Основы гидравлики

Представим трубу длиной l, с внутренним радиусом и внешним радиусом (см. рис. 2.20). Толщина трубы e = - . В трубе находится жидкость с давление. Внешнее давление - . Необходимо установить минимальную толщину e, при которой труба не разорвется.

Рис. 2.20. Определение силы давления в цилиндрической трубе

Выберем направление Д, совпадающее с одним из радиусов трубы.

Равнодействующая сил внутреннего давления

,

где S' - проекция поверхности S на плоскость, перпендикулярную направлению Д. Поверхность S' является прямоугольником, площадь которого 2l, тогда

.

Аналогичный результат можно получить для силы внешнего давления

.

Для второй части трубы мы получим тот же результат.

Если внутреннее давление будет больше внешнего (сила будет стремиться разорвать трубу), направление Д было выбрано произвольно, поэтому можно сделать вывод, что разрыв может произойти по любому направлению. Материал трубы в силу своих физических свойств будет сопротивляться разрыву. Это сопротивление будет тем больше, чем толще будет труба. Величина, характеризующая способность материала сопротивляться его разрыву обозначается у. Сила сопротивления материала

,

где - площадь сопротивления.

Таким образом, разрыв произойдет в случае, если , или , или , или , или , откуда следует, что при

		(2.19)

произойдет разрыв трубы.

2.1.6 Относительный покой жидкости

Относительным покоем жидкости называется такое ее состояние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение относительно твердой стенки движущегося резервуара, в котором находится жидкость (см. рис. 2.21).

Рис. 2.21. Относительное равновесие жидкости во вращающемся сосуде

При относительном покое рассматриваются две задачи: определяется форма поверхности уровня или равного давления и выясняется характер распределения давления. В данном случае необходимо учитывать силы инерции, дополняющих систему массовых сил, действующих в покоящейся жидкости.

Рассмотрим случай, когда сосуд с жидкостью вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью. Для определения формы свободной поверхности и закона распределения давления выберем вблизи свободной поверхности частицу жидкости массой dm. На эту частицу действует массовая сила dF, направленная по нормали к поверхности. Разложим эту силу на две составляющие: горизонтальную и вертикальную .

Разделив действующие силы на dm, получим дифференциальное уравнение поверхности уровня

или .

Проинтегрировав, получаем



	.	(2.20)

Вывод: При вращении резервуара с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси поверхностями равного давления будет семейство параболоидов вращения.

Для точки М, находящейся на свободной поверхности жидкости

.

Закон распределения давления найдем из дифференциального уравнения гидростатики, которое в данном случае примет вид

.

После интегрирования с учетом граничных условий (), получаем:

.

Если представить, что

,

то получим уравнение

	.	(2.21)

Вывод: Распределение давления подчиняется линейному закону для любой фиксированной цилиндрической поверхности.

2.1.7 Закон Архимеда

1. Равновесие твердого тела в жидкости

На тело, находящееся в жидкости (см. рис. 2.22) действуют:

1) сила тяжести;

2) сила давления воды.

Рис. 2.22. Равновесие твердого тела в жидкости

На каждый элемент поверхности площадью ds действует сила

,

где - единичный вектор, направленный по нормали внутрь тела.

Давление p зависит только от положения точки M, соответственно, каждая элементарная сила будет зависеть от расположения элемента и от его формы. Таким образом, равнодействующая сил будет зависеть только от места нахождения тела в жидкости и от величины внешней поверхности тела S.

2. Равновесие жидкости

Рассмотрим равновесие жидкости, когда тело извлечено, и жидкость заняла его объем (см. рис. 2.23). Контур S в жидкости соответствует очертанию тела. Жидкость, находящаяся внутри этого контура находится в равновесии под действием: 1)собственного веса G'. 2) результирующей силы внешнего давления воды P.

Рис. 2.23. Равновесие объема жидкости в жидкости

Равновесие жидкости, находящейся внутри контура S можно записать в следующем виде:

G'+P = 0 или G' = - P.

Возвращаясь к случаю плавающего в жидкости тела, мы можем сделать вывод, что, т.к. контуры тела S и жидкости, замещающей объем тела равны, то и силы давления жидкости в первом и во втором случаях должны быть равны. Тогда для тела плавающего в жидкости можно записать

	,	(2.22)

где - сила, действующая на погруженное в жидкость тело; - плотность жидкости; - объем тела.

Закон Архимеда: На твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела.

3. Условия равновесия плавающих тел.

Т.к. вес тела , а архимедова сила , то в случае неравенства плотностей тела жидкости, эти силы будут приложены к различным точкам. Для того чтобы плавающее тело было устойчивым, необходимо, чтобы центр приложения архимедовой силы (центр водоизмещения) находился выше центра приложения силы тяжести.

2.1.8 Основное уравнение гидростатики для сжимаемой жидкости

Выведем основное уравнение гидростатики, учитывая влияние сжимаемости газа, т.е. изменение плотности газа под действием давления. Дифференциальное уравнение равновесия для среды переменной плотности после интегрирования примет вид

		(2.23)

Для вычисления интеграла необходимо задать закон изменения состояния газа.

2.1.9 Изотермическая атмосфера

Если принять, что температура газа не изменяется с изменением высоты, а уравнение состояния записать в следующем виде

откуда - постоянная величина.

Подставив последнее соотношение в предыдущее уравнение, получим

	или	(2.24)

Полученное уравнение отличается от основного уравнения гидростатики жидкости тем, что давление газа по высоте с учетом его сжимаемости в изотермических условиях распределяется не по линейному, а по логарифмическому закону.

Запишем предыдущее уравнение для двух высот: на поверхности земли, где z₀ = 0, давление p = p₀, на высоте z давление будет р. Обозначим

z - z₀ = h и ,

учитывая, что , получим , откуда

	.	(2.25)

Вывод: Давление уменьшается по высоте по экспоненциальному закону.

Примечание: Полученной формулой можно пользоваться, если высота изменяется на небольшую величину, в пределах нескольких сот метров, т.к. в других случаях формула дает погрешность более 5%.

2.1.10 Неизотермическая атмосфера

Обычно температура воздуха с увеличением высоты уменьшается. Температура дымовых газов также быстро уменьшается в трубе. Для того, чтобы проинтегрировать основное уравнение гидростатики в этом случае необходимо знать закон изменения температуры с изменением высоты. Чаще всего для атмосферного воздуха принимают, что температура уменьшается по линейному закону

		(2.26)

где Т₀ - температура на поверхности земли; a - градиент температуры.

Можно записать дифференциальное уравнение равновесия в следующем виде

		(2.27)
	тогда , или , или	(2.28)

Пример: Предположим, что температура понижается на 6єС с увеличением высоты на 1000 м. Необходимо определить давление на вершине горы Монблан (z = 4800м), если на уровне моря температура Т₀ = 30єС.

Решение

На вершине горы температура Т = 30 - 4800·0,006. Т = 274,2 К, тогда

Вывод: Давление на вершине горы Монблан меньше почти в два раза.

Примеры решения практических задач гидростатики

Пример 2.1-1

К закрытому резервуару для определения давления на свободной поверхности р₀ присоединена стеклянная трубка. Спрашивается, какое давление в резервуаре р₀, если вода в трубке поднялась на высоту Н = 3 м? Трубка присоединена на глубине = 2 м.

Рис. 2.24. К примеру 2.1-1

Ответ: Давление на поверхности воды в резервуаре = 107910 Па.

Пример 2.1-2

Определить разность давления в резервуарах А и В, заполненных водой, если разность уровней ртути в U-образном манометре h = 15 см.

Рис. 2.25. К примеру 2.1-2

Ответ: Разность давлений в резервуарах - 18394 Па.

Пример 2.1-3

Определить суммарное усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка диаметром d = 0,5 м, расположенного на глубине h = 3 м от свободной поверхности, на которой давление= 0,5 атм.

Ответ: Усилие, воспринимаемое болтами смотрового люка Р = 15700 Н.

Пример 2.1-4

При бурении скважины необходимо определить вес труб, опущенных в скважину, заполненную глинистым раствором плотностью с_р = 2800 кг/м³, длина труб l = 70 м. Один метр таких труб с муфтами в воздухе весит 300Н. Плотность стали с_ст = 7500 кг/м³.

Ответ: Полный вес труб будет равен 902776 Н.

Рис. 2.26. К примеру 2.1-3

2.2 Тема 2. Основы кинематики и динамики жидкости и газа

Основные понятия: расход; мгновенная и средняя скорость; линия тока; трубка тока; уравнение неразрывности; установившееся и не установившееся движение жидкости; равномерное и неравномерное движение; сплошная среда; количество движения; момент количества движения; дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости, общее уравнение энергии в интегральной форме; три формы представления уравнения Бернулли для потока реальной жидкости; турбулентный и ламинарный режимы течения жидкости; число Рейнольдса; осредненная и мгновенная скорости; пульсации; турбулентные касательные напряжения.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы:

1. Что называют линией тока, трубкой тока, элементарной струйкой?

2. Чем траектория движения частицы отличается от линии тока?

3. Какие свойства трубки тока вы знаете?

4. Зачем в гидравлике вводятся понятия: трубка тока, элементарная струйка, линия тока?

5. В чем суть математической модели Эйлера, которая применяется для описания движения жидкости?

6. Что такое расход жидкости, скорость, средняя скорость, живое сечение потока? Назовите единицы измерения.

7. Какова связь между массовым расходом и объемным?

8. Чем отличается установившееся движение жидкости от неустановившегося, равномерное от неравномерного? Приведите примеры.

9. Как записать вид движения жидкости в математической форме?

10. Привести примеры напорного и безнапорного движения жидкости.

11. Что называют сплошной средой?

12. Объяснить суть уравнения неразрывности.

13. Как уравнение неразрывности можно записать в математической форме?

14. Какие выводы можно сделать из уравнения неразрывности?

15. Для каких условий применима струйная расчетная модель движения реальной жидкости?

16. Как математически записать суммарную проекцию внешних сил, действующих на изолированную массу жидкости в наклонном канале?

17. Что называют коэффициентом Буссинеска?

18. Как записать изменение количества движения жидкости в единицу времени при установившемся движении жидкости?

19. Чему должен быть равен импульс действующих сил при движении жидкости?

20. Какие силы действуют на выделенный объем идеальной жидкости, движущийся равномерно?

21. Как записать уравнение равновесия движущегося равномерно объема идеальной жидкости?

22. Написать систему уравнений Эйлера и объяснить ее смысл.

23. Как из системы уравнений Эйлера получить уравнение Бернулли для струйки невязкой жидкости?

24. Как из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости получить уравнение Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости?

25. В чем отличие уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости от уравнения Бернулли потока реальной жидкости?

26. Для чего в уравнение Бернулли вводится коэффициент Кориолиса?

27. Какие выводы можно сделать из уравнения Бернулли?

28. Какие ограничения существуют в применении уравнения Бернулли?

29. Как построить линию полного напора, пьезометрическую линию?

30. В каком случае линия полного напора будет параллельна пьезометрической линии?

31. Записать уравнение Бернулли в форме удельной энергии и объяснить его суть.

32. Записать уравнение Бернулли в форме напоров и объяснить его суть.

33. Записать уравнение Бернулли в форме давления и объяснить его суть.

34. Для каких инженерных расчетов применяется та или иная форма записи уравнения Бернулли? Привести примеры.

35. Чем турбулентное движение жидкости отличается от ламинарного?

36. В чем физический смысл числа Рейнольдса, его практическое значение?

37. Чем характеризуется переходная зона от одного режима к другому?

38. Чему равно значение коэффициента Кориолиса при турбулентном и ламинарном режимах?

39. При каком режиме движения жидкости потери напора больше? Почему?

40. От каких параметров зависят гидравлические потери в ламинарном потоке?

41. Что такое пульсации скорости и давления, чем они вызваны, когда возникают?

42. В чем заключается теория Прандтля?

43. Что называют мгновенной, осредненной скоростью?

44. Чем осредненная скорость отличается от средней?

Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоретического материала:

Задача 2.2-1, 6

В закрытом резервуаре поддерживается постоянное манометрическое давление p_м = 2 атм, под действием которого по трубе диаметром d₁ = d_н мм и общей длине l = 25 м (расстояние от начала до колена l₁ = 5 м) вытекает жидкость при температуре t. Определить расход при напоре H₁ = 2 м.

Рис 2.27. К задаче 2.2-1, 6

Примечание. Потерями напора пренебречь.

Задача 2.2-2, 7

Истечение происходит из открытого резервуара при постоянном напоре H₁ = 5 м по короткому трубопроводу переменного поперечного сечения с диаметрами d₁ = 10d_н мм и d₂ = 3d_н мм в атмосферу. На втором участке трубопровода имеются два колена с плавным поворотом. Длина первого участка l₁ = 0,8 м, длина второго участка l₂ = 2 м. Определить скорость истечения ₂ и расход Q₂ через трубопровод.

Рис 2.28. К задаче 2.2-2, 7

Примечание. Потерями напора пренебречь.

Задача 2.2-3, 8

Из резервуара А, заполненного жидкостью на высоту H₁ = 5 м и находящегося под манометрическим давлением р_м = 20 кПа, жидкость подается по трубопроводу длиной l = 6 м и диаметром d = 10d_н мм в резервуар В на высоту Н = 2 м. Определить расход Q и скорость протекающей по трубопроводу жидкости.

Примечание. Потерями напора пренебречь.

Рис. 2.29. К задаче 2.2-3, 8

Задача 2.2-4, 9

К закрытому резервуару, на свободной поверхности которого действует манометрическое давление р_м = 10 кПа, подсоединен трубопровод переменного сечения с диаметрами d₁ = 2d_н мм и d₂ = 5d_н мм, заканчивающийся соплом диаметром d_c = d₁. Трубопровод подсоединен на глубине Н₁ = м. На первом участке длиной l₁ = 10 м установлен вентиль. Длина второго участка l₂ = 5 м. Определить скорость истечения и расход Q вытекающей из сопла жидкости при температуре t и постоянном напоре H₁.

Рис. 2.30. К задаче 2.2-4, 9

Примечание. Потерями напора пренебречь.

Задача 2.2-5, 10

Центробежный насос подает воду с температурой t = 15 °С по трубе диаметром d = d_н мм и длиной l = 27 м. Насос создает давление на выходе р_н = 2,65 атм и подачу Q = л/с. Определить напор H, создаваемый насосом.

Рис. 2.31. К задаче 2.2-5, 10

Примечание. Потерями напора пренебречь.

2.2.1. Основные понятия кинематики жидкости

Для описания движения жидкости используется математическая модель. В гидравлике наибольшее распространение получила модель Эйлера, суть которой можно объяснить следующим образом. Предположим, что точка М движется по некоторой траектории в системе неподвижных координат. Мгновенное значение составляющих скорости вдоль осей координат будет зависеть от положения точки, т.е. от величины координат x, y, z и времени t. Для составляющих скоростей течения жидкости в рассматриваемой точке (см. рис. 2.32), можно записать функциональные зависимости:

Рис. 2.32. Скорость в точке

		(2.29)

Зная для конкретного случая течения значения этих функций, можно для любого момента времени получить распределение скоростей течения жидкости.

Расход - количество жидкости, проходящей в единицу времени через данное сечение трубопровода. Различают объемный и массовый расходы.

Объемный расход - объем жидкости, проходящий в единицу времени через данное сечение трубопровода:

		(2.30)

где V - объем жидкости.

Массовый расход - масса жидкости, проходящая в единицу времени через данное сечение:

	.	(2.31)

Соответственно, , где с - плотность жидкости.

Траектория - кривая, вдоль которой происходит перемещение частицы жидкости.

Линия тока - кривая, в каждой точке которой вектор скорости движения частицы направлен по касательной к ней (см. рис. 2.33).

Рис.2.33. Линия тока

Трубка тока - поверхность, очерченная вдоль небольшого контура внутри которой вдоль линии тока перемещаются частицы жидкости. Стенки трубки тока непроницаемы. Площадь поперечного сечения трубки тока мала, поэтому скорости движения в каждой точке равны (см. рис. 2.34).

Рис. 2.34. Трубка тока

Элементарная струйка - поток жидкости, протекающий в трубке тока Элементарную струйку можно представить также как совокупность линий тока, проходящих через бесконечно малое сечение ds, а разность скоростей соседних линий тока бесконечно мала. Расход элементарной струйки dq = uds. Поток жидкости можно представить как совокупность трубок тока, в которых движутся элементарные струйки.

.

Средняя скорость потока - скорость, одинаковая в каждой точке потока в данном сечении, соответствует реальному расходу

,

где - скорость в точке в данном сечении; i - количество точек.

2.2.2 Уравнение неразрывности

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. при течении жидкости должны быть соблюдены условия при, которых жидкость должна двигаться в канале как сплошная среда, без разрывов.

Выделим внутри пространства с движущейся капельной жидкостью неподвижный контур в форме элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (см. рис. 2.35). Обозначим скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, через . Скорость жидкости, вытекающей из правой грани, вследствие неразрывности поля скоростей равна

Рис. 2.35. Движение жидкости через контур

.

Поскольку рассматриваемый элементарный объем неподвижен, изменение скорости не зависит от времени. В направлении оси х через левую грань втечет за 1 с жидкость массой , а вытекает через правую грань

.

Значит, за 1 с из параллелепипеда вытекает в направление оси х жидкости больше, чем втекает, на

Аналогичные выражения получаются и для направлений x, y, z. Закон сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю:

	.	(2.33)

Это уравнение называют уравнением неразрывности, т.к. оно предполагает, что жидкость является сплошной средой.

Рассмотрим уравнение неразрывности для случая течения струйки при установившемся движении. Масса жидкости течет в трубке тока (см. рис. 2.34). Пусть левое входное сечение трубки тока имеет площадь и в этом сечении скорость жидкости , а ее плотность . Площадь сечения на выходе из трубки тока , скорость течения жидкости , и ее плотность . Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через левое сечение втекает в единицу времени масса жидкости . Через правое сечение вытекает в единицу времени масса жидкости . В трубке тока масса жидкости, находящаяся между левым и правым сечениями, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет:

	const.	(2.34)

Если плотность жидкости по длине трубки тока не изменяется, т.е. =, то можно записать для левого и правого сечений:

	= const или const.	(2.35)

Полученное уравнение является уравнением неразрывности для трубки тока.

Для потока реальной жидкости уравнение неразрывности записывается в следующем виде:

	,	(2.36)

где и - площади сечения потока в сечениях на входе и на выходе; и - средние скорости потока в этих сечениях.

Можно сделать два важных вывода:

1. При установившемся движении жидкости объемный расход не меняется;

2. При увеличении площади сечения потока жидкости средняя скорость уменьшается, и, наоборот, при уменьшении сечения - скорость увеличивается.

2.2.3 Виды движения жидкости

Все случаи течения жидкости можно разделить на виды, представленные на рисунке 2.36.

Рис. 2.36. Виды движения жидкости

Установившееся движение жидкости - движение жидкости, при котором все параметры жидкости (давление, температура, скорость и др.) не изменяются по времени.

	.	(2.37)

Для неустановившегося движения:

	.	(2.38)

Равномерное движение - установившееся движение, при котором скорость по всей длине потока не изменяется:

	.	(2.39)

Напорное движение устанавливается в закрытых гидравлических системах, в которых жидкость течет в, основном, под действием силы давления, безнапорное движение наблюдается в открытых системах, в которых движение жидкости происходит под действием силы тяжести.

2.2.4 Интегральная формула количества движения

В теоретической механике изучается теорема о количестве движения материальных точек, которую можно применить в гидравлике. Будем считать движение жидкости в канале (см. рис 2.37) установившемся. Распределение давления в сечениях 1-1 и 2-2 гидростатическое. В сечении 1-1 действует сила давления, направленная внутрь выделенного объема жидкости , в сечении 2-2 - сила ( - давление в сечениях 1-1 и 2-2, - площади сечений). На элементарной площадке стенки канала действуют: сила реакции стенки, равная силе давления pds и сила вязкого трения фds. Проекция этих сил на ось движения равна pds sin б + фds cos б (б - угол наклона элементарной стенки какала к его оси). Суммарная проекция внешних сил, действующих на изолированную массу жидкости, равна

.

Рис. 2.37. Силы, действующие на поток жидкости в канале

Примем, что ось канала наклонена под углом и к горизонту. Проекция веса жидкости, заключенной между выбранными сечениями равна gсVsin и (V - объем выделенной массы жидкости).

Проекция всех сил, действующих на изолированную массу, равна

	- gсVsin и.	(2.40)

Распределение скорости в контрольных сечениях может быть неравномерным. Через элементарную площадку ds контрольной поверхности в единицу времени переносится количество движения, равное (u - местная скорость течения). Суммарное количество движения равно. Средняя скорость в контрольном сечении . Количество движения, подсчитанное по средней скорости равно

Отношение количества движения, действительно перенесенного потоком, к количеству движения, определенного по средней скорости, называется коэффициентом Буссинеска.

В единицу времени при установившемся движении изменение количества движения составит

,

где Q - расход жидкости.

Импульс действующих сил должен равняться изменению количества движения массы, на которую данный импульс действует. Следовательно, при течении жидкости в канале с учетом принятых условий соблюдается равенство

	- gсVsin и = .	(2.41)

Нами получено гидравлическое уравнение количества движения.

Вывод: При переходе от сечения 1-1 к сечению 2-2 проекция секундного количества движения потока изменяется на величину, равную сумме проекций всех внешних сил, действующих на объем потока, заключенный между сечениями 1-1 и 2-2.

Применяя уравнение количества движения, можно решить ряд задач гидравлики, например: теоретически определить коэффициент местного сопротивления при внезапном расширении трубы; изменение давления в трубе при равномерном отборе жидкости на одном ее участке; определение расхода газа при всасывании его через цилиндрическую трубу.

2.2.5 Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера)

Предположим, что в жидкости движется элементарный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 2.38). На параллелепипед действуют поверхностные силы давления и массовые силы с проекциями X, Y, Z, отнесенными к единице массы. При движении объема возникают силы инерции. Проекции этих сил на оси координат, отнесенные к единице массы, равны соответственно:

Рис. 2.38. Схема равномерного движения объема жидкости

Рассмотрим условие равновесия сил, в проекции на ось х. Сила давления на левую грань - pdydz, на правую грань

- (p +)dydz,

где =Дp - изменение давления вдоль оси x.

Массовая сила равна Xсdxdydz. Уравнение равновесия запишется в виде

pdydz - (p +) dydz + Xсdxdydz сdxdydz = 0,

или

- dxdydz + Xсdxdydzсdxdydz = 0.

Разделив каждый член уравнения на сdxdydz, получим

X - .

Соответственно для осей и уравнение равновесия будет выглядеть следующим образом

Y - ,

Z - .

Объединив полученные уравнения, получим систему уравнений Эйлера:

X - ,

	Y - ,	(2.42)

Z - .

Можно получить полный дифференциал уравнений Эйлера для установившегося движения, если рассматривать перемещение частиц жидкости вдоль линии тока. Для этого надо умножить каждое из уравнений системы на соответствующую проекцию элементарного перемещения частиц dx, dy, dz, и сложить их:

(Xdx + Ydy + Zdz) - - = 0.

Т.к. для установившегося течения линии тока совпадают с траекториями движения частиц, то

Тогда

= =

Для установившегося движения давление зависит только от координат, поэтому второй член уравнения есть полный дифференциал давления dp. Получим

	(Xdx + Ydy + Zdz) - dp - = 0	(2.43)

Мы получили дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости.

В поле силы тяжести

X = 0, Y = 0, Z = - g,

тогда уравнение запишется в следующем виде

- gdz - - = 0.

После интегрирования этого уравнения получаем (при с = const) уравнение

	gz + + = const,	(2.44)

которое называется уравнением Бернулли для струйки невязкой жидкости.

2.2.6 Общее уравнение энергии в интегральной форме(Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости)

Для двух сечений струйки невязкой жидкости это уравнение будет выглядеть следующим образом

	.	(2.45)

Сумма слева представляет полную удельную энергию струйки в сечении 1-1, сумма справа - полную удельную энергию струйки в сечении 2-2. Можно записать, что

.

На практике энергия струйки в начале больше энергии струйки в конце, т.к. часть энергии теряется на преодолении сил вязкости. В процессе движения вязкой жидкости запас ее механической энергии уменьшается, и на самом деле

.

Обозначим энергию, затрачиваемую на преодоление сил сопротивления E_пот. E_пот - это та часть механической энергии, которая, вследствие вязкости, переходит в тепловую энергию. Другими словами можно сказать, что E_пот - это часть энергии, которая израсходована на преодоление гидравлических сопротивлений.

	Е1 = Е2 + Eпот.	(2.46)

При выводе уравнения Бернулли для элементарной струйки можно было пренебречь изменением скорости и давления в пределах нормальных сечений благодаря их малым величинам. В потоке жидкости скорости и давления в пределах живых сечений различны, и это необходимо учитывать. Согласно гипотезе Ньютона, жидкость как бы прилипает к стенкам канала, по которому она течет и ее скорость равна нулю. Но с увеличением расстояния от стенки, скорость струек увеличивается. Так называемая мощность потока складывается из энергии отдельных струек

,

где N - мощность потока; dN - мощность струйки; S - площадь живого сечения потока.

Для мощности струйки можно записать:

dN = Ed = (gz + + ) сuds,

где ds - площадь живого сечения струйки.

Величина удельной энергии потока равна частному от деления мощности потока на массовый расход

.

Это уравнение можно разбить на два интеграла

E ==,

где - удельная потенциальная энергия потока относительно выбранной плоскости сравнения; - удельная кинетическая энергия потока.

Для вычисления надо знать закон изменения давления по живому сечению. Для плавноизменяющихся течений ускорения и силы инерции незначительны, поэтому ими можно пренебречь. Экспериментально доказано, что в плавноизменяющемся потоке давления распределяются по закону гидростатистики gz= const.

	= gz .	(2.47)

Для вычисления интеграла нужно знать закон распределения скоростей по сечению. Умножим и поделим это выражение на .

==,

где б - коэффициент, который учитывает неравномерность распределения скоростей в сечении, называется коэффициент Кориолиса. Получаем выражение для удельной кинетической энергии потока:

	=.	(2.48)

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости

	.	(2.49)

Полученное уравнение позволяет сделать следующие выводы:

1. При увеличении кинетической энергии потока от одного сечения к другому потенциальная энергия уменьшается, и, наоборот, с увеличением потенциальной энергии, кинетическая уменьшается.

2. Коэффициент б тем больше, чем больше скорости отдельных струек отличаются от величины средней скорости. Если скорости всех элементарных струек будут равны средней скорости, то б = 1.

2.2.7 Три формы представления уравнения Бернулли для потока реальной жидкости

Представленное выше уравнение Бернулли является уравнением Бернулли, записанное в форме удельной энергии, где:

и - удельная энергия положения в сечениях 1-1 и 2-2 потока;

и - удельная энергия давления в этих сечениях;

и - удельная кинетическая энергия.

На практике при выполнении инженерных расчетов обычно применяют две другие формы представления уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли в форме напоров можно получить, если разделить уравнение в форме удельной энергии на g, обозначив

.

	.	(2.50)

Каждый член этого выражения имеет размерность длины и может быть представлен некоторой высотой (напором) (см. рис. 2.39).

Здесь и - высота положения или геометрический напор (расстояние от плоскости сравнения до центра сечения потока);

и - пьезометрическая высота или пьезометрический напор (высота поднятия жидкости в пьезометрической трубке под действием давления);

и - скоростной напор (разность показаний трубки Пито и пьезометрической трубки).

Сумма трех высот и - полный напор потока жидкости.

Рис. 2.39. Опытная демонстрация уравнения Бернулли в форме напоров

Разность полных напоров двух живых сечений потока - потеря напора между этими сечениями

	.	(2.51)

С помощью уравнения Бернулли в форме напоров можно найти высотные отметки жидкостей, которые могут быть достигнуты в данной трубопроводной системе. Это уравнение широко используется при проектировании и гидравлических расчетах водопроводов.

Уравнение Бернулли в форме давлений получаем, если уравнение Бернулли в форме удельной энергии умножим на плотность с.

		(2.52)

Здесь каждый член имеет размерность давления:

и - гравитационное давление, т. е. давление, создаваемое силой тяжести;

и- статическое давление;

и - динамическое давление;

- потери давления на преодоление сил трения и местные сопротивления.

Вывод: при увеличении скорости движения потока давление на этом участке падает и, наоборот - при уменьшении скорости давление увеличивается.

Уравнение Бернулли в форме давлений применяется для расчета систем вентиляции, газовых стояков внутри зданий и т.д.

2.2.9 Особенности турбулентного и ламинарного течения жидкости. Число Рейнольдса

Наблюдения показывают, что в жидкости возможны две формы движения: ламинарное движение и турбулентное. Проведем следующий опыт. Через стеклянную трубку будем подавать воду. В начале трубки устанавливаем тонкую трубку, через которую подаем краску. Когда скорость движения воды в стеклянной трубке небольшая, струйка краски, вытекающая из тонкой трубки, принимает форму нити. Это говорит о том, что отдельные частицы жидкости перемещаются прямолинейно. Жидкость в круглой трубе движется как бы концентрическими кольцевыми слоями, которые не перемешиваются между собой. Такое движение называется ламинарным (слоистым) (см. рис 2.40).



Рис. 2.40. Движение окрашенной жидкости при ламинарном и турбулентном режимах

С увеличением скорости движения в стеклянной трубке струйка краски будет размываться, терять свою устойчивость и, при больших скоростях, краска будет равномерно окрашивать всю массу жидкости, что указывает на интенсивное перемешивание всех слоев. Отдельные частицы жидкости и ее небольшие объемы пребывают в состоянии хаотического и беспорядочного движения. Наряду с общими поступательными движениями имеется поперечное перемещение частиц. Такое движение называется турбулентным (см. рис. 2.40).

Эти два режима движения резко отличаются один от другого, что видно из нижеследующей таблицы.

Таблица 2.1

Характеристика	Ламинарный режим	Турбулентный режим
Движение	Только продольное	Продольное и поперечное
Потери энергии
Передача тепла	Теплообмен за счет теплопроводности	Теплообмен за счет теплопроводности и конвекции
Эпюра скорости	Параболическая функция	Логарифмическая функция
Коэффициент б	б = 2

Условия перехода от ламинарного течения капельной жидкости к турбулентному в круглых трубках впервые изучил О. Рейнольдс. Он установил, что режим зависит от трех параметров: средней скорости , диаметра d и кинематической вязкости н. Рейнальдс пришел к выводу, что существует некоторое критическое значение соотношения этих параметров, являющееся границей между ламинарными и турбулентными режимами течения, и нашел его:

		(2.53)

Более точные исследования показали, что в интервале чисел Рейнальда от 2000 до 4000 происходит периодическая смена турбулентного и ламинарного режимов. Поэтому можно точно сказать, что при режим движения - ламинарный, а при устанавливается турбулентный режим. В диапазоне чисел Рейнольдса от 2000 до 4000 режим нестабильный, т.е. может быть и ламинарным, и турбулентным.

При изучении сопротивлений, теплопередачи, явлений, связанных с переносом тепла, транспортом твердых частиц число Рейнальда является исходным для построения расчетных зависимостей

Подавляющее число движений жидкости в технике - турбулентные, а не ламинарные. Турбулентные течения значительно сложнее ламинарных, и для их изучения нужны другие методы. Беспорядочный характер движения отдельных частиц жидкости в турбулентном потоке требует применения методов статистической механики.

Хаотичность турбулентного движения с кинематической точки зрения означает, что скорость движения в отдельных точках пространства непрерывно изменяется как по величине (см. рис. 2.41), так и по направлению. Скорость в данной точке турбулентного потока, измеренную в данный момент времени, называют мгновенной и обозначают u, Экспериментальные исследования показывают, что изменения мгновенной скорости носит случайный характер.

Рис. 2.41. График изменения мгновенной скорости

Для описания турбулентного потока вводят понятия осредненной скорости, которой называют среднюю за некоторый промежуток времени скорость в данной точке

,

где t - достаточно длинный интервал времени.

При равномерном течении жидкости в трубе с постоянным расходом мгновенную скорость, измеренную в данной точке можно разложить на три составляющие .

Каждая из составляющих скоростей изменяется со временем, но для установившегося движения за определенный промежуток времени, определенные во времени значения поперечных составляющих равны нулю. Если ось х совпадает с осью трубы, то .

Если подобным способом определить осредненные скорости нескольких точек по поперек трубы, получим эпюру осредненных скоростей по сечению трубы. Осреднение определенных скоростей дает среднюю скорость потока .

Таким образом, осредненную скорость получаем после осреднения по времени мгновенных скоростей, среднюю скорость получаем после осреднения осредненных скоростей по сечению.

Осредненную скорость можно рассматривать как скорость струйки. При неизменном расходе жидкости эпюра осредненных продольных скоростей в данном живом сечении не изменяется с течением времени, что и является признаком установившего течения.

С помощью понятия осредненной скорости турбулентный поток с его беспорядочно движущимися массами жидкости заменяют воображаемой моделью потока, представляющей совокупность элементарных струек, скорости которых равны осредненным скоростям по величине и по направлению. Это означает, что к турбулентному потоку можно применить представление одномерной гидравлики.

Отклонение мгновенной скорости от ее осредненного значения называют пульсационной скоростью или пульсацией. Замена действительных беспорядочных движений жидких комков на фиктивное струйное движение требует введения некоторых фиктивных сил взаимодействия между воображаемыми струйками.

Благодаря этому Прандтлем был введен новый вид поверхностных сил и соответствующих касательных напряжений

,

которые называются турбулентными касательными напряжениями. Эти напряжения обусловлены пульсациями или обменом количества движения между соседними слоями жидкости. Слой, движущийся с большей скоростью, подтягивает за собой отстающий и наоборот, слой, который движется медленно, тормозит опережающий. Знак «минус» подчеркивает, что сила сопротивления имеет направление, противоположное продольной пульсации. Индексы x и y показывают направление движения слоя и поперечных пульсаций.

Осредненные касательные напряжения называются турбулентными

	.	(2.54)

В схематизированном турбулентном потоке, кроме сил турбулентного обмена, вследствие пульсации еще проявляются силы внутреннего трения. Полное касательное напряжение турбулентного потока

	.	(2.55)

2.2.10 Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой сжимаемой жидкости

Плотность сжимаемой жидкости изменяется в процессе движения. Проинтегрировав дифференциальное уравнение одномерного движения жидкости для струйки, получаем:

	.	(2.56)

При установившемся движении влияние сжимаемости практически проявляется только в газах, при анализе течения которых удельной энергией положения можно пренебречь. Тогда:

	.	(2.57)

Это уравнение можно назвать уравнением Бернулли для сжимаемой жидкости. Член характеризует потенциальную энергию газа с учетом преобразования его внутренней энергии.

Вывод: При установившемся течении невязкого газа сумма удельной потенциальной, внутренней и кинетической энергии есть величина постоянная.

Для вычисления интеграла необходимо знать процесс изменения состояния газа при этом течении. Если считать что течение происходит без теплообмена, то для невязкого газа это будет отвечать изоэнтропическому изменению состояния.

Поскольку отношение

	.	(2.59)

Из этого уравнения следует, что изменение скорости вдоль трубки тока сжимаемого газа связано с изменением температуры. При увеличении скорости температура падает и наоборот.

2.2.11 Уравнение Бернулли для потока вязкой сжимаемой жидкости

При составлении уравнений движения сжимаемой жидкости следует учитывать, что не только скорости, но и плотности, температуры и давления отдельных струек в пределах живых сечений неодинаковы, что значительно усложняет исследование. Поэтому поток конечных размеров рассматривают как одну струйку. Заменив в уравнении для струйки скорость струйки u на среднюю скорость потока _ср, можно сразу написать уравнение Бернулли сжимаемой невязкой жидкости:

	.	(2.60)

Теперь составим уравнение Бернулли для вязкой сжимаемой жидкости, для чего запишем дифференциальное уравнение движения

интегрирование которого для сжимаемой жидкости зависит от конкретных условий движения и закона изменения состояния газа.

При адиабатическом течении, где отсутствует обмен тепла со средой вне границ потока, можно получить уравнение движения в конечном виде, для чего необходимо применить понятие энтальпии

		(2.61)

где q - количество тепла, передаваемое 1 кг газа.

Подставив уравнение энтальпии в уравнение Бернулли, получим

При адиабатическом течении энергия, потерянная на трение, переходит во внутреннее тепло (dE_n = dq), тогда

Проинтегрировав, получим

		(2.62)

Мы получили основное уравнение адиабатического течения газа.

Вывод: Сумма удельной кинетической энергии и энтальпии остается неизменной в процессе движения газа.

Можно доказать, что для воздуха сжимаемостью можно пренебречь, если скорость течения не превышает 70 м/с, для природного газа - 90 м/с. В системах вентиляции и газопроводов низкого давления скорости течения не превышают указанных пределов, поэтому расчет в этих системах ведется как для несжимаемой жидкости. В этих системах расчет можно вести по уравнению Бернулли в форме давлений

.

Пример применения уравнения Бернулли для расчета коротких трубопроводов

Вода перетекает из резервуара А в резервуар В по трубопроводу с диаметрами d₁ = 100 мм и d₂ = 60 мм и длиной l₁ = 15 м и l₂ = 10 м. Необходимо определить расход воды при разности уровней в бассейнах H = 300см. Трубопровод стальной сварной, умеренно заржавевший.

Рис. 2.42. К примеру расчета коротких трубопроводов

Примечание. Потерями напора пренебречь.

Ответ: Искомый расход в трубопроводе Q = 0,45 м3/с.

Лекция 3.Основы моделирования гидромеханических процессов

Основные понятия: физическое и математическое моделирование; подобие; масштаб; критерии подобия; автомодельность; напряженное состояние жидкости; уравнение Навье - Стокса; численные методы; неустранимая и вычисляемая погрешность; погрешности метода; схема применения численных методов; одномерная модель жидкости; пьезометр; трубка Пито; датчики измерения давления; вертушка; расходомеры; манометр; вакуумметр; барометр.

Вопросы, на которые необходимо найти ответ в ходе изучения темы:

1. Почему применяется моделирование при изучении гидравлических явлений?

2. Какие виды моделирования Вы знаете?

3. Какие явления называются подобными?

4. Какие виды подобия Вы знаете?

5. Что называют масштабом модели?

6. Что называют механическим подобием?

7. Какие два потока являются геометрически подобными?

8. Какие потоки являются кинематически подобными?

9. Какие потоки являются динамически подобными?

10. Приведите пример преобразования одного масштаба в другой.

11. Какие основные силы необходимо учитывать при моделировании гидравлических явлений?

12. Что называется критерием гидравлического подобия?

13. В чем физический смысл критериев подобия Эйлера, Рейнольдса, Фруда, Архимеда?

14. Когда применяется критерий подобия Эйлера?

15. Когда применяется критерий подобия Рейнольдса?

16. Когда применяется критерий подобия Фруда?

17. Когда применяется критерий подобия Архимеда?

18. Почему при моделировании по Фруду невозможно соблюсти критерий Рейнольдса?

19. На какие вопросы должен ответить экспериментатор перед началом исследований?

20. Что делать, если при моделировании по критерию Рейнольдса на модели получают слишком большие скорости потока?

21. Что называют автомодельностью при моделировании?

22. Объясните принцип действия приборов для измерения давления.

23. Объясните принцип действия приборов для измерения скорости.

24. Объясните принцип действия приборов для измерения расхода.

25. Почему в жидкости возникают напряжения?

26. Какие напряжения возникают на поверхности граней параллелепипеда?

27. Чему равно изменение количества движения жидкости, протекающей через неподвижный объем?

28. Что называют одномерной моделью жидкости?

29. В чем смысл уравнения Навье - Стокса?

30. Что называют численными методами?

31. Что является источником погрешности при решении задач численными методами?

32. Что называют неустранимой погрешностью?

33. Что называют погрешностями метода?

34. Почему не учитываются погрешности при решении задач на ЭВМ?

35. От чего зависит выбор численного метола?

36. Какие дополнительные требования предъявляются при выборе численного метода?

37. Что предшествует математическому исследованию?

38. Какие этапы метода вычислительного эксперимента вы знаете?

Практические задачи, решение которых может быть найдено после изучения теоретического материала

Задача 3-1, 5

Какими будут потери напора на 1 км длины бетонного напорного трубопровода диаметром 5__мм, если потери на его воздушной модели (l = 1 м) при скорости движения воздуха 30 м/с составили 1 м?

Задача 3-2, 6

При испытании на воде модели задвижки в трубе квадратного сечения ( = 100100 мм) перепад давления при открытии = 30 мм и расходе = 8 л/с составил = 6,4 КПа, а сила действия потока на задвижку = 48 Н. Определить и на натуре при = 10000 л/с, если = 0,3, а = 1 м.

Рис. 3.1. К задаче 3-2, 6

Задача 3-3, 7, 9

Найти отношение кинематических вязкостей жидкостей на натуре и на модели при одновременном соблюдении вязкостного (Re_м = Re_н) и гравитационного (Fr_м = Fr_н) подобия потоков, если геометрический масштаб моделирования .

Задача 3-4, 8, 10

Протекание нефти (вязкость _н = 0,25 С_Т) по стальному трубопроводу диаметром 500 мм исследуется на его воздушной модели. Определить скорость движения воздуха на модели ( =_), если ее диаметр равен 50 мм, а скорость течения нефти в натуре составляет 1 м/с.

3.1 Основы моделирования

При изучении гидроаэродинамических явлений необходимо широкое применение эксперимента. Например, все вопросы, касающиеся турбулентного движения жидкости, не имеют точного теоретического решения, поэтому экспериментальные решения дополняют теоретические. Все виды гидравлических сопротивлений и соответствующие им коэффициенты определяются экспериментальным путем.

Перед постановкой исследования экспериментатор должен знать: каким требованиям должна удовлетворять модель, какие величины надо измерять в опытах, какими приборами надо пользоваться, на какие полученные величины, прежде всего, необходимо обращать внимание. Кроме того, необходимо четко знать, что полученные результаты соответствуют явлениям, которые будут иметь место в действительности.

Различают математическое моделирование (на ЭВМ) и физическое (на физических моделях). Физическое моделирование проводят на моделях натурных объектов, которые просты в изготовлении и их размеры позволяют осуществлять в лабораторных условиях эксперименты, задаваясь различными параметрами модели и исследуемого явления, и выявлять искомые закономерности.

Обоснование моделирования и использование в натуре результатов экспериментов на модели связано с подобием движения в натуре и на модели. Подобными называют явления, происходящие в геометрически подобных системах одинаковой физической природы, когда одинаковые величины (например скорости или силы), действующие в подобных точках, имеют между собой постоянные отношения, которые называются масштабами.