Напряженное состояние

Называя через п число заклепок, необходимое для передачи усилия Р от листа на накладки и от накладок на другой лист, получаем, что на каждую заклепку передаётся усилие от основного листа Р/п. Оно уравновешивается усилиями Р/2п, передающимися на заклепку от накладок (Рис.4.5).

Стержень заклепки теперь подвергается перерезыванию уже в двух плоскостях; средняя часть заклёпки сдвигается влево. Допускают, что срезывающая сила Р/п равномерно распределяется по двум сечениям, mk и gf. Напряжение ?? определяется формулой

ф=Pn·2рd24

и условие прочности для двухсрезной заклёпки принимает вид:

Pрd24?ф3 и n?Pрd24ф3 (4.7)

Таким образом, при двойном перерезывании число заклепок по срезыванию оказывается в два раза меньше, чем при одиночном перерезывании [формула (4.3)].

Переходим к проверке на смятие. Толщина склёпываемых листов t; толщина накладок t1 не должна быть мепьше 0.5t так как две накладки должны взять от основного листа всю силу Р. Поэтому

0,5t<t1?t

Сила Р/п сминает и среднюю часть заклепки и верхнюю с нижней. Опаснее будет смятие той части, где площадь смятия меньше.

Так как толщина среднего листа не больше суммы толщин обеих накладок, то в худших условиях по смятию будет средняя часть заклепки. Условие прочности на смятие (4.5) останется таким же как и при односрезных заклепках:

уc=Pntd?уc, n?Ptdуc.

Таким образом, для рассматриваемой конструкции число заклёпок в первой и во второй группах определится из условий (4.7) и (4.6).

Рис. 4.6

Наличие заклёпок вносит некоторые изменения и в проверку прочности на растяжение или сжатие самих склепанных листов. Опасным сечением каждого листа (Рис.4.6) будет теперь сечение, проходящее через заклёпочные отверстия; здесь рабочая ширина листа будет наименьшей; принято говорить, что это сечение ослаблено заклёпочным отверстием. Называя полную ширину листа b, получаем для него такое условие прочности:

Pt(b-md)?у

где m -- число отверстий, попадающих в сечение (в нашем случае -- два).

Отсюда можно найти величину b, задавшись толщиной листа t. Площадь t(b-md) ослабленного сечения называется площадью нетто, площадь же полного сечения листа bt называется площадью брутто.

2.3 Расчёт сварных соединений

А. При изготовлении металлических конструкций часто применяется сварка с помощью электрической дуги. Сущность электросварки заключается в том, что, расплавляя электрической дугой материал электрода (сталь), заполняют им стык соединяемых элементов, также прогреваемых дугой до температуры плавления. В результате, после остывания расплавленного металла, образуется шов, прочно соединяющий стыкуемые элементы.

Схема сварки показана на Рис.4.7. Электрическая дуга горит между металлическим электродом и расплавленным металлом, расплавляя электрод и кромки соединяемых элементов металла, между которыми образуется так называемая сварочная ванна.

Для защиты плавящегося металла от попадания вредных включений из окружающего воздуха на поверхность электрода наносится толстая защитная обмазка, выделяющая при плавлении электрода большое количество шлака и газов, благодаря чему плавящийся металл изолируется из окружающего воздуха.

При правильном выборе конструкции соединений, материалов и технологии сварки сварные соединения по надёжности не уступают заклёпочным при действии как статических, так и динамических нагрузок (в том числе ударных и знакопеременных). В то же время электросварка имеет ряд преимуществ перед клепкой, из которых важнейшими являются меньшая трудоемкость. сварочных работ и отсутствие ослабления сечений соединяемых элементов отверстиями. Это даёт значительную экономию средств и металла, помимо экономии, получаемой за счёт большей компактности соединений. Большие экономические выгоды, приносимые электросваркой, и даваемое ею упрощение конструкций привели в последнее время к постепенному вытеснению заклёпочных соединений сварными.

Рис. 4.7

Б. Наиболее простым и надёжным видом соединения является соединение встык, образуемое путем заполнения зазора между торцами соединяемых элементов наплавленным металлом. Соединение встык осуществляется, в зависимости от толщины соединяемых элементов, по одному из типов, показанных на Рис. 4.8 Проверка прочности производится на растяжение или сжатие по формуле

ув=Plt?ув (4.8)

Здесь lt=Fв -- условная рабочая площадь сечения шва, где расчетная длина шва l=b-10 мм, а высота шва h принимается равной толщине свариваемых элементов t.

Рис. 4.8

Поскольку допускаемое напряжение для сварного шва ниже, чем для основного металла, стремятся к увеличению длины стыкового шва. С этой целью применяют соединение встык с косым швом (фиг. 105). Исследования таких соединений, произведённые Институтом электросварки Академии наук УССР, показали, что равнопрочность их с основным металлом всегда обеспечивается.

Рис. 4.5

Проверка прочности косых швов производится по нормальным и касательным напряжениям, возникающим по сечению шва mn:

уб=pбsinб=PFб·sinб

фб=pбcosб=PFб·cosб

Имея в виду, что Fб=lt (фиг.106), получим:

уб=Plt·sinб?уэ

фб=Plt·cosб?фэ

Здесь расчетная длина шва по техническим условиям принимается равной l=bsinб-10 мм.

Как установлено опытом, наиболее рациональным углом наклона шва к линии действия сил является?45ч50°. Недостатком соединения косым швом является неудобство центрировки стыкуемых элементов при сварке, поэтому его применяют редко.

В. Иногда соединение листов производится внахлёстку или встык с перекрытием накладками. Это вызывает необходимость сваривать листы, не лежащие в одной плоскости, что осуществляется при помощи так называемых валиковых (или угловых) швов-- лобовых или торцевых (перпендикулярных к направлению действующей силы) и боковых или фланговых (параллельных ей).

Валиковый шов в сечении имеет довольно неопределенную форму (Рис. 4.10, а). В теоретических расчётах на прочность сечение шва принимается в виде равнобедренного треугольника (очерченного пунктиром) с расчётной высотой h.

Рис. 4.10

Соединения торцевыми (лобовыми) швами показаны на Рис. 4.11. Разрушение таких швов происходит по наиболее слабому сечению АВ, как это установлено опытами.

Рис. 4.11

Как это видно из Рис. 4.10, б, полное напряжение, возникающее в сечении АВ, может быть разложено на нормальную и касательную составляющие. Поскольку сопротивление стали сдвигу ниже, чем при растяжении, расчет лобовых швов производится условно на срез в предположении равномерного распределения касательных напряжений по площади сечения АВ. Имея в виду, что на восприятие силы Р в этих соединениях (рис. 4.11) работают два лобовых шва, верхний и нижний, получим:

фэ=P2Fэ

Так как площадь сечения шва Fэ=hl=tcos45°l?0.7tl, а расчетная длина l=b-10 мм, то условие прочности примет вид:

фэ=P1.4*tl?фэ (4.9)

Г. Соединение фланговыми (или боковыми) швами показано на Рис. 4.12, а. Разрушение шва, показанное на Рис.4.12, б, происходит на значительном его протяжении путём срезывания наплавленного металла в направлении, параллельном шву по наиболее слабой плоскости АВ. Условие прочности для двух симметрично расположенных швов таково:

фэ=P2*0,7*t*l?фэ

Рис. 4.12

Д. Иногда при соединении внахлестку в дополнение к фланговым швам применяют прорезные швы, осуществляемые путем наплавки металла в узкую прорезь, сделанную в одном из соединяемых элементов параллельно действующему на соединение усилию (Рис. 4.13).

Рис. 4.13

При длине прорезного шва lп и ширине прорези d сопротивление такого шва срезу равно:

Pп=фэlпd

где Pп -- усилие, приходящееся на прорезной шов.

В комбинированном соединении с фланговыми швами для записи расчетного условия принимают, что P=Pп+Pф, или

P=(2*0.7*tlф+lп*d)фэ (4.11)

Задавшись размерами одного из швов (обычно флангового), находят необходимую длину другого. При этом ширина прорези d принимается равной двойной толщине прорезанного металла, длина -- не более двадцати толщин.

В заключениё заметим, что в том случае, когда приходится прибегать к соединению внахлёстку, лучше всего ограничиться одними фланговыми швами, избегая комбинированных соединений.

Ж. При сварке элементов металлических конструкций встречается необходимость приварки элементов, например уголков, для которых линия действия силы не проходит посредине привариваемой полки. В этом случае приходится применять два фланговых шва разной длины или разной высоты. Общая длина швов определяется величиной передаваемого усилия, соотношение же их длин зависит от положения линии действия усилия.

Рис. 4.14

На Рис. 4.14 изображено прикрепление уголка к листу; сумма длин фланговых швов lа и lс определяется уравнением

фэ=P0.7 tla+0.7 tlc?фэ.

Отсюда

la+lc=P0.7 t фэ =lф.

С другой стороны, усилия, приходящиеся на каждый из двух швов, распределяются обратно пропорционально расстояниям от действия силы Р, проходящей через центр тяжести сечения уголка; поэтому

lalc=ca.

Зная сумму длин и их отношение, определяем рабочую длину каждого шва. Проектные длины швов принимаются на 10 мм больше.

2.4 Чистый сдвиг. Определение главных напряжений и проверка прочности

Расчет таких соединений, работающих на сдвиг (заклепочные, болтовые, сварные соединения), как это уже указывалось, в значительной мере является условным. Проверка прочности на сдвиг обычно производится в предположении равномерного распределения касательных напряжений по площади сечения по формуле

ф=PF?ф

Чтобы установить величину допускаемого напряжения ф, нам нужно было бы найти, величину предела прочности и предела текучести для стержня, в сечениях которого возникали бы только касательные напряжения, и, задавшись затем коэффициентом запаса, назначить величину допускаемого касательного, напряжения ф. Однако такой опыт поставить нельзя, так как при испытании на срез соединительного элемента (болт клепка и т. п.) в поперечных его сечениях будут возникать не только касательные, но и нормальные напряжения и деформация будет сложной.

Это заставляет нас исходить при установлении величины допускаемого напряжения ф в общем случае не из рассмотрения достаточно сложных действительных условий работы заклёпочных или иных видов соединений, а из некоторых общих теоретических соображений. Теоретическое значение ф при установлении норм, конечно, корректируется данными опытов.

Рис. 4.15

Пусть мы имеем малый элемент материала, по граням которого действуют только касательные напряжения (Рис. 4.15). Такой вид плоского напряжённого состояния называется чистым сдвигом. Пусть, кроме того, допускаемое нормальное напряжение у для материала известно, и требуется найти величину допускаемого касательного напряжения ф, написав условие прочности для рассматриваемого элемента. Задачу расчёта на сдвиг можно свести к задаче проверки прочности при сложном напряжённом состоянии.

Рис. 4.16

Для решения поставленной задачи найдём величины главных.

Заметим, что по закону парности касательных напряжений, касательные напряжения, действующие по вертикальным и горизонтальным граням элемента, одинаковы. По фасадной грани abcd нет никаких напряжений. Следователю, это -- одна из главных площадок, на которой главное напряжение равно нулю.

Для определения направления и величины двух других главных напряжений воспользуемся построением круга напряжений, что можно сделать, если известны напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам (Рис. 4.16, б). От точки О, поскольку нормальные напряжения при гранях элемента (Рис. 4.15) равны нулю, отложены: вверх -- отрезок ODб, равный фab=ф, и вниз -- ODв,, равный фbс=-ф. Так как точки Dб и Dв лежат на круге, то радиус его равен ODб=ф. Отрезки ОА и ОВ определяют величины главных напряжений у1 и у3 и равны радиусам круга, а направление BDв, составляющее угол 45° с нормалью к площадке bc, совпадает с направлением у1. Следовательно, применяя обозначения имеем:

у1=ф; у3=-ф.

Напряжение по фасадной грани abcd у2=0.

Таким образом, если рассечь наш элемент (при условии, что грань abcd -- квадрат) диагональными плоскостями, то по сечению ас будут действовать растягивающие напряжения у1=ф, а по сечению bd -- сжимающие: у3=-ф (фиг. 115, а). Это можно было бы доказать и иначе, не пользуясь построением круга напряжений, а рассматривая условия равновесия отсечённой части (Рис. 4.17). Такое доказательство рекомендуется читателям выполнить самостоятельно.

Рис. 4.17

Следовательно, чистый сдвиг эквивалентен комбинации двух равных по числовой величине нормальных напряжений -- одного растягивающего и другого сжимающего. Каждое из этих напряжений равно по числовой величине касательному напряжению, вызывающему чистый сдвиг; площадки, по которым действуют главные (нормальные) напряжения, составляют угол 45° с площадками действия только касательных напряжений.

Если мы выделим элемент из параллелепипеда abcd плоскостями, перпендикулярными к диагоналям ас и bd (Рис. 4.16, а), то этот элемент будет подвергаться растяжению в направлении bd напряжениями у1 и сжатию в направлении ас напряжениями у3.

Как видно по Рис. 4.16, а, из элемента, подвергающегося по его граням действию только касательных сил, можно выделить новый элемент, по граням которого действуют только нормальные напряжения. Таким образом, весь элемент, изображённый на Рис. 4.15, испытывает деформацию чистого сдвига, а материал этого элемента в то же время претерпевает в некоторых направлениях растяжение или сжатие.

Зная главные напряжения у1,у2 и у3 и допускаемое напряжение для материала нашего элемента при простом растяжении у, мы можем составить условие прочности для этого элемента, применяя ту или иную из изложенных выше теорий. По теории наибольших нормальных напряжений проводить проверку прочности не следует, так как она устарела. Поэтому мы начнём решение вопроса о проверке прочности при чистом сдвиге с применения теории наибольших относительных удлинений, которая применялась в машиностроении более полувека, хотя, строго говоря, она неприменима к пластичным материалам.

В этом случае условие прочности принимает вид:

у1-м(у2+у3)?у

Подставляя значения у1=ф, у2=0, у3=-ф, получаем:

ф-м(-ф)?у, или ф(1+м)?у

Отсюда величина касательных напряжений при чистом сдвиге должна удовлетворять условию:

ф?у1+м=ф

Дробь, стоящая в правой части неравенства, представляет собой допускаемую величину касательного напряжения ф при чистом сдвиге. Для стали м?0,3, поэтому

ф=(0,7ч0,8)у

Если же мы возьмём за основу третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), то получим:

у1-у3?у или ф-(-ф)?у

Отсюда:

ф?у2=ф и ф=0,5у

Наконец, по четвёртой теории прочности (энергетической) имеем:

у12+у22+у32-у1у2-у2у3-у3у1?у

Или

ф2+ф2+ф2?у

И

ф?у3=ф

Отсюда

ф=0,57у?0,6у

Мы видим, что результаты, полученные по различным теориям прочности, существенно отличаются друг от друга. Поэтому вопрос о выборе той или иной теории приобретает важное практическое значение.

Прежде расчётные формулы составлялись по теории наибольших удлинений; тогда за допускаемое касательное напряжение принимали величину ф=0,8у. В настоящее время надо считать для пластичных материалов наиболее достоверной энергетическую теорию, по которой соотношение между ф и у выражается формулой

ф=0,6у

Таким образом, правильное, не схоластическое, опирающееся на практику применение новых теорий прочности не только не вызывает снижения допускаемых напряжений, а наоборот, даёт метод для их повышения, для дальнейшего использования излишних запасов прочности.

2.5 Связь между напряжениями и деформацией при чистом сдвиге. Потенциальная энергия сдвига

В дальнейшем, при изучении кручения, нам придётся встретиться с вопросом о деформациях, которые возникают в элементах материала при действии на него касательных напряжений. Пока речь идёт о расчёте заклепок. и болтов, изучение этих деформаций практического значения не имеет и осложняется вдобавок тем, что во всех этих соединениях мы имеем в действительности гораздо более сложное распределение касательных напряжений, чем то, которое было положено в основу наших расчетов по проверке прочности.

Рис. 4.18

Однако общий характер этой деформации может быть выяснен и на примере хотя бы той же заклепки. Выделенный из стержня заклёпки очень тонкий слой материала (Рис.4.18) стремится при действии на него касательных напряжений перекоситься; этот перекос и является характерным для деформации сдвига. Изучить связь этого перекоса с напряжениями ?? в заклёпке невозможно, ибо мы не знаем действительного закона распределения касательных напряжений по поперечному сечению заклепки. Поэтому мы будем изучать деформацию при действии касательных напряжений на элементе, испытывающем чистый сдвиг (фиг. 118).

Если мы закрепим грань АВ этого элемента неподвижно, то под действием касательных напряжений грань СD сдвинется параллельно АВ на некоторую величину DD1=CC1=?s, называемую абсолютным сдвигом. Элемент АВСD перекосится, прямые углы обратятся в острые или тупые, изменившись на величину г. Этот угол называется относительным сдвигом, или углом сдвига, и служит мерой искажения (перекоса) углов прямоугольника. Поскольку в конструкциях мы имеем дело лишь с упругими деформациями, этот угол будет весьма малым.

Рис 4.19

Относительный сдвиг связан по своей величине с абсолютным сдвигом и расстоянием б между плоскостями АВ и СD:

г=tgг=?sa

т. е. относительный сдвиг равен абсолютному, делённому на расстояние между сдвигающимися плоскостями; выражается он в радианах.

Можно показать, что величина относительного сдвига будет пропорциональна напряжениям ??; таким образом, именно относительный сдвиг, величина перекоса элемента, и является тем, что характеризует числовым образом деформацию сдвига.

Для установления зависимости между г и ф рассмотрим Рис.4.19. При перекосе нашего элемента диагональ АD удлиняется. Это удлинение можно связать, с одной стороны, с действующими напряжениями, с другой -- с относительным сдвигом; комбинируя обе зависимости; найдём связь между г и ф.

На фиг. 118 абсолютное удлинение диагонали мы получим, если из точки А радиусом, равным АD, сделаем засечку на новом положении этой диагонали -- AD1. Тогда получаем прямоугольный треугольник DD1D2, в котором сторона DD1 -- абсолютный сдвиг ?s, сторона D2D1 -- удлинение диагонали ?l; угол при точке D1 может быть по малости деформаций принят равным 45°. Тогда

?l=?scos45°.

Относительное удлинение диагонали

е=?ll, где l=бsin45°

Следовательно,

е=?sбcos45°sin45°

Так как ?sб=г, а cos45°sin45°=0.5, то

е=12г (4.12)

С другой стороны, относительное удлинение диагонали, вызванное действием главных напряжений у1=ф и у3=-ф, может быть выражено формулой:

е=е1=у1E-му3E=фE1+м.

Подставляя это значение е в формулу (4.12), получим:

фE1+м=12г

Откуда

ф=E2(1+м)г. (4.13)

Таким образом, относительный сдвиг г и касательное напряжение ?? друг другу пропорциональны, т. е. и при сдвиге напряжение и соответствующая ему относительная деформация связаны законом Гука.

Величину E2(1+м) обозначают буквой G и называют модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига. Числовые величины G для различных материалов приведены в таблице в конце книги (Приложение VII).

Формула (10.20) принимает вид:

ф=гG (4.14)

и мы имеем полную аналогию в формулах, связывающих напряжение и относительную деформацию при растяжении и сдвиге:

у=еE; ф=гG

Величину G можно вычислить по формуле

G=E2(1+м) (4.15)

но можно найти и прямым путём в опыте на кручение.

Величина абсолютного сдвига зависит не только от величины касательных напряжений, но и от размеров выделенного элемента. Назовём площадь граней, по которым действуют касательные напряжения, F; расстояние между параллельными гранями обозначено через а (фиг. 118). Абсолютный сдвиг равен

?s=бг=бфG, где ф=QF

следовательно,

?s=QбGF (4.16)

Абсолютный сдвиг прямо пропорционален сдвигающей силе, расстоянию между сдвигаемыми гранями и обратно пропорционален площади сечения этих граней и модулю упругости при сдвиге т. е. мы имеем формулу, выражающую закон Гука для деформации сдвига, вполне подобную формуле для вычисления абсолютного удлинения при растяжении:

?l=PlEF

Так как в формуле (4.15) для модуля сдвига из трёх так называемых упругих постоянных E, м и G независимыми являются лишь две, третья может быть выражена через первые. Эта особенность является характерной для изотропного материала, свойства которого во всех направлениях одинаковы.

Заметим, что при деформации сдвига изменение объёма элемента материала равно нулю. Теперь можно подсчитать также и потенциальную энергию при чистом сдвиге. Считая, что сила Q приложена статически, можем выразить работу этой силы на перемещении ?s:

A=12Q?s

(половина вошла в формулу для A, так как сила возрастает от нуля до конечного значения постепенно, -- работа выражается площадью треугольника). Подставив значение ?s (10.23), получим:

U=Q2б2GF=ф2бF2G (4.17)

Поделив на объём v=aF, найдём значение удельной потенциальной энергии при чистом сдвиге:

u=Uг=ф22G (4.18)

К такому же результату можно было прийти рассматривая чистый сдвиг как сложное напряженное состояние при главных напряжениях: у1=ф, у2=0, у3=-ф.

3. Кручение

3.1 Основные понятия. Крутящий момент

растяжение сжатие напряжение сдвиг

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор- крутящий момент Mк. Кручение возникает в валах, винтовых пружинах и других элементах конструкций. Кручение прямого бруса происходит при нагружении его внешними скручивающими моментами (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны в его продольной оси. Эти моменты обозначим М. Кручение криволинейных брусьев может возникать и при других видах нагружения.

Если прямой брус находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, равна нулю.

При расчете валов в ряде случаев величины внешних скручивающих моментов определяются по величине потребляемой мощности и по скорости вращения вала. Если вал делает в минуту n оборотов, то угол поворота вала за 1 сек, выраженный в радианах, равен n602р, или рn30. Работа скручивающего момента за 1 сек, т.е. мощность N, передаваемая валом, равна произведению величины момента на угол поворота вала (в радианах) за 1 сек:

N=Mрn30

Откуда

M=30Nрn кГм

Где мощность N выражена в кГм/сек.

Если мощность N задана в лошадиных силах (л.с.), то

M=30*75Nрn=716,2Nр кГм=71620Nр кГм (5.1)

Если мощность N задана в киловаттах, то, учитывая, что 1 л. с. равна 0,736 квт, получаем

M=973,6Nр кГм=97360Nр кГм (5.2)

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений. В простейшем случае, когда брус нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия бруса ?Mx=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 5.1, крутящий момент Mк в любом поперечном сечении бруса (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту M1=M2.

Рис. 5.1

В более сложных случаях, когда к брусу приложено кесколько внешних моментов, крутящие моменты в поперечных сечениях различных участков бруса неодинаковы.

На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Рис. 5.2

При расчетах па прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эпюр Mк примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.5.2). В частности, в сечении 1 бруса, изображенного на рис. 1.6,а, крутящий момент отрицателен (рис. 5.1,б) и численно равен внешнему моменту M1 или M2.

На рис. 5.3 изображен брус, к которому приложены четыре внешних скручивающих момента. Крутящий момент M1к в сечении 1-1 численно равен M1 и, согласно принятому правилу знаков, отрнцателен. Крутящий момент в сечении 2-2 численно равен разности моментов M1 и M2, т. е.; M2к=M1-M2,а его знак зависит от соотношения этих моментов: если M2>M1, то момент M2к положителен, а если M2<M1, то отрицателен.

Рис. 5.3

Абсолютная величина крутящего момента в сечении 3-3 бруса, если его вычислять по внешним моментам, приложенным слева от рассматриваемого сечения, определится из выражения

M3к=M1-M2-M3

В данном случае крутящий момент M3к удобнее определять по внешним нагрузкам, приложенным справа от сечения 3-3,так как с этой стороны приложен лишь один внешний момент m4 (вместо трех внешних моментов, приложенных слева от сечения). Момент M3к, действующий на правую отсеченную часть бруса, направлен противоположно моменту M4, что следует из условия равновесия этой части, следовательно, по принятому правилу знаков он положителен.

Рис. 5.4

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке. Так, например, крутящие моменты MIк и MIIк I-I и II-II бруса, изображенного на рис. 5.4,можно определить без вычисления реактивного момента левой заделки:

MIк=m1

MIIк=m1+m2

Оба момента MIк и MIIк положительны.

Изменение крутящих моментов по длине бруса удобно изображать графически -- с помощью так называемой эпюры крутящих моментов. На рис. 5.5, а показана такая эпюра для бруса, изображенного на рис. 5.1,а. На рис. 5.6,в показана эпюра крутящих моментов для бруса, изображенного на рис. 5.5,б.

Каждая ордината эпюры крутящих моментов в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении бруса, которому соответствует эта ордината. В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента (рис. 5.5,б,в).

Следует учитывать, что наибольший внешний скручивающий момент, приложенный к брусу, не всегда равен наибольшему крутящему моменту, по которому ведется расчет бруса на прочность и жесткость. Так, например, на рис 5.6,б наибольший внешний момент равен 300 кГ см, а наибольший ( по абсолютной величине) крутящий момент (внутренний) равен 250 кГ см (рис.5.6,в)

Рис. 5.5

3.2 Определение напряжений при кручении круглого вала

А. Построив эпюру крутящих моментов, мы можем найти величину крутящего момента в любом сечении вала. Чтобы найти напряжения, вызываемые крутящим моментом в сечении, воспользуемся основным методом решения задач сопротивления материалов- методом сечений.

Однако прежде чем приступить к решению поставленной задачи, обратимся к рассмотрению результатов опытных исследований.

Опыты показывают, что при скручивании вала круглого сечения парами М_к (Рис.5.6) происходит следующее.

Все образующие поворачиваются на один и тот же угол г, а квадраты, нанесёнпые на поверхность вала, перекашиваются, обращаясь в ромбы, т. е. подвергаются деформации сдвига.

Каждое поперечное сечение поворачивается относительно другого вокруг оси вала на некоторый угол, называемый углом закручивания. Величина этого угла пропорциональна величине крутящего момента и расстоянию между сечениями.

Торцевое сечение остаётся плоским, а контуры всех проведенных сечений не искажаются (круги остаются кругами).

Радиусы, нанесённые на торцевом сечении, после деформации не искривляются.

Рис. 5.6

Расстояния между смежными сечениями практически не меняются, т. е. сечения 1--1 и 2--2, поворачиваясь друг относительно друга на угол ?ц, сохраняюг между собой расстояние ?x.

Таким образом, результаты опытов показывают, что при кручении стержень представляет как бы систему жёстких кружков, насаженных центрами на общую ось O1O2.При деформации все эти кружки, не меняя своего вида, размеров и взаимных расстояний, поворачиваются один относительно другого.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях.

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений); они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3. Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются.

Формулы, выведенные на основе этих положений, совпадают с формулами, полученными точными методами теории упругости, и подтверждаются экспериментально.

Теперь перейдём к отысканию напряжений, действующих по сечениям, перпендикулярным к оси вала. Разрежем мысленно (Рис.5.7) скручиваемый стержень O1O2на две части I и II сечением 1-1, перпендикулярным к оси вала и находящимся на рас стоянии х от сечения O1. Отбросим часть II стержня и оставим часть I; на нее действует из внешних сил лишь один момент Mк, приложенный к сечению O1.

Оставленная часть стержня находится в равновесии под действием этого момента и сил в сечении 1-1, передавающихся от отброшенной отсеченной части на оставленную (Рис.5.7).

Так как силы в сечении уравновешивают внешнюю пару Mк, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси Ox, т.е. в плоскости сечения 1-1. Следовательно, эти силы и соответствующие напряжения касательны к сечению и перпендикулярны к радиусам (Рис.5.7).

Составим условие равновесия оставленной части I в форме уравнения моментов всех сил относительно оси O1O:

Mк-?Mф=0, или Mк=?Mф.

Рис. 5.7

Для вычисления ?Mф - суммы моментов сил, действующих в сечении 1-1, возьмем любую точку сечения в расстоянии с от центра круга и выделим вокруг неё элементарную площадку dF.

Тогда усилие, приложенное к ней, будет dP=фсdF, где фс -- касательное напряжение в рассматриваемой точке. Момент же этого усилия относительно точки О равен:

dMф=фсdFс

Считая площадку dF бесконечно малой, можно найти сумму моментов всех сил, как определённый интеграл, распространённый по площади сечения:

?Mф=FфсdFс

или, используя составленное ранее уравнение равновесия, получим:

FфссdF=Mк (5.3)

Однако найти из полученного уравнения величину ф мы пока не можем, так как ещё не знаем, как распределяются касательные напряжения по сечению.

В. Уравнения статики не дают возможности довести до конца решение задачи определения напряжений по сечению 1--1. Задача оказывается статически неопределимой, и для окончания её решения нам придётся обратиться к рассмотрению деформаций стержня, показанных на Рис. 5.6 и рис. 5.8

Выделим (Рис. 5.8) на поверхности скручиваемого стержня до его деформации двумя смежными образующими ab и cd и двумя контурами смежных сечений 1--1 и 2--2 прямоугольник АВDС.

Рис. 5.8

После деформации оба сечения, 1--1 и 2--2, повернутся относительно защемлённого конца на углы цx (сечение 1--1) и цx+dц (сечение 2--2). На основании принятых гипотез оба сечения останутся плоскими, радиусы O2B и O1A, O1C, O2BD останутся прямыми, а расстояние dx между сечениями 1--1 и 2--2 останется без изменения. При таких условиях весь элемент ABDCO1O2 сместится и перекосится, так как его правая грань, совпадающая с сечением 2--2, повернется на угол dц относительно левой, совпадающей с сечением 1--1. Прямоугольник АВDС займет положение, показанное на Рис.5.8 штриховкой. Перекошенный элемент A1B1D1C1O1O2 показан на Рис.5.9; там же пунктиром изображен вид этого элемента, если бы он не испытал перекоса, т. е. если бы его левая и правая грани обе повернулись на один и тот же угол.

Рис. 5.9

Перекос, вызванный неодинаковым поворотом сечений 1--1 и 2_2, обращает прямые углы прямоугольника АВDС в тупые и острые; материал нашего элемента испытывает деформацию сдвига (Рис.5.6 и Рис.5.8). Величина этой деформации будет характеризоваться углом перекоса -- относительным сдвигом; на поверхности стержня в прямоугольнике A1B1D1C1 этот угол будет равен BA1B1 он обозначен на Рис.5.9 буквой г.

Как известно, деформация сдвига сопровождается возникновением касательных напряжений по граням перекашиваемого элемента.

На Рис.5.9 изображены эти напряжения, действующие на площадки, выделенные на правой грани (поперечное.сечение 2 -- 2) и горизонтальной поверхности элемента A1B1D1C1O1O2. Величину этих напряжений мы можем выразить через относительный сдвиг г характеризующий перекос прямоугольника A1B1D1C1, по формуле: ф=гG.

Так как абсолютный сдвиг элемента на поверхности вала равен BB'=rdц,

а относительный сдвиг г=BB'A1B=rdцdx, то напряжение у точки B1 будет:

фB=Gг=rGdцdx.

Найдем теперь напряжение ф в какой-нибудь другой точке сечения L1 отстоящей от центра на расстоянии с (ис.5.9). Для этого нужно найти величину относительного сдвига, который испытывает материал у точки L1. На Рис.5.9 показан относительный сдвиг -- угол перекоса LKL1обозначенный гс. Он будет меньше, чем относительный сдвиг ф на поверхности стержня. Повторяя те же рассуждения, что и при вычислении г, мы найдём, что гс=сdцdx, и получим:

фс=сGdцdx (5.4)

Относительный сдвиг и касательное напряжение в каждой точке поперечного сечения скручиваемого стержня прямо пропорциональны расстоянию с этой точки от центра сечения. Графически этот закон изменения касательных напряжений выражается прямой линией (Рис.5.10).

Наибольшего значения ф достигают в точках, лежащих у самого края сечения, и обращаются в нуль в центре.

Таким образом, найден закон распределения касательных напряжений по поперечным сечениям скручиваемого стержня.

Рис. 5.10

Г. Величина касательных напряжений теперь может быть найдена из уравнения (11.5), выражающего условие равновесия отсеченной части.

Подставляя вместо ф его значение (5.4) и вынося за знак интеграла величину Gdцdx, постоянную при интегрировании по площади, получим:

GdцdxFс2dF=Mк

Fс2dF, т. е. сумма произведений из элементарных площадок на квадраты расстояния их до точки 0, называется полярным моментом инерции и обозначается Jp. Тогда

GdцdxJp=M

откуда угол закручивания на единицу длины вала (относительный угол закручивания) равен:

dцdx=MкJp (5.5)

Подставляя это в уравнение (5.4), получим:

фс=MкJpс (5.6)

Наибольшего значения напряжения достигнут в точках сечения у поверхности вала при с=сmax=r:

фmax=MксmaxJP=MкrJP (5.7)

Формулу для фmax можно представить в ином виде:

фmax=MксmaxJP=Mк(Jpсmax)=MкWp (5.8)

Отношение Jpсmax=Wp называется моментом сопротивления при кручении; так как момент инерции JP выражается в единицах длины в четвертой степени, то момент сопротивления Wp измеряется в единицах длины в третьей степени.

3.3 Вычисление полярных моментов инерции и моментов сопротивления сечения вала

Для вычисления Jp=Fс2dF выделим в сечении кольцевую площадку радиусами с и с +d с (Рис.5.11). В пределах этого кольца выделим маленькую площадку dF. Просуммируем произведения с2dF сначала для кольцевой площадки, а потом сложим полученные величины для всех кольцевых площадок, на которые можно разделить сечение. Так как все площадки внутри кольца находятся на одном и том же расстоянии с от центра, то для них

?с2dF=с2?dF

Но ?dF для кольца, как площадь узкой полоски, равна ?dF=2рсdс и, следовательно, с2?dF=2рс3dс. Тогда, суммируя эти величины для всего сечения, получаем:

Jp=0r2рс3dс=2р0rс3dс=рr42

или, выражая через диаметр,

Jp=рd432?0.1d4

Это и будет полярный момент инерции для круга. Момент сопротивления при кручении для круга равен:

Wp=Jpсmax=рr42r=рr32=рd316?0.2d3 (5.10)

Из формулы (11.8) видно, что напряжения ?? в точках сечения, близких к центру (с мало), невелики. Крутящий момент уравновешивается, главным образом, напряжениями, действующими в части сечения, Рис.5.12. близкой к поверхности стержня; материал же средней части вала принимает очень слабое участие в этой работе. Поэтому с целью облегчения валов иногда делают их трубчатыми (Рис.5.12).

Рис. 5.11 рис. 5.12

3.4 Условие прочности при кручении

Зная величину полярного момента сопротивления сечения, можем найти max ??: по формуле (5.8).

По условию прочности наибольшее касательное напряжение не должно превышать допускаемого, т. е.

Maxф=MкWp?ф (5.11)

Отсюда при известном крутящем моменте и выбранном допускаемом напряжении можно определить необходимый момент сопротивления сечения, а затем и необходимый радиус или диаметр вала.

Что касается величины допускаемого напряжения ф, то его следует принимать от 0,5 до 0,6 основного допускаемого напряжения на растяжение.

На практике величина ф колеблется для мягкой стали от 200 до 1000 кг/см2, для твёрдой -- от 300 до 1200 кг/см2, в зависимости от характера нагрузки (постоянная, переменная, ударная) и величины местных напряжений, возникающих в тех местах вала, где в нём имеются гнезда для шпонок, выкружки и другие изменения формы сечения.

3.5 Определение деформаций при кручении

Как мы видели в разделе 5.2, при скручивании цилиндрического стержня с круглым поперечным сечением парами сил Mк, приложенными по его концам, деформация состоит в повороте сечений стержня относительно неподвижного опорного сечения.

Для сечения на расстоянии х от опорного сечения этот угол поворота мы обозначали (Рис.5.6) буквой цxи называли углом закручивания. Для определения его воспользуемся равенством (5.11):

dцdx=MкGJp, или dц=MкdxGJp (5.12)

Интегрируя по х, получаем (при постоянном Mк):

При длине стержня l наибольший угол закручивания будет между крайними сечениями (при x=l):

Формула (5.12) имеет вид, вполне аналогичный соответствующей формуле при растяжении или сжатии.

Здесь уместно указать на физический смысл величины Jp=рr42. Как видно из формулы (5.12), величина угла закручивания ц тем меньше (при данном Mк), чем больше произведение GJp -- так называемая жёсткость при кручении. Таким образом, Jp отражает влияние размеров поперечного сечения на деформируемость стержня при кручении.

Вычисление углов закручивания имеет двоякое практическое значение: во-первых, оно необходимо для определения опорных реакций скручиваемых стержней в статически неопределимых системах, это редкий случай; во-вторых, умение вычислить угол закручивания необходимо для проверки жёсткости вала.

Практикой выработаны высшие допустимые пределы для угла ц, которых нельзя переходить, чтобы не получить нарушения работы машины. Эти пределы таковы: в обычных условиях ц=0,3° на каждый метр длины вала; при переменных нагрузках ц=0,25°, для внезапно (с ударом) меняющихся нагрузок ц=0,15°. Иногда для обычных условий принимают ц=1° на длину, равную 20 диаметрам вала.

Таким образом размёры вала следует определять не только из условия прочности, но и из условия жёсткости:

ц=MкlGJp?ц (5.13)

Это условие часто выдвигается на первое место при длинных валах.

3.6 Потенциальная энергия при кручении

Выше, при изучении растяжения, было показано, что при деформации упругой системы в ней накапливается энергия, которую мы назвали потенциальной энергией деформации.

Это явление имеет место и при кручении. Если упругий стержень в пределах упругости закрутить на некоторый угол, то после удаления внешних сил он будет раскручиваться и может произвести работу за счёт накопившейся в стержне потенциальной энергии кручения. Пренебрегая необратимыми потерями (нагревание, внутреннее трение и т. п.), мы должны считать, что обнаруживаемая таким образом работа внутренних сил, определяемая количеством потенциальной энергии деформации U, равна работе внешних сил A.

Пусть имеется вал, закрепленный одним концом, к свободному концу которого будем прикладывать пару сил с моментом, постепенно возрастающим от нуля до конечного значения Mк. По мере возрастания величины момента пары сил будет расти и угол закручивания ц, связанный с Mк уравнением:

ц=MкlGJp.

Если откладывать по оси абсцисс углы закручивания (деформацию), а по оси ординат соответствующие значения крутящего момента, то их взаимная зависимость изобразится наклонной прямой ОА (Рис.5.13). Повторяя рассуждения, проведённые для вычисления работы силы Р при растяжении, найдем, что работа пары Mк выразится площадыо треугольиика ОАВ:

A=Mкц2 (5.14)

Наличие множителя 12 в формуле (5.14) объясняется тем, что момент Mк был приложен не сразу всей своей величиной, а прикладывался в порядке постепенного, «статического» роста от нуля до конечного его значения.

Рис. 5.13

Подставляя вместо ц его значение и имея в виду, что U=A, получим выражение для потенциальной энергии при кручении:

U=Mк2l2GJp (5.15)

Потенциальная энергии может быть выражена и через деформацию, если в формуле (11.20) заменить значение крутящего момента выражением из формулы (11.18):

Mк=GJpl·ц.

Тогда

U=GJp2lц2 (5.16)

Из формул (5.15) и (5.16) видим, что потенциальная энергия при кручении, так же как и при растяжении, является функцией второй степени от силы или от деформации.

3.7 Определение предельной грузоподъёмности скручиваемого стержня

В предыдущих параграфах мы определяли необходимые размеры скручиваемого стержня, выполняя условие, чтобы наибольшие касательные напряжения в точках у контура поперечного сечения не превысили допускаемого напряжения [??]. Таким образом, не считаясь с неравномерностью в распределении напряжений по сечению, мы вели расчёт по допускаемым напряжениям.

В этом способе расчёта, так же как и при решении статически неопределимых систем, мы не используем полностью предельной грузоподъемности стержня. В предыдущих главах мы считали опасным то состояние стержня, при котором лишь в контурных точках сечения напряжения достигнут предела текучести материала (стали) при сдвиге фт (Рис.514, а). Величина фт по энергетической теории прочности должна быть равна 0,6ут. Крутящий момент при этом будет равен:

Mт=рr3фт2

а угол закручивания

цт=MтlGJp=рr3фтl2Gрr42=фтlGr

Рис. 5.14

Для дальнейшего увеличения угла закручивания необходимо возрастание крутящего момента, так как материал внутри стержня находится ещё в упругом состоянии. При увеличении деформации рост напряжения у краёв сечения остановится (явление текучести), и при некотором M>Mт распределение напряжений будет соответствовать графику, изображённому на Рис.5.14, б. Внутри незаштрихованной окружности радиуса OB материал будет по-прежнему в упругом состоянии.

Предельным состоянием, соответствующим полному исчерпанию грузоподъёмности стержня, будет то распределение напряжений, когда упругая зона исчезнет, -- по всему сечению напряжения будут равны пределу текучести фт (рис. 5.14, в).

Крутящий момент Mпр в этом случае можно вычислить, составляя сумму моментов всех внутренних сил относительно центра круга. Для этого разобьем площадь нашего сечения концентрическими кругами на бесконечно малые (кольцевые) площадки.

Напряжения, действующие на каждую такую площадку, в предельном состоянии имеют постоянное значение и равны фт (рис.5.14, в). Внутренние усилия, приложенные к элементарной площадке радиуса с, будут равны (Рис.5.15) фтdF, а момент внутреннего усилия фтdFс. Суммируя элементарные моменты внутренних сил по площади кольца, получим:

dMвн=фтс?dF=фтс2рсdс.

Рис. 5.15

Составляя теперь условие равновесия внешних и внутренних моментов, найдём:

?M0=0; Mпр-0r2рфтс2dс=0

Отсюда

Mпр=23рr3фт (5.17)

Допускаемый крутящий момент при коэффициенте запаса k будет равен:

Mк=Mпрk=2р3r3фтk=2р3r3ф (5.18)

Откуда

r?33Mк2рф

в то же время по обычному расчёту мы имеем:

r?32Mкрф

В результате переход к расчёту по допускаемым нагрузкам позволяет уменьшить диаметр вала в отношении

332*2 =0,91.

Таким образом, вследствие неравномерного распределения напряжений по сечению при упругом состоянии стержня, переход к методу расчёта по допускаемым нагрузкам может дать экономию материала.

Надо, однако, помнить, что приведённый расчёт мог бы иметь силу лишь при статической нагрузке, когда опасным состоянием является состояние текучести материала. Скручиваемые же стержни, валы, в подавляющем большинстве случаев работают на переменную нагрузку в условиях, когда проверка прочности должна производиться из расчета на возможность появления трещин усталости. Поэтому применение изложенного способа к валам, по-видимому, в большинстве случаев невозможно. Иначе будет обстоять дело, как увидим дальше, при расчётах балок на изгиб.

Приведённый результат интересен потому, что даёт возможность проверить его на опыте. Опыты показали, что величина напряжения фт, получаемого из формулы (5.17), по предельному моменту, определённому экспериментально, достаточно близка к 0,6 ут, что и следует ожидать на основании энергетической теории прочности.

3.8 Напряжения и деформации в винтовых пружинах с малым шагом

В рессорах вагонов, в клапанах и в других деталях механизмов применяются винтовые пружины, подвергающиеся действию сил, сжимающих или растягивающих пружину. При проектировании таких пружин необходимо уметь вычислять наибольшее напряжение (для проверки прочности) и определять деформацию пружины- её удлинение или осадку. Последнее необходимо, так как на практике регулируют нагрузки, приходящиеся на пружину, давая ей большие или меньшие деформации сжатия или растяжения.