Основы гидравлики

3.2 Виды подобия. Масштабы моделирования

Для установления подобия гидроаэродинамических явлений между натурой и моделью следует использовать правила механического подобия. Механическое подобие подразумевает выполнение геометрического, кинематического и динамического подобия.

Геометрически подобными являются два потока, если между их соответствующими линейными размерами существует соотношение

	,	(3.1)

где - линейный масштаб, показывающий во сколько раз размеры модели изменены по сравнению с размерами натуры; и - геометрические размеры натуры и модели соответственно (длина, ширина или высота).

Производными от линейного масштаба являются масштаб площадей и масштаб объемов .

Кинематическими подобными являются два потока, если поля скоростей на модели и в натуре в подобных точках пространства связаны масштабом

	,	(3.2)

соответственно масштаб ускорений можно выразить отношением

.

Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы одинаковой природы, действующие в подобных точках модели и натуры на частицы жидкости, отличались между собой только постоянными масштабами

.

Любой масштаб может быть выражен через другие масштабы, например, масштаб сил можно представить следующими выражениями

.

Геометрически подобные системы не обязательно будут кинематически и динамически подобными. В то же время динамическое подобие подразумевает автоматически кинематическое и геометрическое подобие.

3.3 Критерии подобия

Условие механического подобия требует равенства на модели и в натуре отношения всех сил, действующих в данных системах. Однако практически невозможно создать условия подобия сил, определяющих явление. Поэтому на практике стараются соблюдать подобие основных сил, остальными силами пренебрегают. Устанавливаемые частные условия подобия называются критериями подобия. При установлении критериев подобия определяют условия, обеспечивающие пропорциональность силам инерции тех действующих сил, которые считаются главными в данном явлении.

Критерий Эйлера. При рассмотрении гидроаэродинамических явлений мы, прежде всего, сталкиваемся с силами давления. Поэтому первый критерий динамического давления получают, сравнивая масштабы сил давления и сил инерции

	.	(3.3)

Обозначим это соотношение через Eu = , где термин idem означает, что условия, определяемые данным соотношением, должны быть одинаковы на модели и на натуре.

Можно сделать вывод, что критерию Эйлера соответствует равенство отношений сил давления к силам инерции на модели и на натуре.

Критерий Рейнольдса определяет отношение сил внутреннего трения к силам инерции

	, .	(3.4)

Критерий Рейнольдса является важнейшей характеристикой исследуемого явления, т.к. от соотношения между силами инерции и вязкости зависят основные свойства движущейся жидкости. При соблюдении критерия Рейнольдса критерий Эйлера выполняется автоматически. Если жидкости на модели и в натуре одинаковы (), то при равенстве

 или .

Вывод: При моделировании по Рейнальдсу уменьшение размеров модели в раз требует увеличения скорости движения жидкости на модели в такое же количество раз.

Моделирование со строгим соблюдением подобия сил вязкости встречается редко. Для многих изучаемых явлений при больших числах характер движения потока не зависит от изменения числа . Например, величина сопротивления трубы в квадратичной области сопротивления не зависит от числа . Этот и другие примеры доказывают, что для больших чисел для ряда явлений изменение числа Рейнольдса не влияет на характер явления. Это свойство называется автомодельностью и значительно облегчает исследование. Условие автомодельности по Рейнольдсу эквивалентно соблюдению критерия Эйлера. Исходя из вышеизложенного, моделирование по критерию Рейнольдса очень часто проводится при изучении напорных потоков.

Критерий Фруда определяет отношение сил инерции к силам тяжести

	или .	(3.5)

При моделировании по Фруду .

Вывод: одновременно нельзя удовлетворить равенство критериев Рейнольдса и Фруда для одной и той же жидкости на модели и в натуре.

Моделирование по Фруду проводится при изучении открытых потоков, т.к. движение открытых потоков происходит под действием силы тяжести, которая бывает значительно больше сил вязкости.

Критерий Архимеда определяет отношение выталкивающей силы Архимеда к силам инерции

	или ,	(3.6)

где - отношение разности плотностей среды и струи к плотности среды.

Критерий Архимеда используется при исследовании гравитационных систем воздушного отопления и вентиляции, где действуют архимедовы силы, возникающие вследствие разности плотностей двух сред (течение струи в среде другой плотности).

3.4 Конечно-разностная форма уравнения Навье-Стокса

Напряженное состояние жидкости. Законы движения и покоя жидкостей и газов основываются на законах механики сплошной среды, что позволяет рассматривать равновесие и течение жидкости в целом без учета механизма молекулярного движения.

В массе жидкости, которая рассматривается как сплошная среда, под влиянием внешних сил возникают соответствующие внутренние силы. Оценим порядок значений сил, действующих на элементарный изолированный объем, имеющий форму параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 3.2). Вся система движущейся массы отнесена к координатам x, y, z. На плоскостях граней изолированного параллелепипеда возникают напряжения. Составляющие напряжений, направленные перпендикулярно грани, называются нормальными напряжениями. Составляющие, находящиеся в плоскости граней, называются касательными напряжениями.

Рис. 3.2. Силы, действующие на элементарный изолированный объем

На поверхности граней элементарного параллелепипеда возникают три различных по величине касательных напряжения и три нормальных составляющих напряжений: вдоль осей x и y - напряжение ₁, вдоль осей x и z - ₂ и вдоль осей y и z - ₃. Вдоль оси x действует нормальная составляющая напряжения ₁, вдоль оси y - ₂ и вдоль оси z - ₃.

На массу жидкости, находящуюся в изолированном объеме, действуют массовые силы, которые пропорциональны третьей степени размера выделенного объема. При прохождении жидкости через изолированный элементарный объем происходит изменение количества движения массы жидкости. Это изменение вызывает соответствующий импульс сил, действующий на массу жидкости в изолированном объеме.

Изменение количества движения жидкости, протекающей через рассматриваемый неподвижный объем, пропорционально массе, заключенной в этом объеме и третьей степени его линейного размера. Силы, действующие на поверхности граней и равные возникающим напряжениям, умноженным на соответствующие площади, пропорциональны квадрату характерного линейного размера. При стягивании рассматриваемого элементарного объема в точку остаются только силы, связанные с возникающими в этой точке напряжениями.

Рассматривая элементарный объем, можно считать, что он находится в равновесии только под действием сил, возникающих за счет напряжений на его поверхности.

При течении реальных жидкостей в потоке возникают напряжения, которые раскладываются на нормальные и касательные составляющие к площадкам, на которых они действуют. В таком потоке можно рассматривать две системы напряжений: нормальные напряжения (давление), определяемые в любой точке потока; дополнительные напряжения, состоявшие из трех нормальных и трех касательных составляющих; эта система напряжений зависит в каждой точке потока от ориентации площадки, на которой возникают напряжения.

Выберем в точке, находящейся внутри потока и определяемой координатами x, y, z, систему прямоугольных координат x, y, z. В плоскостях координат возникнут кроме давления еще три нормальные ₁, ₂, ₃ и три касательные ₁, ₂, ₃ составляющие дополнительного напряжения. Значения дополнительного напряжения зависит от физических свойств и характера течения жидкости. Изолированная элементарно малая масса жидкости находится в момент времени t в начале координат. Элементарная масса имеет форму параллелепипеда с гранями, параллельными плоскостям координат. Стороны параллелепипеда имеют размеры dx, dy, dz. Рассмотрим проекцию сил, возникающих на гранях изолированного параллелепипеда под действием дополнительных напряжений, на ось x. В момент, когда он вместе с потоком движется мимо центра координат, на гранях, нормальных к оси x. действуют силы: и . Суммарная проекция силы, определяемая нормальными составляющими напряжения,

		(3.7)

На гранях, параллельных плоскости координат x0z, действуют напряжения, а, следовательно, и силы вдоль оси x: и . Эти напряжения приводят к составляющей вдоль оси x, равной .

На гранях, параллельных плоскости координат x0y, на ось 0x проектируются силы и . Вдоль оси эти напряжения дадут составляющую .

Суммарная составляющая сил, возникающих на гранях изолированного элемента жидкости за счет дополнительного напряжения в проекции на ось x, равна

	.	(3.8)

Аналогично составляющие дополнительного напряжения, действующие на остальных гранях, в проекциях на оси 0y и 0z дадут составляющие сил:

	и .	(3.9)

Прибавляя эти силы, отнесенные к единице массы жидкости к правой части уравнений Эйлера, получим условия динамического равновесия в точке потока при течении реальной жидкости.

		(3.10)

Определим теперь силы, возникающие в точке потока за счет вязкости. Проекция на ось 0x сил вязкости, отнесенных к единице объема и действующих в точке, определяемой в потоке координатами x, y, z. Проекция на ось 0x сил вязкости, отнесенных к единице объема и действующих в точке, определяемой в потоке координатами x, y, z:

	.	(3.11)

Дифференцируя уравнение неразрывности по x, получим

	или	(3.12)

Тогда уравнение сил, возникающих за счет вязкости жидкости, равно

	.	(3.13)

Аналогично в проекции на оси 0y и 0z дополнительная проекция сил, которые следует учитывать при течении вязких жидкостей, составит:

	и	(3.14)

Уравнения Эйлера с учетом этих дополнительных сил примут вид:

		(3.15)

Полученная система уравнений называется уравнениями Навье-Стокса.

Уравнение Навье-Стокса, как и уравнение Зйлера, интегрируются только для некоторых частных случаев, но в последние годы, в связи с развитием различных методов решения подобных задач, полученные уравнения используются все чаще и являются идеальным инструментом, позволяющим получить хороший результат. Наиболее часто для решения уравнений Навье-Стокса применяются численные методы.

3.5 Общая схема применения численных методов и их реализация на ЭВМ

На практике найти точное решение данного уравнения довольно сложно, так как искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных функциях. С появлением ЭВМ у исследователей появилась возможность решать подобные задачи численными методами. Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ. В зависимости от сложности задачи, заданной точности и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков до многих миллиардов действий. В первом случае для получения решения достаточно иметь калькулятор, во втором - потребуется мощная ЭВМ, особенно, если необходимо получить решение в сжатые сроки.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности являются: 1) несоответствие математической задачи изучаемому реальному явлению; 2) погрешность исходных данных: 3) погрешность метода решения; 4) ошибки округлений в арифметических и других действиях над числами.

Погрешность в решении, обусловленная первыми двумя источниками называется неустранимой. Эта погрешность может присутствовать, даже если решение поставленной математической задачи найдено точно. Вопрос о том, насколько хорошо описывает математическая модель исследуемое явление, проверяется путем сравнения результатов. Влияние погрешности исходных данных часто удается оценить, применяя различные методы: наименьших квадратов, метод Лагранжа и др.

Численные методы в большинстве случаев сами по себе являются приближенными. Такие погрешности называются погрешностями метода. Это происходит потому, что численным методом решается более простая задача, аппроксимирующая исходную задачу. В ряде случаев используемый численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе приводит к искомому решению. Однако процесс вычисления всегда прерывается на некотором шаге, что дает приближенное решение.

При решении задач на ЭВМ чаще всего встречаются две ситуации:

1) если количество выполняемых арифметических действий невелико, то, обычно, ошибки округления не проявляются, так как в ЭВМ числа представляются с 10 и более десятичными значащими цифрами, а окончательный результат редко бывает нужен более чем с 5 десятичными значащими цифрами.

2) если задача сложная (уравнения с частными производными), то в этом случае погрешности округления в каждом действии не учитываются, так как они взаимокомпенсируются.

Для решения одной и той же задачи могут применяться различные приближенные методы, в зависимости от требуемой точности вычисления. Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность, возникающая за счет округлений, называемая вычисленной погрешностью, в несколько раз меньше погрешности метода. Если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной неточности.

К численному методу предъявляется еще ряд других требований. Предпочтение отдается методу, который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньшей памяти ЭВМ, является логически более простым, что способствует более быстрой его реализации на ЭВМ.

Большинство численных методов основано на замене более сложных объектов, уравнений более простыми. Наиболее удобной в обращении на практике функцией является алгебраический многочлен. Чтобы задать многочлен, нужно задать только конечное число его коэффициентов. Значения многочлена просто вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т.д. Алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения функций. Применяются многочлены четырех видов: Тейлора, интерполяционные, равномерного приближения, наилучшего среднеквадратичного приближения (метод наименьших квадратов).

Для интегрирования дифференциальных уравнений, которые не выражаются элементарными функциями, используются различные методы: Рунге-Кутта, Монте-Карло, Эйлера, Гауса и др. Нелинейные уравнения решаются методом итераций, деления отрезка пополам и др.

Существует большое число задач, где есть хорошо отработанные численные методы и созданные на их основе стандартные программы решения задач. Существует библиотека таких программ. Исследователь, которому впервые встретилась единичная задача, как правило, вначале ищет стандартную похожую программу, а затем пытается внести в нее изменения, исходя из имеющихся условий.

На первоначальном этапе исследования обычно используют более простую модель явления, которая позволяет воспользоваться более простыми методами решения с применением стандартных программ. Затем постепенно переходят к более сложным методам и моделям, добиваясь положительного конечного результата.

Наиболее широко численные методы используются в вычислительных экспериментах - исследовании естественнонаучных проблем, средствами вычислительной математики.

Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, т.е. решение вопросов о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. Далее проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента, в котором выделяют несколько этапов:

1. Формируется задача, выбирается физическая модель процесса, решается вопрос о том, какие физические величины надо учитывать. Проводится описание физической модели математическим способом (дифференциальные, интегральные и другие уравнения). Полученную математическую модель исследуют методами математической физики, чтобы установить, правильно ли поставлена задача, хватает ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу, существует ли решение поставленной задачи и единственно ли оно.

2. Построение приближенного численного метода решения задачи, т.е. выбора вычислительного алгоритма. Вычислительный алгоритм - последовательность арифметических и логических операций, при помощи которых находится приближенное численное решение математической задачи, сформулированной на первом этапе.

3. Программирование вычислительного алгоритма на ЭВМ.

4. Проведение расчетов на ЭВМ.

5. Анализ полученных численных результатов и последующее уточнение математической модели.

3.6 Измерительные приборы, используемые при проведении экспериментальных работ

1. Жидкостные манометры прямого действия.

Чувствительность манометра (см. рис. 3.3) определяется по следующей формуле

,

т.е. чувствительность тем больше, чем меньше плотность жидкости. Давление определяется по разности уровней жидкости в трубках А и В

	.	(3.16)

Рис. 3.3. Жидкостный манометр

2. Механические манометр.

Манометр (см. рис. 3.4) состоит из согнутой металлической трубки Т, один конец которой соединен с резервуаром, в котором измеряется давление. Конец трубки В соединен с рычагом ВС, который поворачивает стрелку. При повороте стрелки она указывает величину давления. При избыточном давлении в трубке Т свободный ее конец В начинает распрямляться и приводит в движение стрелку, которая показывает величину давления. Такие манометры отличаются прочностью.

Рис. 3.4. Механический манометр

3. Барометры

Барометры (см. рис. 3.5) используются для измерения атмосферного давления. В лабораторных условиях используется барометр Фортина, позволяющий довольно точно измерить атмосферное давление.

Рис. 3.5. Жидкостный барометр

Принцип действия: барометрическая трубка R опрокинута открытым концом в чашу площадью S. Прибор заполнен ртутью. Чаша прикрыта от попадания пыли тканью, что не мешает прохождение воздуха сквозь нее. Рядом с трубкой расположена шкала, проградуированная в мм. При помощи винта V чаша перемещается по вертикали для того, чтобы совместить свободную поверхность ртути с нулем шкалы. Над уровнем ртути в барометрической трубке сохраняется слабое давление, определяемое давлением насыщенных паров ртути. Давление столба ртути высотой H в барометрической трубке соответствует атмосферному давлению. По шкале определяем величину атмосферного давления в мм.рт.ст.

4. Вакуумметры

Принцип действия механического и жидкостного вакуумметров аналогичен принципу действия механического манометра и жидкостного пьезометра.

5. Трубка Пито-Прандтля

Трубка Пито-Прандтля (см. рис. 3.6) позволяет одновременно определить величину динамического и статического давления в определенной точке потока.

Через отверстие А происходит измерение динамического давления. Через отверстия М измеряется статическое давление жидкости. Жидкость под действием давления поднимается по соответствующим пьезометрическим трубкам до точек А и М.

Рис. 3.6. Трубка Пито-Прандтля

Так как плотность газа (воздуха) значительно меньше плотности жидкости, то давлением воздуха можно пренебречь. Разность давления в точках А и М будет . Разность давления Дp зависит от динамического давления на входе в трубку Пито-Прандтля, что следует из уравнения Бернулли для точек А и М:

,

где - скорость потока на входе в трубку Пито-Прандтля. Таким образом,

,

откуда получаем

		(3.17)

Примечания: 1. Трубка Пито-Прандтля измеряет местную скорость в данной точке, поэтому для определения расхода по формуле необходимо измерить местную скорость в нескольких точках сечения для нахождения .

2. Для того, чтобы учесть потери на трение в формулу вводится коэффициент ц. Коэффициент ц определяется экспериментально для каждой трубки и вносится в паспорт измерительного прибора. Обычно ц = 0,97-0,98.

3. Трубка Пито-Прандтля позволяет измерить довольно большие значения скоростей, при малых скоростях увеличивается погрешность измерения из-за погрешностей манометра ( 0,1 см).

6. Расходомер Вентури

Расходомер (см. рис. 3.7) служит для измерения расхода жидкости и представляет собой плавную сходящуюся - расходящуюся вставку, к которой подключается дифферциальный манометр. Для вывода расчетной формулы применим уравнение Бернулли для сечения 1-1 перед сужением и сечения 2-2 в сужении (б₁ = б₂ = 1).

Рис. 3.7. Расходомер Вентури

	.	(3.18)

С учетом уравнения неразрывности

	.	(3.19)

Откуда , .

Зная перепад давления по дифференциальному манометру, можно для данного диаметра вставки и трубы определить расход жидкости, протекающей через трубу.

Для ртутного манометра

Обычно расходомеры выпускаются для определенных диаметров труб и его диаметр d и D известны.

В этом случае формула упрощается

	,	(3.20)

где м - коэффициент, учитывающий конструктивные особенности прибора, в частности , и вносится в паспорт прибора.

7. Ротаметры

Ротаметры (см. рис. 3.8) используются для измерения расхода жидкостей, имеющих слабые коррозийные свойства. Ротаметр состоит из сужающейся стеклянной трубки и металлического конусообразного измерителя. На измеритель действуют следующие силы: сила тяжести G, архимедова сила F_A, сила динамического давления жидкости F. Для измерителя, находящегося в покое, можно записать

	или ,	(3.21)

где с - плотность жидкости; V - объем измерителя; - скорость течения жидкости; S - площадь сечения измерителя.

Сила тяжести и архимедова сила - величины постоянные, поэтому сила динамического давления жидкости при любом расходе будет также постоянной.

Рис. 3.8. Ротаметр

При уменьшении расхода измеритель опускается, уменьшается сечение для прохождения жидкости, соответственно скорость увеличивается, сохраняя постоянным значение силы динамического давления. Если мы проградуируем стеклянную поверхность ротаметра в единицах измерения расхода, то в зависимости от высоты поднятия измерителя можно определять расход.

Рекомендуемая литература

1. Альтшуль А.Д. и др. Гидравлика и аэродинамика. - М.: Стройиздат, 1987, с. 15-19, 39-40, 99-106, 151-156, 158-175, 196-219,301-316,317-319.

2. Башта Т.М. и др. Гидравлика и гидравлические машины. - М.: Машиностроение, 1981.

3. Вакина В.В. Машиностроительная гидравлика. Примеры расчетов. - Киев: Вища школа, 1987.

4. Лойцянский Д.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973, с. 12, 111-114, 132-136.

5. Астров Б.В. Сборник задач по гидравлике. - М.: УДН, 1986, с. 4-101.

6. Смыслов В.В. Гидравлика и аэродинамика. - Киев.: Вища школа, 1979, с. 11-13, 25-40, 95-96,107-124, 137-142,156-176,180-219, 229-233, 240-246, 303-306.

7. Угинчус А.А. Гидравлика и гидравлические машины., 1980.

8. Калинин А. В., Козлов Г. С. Методические указания для студентов очно-заочной формы обучения по дисциплинам: «Гидравлика», «Гидравлика и гидравлические машины», ТГУ, 2003 г.,66 стр.

9. Калинин А. В. Лабораторный практикум по дисциплине «Гидравлика», ТГУ, 2005 г.,45 стр.

Дополнительная литература

10. M. Hanauer Mecanique des fluides. - VONTREUIL, Breal, 1991.

Материально техническое обеспечение дисциплины

На лекционных занятиях преподаватель использует аудиовизуальное оборудование. Необходимое количество экземпляров курса лекций в электронном виде находится в научной библиотеке университета.

Требования к уровню знаний студентов

После завершения курса студент должен знать теоретические основы кинематики и динамики течения жидкостей, законы сопротивления движения жидкостей и газов, основы моделирования гидромеханических явлений, расчётным путём определять характеристики реального потока жидкости и его физической модели.

Размещено на Allbest