Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

3

Тольятти 2007

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Тольяттинский государственный университет

Инженерно-строительный институт

Кафедра «Водоснабжение и водоотведение»

КУРС ЛЕКЦИЙ

Основы гидравлики

Оглавление

• Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы по направлению подготовки дипломированного специалиста«Гидравлика»
• Лекция 1.Введение в предмет «Гидравлика».Основные свойства жидкостей и газов
• 1.1 Предмет гидравлики
• 1.2 История предмета
• 1.3 Капельные и некапельные жидкости
• 1.4 Силы, действующие в жидкости
• 1.5 Давление и его свойства
• 1.6 Основные физические свойства жидкостей
• 1.7 Вязкость. Идеальная жидкость
• Лекция 2.Основы гидростатики, динамики и кинематики жидкости
• 2.1 Тема 1. Равновесие жидкости
• 2.1.1 Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.Поверхность равного давления
• 2.1.2 Основное уравнение гидростатики
• 2.1.3 Закон Паскаля
• 2.1.4 Абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое давление
• 2.1.5 Сила давления на плоские и криволинейные поверхности
• 2.1.6 Относительный покой жидкости
• 2.1.7 Закон Архимеда
• 2.1.8 Основное уравнение гидростатики для сжимаемой жидкости
• 2.1.9 Изотермическая атмосфера
• 2.1.10 Неизотермическая атмосфера
• 2.2. Тема 2. Основы кинематики и динамики жидкости и газа
• 2.2.1 Основные понятия кинематики жидкости
• 2.2.2 Уравнение неразрывности
• 2.2.3 Виды движения жидкости
• 2.2.4 Интегральная формула количества движения
• 2.2.5 Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера)
• 2.2.6 Общее уравнение энергии в интегральной форме(Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости)
• 2.2.7 Три формы представления уравнения Бернулли для потока реальной жидкости
• 2.2.9 Особенности турбулентного и ламинарного течения жидкости. Число Рейнольдса
• 2.2.10 Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой сжимаемой жидкости
• 2.2.11 Уравнение Бернулли для потока вязкой сжимаемой жидкости
• Лекция 3.Основы моделирования гидромеханических процессов
• 3.1 Основы моделирования
• 3.2 Виды подобия. Масштабы моделирования
• 3.3 Критерии подобия
• 3.4 Конечно-разностная форма уравнения Навье-Стокса
• 3.5 Общая схема применения численных методов и их реализация на ЭВМ
• 3.6 Измерительные приборы, используемые при проведении экспериментальных работ
• Рекомендуемая литература
• гидравлика кинематика жидкость газ
• Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы по направлению подготовки дипломированного специалиста «Строительство»
• Вводные сведения, основные физические свойства жидкостей и газов, основы кинематики, общие законы и управления статики и динамики жидкостей и газов, силы, действующие в жидкостях, абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред, модель идеальной (невязкой) жидкости, общая интегральная форма уравнения количества движения и момента количества движения, подобие гидромеханических процессов, общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной формах, турбулентность и ее основные статистические характеристики, конечно-разностные формы уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса, общая схема применения численных методов и их реализация на ЭВМ, одномерные потоки жидкостей и газов.
• Содержание курса лекций «Гидравлика»

Лекция 1. Введение в предмет «Гидравлика».Основные свойства жидкостей и газов

Основные понятия: предмет гидравлики; гидромеханическое понятие жидкости; капельные и некапельные жидкости; силы, действующие в жидкости; давление и его свойства; основные физические свойства жидкостей и газов; идеальная жидкость.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы:

1. Что является объектом изучения в дисциплине «Гидравлика»?

2. Гидравлика, как научная дисциплина.

3. Жидкость - что это?

4. В чем состоит отличие жидкостей от твердых тел и газов?

5. Что в гидравлике является «сплошной средой»?

6. Какими свойствами обладает изотропная жидкость?

7. Какие дисциплины являются базовыми для изучения законов гидравлики?

8. Почему изучение законов движения жидкости считается более сложным, чем изучение законов движения твердых тел?

9. Почему в гидравлике придается большое значение экспериментальным исследованиям?

10. В каких дисциплинах используются знания, полученные в гидравлике?

11. Какой вклад в понимание законов движения жидкости внесли следующие ученые: Архимед, Леонардо да Винчи, Ньютон, Эйлер, Бернулли, Дарси, Шези, Вейсбах, Прандтль, Жуковский?

12. Чем капельные жидкости отличаются от некапельных?

13. При каких условиях капельные жидкости становятся некапельными?

14. Какие силы называются массовыми, а какие поверхностными? Почему?

15. От чего зависит величина силы тяжести, силы давления, силы инерции, силы трения?

16. Что называют напряжениями и почему они возникают в жидкости?

17. Какие бывают напряжения в жидкости, в чем их отличие?

18. Как можно измерить давление в точке, находящейся в жидкости?

19. Какими свойствами обладает давление в жидкости? Как это доказать?

20. Как изменение давления dp записать в дифференциальной форме?

21. Как изменение давления dp записать в векторной форме?

22. Как записать вектор перемещения от одной точки к другой?

23. Что называют вектором градиента давления?

24. Какие свойства имеет вектор градиента давления? Как это доказать?

25. Какие существуют единицы давления? Каково их соотношение?

26. Перечислите основные физические свойства жидкостей.

27. Что называют плотностью? Какова связь между плотностью жидкости и удельным весом?

28. Что называют коэффициентом объемного сжатия жидкости, модулем упругости?

29. От чего зависит коэффициент температурного расширения?

30. Как определить плотность жидкости, если ее температура изменилась?

31. Что называется вязкостью жидкости?

32. Чем вязкие жидкости отличаются от невязких?

33. Как вязкость влияет на величину силы трения в жидкости?

34. В чем суть гипотезы Ньютона?

35. Что называют градиентом скорости?

36. Как влияет изменение температуры на вязкость жидкостей и газов? Почему?

37. Что показывает эпюра скорости?

38. Какая существует связь между динамической и кинематической вязкостью?

39. Какие существуют единицы измерения вязкости?

40. Как можно определить вязкость жидкости?

41. Что называют текучестью жидкости?

42. Что понимают под идеальной жидкостью?

43. Как определить градусы Энглера?

44. Почему возникает поверхностное натяжение в жидкости?

45. От чего зависит поверхностное натяжение? Почему?

46. Как определить силу поверхностного натяжения?

47. Что показывает краевой угол? От чего зависит его величина?

48. Когда необходимо учитывать величину поверхностного натяжения? Почему?

49. Что влияет на пенообразование в жидкости?

50. От чего зависит способность жидкости растворять газы?

51. Как определить объем газа, который может раствориться в жидкости или выделиться из нее при изменении давления?

52. Что называют давлением насыщенного пара?

53. Что влияет на изменение агрегатного состояния жидкости?

54. Что называют кипением жидкости?

55. Для чего необходимо знать давление насыщенного пара?

56. Что понимают под идеальным газом?

57. Как зависит вязкость газов от температуры и давления? Почему?

58. В чем суть уравнения состояния идеального газа?

Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоретического материала:

Задача 1-1,6.

Резервуар объемом V₁ = ___м³ наполнен водой. При увеличении давления на свободной поверхности на величину р = 2·10⁶ Па, объем воды уменьшился. Определить объем при увеличении давления.

Задача 1-2,7.

Сколько килограмм мазута необходимо приобрести, чтобы заполнить резервуар объемом V₁ =___м³. Максимальная температура хранения мазута t₁ = 50°С.

Задача 1-3,8.

Определить наименьший объем расширительного резервуара системы водяного отопления, чтобы он полностью опорожнялся. Допустимое колебание температуры воды во время перерывов в отоплении t° = 25°С. Объем воды V₁ =___м³, коэффициент температурного расширения _t = 0,0006 град^-1.

Задача 1-4,9.

Давление воды в закрытом сосуде p₁ = 5 атм. При повышении температуры давление повысилось на р = 0,04 МПа. Изменением плотности и деформацией стенок пренебречь. Определить изменение температуры t, если коэффициент температурного расширения _t = 0,2·10-³ °С.

Задача 1-5,10.

При испытании резервуара, давление на начало испытаний было p₁ = 5500000 Па, Через некоторое время давление уменьшилось на величину р = 35000 Па. Определить объем воздуха, вышедшего из резервуара через не плотности, если объем резервуара V₁ =___м³. Температура воздуха не изменилась за время испытаний, t = 20°С, а коэффициент объемного сжатия _w = 0,49·10 -⁹ Па-¹.

1.1 Предмет гидравлики

Гидравлика - наука о движении и покое воды и других жидкостей. Жидкостью в гидравлике представляют как сплошную среду, легко изменяющую форму под действием внешних сил. Сплошная среда - это масса, физические и механические параметры которой являются функциями координат в выбранной системе отсчета. Молекулярное строение жидкостей заменяется сплошной средой той же массы.

В данном курсе гидравлики мы считаем, что жидкость имеет одинаковые свойства по всем направлениям, то есть является изотропной. Законы движения и покоя жидкостей основываются на законах механики сплошной среды и физики.

Вместе с тем, можно сказать, что явления, изучаемые в гидравлике сложнее явлений, которые являются объектом исследования в механике твердого тела, т.к. жидкости легко изменяют свою форму под действием небольших внешних сил, сжимаемые жидкости (газы) изменяют и свой объем. Эти свойства связаны с молекулярной структурой строения жидкости. Из-за того, что движение жидкости очень часто не удается точно математически описать, в гидравлике приходиться использовать упрощенные математические модели, которые затем уточняются и дополняются в ходе экспериментального исследования.

Знание законов гидравлики необходимо для решения практических задач теплогазоснабжения: расчета систем водоснабжения, тепловых сетей, теплообменных аппаратов, насосов и т.д.

1.2 История предмета

250 лет до н.э. Архимед установил принципы гидростатики.

XV в. - Леонардо да Винчи положил начало экспериментальной гидравлике (движение воды в каналах, через отверстия).

XVII в. - Торичелли предложил формулу для определения скорости жидкости, вытекающей из отверстия.

Ньютон высказал основные положения о внутреннем трении в движущихся жидкостях и газах.

XVIII в. - Даниил Бернулли и Леонард Эйлер разработали общие уравнения движения идеальной жидкости (газа).

XIX в. - Шези, Дарси, Базен, Вейсбах начали опытное изучение движения воды в различных частных случаях и получили множество эмпирических формул. Полученные выводы расходились с теоретическими выводами, полученными ранее.

В конце XIX в. - Петров исследовал трение при ламинарном режиме.

Рейнольдс изучил переход от ламинарного режима к турбулентному, начал изучать гидравлические сопротивления.

XX в. - Жуковский и Прандтль положили начало изучению турбулентных потоков, неустановившегося движения жидкости.

В связи с развитием авиации, космонавтики, теплоэнергетики, машиностроения, автомобилестроения происходит бурное развитие науки как экспериментальное (лазеры, датчики), так и теоретическое (использование современного математического аппарата, ЭВМ).

1.3 Капельные и некапельные жидкости

В гидравлике, в основном, считается, что жидкость практически не изменяет свой объем под действием внешних сил, т.е. является несжимаемой. К несжимаемым жидкостям относятся все капельные жидкости: вода, нефть, мазут. В отличие от капельных жидкостей, газы (воздух, пропан, бутан и т.д.) легко изменяют объем под действием внешних сил, сжимаются, поэтому их называют сжимаемыми. Любая капельная жидкость может переходить в газообразное состояние при определенной температуре и давлении. Соответственно, газы при понижении температуры и повышении давления могут переходить в жидкое состояние.

1.4 Силы, действующие в жидкости

На произвольно выделенный объем жидкости действуют два вида сил:

Поверхностные:

Р - сила давления

Т - сила трения

Массовые:

G - сила тяжести

I - сила инерции

Массовые силы действуют по всему выделенному объему и пропорциональны его массе . Поверхностные силы действуют по поверхности и пропорциональны площади поверхности.

Рассмотрим подробно поверхностные силы. Под влиянием внешних сил, действующих на выделенный объем возникают соответствующие внутренние силы. Проведем внутри объема поверхность S, разделяющую его на две части I и II (см. рис. 1.1). Отбросим часть II и для сохранения равновесия введем силы такие же, как и силы с которыми часть II действовала на часть I. На элементарную площадку Дs разделяющей поверхности действует сила Дf. Площадь Дs может быть стянута в точку М с координатами x, y, z. В этом случае площадь поверхности Дs, так и сила Дf стремится к нулю. Отношение силы df к площади поверхности ds стремится к пределу , который называют напряжением.



Рис. 1.1. Напряжение в жидкости

Силу df, действующую на площадь ds можно разложить на две составляющие: тангенциальную и нормальную. Соответственно, напряжение в жидкости может быть тангенциальным (ф) и нормальным (p). Тангенциальное напряжение, действующее вдоль поверхности ds, называют напряжением трения.

	,	(1.1)

где - сила трения площади ds.

Нормальное напряжение, действующее по нормали к поверхности ds, называют напряжением давления или давлением

	,	(1.2)

где - сила давления площади ds.

Для площади S можно записать

	,	(1.3)

где Т - сила трения площади S.

	,	(1.4)

где Р - сила давления площади S.

В покоящейся жидкости имеется только нормальное напряжение, тангенциальное напряжение отсутствует.

Сила трения действует вдоль поверхности:

	.	(1.5)

Сила давления направлена по нормали к поверхности:

	.	(1.6)

1.5 Давление и его свойства

В любой точке жидкости имеется давление и его можно измерить, опустив в жидкость стеклянную трубочку с запаянным концом из которой выкачен воздух. Рассмотрим точку М в жидкости, проведем через эту точку поверхность ds (рис. 1.2). Результирующая сила воздействия всех молекул, находящихся в постоянном движении, на эту поверхность перпендикулярна ds. Можно записать в векторной форме , где - единичный вектор, направленный по нормали к поверхности ds.

Рис. 1.2. Давление в точке

зависит от величины поверхности ds, но из формулы видно, что давление в точке не зависит от ds.

Свойства давления:

1. Давление в точке в любом напрвлении одинаково и не зависит от ориентации ds. Через точку М можно провести бесконечное множество поверхностей и сила будет зависеть только от величины ds.

2. Гидростатическое давление является непрерывной функцией координат пространства

	.	(1.7)

Понятие о градиенте давления. Рассмотрим точку М, имеющую координаты (x, y, z) и находящуюся в жидкости (рис. 1.3). Давление в точке М -. Это давление зависит только от координат точки М. Можно записать .

На небольшом расстоянии от точки М находится точка М₁ с координатами (x+dx, y+dy, z+dz).

Давление в М₁ отличается от давления р_М на некоторую величину dp:

.

Давление зависит от координат точки М₁:

.

Тогда .

Рис. 1.3. Градиент давления

Т.к. р является функцией координат x, y, z, то величину dp можно записать в дифференциальной форме

Вектор перемещения от точки М к точке М₁ записывается в форме

где - единичные векторы, направленные вдоль осей координат.

Определение: В физике для обозначения изменения некоторой скалярной величины G (температуры, давления) от одной точки к другой используется понятие вектора

	.	(1.8)

Значит, вектор градиента давления величин

.

Можно записать в виде

	.	(1.9)

Произведение двух векторов

		(1.10)

или

.

Вывод: изменение давления dp является скалярным произведением двух векторов grad p и ММ₁.

Свойства вектора

1. Если точки М и М₁ принадлежат поверхности в которой все точки испытывают одинаковые давление, то можно записать

,

тогда dp = 0.

Вывод: расположен по нормали к поверхности равного давления, проходящей через точку М.

2. Предположим, что М₁ расположена по нормали к поверхности равного давления, проходящей через точку М, тогда dp > 0. Значит скалярное произведение MМ₁ имеет положительное значение и имеет то же направление, что и ММ₁.

Вывод: направлен в сторону увеличения давления.

3. .

Вывод: величина определяется отношением разности давлений в двух точках к расстоянию между этими точками.

Единицы давления.

При измерении атмосферного давления используют единицу давления - бар

· 1бар = 10⁵ Па

При измерении при помощи пьезометрических трубок используют единицы длины

· для воды 1 мм.в.ст = 9,8 Па

· тогда 1бар = 9,8 м.в.ст

· для ртути 1 мм.рт.ст = 133,3Па

Можно подсчитать, что: мм.рт.ст.

Старая система измерения. Давление, создаваемое телом массой 1 кг на 1 см²: .

1.6 Основные физические свойства жидкостей

Плотность - масса жидкости m, заключенная в единице объема V

	.	(1.11)

Плотность меняется при изменении температуры и давления.

Удельный вес - вес жидкости G в единице объема V

	.	(1.12)

Плотность и удельный вес связаны между собой соотношением

	.	(1.13)

Сжимаемость - свойство жидкостей изменять объем при изменении давления. Сжимаемость капельных жидкостей характеризуется коэффициентом объемного сжатия, который представляет собой относительное изменение объема жидкости на единицу изменения давления

	,	(1.14)

где V - первоначальный объем жидкости;

Знак «минус» в формуле обусловлен тем, что положительному приращению давления р соответствует отрицательное приращение (уменьшение) объема.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия называется модулем упругости

	.	(1.15)

В качестве примера, приведем значения модуля упругости стали и воды: . Таким образом, мы видим, что упругость воды всего только в 100 раз меньше упругости стали, значит, воду можно рассматривать как несжимаемое вещество.

Коэффициент объемного сжатия и модуль упругости капельных жидкостей практически не изменяется при изменении давления, и на практике очень часто их считают неизменными. Част при расчетах коэффициент объемного сжатия воды принимают постоянным и равным 0,49Ч10-9 Па-¹.

Сжимаемость характеризуется также отношением изменения давления к изменению плотности, равным квадрату скорости распространения звука в среде:

		(1.16)

Очевидно, для малосжимаемой среды при больших изменениях давления изменение плотности незначительно и скорость звука получается большой, и наоборот, при большой сжимаемости скорость звука оказывается малой (для воздуха - 330 м/с).

Для оценки сжимаемости среды при ее движении важно не абсолютное значение скорости звука а, а относительное, которое называется числом Маха:

Ма = u/a.

Если скорость движения воздуха мала по сравнению со скоростью движения звука в ней, число Маха мало по сравнению с единицей и движущуюся среду можно рассматривать как несжимаемую жидкость. Скорость воздуха в воздуховодах, газа в газопроводах низкого давления и газоходах котельных установок не превышает 12 м/с. Следовательно, в практике теплоснабжения и вентиляции газ(воздух) можно рассматривать как несжимаемую жидкость. При движении газов со скоростью более 70 м/с влияние сжимаемости следует учитывать.

В отличие от капельных жидкостей газы характеризуются значительной сжимаемостью и высокими значениями коэффициента температурного расширения. Зависимость плотности газов от давления и температуры устанавливается уравнением состояния. Для совершенных газов (нет взаимодействия между молекулами) справедливо уравнение Клапейрона, позволяющее определить плотность газа при известных давлении и температуре

		(1.17)

где р - абсолютное давление; R - удельная газовая постоянная (для воздуха R= 283 Дж/кг·К);Т - абсолютная температура.

В технических расчетах плотность газа, приводят к нормальным физическим условиям(t = 0єC; p = 101325 Па) или стандартным условиям (t = 20єC; p = 101325 Па)

Можно подсчитать, что в стандартных условиях плотность воздуха с = 1,21 кг/м³.

При других условиях плотность воздуха можно определить по формуле

	,	(1.18)

где с₀, Т₀ и р₀ - плотность, температура и давление при известных стандартных условиях соответственно.

Сжимаемость газа зависит от характера процесса изменения состояния. Для изотермического процесса сжимаемость воздуха составляет примерно 9,8Ч10⁴ Па, что превышает в 20000 раз сжимаемость воды.

Температурное расширение - увеличение объема капельных жидкостей, при увеличении температуры, характеризуется коэффициентом температурного расширения , выражающим относительное увеличение объема жидкости при увеличении температуры на 1 град.

	,	(1.19)

где - изменение объема при повышении температуры на величину.

Если считать, что плотность не меняется при изменении давления, а только от температуры, то для расчета изменения плотности капельных жидкостей с изменением температуры можно использовать формулу

	,	(1.20)

где - плотность при известной температуре .

Поверхностное натяжение. Капиллярные явления.

Молекулы жидкости, находящиеся у поверхности контакта с другой жидкостью, газом или твердым телом имеют другую энергию, чем молекулы, находящиеся внутри объема жидкости. Эта энергия пропорциональна площади поверхности раздела S и характеризуется величиной коэффициента поверхностного натяжения у, который зависит от материала соприкасающихся сред, чистоты поверхности и температуры.

На поверхности раздела трех фаз (рис. 1.4): твердой стенки, жидкости и газа образуется краевой угол и. Величина угла зависит только от природы соприкасающихся сред, и не зависит от формы сосуда и силы тяжести. Чем хуже смачивающая способность, тем больше краевой угол. От явления смачивания зависит поведение жидкости в тонких (капиллярных) трубках, погруженных в жидкость. При плохом смачивании жидкость в трубке поднимается над уровнем свободной поверхности, при хорошем - опускается.

Рис. 1.4. Капиллярные явления

Влияние сил поверхностного натяжения приходится учитывать при работе с жидкостными приборами для измерения давления, при истечении жидкости из малых отверстий, при фильтрации, в других случаях, когда силы, действующие в жидкости меньше сил капиллярного натяжения.

Пенообразование. Для пенообразования необходимо, чтобы в жидкости находились смачивающие вещества, которые уменьшают поверхностное натяжение. Смачивающие вещества состоит из двух групп: гидрофильной и гидрофобной. Они создают пену, которая представляет множество пузырьков воздуха. Пенообразующие добавки используются при изготовлении ячеистого бетона.

Растворимость газов в жидкостях - способность жидкостей растворять в своем объеме газы. Количество растворенного газа в единице объема жидкости различно для разных жидкостей и изменяется с изменением давления. Относительный объем газа, растворимого в жидкости до ее полного насыщения прямо пропорционален давлению:



	,	(1.21)

гдеV_г - объем растворенного газа при нормальных условиях; V_ж - объем жидкости; к - коэффициент растворимости;и - начальное и конечное давление.

При понижении давления в жидкости происходит выделение растворенного в ней газа. Выделение происходит интенсивнее, чем поглощение. Растворимость необходимо учитывать при расчете работы машин и систем высокого давления, при расчете кавитации.

Давление насыщенного пара. При определенных условиях капельные жидкости превращаются в пар и наоборот. Изменение агрегатного состояния зависит от давления паров жидкости, насыщающих пространство над ней при данной температуре. Интенсивное выделение пара по всему объему жидкости называется кипением. Температура кипения зависит от давления на поверхности жидкости.

Таким образом, интенсивное выделение пара (кипение) может происходить при низких температурах, если давление на поверхности пониженное. Это необходимо учитывать при анализе работы водопроводных систем на участках пониженного давления.

Таблица 1.1

Температура кипения воды, єC	10	40	80	100
Давление на поверхности, Па	1175	7350	19800	101325

1.7 Вязкость. Идеальная жидкость

Вязкость - свойство жидкостей оказывать сопротивление сдвигу соседних слоев при движении жидкости. Все реальные жидкости обладают вязкостью, которая проявляется в виде внутреннего трения при относительном перемещении смежных частей жидкости. Свойство, обратное вязкости - текучесть. Текучесть характеризует степень подвижности частиц жидкости. На рис. 1.5 представлена эпюра скорости вязкой жидкости, движущейся в цилиндрической трубе. Вследствие тормозящего влияния стенки слои жидкости будут двигаться с разными скоростями, значения которых возрастают по мере отдаления от стенки. Рассмотрим два слоя жидкости, движущиеся на расстоянии Дy друг от друга. Слой А движется со скоростью u, а слой B о скоростью . Вследствие разности скоростей слой В сдвигается относительно слоя А на величину , которая является абсолютным сдвигом слоя А по слою В, а - относительный сдвиг или градиент скорости. Если расстояние между слоями будет мало, то градиент скорости можно записать как . Можно также сказать, что градиент скорости показывает интенсивность изменения скорости в данном сечении. В результате сдвига соседних слоев появляется касательное напряжение трения.

Рис.1.5. Распределение скоростей в сечении трубы при ламинарном движении

Согласно гипотезе Ньютона, касательное напряжение, возникающее при движении жидкости пропорционально скорости деформации объема жидкости

		(1.22)

где м - коэффициент пропорциональности или динамический коэффициент вязкости.

Единица измерения динамического коэффициента вязкости - Пуаз (П):

1П = 0,1 Па·с = 0,0102 .

Вязкость капельных жидкостей с увеличением температуры уменьшается, а газов увеличивается. Это связано с различным молекулярным строением жидкостей и газов. Для определения вязкости при различных температурах используются эмпирические формулы, значения вязкости для различных жидкостей приводятся в справочниках. Например, вязкость воды при температуре 20 єC равна 0,01 П.

Наряду с понятием динамической вязкости в гидравлике применяется кинематическая вязкость н, которая представляет собой отношение динамической вязкости жидкости к ее плотности

	.	(1.23)

Единицы измерения - Стокс (Ст): 1 Ст = 1.

Для определения кинематической вязкости при различных температурах также используются эмпирические формулы, и ее значения для различных жидкостей приводятся в справочниках. Кинематическая вязкость воды при температуре 20єC равняется 0,01.

Вязкость капельных жидкостей мало зависит от давления в диапазоне до 200 атм. Кинематическая вязкость воздуха (газов) зависит и от давления, и от температуры. Для нормальных условий (t = 20 єC, p = 100000 Па) н_{воздуха} = 0,157 , т.е. почти в 15 раз больше воды, что связано с меньшей плотностью воздуха.

Измерение вязкости проводится при помощи специальных приборов, называемых вискозиметрами. Измерение вязкости вискозиметром Энглера студенты выполняют во время лабораторных работ.

Идеальная жидкость - жидкость, в которой отсутствует вязкость. Представляет собой модель реальной жидкости, и это понятие используется для облегчения решения некоторых задач гидравлики. Выводы, полученные исходя из свойств невязкой жидкости, приходиться корректировать, вводя поправочные коэффициенты, получаемые в результате экспериментальных исследований.

Практическое применение теоретических знаний

Пример 1-1

Давление в баллоне с кислородом для газовой сварки, расположенного на улице при температуре T₁ = - 10 °С, равно p_l = 10⁷ Па. Каково будет давление при внесении его в помещение при температуре T₂ = - 20 °С?

Ответ: Давление в баллоне будет равно Па.

Пример 1-2

Насколько увеличится давление в системе водяного отопления, если температура теплоносителя увеличилась с 60 до 80 °С. Коэффициент температурного расширения, при давлении 5,9·105 Па и температуре 70 °С, можно принять равным 0,00056 (1/град).

Ответ: Давление в системе водяного отопления увеличится на 225 атмосфер.

Лекция 2.Основы гидростатики, динамики икинематики жидкости

2.1 Тема 1. Равновесие жидкости

Основные понятия: дифференциальное уравнение равновесия жидкости; три формы записи основного уравнения гидростатики; поверхность равного давления; закон Паскаля; абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое давление; сила давления на плоские и криволинейные поверхности; относительный покой жидкости; закон Архимеда; относительный покой жидкости.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы:

1. Что обозначает выражение?

2. Какие выводы можно сделать, если ?

3. Как можно получить основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме?

4. В каком случае уравнение Бернулли превращается в основное уравнение гидростатики?

5. Запишите основное уравнение гидростатики в трех его формах. Объясните значение каждого входящего в него слагаемого.

6. Какая плоскость называется плоскостью равного давления?

7. В чем разница между напором и давлением?

8. Что называют удельной энергией положения?

9. Объясните закон Паскаля.

10. Какие механизмы действуют на основе закона Паскаля?

11. Что называют абсолютным давлением, манометрическим давлением, вакуумом?

12. Какое давление будет в напорном потоке, если пьезометрическая линия проходит ниже его геометрической оси?

13. Как определить давление в любой точке жидкости, находящейся в закрытом резервуаре? От чего оно зависит?

14. Чему равна результирующая сила давления на стенки резервуара произвольной формы? Как это доказать?

15. Как определить силу давления жидкости на плоскую горизонтальную поверхность?

16. В чем заключается гидростатический парадокс?

17. Как определить силу давления жидкости на плоскую вертикальную поверхность?

18. Как определить точку приложения результирующей силы давления на плоскую вертикальную поверхность?

19. Как определяется величина силы давления на криволинейные поверхности?

20. Как рассчитать допустимое давление в трубе, чтобы не допустить ее разрыва?

21. Сформулируйте закон Архимеда.

22. Какова природа действия Архимедовой силы?

23. Каковы условия плавания тел, их равновесия?

24. Объясните принцип действия ареометра (прибора для измерения плотности жидкости).

25. Что такое относительный покой жидкости?

26. Какие силы действуют при относительном покое жидкости? Как их записать?

27. Как определить положение свободной поверхности жидкости при ее вращении в цилиндрическом сосуде?

28. Как распределяется давление в любой фиксированной круглоцилиндрической поверхности при относительном покое жидкости?

Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоретического материала:

Задача 2.1-1

В сообщающихся сосудах находятся вода и масло. Определить плотность масла, если высота столба воды Н = 150 мм, а разность уровней жидкости в сосудах d = ___мм.

Рис. 2.1. К задаче 2.1-1

Задача 2.1-2

Для измерения высоты налива мазута установлена вертикальная труба. В трубу с малой скоростью подают воздух. Определить высоту Н налива мазута удельным весом = 8700 Н/м³, если давление воздуха, поступающего в резервуар, эквивалентно высоте ртути в ртутном манометре h_рт = d_н мм (_рт = 13600 кг/м³). Трением при движении воздуха пренебречь.

Рис. 2.2. К задаче 2.1-2

Задача 2.1-3

Для повышения гидростатического давления применяется мультипликатор давления, давление на входе которого = 20 кПа, а диаметры поршней d = d_н мм и D = 400 мм. Определить давление жидкости на выходе из мультипликатора.

Рис. 2.3. К задаче 2.1-3

Задача 2.1-4

Два сообщающихся цилиндра наполнены жидкостью. В меньший цилиндр диаметром d = d_н мм заключен поршень весом G = 100 Н. На какой высоте H установится уровень жидкости в большом цилиндре, диаметром D = 800 мм, когда вся система придет в равновесие? Удельный вес жидкости г = 9,81 кН/м³. Трением пренебречь.

Рис. 2.4. К задаче 2.1-4

Задача 2.1-5

Диаметры поршней дифференциального предохранительного клапана равны D = 2d_н мм и d=d_н мм. Пренебрегая весом поршней и силой трения, определить давление, при котором клапан откроется, если жесткость пружины с = 50 Н/мм, а ее предварительный натяг: x₀ = 12 мм.

Рис. 2.5. К задаче 2.1-5

Примечание. Сила пружины F = с x₀

Задача 2.1-6

Плотность жидкости определяется погружением в нее поплавка. Вес поплавка в воздухе равняется 0,72 кН. Вес поплавка, погруженного в испытуемую жидкость G₁ = 0,54 кН, вес поплавка, погруженного в воду G₂ = 0,56 кН. Определить плотность жидкости.

Задача 2.1-7

Бак водонапорной башни сварен из стальных полос высотой. Определить необходимую толщину стенки нижней полосы, если допускаемое напряжение на разрыв [] = 1Ч10⁸ Па, диаметр бака D = 100d_н м, глубина воды в баке Н = 10 м.

Задача 2.1-8

Круглое отверстие в дне резервуара с жидкостью закрыто пластмассовым шариком, вес которого G = 2,45 Н и радиус r = 0,1 м. Диаметр отверстия d = d_н мм. Определить давление р, действующее на шар снизу, при котором отверстие откроется, если глубина воды Н = 2 м.

Рис. 2.6. К задаче 2.1-8

Задача 2.1-9

Плотность жидкости измеряется при помощи ареометра. Размеры аэрометра: d = d_н мм, D = 1,5d_н мм, Н = 100 мм, h = 50 мм, масса m = 0,054 кг. Определить плотность жидкости.

Рис. 2.7. К задаче 2.1-9

Задача 2.1-10

Определить абсолютное давление на поверхности жидкости в сосуде и высоту h, если атмосферное давление равняется 740 мм.рт.ст. Поддерживающая сила F = 10 H, вес сосуда G = 2 Н, его диаметр d = d_н мм. Толщиной стенки сосуда пренебречь.

Рис. 2.8. К задаче 2.1-10

2.1.1 Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.Поверхность равного давления

Предположим, что в точке М находится объем жидкости dV (см. рис. 2.9). На него воздействуют силы давления соседних объемов. Определим результирующую силу давления на объем dV. dV расположен параллельно осям координат, da, db, dc - его стороны. В точке М давление обозначим как p. В точках и , принадлежащих сторонам параллельным плоскости x0y давление будет соответственно и . Если рассматривать одну из сторон параллелепипеда, то результирующая сила давления на эту сторону действует по нормали к ней и ориентирована внутрь объема dV.

Рис. 2.9. Объем жидкости, находящийся в равновесии

Для результирующей силы сторон объема dV, параллельных плоскости x0y можно записать

или ,

параллельна оси 0z.

Разность можно записать в виде , но в соответствии со свойством градиента давления можно написать

, ,

откуда .

Так как и , то

.

Таким образом, результирующая сила , но dcdadb = dV, oткуда

Аналогичные результаты мы получим для сил и .

Результирующая всех сил, действующих на объем dV будет соответственно

		(2.1)

Выводы:

1. Результирующая сила направлена в противоположную сторону, чем

2. перпендикулярна плоскости, проходящей через точку М, на которой давления одинаковы и ориентирована в сторону уменьшения давления.

В жидкости, находящейся в покое, действуют:

- сила тяжести

,

направленная вертикально вниз;

- равнодействующая сила давления

,

= 0



	или .	(2.2)

Выводы:

1. Вектор градиента давления направлен вертикально вниз, как и вектор .

2. В жидкости, находящейся в равновесии давление увеличивается сверху вниз.

3. В покоящейся жидкости плоскости равного давления горизонтальны.

4. В покоящейся жидкости давление в точке зависит только от ординаты z.

Т.к. , то с учетом полученного уравнения, можно записать . Т.к. и , то

	.	(2.3)

Нами получено основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме.

2.1.2 Основное уравнение гидростатики

В случае несжимаемой жидкости плотность жидкости не зависит от давления, а если принять температуру постоянной, то можно записать

с = const.

Для высот в несколько метров ускорение силы тяжести можно считать неизменным. Таким образом, можно подсчитать разность давления между точками и . Проинтегрировав предыдущее выражение можно получить разность давлений между двумя точками:

,

	или .	(2.4)

Нами получено основное уравнение гидростатики в поле силы тяжести.

Если принять , то .

Выводы

1. В покоящейся жидкости давление увеличивается с увеличением глубины.

2. В покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость представляет собой поверхность, на которой в любой точке давление будет неизменным. Такая поверхность называется поверхностью равного давления.

Три формы записи основного уравнения гидростатики.

Нами было получено основное уравнение гидростатики в форме давлений, т.к. каждый член уравнения представляет собой давление:

и - статическое давление в точках 1 и 2;

и - давление, создаваемое силой тяжести.

Если разделим основное уравнение гидростатики в форме давлений на сg, то получим основное уравнение гидростатики в форме напоров (см. рис. 2.10)

	,	(2.5)

где и - пьезометрические напоры; и - геометрические напоры.

Рис. 2.10. Геометрический и пьезометрический напоры

Если первое уравнение разделить на с, то получим основное уравнение гидростатики в форме удельной энергии

	,	(2.6)

где и - удельная энергия давления; и - удельная энергия положения.

2.1.3 Закон Паскаля

Перепишем основное уравнение гидростатики в форме давлений в следующем виде

	,	(2.7)

где - давление на свободной поверхности; - расстояние от свободной поверхности до плоскости сравнения.

Можно записать это уравнение в другом виде

	, или , или ,	(2.8)

где h - глубина, на которой находится точка 1.

Из этого уравнения следует, что изменение давления на свободной поверхности на величину приведет к увеличению давления в точке на ту же величину. Этот вывод и есть закон Паскаля.

Закон Паскаля используется в гидропрессах и гидроусилителях. Схематично гидропресс представлен на рисунке 2.11. При воздействии на малый поршень площадью с силой F создается давление. Согласно закона Паскаля это давление передается во все точки жидкости и поршень площадью S создает усилие

.

Рис. 2.11. Схема гидропресса

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

1. Сила P будет больше силы F во столько же раз, во сколько площадь S больше площади s.

2. В отличие от твердых тел жидкость передает не силу, а давление.

2.1.4 Абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое давление

Давление можно измерить двумя способами:

1) если принять за начало отсчета атмосферное давление;

2) если принять за начало отсчета абсолютный вакуум, когда давление в объеме отсутствует.

В первом случае давление называется избыточным или манометрическим, во втором - абсолютным.

Избыточное давление в точке 1 (см. рис. 2.10) , где h - глубина, на которой находится точка 1.

Абсолютное давление для этой точки будет, но т.к. давление на свободной поверхности в данном случае равняется атмосферному, то . Это давление будет соответствовать пьезометрическому напору . Манометрическое давление является разностью между абсолютным и атмосферным давлением (см. рис. 2.12). В общем случае абсолютное давление может быть больше или меньше атмосферного, если , то разность между атмосферным давлением и абсолютным называется вакуумом

		(2.9)

Рис. 2.12. Шкалы абсолютного, манометрического и вакуумметрического давлений

2.1.5 Сила давления на плоские и криволинейные поверхности

1. Сила давления на отдельный элемент поверхности

Точка М (см. рис. 2.13) принадлежит площадке ds, являющейся частью некоторой поверхности. Давление на площадку ds - . Сила давления на площадку ds будет равна

	,	(2.10)

где - единичный вектор, ориентированный по нормали к площадке ds.

Предположим, что в резервуаре находится жидкость и газ (см. рис. 2.13).

Рис. 2.13. Сила давления на отдельный элемент

Давление газа -. Точка М находится на стенке резервуара, на глубине h. Давление в точке

.

Сила давления на элемент стенки ds

		(2.11)

2. Результирующая сила давления на стенку.

Результирующая сила давления. Если резервуар имеет произвольную форму (см. рис. 2.14), то подсчитать результирующую силу довольно сложно, т.к. единичные векторы каждого элемента поверхности направлены в разные стороны. Для определения результирующей силы прибегнем к следующим рассуждениям. Элемент стенки резервуара ds будет находиться в неподвижном состоянии, если сила давления жидкости , будет равна силе реакции материала , т.е. += 0.

Рис. 2.14. Результирующая сила давления на стенку поверхности

Весь резервуар испытывает воздействие двух результирующих сил:

1. Равнодействующей сил давления

;

2. Реакции материала стенки резервуара

Исходя из предыдущего уравнения, можно записать

или .

Сама жидкость в резервуаре находится в равновесии под воздействием двух сил:

· силы реакции материала стенки R;

· силы тяжести, направленной вертикально вниз G

.

Cравнивая это уравнение с уравнением , можно сделать вывод, что

	.	(2.12)

3. Сила давления жидкости на дно резервуара

В связи с тем, что в резервуаре произвольной формы очень трудно подсчитать результирующую силу на дно резервуара из-за разнонаправленности векторов сил элементарных площадок, ограничимся только случаем, когда дно резервуара плоское и горизонтальное. На рисунке 2.15 изображен открытый резервуар. Давление на поверхности жидкости , плотность - с, глубина наполнения жидкости - h.

Рис. 2.15. Сила давления на горизонтальное дно резервуаров

Так как дно резервуара плоское и горизонтальное, то каждый элемент поверхности дна будет испытывать давление

,

и на него воздействует элементарная сила давления со стороны жидкости

и сила давления со стороны наружного воздуха

.

Все элементарные силы и параллельны между собой.

Равнодействующая сила давления воды

.

Так как p = const .

Аналогично равнодействующая сила давления воздуха

Эти две силы вертикальны и действуют в разных направлениях.

Результирующая сила давления на дно резервуара

	, или , или .	(2.13)

Сила Р - вертикальная, направлена вниз и приложена по центру дна резервуара (из соображения симметрии).

Гидростатический парадокс. Независимо от формы резервуара сила давления на дно зависит только от площади S, глубины заполнения h и плотности с и не зависит от количества жидкости, находящейся в резервуаре (см. рис. 2.16).

Рис. 2.16. Гидростатический парадокс

Опыт Паскаля. Резервуар рассчитан на определенное давление жидкости. В него добавляют небольшое количество воды. Ничего не происходит. Вставляют тонкую трубочку и добавляют гораздо меньшее количество воды - резервуар разрушается.

4. Сила давления на вертикальную прямоугольную стенку.

Пусть прямоугольная стенка длиной l и высотой h сдерживает напор воды (жидкости) плотностью с (см. рис. 2.17).

Рис. 2.17. Сила давления на вертикальную стенку

Рассмотрим элемент стенки, находящейся на глубине z длиной l и шириной dz. Элемент испытывает давление

.

df направлена вертикально к поверхности и приложена в центре элемента на оси О (из соображения симметрии).

Давление на глубине z:

Площадь ds = ldz. Тогда .

Сила давления на стенку равняется сумме сил, действующие на элементарные площадки Все силы горизонтальные, действуют в одном направлении и приложены на одной вертикальной оси О. Сила также будет горизонтальна, направлена от жидкости, точка приложения находится на оси О. Можно посчитать силу давления



	или .	(2.14)

Т.к. lh = S, то

	.	(2.15)

Определим точку приложения силы Р

Рис. 2.18. Определение точки приложения силы Р

Стенка испытывает воздействие всех сил df (см. рис. 2.18). Точка приложения С должна быть расположена таким образом, чтобы воздействие силы Р в этой точке равнялось воздействию всех сил df на площадку ds Т.е. и , где - момент силы относительно точки О; - сумма моментов сил относительно точки О.

Для момент силы = . Для силы , приложенной в точке М на глубине z: , где ОМ = z.

Таким образом :

 или , откуда

		(2.16)

5. Сила давления на криволинейную поверхность.

Рассмотрим поверхность S, на которую с внешней стороны воздействует жидкость, создавая давление , воздействие жидкости с внутренней стороны - (см. рис. 2.19). Каждый элемент поверхности площадью ds испытывает воздействие силы давления с внешней стороны

,

где - единичный вектор, направленный по нормали к ds, ориентированный в сторону внешней жидкости.

Рис. 2.19. Определение силы давления на криволинейную поверхность

Равнодействующая от суммы всех элементарных сил, действующих на поверхность изнутри :



Эту силу трудно подсчитать, т.к. векторы не параллельны между собой.

Проекция силы , по направлению единичного вектора будет

.

Если и - угол между направлением Д и нормалью к поверхности ds, то , тогда

.

В то же время = ds', тогда , или , где dS' - проекция поверхности S на поверхность, перпендикулярную выбранному направлению Д.

Таким образом, можно записать , как произведение двух векторов и

	.	(2.17)

Такой же результат мы получим для равнодействующей силы

	.	(2.18)

6. Сила давления на цилиндрическую поверхность