Напряженное состояние

Рис. 5.16

Таким образом, необходимо по размерам пружины уметь вычислить зависимость между её деформацией и силой. Оказывается, что материал пружины испытывает напряжения кручения, как это будет показано ниже.

Представим себе (Рис.5.16, а) цилиндрическую пружину, растянутую силами Р, приложенными по её оси. Назовём R- радиус винтовой оси (витка) пружины, n-число витков, r- радиус поперечного сечения стержня пружины, G- модуль сдвига. Наклоном витков пренебрегаем.

Для вычисления напряжений разрежем эту пружину на две части сечением, проходящим через ось цилиндра, образованного пружиной. Верхнюю часть отбросим и рассмотрим равновесие нижней части (Рис.5.16, б).

На эту часть действуют внешняя сила Р и напряжения по сечению стержня пружины. Чтобы выяснить, какие это напряжения, приложим в точке 0, центре поперечного сечения пружины, две силы P1 и P2, равные по величине Р и направленные по вертикали в разные стороны (Рис.5.17).

Так как и сила P2, и пара сил P=P1с моментом Mк=PR лежат в плоскости проведённого разреза, то они должны уравновеситься касательными напряжениями.

Рис. 5.17

Сила P2 сдвигает отсеченную часть пружины вниз и вызывает появление касательных напряжений, показанных на фиг.137, а и равных:

ф1=P2F=Pрr2

Момент пары Mк вызывает скручивание стержня пружины и является причиной возникновения второй группы касательных напряжений (5.6):

ф2=MкJpс.

Рис. 5.18

Эти напряжения будут меняться по своей величине пропорционально расстоянию от центра (Рис.5.18, б) и достигают наибольшего значения по площадкам, расположенным у контура сечения; их величина равна:

maxф2=MкWp=RPрr32

Накладывая обе группы напряжений друг на друга, получаем полное распределение напряжений по сечению.

Опасной точкой будет та из точек контура, в которой направления ф1 и maxф2 совпадут. Такой точкой будет А -- у внутреннего края сечения; в ней полное касательное напряжение равно (Рис.5.18):

фmax=Pрr2+2PRрr3=Pрr2(1+2Rr) (5.19)

Так как в большинстве случаев второе слагаемое в скобках значительно больше единицы, то обычно пренебрегают первым слагаемым -- напряжением от простого перерезывания -- и учитывают лишь кручение стержня парами РR. Тогда

фmax=2PRрr3 (5.20)

При таком упрощении очень легко вычислить деформацию растяжения пружины, которую мы обозначим л.

Рис. 5.19

Вырежем из пружины отрезок длиной ds двумя смежными сечениями -- CO1 и CO2, проходящими через ось пружины (Рис.5.19). Так как эти сечения мы выбираем весьма близко, то можно принять, что до деформации радиусы-R, идущие от оси пружины к центрам проведенных сечений, лежат в одной плоскости и образуют треугольник O1CO2.

После деформации второе сечение, вследствие скручивания участка стержня ds, повернется относительно первого на угол dи=MкdsGJp_.. Тогда радиус O2C повернётся относительно радиуса O1C тоже на угол dи и точка С переместится в положенне C1, что влечёт опускание конца пружины на величину

dл=Rdи=RMкdsGJp

Если мы учтем, что все элементы ds стержня пружины деформируются таким же образом, то полное опускание нижнего конца пружины, т. е. её удлинение, выразится суммой величин dл:

л=?dл=01RMкdsGJp (5.21)

Здесь l=01ds --полная длина стержня пружины, а MкJGlp - взаимный угол закручивания концов стержня пружины, определённый в предположении что стержень распрямлён.

Пренебрегая наклоном витков к горизонтали и принимая число их п, получаем, что полная длина винтового стержня равна:

l=2рRn

Тогда

л=MкRGJp2рRn=4PR3nGr4 (5.22)

Формулы (11.25) и (11.28) дают возможность проверить прочность и определить деформацию пружины.

Чем выше допускаемое напряжение на срез ф, тем более гибкой будет пружина, тем большую осадку она даст при том же грузе Р, так как её можно сделать из стержня меньшего поперечного сечения.

3.9 Статически неопределимые задачи при кручении

При расчете на кручение прямых брусьев, жестко защемленных одним концом, а также при расчете валов (представляющих собой вращающиеся брусья, нагруженные взаимно уравновешенными скручивающими моментами) значения крутящих моментов в поперечных сечениях можно определить с помощью одних лишь уравнений равновесия (методом сечений). Следовательно, такие задачи являются статически определимыми.

Задачи расчета на крученее являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях (скручиваемых стержней, нельзя определить с помощью только уравнений равновесия. Для решения этих задач дополнительно к уравнениям равновесия, составляемым для системы в целом или ее отсеченной части, необходимо составить также уравнения перемещений, основанные на рассмотрении характера деформации системы.

Рассмотрим для примера брус круглого сечения, жестко заделанный обоими концами и нагруженный моментом M на расстоянии а от левого конца (рис. 5.20, а).

Для решения данной задачи можно составить лишь одно уравнение равновесия -- в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси бруса:

?Mx=M1-M+M2=0

Где M1 и M2 - реактивные скручивающие моменты, возникающие в заделках.

Дополнительное уравнение для решений рассматриваемой задачи можно получить следующим образом. Отбросим левое опорное закрепление бруса, но оставим правое (рис. 5.20, б). Поворот левого конца полученного таким путем бруса должен быть равен нулю, т. е.бB=0, так как в действительности этот конец жестко закреплен и не может поворачиваться. На основании принципа независимости действия сил уравнение перемещений имеет вид

бB=бB1+бB2=0

Здесь бB1 -- угол поворота левого конца бруса от действия внешнего скручивающего момента m1 (рис.5.20, в); бB2 -- угол поворота левого конца от действия внешнего момента m (рис. 5.20, г).

Учитывая, что правый конец бруса не поворачивается (т. е. бA=0) находим

бB1=-ц1=-M1lGJp;

бB2=-ц2=-MbGJp

Подставим эти значения в уравнение перемещений:

-M1lGJp+MbGJp=0,

Откуда

M1=Mbl.

Из уравнения равновесия

M2=M-M1=Mal.

После определения моментов M1 и M2 эпюру крутящих моментов можно построить обычным способом, т. е. как для статически определимого бруса (рис. 5.20, д). Для рассмотренной задачи эта эпюра представлена на (рис. 5.20, е).

Рис. 5.20

Наглядное представление об изменении углов поворота поперечных сечений бруса по его длине дает эпюра углов поворота (иногда ее называют эпюрой углов закручивания). Каждая ордината этой эпюры дает в принятом масштабе величину угла поворота соответствующего поперечного сечения бруса.

Построим такую эпюру для бруса по рис. 5.20, (1, учитывая при этом, что значение M1 уже найдено и эпюра крутящих моментов построена (см. рис. 5.20, е). Крайнее правое сечение А бруса неподвижно, т. е.бA=0. Произвольное поперечное сечение, принадлежащее участку АС и отстоящее на расстояние х от правого конца, повернется на угол

бx=бA-цx=0+M2xGJp=MalxGJp

Здесь цx -- угол закручивания на участке длиной х

Таким образом, углы поворота изменяются по линейному закону в зависимости от расстояния х. Подставляя в полученное выражение x=b, найдем угол поворота сечения С:

бC=MalbGJp

Заметим, что всегда при нагружении бруса постоянного сечения сосредоточенными скручивающими моментами эпюра углов поворота поперечных сечений на каждом из участков бруса линейна.

Для построения эпюры па участке СВ вычислим угол поворота сечения В.

бB=бC-цCB=MalbGJp-M1aGJp=MalbGJp-MblaGJp=0

Этот результат подтверждает правильность решения задачи, как по условию сечение В жестко заделано. Таким образом, кроме чисто иллюстративного значения, построение эпюры углов поворота, поперечных сечений можно рассматривать как метод контроля решения некоторых статически неопределимых задач.

Построенная по полученным значениям эпюра углов попорота представлена на рис. 23.6, ж.

При расчете цилиндрических пружин наряду со статически определимыми встречаются также и статически неопределимые задачи.

Если концы пружины не закреплены и могут свободно перемещаться вдоль осп пружины или если закреплен лишь один ее конец, то задача расчета такой пружины статически определима.

Если же оба конца пружины неподвижно и закреплены, то задача ее расчета статически неопределима. Для её решения необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Составление этого уравнения аналогично составлению уравнения, применяемого при решении задач расчета прямого стержня, закрепленного обоими концами, на внешние нагрузки, действующие вдоль его оси.

Примером статически неопределимой задачи расчета пружин является система, представленная на рис.5.21. Эта система называется концентрической пружиной и представляет собой две пружины, вставленные одна в другую, и работающие совместно. Из условия равновесия верхней плиты, к которой приложена сила Р, следует что сумма сил P1 и P2, сжимающих наружную и внутреннюю пружины, равна внешней силе Р. Это единственное уравнение равновесия, которое можно составить для определения двух неизвестных P1 и P2, т.е. задача один раз статически неопределима.

Уравнение перемещений в рассматриваемой задаче должно выражать равенство осадок внешней и внутренней пружин:

л1=л2 или дP1D13n1Gd14=дP2D23n2Gd24.

Решение этого уравнения совместно с условием равновесия P=P1+P2 позволяет найти усилия в пружинах, а затем выполнить расчет их на прочность.

Рис. 5.21

Размещено на Allbest.ru