Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Электрическое поле в вакууме

По закону Кулона сила, действующая со стороны заряда q1 на заряд q2, равна:

. (1.1)

Здесь - радиус-вектор, проведенный от заряда q1 к заряду q2, , 0 = 8,85 10-12 Ф/м - электрическая постоянная, заряды - величины алгебраические.

Электрическое поле характеризуется вектором напряженности , который численно равен силе, действующей на единичный положительный пробный электрический заряд qпр:

. (1.2)

Это соотношение чаще используется для нахождения силы по известной напряженности: .

Напряженность поля точечного заряда q равна:

. (1.3)

Вектор проведен от заряда к точке наблюдения, .

Для расчета поля , созданного системой из n зарядов, используется принцип суперпозиции:

, (1.4)

где - напряженность поля, созданного зарядом под номером i.

Для случая непрерывного распределения заряда по объему V с объемной плотностью принцип суперпозиции предполагает интегрирование:

. (1.5)

Здесь - вектор, проведенный от элементарного объема dV к точке наблюдения, . Если заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью или по контуру с линейной плотностью , тогда рассчитываются, соответственно, поверхностный или криволинейный интегралы:

, . (1.5а)

Теорема Остроградского - Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную:

. (1.6)

Для заряда, непрерывно распределенного в объеме V, охваченном поверхностью S, . Теорема Остроградского - Гаусса удобна при расчете полей, созданных зарядами, распределенными с некоторой симметрией. В дифференциальной форме теорема имеет вид:

. (1.6 а)

Поле неподвижных зарядов - безвихривое, и циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру L равна нулю:

. (1.7)

Такое поле - потенциальное, его потенциал связан с напряженностью:

, (1.8)

или, в декартовых координатах:

, , . (1.8 а)

Проекция El на любое направление в пространстве, задаваемое вектором , равна:

. (1.9)

В осесимметричных и центральносимметричных задачах, где поле зависит только от одной пространственной координаты r:

. (1.10)

Потенциал поля точечного заряда:

(1. 11)

Для потенциала поля системы зарядов также справедлив принцип суперпозиции:

. (1.12)

При непрерывном распределении зарядов в пространстве потенциал определяется интегрированием по объему, где имеется заряд:

. (1.13)

В случае распределения заряда по поверхности с поверхностной плотностью или по контуру с линейной плотностью вместо объемного рассчитываются поверхностный или криволинейный интегралы, соответственно:

, (1.13 а)

. (1.13 б)

В отличие от напряженности потенциал является скалярной величиной, расчет которой проще. Поэтому на практике часто сначала находят , а потом дифференцированием - вектор .

Из (1.8) и (1.6 а) следует основное уравнение электростатики:

, (1.14)

где - оператор Лапласа.

Работа сил электрического поля по перемещению заряда q из точки с потенциалом 1 в точку с потенциалом 2 равна:

A12 = q(1 - 2). (1.15)

Примеры решения задач

Задача 1. Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 0,7 нКл. Найти модуль напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

Решение

Выделим на полукольце (рис.1.1) бесконечно малую дугу, расположенную под углом , длиной:

dl = Rd, (1)

где d - малое приращение угла. Тогда, обозначая линейную плотность заряда на полукольце:

, (2)

выразим заряд дуги:

. (3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Его можно считать точечным из-за малости дуги. Созданная им напряженность поля в центре полукольца по величине равна (1.3):

. (4)

Этот вектор образует с осью x угол . Применим принцип суперпозиции (1.5), складывая все векторы , соответствующие всевозможным значениям , от -/2 до +/2. В силу симметрии и однородности распределения заряда (=const) результирующий вектор совпадает с осью х, так как перпендикулярные к ней составляющие компенсируются. Задача сводится к суммированию проекций на ось х:

. (5)

Такое суммирование соответствует интегрированию по , которое можно провести по четверти кольца, удвоив результат:

. (6)

Подставляя из (2), получаем:

. (7)

Подставляя числовые значения, найдем:

(кВ/м).

Задача 2. Тонкое проволочное кольцо радиуса R = 100 мм имеет электрический заряд q = 50 мкКл. Каково будет приращение силы, растягивающей проволоку, если в центр кольца поместить точечный заряд q0 = 7мкКл?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заряд распределяется по металлическому кольцу равномерно с линейной плотностью:

. (1)

Каждый элемент кольца отталкивается всеми другими одноименно с ним заряженными элементами, так что кольцо в целом стремится разорваться. Его удерживают от разрыва силы упругости, возникающие в материале при деформации растяжения. Так, электрические силы - силы отталкивания - стремятся оторвать одну половинку кольца от другой, а силы упругости, возникающие в точках контакта полуколец, препятствуют отрыву.

Например, на левое полукольцо (рис.1.2) со стороны правого действуют электрическая сила отталкивания F, направленная перпендикулярно диаметру MN, и силы упругости Т, приложенные в диаметрально противоположных точках M и N контакта полуколец . Условие равновесия:

2T - F = 0. (2)

Заряд q0 того же знака, что и заряд полукольца, действует на полукольцо с силой F, которая обусловливает появление добавочных сил упругости Т. Теперь условие равновесия примет вид:

2 (Т + Т) - (F + F) = 0. (3)

Вычтя из (3) (2), получим для Т:

. (4)

По третьему закону Ньютона сила F численно равна силе F0, приложенной со стороны полукольца к заряду q0. Ее можно выразить через напряженность Е поля, создаваемого полукольцом в своем центре О, и заряд q0 (1.2):

 F = F0 = Е q0. (5)

Величина Е найдена в задаче 1 (формула (6)). Подставляя в нее , определяемое выражением (1) данной задачи, получим:

. (6)

Наконец, по формуле (4), с учетом (5) и (6),запишем:

. (7)

Подставляя числовые значения, найдем:

(Н).

Задача 3. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити приходится заряд . Найти силу взаимодействия кольца и нити.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис.1.3 изображены кольцо и нить, расположенная на его оси x. Пусть оба они заряжены положительно. В точке А на расстоянии x от центра кольца заряд dq на бесконечно малой дуге dl кольца создает поле с напряженностью :

, (1)

где - угол между и осью х.

Так как кольцо заряжено равномерно, то каждому элементу dl соответствует такой же диаметрально противоположный. Множество элементов кольца порождает множество векторов , образующих коническую поверхность. Складываясь по принципу суперпозиции (1.5), они дают результирующий вектор , направленный по оси. Следовательно, складывать надо их проекции dEx, равные:

. (2)

Поскольку и х одинаковы для всех элементов кольца, интегрирование дает:

. (3)

На элемент нити dx, несущий заряд dq = dx, действует сила dF, равная (1.2):

. (4)

Для нахождения результирующей силы F, действующей на всю полубесконечную нить, надо интегрировать по х в пределах от 0 до . Однако удобно перейти к переменной и интегрировать от /2 до 0. В самом деле,

, (5)

.

С учетом этого, из формулы (4) следует:

(6)

Тогда сила, с которой кольцо действует на всю нить, равна:

. (7)

Интересно, что точку приложения этой результирующей силы указать невозможно - она уходит в бесконечность. Можно изобразить равную ей и противоположно направленную силу Fk. Согласно третьему закону Ньютона, она приложена к кольцу в его центре.

Интегрирование непосредственно по х выражения (4) с учетом того, что , дает тот же результат:

. (8)

Задача 4. Найти напряженность электрического поля, созданного поверхностью вращения в центре одной из ограничивающих ее окружностей. Задано уравнение образующей поверхности , причем и поверхностная плотность заряда . Полученную формулу применить к случаю заряженной полусферы радиуса .

Решение

На рис.1.4а изображена поверхность вращения S, ограниченная окружностями в плоскостях и . Поверхность можно представить в виде совокупности кольцевых бесконечно узких полосок, вырезанных плоскостями с координатами и .

Площадь поверхности такой полоски равна:

, (1)

ее заряд:

. (2)

(Здесь y означает производную функции y(x) по x).

Размещено на http://www.allbest.ru/

В точке О, т.е. на расстоянии (-х) от центра кольца, напряженность поля, согласно формуле (3) предыдущей задачи, равна:

, (3)

где . Подставляя также выражение для dq по формуле (2), получаем:

(4)

Результирующая напряженность находится путем интегрирования полученного выражения по х в пределах от а до 0.

В качестве примера рассмотрим полусферу радиуса R , схематично изображенную на рисунке 1.4б. Для нее:

, ,

,

Подставляя эти выражения в формулу (4), получаем:

. (5)

Интегрирование дает:

.

Задача 5. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины l заряжен равномерно с линейной плотностью . Найти модуль и направление напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от стержня на расстояние а и находится на перпендикуляре к стержню, проходящем через один из его концов. Исследовать случай полубесконечного стержня.

Решение

Совместим начало координат с концом стержня, ось y направим вдоль стержня, а ось x - перпендикулярно ему.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Направления векторов напряженности на рис.1.5 соответствуют положительно заряженному стержню. Его бесконечно малый элемент с координатой y длины dy несет заряд dy, создающий в точке A напряженность величиной (1.3):

. (1)

Координате y соответствует угол .

Так как , то , и для dE получаем:

, (2)

где d - бесконечно малый угол, под которым из точки А виден элемент стержня dy. Используя принцип суперпозиции (1.5), сложим все векторы. Для этого надо сложить их компоненты:

(3)

В результате получим:

(4)

Здесь - угол, под которым виден стержень из точки А и который можно определить одним из соотношений:

; . (5)

Модуль результирующего вектора напряженности:

.(6)

Вектор образует с осью x угол , определяемый с учетом (4), из соотношения:

(7)

Для дальнейшего анализа удобно придать формулам (6) и (7) более компактный вид:

(8)

Результат для полубесконечного стержня получим, устремив к (теперь у стержня только один конец, и точка А лежит на перпендикуляре, проходящем через него, как показано на рисунке справа):

; (9)

Вектор напряженности поля бесконечного стержня можно найти как сумму векторов напряжённостей двух симметрично расположенных полубесконечных стержней. Он направлен по оси х и по модулю равен:

(10)

Задача 6. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд , изогнута, как показано на рисунке. Радиус закругления R значительно меньше длины нити. Найти модуль напряженности в центре кривизны O закругленного участка.

Решение

Заряженная нить состоит из трех участков: 1, 2, 3, указанных на рис.1.6. AB и CD - полубесконечные нити, BC - дуга окружности. Участок 2 - это четверть окружности радиуса R, которая создает поле с вектором напряженности , направленным по биссектрисе прямого угла, образованного прямолинейными участками (на рисунке - ось х).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассчитаем величину E2, воспользовавшись формулой (6) задачи 1, в которой верхний предел интегрирования , соответствующий полуокружности, заменим на для четверти окружности. Получим:

. (1)

Для расчета напряженностей, создаваемых полубесконечными участками 1 и 3, можно воспользоваться результатом задачи 5. Вектор составляет угол со своим участком 1, - угол со своим участком 3, таким образом, эти векторы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Их модули одинаковы в силу равноудаленности точки О от концов каждого из полубесконечных участков. Следовательно, при сложении векторов , , по принципу суперпозиции (1.4) векторы и взаимно уничтожаются, и в результате остается:

. (2)

Модуль этого вектора, согласно (1), равен:

. (3)

Задача 7. Находящаяся в вакууме круглая тонкая пластинка с внутренним радиусом а и внешним b заряжена с поверхностнойплотностью . Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния х от ее центра. Исследовать полученное выражение при х  0 и x >> b.

Решение

Электрическое поле однородно заряженной пластины осесимметрично, вектор напряженности на ее оси x направлен вдоль оси (рис.1.7). Его величину можно получить дифференцированием потенциала, распределение которого находится по принципу суперпозиции (1.13a).

Выделим на пластинке узкую кольцевую полоску c внутренним радиусом y и шириной dy, а на полоске - малый участок длины dl. Площадь его равна dl dy, а заряд dq=dldy. В точке А с координатой х на расстоянии он создает потенциал (1.11):

. (1)

Суммирование потенциалов от всех участков (по принципу суперпозиции) сводится к двойному интегрированию:

(2)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Вектор напряженности равен градиенту потенциала со знаком "минус". В точках оси х он имеет только осевую компоненту, равную (1.10):

. (3)

Исследуем предельные случаи.

При х 0 получим:

; E(0) = 0. (4)

Для анализа полученных функций при х >> b выполним преобразования:

,

. (5)

Хотя << 1 , << 1, просто пренебречь этими слагаемыми в формулах (5) нельзя: это дало бы = 0, E = 0, что соответствует бесконечно удаленным точкам, но не отражает характера убывания этих величин при удалении от центра пластинки.

Воспользуемся разложением в ряд функции вида f(z) = (1+z)p при z << 1 и ограничимся слагаемыми первого порядка малости:

. (6)

Применяя это приближенное равенство к (x) (p = 1/2) и E(x) (p = -1/2), получаем:

(7)

(8)

Здесь через q обозначен общий заряд пластинки, равный

Полученные формулы (7) и (8) совпадают с формулами для потенциала и напряженности поля точечного заряда. Это означает, что на большом (по сравнению с ее размером) удалении пластинка создает такое поле, как будто весь ее заряд сосредоточен в одной точке - в ее центре.

Задача 8. Заряд Q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал:

а) в центре шара;

б) внутри шара как функцию расстояния r от его центра.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Физический смысл имеет только разность потенциалов, и если в задаче требуется найти значение потенциала в некоторой точке, то предполагается, что его значение в другой точке известно. Такой общепринятой во многих случаях является точка, бесконечно удаленная от заряженного объекта (r ), где потенциал полагается равным нулю. Значение же его в центре шара зависит от характера распределения заряда. Поскольку этот характер различен внутри и вне шара, необходимо решать последовательно внешнюю задачу (чтобы найти потенциал на поверхности шара), а затем - внутреннюю. Поле однородно заряженного шара центрально-симметрично, т.е. вектор напряженности выражается через радиус - вектор , как (рис. 1.8). В таком поле потенциал связан с напряженностью соотношением (1.10). Получим выражение для напряженности.

Для этого воспользуемся теоремой Остроградского - Гаусса (1.6) и запишем выражение для потока вектора через концентрическую с шаром сферическую поверхность S1 некоторого радиуса r > R:

. (1)

Здесь учтено, что скалярное произведение вектора на единичный вектор нормали к сферической поверхности . Поверхность S1 охватывает весь заряженный шар, тогда согласно (1.6):

. (2)

(Так как по условию, диэлектрическая проницаемость равна всюду единице, можно использовать теорему, сформулированную применительно к вакууму).

Итак, для r > R получаем:

, (3)

а затем, согласно (1.10):

. (4)

В результате интегрирования в пределах от точки с произвольным r до точки r , где = 0, получаем:

, (5)

или:

. (6)

В частности, при r R получаем:

. (7)

Теперь при решении внутренней задачи точка на поверхности шара (r = R) будет выступать как точка с известным значением потенциала, задаваемым формулой (7).

Опять рассмотрим сферическую поверхность S2, построенную теперь уже внутри шара, т.е. r < R. Поток вектора напряженности через нее по-прежнему выражается формулой (1). Но охваченный ею заряд q меньше заряда шара Q. При постоянной объемной плотности заряда :

q = (4/3)r3, Q = (4/3)R3. (8)

Исключая , получим:

. (9)

Тогда согласно (1.6):

, (10)

Итак, для r < R получаем:

. (11)

Заметим, что при r =R формулы (3) и (11) дают одинаковое значение:

. (12)

Согласно (1.10):

. (13)

Интегрируя в пределах от произвольного r до R, получаем:

. (14)

Подставляя (R) из (7), после преобразований получаем зависимость потенциала от координаты внутри шара:

. (15)

В частности, при r = 0, т.е. в центре шара:

. (16)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Как видим, напряженность поля шара при r < R пропорциональна расстоянию r (11), а при r > R - обратно пропорциональна квадрату расстояния (3) от его центра. На рис. 1.9. вверху дан график этой зависимости. Ниже дан график для потенциала. Он состоит из ветви параболы (квадратичная зависимость (15) при r < R) и ветви гиперболы (обратно пропорциональная зависимость (6)), которые сопрягаются без излома (производная при r = R непрерывна).

Задача 9. Тонкое кольцо радиуса R = 25 cм имеет заряд Q = 5 мкКл, неравномерно распределенный по кольцу. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда q = 10мкКл из центра кольца по произвольному пути в точку, находящуюся на оси кольца на расстоянии l = 50 см от его центра.

Решение

Для нахождения работы, которую совершает электрическое поле, перемещая заряд из точки 1 в точку 2, необходимо знать потенциалы этих точек (1.15). Если бы точки были расположены произвольно, задача не имела бы решения, так как заряд на кольце распределен неравномерно, а закон распределения не задан. Однако для равноудаленных от кольца точек - точек его оси - решение существует.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим малый элемент дуги dl на кольце, несущий заряд dQ (рис.1.10) В точке оси с координатой х (начало координат - в центре кольца) этот заряд создает потенциал (1.11):

. (1)

Выражение в знаменателе не зависит от положения заряда dQ на кольце. Поэтому при интегрировании (для нахождения потенциала, созданного всем кольцом, по принципу суперпозиции) его можно вынести за знак интеграла:

. (2)

Интегрирование по контуру L, т.е. по кольцу, при любом распределении заряда дает полный заряд кольца:

. (3)

Подставляя (3) в формулу (2), получим:

. (4)

В поле с таким распределением потенциала перемещается пробный заряд q из точки 1, где х =0 в точку 2, где х = l. При этом поле кольца совершает работу, определяемую по формуле(1.15):

(5)

Подставляя числовые значения, найдем:

 Дж.

Задача 10. Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью , где - постоянная, r - расстояние от центра шара (r > R). Найти заряд шара, при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от r. Чему равна эта напряженность? Диэлектрическая проницаемость всюду = 1.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

По условию = 1, что позволяет использовать соотношения для электрического поля в вакууме.

Напряженность поля сферически симметрично заряженной системы (она схематично изображена на рис. 1.11) удобно находить по теореме Остроградского - Гаусса (1.6). Через точку М на расстоянии r от центра проведем сферическую поверхность S, поток вектора напряженности через которую равен:

4r2Е. (1)

Здесь учтено, что векторы нормали и напряженности сонаправлены (для определенности взято > 0).

Заряд, охваченный поверхностью S, складывается из зарядов Q шара и q(r) сферического слоя, в котором координата y меняется в пределах R < y < r. Согласно теореме (1.6):

. (2)

Отсюда:

. (3)

Независимость этого выражения от r возможна только при определенной зависимости q(r) и соответствующем ей заряде Q.

Чтобы найти q(r), представим сферический слой между шаром и сферой S в виде совокупности тонких сферических слоёв радиуса y (R < y < r) и толщины dy. Объем бесконечно малого слоя , его заряд: . Тогда весь заряд между шаром и сферой S равен:

. (4)

Подставляя это выражение в (3), получаем:

. (5)

Отсюда видно, что при

Q = 2R2 (6)

напряженность не зависит от r и равна:

. (7)

Задачи для контроля

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.

В вершинах квадрата с диагональю 2l находятся точечные заряды q и -q, как показано на рисунке. Найти модуль напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние x от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин квадрата.

2. Две длинные параллельные нити равномерно заряжены каждая с линейной плотностью = 0,5 мк Кл/м. Расстояние между нитями l = 45 см. Найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями.

3. Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью , где и - положительные постоянные, r - расстояние от центра системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию r. Исследовать полученное выражение при малых и больших r, т.е при << 1 и >> 1.

4. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса R каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны q и -q. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние l, если R = 30 см, l = 52 см, q = 0,4 мк Кл.



Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд , имеет конфигурацию, показанную на рисунке. Радиус закругления R значительно меньше длины нити. Найти модуль напряженности электрического поля в точке 0.

6. Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от координаты y как , где а и b - некоторые постоянные. Найти распределение объемного заряда .

Задачи для самостоятельного решения

1. С какой силой взаимодействовали бы два медных шарика, каждый массой 1 г, находясь на расстоянии 1 м друг от друга, если бы суммарный заряд всех электронов в них отличался на 1 % от суммарного заряда всех ядер?

Ответ: около 2?1015 Н.

2. Кольцо радиуса r из тонкой проволоки имеет заряд q. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния l до его центра. Исследовать полученную зависимость при l >> r. Определить максимальное значение напряженности и соответствующее расстояние l. изобразить примерный график функции E(l).

Ответ: 1) при l >> r ;

при .

3. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд -q. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от оси кольца на расстояние x, если x >> R.

Ответ: .

4. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит от расстояния r до центра как , где - постоянная. Полагая, что диэлектрическая проницаемость всюду, найти:

а) модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r;

б) максимальное значение модуля напряженности Emax и соответствующее ему значение rm.

Ответ: а) при r R,

при r R;

б) при .

5. Бесконечно длинная прямая нить заряжена равномерно с линейной плотностью мкКл/м. Вычислить разность потенциалов точек 1 и 2, если точка 2 находится дальше от нити, чем точка 1, в раза.

Ответ: к В.

6. Определить напряженность электрического поля, потенциал которого зависит от координат x, y по закону:

1) ; 2) ,

где a - постоянная. Изобразить примерный вид этих полей при помощи линий вектора (в плоскости xy).

Ответ: 1) ;

2) , - орты осей x, y.

2. Электрическое поле в веществе

Электрическая емкость

Под действием электрического поля диэлектрики поляризуются, в них возникают связанные заряды. Поляризация диэлектриков характеризуется поляризованностью , которая равна дипольному моменту молекул в единице объема: . Поверхностная и объемная плотности связанных зарядов определяются поляризованностью вещества:

, , (2.1)

где Pn -проекция на направление внешней нормали к поверхности.

Для изотропных диэлектриков поляризованность пропорциональна напряженности электрического поля:

, (2.2)

где - диэлектрическая восприимчивость вещества.

Электрическое поле в диэлектриках характеризуют электрическим смещением , которое определяется соотношением:

, (2.3)

, (2.4)

где = 1+ - относительная диэлектрическая проницаемость.

Теорема Остроградского-Гаусса для вектора : поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов в объеме, ограниченном этой поверхностью:

. (2.5)

Уравнения электростатики в веществе имеют вид:

интегральная форма

, ,; (2.6)

дифференциальная форма

, . (2.7)

Первое уравнение указывает на существование в природе электрических зарядов, второе выражает потенциальность электростатического поля, третье учитывает электрические свойства вещества.

На границе раздела двух диэлектриков при отсутствии свободных электрических зарядов выполняются граничные условия:

, (2.8)

,

где и - единичные векторы нормали и касательной к границе раздела. Для однородного и изотропного диэлектрика напряженность и потенциал поля точечного заряда в раз меньше, чем в вакууме:

. (2.9)

Уравнение Пуассона для однородного и изотропного диэлектрика имеет вид:

. (2.10)

В электрическом поле заряды находятся только на поверхности проводника. Внутри проводника напряженность поля равна нулю, потенциал везде одинаковый, объемные заряды отсутствуют.

. (2.11)

Поверхность проводника является эквипотенциальной, вектор напряженности электрического поля перпендикулярен поверхности и пропорционален поверхностной плотности заряда:

. (2.12)

Внутри замкнутой проводящей оболочки напряженность электрического поля равна нулю. На этом основано действие электростатической защиты.

Электрическое поле в веществе также подчиняется принципу суперпозиции и складывается из электрического поля в вакууме и поля поляризованных (индуцированных) зарядов:

. (2.13)

Способность проводников накапливать электрические заряды называется электроемкостью (или просто емкостью).

Емкость C единичного проводника определяется отношением его заряда q к потенциалу поверхности:

. (2.14)

Емкость шара пропорциональна его радиусу:

C = 40R. (2.15)

Конденсатор представляет собой два проводника (обкладки), расположенные на расстоянии друг от друга. Емкость конденсатора равна отношению заряда q к напряжению U между обкладками:

. (2.16)

Емкость конденсатора определяется только его геометрическими размерами и свойствами диэлектрика. Две параллельные пластины площадью S, находящиеся на малом расстоянии d, образуют плоский конденсатор емкостью:

. (2.17)

Поле идеального плоского конденсатора однородно с напряженностью и сосредоточено только между пластинами.

Заряженный конденсатор имеет энергию:

. (2.18)

Конденсаторы соединяют в батареи последовательно и параллельно. При последовательном соединении емкость батареи определяется выражением:

, (2.19)

Заряды конденсаторов одинаковые, а напряжения складываются:

.

При параллельном соединении емкости батареи и заряды складываются

, (2.20)

а напряжения на всех конденсаторах одинаковые:

U1 = U2 = … = Un.

Электрическое поле обладает запасом энергии. Плотность энергии w электрического поля (энергия единицы объема) определяется выражением:

. (2.21)

С учетом формулы (2.3) плотность энергии электрического поля можно представить в виде:

. (2.22)

Первое слагаемое в (2.22) дает энергию поля в вакууме, а второе - работу по поляризации диэлектрика.

Энергия электрического поля в объеме V находится интегрированием по этому объему:

. (2.23)

Примеры решения задач

Задача 1. Имеются две бесконечные параллельные плоскости, заряженные с плотностями + и -. Первоначально они находятся в вакууме. Затем зазор между плоскостями заполняется однородным изотропным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью . Какими станут напряженность поля , электрическое смещение и разность потенциалов U между плоскостями?

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

В силу симметрии, электрическое поле между плоскостями однородное (рис.2.1). Проще всего сначала найти электрическое смещение , которое определяется только свободными зарядами и между плоскостями будет равно:

D = . (1)

Напряженность поля определяется по формуле (2.4)

. (2)

Разность потенциалов найдем, проинтегрировав вдоль прямой от положительно до отрицательно заряженной плоскости:

, (3)

где l - расстояние между плоскостями.

В отсутствие диэлектрика характеристики поля равны:

(4)

Сравнивая (1) - (3) и (4) видим, что после внесения диэлектрика D не изменилось, а E и U уменьшилось в раз. Ослабление напряженности поля и потенциала обусловлено появлением на поверхности диэлектрика связанных зарядов с плотностью + . Причем возле плоскостей появляются связанные заряды противоположного знака, которые создают электрическое поле с напряженностью, ослабляющее поле свободных зарядов .

Задача 2. В однородном электрическом поле с напряженностью E0 = 100 B/м находится бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного изотропного диэлектрика с относительной диэлектри-ческой проницаемостью = 2, расположенная перпендикулярно . Определить напряженность поля и электрическое смещение внутри пластины, поляризованность диэлектрика и поверхностную плотность связанных зарядов .

Решение

На границе раздела диэлектриков выполняются граничные условия (2.8), которые для этой задачи запишутся в виде:

E0 = E, D0 = D, (1)

где D0 = 0 E0 - электрическое смещение в вакууме. Отсюда для E и D получаем:

5 В/м,0,885 нКл/м2. (2)

Поляризованность с напряженностью связанны выражением (2.2)

нКл/м2. (3)

Поверхностная плотность зарядов определяется первым из соотношений (2.1). Учитывая, что в силу перпендикулярности и пластины , получаем:

нКл/м2. (4)

Знак (+) в (4) соответствует разноименным зарядам. Направление всех векторов и полярность связанных зарядов приведены на рис. 2.1.

Задача 3. Бесконечная пластина из диэлектрика с проницаемостью находится в вакууме и заряжена однородно с объемной плотностью . Толщина пластины 2а.

а) Найти потенциал и напряженность поля E внутри и вне пластины как функции расстояния х до середины пластины. Потенциал в середине пластины считать равным нулю.

б) Определить поляризованность P диэлектрика, объемную и поверхностную плотность связанных зарядов.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электрическое поле пластины, как и поле бесконечной плоскости, обладает плоской симметрией. Это значит, что век-тор электрического смещения перпендикулярен плоскости пластины и зависит только от расстояния до середины пластины. Введем ось х перпендикулярную пластине с началом в ее середине (рис. 2.2).

Для определения D воспользуемся теоремой Гаусса (2.5). В качестве контрольного объема для интегрирования возьмем прямой параллелепипед, расположенный симметрично серединной плоскости пластины (на рис. 2.2. сечение параллелепипеда изображено прямоугольником ABCD ). Рассмотрим поле внутри пластины, т.е. при . Пусть основания параллелепипеда AB и CD расположены на расстоянии х. При вычислении потока учтем, что вектор параллелен боковой поверхности параллелепипеда и перпендикулярен основаниям. Для потока получим:

, (1)

где S0 - площадь основания параллелепипеда.

Заряд в контрольном объеме найдем интегрированием:

. (2)

Приравнивая (1) и (2) по теореме Гаусса находим электрическое смещение:

. (3)

Напряженность поля E найдем из соотношения (2.4)

. (4)

Напряженность и потенциал связаны соотношением:

, (5)

интегрируя которое, находим потенциал:

.

Постоянная интегрирования С находится из начального условия

(0) = 0 = С.

Окончательно для потенциала внутри пластины получим:

. (6)

Потенциал, а затем и другие характеристики поля можно найти другим способом, решив уравнение Пуассона (2.10), которое для данной задачи имеет вид:

.

В уравнении Пуассона записаны полные производные, потому что зависит только от одной координаты .

После интегрирования уравнения имеем

(7)

Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из начальных условий

(0) = 0, . (8)

Первое из условий (8) соответствует требованиям задачи, а второе - отражает симметрию поля относительно середины пластины (в середине пластины Е = 0). с учетом условий (8) найдем, что С1 = 0 и С2=0, и получим решение (6).

Рассмотрим электрическое поле вне пластины, т.е. при х>а. Электрическое смещение найдем по теореме Гаусса, как было описано выше. Интегрирование проводится по параллелепипеду, проекция которого изображена на рис. 2.2 прямоугольником А1В1С1D1.

Для потока и заряда имеем

, (9)

Здесь учтено, что заряд имеется только в той части объема, которая находится в пластине.

Приравнивая правые части выражений (9), находим сначала смещение D, а потом напряженность Е

D = а, . (10)

Потенциал определим, проинтегрировав (5)

. (11)

Постоянная С' находится из условия непрерывности потенциала на поверхности пластины. Потенциал должен быть непрерывным, т. к. его производная дает напряженность поля. Если имеет разрыв, то Е в этой точке стремится к бесконечности, что не соответствует физическому смыслу.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Приравнивая (6) и (11) при х=а, находим

. (12)

Изобразим полученные зависимости графически на рис. 2.3.

Найдем поляризованность и связанные заряды в диэлектрике. По формуле (2.2) для поляризованности имеем

. (13)

Поверхностную и объемную плотность связанных зарядов найдем, используя соотношения (2.1):

, . (14)

Из выражений (14) видно, что на поверхности пластины возникает связанный заряд такого же знака, как и свободный. Объемный связанный заряд имеет противоположный знак.

Потенциал вне пластины можно найти из уравнения (2.10), которое для этой области имеет вид

.

Запишем решение уравнения

=С3х+С4.

Постоянные С3 и С4 находятся их граничных условий на поверхности пластины

х=а-0=х=а+0, .

Первое из условий выражает непрерывность потенциала, а второе - соответствует условию (2.8) для напряженности поля. После подстановки и дифференцирования приходим к уравнениям

, .

,

и после подстановки постоянных приходим к выражению (12).

Задача 4. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью > 0 по шару радиуса R из однородного диэлектрика с проницаемостью . Найти зависимость напряженности и потенциала от расстояния r до центра шара. Определить поляризованность, поверхностную и объемную плотность связанных зарядов.

Решение

Электрическое поле в этой задаче обладает центральной симметрией, и его характеристики зависят только от расстояния r до центра шара. Поэтому для решения задачи удобно воспользоваться теоремой Гаусса для электрического смещения (2.5). Сначала рассмотрим поле внутри шара (r < R). Для определения потока возьмем сферическую поверхность радиуса r, центр которой совпадает с центром шара. В силу симметрии на сферической поверхности электрическое смещение одинаковое, и для потока имеем

. (1)

Внутри сферической поверхности заключен заряд

, (2)

который составляет часть заряда шара, т.к. r < R. Приравнивая (1) и (2), находим смещение D и напряженность Е

, . (3)

Рассуждая аналогично, для электрического смещения D снаружи шара (r>R) по теореме Гаусса получим

4r2D=4/3R3=q,

где q - заряд шара. Отсюда найдем D, а затем напряженность поля Е:

. (4)

Для нахождения потенциала воспользуемся связью между Е и , которая для центрально - симметричного поля запишется в виде

.

Интегрируя это уравнение внутри и снаружи шара, получим следующие выражения для потенциала

(5)

Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из условий непрерывности и нормировки потенциала. На поверхности шара потенциал непрерывен (см. Задачу 3), а на бесконечности стремится к нулю:

(6)

Из условий (6) находим

С2 = 0,

После подстановки постоянных для потенциала имеем

(7)



Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 2.4 зависимости Е и от r изображены графически. При r = R кривая для потенциала имеет излом, а для напряженности - разрыв. Причем напряженность снаружи на поверхности шара в раз больше, чем внутри. Это связано с поверхностными связанными зарядами. Поляризованность диэлектрика найдем по формуле (2.2)

(8)

Объемную и поверхностную плотность связанных зарядов определим из соотношений (2.1)

,

При вычислении ' учтено, что Действительно, прямым дифференцированием получаем

Задача 5. Однородный диэлектрик с относительной проницаемостью имеет вид сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого а и b. Определить напряженность электрического поля как функцию расстояния до центра системы, если диэлектрик заряжен однородно положительным свободным зарядом с объемной плотностью .

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

В этой задаче, как и в предыдущей, электрическое поле центрально симметричное. Поэтому для решения воспользуемся теоремой Гаусса для электрического смещения (2.5). Разобьем все пространство на три области r<a, arb, r>b. Для области, в которой нет заряда, получим

Откуда следует, что

D = 0, при r < а. (1)

Во второй области имеется свободный заряд и поток D не равен нулю. Величину заряда найдем, проинтегрировав по толщине r тонкого сферического слоя

(2)

Приравнивая заряд потоку D

q = 4r2D, (3)

найдем электрическое смещение

если а r b. (4)

Для третьей области заряд определится выражением

Размещено на http://www.allbest.ru/

. (5)

Приравнивая (3) и (5), находим D в этой области

если r > b (6)

Напряженность поля найдем по формуле (2.4)

Графики зависимости Е(r) и D(r) приведены на рис. 2.6. Внутри сферического слоя поле отсутствует. При r а смещение изменяется непрерывно, а напряженность поля терпит разрыв при r = b, который обусловлен поверхностными связанными зарядами, как отмечалось в задаче 4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 6. Сначала напряженность поля между обкладками плоского конденсатора равна Е0. Затем половину зазора, как показано на рис. 2.7, заполнили диэлектриком с проницаемостью . Найти напряженность поля и электрическое смещение в обеих частях зазора, если при введении диэлектрика напряжение на обкладках конденсатора не изменялось.

Решение

Электрическое поле между обкладками конденсатора однородное, разное в диэлектрике и в вакууме. На поверхности диэлектрика выполняются граничные условия (2.8)

Е1 = Е2, (1)

где индексы 1 и 2 соответствуют вакууму и диэлектрику.

Напряжение между обкладками конденсатора определяется интегралом

, (2)

где d - расстояние между обкладками, а интегрирование ведется вдоль перпендикуляра к обкладкам. В отсутствие диэлектрика

U = E0d. (3)

Приравнивая (2) и (3) с учетом (1), найдем напряженность поля

, . (4)

Электрическое смещение определим по формуле (2.4)

, .

Сравнивая D1 и D2, видим, что они равны. Этот вывод соответствует граничному условию (2.8) для нормальной составляющей D.

Задача 7. Заряд q = 10-10 Кл равномерно распределен по объему шара радиуса R = 1 см, сделанного из однородного диэлектрика с проницаемостью = 2. Определить: а) энергию W поля, связанного с шаром; б) энергию W1, заключенную внутри шара; в) энергию W2, заключенную в окружающем шар пространстве.

Решение

Объемная плотность энергии электрического поля определяется выражением (2.21):

, (1)

а вся энергия находится интегрированием по объему

. (2)

Используя результаты решения задачи 4, для Е имеем

(3)

Для D имеем

(4)

Здесь - объемная плотность заряда, которая связана с зарядом шара выражением

. (5)

Интегрирование в (2) проще всего проводить по толщине шарового слоя dr, объем которого dV = 4r2dr. Подставляя (3) и (4) в (1) и (2), и проводя интегрирование, находим энергию электрического поля внутри шара

и снаружи шара

Энергия поля, связанного с шаром, равна сумме энергий W1 и W2:

Задача 8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями толщиной d1 и d2 с проницаемостями 1 и 2. Площадь каждой обкладки равна S. Найти емкость конденсатора.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Представим данный конденсатор как два последовательно соединенных конденсатора с емкостями С1 и С2 (рис. 2.8). При последовательном соединении складываются величины, обратные емкости (2.19)

. (1)

Каждый из конденсаторов С1 и С2 можно считать плоским и определять емкость по формуле (2.17)

, . (2)

Подставляя (2) в (1) находим емкость конденсатора

.

Задача 9. Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того же звена, состоящего из двух одинаковых конденсаторов, каждый емкости С (рис. 2.9).

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим сначала одно первое звено цепи, состоящее из двух пос-ледовательно соединенных конденсаторов. Емкость этого звена найдем по формуле (2.19)

. (1)

Добавим еще одно звено и найдем емкость батареи из двух звеньев

(2)

Для батареи из n звеньев имеем рекуррентное соотношение

. (3)

Учитывая, что все члены в (3) положительные, получаем после отбрасывания второго слагаемого неравенство , которое дает оценку емкости батареи

. (4)

Последовательность Сn монотонная и ограничена сверху, значит она имеет предел, который обозначим Сб. Учитывая, что и , запишем (3) для предельного перехода

.

После преобразований получаем квадратное уравнение относительно Сб

.

Решая это уравнение находим емкость бесконечной батареи конденсаторов

Второй корень уравнения отрицательный и не соответствует физическому смыслу.

Задача 10. Определить работу А, которую нужно совершить, чтобы увеличить на х = 0,2 мм расстояние х между пластинами плоского конденсатора, заряженными разноименными зарядами величины q = 0,2 мкКл. Площадь обкладок S = 400 см2, между обкладками воздух.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом изменения энергии системы

W=А. (1)

Энергия конденсатора определяется выражением (2.18)

(2)

Емкость плоского конденсатора рассчитаем по формуле (2.17)

. (3)

После смещения обкладок емкость конденсатора будет

. (4)

Подставляя (3) и (4) в (2) и (1), получим затраченную работу

Задача 11. Два длинных круглых провода с одинаковыми радиусами а расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно b. Найти взаимную емкость проводов на единицу их длины при условии b>>а.

Решение

Выделим участок двухпроводной линии длиной l. По определению емкость этого участка

(1)

где q - заряд, U - разность потенциалов проводников, - линейная плотность зарядов. Из (1) для емкости единицы длины линии получаем

(2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть проводники заряжены так, как изображено на рис. 2.10. Распределение зарядов по поверхности проводников в общем случае неравномерное потому, что каждый из проводников находится в электрическом поле другого. При больших расстояниях между проводниками по сравнению с их размерами (b>>а) влиянием второго проводника на распределение зарядов по поверхности первого можно пренебречь, что существенно упрощает решение задачи. Согласно принципу суперпозиции потенциал 1 поверхности первого проводника определяется зарядами как 1 так и 2 проводников:

 1=1+2. (3)

Здесь 1 - потенциал поверхности 1 проводника, создаваемый зарядами этого проводника; 2 - потенциал поля 2 проводника в центре 1 проводника. Зависимость 2 для цилиндрического проводника лучше всего найти через напряженность поля Е, которую определим по теореме Гаусса. Для цилиндрической поверхности единичной длины по теореме Гаусса имеем

(4)

Потенциал найдем интегрированием

(5)

где А - постоянная интегрирования, которая уйдет при вычислении разности потенциалов. Подставляя (5) в (3) и учитывая, что а знаки зарядов противоположны, получим

(6)

Аналогично для потенциала 2 поверхности второго проводника найдем

(7)

Подставляя 1 и 2 в выражение (2), определим емкость линии

.

Задачи для контроля

1. В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью электрическое смещение равно . Чему равна поляризованность в этой точке?

2. Определить плотность связанных зарядов на поверхности слюдяной пластинки толщиной d = 0,2 мм, служащей изолятором в плоском конденсаторе, заряженном до напряжения U = 400В. Относительная диэлектрическая проницаемость слюды = 7.

3. Найти емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса а, расстояние между центрами которых b, причем b>>а.

4. Конденсатор емкостью С1, предварительно заряженный до напряжения U, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкости С2. Найти приращение электрической энергии этой системы к моменту установления равновесия. Объяснить полученный результат.

5. Пространство между обкладками плоского конденсатора емкостью С заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью . Какую работу надо совершить, чтобы удалить диэлектрик? Заряд конденсатора q остается постоянным.

Размещено на http://www.allbest.ru/

6. Имеется заряженный плоский конденсатор. Зазор между обкладками конденсатора заполняется диэлектриком с проницаемостью . Что происходит при этом с плотностью энергии w поля в зазоре, если конденсатор:

а) соединен с источником напряжения;

б) отключен от источника напряжения?

7. Пространство между пластинами плоского конденсатора емкостью С до половины заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью , как указано на рис. 2.11. Определить емкость конденсатора после удаления диэлектрика.

Размещено на http://www.allbest.ru/

8. В схеме, изображенной на рис. 2.12, напряжение между точками А и В равно U0, отношение емкостей С2/С1=n. Найти напряжение между точками С и D.

Задачи для самостоятельного решения

1. В однородное электрическое поле с напряженностью Е0 = 100В/м помещена перпендикулярно полю бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью = 2. Определить: а) напряженность поля Е и электрическое смещение D внутри пластины; б) поляризованность диэлектрика Р; в) поверхностную плотность связанных зарядов '.

Ответ: Е = 50 В/м; D = 0,885 нКл/м2; Р = 0,44 нКл/м;

= 0,44 нКл/м2.

2. Бесконечная пластина толщиной а из изотропного диэлектрика помещена перпендикулярно в однородное внешнее электрическое поле с напряженностью . Диэлектрическая проницаемость пластины изменяется линейно вдоль направления от значения до .Вне пластины = 1. Найти объемную плотность связанных зарядов '. внутри пластины, как функцию расстояния х от ее границы

Ответ: .

3. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен изотропным диэлектриком, проницаемость которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону от до , причем > . Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d. Найти

а) емкость конденсатора;

б) объемную плотность связанных зарядов, как функцию , если заряд конденсатора и поле в нем направлено в сторону возрастания .

Ответ: а) ; б) .

4. У поверхности фарфора напряженность поля в воздухе = 200 В/см. Направление поля образует с нормалью к поверхности угол = 40. Определить: а) угол 1 между направлениями поля и нормалью в фарфоре; б) напряженность поля Е1 в фарфоре; в) поверхностную плотность ' связанных зарядов. Относительная диэлектрическая проницаемость фарфора = 6.

Ответ: 1=79, Е1= 130 В/см; =1,110-11 Кл/м2.

5. Найти емкость сферического конденсатора с радиусами обкладок R1 и R2 > R1 который заполнен диэлектриком с проницаемостью . Исследовать случай, когда зазор между обкладками d намного меньше их радиуса: (R1 - R2) << R1.

Ответ:

6. Пренебрегая рассеиванием поля вблизи краев обкладок, найти емкость цилиндрического конденсатора. Радиусы обкладок R1 и R2 (R1<R2), их длина l. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком с проницаемостью .

Ответ: .

7. Напряжение между обкладками плоского конденсатора емкостью С равно U. Какую работу надо совершить, чтобы заполнить пространство между обкладками однородным диэлектриком с проницаемостью . Напряжение на конденсаторе остается постоянным.

Ответ:

8. Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того же звена, состоящего из конденсаторов емкостью С1 и С2 (рис. 2.13).

Ответ:

9. Напряженность поля между обкладками плоского конденсатора Е0. половину зазора параллельно обкладкам заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью так, что напряжение при этом на конденсаторе не изменилось. Найти напряженность поля и электрическое смещение в обеих частях зазора.

Ответ: Е1=Е0, Е2=Е0/, D1=D2=0Е0.

3. Постоянный электрический ток

Электрический ток, возникающий в проводящих средах в результате упорядоченного движения свободных зарядов под действием электрического поля, называется током проводимости (например, ток в металлах, полупроводниках, электролитах - это упорядоченное движение свободных электронов или ионов).

Направлением тока считается направление упорядоченного движения положительных зарядов.

Сила тока:

, (3.1)

где dq - заряд, переносимый через поверхность (например, поперечное сечение проводника) за малый промежуток времени dt.

Для постоянного тока:

, (3.2)

где q - весь заряд, перенесенный за промежуток времени от 0 до t.

Вектор плотности тока численно равен

, (3.3)

где dI - сила тока через малый элемент поверхности , нормальный к направлению движения носителей заряда. Направление вектора совпадает с направлением скорости положительных носителей заряда. Так, в металлах этот вектор направлен противоположно вектору скорости свободных электронов, а по величине равен:

j = enV (3.4)

где e - 1,602 10-19 Кл - заряд электрона (по абсолютной величине),

n - концентрация, V - средняя скорость электронов.

Придавая векторный смысл элементу поверхности , из (3.3) получим:

, (3.5)

то есть скаляр I является потоком вектора через поверхность S.

Постоянный ток поддерживается благодаря включению в цепь источников тока. В них неэлектростатические - сторонние - силы вызывают разъединение разноименных зарядов и обеспечивают разность потенциалов на концах проводника. Источник характеризуется электродвижущей силой (э.д.с.):

, . (3.6)

Здесь - работа сторонней силы по перемещению заряда q на участке 1 - 2.

Закон Ома для участка цепи, в который включен источник (такой участок называют неоднородным):

. (3.7)

> 0 , если участок 1 - 2 проходится внутри источника от отрицательного полюса к положительному. В противном случае  < 0. Величину U12 называют падением напряжения на участке. R - сопротивление, которое для проводников цилиндрической формы длины l с площадью поперечного сечения S рассчитывается по формуле:

, (3.8)

где - удельное сопротивление материала.

Для участка цепи, не содержащего источников (однородного) из (3.7), положив = 0, получим:

. (3.9)

В дифференциальной форме закон Ома для однородного участка связывает плотность тока с вектором напряженности :

, (3.10)

где - удельная проводимость материала.

Количество теплоты , выделяющееся в проводнике с сопротивлением R при прохождении по нему тока I за малое время dt, по закону Джоуля-Ленца, равно: