. (3.11)

Тепло, выделенное за промежуток времени от 0 до :

. (3.12)

Этот же закон в дифференциальной форме позволяет рассчитать удельную тепловую мощность тока (т.е. количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в единичном объеме):

. (3.13)

В разветвленных цепях сопротивление участка, не содержащего источников тока, рассчитывают по следующим формулам:

при последовательном соединении:

, (3.14)

при параллельном соединении:

. (3.15)

Для расчета произвольной разветвленной цепи используются правила Кирхгофа.

Первое (правило узлов): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

, (3.16)

где m - число проводников, сходящихся в узле (m > 2). Ik > 0 для тока, втекающего в узел, Ik < 0 для вытекающего тока.

Второе (правило контуров): алгебраическая сумма произведений сил токов Ik на сопротивления Rk соответствующих участков контура равна алгебраической сумме э.д.с. в контуре:

, (3.17)

где m1 - число отдельных участков, на которые контур разбивается узлами. Положительными считаются токи, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Знак э.д.с определяется как указано ранее.

Примеры решения задач

Задача 1. Однородная слабо проводящая среда с удельным сопротивлением заполняет пространство между двумя коаксиальными идеально проводящими тонкими цилиндрами. Радиусы цилиндров а и b, причем а < b, длина каждого цилиндра l. Пренебрегая краевыми эффектами, найти сопротивление среды между цилиндрами.

Решение

Предложенная конструкция идеально проводит ток в осевом направлении, но оказывает сопротивление току, текущему радиально, от внутреннего к внешнему цилиндру. На рис.3.1 изображено сечение, перпендикулярное оси цилиндров O, и проведена другая, перпендикулярная первой, ось Or. Конструкция осесимметрична, поэтому, пренебрегая краевыми эффектами, можно утверждать, что взятые в произвольной точке M векторы напряженности и плотности тока направлены вдоль оси Or, а их модули зависят только от радиальной координаты r этой точки.

Чтобы получить зависимость j(r), проведем через точку M цилиндрическую поверхность и запишем выражение для силы тока I, текущего через нее. Согласно (3.5), сила тока - это поток вектора j, в данном случае равный:

. (1)

В стационарной задаче сила тока не зависит от r, иначе заряд, покинувший внутренний цилиндр (радиуса a) не был бы равен заряду, попавшему на внешний (радиуса b). Т.е. , I = const. Тогда из (1) получим:

. (2)

По закону Ома в дифференциальной форме (3.10)

. (3)

Так как , что для осесимметричных задач соответствует: , а в случае расходящегося тока Er = E, то из (3) получим дифференциальное уравнение для потенциала :

. (4)

Интегрирование его дает:

. (5)

. (6)

По закону Ома U = RI, следовательно, сопротивление данной конструкции:

. (7)

Второй способ решения. В данной задаче ток течет радиально. Выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Площадь поверхности этого слоя, через которую течет ток, равна 2rl. Сопротивление слоя определим по формуле:

. (8)

Сопротивление среды между цилиндрами определим как сопротивление последовательно соединенных слоев интегрированием:

. (9)

Задача 2. При каком сопротивлении x в цепочке на рис.3.2 сопротивление между точками A и B не зависит от числа ячеек?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

Укажем на схеме пары точек (An, Bn), n = 1, 2, 3, …. Они соответствуют граничной паре точек (A, B) при участии в схеме n ячеек. Обозначим соответствующее сопротивление цепочки Rn. Поскольку между точками An и Bn всегда две параллельные ветви, для Rn при n = 1, 2, 3… справедливо:

,

, (1)

,

…

.

Независимость сопротивления от числа ячеек означает, что:

, (2)

, (3)

Рассматривая первые два уравнения системы (1), заметим, что только при

. (4)

Тогда из первого уравнения следует:

. (5)

Пусть ( очевидно). Тогда уравнение (5) преобразуется к квадратному:

, (6)

из двух решений которого:

, (7)

физический смысл имеет только положительное решение:

. (8)

Отброшенное x = 0 не является решением задачи, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой x = 0 в первые два уравнения системы (получается , т.е. ).

Задача 3. К источнику постоянного тока с внутренним сопротивлением R0 подключили три одинаковых сопротивления R, соединенных между собой, как показано на рис. 3.3. При каком значении R тепловая мощность, выделяемая на этом участке, будет максимальна?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

В схеме точки 1 и 3 замкнуты накоротко, поэтому их потенциалы равны:

.

Аналогично:

,

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда схему можно заменить на эквивалентную ей, объединив точки, потенциалы которых попарно равны:

Теперь видно, что участок представляет собой параллельное соединение трех проводников с сопротивлением R, и его сопротивление, согласно (3.15), равно:

.

При подключении участка к источнику с некоторой э.д.с. и внутренним сопротивлением R0 по нему течет ток:

,

выделяя на участке тепловую мощность

.

эта мощность максимальна, когда максимальна функция:

.

Дифференцируя ее и приравнивая нулю производную, получаем:

,

откуда окончательно R = 3R0.

Задача 4. Найти разность потенциалов между обкладками конденсатора С схемы, если = 4 В, = 1 В, R1 = 10 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 20 Ом. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

В схеме три ветви с сопротивлениями R1, R2, R3. В них протекают токи I1, I2, I3, соответственно, направления которых укажем произвольно. По участку АB, содержащему конденсатор, ток не протекает. Точки А и B могут рассматриваться как концы других участков, например, BD и DA. Применим к этим участкам закон Ома (3.7), учитывая, что на BD отсутствует источник э.д.с., а на DA нет падения напряжения из-за отсутствия сопротивления:

,

.

Сложив эти уравнения, после преобразований получим:

. (2)

Такой же результат получается из рассмотрения ADB как единого участка, для которого .

Задача сводится к нахождению тока I1.

Запишем уравнение второго правила Кирхгофа (3.17) для контура, содержащего сопротивления R2 и R3:

, (3)

и для контура, содержащего R1 и R3:

. (4)

Здесь оба контура обходятся против часовой стрелки. Для узла D, согласно первому правилу Кирхгофа, запишем:

I1 - I2 + I3 = 0. (5)

Уравнения (3) - (5) запишем в виде системы:

(6)

Заметим, что по второму правилу получаем на одно уравнение меньше, чем количество контуров в схеме (третий возможный контур - это объединение первых двух), а по первому - на одно меньше, чем количество узлов (в схеме есть также узел G). Рассмотрение всех контуров и узлов добавило бы уравнения, представляющие собой линейные комбинации уже записанных.

Решая систему (6) (например, по правилу Крамера), получаем:

.(7)

подставляя числовые данные, рассчитаем ток I1:

(A).

Тогда, по формуле (2), окончательно получаем:

(B).

Таким образом, потенциал обкладки А конденсатора ниже, чем обкладки B. Она заряжена отрицательно.

Задача 5. Резистор с сопротивлением R и нелинейное сопротивление, вольт - амперная характеристика которого имеет вид , где а - постоянная, соединены последовательно и подключены к источнику напряжения U0. Найти ток в цепи.

Решение

Предложенная электрическая цепь имеет вид, показанный на рис.3.5. Для обычного резистора (участок 2 - 3), который еще называют линейным сопротивлением, падение напряжения связано с током линейной зависимостью (законом Ома):

Размещено на http://www.allbest.ru/

U23 = RI. (1)

Для сопротивления нелинейного (участок 1 - 2) связь этих величин более сложная:

, a = const. (2)

Благодаря последовательному подключению этих сопротивлений к источнику напряжения можно записать:

U0 = U12 + U23,

. (3)

Вводя обозначение:

, (4)

из уравнения (3) после преобразований получаем:

. (5)

Из двух корней данного квадратного уравнения условию (4) удовлетворяет только один - положительный корень:

. (6)

Следовательно, ток в цепи равен:

. (7)

Задача 6. Плоский конденсатор, заполненный диэлектриком с проницаемостью = 2,1, теряет за время = 3 мин половину сообщенного ему заряда. Счиитая, что утечка заряда происходит только через диэлектрическую прокладку, найти ее удельное сопротивление.

Решение

Из-за несовершенства заполняющего диэлектрика конденсатор теряет заряд, т.е. между его обкладками течет ток. Этот ток не постоянный (или не стационарный), но время, за которое он существенно изменяется, гораздо больше времени, необходимого для передачи информации об изменении каких-либо электрических величин в цепи (эта информация распространяется со скоростью света). Такие токи называют квазистационарными, для них также справедлив закон Ома (3.9):

U = IR. (1)

Применительно к данной задаче, R - сопротивление среды между обкладками, равное:

, (2)

U - напряжение на конденсаторе, связанное с зарядом q положительной обкладки и емкостью С:

, (3)

. (4)

Здесь l - расстояние между обкладками, S - площадь обкладки. По определению тока:

. (5)

Минус взят потому, что заряд положительной обкладки убывает, а формулы (1) и (3) связывают существенно положительные величины.

Подставляя в (1) выражения (2) - (5), получаем дифференциальное уравнение, описывающие изменение заряда конденсатора со временем:

. (6)

Преобразуем его к виду:

(7)

и проинтегрируем в пределах 0 < t < . Получим:

. (8)

Отсюда

. (9)

Подстановка числовых значений дает Ом·м.

Как видим, величина достаточно велика, но конечна. Для идеального изолятора было бы , и характерное время разрядки .

Задача 7. В схеме, показанной на рис. 3.6, емкости обоих конденсаторов равны C, сопротивление равно R. Один из конденсаторов (например, левый) зарядили до напряжения U0 и в момент времени t = 0 замкнули ключ К. Найти ток I в цепи как функцию времени t, а также количество тепла, выделившегося за все время процесса.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

При t = 0 заряд положительной обкладки левого конденсатора (рис.3.6) равен:

,

а правый конденсатор не заряжен. Пронумеруем точки, соответствующие обкладкам конденсаторов, как показано на рисунке. Пусть точка 2 соответствует положительной обкладке. Тогда после замыкания ключа через сопротивление R потечет ток разрядки, направленный от точки 2 к точке 3.

Этот квазистационарный ток (см. предыдущую задачу) также подчиняется закону Ома (3.9):

. (1)

Прибавляя в правой части потенциал и вычитая равный ему потенциал (они равны из-за отсутствия сопротивления на участке 4-1), и пользуясь соотношением предыдущей задачи:

, (2)

получим:

, (3)

где Uлев и Uправ - напряжения на левом и на правом конденсаторах, соответственно. Они связаны с их зарядами:

; , (4)

в последней формуле учтено, что суммарный заряд положительных обкладок обоих конденсаторов остается постоянным и равным q0.

Подставляя (4) в (3), получаем дифференциальное уравнение:

, (5)

которое преобразуется к виду:

. (6)

Интегрирование при начальном условии q(0) = q0 дает

. (7)

Потенцируя, получим зависимость заряда от времени:

, (8)

тогда, согласно (2), ток меняется по закону:

, (9)

т.е. экспоненциально убывает от наибольшего значения до 0 за бесконечное время (t). Однако, количество тепла, выделяющееся при этом, - величина конечная. Согласно (3.12), оно равно:

. (10)

Такой же результат получается из закона сохранения энергии. Первоначально вся энергия запасена в одном, заряженном зарядом q0, конденсаторе и равна:

. (11)

В конце процесса заряд q0 распределится поровну между обоими конденсаторами, и энергия каждого станет равной:

. (12)

электрический поле ток переменный

Энергия обоих конденсаторов:

 (13)

меньше первоначальной. Разница равна теплоте, выделившейся в результате всего процесса:

(14)

Задачи для контроля

1. На рисунке показана бесконечная цепь, образованная повторением одного и того же звена - сопротивлений R1 = 4 Ом и R2 = 3 Ом. Найти сопротивление между точками А и В.

2. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен стеклом с удельным сопротивлением = 100 ГОм·м. Емкость конденсатора С = 4 нФ. Найти ток утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U = 2 кВ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3.Длинный проводник круглого сечения радиуса а сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния r до оси проводника по закону, где - постоянная. Найти сопротивление единицы длины такого проводника.

4. Найти разность потенциалов между точками 1 и 2

схемы, если R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, . Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Найти значение и направление тока через сопротивление R в схеме, если , , R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R = 5 Ом. Внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

6. Найти ток через сопротивление R1 участка цепи, показанной на рисунке, если R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 =30 Ом; потенциалы точек 1, 2, 3 равны , , .

7. Сколько тепла выделится в спирали с сопротивлением R=75 Ом при прохождении через нее количества электричества q = 100 Кл, если ток в спирали равномерно убывал до нуля в течение t = 50 c?

8. Доказать, что распределение тока в параллельно соединенных сопротивлениях R1 и R2 соответствует минимуму выделяемой на этом участке тепловой мощности.

Задачи для самостоятельного решения

1. Конденсатор емкости C = 400 пФ подключили через сопротивление R = 650 Ом к источнику постоянного напряжения U0. Через сколько времени напряжение на конденсаторе станет U = 0,9 U0?

Ответ: = 0,6 мкс.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Источники тока с различными э.д.с. соединены, как показано на рисунке. Э.д.с. источников пропорциональны их внутренним сопротивлениям: , где - постоянная. Сопротивление проводов пренебрежимо мало. Найти ток в цепи и разность потенциалов между точками А и В.

Ответ: , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. В схеме на рисунке , R1 = 4 Ом, R2 = 6 Ом. Внутреннее сопротивление источника R = 0,1 Ом. Найти токи, текущие через сопротивления R1 и R2.

Ответ: , .

4. Найти э.д.с. и внутреннее сопротивление источника, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам с э.д.с. 1 и 2 и внутренними сопротивлениями R1 и R2.

Ответ: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. В схеме на рисунке , , , R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 =30 Ом. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Найти ток через сопротивление R1 и разность потенциалов между точками А и В.

Ответ: I1 = 0,06 А, .

Размещено на http://www.allbest.ru/

6. Найти ток через сопротивление R в схеме на рисунке. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы.

Ответ:

7. Сколько тепла выделится в спирали с сопротивлением R = 75 Ом при прохождении через нее количества электричества q = 100 Кл, если ток в спирали монотонно убывал до нуля так, что через каждые он уменьшался вдвое?

Ответ: МДж.

8. Обкладкам конденсатора емкостью C = 2 мкФ сообщили разноименные заряды q0 = 1 мКл. Затем обкладки замкнули через сопротивление R = 5 МОм. Найти: а) заряд, прошедший через это сопротивление за = 2 с;

б) количество тепла, выделившееся в сопротивлении за это же время.

Ответ: а) мКл;

б) мДж.

4. Магнитное поле. Электромагнитная индукция

Элемент объема dV, по которому протекает электрический ток, характеризующийся вектором плотности тока , создает в точке, определяемой радиус-вектором , проведенным из этого элемента, магнитное поле с индукцией ,равной, по закону Био - Савара - Лапласа:

. (4.1)

Здесь , 0 = 4 10-7 Гн/м - магнитная постоянная. Для тока I, текущего по тонкому проводнику, этот же закон имеет вид:

. (4.2)

Здесь - бесконечно малый вектор, направленный по касательной к проводнику. Сонаправленный с ним вектор называется элементом тока.

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции:

. (4.3)

Здесь - индукция, созданная в данной точке k-м элементом, - вектор индукции, созданный всеми элементами. В частности, индукция, созданная участком тонкого проводника между точками 1 и 2, находится интегрированием по этому участку:

. (4.3 а)

Для бесконечного прямолинейного проводника интегрирование дает:

, (4.4)

где а - расстояние от данной точки поля до проводника. Направление вектора индукции в этом случае связано с направлением тока так же, как связаны между собой направления вращения и поступательного движения винта с правой нарезкой (правило буравчика). Для точки, лежащей на расстоянии а от конца полубесконечного проводника в перпендикулярной ему плоскости:

. (4.5)

Величина индукции магнитного поля в центре кругового тока радиуса R:

. (4.6)

Этот вектор направлен по оси кругового тока перпендикулярно его плоскости так, чтобы из его конца ток в контуре был виден текущим против часовой стрелки.

Циркуляция вектора магнитной индукции (в вакууме) по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром, умноженной на магнитную постоянную:

. (4.7)

Ток Ik считается положительным, если из конца соответствующего вектора плотности тока видно, что обход контура L происходит против часовой стрелки.

На элемент тока в магнитном поле с индукцией действует сила Ампера:

. (4.8)

Силу, действующую на участок тока 1-2, рассчитывают интегрированием этого выражения:

. (4.9)

В случае замкнутого контура с током в однородном поле (const) суммарная сила . Суммарный момент сил Ампера:

. (4.10)

Здесь - вектор магнитного момента контура:

(4.11)

где - единичный вектор внешней нормали к поверхности S, ограниченной контуром. Вектор направлен так, чтобы из его конца ток в контуре был виден текущим против часовой стрелки.

Вращающий момент (4.10) стремится привести контур в положение устойчивого равновесия, при котором векторы и параллельны.

Магнитным потоком через поверхность S с внешней нормалью называют интеграл от вектора индукции магнитного поля:

, (4.12)

здесь.

При изменении магнитного потока в контуре, ограничивающем эту поверхность, возникает э.д.с. индукции. По закону Фарадея она равна:

. (4.13)

Знак «минус» соответствует правилу Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти магнитную индукцию, создаваемую участком прямолинейного проводника с током I в точке, отстоящей от него на расстояние а. Направление на эту точку из концов участка 1 и 2 задается углами 1 и 2, соответственно.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Из точки М, в которой требуется найти магнитную индукцию (рис. 4.1.), опустим перпендикуляр МО на прямую, содержащую участок 1-2 (длина перпендикуляра равна а). С прямой совместим ось oy так, чтобы ток протекал в ее положительном направлении. Тогда начало произвольного вектора элемента тока имеет координату y, а его длина равна . Этот элемент тока создает в точке М магнитную индукцию, определяемую формулой (4.2), ее абсолютная величина равна:

. (1)

Для любого элемента тока вектор перпендикулярен плоскости рисунка и направлен за чертеж, поэтому для нахождения модуля результирующего поля B достаточно сложить все dB.

Из рисунка видно, что при y > 0

, (2)

а при y < 0

. (3)

Последние два равенства эквивалентны, следовательно, для любого y:

. (4)

Подставляя это выражение в формулу (1) и учитывая, что , получим:

. (5)

Интегрирование в пределах от 1 до 2 дает для результирующей магнитной индукции:

. (6)

Отсюда как частные случаи получаются формулы (4.5) для полубесконечного тока ( , ) и (4.4) для бесконечного (1 = 0, 2 = ).

Задача 2. Ток I течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса R. Найти магнитную индукцию в центре данного контура. Исследовать полученное выражение при n .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вектор B магнитной индукции в центре О окружности, описанной около правильного n - угольника (рис. 4.2), равен сумме одинаковых векторов B1, порожденных одинаковыми участками 1 - 2 сторонами n - угольника:

B = n B1. (1)

Величину B1 найдем, воспользовавшись результатом задачи 1 (формула 6). Из рисунка видно, что участок 1 -2 является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и углом при вершине . Следовательно, расстояние от участка с током до точки О, в которой рассчитывается магнитная индукция, равно:

. (2)

Направление на точку О задается углами:

(3)

. (4)

подставляя (2), (3), (4) в формулу (6) задачи 1, получаем:

, (5)

Поле, созданное всеми сторонами n - угольника, согласно (1) равно:

. (6)

для исследования при n перепишем это выражение в виде:

, (7)

пределом которого при n является:

. (8)

Это выражение совпадает с результатом (4.6) для кругового тока (пределом n - угольника при n является окружность).

Задача 3. Найти магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис. 4.3. Радиус изогнутой части проводника R, прямолинейные участки очень длинные.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проводник состоит из пяти участков разного типа, номера которых укажем на рисунке. Участки 2 и 4 содержат элементы , образующие с радиус-вектором, проведенным в точку О, углы, равные либо 0, либо . Согласно закону Био - Савара - Лапласа (4.2) в таких случаях т.е. в магнитную индукцию участки 2 и 4 вклада не дают. Рассмотрим участки 1, 3 и 5.

Участок 1 представляет собой полубесконечный прямой ток. В точке О, т.е. на расстоянии R/2, созданная им индукция, согласно (4.4.), равна:

. (1)

Этот вектор направлен против оси ОZ. Аналогично, участок 5 создает вектор индукции такой же по величине:

, (2)

но направленный иначе - против оси OX.

Участок 3 представляет собой половину кругового тока. Созданная им магнитная индукция, согласно (4.6), равна:

(3)

и направлена против оси OX.

Для результирующего вектора индукции в точке О по принципу суперпозиции (4.3) получим:

. (4)

Учитывая, что векторы и направлены одинаково, а им перпендикулярен, для модуля результирующего вектора получим:

. (5)

Подставляя в (5) выражения (1), (2), (3), после преобразований получаем:

. (6)

Задача 4а. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого током, равномерно распределенным по плоскости с линейной плотностью .

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чтобы найти магнитную индукцию в про-извольной точке М (рис. 4.4.) на некотором расстоянии а от плоскости с током Р1, опустим из М на Р1 перпендикуляр MN0. Через его основание - точку N0 - проведем прямую , перпендику-лярную вектору линейной плотности тока , через эту прямую и точку М построим плоскость А, перпендикулярную плоскости Р1 (рис. 4.4. дан в плоскости А).

В окрестности точки N0 выделим бесконечную полоску малой ширины dS, идущую вдоль вектора - бесконечный прямой ток величины . Этот ток порождает магнитную индукцию , направленную (согласно правилу правого винта) перпендикулярно отрезку MN0, т.е. параллельно прямой . Выбрав симметрично точке N0 точки N1 и N2 и выделив бесконечно малые прямые токи , построим для них векторы и , равные друг другу по величине и расположенные симметрично вектору . Их векторная сумма направлена вдоль . Таким образом, вся плоскость состоит из аналогичных полосок (бесконечных прямых токов , k = 0, 1, 2…) и индукция ее магнитного поля может быть, согласно принципу суперпозиции, получена как сумма магнитных индукций этих токов:

. (1)

Результирующий вектор направлен параллельно прямой .

Очевидно, его величина не изменяется при смещении точки М вдоль плоскости Р1, а может зависеть только от расстояния а. Это позволяет не применять непосредственно закон Био - Савара - Лапласа и принцип суперпозиции (что довольно громоздко), а использовать теорему о циркуляции вектора магнитной индукции (4.7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 4.5 указан прямоугольный контур CDEF со стороной DE = h. В некоторых точках контура построены векторы магнитной индукции и элемента контура . Очевидно, что циркуляция по отрезкам CD и EF равна нулю (здесь ), а по отрезкам DЕ и FC - равна :

. (2)

Ток, охваченный контуром , равен:

, (3)

По теореме о циркуляции запишем:

, (4)

, (5)

откуда окончательно для поля всей плоскости:

.` (6)

Как видно, величина индукции магнитного поля не зависит также от расстояния до плоскости.

Задача 4.б. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого токами, равномерно распределенными по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями и .



Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 4.6 изображены плоскости Р1 и Р2, по которым токи с одинаковой по величине линейной плотностью i текут в противоположных направлениях. В точке М, расположенной между плоскостями, векторы индукции (от плоскости Р1) и (от плоскости Р2) направлены одинаково. Их сумма равна:

. (7)

В точке G вне плоскостей из-за противоположной ориентации и их сумма равна нулю:

B = 0 (8)

Аналогичный результат получается при расчете индукции электростатического поля, созданного двумя параллельными бесконечными плоскостями, заряженными разноименными зарядами с поверхностными плотностями и .

Векторы индукции, созданные каждой плоскостью, в пространстве между ними одинаково направлены, и поля взаимно усиливаются: . Вне плоскостей поля взаимно компенсируются.

Задача 5. Два длинных прямых взаимно перпендикулярных провода отстоят друг от друга на расстояние а. В каждом проводе течет ток I. Найти максимальное значение силы Ампера на единицу длины провода в этой системе.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Предложенная конфигурация изображена на рис. 4.7.: проводник 2 лежит в плоскости рисунка, проводник 1 перпендикулярен ей и пересекается с ней в точке N. Отрезок NP перпендикулярен проводнику 2 и, по условию, длина его равна а. Из произвольной точки М, взятой на втором проводнике (ее положение определяется углом MNP = ) построим элемент тока . На него в поле, созданном первым проводником, действует сила Ампера :

. (1)

Здесь - вектор магнитной индукции поля первого проводника, направленный перпендикулярно вектору и равный:

. (2)

Модуль силы:

. (3)

На единицу длины приходится сила:

. (4)

В треугольнике МNP:

, (5)

что после подстановки в выражение (4) дает:

. (6)

Эта величина максимальна при , тогда , и равна:

. (7)

Если направление тока в одном из проводников изменить на противоположное, то угол между векторами и окажется равным - . Это повлечет за собой изменение направления силы Ампера , но не повлияет на ее величину: формула (7) останется справедливой. Изменение направления токов в обоих проводниках не меняет ни величины, ни направления силы.

Задача 6. Заряд q равномерно распределен по объему однородного непроводящего шара радиуса R, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью . Найти магнитный момент шара.

Осесимметричное заряженное тело можно представить в виде набора колец. Вращаясь, они механически переносят заряды по окружностям, создавая круговые токи, текущие в параллельных плоскостях. Их магнитные моменты различны по величине, но направлены одинаково - по оси вращения в направлении, связанном с током правилом правого винта. Складываясь, они дают суммарный магнитный момент всего тела, направленный так же. Сила тока , где - заряд, перенесенный через сечение за время . В данном случае - заряд кольца, - период обращения, за который этот заряд полностью переносится через перпендикулярное кольцу сечение. Тогда:

. (1)

На рис. 4.8. вверху дано меридиональное сечение шара. Рассмотрим слой, перпендикулярный оси вращения oy, на расстоянии y от центра, имеющий бесконечно малую толщину dy и радиус r. Линейные величины удобно выразить через угловые:

, (2)

, (3)

, (4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где - широтный угол, 0 2, d - его малое приращение. Этот слой, имеющий форму диска, можно представить, как изображено на рис. 4.8 внизу, в виде совокупности колец радиуса x и ширины dx, 0 < x< r. Объем кольца

, (5)

его заряд:. (6)

Здесь - объемная плотность заряда шара, равная:

. (7)

Вращаясь, кольцо создает ток, величина которого, согласно (1), равна

. (8)

Магнитный момент этого тока равен (4.11):

. (9)

Учитывая формулы (5) - (9) получим для элементарного вклада, который дает малое кольцо в общий магнитный момент шара:

. (10)

Интегрируя по верхнему полушарию и удваивая результат (вклады верхнего и нижнего полушарий одинаковы), получаем:

 (11)

Подставляя по формуле (7), окончательно получаем:

. (12)

Задача 7. Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку К с числом витков n = 200 поместили в зазор между полюсами магнита, как показано на рисунке. Площадь сечения катушки s =1 см2, длина плеча ОА коромысла l = 30 см. В отсутствие тока через катушку весы уравновешены. После того как через катушку пустили ток I = 22 мA, для восстановления равновесия пришлось изменить груз на чаше весов на m = 60 мг. Найти индукцию магнитного поля в месте нахождения катушки.

Решение

На верхнем рисунке изображена схема установки, главная часть которой - рычаг с неподвижной точкой О; на нижнем - распределение сил и моментов сил. Ось Оz вращения рычага направим за чертеж. В отсутствие тока выполняется условие равновесия: сумма проекции на ось Оz моментов сил тяжести катушки m1g и чаши с грузом m2g равна нулю:

. (1)



Размещено на http://www.allbest.ru/

При пропускании через катушку тока I у нее появляется магнитный момент, который можно найти умножением магнитного момента одного витка (4.11) на их количество:

pm = nIs. (2)

Допустим, ток в цепи протекает так, что вектор направлен влево вдоль плеча ОК. Тогда при заданном направлении магнитного поля (от северного полюса N к южному S, т.е. вниз), вектор момента сил Ампера направлен против оси оz:

. (3)

(Из-за малости катушки поле между полюсами магнита в ее пределах можно считать однородным). Чтобы равновесие сохранялось, необходимо обеспечить добавочный момент сил , направленный по оси OZ, добавив на чашу груз массой m. Теперь условие равновесия имеет вид:

. (4)

Вычтя из уравнения (4) уравнение (1), получим:

, (5)

откуда:

. (6)

Подставляя выражение (2) для pm, получим окончательно:

. (7)

Подставляя числовые данные, получаем:

(Тл).

Если изменить на противоположное направление тока в катушке или поменять местами полюса магнита, то вектор момента сил Ампера окажется направлен по оси OZ. В этом случае равновесие рычага восстанавливается снятием с чаши груза массы . Уравнение (4) примет вид:

, (8)

Это не повлияет на результат: формула (7) останется справедливой.

Задача 8. По - образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка 12, как изображено на рис. 4.10. Перемычка имеет длину l, массу m и сопротивление R. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией B. В момент t = 0 на перемычку стали действовать с постоянной горизонтальной силой F, и перемычка начала перемещаться вправо. Найти зависимость ее скорости от времени. Самоиндукция и сопротивление - образного проводника пренебрежимо малы.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть положение перемычки задается координатой x вдоль оси, направленной по силе (рис. 4.10.). Движение перемычки вправо увеличивает площадь контура, который она замыкает. Вместе с этим увеличивается магнитный поток через контур. Это вызывает появление э.д.с. индукции и индукционного тока, который своим полем, согласно правилу Ленца, должен препятствовать нарастанию магнитного потока. Следовательно, ток направлен против часовой стрелки (тогда его магнитная индукция противоположна внешней магнитной индукции , направленной за чертеж), т.е. по перемычке он течет от точки 2 к точке 1. Его величина равна:

, (1)

где - абсолютное значение Э.Д.С индукции, которое найдем из закона Фарадея (4.13):

. (2)

Во внешнем магнитном поле на перемычку с током Iинд действует сила Ампера:

, (3)

где вектор направлен от 2 к 1. При этом сила Ампера противоположна внешней силе .Проектируя их на ось ОХ, запишем уравнение движения перемычки:

. (4)

Получим выражение для FA, пользуясь соотношениями (1) - (3):

. (5)

Введя обозначение , подставим выражение для FA в уравнение (4):

. (6)

Разделяя переменные, получаем:

. (7)

Интегрирование с учетом начальных условий дает:

. (8)

После потенцирования и последующих преобразований зависимость скорости от времени примет вид:

. (9)

После подстановки значения :

. (10)

Заметим, что скорость экспоненциально приближается к предельному значению .

Задача 9. Квадратная рамка со стороной b и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости, как показано на рис. 4.11. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью V. Найти э.д.с. индукции в рамке как функцию расстояния x.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вектор магнитной индукции поля бесконечно длинного прямого проводника с током перпендикулярен чертежу (рис.4.11.) и убывает по величине по мере удаления от проводника (4.5). Поэтому магнитный поток уменьшается при удалении рамки. Как следствие, в ней возникает э.д.с. индукции, определяемая законом Фарадея (4.13).

Для расчета потока направим ось Oy перпендикулярно проводнику с током вдоль одной из сторон рамки, совместив начало координат с ближней к току стороной. Тогда через бесконечно тонкую полоску на поверхности рамки, взятую в точке с координатой y длины b и ширины dy (на рисунке она заштрихована) проходит поток вектора индукции:

. (1)

Здесь B(y) -индукция поля тока на расстоянии a = x + y от него, равная (4.4):

. (2)

Подставляя это выражение в (1) и интегрируя по всей поверхности рамки, т.е. по y от 0 до b, получаем:

. (3)

Магнитный поток зависит от x; значит, для движущейся со скоростью рамки зависит от времени. По закону Фарадея (4.13):

. (4)

Выполнив дифференцирование, после преобразований получаем:

. (5)

Задача 10. По двум медным гладким шинам, установленным под углом к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы m (схема установки дана на рис. 4.12). К концам шин подсоединен конденсатор емкости С. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией B, перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти ускорение перемычки w.

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Причина появления э.д.с. индукции в данной установке описана для аналогичной ситуации в задаче 8. Ее величина равна:

, (1)

а порождаемый ею индукционный ток Iинд - ток подзарядки конденсатора - направлен от точки 2 к 1. Конденсатор как будто подключен к источнику тока, а поскольку сопротивление в цепи равно нулю, напряжение на обкладках равно э.д.с.:

. (2)

Тогда положительный заряд одной из обкладок:

q = CU = CBlV, (3)

а индукционный ток:

, (4)

здесь - ускорение перемычки.

Протекание тока по перемычке во внешнем магнитном поле вызывает силу Ампера , направленную перпендикулярно перемычке вверх по наклонной плоскости и равную:

. (5)

На перемычку действует также сила тяжести и сила реакции опоры . По второму закону Ньютона:

. (6)

Проектируя это векторное уравнение на ось х, направленную параллельно шинам вниз, получим:

. (7)

С учетом (5) и (4):

. (8)

Отсюда после преобразований получаем для ускорения перемычки:

. (9)

Если B = 0 или C = 0, т.е. нет условий для возникновения индукционного тока и связанной с ним силы Ампера, формула (9) дает известный результат для ускорения тела, скользящего без трения вниз по наклонной плоскости:

.

Напротив, увеличение индукции B поля или емкости С конденсатора ведет к уменьшению ускорения. В пределе, когда >> 1 w0, т.е. в сильном магнитном поле перемычка скользит практически равномерно.

Задачи для контроля

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током I, показанного на рисунке. Радиусы a и b, а также угол известны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током I имеет одну из конфигураций, показанных на рисунке:

Радиус изогнутой части проводника равен R, прямолинейные участки предполагаются очень длинными.

3. Длинный проводник с током I = 5 А изогнут под прямым углом. Найти магнитную индукцию в точке, которая отстоит от плоскости проводника на расстояние l = 35 см и находится на перпендикуляре к ней, проходящем через точку изгиба.

4. Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти:

а) индукцию магнитного поля в центре диска;

б) магнитный момент диска.

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Замкнутый контур с током I находится в поле длинного проводника с током I0. Плоскость контура перпендикулярна прямому проводнику. Найти момент сил Ампера, действующих на этот контур, если он имеет вид, показанный на рисунке. Радиусы a и b известны.



Размещено на http://www.allbest.ru/

6. Прямой провод с сопротивлением R1 на единицу длины согнут под углом 2, как показано на рисунке. Перемычка из такого же провода, расположенная перпендикулярно биссектрисе угла 2, образует с согнутым проводом замкнутый треугольный контур. Этот контур помещен в однородное магнитное поле с индукцией , перпендикулярное к его плоскости. Найти направление и силу тока I, текущего в контуре, когда перемычка движется с постоянной скоростью V. Сопротивлением в местах контактов 1 и 2 пренебречь.

Задачи для самостоятельного решения

1. По круговому витку радиуса R = 100 мм из тонкого провода циркулирует ток I = 1А. Найти магнитную индукцию а) в центре витка; б) на оси витка в точке, отстоящей от его центра на х = 100 мм.

Ответ: а) мкТл; б) мкТл.

2. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид прямоугольника, если его диагональ d = 16 см, угол между диагоналями = 30 и ток в контуре I = 5 А.

Ответ: мТл.

3. Найти магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I = 8 A имеет вид, показанный на рисунке. Радиус изогнутой части проводника R = 100 мм, прямолинейные участки очень длинные.

Ответ: мкТл.



Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Непроводящая сфера радиуса R = 50 мм, заряженная равномерно с поверхностной плотностью = 10 мкКл/м2, вращается с угловой скоростью = 70 рад/с вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти магнитную индукцию в центре сферы.

Ответ: пТл.

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Найти модуль и направление силы, действующей на единицу длины тонкого проводника с током I = 8A в точке О, если проводник имеет одну из конфигураций, показанных на рисунке:

R = 10см; l = 20см; параллельные участки - бесконечно длинные.

Ответ: а) мН/м; б)мН/м.

Размещено на http://www.allbest.ru/

6. Провод, имеющий форму параболы y = kx2, находится в однородном магнитном поле с индукцией B. Из вершины параболы в момент t = 0 начали перемещать перемычку . Найти э.д.с. индукции в образовавшемся контуре как функцию y, если перемычку перемещают:

а) с постоянной скоростью V;

б) с постоянным ускорением а, причем в момент t = 0 скорость перемычки была равна нулю.

Ответ: а) ; б) .

Размещено на http://www.allbest.ru/

7. По двум гладким медным шинам, установленным под углом к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы m. Шины замкнуты на сопротивление R. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией B, перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти установившуюся скорость перемычки (шины считать достаточно длинными).

Ответ: .

5. Колебания и волны

Сложение колебаний. Между колебательным и вращательным движением есть аналогия. Если вектор вращается в плоскости ХОY с постоянной угловой скоростью вокруг т. О (рис. 5.1.), то проекция вектора на ось Х изменяется по закону

 (5.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где - начальный угол. Как известно, уравнение (5.1) описывает гармонические колебания с амплитудой а, циклической частотой и начальной фазой .

Сумма двух колебаний одинакового направления и одинаковой частоты (рис. 5.2), заданных уравнениями

,

равна

(5.2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где

При сложении двух колебаний одного направления с незначительно различающимися частотами ( )



Размещено на http://www.allbest.ru/

получаются биения (рис. 5.3)

, (5.3) (5.4)

которые происходят с частотой 1 и амплитудой, изменяющейся со временем по закону

.

Переменный ток. На рис. 5.4 приведена схема колебательного контура, состоящего из конденсатора C, катушки индуктивности L и резистора R. Если сопротивление контура равно нулю, то он называется идеальным, и колебания в нём происходят с периодом

Размещено на http://www.allbest.ru/

. (5.4)

Наличие сопротивления R приводит к затуханию колебаний по закону:

, , ,, (5.5)

где U - напряжение; Um0 - начальная амплитуда; в - коэффициент затухания; щ - частота; щ0 - собственная частота.

Переменным называется ток, изменяющийся со временем по гармоническому закону. В цепи из последовательно соединённых конденсатора, катушки и сопротивления напряжение и сила тока изменяются по закону

, ,

а значения силы тока и напряжения связаны законом Ома

, (5.6)

, ,

Здесь XL и XC - индуктивное и ёмкостное сопротивления. Напряжение и ток сдвинуты по фазе на угол .

Средняя мощность в цепи переменного тока зависит от сдвига фаз и определяется законом Джоуля - Ленца

, (5.7)

где , - действующие значения тока и напряжения.

Волны. Основные понятия. Волной называют процесс распространения колебаний в пространстве. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, образуют волновую поверхность. По форме волновой поверхности различают плоские, цилиндрические и сферические волны. По направлению колебаний в волне выделяют продольные и поперечные волны. Упругие волны могут быть как продольными (в газообразных, жидких и твердых телах), так и поперечными (в твердых телах и на границах раздела сред). Электромагнитные волны являются только поперечными. Для поперечных волн характерно явление поляризации.

Колебания в точке М, положение которой определяется радиус-вектором , происходят по закону

о(t,)=acos(щt-+б), (5.8)

где a - амплитуда, щ - циклическая частота, - начальная фаза, t - время, - волновой вектор, v - скорость волны, - нормаль к волновой поверхности. Уравнение (5.8) описывает плоскую монохроматическую волну с постоянной амплитудой. При наличии затухания амплитуда волны уменьшается для однородной среды по экспоненциальному закону

. (5.9)

где - коэффициент затухания.

Для сферической волны амплитуда колебаний убывает с расстоянием и волна описывается уравнением

о=cos(щt-+б). (5.10)

Плоская монохроматическая волна (5.8) удовлетворяет следующему волновому уравнению

. (5.11)

В газах звуковые волны распространяются со скоростью

(5.12)

где - показатель адиабаты, р и - давление и плотность, R - универсальная газовая постоянная, Т - абсолютная температура, - молярная масса.

Плотность энергии w и потока энергии для звуковых волн равны

, (5.13)

Поток энергии Ф через поверхность S определяется интегрированием по этой поверхности

(5.14)

Поэтому амплитуда и плотность потока энергии для цилиндрических и сферических волн убывает с расстоянием по закону

a1/r, j1/r2.

Две плоские волны, которые распространяются вдоль оси х навстречу друг другу и имеют одинаковые амплитуды, частоты и постоянную разность фаз, при наложении образуют стоячую волну

 (5.15)

Амплитуда стоячей волны зависит от координаты х. В точках

(5.16)

амплитуда максимальная, а в точках

(5.17)

Размещено на http://www.allbest.ru/

обращается в нуль - минимальная.

Отражение и преломление волн. На границе раздела двух сред наблюдается отражение и преломление волн. Пусть 1, 1' и 2 - падающий, отраженный и преломленный лучи, лежащие в одной плоскости с перпендикуляром ОР, проведенным в точку падения; 1, 1 и 2 - углы падения, отражения и преломления (рис. 5.5).

Законы отражения и преломления выражаются соотношениями

1=1, (5.18)

где v1 и v2 - скорость волны в первой и второй среде; n21 - относительный показатель преломления.

Амплитуды давления pa и скорости ua в звуковой волне связаны формулой Жуковского

. (5.19)

Средние значения плотности энергии w и плотности потока энергии j в звуковой волне определяются выражениями

, . (5.20)

Коэффициенты отражения R и преломления I волн равны

(5.21)

где n = v - акустический импеданс среды.

Если источник звука и приемник движутся раздельно или одновременно вдоль одной прямой, то частота звука, воспринимаемого приемником п, отличается от частоты звука и, излучаемого источником (эффект Доплера):

(5.22)

где Vп и Vи - скорости приемника и источника, направление которых изображено на рис. 5.6. Эффект Доплера используется для определения скорости тел.

Волны на поверхности жидкости. При возмущении поверхности жидкости в водоеме по ней распространяется поперечная гравитационная волна. Если длина волны много меньше глубины водоема h, то скорость поверхностной волны v определяется соотношением

, (5.23)

где g - ускорение свободного падения. Например, в водоеме глубиной 5м скорость волны около 7 м/с.

Электромагнитные волны. Электромагнитными волнами называют процесс распространения переменного электромагнитного поля в пространстве. В отличие от упругих электромагнитные волны могут распространяться в вакууме, т.е. без наличия среды. Скорость распространения электромагнитных волн в веществе определяется выражением

(5.24)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; 0 и 0 - диэлектрическая и магнитная постоянные. В вакууме = 1, = 1 и скорость волны , что соответствует скорости света в вакууме, которая является одной из фундаментальных физических постоянных, ограничивающих скорость распространения взаимодействий.

Электромагнитная волна является поперечной. Векторы , и образуют правую тройку (рис. 5.7). Значения Е и Н пропорциональны между собой

. (5.25)

Плотность энергии w и плотность потока энергии электромагнитной волны определяются соотношениями

(5.26)

Взаимодействуя с поверхностью, электромагнитная волна оказывает на нее давление

p=(1+r)w, (5.27)

где r - коэффициент отражения (0 r 1 ), который равен нулю при полном поглощении и единице при полном отражении. Давление света экспериментально было измерено Столетовым. Давление солнечного света на Землю в ясный день составляет Р = (3570)Па.

Для большинства веществ 1 (только у ферромагнетиков >> 1) и скорость электромагнитной волны определяется выражением

(5.28)

где n = - абсолютный показатель преломления, с - скорость света в вакууме.

На границе раздела двух сред происходит отражение и преломление электромагнитных волн. Законы отражения и преломления описываются соотношениями (5.18).

Геометрическая оптика. Видимый свет является электромагнитными колебаниями с длинами волн в диапазоне 350<<760 нм. Нижняя граница соответствует фиолетовому цвету, а верхняя - красному. Геометрическая оптика рассматривает световые явления в приближении, что длина волны намного меньше размеров предметов. В этом приближении распространение волн описывается лучами - линиями, перпендикулярными волновым поверхностям. В основе геометрической оптики положены следующие законы

- прямолинейность распространения света в однородной среде;

- независимость лучей;

- закон отражения;

- закон преломления;

- обратимость световых лучей.

Эти законы являются общими для волн любой природы в рассматриваемом приближении.

Вся геометрическая оптика может быть построена на одном вариационном принципе Ферма, который утверждает, что между двумя точками свет распространяется за наименьшее время

.

В неоднородной среде траектория света криволинейная. Этим объясняются миражи в природе.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Линза является прозрачной оптической системой, ограниченной с двух сторон сферическими преломляющими поверхностями. Основным параметром тонкой линзы является фокусное расстояние f, которое определяется соотношением

где n - показатель преломления материала, R1 и R2 - радиусы кривизны передней и задней поверхностей линзы (рис. 5.8).

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета а и расстояние до изображения b

(5.29)

Интерференция света. При сложении двух колебаний одинаковой частоты интенсивность I результирующего колебания определяется соотношением

(5.30)

где I1, I2 - интенсивности колебаний, = 1 - 2 - разность фаз. Если частота колебаний одинаковая и разность фаз постоянная, то такие колебания называются когерентными. Для когерентных колебаний наблюдается перераспределение интенсивности из-за изменения разности фаз. Если = 2k, то будет максимум, а если = (2k + 1) - то минимум интенсивности. Это явление в волновой оптике называется интерференцией.

Условия максимума и минимума в интерференции имеют вид

, , (5.31)

где - оптическая разность хода лучей. Зрительно интерференция наблюдается как чередование светлых (максимумы) и темных (минимумы) полос. Расстояние между соседними интерференционными полосами равно:

(5.32)

где d - расстояние между источниками, l - расстояние до экрана.

Оптическая разность хода лучей при интерференции в тонких пленках определяется выражением

, (5.33)

где d - толщина пленки; - угол падения; - длина волны. Добавка /2 появляется из-за изменения фазы волны на при отражении.

Радиус темного кольца Ньютона в отраженном свете равен

, (5.34)

где R - радиус линзы, - длина волны, k = 0, 1, 2...



Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифракция света. Дифракцией называется отклонение света от прямолинейного направления, которое наблюдается, когда длина волны сравнима с размерами преграды. Дифракция количественно и качественно может быть описана принципом Гюйгенса - Френеля. Для упрощения расчетов широко применяют метод зон Френеля. Зоны Френеля строят так, чтобы расстояние от соседних зон отличалось на /2 и волны от соседних зон были в противофазе (рис. 5.9). Радиус зоны Френеля под номером i определяется выражением

(5.35)

где а и b - расстояния от источника S и от предмета Р до фронта волны.

Если на пути точечного источника S поставить диск малого диаметра, то на экране в точке Р всегда будет максимум - светлое пятно Пуассона.

Условие минимума при дифракции на тонкой щели имеет вид

(5.36)

где b - ширина щели, - угол наблюдения темной полосы, k - номер полосы, - длина волны.

В дифракционной решетке проявляются два явления: дифракция на отдельной щели и интерференция от одинаковых щелей. Условие максимума интерференции для дифракционной решетки имеет вид

, (5.37)

где d - расстояние между щелями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рентгеновские лучи являются электромагнитным излучением с очень малой длиной волны 10-8 см. Дифракция этих лучей может наблюдаться на кристаллах, представляющих для них дифракционную решётку. Формула Вульфа - Брегга даёт условие максимума для этих лучей

, (5.38)

где d - расстояние между атомами, - угол скольжения, отсчитываемый от плоскости, в которой расположены атомы (рис. 5.10).

Поляризация света. Интенсивность I плоско поляризованного света, прошедшего через поляризатор, определяется законом Малюса