Электричество и магнетизм

Кафедра Физики

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ФИЗИКА

Часть II

Электричество и магнетизм

Москва 2007г.

Часть II. Электричество и магнетизм.

1. Цель обучения

Научить современным методам физического исследования на основе знаний универсальных законов электромагнитного поля, законов постоянного тока, электромагнитных колебаний и волн. Сформировать навыки решения прикладных задач, умение выделять и моделировать конкретное физическое содержание в прикладных задачах будущей профессиональной деятельности. Сформировать навыки проведения физического эксперимента, использования современного физического оборудования и компьютерных методов обработки результатов.

Содержание лекционного курса «Электричество и магнетизм»

Семестр 3

(34 часа)

Раздел 1. Электростатика /1а, 1б, 2б, 3б, 4б, 6б, 7б/

(8 часов)

1.1Предмет классической электродинамики. Электрическое поле. Напряженность электрического поля

Предмет классической электродинамики и границы ее применимости. Два рода электрических зарядов, их дискретность. Кварки. Закон сохранения электрического заряда. Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона. Системы единиц. Напряженность электрического поля. Линии напряженности. Принцип суперпозиции электрических полей.

1.2 Основные уравнения электростатики в вакууме

Описание свойств векторных полей. Поток вектора напряженности электрического поля в вакууме (теорема Гаусса). Вычисление полей протяженных заряженных тел с помощью теоремы Гаусса. Работа сил электростатического поля. Циркуляция электростатического поля. Потенциал электростатического поля. Градиент потенциала. Эквипотенциальные линии и поверхности. Связь напряженности и потенциала. Диполь. Электрическое поле системы точечных зарядов на больших расстояниях. Основные уравнения электростатики в вакууме.

1.3 Электростатическое поле в диэлектриках

Диполь во внешнем электростатическом поле. Энергия диполя во внешнем электростатическом поле. Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлектриков. Вектор поляризации. Поле внутри диэлектрика. Вектор электрического смещения. Диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость вещества. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектриках. Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков. Сегнетоэлектрики и пироэлектрики.

1.4 Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы. Энергия электрического поля

Идеальный проводник в электростатическом поле. Поверхностные заряды. Поле внутри проводника. Электростатическая защита. Граничные условия на поверхности раздела проводника с вакуумом, проводника с диэлектриком. Электроемкость уединенного проводника и взаимная емкость системы проводников. Конденсаторы. Емкость конденсатора. Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия системы заряженных проводников. Энергия заряженного конденсатора. Плотность энергии электрического поля.

Раздел 2. Постоянный электрический ток /1а, 1б, 2б, 3б, 4б, 6б, 7б/

(6 часов)

2.1 Постоянный электрический ток

Условия существования тока. Электродвижущая сила. Источники ЭДС. Закон Ома для участка цепи в интегральной и дифференциальной формах. Закон Ома для замкнутой цепи. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля - Ленца в интегральной и дифференциальной формах. Закон сохранения энергии для замкнутой электрической цепи. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

2.2 Основы классической теории электропроводности металлов

Открытие электрона. Природа носителей тока в металлах. Основные положения классической электронной теории проводимости металлов Друде-Лоренца. Вывод законов Ома, Джоуля - Ленца и Видемана - Франца на основе классической теории электропроводности металлов. Электрическое сопротивление металлов. Затруднения классической теории. Открытие явления сверхпроводимости металлов. Открытие явления высокотемпературной сверхпроводимости диэлектриков (керамик).

2.3 Электрический ток в различных средах

Электропроводность газов. Процессы ионизации и рекомбинации. Газовый разряд, основные виды газового разряда. Понятие о плазме. Природа носителей заряда в электролитах. Закон Ома для электролитов. Законы электролиза Фарадея. Применение электролиза в металлургии, других технологических процессах. Электрический ток в вакууме. Явление термоэлектронной эмиссии. Работа выхода электрона из металла. Закон Богуславского - Лэнгмюра. Формула Ричардсона. Электронные лампы.

Раздел 3. Магнитное поле постоянного тока. /1а, 1б, 2б, 3б, 4б, 7б, 8б/ (12 часов)

3.1 Магнитное поле

Взаимодействие элементов тока. Закон Ампера. Магнитное поле. Напряженность магнитного поля в вакууме. Магнитная индукция. Единицы измерения. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитное поле кругового витка с током и прямолинейного отрезка проводника с током. Собственное магнитное поле движущегося заряда.

3.2 Контур с током в постоянном магнитном поле

Магнитный момент контура с током. Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле. Энергия контура с током в магнитном поле. Работа перемещения проводника с током в постоянном магнитном поле.

3.3 Основные уравнения магнитостатики в вакууме

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. Соленоидальность магнитного поля. Представление о монополе Дирака. Теорема о циркуляции магнитного поля в вакууме. Напряженность магнитного поля внутри прямого длинного соленоида и тороида.

3.4 Магнитное поле в веществе

Намагничивание вещества. Молекулярные токи Ампера. Вектор намагниченности. Вектор напряженности магнитного поля в веществе. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость вещества. Граничные условия на поверхности раздела двух магнетиков.

3.5 Основы электронной теории магнетизма

Магнитные моменты атомов и молекул. Орбитальный магнитный момент электрона. Теорема Лармора. Природа диа- и парамагнетизма. Элементы теории ферромагнетизма. Точка Кюри. Закон Кюри - Вейсса. Доменная структура. Техническая кривая намагничивания ферромагнетиков. Квантовая природа ферромагнетизма. Ферри- и антиферромагнетики. Эффект Мейснера.

3.6 Движение заряженных частиц в постоянных электрическом и магнитном полях

Отклонение заряженных частиц электрическим и магнитным полями. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в однородном постоянном магнитном поле. Масс-спектро-граф. Ускорители заряженных частиц. Эффект Холла.

Раздел 4. Квазистационарные электромагнитные поля. Электромагнитные колебания и волны /2а, 1б, 2б, 3б, 5б, 7б, 8б/ (6 часов)

4.1 Явление электромагнитной индукции

Возникновение электродвижущей силы индукции в движущихся и неподвижных проводниках. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца. Явление самоиндукции. Индуктивность. Пример расчета индуктивности соленоида. Переходные процессы в электрических цепях. Энергия магнитного поля. Плотность энергии.

4.2Электромагнитные колебания

Колебательный контур. Гармонические колебания в контуре. Формула Томсона. Свободные затухающие колебания. Декремент затухания и добротность колебательного контура. Вынужденные колебания. Резонанс токов и резонанс напряжений. Метод векторных диаграмм. Импеданс электрической цепи. Комплексное сопротивление.

4.3 Уравнения Максвелла

Вихревое электрическое поле. Гипотеза Максвелла о токе смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Магнетизм как релятивистский эффект. Относительность разделения электромагнитного поля на электрическое и магнитное. Взаимопревращаемость переменных электрических и магнитных полей. Волновое уравнение. Плоская электромагнитная волна как решение уравнений Максвелла. Структура электромагнитной волны. Электромагнитные волны в прозрачной диэлектрической среде. Плотность потока энергии. Теорема Пойнтинга. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

4.4 Общие свойства и характеристики волновых процессов

Волны. Уравнение монохроматической волны. Плоские, цилиндрические и сферические, скалярные и векторные волны. Поляризация волн. Волновое уравнение. Общее решение волнового уравнения. Бегущие и стоячие волны. Волны в упругой среде. Энергетические соотношения. Вектор Умова-Пойнтинга. Эффект Доплера.

Лекция 1

Предмет классической электродинамики. Электрическое поле. Напряженность электрического поля.

Предмет электродинамики. Электродинамика - раздел физики, изучающий взаимодействие электрически заряженных частиц и особый вид материи, порождаемый этими частицами - электромагнитное поле.

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Электростатика - раздел электродинамики, изучающий взаимодействие неподвижных заряженных тел. Электрическое поле, осуществляющее это взаимодействие, называется электростатическим.

1.1 Электрические заряды. Способы получения зарядов. Закон сохранения электрического заряда

В природе имеется два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными. Исторически положительными принято называть заряды, подобные тем, которые возникают при натирании стекла о шелк; отрицательными - заряды, подобные тем, которые возникают при натирании янтаря о мех. Заряды одного знака отталкиваются друг от друга, заряды разных знаков - притягиваются (рис.1.1).

Шелк + Стекло =

Мех + Янтарь =



Рис.1.1. Положительные и отрицательные заряды.

По своей сути электрические заряды атомистичны (дискретны). Это означает, что в природе существует мельчайший, далее не делимый заряд, получивший название элементарного. Величина элементарного заряда по абсолютной величине в СИ:

Электрические заряды присущи многим элементарным частицам, в частности, электронам и протонам, входящим в состав различных атомов, из которых построены все тела в природе. Следует, однако, отметить, что согласно современным представлениям сильновзаимодействующие частицы - адроны (мезоны и барионы) - построены из так называемых кварков - особых частиц, несущих дробный заряд. В настоящее время известно шесть видов кварков - u, d, s, t, b и c - по первым буквам слов: up-верхний, down-нижний, side-way-боковой (или strange-странный), top-вершинный, bottom - крайний и charm-очарованный. Эти кварки разбиваются на пары: (u,d), (c,s), (t,b). Кварки u, c, t имеют заряд +2/3, а заряд кварков d, s, b равен - 1/3. Каждому кварку соответствует свой антикварк. Кроме того, каждый из кварков может находиться в одном из трех цветных состояний (красном, желтом и синем). Мезоны состоят из двух кварков, барионы - из трех. В свободном состоянии кварки не наблюдаются. Это позволяет считать, что элементарным зарядом в природе является все же целочисленный заряд е, а не дробный заряд кварков. Заряд макроскопических тел образуется совокупностью элементарных зарядов и является, таким образом, целым кратным е.

Для проведения опытов с электрическими зарядами используют различные способы их получения. Самый простой и самый древний способ - натирание одних тел другими. При этом само по себе трение здесь не играет принципиальной роли. Электрические заряды всегда возникают при плотном контакте поверхностей соприкасающихся тел. Трение (притирание) помогает лишь устранить неровности на поверхности соприкасающихся тел, мешающих их плотному прилеганию друг к другу, при котором создаются благоприятные условия для перехода зарядов от одного тела к другому. Этот способ получения электрических зарядов лежит в основе действия некоторых электрических машин, например, электростатического генератора Ван де Графа (Van de Graaff R., 1901-1967), применяемого в физике высоких энергий.

Другой способ получения электрических зарядов основан на использовании явления электростатической индукции. Суть его иллюстрируется рис.1.2. Поднесем к разделенному на две половины незаряженному металлическому телу (не касаясь его) другое тело, заряженное, скажем, положительно. Благодаря смещению некоторой доли имеющихся в металле свободных отрицательно заряженных электронов, левая половина исходного тела приобретет избыточный отрицательный заряд, а правая - такой же по величине, но противоположный по знаку положительный заряд. Если теперь в присутствии внешнего заряженного тела развести обе половины в разные стороны и удалить заряженное тело, то каждая из них окажется заряженной. В результате мы получим два новых тела, заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами.



Рис.1.2. Опыт, иллюстрирующий явление электростатической индукции.

Проделанный опыт демонстрирует также закон сохранения электрического заряда, согласно которому полный заряд электрически изолированной системы⁾ Система называется электрически изолированной, если через ограничивающую ее поверхность невозможен перенос зарядов, т.е. протекание электрического тока. ⁾ остается постоянным:

В нашем конкретном случае полный заряд исходного тела до и после опыта не изменился - остался равным нулю:

1.2 Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона. Применение закона Кулона для расчета сил взаимодействия протяженных заряженных тел.

Закон взаимодействия электрических зарядов был установлен в 1785 г. Шарлем Кулоном (Coulomb Sh., 1736-1806). Кулон измерял силу

взаимодействия двух небольших заряженных шариков в зависимости от величины зарядов и расстояния между ними с помощью специально сконструированных им крутильных весов (рис.1.3). В результате своих опытов Кулон установил, что сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, при этом направление действия силы совпадает с прямой, проходящей через оба заряда:

~ , ~ , ||.

Другими словами, можем написать:

Рис.1.3. Крутильные весы Кулона (схема).

Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора

единиц измерения входящих в эту фо

рмулу величин:

В общепринятой сейчас Международной системе единиц измерения (СИ) закон Кулона записывается, следовательно, в виде:

Необходимо еще раз подчеркнуть, что в таком виде закон Кулона формулируется только для точечных зарядов, то есть таких заряженных тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Если это условие не выполняется, то закон Кулона должен быть записан в дифференциальной форме для каждой пары элементарных зарядов dq₁ и dq₂, на которые «разбиваются» заряженные тела:

.

Тогда полная сила взаимодействия двух макроскопических заряженных тел будет представлена в виде:

Интегрирование в этой формуле производится по всем зарядам каждого тела.

Пример. Найти силу F, действующую на точечный заряд Q со стороны бесконечно протяженной прямолинейной заряженной нити (рис.1.4). Расстояние от заряда до нити a, линейная плотность заряда нити ф.



Рис.1.4. К расчету силы F.

Искомая сила F = F_x= Qф/(2ре₀a).

1.3 Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей.

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется через особый вид материи, порождаемой заряженными частицами - электрическое поле. Электрические заряды изменяют свойства окружающего их пространства. Проявляется это в том, что на помещенный вблизи заряженного тела другой заряд (назовем его пробным) действует сила (рис.1.5). По величине этой силы можно судить об «интенсивности» поля, созданного зарядом q. Для того, чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала электрическое поле именно в данной точке пространства, пробный заряд, очевидно, должен быть точечным.

Рис.1.5. К определению напряженности электрического поля.

Поместив пробный заряд q_пр на некотором расстоянии r от заряда q (рис.1.5), мы обнаружим, что на него действует сила, величина которой

зависит от величины взятого пробного заряда q_пр. Легко, однако, видеть, что для всех пробных зарядов отношение F/ q_пр будет одно и тоже и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле заряда q в данной точке r. Естественно, поэтому, принять это отношение за величину, характеризующую «интенсивность» или, как говорят, напряженность электрического поля (в данном случае поля точечного заряда):

.

Таким образом, напряженность электрического поля является его силовой характеристикой. Численно она равна силе, действующий на пробный заряд q_пр = +1, помещенный в данное поле.

Напряженность поля - вектор. Его направление совпадает с направлением вектора силы, действующей на точечный заряд, помещенный в это поле. Следовательно, если в электрическое поле напряженностью поместить точечный заряд q, то на него будет действовать сила:

Размерность напряженности электрического поля в СИ: .

Электрическое поле удобно изображать с помощью силовых линий. Силовая линия - линия, вектор касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля в этой точке. Принято считать, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность) и нигде не прерываются. Примеры силовых линий некоторых электрических полей приведены на рис.1.6.

Рис.1.6. Примеры изображения электрических полей с помощью силовых линий: точечного заряда (положительного и отрицательного), диполя, однородного электрического поля.

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой же точке пространства каждым из зарядов в отдельности:

Пример. Найти напряженность электрического поля Е диполя (системы двух жестко связанных точечных зарядов противоположного знака) в точке, находящейся на расстоянии r₁ от заряда - q и на расстоянии r₂ от заряда +q (рис.1.7). Расстояние между зарядами (плечо диполя) равно l.

Рис.1.7. К расчету напряженности электрического поля системы двух точечных зарядов.

, где

, .

Угол б определяется по теореме косинусов: .

Лекция 2

Основные уравнения электростатики в вакууме.

1.4 Поток вектора напряженности электрического поля.

Теорема Гаусса.

По определению потоком векторного поля через площадку называется величина

(рис.2.1)

Рис.2.1. К определению потока вектора .

Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется поток, не является плоской (рис.2.2), то определение потока нужно применить к бесконечно малому элементу поверхности, а именно записать:

Рис.2.2. где .

Тогда поток через всю поверхность S будет:

Заметим, что поток - величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении Ф_Е. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак E_n, а значит и знак потока Ф_Е. В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Численно поток равен количеству силовых линий, пресекающих данную поверхность. Размерность потока в СИ: [Ф_Е] = В·м (отметим, что она совпадает с размерностью величины q/е_о).

Окружим точечный заряд q замкнутой сферической поверхностью радиуса r и вычислим поток электрического поля точечного заряда через эту поверхность (рис.2.3).

Рис.2.3. К доказательству теоремы Гаусса.

По определению имеем: ,

где - напряженность электрического поля в направлении внешней нормали, ; - элемент поверхности, , - элемент телесного угла.

Вычисляем:

Мы видим, что полученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности. Это очевидно, поскольку поток численно равен количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора замкнутой поверхности любой другой формы он не изменится, так как силовые линии нигде не прерываются.

Если внутри замкнутой поверхности имеется несколько зарядов, то поток их результирующего поля, согласно принципу суперпозиции, будет равен:

Рис.2.4.

В частности, если система зарядов находится вне выбранной поверхности (рис.2.4) или алгебраическая сумма всех зарядов, заключенных под поверхностью, равна нулю, то поток .

Доказанная выше теорема, носит название теоремы Гаусса (Gauss C., 1777-1855). Полная ее формулировка звучит так: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности (деленной на ):

Отметим, что теорема Гаусса является прямым следствием закона Кулона и является одной из основных теорем электростатики.

1.5. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей.

В ряде случаев теорема Гаусса позволяет найти напряженность электрического поля протяженных заряженных тел, не прибегая к вычислению громоздких интегралов. Обычно это относится к телам, чья геометрическая форма обладает определенными элементами симметрии (шар, цилиндр, плоскость). Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы Гаусса для расчета напряженности электрических полей.

Пример 1. Поле равномерно заряженной плоскости.

Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным - в каждой точке

Рис.2.5. Поле равномерно заряженной плоскости.

пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ДS, можем написать: , откуда , где - поверхностная плотность заряда. Размерность в СИ: .

Таким образом, искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной плоскости .

Пример 2. Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).

Рис.2.6. Поле равномерно заряженной нити.

В данном случае электрическое поле обладает аксиальной симметрией - не зависит от азимутального угла ц и координаты z и направлено вдоль радиус-вектора (рис.2.6). Поэтому для потока вектора через выбранную цилиндрическую поверхность с осью, совпадающей с заряженной нитью, имеем: , где - элемент цилиндрической поверхности; l - длина произвольного участка нити.

С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен: причем , - линейная плотность заряда нити.

Отсюда находим: .

Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити:

.

Пример 3. Поле равномерно заряженного шара.

Рис.2.7. Поле равномерно заряженного металлического шара.

а) Металлический шар. При равновесии заряды равномерно распределяются по внешней поверхности заряженного шара (рис.2.7). Поэтому при < (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

Вне шара (>) электрическое поле, созданное равномерно распределенными по его поверхности зарядами, обладает сферической симметрией (направлено по радиальным линиям), поэтому, согласно теореме Гаусса:

.

Видим, что электрическое поле равномерно заряженного металлического шара не зависит от радиуса шара и совпадает с полем точечного заряда.

б) Диэлектрический шар.

Рис.2.8. Поле равномерно заряженного диэлектрического шара.

Рассмотрим шар, с условной диэлектрической проницаемостью е = 1, равномерно заряженный по объему с плотностью заряда (рис.2.8).

Размерность объемной плотности заряда в СИ: .

Полный заряд шара, очевидно, есть: .

Имеем по теореме Гаусса:

1) Внутри шара (r < R): , где Дq = - заряд внутренней области шара, ограниченной выбранной сферической поверхностью радиуса r. Отсюда находим: .

2) Вне шара (r > R): , откуда = ,

то есть вне заряженного диэлектрического шара электрическое поле такое же, как и в случае металлического шара.

На рис.2.9 показан качественный ход зависимостей E(r) для металлического и диэлектрического шаров.

металл Рис.2.9. Зависимость E(r). диэлектрик

1.6. Работа сил поля по перемещению заряда. Потенциал и разность потенциалов электрического поля

Как следует из закона Кулона, сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле, созданном другими зарядами, является центральной. Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой направлена по радиус-вектору, соединяющему некоторую неподвижную точку О (центр поля) с любой точкой траектории. Из «Механики» известно, что все центральные силы являются потенциальными. Работа этих сил не зависит от формы пути перемещения тела, на которое они действуют, и равна нулю по любому замкнутому контуру (пути перемещения). В применении к электростатическому полю (рис.2.10):

.

Рис.2.10. К определению работы сил электростатического поля.

То есть, работа сил поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна по величине и противоположна по знаку работе по перемещению заряда из точки 2 в точку 1, независимо формы пути перемещения. Следовательно, работа сил поля по перемещению заряда может быть представлена разностью потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути перемещения:

.

Введем потенциал электростатического поля ц, задав его как отношение:

, (размерность в СИ: ).

Тогда работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 будет:

Разность потенциалов называется электрическим напряжением. Размерность напряжения, как и потенциала, [U] = B.

Считается, что на бесконечности электрические поля отсутствуют, и значит. Это позволяет дать определение потенциала как работы, которую нужно совершить, чтобы переместить заряд q = +1 из бесконечности в данную точку пространства. Таким образом, потенциал электрического поля является его энергетической характеристикой

1.7Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля. Градиент потенциала. Теорема о циркуляции электрического поля.

Напряженность и потенциал - это две характеристики одного и того же объекта - электрического поля, поэтому между ними должна существовать функциональная связь. Действительно, работа сил поля по перемещению заряда q из одной точки пространства в другую может быть представлена двояким образом:

Откуда следует, что

Или

Это и есть искомая связь между напряженностью и потенциалом электрического поля в дифференциальном виде.

- вектор, направленный из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом (рис.2.11).

, .

Рис.2.11. Векторыи gradц. .

Из свойства потенциальности электростатического поля следует, что работа сил поля по замкнутому контуру (ц₁= ц₂) равна нулю:

,

поэтому можем написать

Последнее равенство отражает суть второй основной теоремы электростатики - теоремы о циркуляции электрического поля, согласно которой циркуляция поля вдоль произвольного замкнутого контура равна нулю. Эта теорема является прямым следствием потенциальности электростатического поля.

1.8 Эквипотенциальные линии и поверхности и их свойства.

Линии и поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал, называются эквипотенциальными. Их свойства непосредственно вытекают из представления работы сил поля и иллюстрируются рис.2.12:

Рис.2.12. Иллюстрация свойств эквипотенциальных линий и поверхностей.

1) - работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной линии (поверхности) равна нулю, т. к. .

2) - силовые линии поля в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной линии (поверхности).

1.9 Потенциалы простейших электрических полей.

Из соотношения , определяющего связь между напряженностью и потенциалом электрического поля, следует формула для вычисления потенциала поля:

где интегрирование производится вдоль силовой линии поля; С - произвольная постоянная, с точностью до которой определяется потенциал электрического поля.

Если направление поля совпадает с направлением радиус-вектора (), то вычисления можно производить по формуле:

.

Рассмотрим ряд примеров на применение этой формулы.

Пример1. Потенциал поля точечного заряда (рис.2.13).

Рис.2.13. При полагают, что , тогда .

Таким образом, потенциал поля точечного заряда определяется по формуле:

Пример 2. Потенциал поля металлического заряженного шара.

Рис2.14.

а) Изолированный шар (рис.2.14).

при , т.е. внутри шара = const.

Вне шара .

При ц = 0, следовательно, С = 0.

- вне шара.

Для определения используем свойство непрерывности потенциала: при переходе через границу поверхности шара, потенциал не претерпевает скачка. Полагая в последней формуле r =R, находим:

- внутри шара.

Рис.2.15. Внутри шара ц(r ? 0) = ц0 = 0.

б) Заземленный шар (рис.2.15).

.

При , то есть - вне шара.

Разность потенциалов U (рис.2.16) двух точек на силовой линии электрического поля заряженного шара определяется по формуле:

Рис.2.16.

.

Пример 3. Потенциал поля заряженной нити (рис.2.17).

Рис.2.17.

При :

Разность потенциалов U (рис.2.17) двух точек на силовой линии поля заряженной нити:

Пример 4. Потенциал поля заряженной плоскости (2.18).

Рис.2.18.

Разность потенциалов U (рис.2.18) двух точек на силовой линии поля заряженной плоскости:

.

Лекция 3

Электростатическое поле в диэлектриках.

1.10. Поляризация диэлектриков. Свободные и связанные заряды. Основные виды поляризации диэлектриков.

Явление возникновения электрических зарядов на поверхности диэлектриков в электрическом поле называется поляризацией. Возникающие при этом заряды - поляризационными (рис.3.1).

Рис.3.1. Поляризация диэлектрика.

В проводниках (например, металлах) имеются свободные заряды, которые можно разделить (рис.3.2).

Рис.3.2. Разделение свободных зарядов в металле.

В диэлектриках заряды смещаются лишь в пределах отдельных молекул, поэтому их разделить нельзя (рис.3.3). Такие заряды называются связанными.

Рис.3.3. Связанные заряды разделить нельзя.

Различают следующие основные виды поляризации диэлектриков.

1) Ориентационная поляризация (полярные диэлектрики).

Молекулы таких веществ уже в начальном состоянии имеют собственный дипольный электрический момент (рис.3.4).

Рис.3.4. Полярная молекула воды.

Электрическим диполем называется система двух связанных между собой равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов. Величина - называется электрическим моментом диполя, - плечо диполя - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.

В электрическом поле на диполь действует пара сил (рис.3.5), вследствие чего диполь устанавливается (ориентируется) вдоль силовых линий поля.

- момент пары сил, действующий на диполь в электрическом поле.

Рис.3.5. Диполь в электрическом поле.

2) Деформационная или электронная поляризация (неполярные диэлектрики).

Пример молекул таких веществ: H₂, O₂. Между атомами в молекуле действует ковалентная неполярная связь. «Центры тяжести» положительных и отрицательных ионов совпадают, поэтому в исходном состоянии дипольный электрический момент у такой молекулы отсутствует (рис.3.6).

Рис.3.6. Неполярная молекула водорода.

В электрическом поле электронное облако молекулы деформируется, вследствие чего «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смещаются (рис.3.7), и у молекулы появляется наведённый дипольный момент (в - поляризуемость молекулы).

Рис.3.7. Электронная поляризация.

3) Ионная поляризация (кристаллы).

Ионные кристаллы (например, кристаллы поваренной соли NaCl) построены из положительных и отрицательных ионов, образующих как бы две кристаллические решетки, сдвинутые одна относительно другой на половину периода. Такой кристалл можно рассматривать как одну большую «молекулу» (рис.3.8).

В электрическом поле ионы противоположного знака смещаются друг относительно друга в разные стороны, в результате чего кристалл приобретает макроскопический дипольный электрический момент (в - поляризуемость кристалла). Рис.3.8. Ионная поляризация.

4) Сегнетоэлектрики и пироэлектрики.

Сегнетоэлектрики - особый класс диэлектриков, отличительными свойствами которых являются: 1) диэлектрическая проницаемость е этих веществ может достигать нескольких тысяч (для сравнения, у такого сильного полярного диэлектрика как вода е=81); 2) зависимость от не является линейной; 3) при переполяризации сегнетоэлектрика обнаруживается явление гистерезиса (рис.3.9), то есть запаздывание следования за изменением поля ; 4) наблюдается сложная зависимость е от температуры, причем для каждого сегнетоэлектрика существует такая температура (называемая точкой Кюри), выше которой сегнетоэлектрик утрачивает свои свойства и становится обычным диэлектриком.

- обычный диэлектрик (линейная зависимость). - сегнетоэлектрик (нелинейная зависимость). при , - остаточная поляризация, - коэрцитивная сила.

Рис.3.9. Петля гистерезиса в сегнетоэлектриках.

Все перечисленные свойства сегнетоэлектриков объясняются наличием в них особых областей спонтанной (самопроизвольной) поляризации, называемых доменами, на которые распадается объем сегнетоэлектрика. Каждый из доменов, даже в отсутствие внешнего электрического поля, поляризован до насыщения (максимально). Под действием внешнего поля электрические моменты отдельных доменов поворачиваются как целое, устанавливаясь вдоль направления поля. При поляризации до насыщения весь сегнетоэлектрик становится как бы одним большим доменом.

В отличие от сегнетоэлектриков, у которых макроскопический электрический момент в исходном состоянии равен нулю, существует класс похожих веществ, называемых пироэлектриками, которые в исходном состоянии обладают отличной от нуля макроскопической спонтанной поляризацией. Ее появление связано с тем, что в этих веществах «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смещены относительно друг друга. В известном смысле можно сказать, что пироэлектрик - это монодоменный сегнетоэлектрик.

1.11Вектор поляризации и вектор электрической индукции.

Для количественной характеристики поляризации диэлектриков вводят понятие вектора поляризации как полного (суммарного) дипольного момента всех молекул в единице объема диэлектрика:

, - дипольный момент одной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, находящимся в объеме V.

Легко видеть, что нормальная составляющая вектора поляризации Р_n численно равна поверхностной плотности поляризационных зарядов на диэлектрике у ^? (рис.3.10):

Рис.3.10. Вектор поляризации.

Последняя формула дает не только величину, но и знак поляризационных зарядов. В тех точках поверхности диэлектрика, где угол и между внешней нормалью и вектором острый, у ^? положительна, а в тех точках, где угол между внешней нормалью и тупой, у ^? отрицательна.

Наряду с вектором поляризации , для описания электрического поля в диэлектриках вводят также понятие вектора электрической индукции . По определению:

где - напряженность электрического поля в диэлектрике.

Для большинства диэлектриков (кроме сегнетоэлектриков) вектор поляризации

.

Безразмерная величина называется диэлектрической восприимчивостью. Она связана с поляризуемостью молекулы в данного диэлектрика простым соотношением: б = nв, где n - число молекул в единице объема. В этом случае электрическая индукция

.

Постоянная называется диэлектрической проницаемостью (е = 1 - для вакуума).

Таким образом, для многих изотропных диэлектриков можно считать, что

1.12 Напряженность электрического поля в диэлектрике.

В соответствии с принципом суперпозиции электрическое поле в диэлектрике векторно складывается из внешнего поля и поля поляризационных зарядов (рис.3.11).

или по абсолютной величине

Мы видим, что величина напряженности поля в диэлектрике меньше, чем вакууме. Другими словами, любой диэлектрик ослабляет внешнее электрическое поле.

Рис.3.11. Электрическое поле в диэлектрике.

Индукция электрического поля , где , , то есть . С другой стороны, , откуда находим, что е₀Е₀ = е₀еЕ и, следовательно, напряженность электрического поля в изотропном диэлектрике есть:

Эта формула раскрывает физический смысл диэлектрической проницаемости и показывает, что напряженность электрического поля в диэлектрике в раз меньше, чем в вакууме. Отсюда следует простое правило: чтобы написать формулы электростатики в диэлектрике, надо в соответствующих формулах электростатики вакуума рядом с приписать .

В частности, закон Кулона в скалярной форме запишется в виде:



1.13 Основные теоремы электростатики в интегральной и дифференциальной форме.

1) Теорема Гаусса.

(вакуум)

(среда)

По теореме преобразования поверхностного интеграла в объемный (теореме Остроградского) имеем:

откуда следует дифференциальная форма записи теоремы Гаусса:

где с - объемная плотность свободных зарядов;

.

Используя определение , нетрудно показать, что , где - объемная плотность связанных зарядов.

2) Теорема о циркуляции электрического поля.

По теореме преобразования контурного интеграла в поверхностный (теореме Стокса) имеем:

,

откуда следует дифференциальная форма второй основной теоремы электростатики

где .

1.14 Граничные условия для электрического поля

При переходе через границу раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями е₁ и е₂ (рис.3.12) необходимо учитывать граничные условия для полей и, которые непосредственно вытекают из основных интегральных теорем электростатики.

Нормальные составляющие индукции поля непрерывны

Учитывая, что , находим также:

Тангенциальные составляющие электрического поля непрерывны

Поскольку , то

Рис.3.12. Преломление линий поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков.

Лекция 4

Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы. Энергия электрического поля.

1.15 Равновесное распределение зарядов на проводниках.

Опыт показывает, что при равновесии электрические заряды распределяются на внешней поверхности проводников (рис.4.1). Поэтому, согласно теореме Гаусса, электрическое поле внутри проводника , а потенциал ц = const.

Рис.4.1. Опыт, иллюстрирующий равновесное распределение зарядов на проводнике.

Из сказанного следует, что при равновесии зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной. Вблизи поверхности заряженного проводника силовые линии перпендикулярны его поверхности, и поэтому работа по перемещению заряда вдоль любой линии на поверхности проводника .

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле на его внешней поверхности появляются индукционные заряды противоположного знака, электрическое поле которых компенсирует внутри проводника внешнее поле. На этом свойстве проводников основано действие электростатической защиты (рис.4.2).

Можно

Нельзя

Рис.4.2. Электростатическая защита.

1.16Электроемкость проводников. Конденсаторы.

Заряд q, сообщенный уединенному проводнику создает вокруг него электрическое поле, напряженность которого пропорциональна величине заряда. Потенциал поля ц, в свою очередь, связан с напряженностью поля также пропорциональной зависимостью. Следовательно, заряд и потенциал уединенного проводника связаны между собой линейной зависимостью:

q = Cц

Коэффициент пропорциональности С называется электроемкостью (или просто емкостью) проводника. Емкость проводника зависит от его формы и размеров, а также свойств окружающей проводник среды. Если проводник находится в непроводящей среде с диэлектрической проницаемостью е, то его емкость увеличивается в е раз.

Единицы измерения электроемкости в СИ:

Пара проводников, между которыми имеется разность потенциалов, называется простейшим конденсатором. Индуцированные на проводниках заряды равны по величине и противоположны по знаку. Заряд каждой пластины по абсолютной величине



Если пространство между проводниками заполнено средой с диэлектрической проницаемостью е, то

где С₀ - емкость конденсатора в вакууме.

1.17 Вычисление емкости простых конденсаторов

Согласно определению, емкость конденсатора:

, где

(интеграл берется вдоль силовой линии поля между обкладками конденсатора).

Следовательно, общая формула для вычисления емкости любого конденсатора есть:

Рассмотрим ряд примеров на применение этой формулы.

Пример 1. Емкость плоского конденсатора (рис.4.3).

, S - площадь одной пластины.

Рис.4.3. Плоский конденсатор.

Пример 2. Емкость цилиндрического конденсатора (рис.4.4).

Заряд: , l - длина конденсатора; r₁, r₂-радиусы электродов

.

Рис.4.4. Цилиндрический конденсатор.

Пример 3. Емкость сферического конденсатора и уединенного шара (рис.4.5; 4.6).

Рис.4.5. Сферический конденсатор.

Рис.4.6. Уединенный шар. , R₁ = R

1.18 Соединение конденсаторов.

Соединение конденсаторов бывает последовательным, параллельным и смешанным.

1) Последовательное соединение.

При последовательном соединении заряды на всех конденсаторах одинаковые, а напряжения разные (рис.4.7).

Рис.4.7. Последовательное соединение конденсаторов.

2) Параллельное соединение.

При параллельном соединении напряжения на всех конденсаторах одинаковые = U, а заряды - разные (рис.4.8).

Рис.4.8. Параллельное соединение конденсаторов.

1.19 Энергия системы неподвижных точечных зарядов

Как мы уже знаем, силы с которыми взаимодействуют заряженные тела, являются потенциальными. Следовательно, система заряженных тел обладает потенциальной энергией. Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют. Положим в этом случае их энергию равной нулю.

Рис.4.9. К определению энергии системы зарядов.

Рассмотрим сначала систему, состоящую из двух точечных зарядов (рис.4.9). Cблизим заряды на заданное расстояние r. При этом мы совершим работу против сил электрического поля, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая q₂ к q₁ либо q₁ к q₂. В обоих случаях совершается одинаковая работа:

В последней формуле - потенциал поля 1-го заряда в том месте, где находится второй заряд; - потенциал поля второго заряда в том месте, где находится первый заряд. С учетом сказанного, эту формулу можно записать также в виде:

.

Рис.4.10. Система трех неподвижных точечных зарядов.

Нетрудно убедиться в том, что потенциальная энергия системы трех неподвижных точечных зарядов (рис.4.10) может быть представлена в виде:

В общем случае системы n неподвижных точечных зарядов энергия системы определяется по формуле:

1.20 Энергия заряженного проводника и заряженного конденсатора

Поверхность заряженного проводника (рис.4.11) при равновесии зарядов является эквипотенциальной (ц_i = ц = const). Следовательно, энергия заряженного проводника: , где q - заряд проводника.

Рис.4.11. Заряженный проводник.

Конденсатор представляет собой пару заряженных проводников (рис.4.12), поэтому имеем:

Рис.4.12. Заряженный конденсатор.

А поскольку заряд , то энергия заряженного конденсатора может быть представлена одной из трех формул:

1.21 Энергия электростатического поля

Выразим энергию заряженного конденсатора через величины, характеризующие электрическое поле, локализованное в пространстве между его обкладками - напряженность поля Е и объем V, занятый полем. Имеем для напряженности поля:

, где .

Воспользовавшись формулой для емкости плоского конденсатора , находим:

, где - объём конденсатора, откуда следует, что

Мы видим, что энергия электрического поля прямо пропорциональна квадрату его напряженности Е и объёму V, занятому полем. Величину энергии поля, отнесенной к единице объема, называют плотностью энергии:

- плотность энергии электрического поля.

Лекция 5

2. Постоянный электрический ток

2.1 Характеристики тока. Сила и плотность тока. Падение потенциала вдоль проводника с током

Всякое упорядоченное движение зарядов называется электрическим током. Носителями заряда в проводящих средах могут быть электроны, ионы, «дырки» и даже макроскопические заряженные частицы.

За положительное направление тока принято считать направление движения положительных зарядов. Электрический ток характеризуется силой тока - величиной, определяемой количеством заряда, переносимого через воображаемую площадку, за единицу времени:

Для постоянного тока силу тока можно определить как:

Размерность силы тока в СИ: (ампер).

Кроме этого, для характеристики тока в проводнике применяют понятие плотности тока - векторной величины, определяемой количеством заряда, переносимого за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную линиям тока (рис.5.1):

 Рис.5.1. К определению вектора плотности тока

Размерность плотности тока в СИ: .

Покажем, что плотность тока пропорциональна скорости упорядоченного движения зарядов в проводнике . Действительно, количество заряда, протекающее через поперечное сечение проводника за единицу времени есть (рис.5.2):

, где - концентрация зарядов

.

Рис.5.2. К выводу формулы для плотности тока.

Или в векторном виде:

Как мы знаем, при равновесии зарядов, то есть при отсутствии тока, потенциал всех точек проводника имеет одно и то же значение, а напряженность электрического поля внутри него равна нулю (рис.5.3а). При наличии тока электрическое поле внутри проводника отлично от нуля, и вдоль проводника с током имеет место падение потенциала (рис.5.3б).