины главных напряжений у10,у20,у30 при которых наступит опасное состояние материла (появление больших остаточных деформаций или трещин).

Таким образом, для нахождения этих опасных значений напряжений у1,у2 и у3 пришлось бы в лаборатории подвергать образцы материала действию главных напряжений при разных соотношениях у1у2, у1у3. Практически осуществить такие опыты невозможно ввиду трудности их постановки и громадного объёма испытаний.

Поэтому необходимо найти способ составления условия прочности при сложном напряжённом состоянии, пользуясь величинами уф и ув, полученными при опытах для линейного напряжённого состояния.

Таким образом, задача проверки прочности материала в общем случае, когда все три главных напряжения не равны нулю, ставится так:

1) определены расчётом три главных напряжения: у1>у2 > у3,

2) выбран материал,

3) для этого материала при помощи опытов в лаборатории найдена при простом растяжении или сжатии величина опасных напряжений у0=уТ или у0=ув и установлено допускаемое напряжение.

Требуется составить условие прочности для общего случая напряжённого состояния, зная у1,у2 и у3 и сохраняя тот же коэффициент запаса k (рис. 16).

Поставленная задача может быть решена лишь на основании предположения (гипотезы) о том, каков вид функции, связывающей прочность материала с величиной и знаком главных напряжений, каким фактором вызывается наступление опасного состояния материала.

Таких факторов можно наметить несколько. В самом деле, даже при простом растяжении стержня из пластичного материала можно поставить вопрос: что является причиной текучести?

Можно предположить, что текучесть появится тогда, когда наибольшие нормальные напряжения в стержне дойдут до предела текучести уТ. Однако можно было бы стать и на другую точку зрения и высказать предположение, что явление текучести наступит тогда, когда наибольшее удлинение материала достигнет определённого значения. Можно сделать и третье предположение, а именно, что появление больших остаточных деформаций связано с тем, что касательные напряжения достигнут определенной величины.

Рис. 3.16

Прежде чем перейти к изложению теорий прочности, заметим, что опасное состояние как для пластичных материалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе применения закона Гука (с известным, достаточным для практики приближением). Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, выведенными в предыдущих параграфах при условии применимости закона Гука.

1.9 Проверка прочности по различным теориям

Первое, наиболее простое, предположение заключается в том, что опасное состояние материала наступает в тот момент, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает опасного значения. Эта гипотеза носит название теории наибольших нормальных напряжений, или первой теории прочности.

Таким образом, и в общем случае, когда все три главных напряжения у1,у2 и у3 не равны нулю, при проверке по этой теории необходимо учитьшать величийу лишь наибольшего растягивающего или наибольшего сжимающего напряжений. Величина же двух других главных напряжений не имеет при этом как бы никакого влияния на прочность материала, на достижение им опасного состояния и о них при проверке прочности можно забыть. Тогда теряется в известной степени различие между проверкой прочности при линейном напряжённом состоянии и при объёмном.

Ели в случае простого растяжения или сжатия мы для напряжений у1 и у3 допускаем величинуу, то и в общем случае, когда все три главных напряжения у1,у2 и у3 не равны нулю, для наибольшего из них мы должны допустить ту же величину у. При этих условиях коэффициент запаса по отношению к возможности появления опасного состояния будет одинаков как а случае простого растяжения, так и в общем случае.

Условие прочности для обоих случаев напишется одинаково:

у1?у или у3?у (3.18)

Выдвинутая вторая гипотеза принимает, что наступление опасного состояния определяется не наибольшим напряжением, а величиной наибольшего относительного удлинения или укорочения.

Если это так, то проверку прочности следует производить по наибольшим относительным деформациям. Сохраняя тот же коэффициент запаса, мы должны для наибольшей относительной продольной деформации в общем случае (все главные напряжения не равны нулю) допускать ту же величину, что и при простом растяжении.

Для общего случая мы имели формулы (3.16) для главных линейных деформаций. В зависимости от соотношения величин главных напряжений одна из этих деформаций будет численно наибольшей. Пусть это будет е1.

Тогда еmax=е1=1E[у1-м(у2+у3)].

Для случая же линейного напряжённого состояния мы знаем величину допускаемого напряжения у. Тем самым для наибольших относительных деформаций допускаем величину е=уЕ.

Условие прочности выразится так:

еmax?е, (3.19)

т.е.

1Еу1-м(у2+у3)?уЕ,

Тогда

у1-м(у2+у3)?у. ( 3.20)

Таким образом, принимая теорию наибольших относительных удлинений, необходимо сравнивать с допускаемым напряжением, установленным для простого растяжения или другое главное напряжение, а их совокупность, так называемое приведенное (расчётное) напряжение, определяемое формулой:

уr2=у1-м(у2+у3).

Третья гипотеза возвращает нас опять к представлению о том, что главную роль в наступлении опасного состояния материала играет наибольшее напряжение, но уже не нормальное, а касательное, равное полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений:

фmax=у1-у32.

При этом предположении проверку прочности надо вести по касательным напряжениям. Условие прочности имеет вид:

фmax?ф.

Что касается величины допускаемого напряжения ф, то, считая, что наступление опасного состояния зависит лишь от наибольших касательных напряжений, мы и при объемном напряжённом состоянии должны для этих напряжений допускать ту же величину, что и при простом растяжении. Степень безопасности по отношению к наступлению опасного состояния в обоих случаях будет тогда одинаковой.

Если при простом растяжении мы допускаем для нормальных напряжений величину [у], то тем самым для наибольших касательных мы допускаем значение ф=у2; эти касательные напряжения, как известно, действуют по площадке, наклонённой под углом в 45° к направлению растягивающей силы.

Условие прочности для объёмного напряжённого состояния принимает вид:

фmax=у1-у32?у2, илиу1-у3?у. (3.21)

В связи с недостатками старых теорий возникли новые идеи относительно того, какой фактор вызывает наступление опасного состояния.

Рядом авторов было высказано предположение, что опасное состояние материала зависит не от величины деформаций или напряжений в отдельности, а от совокупности тех и других -- от величины потенциальной энергии или от численно её равной удельной работы деформации. Величина этой работы выражается через все три главных напряжения.

Если сделать предположение, что причиной опасного состояния является накопление полной удельной потенциальной энергии деформации, то прочность материала будет обеспечена при условии, что u?u. Здесь u -- потенциальная энергия деформации при объёмном напряжённом состоянии, выражающаяся формулой:

u=12Eу12+у22+у32-2м(у1у2+у1у3+у2у3),

а [u] -- допускаемое количество потенциальной энергии, которое (по условию равнопрочности материала при сложном и линейном напряжённых состояниях) может быть получено из выражения для полной энергии деформации при простом растяжении:

up=у22E.

При простом растяжении мы допускаем для нормальных напряжений величину [у], тем самым для удельной работы деформации мы допускаем

u=у22E.

Для соблюдения той же степени безопасности в общем случае мы для удельной работы деформации должны допускать не больше чем [u]. Условие прочности принимает вид:

12Eу12+у22+у32-2м(у1у2+у1у3+у2у3)?у22E

Или

у12+у22+у32-2м(у1у2+у1у3+у2у3)?у (3.22)

Расчётное напряжение равно

уr=у12+у22+у32-2м(у1у2+у1у3+у2у3).

Эта гипотеза опытами не подтвердилась и имеет сейчас только историческое значение. Но зато она явилась базой для создания новой энергетической теории прочности, обычно хорошо согласующейся с опытами.

Эта теория, которую обычно называют четвёртой теорией (или гипотезой) прочности, предполагает, что причиной возникновения опасной пластической деформации является не вся потенциальная энергия деформации, а только та часть её, которая связана с изменением формы элементарных объемов материала. Следовательно, прочность материала будет обеспечена, если

uф?uф.

Здесь uф -- потенциальная энергия формоизменения при сложном напряжённом состоянии, равная (1.28):

uф=1+м3Eу12+у22+у32-у1у2-у2у3-у3у1

Величина же допускаемой потенциальной энергии изменения формы для случая простого растяжения равна:

uф=1+м3Eу2.

Условие прочности по энергетической теории получит вид:

у12+у22+у32-у1у2-у2у3-у3у1?у, (3.23)

а приведённое напряжение будет:

уr4=у12+у22+у32-у1у2-у2у3-у3у1

Условие прочности можно представить и в ином виде, иногда более удобном для вычислений:

12(у1-у2)2+(у2-у3)2+(у3-у1)2?у. (3.24)

Формулы (2.6) и (2.7) представляют условие прочности по так называемой теории наибольшей потенциальной энергии изменения формы.

Можно показать, что расчётное напряжение уr4 по этой теории пропорционально касательному напряжению по площадке, равно наклонённой к направлениям главных напряжений. Поэтому этот вид энергетической теории тоже может быть отнесён к категории теорий, основывающих проверку прочности для пластичных материалов на величине касательных напряжений. Опыты очень хорошо подтверждают результаты, получаемые по этой теории для пластичных материалов.

На основании формул (1.17) условие прочности (3.24) может быть написано еще и так:

2(ф1,22+ф1,32+ф2,32)?у.

Подводя итог рассмотрению теории прочности, мы можем написать условие прочности при объёмном напряжённом состоянии в таком виде:

уr?у

где уr- расчётное (приведённое) напряжение; у -- допускаемое напряжение при простом растяжении или сжатии. Расчётное напряжение уr может быть истолковано как растягивающее напряжение при линейном напряженном состоянии, эквивалентном рассматриваемому объёмному в отношении опасности для прочности материала.

Выбор теории прочности, а значит и формулы для уr таким образом, отвечает на вопрос: какой критерий прочности материала столь же надёжен для рассматриваемого объёмного напряжённого, состояния, как и для линейного?

Что касается приложения теорий прочности к практическим расчётам, то надо иметь в виду, что под «разрушением» мы подразумеваем для материала, находящегося в пластичном состоянии, наступление заметных остаточных деформаций -- текучесть, а для материала в хрупком состоянии -- появление трещин, отделение, отрыв одной части материала от другой.

Так как в зависимости от условий работы и характера напряженного состояния всякий материал может находиться и в хрупком и в пластичном состояниях, то, вообще говоря, следует принять для практического применения две теории прочности -- одну, пригодную для проверки прочности материала при его пластичном состоянии, другую -- при хрупком. Опыты показывают, что для пластичного состояния материала наиболее оправдываема опытами энергетическая теория прочности; несколько, но незначительно, расходится с опытами теория наибольших касательных напряжений.

Для хрупкого состояния материала, по-видимому, может иногда применяться теория наибольших удлинений; имеются опыты, которые показывают, что в ряде случаев подтверждается для такого состояния материала и теория наибольших нормальных напряжений; ею пользуются на практике при проверке прочности таких материалов, как чугун, камень и т. д.

2.1 Понятие о сдвиге. Расчёт заклепок на перерезывание

На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путём сдвига.

В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые заклёпочные соединения.

Для образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до красного каления стержень заклёпки с одной головкой; другой конец заклёпки расклёпывается ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклёпки (малого диаметра -- меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).

Рис. 4.1

Для изучения работы заклёпок рассмотрим простейший пример заклёпочного соединения (Рис.4.1). Шесть заклёпок, расположенных в два ряда, соединяют два листа внахлёстку, Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил Р¹).

Для проверки прочности заклёпок применим общий порядок решения задач сопротивления материалов.

На каждую заклёпку передаются по две равные и прямо противоположные силы: одна -- от первого листа, другая -- от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклёпок ряда нагружаются больше, другие -- меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счёт пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклёпки работают одинаково. Таким образом, при п заклепках в соединении, изображенном на (Рис.4.1), на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы P1=Pn (Рис.4.2); эти силы передаются на заклёпку путём нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы P1 стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов.

Рис. 4.2

Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (фиг. 94). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу P1, т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную P1. Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это -- касательные напряжения ??. Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение

ф=P1рd24=Pnрd24 (4.1)

Определение величины допускаемого касательного напряжения ф3, или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, дано в § 53. Зная ф3, мы напишем условие прочности заклёпки на перерезывание в таком виде:

ф=PF=Pnрd24?ф3 (4.2)

т. е. действительное касательное напряжение ф в материале заклёпки должно быть равно допускаемому ф3 или меньше его.

Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклёпок, если задаться их числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклёпок стержней d в соответствии с толщиной t склёпываемых частей (обычно d?2t) и определяют необходимое число заклёпок n:

n?Pрd24у3 (4.3)

Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно может взять на себя каждая заклёпка.

2.2 Проверка заклёпок на смятие и листов на разрыв

Заклёпкам и соединяемым листам в конструкции, показанной на Рис.4.1, угрожают и иные опасности, помимо разрушения заклепочного соединения путём срезания заклепок.

Так как передача сил на заклёпочный стержень происходит путём нажатия стенок заклёпочного отверстия на заклёпку, то необходимо установить, не произойдёт ли наружное обмятие этого стержня или стенок отверстия, -- произвести проверку на смятие.

На Рис.4.3 указана примерная схема передачи давлений на стержень заклёпки. Закон распределения этих давлений по цилиндрической поверхности нам неизвестен; он во многом зависит от неправильностей формы заклепочного отверстия и стержня, вызванных условиями изготовления конструкции. Поэтому расчет производится условно. Принято считать, что неравномерное давление, передающееся на поверхность заклёпки от листа, распределяется равномерно по диаметральной плоскости сечения заклёпки (Рис.4.3). При этом напряжение по этой диаметральной плоскости оказывается примерно равным наибольшему сминающему напряжению ус в точке А поверхности заклёпки.

Рис. 4.3

Чтобы вычислить это условное напряжение смятия, необходимо разделить силу, приходящуюся на заклёпку, на площадь диаметрального сечения ВСС'В' (Рис.4.3). Эта площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которого служит диаметр заклёпки, другая же равна толщине листа, передающего давление на стержень заклепки.

Так как давление на одну заклепку равно Pn, то

уc=Pntd (4.4)

условие прочности на смятие будет иметь вид:

уc=Pntd?ус (4.5)

где ус -- допускаемое напряжение на смятие. Отсюда необходимое число заклепок

n?Ptdус (4.6)

Допускаемое напряжение на смятие принимают обычно в 2--2,5 раза больше основного допускаемого напряжения на растяжение и сжатие у, так как расчёт на смятие по существу является упрощённой проверкой прочности по контактным напряжениям.

Таким образом, число заклёпок, необходимое для прочного соединения листов, определяется формулами (4.3) и (4.6). Из двух полученных значений п, конечно, надо взять большее.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

В несколько других условиях будут работать заклепки соединения, показанного на Рис.4.4 Здесь стык двух листов осуществлён при помощи двух накладок. Сила Р при помощи первой группы заклёпок передается от левого листа обеим накладкам, а от последних при помощи второй группы заклепок передаётся правому листу.